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第十一章 不等式与不等式组全章题型总结【5 个知识点 12 个题型】
【人教版2024】
【知识点1 不等式】
1．不等式的定义：用符号 “＜” ( 或“≤” ) ，“＞”（或“≥”），≠ 连接的式子叫做不等式.
2．不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.
3．不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．
（1）不等式表示方法：一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，它的解集是一个范围。
一般用 x> a 、 x< a 、 x≥ a 、 x≤ a 来表示。
（2）数轴表示法：
4．解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式．
【题型1 不等式的概念】
【例1】下列式子：①﹣4＜0；②x＝1；③y≠﹣2；④x2﹣x，⑤2x﹣5＞0，⑥m≤﹣3．其中是不等
式的有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【分析】不等式的概念：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等
关系的式子也是不等式，据此进行判断即可．
【解答】解：①③⑤⑥符合不等式的定义，它们是不等式，共4个，
故选：B．
【变式1】式子：①3＜5；②4x+5＞0；③x＝3；④x2+x；⑤x≠4；⑥x+2≥x+1．其中是不等式的有
（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据不等式的概念：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示
不等关系的式子也是不等式进行分析即可．
【解答】解：①3＜5；②4x+5＞0；⑤x≠﹣4；⑥x+2≥x+1是不等式，
∴共4个不等式．
故选：C．
【变式2】下列式子①3＞0；②4x+5＞0；③2x＜3；④x2+x；⑤x≠﹣4；⑥x+2＞x+1，其中不等式
有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【分析】依据不等式的定义进行判断．用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用
“≠”号表示不等关系的式子也是不等式．
【解答】解：①3＞0，属于不等式；
②4x+5＞0，属于不等式；
③2x＜3，属于不等式；
④x2+x属于代数式，不合题意；
⑤x≠﹣4属于不等式；
⑥x+2＞x+1，属于不等式．
故选：C．
【变式3】下列数学表达式，是不等式的有（ ）
1 1
①m＝0；②x≠1；③ x+3＞0；④a2+2ab+b2；⑤ ＞0；⑥﹣1＞﹣2
2 x
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】不等式的定义：用符号“＜”或“＞”表示大小关系的式子，叫做不等式，用符号“≠”表示
不相等关系的式子也是不等式．根据上述定义分别对各个式子进行分析判断即可得出结论．1 1
【解答】解：在①m＝0；②x≠1；③ x+3＞0；④a2+2ab+b2；⑤ ＞0；⑥﹣1＞﹣2中，
2 x
1 1
不等式有②x≠1；③ x+3＞0；⑤ ＞0；⑥﹣1＞﹣2，共4个；
2 x
m＝0是等式；
④a2+2ab+b2是代数式．
故选：C．
【知识点2 不等式的性质】
1．不等式的性质1：
不等式两边同时加（或减） 同一个 数（或式子），不等号的方向 不变 。
即若 ，则 。
2．不等式的性质2：
不等式的两边同时乘上（或除以） 同一个正数 ，不等号的方向 不变 。
若 ，则 。
3．不等式的性质3：
不等式的两边同时乘上（或除以） 同一个负数 ，不等号的方向 改变 。
若 ，则 。
【题型2 根据不等式的性质对不等式变形】
【例1】下列说法正确的是（ ）
A．若a＞b，则a﹣2＜b﹣2 B．若a＞b，则a2＞b2
a b
C．若 ＞ ，则a＞b D．若ac2＞bc2，则a＞b
c c
【分析】根据不等式的性质，不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式
两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方
向改变．根据不等式的性质，逐项判断即可求解．
【解答】解：A、a＞b，则a﹣2＞b﹣2，不符合题意；
B、若a＞b，则，不妨设a＝1，b＝﹣2，则12＜（﹣2）2，不符合题意；
a b
C、若 ＞ ，当c＜0时，则a＜b，不符合题意；
c c
D、若ac2＞bc2，则a＞b，符合题意；
故选：D．【变式1】已知x＞y，下列不等式一定成立的是（ ）
①x﹣6＞y﹣6；
②3x＜3y；
③﹣2x＜﹣2y；
④2x+1＞2y+1；
x y
⑤− −5＜− −5．
3 3
A．①③④⑤ B．③④⑤ C．①②④ D．①④⑤
【分析】利用不等式的性质进行判断即可．
【解答】解：已知x＞y，
两边同时减去6得x﹣6＞y﹣6，则①成立，
两边同时乘3得3x＞3y，则②不成立，
两边同时乘﹣2得﹣2x＜﹣2y，则③成立，
两边同时乘2再同时加上1得2x+1＞2y+1，则④成立，
1 x y
两边同时乘− 再同时减去5得− −5＜− −5，则⑤成立，
3 3 3
综上，一定成立的是①③④⑤．
故选：A．
【变式2】下列几个变形中，错误的是（ ）
A．如果x＞y，那么x+m2＞y+m2
x y
B．如果x＞y，那么 ＞
m2+2 m2+2
C．如果x＞y，那么x﹣m2＞y﹣m2
D．如果x＞y，那么xm2＞ym2
【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．
【解答】解：A．∵x＞y，
∴x+m2＞y+m2，故本选项不符合题意；
B．∵x＞y，
x y
∴ ＞ ，故本选项不符合题意；
m2+2 m2+2
C．∵x＞y，
∴x﹣m2＞y﹣m2，故本选项不符合题意；D．x＞y，不妨设m＝0，则么xm2＝ym2，故本选项符合题意．
故选：D．
a a+2
【变式3】下列说法中：（1）若a＞b＞c＞0，则a2＞ab＞bc；（2）若a、b都是正数，则 ＜ ；
b b+2
（3）若a、b、c、d都是负数，且a＞b，c＞d，则ac＜bd；（4）若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d．其中
正确的结论个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据不同条件，运用相应性质逐一分析每个说法是否正确，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵a＞b＞c＞0，根据不等式两边同时乘一个正数，不等号方向不变，
∴a×a＞a×b，b×b＞b×c，a×b＞b×c，
∴a2＞ab＞bc，
∴（1）正确；
a a+2 a(b+2)−b(a+2) ab+2a−ab−2b 2(a−b)
（2）对 − = = = ，
b b+2 b(b+2) b(b+2) b(b+2)
2(a−b) a a+2
∴当a≥b时， ≥0，即 ≥ ，
b(b+2) b b+2
∴（2）错误；
（3）∵a、b、c、d都是负数，且a＞b，c＞d，
∴﹣a＜﹣b，﹣c＜﹣d，
根据正数不等式性质，
∴（﹣a）（﹣c）＜（﹣b）（﹣d），
根据负负得正，
∴ac＜bd，
∴（3）正确；
（4）已知a＞b，c＞d，则﹣c＜﹣d，
当a＝3，b＝2，c＝1，d＝0时，a﹣c＝3﹣1＝2，b﹣d＝2﹣0＝2，
∴此时a﹣c＝b﹣d，
∴（4）错误；
综上，（1）（3）正确，正确的结论个数是2个，
故选：B．【题型3 根据不等式的性质推断结论】
1 1
【例1】已知实数a，b满足a− b+1=0，0＜a+ b+1＜1，则下列判断错误的是（ ）
2 2
1
A．−1＜a＜− B．0＜b＜1
2
C．﹣2＜2a+4b＜3 D．﹣6＜2a﹣4b＜0
【分析】本题可先由已知等式用a表示b，再代入不等式求出a的取值范围，进而求出b的取值范围，
最后据此判断各选项．
1
【解答】解：a− b+1＝0，可得b＝2a+2，
2
1 1
将b＝2a+2代入0＜a+ b+1＜1，得到0＜a+ （2a+2）+1＜1，
2 2
1
化简不等式：﹣1＜a＜− ．
2
∴选项A正确；
1
∵将b＝2a+2，且﹣1＜a＜− ，
2
1
那么2×（﹣1）+2＜b＜2×（− ）+2，
2
即0＜b＜1，
∴选项B正确；
判断2a+4b，
将b＝2a+2代入2a+4b得：
2a+4（2a+2）＝2a+8a+8＝10a+8，
1
∵﹣1＜a＜− ，
2
1
∴10×（﹣1）+8＜10a+8＜10×（− ）+8，
2
即﹣2＜10a+8＜3，也就是﹣2＜2a+4b＜3，
∴选项C正确；
判断2a﹣4b的取值范围，
把b＝2a+2代入2a﹣4b得：
2a﹣4（2a+2 ）＝2a﹣8a﹣8＝﹣6a﹣8，1
由于﹣1＜a＜− ，则
2
1
﹣6×（− ）﹣8＜﹣6a﹣8＜﹣6×（﹣1）﹣8，
2
即﹣5＜﹣6a﹣8＜﹣2，
∴选项D错误．
故选：D．
【变式1】已知实数a，b满足：a+b＝2，且﹣1＜a﹣b＜1，则下列结论不正确的是（ ）
1 3 1 3
A． ＜a＜ B． ＜b＜
2 2 2 2
1 3
C． ＜2a−b＜ D．5＜4a+2b＜7
2 2
【分析】根据不等式的性质对各选项逐一判断即可．
【解答】解：∵a+b＝2且﹣1＜a﹣b＜1，
∴a＝2﹣b，
∴﹣1＜2﹣b﹣b＜1，
1 3
∴ ＜b＜ ，故选项B正确；
2 2
∵a＝2﹣b，
1 3
∴ ＜a＜ ，故选项A正确；
2 2
∵2a﹣b＝2（2﹣b）﹣b＝4﹣3b，
1 5
∴− ＜2a−b＜ ，故选项C错误；
2 2
∵4a+2b＝4（2﹣b）+2b＝8﹣2b，
∴5＜4a+2b＜7，故选项D正确．
故选：C．
【变式2】已知三个实数a，b，c，满足a+b+c＞0，a+b＝c，c+a＝b，则（ ）
A．a＞0，b＞0，c＞0 B．b＞0，a＝0，c＞0
C．b＜0，a＝0，c＜0 D．a＜0，b＞0，c＜0
{a+b=c)
【分析】根据已知，解方程组 ，可得a＝0，b＝c，再根据a+b+c＞0，即可得出b＞0，c＞
c+a=b
0．{a+b=c①)
【解答】解：由题意，得 ，
c+a=b②
把②代入①，得a+c+a＝c，
解得：a＝0，
把a＝0代入①，得b＝c．
∵a+b+c＞0，
∴b+c＞0，
∴2b＞0，
∴b＞0，c＞0．
故选：B．
【变式3】已知实数a，b，c满足：a+b+c＝0，c＞0，3a+2b+c＞0．则下列结论正确的是（ ）
b
A．a+b＞0 B．2a+b＜0 C．0＜a＜c D．−2＜ ＜−1
a
【分析】根据等式的性质可得3a+2b+c＝（a+b+c）+2a+b＝2a+b＞0，由a+b+c＝0可得b＝﹣a﹣c，再
代入2a+b＞0解答即可；由b＝﹣a﹣c，c＞0，由不等式的性质可得b＜﹣a，再根据2a+b＞0可得﹣2a
＜b，所以﹣2a＜b＜﹣a，再由a＞0，结合不等式的性质解答即可．
【解答】解：∵a+b+c＝0，3a+2b+c＞0，
∴3a+2b+c＝（a+b+c）+2a+b＝2a+b＞0，故B选项错误；
又∵b＝﹣a﹣c，
∴2a﹣a﹣c＞0，
即a﹣c＞0，
∴a＞c，故C选项错误；
∵b＝﹣a﹣c，c＞0，
∴b＜﹣a，即a+b＜0，故A选项错误；
又∵2a+b＞0，
∴﹣2a＜b，
∴﹣2a＜b＜﹣a，
又∵a＞c＞0，
b
∴﹣2＜ ＜−1，故D选项正确；
a
故选：D．【知识点3 一元一次不等式（组）的概念】
1．一元一次不等式的概念：
只含有 1 个未知数，且未知数的次数是 1 的整式不等式，叫做一元一次不等式。整个不等式中分母
不含有 字母 。
2．一元一次不等式组的概念：
把含有 相同 未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组。
3．一元一次不等式组的解集：
几个一元一次不等式的解集的 公共部分 ，叫做由他们组成的一元一次不等式组的解集。
4．一元一次不等式组的解集的求法：
先分别求出不等式组中的每一个不等式，然后找出他们解集的 公共部分 。
5．不等式组的解的情况与图示（a<b）：
①同大取大： ，图示： ，解集为 x> b 。
②同小取小： ，图示： ，解集为 x< a 。
③大小小大中间找： ，图示： ，解集为 a<x< b 。
④大大小小无解答： ，图示： ，解集为 无解 。
【题型4 一元一次不等式（组）的概念】
【例1】下列式子中
1
①5＞4；②3x≥2 +1；③x+y＞1；④x2+3＞2x；⑤ ＞4．
x
π
是一元一次不等式的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】根据一元一次不等式的定义求解即可．
【解答】解：①5＞4没有未知数，不是一元一次不等式，不符合题意；
②3x≥2 +1是一元一次不等式，符合题意；
③x+y＞π1含有两个未知数，不是一元一次不等式，不符合题意；
④x2+3＞2x未知数的次数是2，不是一元一次不等式，不符合题意；1
⑤ ＞4含有分式，不是一元一次不等式，不符合题意，
x
故是一元一次不等式的有1个，
故选：D．
【例2】若（k﹣1）x|k|+3≥0是关于x的一元一次不等式，则k的值为（ ）
A．±1 B．1 C．﹣1 D．2
【分析】根据一元一次不等式的定义可得|k|＝1且k﹣1≠0，分别进行求解即可．
【解答】解：∵（k﹣1）x|k|+3≥0是关于x的一元一次不等式，
∴根据一元一次不等式的定义得，|k|＝1且k﹣1≠0，
解得k＝﹣1，
所以k的值为﹣1，
故选：C．
【变式1】下列各式中，是一元一次不等式的有（ ）
1 y
①x＜5；②x（x﹣5）＜5；③ ＜5；④2x+y＜5+y；⑤a﹣2＜5，⑥x≤ ．
x 3
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据一元一次不等式的定义判断选项即可．一元一次不等式的定义：只含有一个未知数，且未
知数的次数是1，未知数的系数不为0，不等号左右两边为整式的不等式，叫做一元一次不等式．
【解答】解：①x＜5满足“未知数的次数是1”的条件，所以是一元一次不等式，故选项符合题意；
②x（x﹣5）＜5不是一元一次不等式，故B选项不符合题意；
1
③ ＜5不满足“不等号左右两边为整式”的条件，所以不是一元一次不等式，故 C选项不符合题
x
意；
④2x+y＜5+y化简后2x＜5满足“只含有一个未知数”的条件，所以是一元一次不等式，故选项符合题
意．
⑤a﹣2＜5满足“未知数的次数是1”的条件，所以是一元一次不等式，故选项符合题意；
y
⑥x≤ 不满足“只含有一个未知数”的条件，所以不是一元一次不等式，故选项不符合题意．
3
故选：B．
【变式 2】下列不等式组：①{x＞−2)，②{ x＞0 )，③{x2+1＜x)，④{x+3＞0)，⑤
x＜3 x+2＞4 x2+2＞4 x＜−7{x+1＞0)
．
y−1＜0
其中一元一次不等式组的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据一元一次不等式组的定义，含有两个或两个以上的不等式，不等式中的未知数相同，并且
未知数的最高次数是一次，对各选项判断后再计算个数即可．
【解答】解：根据一元一次不等式组的定义，①②④都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是
1，所以都是一元一次不等式组；
③含有一个未知数，但未知数的最高次数是2，⑤含有两个未知数，所以②⑤都不是一元一次不等式
组．
故有①②④三个一元一次不等式组．
故选：B．
【变式3】已知（m﹣2）x|m|﹣1+3＞2是关于x的一元一次不等式，则m的值为 ．
【分析】利用一元一次不等式的定义判断即可．
【解答】解：∵（m﹣2）x|m|﹣1+3＞2，
{|m|−1=1)
∴ ，
m−2≠0
解得m＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【知识点4 解一元一次不等式（组）】
解一元一次不等式具体步骤：
①去分母：在不等式两边同时乘上分母的 最小公倍数 。（根据等式的性质 2 ）
②去括号：利用去括号的法则去括号。
③移项：把含有未知数的移到等号的 左边 ，常数移到等号的 右边 。（根据等式的性质 1 ）
④并：利用合并同类项法则进行合并。
⑤系数化为1：不等式两边除以 系数 或乘上 系数的倒数 。当系数为负数时，不等号方向一定要 改变 。
（根据不等式的性质 2 或 3 ）
【题型5 解一元一次不等式（组）】
【例1】按题目要求解不等式或不等式组：
2x−1 9x+2
（1）解不等式： − ≤1，并把解集表示在数轴上．
3 6{2x+5≤3(x+2)①
)
（2）解不等式组： 1+3x ．
2x− ＜1②
2
【分析】（1）根据解一元一次不等式的方法可以求出不等式的解集，然后在数轴上表示出不等式的解
集即可；
（2）先求出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集．
2x−1 9x+2
【解答】解：（1） − ≤1，
3 6
去分母，得：2（2x﹣1）﹣（9x+2）≤6，
去括号，得：4x﹣2﹣9x﹣2≤6，
移项及合并同类项，得：﹣5x≤10，
系数化为1，得：x≥﹣2，
其解集在数轴上表示如下：
；
{2x+5≤3(x+2)①
)
（2） 1+3x ，解不等式①，得：x≥﹣1，
2x− ＜1②
2
解不等式②，得：x＜3，
∴该不等式组的解集为﹣1≤x＜3．
5x+4 x−2
【变式1】（1）解不等式：1− ＞ ；
6 2
{5x−1＜3(x+1)
)
（2）利用数轴，确定不等式组 2x−1 5x+1 的解集．
− ≤1
3 2
【分析】（1）按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答；
（2）按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答．
5x+4 x−2
【解答】解：（1）1− ＞ ，
6 26﹣（5x+4）＞3（x﹣2），
6﹣5x﹣4＞3x﹣6，
﹣5x﹣3x＞﹣6﹣6+4，
﹣8x＞﹣8，
x＜1；
{5x−1＜3(x+1)①
)
（2）5x 2x−1 5x+1 ，
− ≤1②
3 2
解不等式①得：x＜2，
解不等式②得：x≥﹣1，
∴原不等式组的解集为：﹣1≤x＜2，
∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
【变式2】解不等式（组），并把解集在数轴上表示出来．
2x−1 2x+1
（1） ＜1− ；
3 2
{5x+2≥3(x−1)
)
（2）解不等式组 2x+5 ．
1− ＞x−2
3
【分析】（1）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可；
（2）先求出每一个不等式的解集，再去两个解集的公共部分即可作答．
2x−1 2x+1
【解答】解：（1） ＜1− ，
3 2
2（2x﹣1）＜6﹣3（2x+1），
4x﹣2＜6﹣6x﹣3，
4x+6x＜2+6﹣3，
10x＜5，
1
x＜ ，
2
数轴上表示如图1：{5x+2≥3(x−1) ①
)
（2） 2x+5 ，
1− ＞x−2 ②
3
5
解不等式①，得：x≥− ，
2
4
解不等式②，得：x＜ ，
5
5 4
即不等式组的解集为：− ≤x＜ ，
2 5
数轴上表示如下：
．
x+3 2x−5
【变式3】（1）解不等式： ＜ −1，并求出最小整数解．
5 3
{ 3(x−5)＜x−7① )
（2）解不等式组： 2x−1 5x+1 ，并在数轴上表示出它的解集．
− ≤1②
3 2
【分析】（1）根据解一元一次不等式的步骤求出不等式的解集，并写出最小整数解即可．
（2）根据解一元一次不等式组的步骤，求出不等式组的解集，并按要求将解集在数轴上表示出来即
可．
x+3 2x−5
【解答】解：（1） ＜ −1，
5 3
3x+9＜10x﹣25﹣15，
3x﹣10x＜﹣25﹣15﹣9，
﹣7x＜﹣49，
x＞7，此不等式的最小整数解为8．
（2）解不等式①得，x＜4，
解不等式②得，x≥﹣1，
所以不等式组的解集为：﹣1≤x＜4．
数轴表示如下：
【题型6 由不等式（组）的解集求参】
2
【例1】已知ax﹣b＞0的解集为x＞− ，则不等式bx+a＞0的解集为（ ）
5
5 5 5 5
A．x＞ B．x＜ C．x＞− D．x＜−
2 2 2 2
b
【分析】根据不等式的基本性质求出 =−2，b＞0，然后求出x的取值范围．
a
{ a＞0 )
【解答】解：由题意可得： b 2 ，
=−
a 5
a 5
∴b＜0， =− ，
b 2
a 5
解bx+a＞0得，x＜− ，即x＜ ，
b 2
故选：B．
{ x−a＞2 )
【例2】若关于x的不等式组 的解集为﹣1＜x＜1，则（a+b）2025的值是（ ）
b−2x＞0
1 1
A．1 B． C．﹣1 D．−
2 2
【分析】求代数式的值，先解不等式组，再根据不等式组的解集得出a＝﹣3，b＝2，代入计算即可得
出答案．
{ x−a＞2①)
【解答】解： ，
b−2x＞0②
解不等式①得：x＞a+2，
b
解不等式②得：x＜ ，
2{ x−a＞2 )
∵关于x的不等式组 的解集为﹣1＜x＜1，
b−2x＞0
b
∴a+2＝﹣1， =1，
2
∴a＝﹣3，b＝2，
∴（a+b）2025＝（﹣3+2）2025＝﹣1，
故选：C．
{ x−2＞0 )
【例3】若不等式组 的解集为x＞2，则m的取值范围值为（ ）
−3x+m＜1
A．m≥7 B．m＞7 C．m≤7 D．m＜7
m−1
【分析】分别求出不等式①②的解集，根据不等式组的解集为x＞2得到 ≤2，求出m的范围即
3
可．
{ x−2＞0① )
【解答】解： ，
−3x+m＜1②
解不等式①得：x＞2，
m−1
解不等式②得：x＞ ，
3
m−1
∴ ≤2，
3
∴m的取值范围值为m≤7，
故选：C．
1
【变式1】若关于x的不等式ax﹣b＞0的解集为x＜ ，则关于x的不等式（a+b）x＞b﹣a的解集是（
3
）
1 1 1 1
A．x＜− B．x＜ C．x＞− D．x＞
2 2 2 2
【分析】先求出a与b的数量关系及正负，再代入即可求得．
1
【解答】解：∵关于x的不等式ax﹣b＞0的解集为x＜ ，
3
b
∴a＜0，且x＜ ，
a
b 1
∴ = ，
a 3∴a＝3b，且b＜0，
∴（a+b）x＞b﹣a，
即4bx＞﹣2b，
1
∴x＜− ．
2
故选：A．
{x+a＞b)
【变式2】已知关于x的不等式组 的解集是﹣2＜x＜4，则a，b的值为（ ）
x−b＜a
A．a＝1，b＝3 B．a＝3，b＝1 C．a＝3，b＝﹣1 D．a＝﹣1，b＝3
【分析】由原不等式组得出﹣a+b＜x＜a+b，结合不等式组的解集为﹣2＜x＜4得出关于a、b的方程
组，解之即可．
【解答】解：由x+a＞b，得：x＞﹣a+b，
由x﹣b＜a，得：x＜a+b，
∵不等式组的解集是﹣2＜x＜4，
∴﹣a+b＝﹣2，且a+b＝4，
解得a＝3，b＝1，
故选：B．
{x−m≤0)
【变式3】若关于x的不等式组 的解集为x≤m，则m的取值范围是（ ）
7−2x≥1
A．m＜3 B．m＞3 C．m≤3 D．m≥3
【分析】分别算出每个不等式，再取它们的公共解集，与x≤m作比较，即可作答．
{x−m≤0)
【解答】解：∵关于x的不等式组 ，
7−2x≥1
∴x﹣m≤0，得x≤m，
7﹣2x≥1，得3≥x，
∵解集为x≤m，
根据小小取小，
∴m≤3，
故选：C．
{x−m＞0)
【变式4】若不等式组 的解集中每一个x值均不在2≤x≤5的范围内，则m的取值范围是（
x−m＜1
）A．m＜1或m＞5 B．m≤1或m≥5 C．m＞1或m＜5 D．m≤1
【分析】解不等式组求出x的范围，根据任何一个x的值均不在2≤x≤5范围内列出不等式，解不等式
得到答案．
【解答】解：由x﹣m＞0，得：x＞m，
由x﹣m＜1，得：x＜m+1，
∵解集中每一个x值均不在2≤x≤5的范围内，
则m≥5或m+1≤2，
解得m≥5或m≤1，
故选：B．
【题型7 由不等式（组）有解和无解情况求参】
1
{− (x−a)＞0)
2
【例1】若关于x的不等式组 无解，则所有满足条件的非负整数a的值之和是（ ）
2x+1
x−1≥
3
A．5 B．7 C．9 D．10
【分析】先求出不等式的解，得出a的范围，再求出整数解，最后求出答案即可．
1
{− (x−a)＞0①)
2
【解答】解： ，
2x+1
x−1≥ ②
3
∵解不等式①得：x＜a，
解不等式②得：x≥4，
又∵不等式组无解，
∴a≤4，
∴a的取值范围是﹣1＜a≤4，
∴整数和为0+1+2+3+4＝10，
故选：D．
{ x−a≥0 )
【例2】已知关于x的不等式组 有解，则a的取值范围是（ ）
7−3(x−1)＞4
A．a＞﹣2 B．a≥﹣2 C．a＜2 D．a≤2
【分析】先分别求出两个不等式的解集，再根据不等式组有解，得出关于 a的不等式，据此可解决问
题．{ x−a≥0① )
【解答】解： ，
7−3(x−1)＞4②
解①得x≥a，
解②得x＜2，
因为不等式组有解，
所以a＜2，
故选：C．
{x−2(x−1)≥3
)
【变式1】若关于x的方程3﹣2x＝3（k﹣2）的解为自然数，且关于x的不等式组 2k+x 无
≤x
3
解，则符合条件的整数k的值的和为（ ）
A．5 B．2 C．4 D．6
9−3k
【分析】先求出3﹣2x＝3（k﹣2）的解为x= ，从而推出k≤3，整理不等式组可得整理得：
2
{x≤−1) 9−3k
，根据不等式组无解得到k＞﹣1，则﹣1＜k≤3，再由整数k和x= 是自然数进行求解
x≥k 2
即可．
【解答】解：由条件可知2x＝9﹣3k，
9−3k
∴x= ，
2
9−3k
∴ ≥0，
2
9−3k
∴k≤3，且 为自然数，
2
{x−2(x−1)≥3
)
{x≤−1)
把 2k+x 整理得： ，
≤x x≥k
3
由不等式组无解，得到k＞﹣1，
∴﹣1＜k≤3，即整数k＝0，1，2，3，
9−3k
∵x= 是自然数，
2
∴k＝1，3，综上，k＝1，3，
则符合条件的整数k的值的和为4．
故选：C．
{x−k≤4k+6，
)
【变式2】若关于x的不等式组 x−1 有解，且关于x的方程kx＝2（x﹣2）﹣（3x+2）的解是
≥2k
2
非负整数解，则符合条件的所有整数k的和为（ ）
A．﹣5 B．﹣9 C．﹣12 D．﹣16
【分析】根据不等式的性质，解一元一次不等式组，根据不等式组的取值方法求出k的取值范围，运用
解一元一次方程的方法将关于x的方程kx＝2（x﹣2）﹣（3x+2）的解求出，根据解的非负整数可求出k
的取值范围，由此即可求解．
{x−k≤4k+6①
)
【解答】解： x−1 ，
≥2k②
2
由①得：x≤5k+6，
由②得：x≥4k+1，
{x−k≤4k+6
)
∵关于x的不等式组 x−1 有解，
≥2k
2
∴4k+1≤x≤5k+6，
∴4k+1≤5k+6，
解得k≥﹣5，
解关于x的方程kx＝2（x﹣2）﹣（3x+2），
去括号得，kx＝2x﹣4﹣3x﹣2，
移项得，kx﹣2x+3x＝﹣6，
合并同类项得，（k+1）x＝﹣6，
−6
系数化为1得，x= 且k+1≠0，
k+1
∵关于x的方程kx＝2（x﹣2）﹣（3x+2）有非负整数解，
−6
∴ ≥0，
k+1
∴k+1＜0，
解得k＜﹣1，∵k为整数，
∴k的值是﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，
−6
∵ 为非负整数，
k+1
∴k的值为﹣4，﹣3，﹣2，
∴所有整数k的和为﹣4﹣3﹣2＝﹣9，
故选：B．
{x−a＞2x−3
)
【变式3】关于x的不等式组 x−1 x 有解，且其解都是不等式3x≤15的解，则a的取值范围为
1− ≤
3 2
（ ）
7 7 7 7
A．a＜ B．﹣1≤a＜ C．﹣2＜a≤ D．﹣2≤a＜
5 5 5 5
【分析】分别解不等式组和不等式，根据题意列关于a的不等式组并求解即可．
8
【解答】解：解不等式组，得 ≤x＜3﹣a，
5
解不等式3x≤15，得x≤5，
{ 3−a＞ 8 )
根据题意，得 5 ，
3−a≤5
7
解得﹣2≤a＜ ．
5
故选：D．
【题型8 由不等式（组）的整数解求参】
【例1】已知关于x的不等式3x﹣m+1＞0的最小整数解为3，则实数m的取值范围是（ ）
A．7＜m＜10 B．7≤m＜10 C．7＜m≤10 D．7≤m≤10
【分析】先解出不等式，然后根据最小整数解为 3得出关于m的不等式组，解之即可求得m的取值范
围．
m−1
【解答】解：解不等式3x﹣m+1＞0得x＞ ，
3
m−1
由条件可知2≤ ＜3，
3
解得：7≤m＜10，
故选：B．【例2】若整数a使得关于x的方程2（x﹣1）+a＝1的解为非负数，且使得关于y的一元一次不等式组
5 y+6
{ ＞y)
2
至少有3个整数解，则所有符合条件的整数a的和为（ ）
y−a
≤0
6
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】分别表示出一元一次方程的解以及不等式组的解集，根据题意确定出符合条件整数 a的和即
可．
3−a
【解答】解：由2（x﹣1）+a＝1可得，x= ，
2
∵方程2（x﹣1）+a＝1的解为非负数，
3−a
∴ ≥0，
2
解得a≤3，
由不等式组可得，﹣2＜y≤a，
∵一元一次不等式组至少有3个整数解．
∴a≥1，
由上可得，1≤a≤3，
∴a可以取得整数为1，2，3，
∴所有符合条件的整数a的和为1+2+3＝6．
故选：D．
【变式1】若关于x的不等式5x+m≥7x的正整数解是1、2、3、4．则m的取值范围为（ ）
A．m＜10 B．m≥8 C．8≤m≤10 D．8≤m＜10
m m
【分析】解5x+m≥7x得x≤ ，再由题意可得4≤ ＜5，解这个不等式即可得出答案．
2 2
m
【解答】解：解5x+m≥7x得x≤ ，
2
∵该不等式的正整数解为1、2、3、4，
m
∴4≤ ＜5，
2
解得8≤m＜10．故选：D．
{3x−a＞0
)
【变式2】不等式组 x 的所有整数解的和为7，则整数a的值有（ ）
−1≤5−x
2
A．3个 B．4个 C．6个 D．8个
【分析】根据题意，先解出不等式组，再根据其整数解的和为7进行解答即可，具体见详解．
{3x−a＞0①
)
【解答】解： x ，
−1≤5−x②
2
a
解不等式①，得x＞ ，
3
解不等式②，得x≤4，
∵所有整数解的和为7，
∴整数解为4，3或4，3，2，1，0，﹣1，﹣2，
a a
∴2≤ ＜3或−3≤ ＜−2，
3 3
∴6≤a＜9或﹣9≤a＜﹣6，
则整数a的值为6，7，8，﹣9，﹣8，﹣7，共6个．
故选：C．
x−t
{ ＜0 )
4
【变式3】关于x的不等式组 只有两个整数解，且21t＝2a+12，要使❑√|a|−3的值是整
x−5 3x
＜ −2
2 4
数，则符合条件的a个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】先解不等式组，得出0＜t≤1，再求出a的取值范围，再由式子❑√|a|−3的值是整数，可求出
符合条件的a个数．
x−t
【解答】解：解不等式 ＜0得x＜t，
4
x−5 3x
解不等式 ＜ −2的x＞﹣2，
2 4
∵不等式组有且只有2个整数解，
∴0＜t≤1，∴0＜21t≤21，
∵21t＝2a+12，
∴0＜2a+12≤21，
∴﹣6＜a≤4.5，
∴整数a为﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，
∴要使❑√|a|−3的值是整数的a的值为﹣3，3，﹣4，4，共4个，
故选：B．
【题型9 不等式（组）与方程组综合求参】
{x+3 y=4−a)
【例1】已知关于x，y的方程组 ，其中﹣3≤a≤1，给出下列结论：
x−y=3a
{ x=5 )
① 是方程组的解；
y=−1
②当a＝﹣2时，x，y的值互为相反数；
③当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝4﹣a的解；
④若x≤1，则1≤y≤4．
其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．②③④ D．①③④
{x=2a+1)
【分析】解方程组得 ，①求得a＝2，不符合﹣3≤a≤1；②把a＝﹣2代入求得x＝﹣3，y
y=1−a
＝3，即可判断；③把a＝1代入求得x＝3，y＝0，即可判断；③当x≤1时，求得a≤0，则1≤1﹣
a≤4，即1≤y≤4即可判断．
{x=2a+1)
【解答】解：解方程组得 ，
y=1−a
{ x=5 ) {2a+1=5)
①当 时，则 ，解得a＝2，不合题意，故错误；
y=−1 1−a=−1
②当a＝﹣2时，x＝﹣3，y＝3，x，y的值互为相反数，故正确；
{x=3)
③当a＝1时，方程组的解为 满足方程x+y＝3，故正确；
y=0
④当x≤1时，2a+1≤1，a≤0，
∴1≤1﹣a≤4，即1≤y≤4，故正确；
故选：C．
{ 2x+ y=4m )
【例2】已知关于x、y的方程组 （实数m是常数）．
x+2y=2m+1（1）若x+y＝1，求实数m的值；
（2）若﹣1≤x﹣y≤5，求m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，化简：|m+2|+|m﹣5|．
1
【分析】（1）先将方程组中的两个方程相加，得x+ y=2m+ ，再将x+y＝1代入，得到关于m的方
3
程，解方程即可求出实数m的值；
（2）先将方程组中的两个方程相减，得 x﹣y＝2m﹣1，再解不等式组﹣1≤2m﹣1≤5，即可求出m的
取值范围；
（3）先根据绝对值的定义去掉绝对值的符号，再合并同类项即可．
{ 2x+ y=4m① )
【解答】解：（1） ，
x+2y=2m+1②
①+②得，3x+3y＝6m+1，
1
∴x+ y=2m+ ，
3
1
由条件可知2m+ =1，
3
1
解得m= ；
3
{ 2x+ y=4m① )
（2） ，
x+2y=2m+1②
①﹣②得，x﹣y＝2m﹣1，
由条件可知﹣1≤2m﹣1≤5，
解得0≤m≤3；
（3）∵0≤m≤3，
∴m+2＞0，m﹣5＜0，
∴|m+2|+|m﹣5|＝m+2+5﹣m＝7．
{3x+2y=m+1)
【变式1】已知关于x，y的二元一次方程组 ．
2x+ y=m−1
（1）若5x+3y＝4，求m的值；
（2）若x，y均为非负数，求m的取值范围；
（3）已知w＝x﹣y+m，在（2）的条件下，求w的最大值和最小值．
【分析】（1）将两个方程相加得到m的方程，解方程即可；
（2）解含m的二元一次方程组，然后根据x，y均为非负数得到关于m的一元一次不等式组，解不等式组即可；
（3）结合（2）中所求，利用含m的代数式表示出w，再根据不等式的性质即可求得答案．
{3x+2y=m+1①)
【解答】解：已知关于x，y的二元一次方程组 ，
2x+ y=m−1②
（1）①+②得：5x+3y＝2m，
∵5x+3y＝4，
∴2m＝4，
解得：m＝2；
（2）②×2﹣①得：x＝m﹣3，
将x＝m﹣3代入②得：2m﹣6+y＝m﹣1，
解得：y＝5﹣m，
∵x，y均为非负数，
{m−3≥0)
∴ ，
5−m≥0
解得：3≤m≤5；
（3）∵x＝m﹣3，y＝5﹣m，
∴w＝x﹣y+m＝m﹣3﹣5+m+m＝3m﹣8，
∵3≤m≤5；
∴1≤3m﹣8≤7，
即w的最大值为7，最小值为1．
{ x+ y=5−m )
【变式2】已知关于x、y的方程组 ，若x的值为非负数，y的值为正数．
x−y=−1+3m
（1）求m的取值范围；
（2）已知n﹣m＝2，且n＜2，求m+n的取值范围．
{ 2+m≥0 )
【分析】（1）先求出方程组的解，根据x的值为非负数和y的值为正数得出 ，求出m的
3−2m＞0
范围即可；
（2）根据n﹣m＝2，可得﹣2≤m＜0，可求0≤n＜2，即可求解．
{ x+ y=5−m ) { x=2+m )
【解答】解：（1）解方程组 得： ，
x−y=−1+3m y=3−2m
∵x的值为非负数，y的值为正数，
{ 2+m≥0 )
∴ ，
3−2m＞03
解得：−2≤m＜ ；
2
（2）∵n﹣m＝2，
∴n＝m+2，
∵n＜2，
∴m+2＜2，
∴m＜0，
∵﹣2≤m＜0，
∴0≤m+2＜2，
∴0≤n＜2，
∴﹣2≤m+n＜2．
{3x+2y=m+1)
【变式3】已知关于x、y的方程满足方程组 ．
2x+ y=m−1
（1）若5x+3y＝﹣6，求m的值；
（2）若x、y均为非负数，求m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，求S＝2x﹣3y+m的最大值和最小值．
【分析】（1）利用整体的思想可得：5x+3y＝2m，从而可得2m＝﹣6，然后进行计算即可解答；
{ x=m−3 ) {m−3≥0 )
（2）先解方程组可得： ，然后根据已知易得：x≥0，y≥0，从而可得 ，最后
y=−m+5 −m+5≥0
进行计算即可解答；
（3）利用（2）的结论可得：S＝6m﹣21，然后再根据不等式的性质进行计算，即可解答．
{3x+2y=m+1①)
【解答】解：（1） ，
2x+ y=m−1②
①+②得：5x+3y＝2m，
∵5x+3y＝﹣6，
∴2m＝﹣6，
解得：m＝﹣3；
{3x+2y=m+1)
（2） ，
2x+ y=m−1
{ x=m−3 )
解得： ，
y=−m+5
∵x、y均为非负数，
∴x≥0，y≥0，{m−3≥0 )
即 ，
−m+5≥0
解得：3≤m≤5；
{ x=m−3 )
（3）∵ ，
y=−m+5
∴S＝2x﹣3y+m
＝2（m﹣3）﹣3（﹣m+5）+m
＝2m﹣6+3m﹣15+m
＝6m﹣21，
∵3≤m≤5，
∴18≤6m≤30，
∴﹣3≤6m﹣21≤9，
即﹣3≤S≤9，
∴S＝2x﹣3y+m的最大值为9，最小值为﹣3．
【题型10 不等式（组）中的新定义问题】
【例1】定义：对于实数a，符号[a]表示不大于a的最大整数．例如：[5.7]＝5，[5]＝5，[﹣ ]＝﹣4．
（1）如果[a]＝﹣2，那么a的取值范围是 ； π
x+1
（2）如果[ ]=2，满足条件的所有正整数x为 ．
3
【分析】（1）根据定义：对于实数a，符号[a]表示不大于a的最大整数，即可解答；
（2）根据定义：对于实数a，符号[a]表示不大于a的最大整数，先求出x的取值范围，然后在其范围内
找出满足条件的所有正整数即可．
【解答】解：（1）∵[a]＝﹣2，
∴a的取值范围是：﹣2≤a＜﹣1，
故答案为：﹣2≤a＜﹣1；
x+1
（2）由题意得2≤ ＜3，
3
解得：5≤x＜8，
满足条件的所有正整数x为：5，6，7，
故答案为：5，6，7．
【例2】定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组{x−5＜0)
的“相伴方程”．例如：方程2x﹣7＝1的解为x＝4，不等式组 的解集为2＜x＜5，因为2
3x＞6
{x−5＜0)
＜4＜5，所以称方程2x﹣7＝1是不等式组 的相伴方程．
3x＞6
{x−3＜1)
（1）问方程2（x﹣1）+9＝1是不是不等式组 的相伴方程？请说明理由；
x+2≤0
{3x+2＞3+x)
（2）若关于x的方程2x﹣a＝1是不等式组 的相伴方程，求a的取值范围；
x−3≥2x−6
2x−4 {kx+2x＜k+2)
（3）若方程5x+10＝0和 =−2都是关于x的不等式组 （k≠﹣2）的相伴方程，
3 x+3≥k
求k的取值范围．
【分析】（1）先求解方程和不等式组，判断一元一次方程的解是不是一元一次不等式组的解即可；
（2）先求解方程和不等式组，再将含有 a的方程的解代入一元一次不等式组的解中，即可求出 a的取
值范围；
（3）分别求出两个方程的解，再根据k≠﹣2分为两种情况：①当k＜﹣2时，求出不等式组的解集，
再进行判断即可；②当k＞﹣2时，求出不等式组的解集，再进行判断即可．
{x−3＜1)
【解答】解：（1）方程2（x﹣1）+9＝1是不等式组 的相伴方程．
x+2≤0
理由如下：
{x−3＜1)
解不等式组 ，得：x≤﹣2，
x+2≤0
解方程2（x﹣1）+9＝1，得：x＝﹣3，
∵﹣3＜﹣2，
{x−3＜1)
∴方程2（x﹣1）+9＝1是不等式组 的相伴方程．
x+2≤0
{3x+2＞3+x) 1
（2）解不等式组 ，得： ＜x≤3，
x−3≥2x−6 2
1+a
解方程2x﹣a＝1，得：x= ，
2
{3x+2＞3+x)
∵关于x的方程2x﹣a＝1是不等式组 的相伴方程，
x−3≥2x−6
1 1+a
∴ ＜ ≤3，
2 2
解得：0＜a≤5，即a的取值范围是0＜a≤5．
（3）解方程5x+10＝0，得：x＝﹣2，
2x−4
解方程 =−2，得：x＝﹣1，
3
2x−4 {kx+2x＜k+2)
∵方程5x+10＝0和 =−2都是关于x的不等式组 （k≠﹣2）的相伴方程，
3 x+3≥k
∴分为两种情况：
{ x＞1 )
①当k＜﹣2时，不等式为： ，此时不等式组的解集为：x＞1，不符合题意，舍去；
x≥k−3
{ x＜1 )
②当k＞﹣2时，不等式为： ，此时不等式组的解集为：k﹣3≤x＜1，
x≥k−3
{ k＞−2 )
∴根据题意，得： ，
k−3≤−2
解得：﹣2＜k≤1，
即k的取值范围为﹣2＜k≤1．
1 1
【变式1】新定义：对非负数“四舍五入”到个位的值记为[x]，即当n为非负整数时，若n− ≤x＜n+
2 2
，则[x]＝n如：[0]＝[0.48]＝0，[0.64]＝[1.493]＝1，[2]＝2，[3.5]＝[4.12]＝4
试解决下列问题
（1）填空：①[ ]＝ ②若[x]＝3，则实数x的取值范围为 ；
π {2x+ y=1+3m) 5 7
（2）在关于x，y的方程组 中，若未知数x，y满足 ≤x+ y＜ ，求[m]的值．
x+2y=2 2 2
（3）当[2x﹣1]＝4时，若y＝4x﹣9，求y的最小值．
3
（4）求满足[x]= x的所有非负实数x的值，请直接写出答案 ．
2
【分析】（1）① 的十分位为1，应该舍去，所以精确到个位是3；②根据题意列不等式即可得到结
论； π
（2）解方程和不等式即可得到结论；
（3）根据题意列不等式即可得到结论；
3 1 1 1 1
（4） x为整数，设这个整数为k，易得这个整数应在应在k− 和k+ 之间，包括k− ，不包括k+
2 2 2 2 2
，求得整数k的值即可求得x的非负实数的值．
【解答】解：（1）①由题意可得：[ ]＝3；
故答案为：3， π②∵[x]＝3，
∴2.5≤x＜3.5
故答案为：2.5≤x＜3.5；
{2x+ y=1+3m①)
（2）
x+2y=2②
①+②得3x+3y＝3+3m，
∴x+y＝1+m，
5 7
∵ ≤x+ y＜ ，
2 2
5 7
∴ ≤1+m＜ ，
2 2
3 5
∴ ≤m＜ ，
2 2
∴[m]＝2；
（3）∵[2x﹣1]＝4，
∴3.5≤2x﹣1＜4.5，
∴4.5≤2x＜5.5，
∴0≤4x﹣9＜2，
∵y＝4x﹣9，
∴y的最小值是0；
3 3
（4）∵x≥0， x为整数，设 x＝k，k为整数，
2 2
2
则x= k，
3
2
∴0＜ k＞＝k，
3
1 2 1
∴k− ≤ k＜k+ ，k≥0，
2 3 2
3 3
∵− ＜k≤ ，
2 2
∴k＝﹣1，0，1，2
∴x＝0或 ，
3
2
故答案为：0或 ．
3
【变式2】定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该一元一
{x＞−1)
次不等式组的“关联方程”．例如：方程x﹣2＝1的解为x＝3，不等式组 的解集为﹣1＜x＜
x＜4
{x＞−1)
4，因为x＝3在﹣1＜x＜4的范围内，所以方程x﹣2＝1是不等式组 的“关联方程”．
x＜4
{2x+5＞0)
（1）方程2x+1＝﹣x （填“是”或“不是”）不等式组 的“关联方程”．
x−3＜−1
{ x−1＞0 )
（2）已知关于x的方程x+2m＝5是不等式组 的“关联方程”，求m的取值范围．
2x−7＜−1
{x+2(n−1)＞2n)
（3）已知关于x的方程x﹣2n＝1是关于x的不等式组 的“关联方程”，直接写出
x−n＜3
n的取值范围为 ．
【分析】（1）根据新定义，仿照示例，即可判断结果；
（2）根据题意，分别求出方程的解，不等式组的解集，得到结果；
（3）根据题意，分别求出方程的解，不等式组的解集，得到结果．
1
【解答】解：（1）∵方程2x+1＝﹣x的解是x=− ，
3
{x＞−1)
不等式组 的解集为﹣1＜x＜4，
x＜4
1
∴x=− 在﹣1＜x＜4的范围内，
3
{x＞−1)
∴方程2x+1＝﹣x是不等式组 的“关联方程”，
x＜4
故答案为：是；
（2）由x+2m＝5，解得 x＝5﹣2m，
{ x−1＞0 )
由 ，解得1＜x＜3，
2x−7＜−1
根据题意，得1＜5﹣2m＜3，
解得1＜m＜2；{x+2(n−1)＞2n)
（3）∵方程x﹣2n＝1是关于x的不等式组 的“关联方程”，
x−n＜3
{x+2(n−1)＞2n)
∴不等式组 有解，即2＜n+3，
x−n＜3
∵方程x﹣2n＝1的解是x＝2n+1，
{x+2(n−1)＞2n)
不等式组 的解集为2＜x＜n+3，
x−n＜3
∴根据题意，得2＜2n+1＜n+3，
1
∴ ＜n＜2．
2
1
故答案为： ＜n＜2．
2
【变式3】新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等
{x−1＞1)
式组的“相依方程”，例如：方程x﹣1＝3的解为x＝4，而不等式组 的解集为2＜x＜5，不
x−2＜3
{x−1＞1)
难发现x＝4在2＜x＜5的范围内，所以方程x﹣1＝3是不等式组 的“相依方程”．
x−2＜3
{2x−1＞x+1
)
（1）在方程①6（x+2）﹣（x+4）＝23；②9x﹣3＝0；③2x﹣3＝0中，不等式组
3(x−2)−x≤4
的“相依方程”是 ；（填序号）
3x+1
{ ＞x )
2
（2）若关于x的方程3x﹣k＝6是不等式组 的“相依方程”，求k的取值范围；
x−1 2x+1
≥ −1
2 3
（3）若关于x的方程 x−3m =−2是关于x的不等式组 { x+1＞m ) 的“相依方程”，且此时不等
2 x−m≤2m+1
式组有5个整数解，试求m的取值范围．
【分析】（1）先求出方程的解和不等式组的解集，再判断即可；
k+6
（2）先求出不等式组的解集，然后再解方程求出x= ，最后根据“相依方程”的定义列出关于k的
3
不等式组，进行计算即可；
4 5
（3）先求出不等式组的解集，不等式组有5个整数解，即可得出 ≤m＜ ，然后求出方程的解为x＝
3 33 3 5
3m﹣4，根据“相依方程”的定义得出m＞ ，即可得出 ＜m＜ ．
2 2 3
【解答】解：（1）①6（x+2）﹣（x+4）＝23，
解得：x＝3，
②9x﹣3＝0，
1
解得：x= ，
3
③2x﹣3＝0，
3
解得：x= ，
2
{2x−1＞x+1①)
，
3(x−2)−x≤4②
解不等式①得：x＞2，
解不等式②得：x≤5，
∴原不等式组的解集为：2＜x≤5，
{2x−1＞x+1
)
∴不等式组 的“相依方程”是：①，
3(x−2)−x≤4
故答案为：①；
3x+1
{ ＞x① )
2
（2） ，
x−1 2x+1
≥ −1②
2 3
解不等式①得：x＞﹣1，
解不等式②得：x≤1，
∴原不等式组的解集为：﹣1＜x≤1，
3x﹣k＝6，
k+6
解得：x= ，
3
3x+1
{ ＞x )
2
∵关于x的方程3x﹣k＝6是不等式组 的“相依方程”，
x−1 2x+1
≥ −1
2 3k+6
∴﹣1＜ ≤1，
3
解得：﹣9＜k≤﹣3；
x−3m
（3）关于x的方程 =−2，
2
解得：x＝3m﹣4，
{ x+1＞m① )
，
x−m≤2m+1②
解不等式①得：x＞m﹣1，
解不等式②得：x≤3m+1，
∴原不等式组的解集为：m﹣1＜x≤3m+1，
∵不等式组有5个整数解，
令整数的值为n，n+1，n+2，n+3，n+4，
则有：n﹣1≤m﹣1＜n，n+4≤3m+1＜n+5．
{
n≤m＜n+1
)
故 n+3 n+4 ，
≤m＜
3 3
n+4 n+3
∴n＜ 且 ＜n+1，
3 3
∴0＜n＜2，
∴n＝1，
{1＜m＜2
)
∴ 4 5 ，
≤m＜
3 3
4 5
∴ ≤m＜ ，
3 3
x−3m { x+1＞m )
∵关于x的方程 =−2是关于x的不等式组 的“相依方程”，
2 x−m≤2m+1
{3m−4＞m−1)
∴ ，
3m−4≤3m+1
3
解得：m＞ ．
2
3 5
∴m的取值范围是 ＜m＜ ．
2 3【知识点5 用一元一次不等式（组）解决实际问题】
列不等式（组）解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即：
（1）审：认真审题，分清已知量、未知量；
（2）设：设出适当的未知数；
（3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超
过”“超过”等关键词的含义；
（4）列：根据题中的不等关系，列出不等式（组）；
（5）解：解出所列的不等式（组）的解集；
（6）答：检验是否符合题意，写出答案.
【题型11 一元一次不等式（组）解最多至少问题】
【例1】某蔬菜经营户从蔬菜批发市场批发蔬菜进行零售，部分蔬菜批发价格与零售价格如表：
蔬菜品种 西红柿 青椒 西兰花 豆角
批发价（元/千克） 3.6 5.4 8 4.8
零售价（元/千克） 5.4 8.4 14 7.6
请解答下列问题：
（1）第一天，该经营户批发西红柿和西兰花两种蔬菜共300千克，用去了1520元钱．
求①该经营户批发西红柿和西兰花两种蔬菜各多少千克？
②这两种蔬菜当天全部售完一共能赚多少钱？
（2）第二天，该经营户用1520元钱仍然批发西红柿和西兰花，要想当天全部售完后所赚钱数不少于
1050元，则该经营户最多能批发西红柿多少千克？
【分析】（1）①设该经营户批发x千克西红柿，y千克西兰花，利用进货总价＝进货单价×购进数量，
结合“该经营户批发西红柿和西兰花两种蔬菜共300千克，用去了1520元钱”，可列出关于x，y的二
元一次方程组，解之即可得出结论；
②利用总利润＝每千克西红柿的销售利润×购进西红柿的数量+每千克西兰花的销售利润×购进西兰花的
数量，即可求出结论；
9
（2）设该经营户能批发西红柿m千克，则批发西兰花（190− m）千克，利用利用总利润＝每千克
20
西红柿的销售利润×购进西红柿的数量+每千克西兰花的销售利润×购进西兰花的数量，结合总利润不少
于1050元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
【解答】解：（1）①设该经营户批发x千克西红柿，y千克西兰花，{ x+ y=300 )
根据题意得： ，
3.6x+8 y=1520
{x=200)
解得： ．
y=100
答：该经营户批发200千克西红柿，100千克西兰花；
②根据题意得：（5.4﹣3.6）×200+（14﹣8）×100
＝1.8×200+6×100
＝360+600
＝960（元）．
答：这两种蔬菜当天全部售完一共能赚960元钱；
1520−3.6m 9
（2）设该经营户能批发西红柿m千克，则批发西兰花 =（190− m）千克，
8 20
9
根据题意得：（5.4﹣3.6）m+（14﹣8）（190− m）≥1050，
20
解得：m≤100，
∴m的最大值为100．
答：该经营户最多能批发西红柿100千克．
【变式1】暑假期间，小巴和小蜀同学参加社会实践活动，在某糕点店制作了一批甜点进行售卖，其中
“花生酥”和“纸杯蛋糕”的制作成本分别是每个 2.5元和4元，每个“纸杯蛋糕”的售价比“花生
酥”多1.5元，某天上午，他们一共售卖出30个“花生酥”和50个“纸杯蛋糕”，共盈利120元．
（1）求“花生酥”和“纸杯蛋糕”的售价单价；
（2）当天下午，小巴和小蜀又将制作的“花生酥”和“纸杯蛋糕”两种甜点共200个进行售卖、为了
促销，他们还用50元钱租借了一个棉花糖机，制作一个棉花糖需要0.5元钱的成本，每销售一个“纸杯
蛋糕”就赠送一个棉花糖．由于天气炎热销售过程中“纸杯蛋糕”有15%的损坏（无法售卖），且两种
甜点的售价都保持不变，当天下午除损坏的“纸杯蛋糕”外，其余的“花生酥”和“纸杯蛋糕”全部售
完．若要保证全天的总利润不低于300元，则“花生酥”全天的销量最少为多少个？
【分析】（1）设“花生酥”和“纸杯蛋糕”的售价单价分别为x元、y元，根据“每个“纸杯蛋糕”的
售价比“花生酥”多1.5元，某天上午，他们一共售卖出30个“花生酥”和50个“纸杯蛋糕”，共盈
利120元”列方程组求解即可；
（2）设“花生酥”下午的销量为m个，则“纸杯蛋糕”下午的销量为（200﹣m）×（1﹣15%）＝170
﹣0.85m个，再根据上午和下午的利润之和减去棉花糖的成本和无法售卖的“纸杯蛋糕”和得到全天的
总利润，据此列不等式求解即可．【解答】解：（1）设“花生酥”的单价为x元，“纸杯蛋糕”的售价单价为y元，
{ y−x=1.5 )
由题意得 ，
30(x−2.5)+50(y−4)=120
{ x=4 )
解得： ，
y=5.5
答：“花生酥”和“纸杯蛋糕”的售价单价分别为4元、5.5元；
（2）设“花生酥”下午的销量为 m个，则“纸杯蛋糕”下午的销量为（200﹣m）×（1﹣15%）＝
（170﹣0.85m）个，
由题意可得：（4﹣2.5）m+（5.5﹣4﹣0.5）×（170﹣0.85m）+120﹣50﹣4（200﹣m）×15%＝（50﹣
0.25m）≥300，
解得：m≥144，
∴m为20的倍数，
∴“花生酥”下午的销量最少为140个，
∴保证总利润不低于300元，则“花生酥”全天的销量最少为170个．
【变式2】茶为国饮，茶文化是中国传统文化的重要组成部分，这也带动了茶艺、茶具、茶服等相关文化
的延伸及产业的发展，在“春季茶叶节”期间，某茶具店老板购进了A、B两种不同的茶具．若购进A
种茶具1套和B种茶具2套，需要250元；若购进A种茶具3套和B种茶具4套，需要600元．
（1）A、B两种茶具每套进价分别为多少元？
（2）由于茶具畅销，茶具店老板决定再次购进A、B两种茶具共80套，茶具厂对这两种类型的茶具进
行了价格调整，A种茶具的进价比第一次购进时提高了8%，B种茶具的进价按第一次购进时进价的八
折．如果茶具店老板此次用于购进A、B两种茶具的总费用不超过6240元，则茶具店老板最多能购进A
种茶具多少套？
【分析】（1）设A种茶具每套的进价为x元，B种茶具每套进价为y元，由题意：若购进A种茶具1套
和B种茶具2套，需要250元；若购进A种茶具3套和B种茶具4套，需要600元．列出方程组，解方
程组即可；
（2）设茶具店老板最多能购进A种茶具m套，则购进B种茶具（80﹣m）套，由题意：A种茶具的进
价比第一次购进时提高了8%，B种茶具的进价按第一次购进时进价的八折．如果茶具店老板此次用于
购进A、B两种茶具的总费用不超过6240元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）设A种茶具每套的进价为x元，B种茶具每套进价为y元，
{ x+2y=250 )
由题意得： ，
3x+4 y=600{x=100)
解得： ，
y=75
答：A种茶具每套的进价为100元，B种茶具每套进价为75元；
（2）设茶具店老板最多能购进A种茶具m套，则购进B种茶具（80﹣m）套，
由题意得：100（1+8%）m+75×0.8（80﹣m）≤6240，
解得：m≤30，
答：茶具店老板最多能购进A种茶具30套．
【变式3】【问题背景】
污水治理，保护环境，某市治污公司决定购买A，B两种型号污水处理设备共12台，已知A，B两种型
号的设备，每台的价格，月处理污水量如表：
型号 A型 B型
价格（万元/台） a b
处理污水量（吨/月） 220 180
经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多3万元，购买1台A型设备比购买3台B型设备少3
万元．
【问题解决】
（1）求a，b的值；
（2）经预算：治污公司购买污水处理设备的资金不超过50万元，若两种设备都要购买，通过计算说明
该公司有哪几种购买方案；
（3）若要求每月处理的污水量不少于2260吨，该公司至少需要购买多少台A型设备？并求出此时该公
司所花费的钱数．
【分析】（1）根据等量关系列出方程组求解即可；
（2）设购买污水处理设备A型设备x台，B型设备（12﹣x）台，根据不等关系列出不等式，根据x和
（12﹣x）取正整数，进而可求解；
（3）根据不等关系列出不等式，根据x取正整数，进而可求解．
{ b+3=a )
【解答】解：（1）由题意得 ，
3b−a=3
{a=6)
解得 ；
b=3
（2）设购买污水处理设备A型设备x台，B型设备（12﹣x）台，
6x+3（12﹣x）≤50，14
解得x≤ ，
3
∵x和（12﹣x）均为正整数，
∴x＝1，2，3，4，
∴12﹣x＝11，10，9，8，
综上可知，该公司有4种购买方案：
购买A型设备1台，B型设备11台；
购买A型设备2台，B型设备10台；
购买A型设备3台，B型设备9台；
购买A型设备4台，B型设备8台；
（3）由题意得，220x+180（12﹣x）≥2260，
5
解得x≥ ，
2
∵x取正整数，
∴x的最小值为3，
购买资金为：3×6+（12﹣3）×3＝45（万元），
综上可知，该公司至少需要购买3台A型设备，此时该公司所花费的钱数为45万元．
【题型12 一元一次不等式（组）解方案选择问题】
【例1】为增进学生体质健康，某校开展了“阳光大课间”活动，各班可自主购买运动器材．七年级有两
个班级以相同的价格在体育用品商店购买了一些跳绳和篮球，请根据对话解决下列问题：
（1）求出跳绳和篮球的单价；
（2）由于篮球和跳绳需求量增大，该体育用品商店计划再购进篮球a个（a≥35）和跳绳b（b＞0）
根，已知每个篮球进价为30元，跳绳每根的进价为4元，且恰好花费1200元，求该体育用品商店有哪
几种购进方案？（3）若（2）中所购进的足球和跳绳全部售出，且单价与（1）中的相同，为了使销售获利最多，应选
择那种购进方案？
{8x+4 y=280
)
【分析】（1）依据题意，设跳绳的单价为x元、篮球的单价为y元，从而 ，计算求
10x+6 y=400
出x，y后，即可判断得解；
15a
（2）依据题意得，30a+4b＝1200，则b＝300− ，又a≥35，b＞0，从而35≤a＜40，结合b为整
2
数，故a为偶数，进而可以判断得解；
（3）依据题意，可得利润w＝（50﹣30）a+（10﹣4）b＝20a+6b，从而利润分别为：20×36+30×6＝
900（元）、20×38+15×6＝850（元），进而结合为了使销售获利最多，即可判断得解．
【解答】解：（1）由题意，设跳绳的单价为x元、篮球的单价为y元，
{8x+4 y=280
)
则 ．
10x+6 y=400
{x=10)
解之得， ．
y=50
答：跳绳的单价为10元、篮球的单价为50元．
（2）由题意得，30a+4b＝1200．
∴15a+2b＝600．
15a
∴b＝300− ．
2
又∵a≥35，b＞0，
∴35≤a＜40．
又∵b为整数，
∴a为偶数，
∴a＝36，38．
{a=36) {a=38)
∴ 或 ．
b=30 b=15
答：该体育用品商店有2种购进方案，分别是篮球36个、跳绳30根；篮球38个，跳绳15根．
（3）由题意，可得利润w＝（50﹣30）a+（10﹣4）b＝20a+6b．
∴利润分别为：20×36+30×6＝900（元）、20×38+15×6＝850（元）．
∴为了使销售获利最多，应选择购买篮球36个、跳绳30根．
【例2】互联网时代人们的购物方式有了更多的选择，某网店销售甲、乙两种书包，已知甲种书包每个售
价比乙种书包每个售价多12元，网购2个甲种书包和3个乙种书包共花费264元（免运费）．请解答下列问题：
（1）该网店甲、乙两种书包每个售价各是多少元？
（2）根据消费者需求，该网店决定用不超过4550元购进甲、乙两种书包共100个，且甲种书包的数量
超过52个，已知甲种书包每个进价为50元，乙种书包每个进价为40元，该网店有哪几种进货方案？
（3）在（2）的条件下，若该网店推出促销活动：一次性购买同一种书包超过 10个，赠送1个相同的
书包，该网店这次所购进书包全部售出，共赠送了5个书包，获利658元，直接写出该网店甲、乙两种
书包各赠送几个．
【分析】（1）设该网店甲种书包每个售价是x元，乙种书包每个售价是y元，根据“甲种书包每个售
价比乙种书包每个售价多12元，网购2个甲种书包和3个乙种书包共花费264元”，可列出关于x，y
的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进甲种书包m个，则购进乙种书包（100﹣m）个，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过
4550元且购进甲种书包的数量超过52个，开列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范
围，再结合m为正整数，即可得出各购买方案；
（3）设甲种书包赠送了a个，则乙种书包赠送了（5﹣a）个，分该网店按（2）中的三个方案进货，利
用利润＝销售单价×销售数量﹣进货总价，可列出关于a的一元一次方程，解之取其符合题意的值，即
可得出结论．
【解答】解：（1）设该网店甲种书包每个售价是x元，乙种书包每个售价是y元，
{ x−y=12 )
根据题意得： ，
2x+3 y=264
{x=60)
解得： ．
y=48
答：该网店甲种书包每个售价是60元，乙种书包每个售价是48元；
（2）设购进甲种书包m个，则购进乙种书包（100﹣m）个，
{50m+40(100−m)≤4550)
根据题意得： ，
m＞52
解得：52＜m≤55，
又∵m为正整数，
∴m为53，54，55，
∴该网店有3种进货方案，
方案1：购进甲种书包53个，乙种书包47个；
方案2：购进甲种书包54个，乙种书包46个；方案3：购进甲种书包55个，乙种书包45个；
（3）设甲种书包赠送了a个，则乙种书包赠送了（5﹣a）个．
当该网店按方案1进货时，60（53﹣a）+48[47﹣（5﹣a）]﹣50×53﹣40×47＝658，
2
解得：a= ，
3
又∵a，5﹣a均为非负整数，
2
∴a= 不符合题意，舍去；
3
当该网店按方案2进货时，60（54﹣a）+48[46﹣（5﹣a）]﹣50×54﹣40×46＝658，
5
解得：a= ，
6
又∵a，5﹣a均为非负整数，
5
∴a= 不符合题意，舍去；
6
当该网店按方案3进货时，60（55﹣a）+48[45﹣（5﹣a）]﹣50×55﹣40×45＝658，
解得：a＝1，
又∵a，5﹣a均为非负整数，
∴a＝1符合题意，
∴5﹣a＝5﹣1＝4．
答：该网店赠送甲种书包1个，乙种书包4个．
【变式1】近年来随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展．某快递企
业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下：
信息一
A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元）
1 3 260
3 2 360
信息二
A型机器人每台每天可分拣快递22万件：
B型机器人每台每天可分拣快递18万件．
（1）求A、B两种型号智能机器人的单价；
（2）现该企业准备购买A、B两种型号智能机器人共10台，需要每天分拣快递不少于200万件，则该
企业最少需要购买几台A种型号智能机器人？（3）要使在（2）的基础上购买机器人的总费用不超过750万元，则有哪几种购买方案？
【分析】（1）设A种型号智能机器人的单价为x万元，B种型号智能机器人的单价为y万元，根据信息
一中的数据列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设该企业需要购买A型智能机器人a台，则需要购买B型智能机器人（10﹣a）台，根据需要每天
分拣快递不少于200万件，列出一元一次不等式，解不等式即可；
（3）根据（2）以及购买机器人的总费用不超过750万元列出不等式组，求出a的取值范围即可．
【解答】解：（1）设A种型号智能机器人的单价为x万元，B种型号智能机器人的单价为y万元，
{ x+3 y=260 )
由题意得： ，
3x+2y=360
{x=80)
解得： ．
y=60
答：A种型号智能机器人的单价为80万元，B种型号智能机器人的单价为60万元；
（2）设该企业需要购买A型智能机器人a台，则需要购买B型智能机器人（10﹣a）台，
由题意得：22a+18（10﹣a）≥200，
解得：a≥5，
答：该企业最少需要购买5台A种型号智能机器人；
（3）根据题意得：80a+60（10﹣a）＝20a+600≤750，
解得a≤7.5，
∵a≥5，
∴5≤a≤7.5，
∵a为正整数，
∴a的取值为5，6，7，
∴该企业购买智能机器人方案有三种：
方案一：购买A型智能机器人5台，则需要购买B型智能机器人5台；
方案二：购买A型智能机器人6台，则需要购买B型智能机器人4台；
方案三：购买A型智能机器人7台，则需要购买B型智能机器人3台．
【变式2】随着人们对健康的高度重视，水果已成为每个家庭的生活必需品．一名在校大学生抓住机会，
利用“互联网+”自主创业，在网上销售A，B两种水果，今年一、二月份销售情况如表所示：（A，B
两种水果的销售单价保持不变）
销售数量（千克） 销售额（元）
A种 B种一月份 300 100 5200
二月份 400 200 8000
（1）求A，B两种水果售价分别是多少元/千克？
（2）若A种水果的进价为8元/千克，B种水果的进价为10元/千克，该大学生预计下个月用不低于
4330元的资金购进A，B两种水果共500千克（每种水果的进货数量必须为整数），且 A种水果的数量
不少于B种水果的两倍．
①问有几种进货方案，并写出其中进货资金最少的方案；
②为了回馈社会，支援山区，该大学生决定每销售一千克水果，爱心捐赠a元给某山区一所小学．假
设每月购进的水果都能够全部销售，在进货资金最少的情况下，要使捐赠后最低获利1500元，试求a
的最大值．
【分析】（1）设A水果的售价为x元/千克，B水果的售价为y元/千克，根据题意列出二元一次方程
组，解方程组，即可求解；
（2）①设购进A种水果m千克，则购进B种水果（500﹣m）千克，根据题意列出不等式组，求得不
等式组的整数解，进而求得进价最少的方案；
②根据题意列出不等式，解不等式，求得最大值即可求解．
【解答】解：（1）设A水果的售价为x元/千克，B水果的售价为y元/千克，根据题意得，
{300x+100 y=5200)
，
400x+200 y=8000
{x=12)
解得 ，
y=16
答：A水果的售价为12元/千克，B水果的售价为16元/千克；
（2）①设购进A种水果m千克，则购进B种水果（500﹣m）千克，依题意得，
{8m+10(500−m)≥4330)
，
m≥2(500−m)
1
解得333 ≤m≤335，
3
∵每种水果的进货数量必须为整数，
∴m＝334或335，
则共有2种进货方案，
当m＝334时，8×334+10（500﹣334）＝4332，
当m＝335时，8×335+10（500﹣335）＝4330，∵4332＞4330，
∴当m＝335时，500﹣335＝165，
即进货资金最少的方案为：购进A种水果335千克，则购进B种水果165千克；
②依题意，
335×（12﹣8﹣a）+165×（16﹣10﹣a）≥1500，
解得a≤1.66，
∴a的最大值为1.66．
【变式3】某电器经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的微波炉，若购进1台甲型微波炉和2台乙型
微波炉，共需要资金2600元；若购进2台甲型微波炉和3台乙型微波炉，共需要资金4400元．
（1）求甲、乙型号的微波炉每台进价为多少元？
（2）该店计划购进甲、乙两种型号的微波炉销售，预计用不多于1.8万元且不少于1.76万元的资金购
进这两种型号的微波炉共20台，请问有几种进货方案？请写出进货方案；
（3）甲型微波炉的售价为1400元，售出一台乙型微波炉的利润率为45%．为了促销，公司决定甲型微
波炉九折出售，而每售出一台乙型微波炉，返还顾客现金 m元，要使（2）中所有方案获利相同，则m
的值应为多少？
【分析】（1）设甲型号微波炉每台进价为x元，乙型号微波炉每台进价为y元，然后由题意可列方程
组进行求解；
（2）设购进甲型号微波炉为a台，则乙型号微波炉为（20﹣a）台，然后根据题意可列不等式组进行求
解a的范围，然后根据a为正整数可求解；
（3）设总利润为w，则由（2）可得w＝（1400×0.9﹣1000）a+（800×45%﹣m）（20﹣a）＝（m﹣
100）a+7200﹣20m，进而根据题意可求解．
【解答】解：（1）设甲型号微波炉每台进价为x元，乙型号微波炉每台进价为y元，
{ x+2y=2600 )
根据题意得： ，
2x+3 y=4400
{x=1000)
解得： ，
y=800
答：甲型号微波炉每台进价为1000元，乙型号微波炉每台进价为800元；
（2）设购进甲型号微波炉为a台，则乙型号微波炉为（20﹣a）台，由（1）及题意得：
{1000a+800(20−a)≤18000)
，
1000a+800(20−a)≥17600
解得：8≤a≤10，∵a为正整数，
∴a的值为8、9、10，
∴有3种进货方案，分别为：甲型号8台则乙型号12台；甲型号9台则乙型号11台；甲型号10台则乙
型号10台；
（3）设总利润为w，则由（2）可得：
w＝（1400×0.9﹣1000）a+（800×45%﹣m）（20﹣a）＝（m﹣100）a+7200﹣20m；
∵（2）中方案利润要相同，
∴m﹣100＝0，
解得：m＝100，
答：要使（2）中所有方案获利相同，则m的值应为100．
