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10.4 三元一次方程组的解法【6 个必考点】
【人教版2024】
【知识点1 三元一次方程组的定义】.....................................................................................................................1
【必考点1 三元一次方程（组）的定义】.............................................................................................................1
【必考点2 三元一次方程组的解】..........................................................................................................................2
【知识点2 三元一次方程组的解法】.....................................................................................................................3
【必考点3 判断三元一次方程组消元的步骤】.....................................................................................................3
【必考点4 解三元一次方程组】..............................................................................................................................4
【必考点5 利用消元法求值】..................................................................................................................................5
【知识点3 列三元一次方程组解决实际问题的基本步骤】.................................................................................5
【必考点6 三元一次方程组的应用】.....................................................................................................................5
【知识点1 三元一次方程组的定义】
1．定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1 的方程叫做三元一次方程；含有三个相同的
未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方
程组.
【易错点剖析】理解三元一次方程组的定义时，要注意以下几点：
（1）方程组中的每一个方程都是一次方程；
（2）如果三个一元一次方程合起来共有三个未知数，它们就能组成一个三元一次方程组.
【必考点1 三元一次方程（组）的定义】
【例1】下列方程中，属于三元一次方程的是（ ）
A． +x+y＝6 B．xy+y+z＝6
C．xπ+2y+3z＝9 D．3x+2y﹣4z＝4x+2y﹣2z
【例2】下列是三元一次方程组的是（ ）
3
{
2x=5
)
{ −y+z=−2)
x
A． x2+ y=7 B．
x−2y+z=9
x+ y+z=6
y=−3
{x+ y−z=7
)
{x+ y=2
)
C． xyz=1 D． y+z=1
x−3 y=4 x+z=9【变式1】若（a﹣1）x+5yb+1+2z2﹣|a|＝10是一个关于x，y，z的三元一次方程，那么 a＝ ，b＝
．
【变式2】下列是三元一次方程组的是（ ）
{x+ y=2
)
{x+ y−z=5
)
A． y+z=7 B． xy+z=4
x+z=10 x−y=4
4
{
3x=6
)
{ = y+z)
x
C． x2+ y=9 D．
x−y=6
x+ y+z=8
y=1
【变式3】下列是三元一次方程组的是（ ）
x+ y+z=1 1 1
{ ) { x− y=7)
1 2 3
A． 2x+ y+ z=4 B．
3 1 1
x+ y=5
xyz=6 3 4
x−y 2y+1 3x−6
{x−y=6
)
C． = = D． x−z=3
3 4 5
y+z=1
【必考点2 三元一次方程组的解】
{x=1
)
{ax+by=2
)
【例1】已知 y=2 是方程组 by+cz=3 的解，则a+b+c的值是（ ）
z=3 cx+az=7
A．3 B．2 C．1 D．无法确定
{
mx−ny−z=7
)
【例2】已知x＝2，y＝﹣1，z＝﹣3是三元一次方程组 2nx−3 y−2mz=5 的解，则m2﹣7n+3k的值为
x+ y+z=k
（ ）
A．125 B．119 C．113 D．71
{
x+ y=8
)
【变式1】方程组 y+z=−2 的解使代数式kx+2y﹣z的值为﹣5，则k的值为（ ）
z+x=4
5 10 7
A．0 B． C．− D．
7 7 5
{ x−by+4z=1 )
{x=a
)
【变式2】若方程组 的解是 y=1 ，则a+b+6c的值是（ ）
x−2by+3z=3
z=cA．﹣3 B．0 C．3 D．6
{
3x−y=5
)
{ax−by+z=8
)
【变式3】已知方程组 2x+ y−z=0 与方程组 x+ y+5z=c 有相同的解，则a、b、c的值为（
4ax+5by−z=−22 2x+3 y=−4
）
{a=−2
)
{a=−2
)
A． b=−3 B． b=3
c=1 c=1
{
a=2
) {
a=2
)
C． b=−3 D． b=3
c=−1 c=−1
【知识点2 三元一次方程组的解法】
解三元一次方程组的基本思想仍是消元，一般的，应利用代入法或加减法消去一个未知数，从而化三
元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数．解三元一次方程组
的一般步骤是：
（1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知
数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；
（2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；
（3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；
（4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；
（5）将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起．
【易错点剖析】
（1）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求比较简单的解法．
（2）要检验求得的未知数的值是不是原方程组的解，将所求得的一组未知数的值分别代入原方程组里的
每一个方程中，看每个方程的左右两边是否相等，若相等，则是原方程组的解，只要有一个方程的左、右
两边不相等就不是原方程组的解．
【必考点3 判断三元一次方程组消元的步骤】
{2x−3 y+2z=2①
)
【例1】解方程组 3x+4 y−2z=5② ，把上面的三元一次方程组消元转化成下面的二元一次方程组
4x+5 y−4z=2③
{5x+ y=7)
，需要经历如下的步骤，请你选出正确的步骤（ ）
8x−y=6{ ①+② ) { ①+② )
A． B．
①×2+③ ②×2−③
{ ①+② ) {②×2−③)
C． D．
①×2−③ ①×2+③
{
x+2y+z=8①
)
【变式1】利用加减消元法解方程组 2x−y−z=−3② 下列做法正确的是（ ）
3x+ y−2z=−1③
A．要消去z，先将①+②，再将①×2+③
B．要消去z，先将①+②，再将①×3﹣③
C．要消去y，先将①﹣③×2，再将②﹣③
D．要消去y，先将①﹣②×2，再将②+③
{
x+2y+z=8，①
)
【变式2】利用加减消元法解方程组 2x−y−z=−3，② ，下列做法正确的是（ ）
3x+ y−2z=−1，③
A．要消去z，先将①+②，再将①×2+③
B．要消去z，先将①+②，再将①×3
C．要消去y，先将①﹣③×2，再将②﹣③
D．要消去y，先将①﹣②×2，再将②+③
{2x−3 y+2z=2①
) {5x+ y=7)
【变式3】把三元一次方程组 3x+4 y−2z=5② 消元转化成二元一次方程组 ，需要经历的
8x−y=6
4x+5 y−4z=2③
步骤是（ ）
{ ①+② ) { ①+② )
A． B．
①×2+③ ②×2−③
{ ①+② ) {①×2−③)
C． D．
①×2−③ ①×2+③
【必考点4 解三元一次方程组】
{3x+ y−4z=13
)
【例1】解方程组： 5x−y+3z=5 ．
x+ y−2z=3
【例2】已知y＝ax2+bx+c且当x＝1时，y＝5；当x＝﹣2时，y＝14；当x＝﹣3时，y＝25，求a，b，c的
值．
{
3x+2y+5z=2
)
【变式1】解方程组： x−2y−z=6 ．
4x+2y−7z=30.{
3x+4 y−3z=3
)
【变式2】解方程组： 2x−3 y−2z=2 ．
5x−3 y+4z=−22
3 1
【变式3】在等式y＝ax2+bx+c中，当x＝1时，y＝﹣2；当x＝﹣1时，y＝20；当x= 与x= 时，y的值
2 3
相等，求a﹣2b+3c的值．
x+ y y+z z+x
【变式4】已知 = = ，且2x+4y﹣6z＝120，求x、y、z的值．
2 3 4
【必考点5 利用消元法求值】
【例1】若a+2b﹣3c＝3，5a﹣6b+7c＝5，则a﹣6b+8c的值是（ ）
A．﹣2 B．2 C．0 D．﹣1
【例2】若a﹣b+c＝5，a+b+c＝﹣3，则c2﹣ab的值满足（ ）
A．c2﹣ab＜0 B．c2﹣ab≤0 C．c2﹣ab＞0 D．c2﹣ab≥0
{2x+ y−z=−3)
【变式1】已知方程组 ，则x2﹣2xy+y2的值是（ ）
5x−2y−z=3
A．1 B．2 C．4 D．9
【变式2】若x、y满足x+y+m＝3，x﹣y﹣3m＝1，则代数式xy有可能值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【变式3】若4x﹣3y﹣6z＝0，x+2y﹣7z＝0（xyz≠0），则 5x2+2y2−z2 的值等于（ ）
2x2−3 y2−10z2
1 19
A．− B．− C．﹣15 D．﹣13
2 2
【知识点3 列三元一次方程组解决实际问题的基本步骤】
（1）弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数；
（2）找出能够表达应用题全部含义的相等关系；
（3）根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组；
（4）解这个方程组，求出未知数的值；
（5）写出答案(包括单位名称)．
【易错点剖析】
(1)解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不
符合题意的应该舍去．
(2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一．(3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组．
【必考点6 三元一次方程组的应用】
【例1】某校开学典礼需要购买一、二、三等奖奖品若干，若购买一等奖奖品1件，二等奖奖品4件，三
等奖奖品4件，共需250元；若购买一等奖奖品 2件，二等奖奖品2件，三等奖奖品8件，共需320
元．则购买一件二等奖奖品需要的钱数是（ ）
A．20元 B．30元 C．40元 D．50元
【例2】小梦在某购物平台上购买甲、乙、丙三种商品，当购物车内选择 3件甲，2件乙，1件丙时显示的
价格为420元；当购物车内选择2件甲，3件乙，4件丙时显示的价格为580元，那么购买甲、乙、丙各
两件应该付款（ ）
A．200元 B．400元 C．500元 D．600元
【变式1】某学校计划用104 000元购置一批电脑（这批款项须恰好用完，不得剩余或追加）．经过招
标，其中平板电脑每台1600元，台式电脑每台4000元，笔记本电脑每台4600元．
（1）若学校同时购进其中两种不同类型的电脑共50台，请你帮学校设计该如何购买；
（2）若学校同时购进三种不同类型的电脑共26台（三种类型的电脑都有），并且要求笔记本电脑的购
买量不少于15台，请你帮学校设计购买方案．
【变式2】在甲、乙两盒坚果中，每盒均有核桃仁、腰果和杏仁三种坚果，其中甲盒坚果重 2千克，甲盒
里核桃仁的重量占甲盒坚果重量25%．
（1）甲盒里核桃仁重多少千克？
1
（2）若乙盒坚果重量比甲盒坚果重量多 50%，且乙盒坚果中腰果是乙盒坚果重量的 ，求乙盒坚果中
2
腰果重多少千克？
（3）在（1）、（2）的条件下，当甲乙两盒坚果混合在一起时，杏仁的重量占 28%，并且在混合之前
甲盒中的杏仁所占百分比是乙盒中杏仁所占百分比的2倍，求甲盒坚果中腰果重多少千克？
【变式3】请阅读下面对话，并解答问题：
一天晚饭后小明与隔壁小店老板闲聊，小店老板说：我经销A、B两种商品．A、B两种商品的进货单价
之和为5元；A商品零售价比进货单价多1元，B商品零售价比进货单价的2倍少1元，按零售价购买A
商品3件和B商品2件，共19元．你知道A、B两种商品的进货单价各多少元吗？小明想了想很快回答
了小店老板的问题．并给小店老板出了个问题：上次我去逛超市，买甲、乙、丙三样商品，拿了4件甲
商品，7件乙商品，1件丙商品，结果售货员告诉我共8元，我没带那么多钱，就改成了买2件甲商
品，3件乙商品，1件丙商品，结果售货员告诉我要 6元，可我钱还是不够，我算了算，我的钱恰好够买甲、乙、丙商品各一件，你知我那天带了多少钱吗？小店老板晕了，叹道：这我那知呀！后生可畏，
后生可畏啊！
问题：
（1）你知小明是怎样求解小店老板的问题的吗？请写出求解过程．
（2）小明给老板的问题真的不能解决吗？若能解，请写出求解过程．
