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第十一章 不等式与不等式组全章题型总结【5 个知识点 12 个题型】
【人教版2024】
【知识点1 不等式】
1．不等式的定义：用符号 “＜” ( 或“≤” ) ，“＞”（或“≥”），≠ 连接的式子叫做不等式.
2．不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.
3．不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．
（1）不等式表示方法：一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，它的解集是一个范围。
一般用 x> a 、 x< a 、 x≥ a 、 x≤ a 来表示。
（2）数轴表示法：
4．解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式．
【题型1 不等式的概念】
【例1】下列式子：①﹣4＜0；②x＝1；③y≠﹣2；④x2﹣x，⑤2x﹣5＞0，⑥m≤﹣3．其中是不等
式的有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【分析】不等式的概念：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等
关系的式子也是不等式，据此进行判断即可．
【解答】解：①③⑤⑥符合不等式的定义，它们是不等式，共4个，
故选：B．
【变式1】式子：①3＜5；②4x+5＞0；③x＝3；④x2+x；⑤x≠4；⑥x+2≥x+1．其中是不等式的有
（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据不等式的概念：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示
不等关系的式子也是不等式进行分析即可．
【解答】解：①3＜5；②4x+5＞0；⑤x≠﹣4；⑥x+2≥x+1是不等式，
∴共4个不等式．
故选：C．
【变式2】下列式子①3＞0；②4x+5＞0；③2x＜3；④x2+x；⑤x≠﹣4；⑥x+2＞x+1，其中不等式
有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【分析】依据不等式的定义进行判断．用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用
“≠”号表示不等关系的式子也是不等式．
【解答】解：①3＞0，属于不等式；
②4x+5＞0，属于不等式；
③2x＜3，属于不等式；
④x2+x属于代数式，不合题意；
⑤x≠﹣4属于不等式；
⑥x+2＞x+1，属于不等式．
故选：C．
【变式3】下列数学表达式，是不等式的有（ ）
1 1
①m＝0；②x≠1；③ x+3＞0；④a2+2ab+b2；⑤ ＞0；⑥﹣1＞﹣2
2 x
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】不等式的定义：用符号“＜”或“＞”表示大小关系的式子，叫做不等式，用符号“≠”表示
不相等关系的式子也是不等式．根据上述定义分别对各个式子进行分析判断即可得出结论．1 1
【解答】解：在①m＝0；②x≠1；③ x+3＞0；④a2+2ab+b2；⑤ ＞0；⑥﹣1＞﹣2中，
2 x
1 1
不等式有②x≠1；③ x+3＞0；⑤ ＞0；⑥﹣1＞﹣2，共4个；
2 x
m＝0是等式；
④a2+2ab+b2是代数式．
故选：C．
【知识点2 不等式的性质】
1．不等式的性质1：
不等式两边同时加（或减） 同一个 数（或式子），不等号的方向 不变 。
即若 ，则 。
2．不等式的性质2：
不等式的两边同时乘上（或除以） 同一个正数 ，不等号的方向 不变 。
若 ，则 。
3．不等式的性质3：
不等式的两边同时乘上（或除以） 同一个负数 ，不等号的方向 改变 。
若 ，则 。
【题型2 根据不等式的性质对不等式变形】
【例1】下列说法正确的是（ ）
A．若a＞b，则a﹣2＜b﹣2 B．若a＞b，则a2＞b2
a b
C．若 ＞ ，则a＞b D．若ac2＞bc2，则a＞b
c c
【分析】根据不等式的性质，不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式
两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方
向改变．根据不等式的性质，逐项判断即可求解．
【解答】解：A、a＞b，则a﹣2＞b﹣2，不符合题意；
B、若a＞b，则，不妨设a＝1，b＝﹣2，则12＜（﹣2）2，不符合题意；
a b
C、若 ＞ ，当c＜0时，则a＜b，不符合题意；
c c
D、若ac2＞bc2，则a＞b，符合题意；
故选：D．【变式1】已知x＞y，下列不等式一定成立的是（ ）
①x﹣6＞y﹣6；
②3x＜3y；
③﹣2x＜﹣2y；
④2x+1＞2y+1；
x y
⑤− −5＜− −5．
3 3
A．①③④⑤ B．③④⑤ C．①②④ D．①④⑤
【分析】利用不等式的性质进行判断即可．
【解答】解：已知x＞y，
两边同时减去6得x﹣6＞y﹣6，则①成立，
两边同时乘3得3x＞3y，则②不成立，
两边同时乘﹣2得﹣2x＜﹣2y，则③成立，
两边同时乘2再同时加上1得2x+1＞2y+1，则④成立，
1 x y
两边同时乘− 再同时减去5得− −5＜− −5，则⑤成立，
3 3 3
综上，一定成立的是①③④⑤．
故选：A．
【变式2】下列几个变形中，错误的是（ ）
A．如果x＞y，那么x+m2＞y+m2
x y
B．如果x＞y，那么 ＞
m2+2 m2+2
C．如果x＞y，那么x﹣m2＞y﹣m2
D．如果x＞y，那么xm2＞ym2
【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．
【解答】解：A．∵x＞y，
∴x+m2＞y+m2，故本选项不符合题意；
B．∵x＞y，
x y
∴ ＞ ，故本选项不符合题意；
m2+2 m2+2
C．∵x＞y，
∴x﹣m2＞y﹣m2，故本选项不符合题意；D．x＞y，不妨设m＝0，则么xm2＝ym2，故本选项符合题意．
故选：D．
a a+2
【变式3】下列说法中：（1）若a＞b＞c＞0，则a2＞ab＞bc；（2）若a、b都是正数，则 ＜ ；
b b+2
（3）若a、b、c、d都是负数，且a＞b，c＞d，则ac＜bd；（4）若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d．其中
正确的结论个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据不同条件，运用相应性质逐一分析每个说法是否正确，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵a＞b＞c＞0，根据不等式两边同时乘一个正数，不等号方向不变，
∴a×a＞a×b，b×b＞b×c，a×b＞b×c，
∴a2＞ab＞bc，
∴（1）正确；
a a+2 a(b+2)−b(a+2) ab+2a−ab−2b 2(a−b)
（2）对 − = = = ，
b b+2 b(b+2) b(b+2) b(b+2)
2(a−b) a a+2
∴当a≥b时， ≥0，即 ≥ ，
b(b+2) b b+2
∴（2）错误；
（3）∵a、b、c、d都是负数，且a＞b，c＞d，
∴﹣a＜﹣b，﹣c＜﹣d，
根据正数不等式性质，
∴（﹣a）（﹣c）＜（﹣b）（﹣d），
根据负负得正，
∴ac＜bd，
∴（3）正确；
（4）已知a＞b，c＞d，则﹣c＜﹣d，
当a＝3，b＝2，c＝1，d＝0时，a﹣c＝3﹣1＝2，b﹣d＝2﹣0＝2，
∴此时a﹣c＝b﹣d，
∴（4）错误；
综上，（1）（3）正确，正确的结论个数是2个，
故选：B．【题型3 根据不等式的性质推断结论】
1 1
【例1】已知实数a，b满足a− b+1=0，0＜a+ b+1＜1，则下列判断错误的是（ ）
2 2
1
A．−1＜a＜− B．0＜b＜1
2
C．﹣2＜2a+4b＜3 D．﹣6＜2a﹣4b＜0
【分析】本题可先由已知等式用a表示b，再代入不等式求出a的取值范围，进而求出b的取值范围，
最后据此判断各选项．
1
【解答】解：a− b+1＝0，可得b＝2a+2，
2
1 1
将b＝2a+2代入0＜a+ b+1＜1，得到0＜a+ （2a+2）+1＜1，
2 2
1
化简不等式：﹣1＜a＜− ．
2
∴选项A正确；
1
∵将b＝2a+2，且﹣1＜a＜− ，
2
1
那么2×（﹣1）+2＜b＜2×（− ）+2，
2
即0＜b＜1，
∴选项B正确；
判断2a+4b，
将b＝2a+2代入2a+4b得：
2a+4（2a+2）＝2a+8a+8＝10a+8，
1
∵﹣1＜a＜− ，
2
1
∴10×（﹣1）+8＜10a+8＜10×（− ）+8，
2
即﹣2＜10a+8＜3，也就是﹣2＜2a+4b＜3，
∴选项C正确；
判断2a﹣4b的取值范围，
把b＝2a+2代入2a﹣4b得：
2a﹣4（2a+2 ）＝2a﹣8a﹣8＝﹣6a﹣8，1
由于﹣1＜a＜− ，则
2
1
﹣6×（− ）﹣8＜﹣6a﹣8＜﹣6×（﹣1）﹣8，
2
即﹣5＜﹣6a﹣8＜﹣2，
∴选项D错误．
故选：D．
【变式1】已知实数a，b满足：a+b＝2，且﹣1＜a﹣b＜1，则下列结论不正确的是（ ）
1 3 1 3
A． ＜a＜ B． ＜b＜
2 2 2 2
1 3
C． ＜2a−b＜ D．5＜4a+2b＜7
2 2
【分析】根据不等式的性质对各选项逐一判断即可．
【解答】解：∵a+b＝2且﹣1＜a﹣b＜1，
∴a＝2﹣b，
∴﹣1＜2﹣b﹣b＜1，
1 3
∴ ＜b＜ ，故选项B正确；
2 2
∵a＝2﹣b，
1 3
∴ ＜a＜ ，故选项A正确；
2 2
∵2a﹣b＝2（2﹣b）﹣b＝4﹣3b，
1 5
∴− ＜2a−b＜ ，故选项C错误；
2 2
∵4a+2b＝4（2﹣b）+2b＝8﹣2b，
∴5＜4a+2b＜7，故选项D正确．
故选：C．
【变式2】已知三个实数a，b，c，满足a+b+c＞0，a+b＝c，c+a＝b，则（ ）
A．a＞0，b＞0，c＞0 B．b＞0，a＝0，c＞0
C．b＜0，a＝0，c＜0 D．a＜0，b＞0，c＜0
{a+b=c)
【分析】根据已知，解方程组 ，可得a＝0，b＝c，再根据a+b+c＞0，即可得出b＞0，c＞
c+a=b
0．{a+b=c①)
【解答】解：由题意，得 ，
c+a=b②
把②代入①，得a+c+a＝c，
解得：a＝0，
把a＝0代入①，得b＝c．
∵a+b+c＞0，
∴b+c＞0，
∴2b＞0，
∴b＞0，c＞0．
故选：B．
【变式3】已知实数a，b，c满足：a+b+c＝0，c＞0，3a+2b+c＞0．则下列结论正确的是（ ）
b
A．a+b＞0 B．2a+b＜0 C．0＜a＜c D．−2＜ ＜−1
a
【分析】根据等式的性质可得3a+2b+c＝（a+b+c）+2a+b＝2a+b＞0，由a+b+c＝0可得b＝﹣a﹣c，再
代入2a+b＞0解答即可；由b＝﹣a﹣c，c＞0，由不等式的性质可得b＜﹣a，再根据2a+b＞0可得﹣2a
＜b，所以﹣2a＜b＜﹣a，再由a＞0，结合不等式的性质解答即可．
【解答】解：∵a+b+c＝0，3a+2b+c＞0，
∴3a+2b+c＝（a+b+c）+2a+b＝2a+b＞0，故B选项错误；
又∵b＝﹣a﹣c，
∴2a﹣a﹣c＞0，
即a﹣c＞0，
∴a＞c，故C选项错误；
∵b＝﹣a﹣c，c＞0，
∴b＜﹣a，即a+b＜0，故A选项错误；
又∵2a+b＞0，
∴﹣2a＜b，
∴﹣2a＜b＜﹣a，
又∵a＞c＞0，
b
∴﹣2＜ ＜−1，故D选项正确；
a
故选：D．【知识点3 一元一次不等式（组）的概念】
1．一元一次不等式的概念：
只含有 1 个未知数，且未知数的次数是 1 的整式不等式，叫做一元一次不等式。整个不等式中分母
不含有 字母 。
2．一元一次不等式组的概念：
把含有 相同 未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组。
3．一元一次不等式组的解集：
几个一元一次不等式的解集的 公共部分 ，叫做由他们组成的一元一次不等式组的解集。
4．一元一次不等式组的解集的求法：
先分别求出不等式组中的每一个不等式，然后找出他们解集的 公共部分 。
5．不等式组的解的情况与图示（a b 。
②同小取小： ，图示： ，解集为 x< a 。
③大小小大中间找： ，图示： ，解集为 a
