文档内容
专题 2.5 一元一次方程全章十一类必考点
【人教版2024】
【考点1 一元一次方程的定义】..............................................................................................................................1
【考点2 等式性质的运用】......................................................................................................................................4
【考点3 一元一次方程的解法】..............................................................................................................................7
【考点4 一元一次方程含参问题】........................................................................................................................12
【考点5 新定义方程】............................................................................................................................................15
【考点6 一元一次方程的应用（根据题中数量关系列方程）】.......................................................................24
【考点7 一元一次方程的应用（根据常见公式列方程）】...............................................................................28
【考点8 一元一次方程的应用（根据题中的规律列方程）】...........................................................................31
【考点9 一元一次方程的应用（分段计费问题）】...........................................................................................38
【考点10 一元一次方程的应用（方案最优化问题）】.....................................................................................45
【考点11 一元一次方程的应用（动点问题）】..................................................................................................52
【考点1 一元一次方程的定义】
【方法点拨】只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程．
通常形式是ax+b=0（a，b为常数，且a≠0）．一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．一元
指
方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0．我们将ax+b=0（其中x是未
知
数，a、b是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式．这里a是未知数的系数，b是常数，x的次
数
必须是1．
【经典题型】
2
1．（2024春•萨尔图区校级期末）下列各式：①3+7＝10；②3x﹣5＝x2+3x；③2x+1＝1；④ =1；
x
⑤3x+2．其中是一元一次方程的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】含有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的整式方程叫做一元一次方程．
【解答】解：①3+7＝10，不含未知数，不是方程，不符合题意；②3x﹣5＝x2+3x，未知数的最高次数是2，不是一元一次方程，不符合题意；
③2x+1＝1，符合一元一次方程的定义，符合题意；
2
④ =1，不是整式方程，不符合题意；
x
⑤3x+2，不是方程，不符合题意．
故选：A．
x
2．（2023秋•新吴区期末）已知下列方程：① =5x+1；②x2﹣4x＝3；③0.3x＝1；④x+2y＝0．其中
2
一元一次方程的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据一元一次方程的定义进行判断即可．
x
【解答】解：① =5x+1是一元一次方程；
2
②x2﹣4x＝3不是一元一次方程；
③0.3x＝1是一元一次方程；
④x+2y＝0不是一元一次方程．
故选：B．
3．（2024春•商水县校级期中）若方程（2k+1）x2﹣（2k﹣1）x+5＝0是关于x的一元一次方程，则k的值
为（ ）
1 1
A．0 B．﹣1 C．− D．
2 2
【分析】根据一元一次方程的定义“只含有一个未知数，且未知数的次数为 1的方程是一元一次方
程”，即可解答．
【解答】解：∵方程（2k+1）x2﹣（2k﹣1）x+5＝0是关于x的一元一次方程，
∴2k+1＝0，﹣（2k﹣1）≠0，
1
解得：k=− ，
2
故选：C．
4．（2023秋•任城区校级期末）若方程（a﹣2）x2|a|﹣3+3＝﹣2是关于x的一元一次方程，则这个一元一次
方程为（ ）
A．4x+3＝﹣2 B．﹣4x+3＝﹣2 C．4x﹣3＝﹣2 D．﹣4x2+3＝﹣2
【分析】根据一元一次方程的定义即可求出答案．只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的整式方程叫一元一次方程．
【解答】解：∵方程（a﹣2）x2|a|﹣3+3＝﹣2是关于x的一元一次方程，
{ a−2≠0 )
∴ ，
2|a|−3=1
解得a＝﹣2．
∴这个一元一次方程为﹣4x+3＝﹣2．
故选：B．
5．（2024春•项城市期末）若3xm+（n﹣2）y﹣5＝0是关于x的一元一次方程，则m+n＝ ．
【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的整式方程叫做一元一次方程，它的
一般形式是ax+b＝0（a，b是常数且a≠0）．据此可得出关于m、n的方程，可求出m、n的值，代入
计算即可得出答案．
【解答】解：∵3xm+（n﹣2）y﹣5＝0是关于x的一元一次方程，
∴m＝1，n﹣2＝0，
解得m＝1，n＝2，
∴m+n＝1+2＝3．
故答案为：3．
6．（2023秋•兴城市期末）若（|a|﹣1）x2+（a﹣1）x+3＝0是关于x的一元一次方程，则a＝ ．
【分析】根据原方程为一元一次方程得出二次项的系数为0，一次项的系数不为0解答即可．
【解答】解：若（|a|﹣1）x2+（a﹣1）x+3＝0是关于x的一元一次方程，
则|a|﹣1＝0，a﹣1≠0，
解得a＝﹣1，
故答案为：﹣1．
7．（2023秋•科左中旗校级期末）若关于x的方程（3﹣m）x2|m|﹣5+7x＝2是一元一次方程，则m＝ ．
【分析】分3﹣m＝0和2|m|﹣5＝1两种情况求解即可．
【解答】解：当3﹣m＝0，即m＝3时，原方程变为7x＝2，符合题意；
当2|m|﹣5＝1，即m＝±3时，原方程变为7x＝2或6x+7x＝2，符合题意．
故答案为：±3．
【考点2 等式性质的运用】
【方法点拨】等式的性质
性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；
性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．应用时要注意把握两关：①怎样变形；②依据哪一条，变形时只有做到步步有据，才能保证是正确的．
【经典题型】
1．（2024秋•武汉期中）下列由等式的性质进行的变形，不正确的是（ ）
A．如果x＝y，那么ax＝ay
x y
B．如果 = ，那么x＝y
a a
x y
C．如果x＝y，那么 =
a2+1 a2+1
D．如果ax+b＝ay+b，那么x＝y
【分析】根据等式的性质可得答案．
【解答】解：A、如果x＝y，那么ax＝ay，正确，不符合题意；
x y
B、如果 = ，那么x＝y，正确，不符合题意；
a a
x y
C、如果x＝y，那么 = ，正确，不符合题意；
a2+1 a2+1
D、如果ax+b＝ay+b，那么x＝y，a＝0时，x不一定等于y，错误，符合题意；
故选：D．
2．（2023秋•瑶海区校级期末）下列等式的变形中，正确的是（ ）
a b
A．如果 = ，那么a＝b
c c
B．如果|a|＝|b|，那么a＝b
C．如果ax＝bx，那么a＝b
a b
D．如果a＝b，那么 =
c2−1 c2−1
【分析】根据等式的性质逐项判断即可．
a b
【解答】解：如果 = ，那么a＝b，则A符合题意；
c c
如果|a|＝|b|，那么a＝±b，则B不符合题意；
如果ax＝bx，当x＝0时，a，b可能不相等，则C不符合题意；
a b
如果a＝b，c2﹣1≠0时， = ，则D不符合题意；
c2−1 c2−1
故选：A．
3．（2024•船山区校级开学）下列等式根据等式的变形正确的有（ ）a b a b
①若a＝b，则ac＝bc；②若ac＝bc，则a＝b；③若 = ，则a＝b；④若a＝b，则 = ．
c c x2+1 x2+1
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据等式的基本性质，逐一进行判断即可．
【解答】解：若a＝b，则ac＝bc；故①正确；
若ac＝bc，且c≠0，则a＝b；故②错误；
a b
若 = ，则c≠0，故a＝b；故③正确；
c c
a b
若a＝b，因为x2+1＞0，故 = ；故④正确；
x2+1 x2+1
故选：C．
4．（2023秋•潮南区期末）如图，第一个天平的两侧分别放2个球体和5个圆柱体，第二个天平的两侧分
别放2个正方体和3个圆柱体，两个天平都平衡，则6个球体的质量等于（ ）个正方体的质量．
A．4 B．6 C．8 D．10
【分析】根据等式的性质：等式的两边同时乘以或除以同一个不为0的数或字母，等式仍成立，可得答
案．
【解答】解：1个球等于2.5个圆柱体，6个球等于15个圆柱体；
2
一个圆柱体等于 个正方体，
3
6个球体等于10个正方体，
故选：D．
5．（2023秋•曲阳县期末）已知8m+3n+2＝4m+7n，利用等式的性质比较m与n的大小关系：m n
（填“＞”“＜”“＝”）．
【分析】把等式变形为m减n等于多少的形式，从而可得结论．注意：两个数的差大于0，被减数大于
减数；两个数的差等于0，被减数和减数相等；两个数的差小于0，被减数小于减数．
【解答】解：8m+3n+2＝4m+7n，
移项得：8m﹣4m﹣7n+3n＝﹣2，
合并同类项得：4m﹣4n＝﹣2，提取公因数得：4（m﹣n）＝﹣2，
1
化简：m−n=− ，
2
1
∵− ＜0，
2
∴m﹣n＜0，
∴m＜n，
故答案为：＜．
6．（2024秋•长安区期末）下列条件：①a+2＝b+2；②﹣3a＝﹣3b；③﹣a﹣c＝b+c；④ac﹣1＝bc﹣
a b
1；⑤ = ，其中根据等式的性质可以推导出a＝b的条件有 （填序号即可）．
c c
【分析】根据等式的性质：等式两边加同一个数或式子结果仍得等式；等式两边乘同一个数或除以一个
不为零的数，结果仍得等式，由此即可求解．
【解答】解：a+2＝b+2，等式两边同时减2，得到a＝b，故①符合题意；
﹣3a＝﹣3b，等式两边同时除以﹣3，得到a＝b，故②符合题意；
﹣a﹣c＝b+c，利用等式的性质不能得到a＝b，故③不符合题意；
ac﹣1＝bc﹣1，等式两边同时加1，得到ac＝bc，当c≠0时，可以得到a＝b；当c＝0时，不能得到a
＝b，故④不符合题意；
a b
= ，可以得出c≠0，等式两边同时乘以c，得到a＝b，故⑤符合题意；
c c
故答案为：①②⑤．
7．（2024•乾县开学）已知〇、△、口分别代表不同物体，用天平比较它们的质量，如图所示．根据砝码
显示的质量，求〇＝ g，□＝ g．
【分析】设1个〇重a g，1个□重b g，1个△重c g，根据天平平衡情况列等式，根据等式的基本性
质求出a和b的值即可．
【解答】解：设1个〇重a g，1个□重b g，1个△重c g．
根据题意，得3a＝2b，4a＝5c，2b+a＝3c+20．
3a
根据等式的基本性质2，将3a＝2b的两边同除以2，得b= ，
24a
将4a＝5c的两边同除以5，得c= ，
5
3a 4a 12a
将b= 和c= 代入2b+a＝3c+20，得4a= +20，
2 5 5
12a 12a 8a
根据等式的基本性质1，将4a= +20两边同时减 ，得 =20，
5 5 5
8a 8
根据等式的基本性质2，将 =20两边同时除以 ，得a＝12.5，
5 5
3a
将a＝12.5代入b= ，得b＝18.75，
2
∴〇＝12.5g，□＝18.75g．
故答案为：12.5，18.75．
【考点3 一元一次方程的解法】
【方法点拨】
①去分母：在方程两边乘各分母的最小公倍数，当分母是小数时，要先利用分数的基本性质把小数转化为
整数，然后再去分母（依据：等式的性质2）
②去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号（也可以先去大括号，再去中括号，最后去小括号）
（依据：乘法分配律；去括号法则）
③移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，常数项都移到方程的另一边（依据：等式的性质1）
④合并同类项：把方程化为 的形式（依据：合并同类项的法则）
⑤系数化为1：在方程的两边都除以未知数的系数a，得到方程的解 （依据：等式的性质2）
【经典题型】
1．（2024秋•西城区校级期中）解方程：
（1）5x﹣2（x﹣1）＝x﹣2；
2x−1 x−2
（2） +1= ．
3 2
【分析】（1）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可；
（2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可．
【解答】解：（1）原方程可化为5x﹣2x+2＝x﹣2，
移项，得5x﹣2x﹣x＝﹣2﹣2，
合并同类项，得2x＝﹣4，系数化为1，得x＝﹣2；
（2）原方程可化为2（2x﹣1）+6＝3（x﹣2），
去括号，得4x﹣2+6＝3x﹣6，
移项，得4x﹣3x＝﹣6+2﹣6，
合并同类项，得x＝﹣10．
2．（2024秋•南岗区校级期中）解下列方程：
（1）5（y﹣2）+4＝y﹣2（3+y）；
2x−1 5x+7
（2） +1= ．
4 6
【分析】（1）利用去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可；
（2）利用去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可．
【解答】解：（1）原方程去括号得：5y﹣10+4＝y﹣6﹣2y，
移项，合并同类项得：6y＝0，
系数化为1得：y＝0；
（2）原方程去分母得：3（2x﹣1）+12＝2（5x+7），
去括号得：6x﹣3+12＝10x+14，
移项，合并同类项得：﹣4x＝5，
5
系数化为1得：x=− ．
4
3．（2023秋•陇县期末）解方程：
（1）3x﹣7（x﹣1）＝3﹣2（x+3）
1−x x+2
（2） −x＝3−
3 4
【分析】（1）方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解；
（2）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．
【解答】解：（1）去括号得：3x﹣7x+7＝3﹣2x﹣6，
移项得：3x﹣7x+2x＝3﹣6﹣7，
合并得：﹣2x＝﹣10，
解得：x＝5；
（2）去分母得：4（1﹣x）﹣12x＝36﹣3（x+2），
去括号得：4﹣4x﹣12x＝36﹣3x﹣6，
移项得：﹣4x﹣12x+3x＝36﹣6﹣4，合并得：﹣13x＝26，
解得：x＝﹣2．
4．（2023秋•召陵区校级期中）解方程：
（1）5（y+6）＝9﹣3（1﹣3y）；
x+1 x 2x+1
（2） − =1− ．
3 2 4
【分析】（1）运用去括号，移项，合并同类项，系数化为1，求出y的值即可；
（2）运用去分母、去括号，移项，合并同类项，系数化为1，求出x的值即可；
【解答】解：（1）5（y+6）＝9﹣3（1﹣3y），
5y+30＝9﹣3+9y，
5y﹣9y＝9﹣3﹣30，
﹣4y＝﹣24，
解得，y＝6；
x+1 x 2x+1
（2） − =1− ，
3 2 4
4（x+1）﹣6x＝12﹣3（2x+1），
4x+4﹣6x＝12﹣6x﹣3，
4x+6x﹣6x＝12﹣4﹣3，
4x＝5，
5
解得，x=
4
5．（2024秋•镇海区校级期中）解方程：
（1）2x﹣（x+10）＝5x；
0.02x−0.01 x 1
（2） = − ．
0.7 0.3 7
【分析】（1）通过去括号、移项、合并同类项、系数化为1等过程，求得x的值；
（2）先利用分式的基本性质进行变形，再通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1等过
程，求得x的值．
【解答】解：（1）2x﹣（x+10）＝5x，
2x﹣x﹣10＝5x，
2x﹣x﹣5x＝10，
﹣4x＝10，x＝﹣2.5；
0.02x−0.01 x 1
（2） = − ，
0.7 0.3 7
2x−1 10x 1
方程可化为 = − ，
70 3 7
3（2x﹣1）＝700x﹣30，
6x﹣3＝700x﹣30，
6x﹣700x＝﹣30+3，
﹣694x＝﹣27，
27
x= ．
694
6．（2023秋•石景山区期末）本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小亮同学的解题过程：
2x−0.3 x+0.4
解方程： − =1．
0.5 0.3
20x−3 10x+4
解：原方程可化为： − =1．…第①步
5 3
方程两边同时乘以15，去分母，得：3（20x﹣3）﹣5（10x+4）＝15．…第②步
去括号，得：60x﹣9﹣50x+20＝15．…第③步
移项，得：60x﹣50x＝15+9﹣20．…第④步
合并同类项，得：10x＝4．…第⑤步
系数化1，得：x＝0.4．…第⑥步
所以x＝0.4为原方程的解．
上述小亮的解题过程中
（1）第②步的依据是 ；
（2）第 （填序号）步开始出现错误，请写出这一步正确的式子 ．
【分析】（1）根据解一元一次方程的基本步骤和依据逐一判断即可得；
（2）依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．
【解答】解：（1）等式基本性质2；
故答案为：等式基本性质2；
（2）③；60x﹣9﹣50x﹣20＝15．
故答案为：③；60x﹣9﹣50x﹣20＝15．
7．（2024秋•台江区校级期中）在学习《求解一元一次方程》之后，老师在黑板上出了一道解方程的题，
下面是小乐同学的解题过程，请仔细阅读并完成相应的任务．x+1 2x−1 5x+2
− = −1
4 3 6
解：3（x+1）﹣4（2x﹣1）＝2（5x+2）﹣12……第一步
3x+3﹣8x+4＝10x+4﹣12……第二步
3x﹣8x+10x＝4﹣12+3+4……第三步
5x＝﹣1……第四步
1
x=− ⋯⋯第五步
5
填空：
（1）以上解题过程中，第一步的变形的依据是 ；第二步去括号时依据的运算律是
；
（2）以上解题过程中从第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ；
（3）求该方程的正确解．
【分析】（1）（2）观察已知条件中的解题过程，根据解一元一次方程容易出现的错误，进行观察，从
而解答即可；
（3）按照解一元一次方程的一般步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，把未知数的系数化成
1，从而解答即可．
【解答】解：（1）以上解题过程中，第一步的变形的依据是等式的性质 2，第二步去括号时依据的运
算律是乘法的分配律，
故答案为：等式的性质2，乘法的分配律；
（2）以上解题过程中从第三步开始出现错误，这一步错误的原因是：移项时没有变号，
故答案为：三，移项时没有变号；
x+1 2x−1 5x+2
（3） − = −1，
4 3 6
3（x+1）﹣4（2x﹣1）＝2（5x+2）﹣12，
3x+3﹣8x+4＝10x+4﹣12，
7﹣5x＝10x﹣8，
10x+5x＝7+8，
15x＝15，
x＝1．
【考点4 一元一次方程含参问题】
2kx+a x+bk
1．（2024秋•越秀区校级期中）如果 a、b是定值，且关于x的方程 =2+ ，无论k为何值
3 6时，它的解总是x＝1，那么2a+b的值是（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
2kx+a x+bk
【分析】先将x＝1代入方程 =2+ ，整理得（4﹣b）k＝13﹣2a，再根据无论k为何值
3 6
时，该方程的解总是x＝1得4﹣b＝0，13﹣2a＝0，进而得b＝4，2a＝13，由此可得2a+b的值．
2kx+a x+bk 2k+a 1+bk
【解答】解：将x＝1代入方程 =2+ ，得 =2+ ，
3 6 3 6
2k+a 1+bk
将 =2+ 的两边同时乘以6，得：4k+2a＝12+1+b，
3 6
整理得：（4﹣b）k＝13﹣2a，
2kx+a x+bk
∵关于x的方程 =2+ ，无论k为何值时，它的解总是x＝1，
3 6
∴4﹣b＝0，13﹣2a＝0，
∴b＝4，2a＝13，
∴2a+b＝17．
故选：C．
x
2．（2024春•德化县期末）已知关于x的一元一次方程 +5＝2024x+m的解为x＝2024，则关于y的一
2024
y−5
元一次方程 = 2024（y﹣5）+5﹣m的解为（ ）
2024
A．y＝﹣2029 B．y＝2019 C．y＝﹣2019 D．y＝2029
y−5
【 分 析 】 把 关 于 y 的 一 元 一 次 方 程 =2024 （ y﹣ 5 ） +5﹣ m 两 边 同 时 乘 ﹣ 1 得 ：
2024
5−y x
+5=2024(5−y)+m，然后根据关于x的一元一次方程 +5＝2024x+m的解为x＝2024，列
2024 2024
出关于y的方程，解方程即可．
y−5
【解答】解，∵关于y的一元一次方程 =2024（y﹣5）+5﹣m两边同时乘﹣1得：
2024
5−y
=2024(5−y)−5+m，
2024
5−y
+5=2024(5−y)+m，
2024
x
∵关于x的一元一次方程 +5＝2024x+m的解为x＝2024，
2024∴5﹣y＝x，即5﹣y＝2024，
解得：y＝﹣2019，
故选：C．
ax−1
3．（2023秋•沙坪坝区校级期末）若关于x的方程x+ =b有无数个解，则ab的值为 ．
3
ax−1
【分析】先根据等式的性质求出（3+a）x＝3b+1，根据关于x的方程x+ =b有无数个解得出3+a
3
＝0且3b+1＝0，求出a、b的值，最后求出答案即可．
ax−1
【解答】解：x+ =b，
3
3x+ax﹣1＝3b，
3x+ax＝3b+1，
（3+a）x＝3b+1，
ax−1
∵关于x的方程x+ =b有无数个解，
3
∴3+a＝0且3b+1＝0，
1
解得：a＝﹣3，b=− ，
3
1
∴ab＝（﹣3）×（− ）＝1，
3
故答案为：1．
x 2+ax x−6
4．（2024春•渝北区校级月考）已知关于x的方程 − = 的解为负整数，则整数a的所有取值
2 6 3
的和为 ．
【分析】先解关于x的一元一次方程，再根据方程的解为负整数求出整数a的值，求和即可．
x 2+ax x−6
【解答】解： − = ，
2 6 3
方程两边都乘以6得，3x﹣（2+ax）＝2（x﹣6），
整理得（a﹣1）x＝10，
10
当a﹣1≠0，即a≠1时，方程的解为x= ，
a−1
x 2+ax x−6
∵关于x的方程 − = 的解为负整数，且a为整数，
2 6 3
∴a﹣1＝﹣1或a﹣1＝﹣2或a﹣1＝﹣5或a﹣1＝﹣10，解得a＝0或a＝﹣1或a＝﹣4或a＝﹣9，
∴整数a的所有取值的和为0﹣1﹣4﹣9＝﹣14，
故答案为：﹣14．
5．（2024春•九台区校级月考）已知关于x的方程2kx+m＝x+4．当k、m为何值时：
（1）方程有唯一解；
（2）方程有无数个解；
（3）方程无解．
【分析】方程移项合并整理得到结果，
（1）由方程有唯一解，确定出k的范围即可；
（2）由方程有无数个解，求出k与m的值即可；
（3）由方程无解，确定出k的值，及m的范围即可．
【解答】解：方程移项合并得：（2k﹣1）x＝4﹣m，
1
（1）由方程有唯一解，得到2k﹣1≠0，即k≠ ，m为任意实数；
2
（2）由方程有无数个解，得到2k﹣1＝0，4﹣m＝0，
1
解得：k= ，m＝4；
2
（3）由方程无解，得到2k﹣1＝0，4﹣m≠0，
1
解得：k= ，m≠4．
2
3x−1
6．（2024秋•北京期中）小涵在解关于x的一元一次方程 +□=3时，发现正整数“□”被污染了，
2
于是就去问同学小李，小李也记不清“□”的具体值了，只记得这个方程的解是正整数．小涵经过深入
思考，想出了一个好办法，她将“□”设为m，通过计算，很快得到了□的值．你知道她是怎么计算的
吗？请你求出□的值．
3x−1 7−2m 7−2m
【分析】设□＝m，则原方程为 +m＝3，解一元一次方程，可得出x= ，结合m，
2 3 3
均为正整数，即可得出m的值．
3x−1
【解答】解：设□＝m，则原方程为 +m＝3，
2
去分母得：3x﹣1+2m＝6，
移项、合并同类项得：3x＝7﹣2m，7−2m
将x的系数化为1得：x= ，
3
7−2m
又∵m， 均为正整数，
3
∴m＝2．
a 3x+a 1−5x
7．（2023秋•安康月考）已知3[x−2(x− )]=4x和 − =1是关于x的一元一次方程，且有
3 12 8
相同的解，求a的值和这个解．
【分析】先求出两个一元一次方程的解，再根据同解方程解的意义即可求解．
a 2a
【解答】解：由3[x−2(x− )]=4x，得：x= ，
3 7
3x+a 1−5x 27−2a
由 − =1，得：x= ，
12 8 21
因为他们有相同的解，
27−2a 2a
所以 = ，
21 7
27
解得：a= ，
8
2a 2 27 27
则x= = × = ．
7 7 8 28
【考点5 新定义方程】
1．（2024秋•南岗区校级期中）我们规定：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们称这两个方程为
“仁爱”方程，例如：方程x+1＝0和2x﹣3＝1为“仁爱”方程．
x−1 x+6
（1）方程4（x﹣1）﹣2＝2x和 +1=x+ 不是 “仁爱”方程；（填“是”或“不是”）
2 4
（2）关于x的一元一次方程2x+m＝0和5x+3＝2x+15是“仁爱”方程，求m的值；
2 17
（3）关于x的一元一次方程 x+4=3x+k和 x+17=0是“仁爱”方程，求关于y的一元一
2023 2024
2
次方程 (y+1)+3=3 y+k+2的解．
2023
【分析】（1）先求出两个方程的解，然后根据“仁爱”方程的定义进行判断即可；
（2）先解这两个方程，然后根据“仁爱”方程的定义，列出关于m的方程，解方程即可；
2023
（3）先求出这两个方程的解，然后根据“仁爱”方程的定义，列出关于 k的方程，求出 k的值，
6067然后把所求方程化简，从而求出y即可．
【解答】解：（1）4（x﹣1）﹣2＝2x，
4x﹣4﹣2＝2x，
2x＝6，
x＝3，
x−1 x+6
+1=x+ ，
2 4
2（x﹣1）+4＝4x+x+6，
2x﹣2+4＝5x+6，
2x+2＝5x+6，
3x＝﹣4，
4
x=− ，
3
4 2
∵3+(− )=1 ≠1，
3 3
∴这两个方程不是“仁爱”方程，
故答案为：不是；
（2）2x+m＝0，
2x＝﹣m，
m
x=− ，
2
5x+3＝2x+15，
5x﹣2x＝15﹣3，
3x＝12，
x＝4，
∵2x+m＝0和5x+3＝2x+15是“仁爱”方程，
m
∴− +4=1，
2
﹣m+8＝2，
解得：m＝﹣6；
2
（3） x+4=3x+k，
2023
2x+8092＝6069x+2023k，6067x＝8092﹣2023k，
2023
x= (4−k)，
6067
17
x+17=0，
2024
17
x=−17，
2024
x＝﹣2024，
2 17
∵ x+4=3x+k和 x+17=0是“仁爱”方程，
2023 2024
2023
∴ (4−k)−2024=1，
6067
2023 2023
×4− k=2025，
6067 6067
2023 2023
k= ×4−2025，
6067 6067
2
∵ (y+1)+3=3 y+k+2，
2023
2 2
y+ +3=3 y+k+2，
2023 2023
2 2
3 y− y=3−2+ −k，
2023 2023
6067 2
y=1−k+ ，
2023 2023
2023 2
y= (1−k)+
6067 6067
2023 2023 2
= − k+
6067 6067 6067
2023 2023 2
= −( ×4−2025)+
6067 6067 6067
2023 8092 2
= − + +2025
6067 6067 6067
＝﹣1+2025
＝2024．
2．（2024秋•香坊区校级期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程互为
“统一方程”．例如，方程2x﹣1＝3的解为x＝2，方程x+1＝0的解为x＝﹣1，2+（﹣1）＝1，所以方程2x﹣1＝3与方程x+1＝0互为“统一方程”．
（1）方程4x﹣（x+5）＝1与方程﹣2y﹣y＝3互为“统一方程”吗？请说明理由；
（2）若关于x方程2x﹣n+3＝0与方程x+5n﹣1＝0互为“统一方程”，求n的值．
【分析】（1）分别求得两个方程的解，再利用“统一方程”的定义进行判断即可；
（2）分别求得两个方程的解，利用“统一方程”的定义列出关于n方程．
【解答】解：（1）方程4x﹣（x+5）＝1与方程﹣2y﹣y＝3是“统一方程”，理由如下：
由4x﹣（x+5）＝1，解得x＝2；
由﹣2y﹣y＝3，解得y＝﹣1，
∵﹣1+2＝1，满足解之和为1，
∴方程4x﹣（x+5）＝1与方程﹣2y﹣y＝3是“统一方程”．
n−3
（2）由2x﹣n+3＝0，解得x= ；
2
由x+5n﹣1＝0，解得x＝1﹣5n；
∵关于x的两个方程是“统一方程”，
n−3
∴ +1−5n=1，
2
1
解得：n=− ．
3
3．（2024秋•香坊区校级期中）如果两个一元一次方程的解互为相反数时，则称这两个方程为“友好方
程”．
如：一元一次方程x+2＝3的解为x＝1；一元一次方程1﹣2x＝3的解为x＝﹣1，则称一元一次方程x+2
＝3和1﹣2x＝3为“友好方程”．
（1）判断一元一次方程2x＝4x+8和2（x+2）＝3x是否为“友好方程”．
（2）如果方程①2（x﹣1）﹣n＝0②x﹣1﹣m2＝0都是关于x的一元一次方程，它们是否会与 2
（x+2）＝3x为“友好方程”，并求出能成为“友好方程”时m或n的值，如果不能，请说明理由？
【分析】（1）分别求出两个方程的解，根据它们的解是否互为相反数判断两个方程是否为“友好方
程”；
（2）将2（x+2）＝3x的解的相反数分别代入2（x﹣1）﹣n＝0和x﹣1﹣m2＝0，若能求出n或m的
值，则对应的方程与2（x+2）＝3x为“友好方程”，否则，则对应的方程与2（x+2）＝3x不是“友好
方程”．
【解答】解：（1）解方程2x＝4x+8，得x＝﹣4；
解方程2（x+2）＝3x，得x＝4，∵﹣4与4互为相反数，
∴一元一次方程2x＝4x+8和2（x+2）＝3x是“友好方程”．
（2）①∵2（x+2）＝3x的解为x＝4，
∴若2（x﹣1）﹣n＝0与2（x+2）＝3x为“友好方程”，则2（x﹣1）﹣n＝0的解为x＝﹣4，
将x＝﹣4代入2（x﹣1）﹣n＝0，得2×（﹣4﹣1）﹣n＝0，
解得n＝﹣10，
∴当n＝﹣10时，2（x﹣1）﹣n＝0与2（x+2）＝3x为“友好方程”．
②x﹣1﹣m2＝0与2（x+2）＝3x不是“友好方程”．理由如下：
∵2（x+2）＝3x的解为x＝4，
∴若x﹣1﹣m2＝0与2（x+2）＝3x为“友好方程”，则x﹣1﹣m2＝0的解为x＝﹣4，
将x＝﹣4代入x﹣1﹣m2＝0，得﹣4﹣1﹣m2＝0，即m2＝﹣5，无解，
∴x﹣1﹣m2＝0与2（x+2）＝3x不是“友好方程”．
4．（2024秋•镇海区校级期中）定义：如果两个一元一次方程的解互为倒数，则称这两个方程互为“优雅
方程”．例如：2x＝4和2x﹣1＝0互为“优雅方程”．
（1）判断：x+1＝0 （填“是”或“不是”）﹣3x+5＝4x+12的“优雅方程”．
（2）若方程2（x+4）﹣9＝0与关于x的方程2x﹣（a+10）＝6x互为“优雅方程”，求a的值．
（3）若两个关于x的方程mx+2＝1（m为正整数）与1＝7﹣nx（n为负整数）互为“优雅方程”，求出
所有满足条件的m、n的值．
【分析】（1）解已知条件中的两个一元一次方程，然后根据“优雅方程”的定义进行判断即可；
（2）先解已知条件中的两个方程，根据新定义，列出关于a的方程，解方程即可；
（3）先解含有字母参数的两个方程，然后根据新定义，列出关于m，n的方程，解方程即可．
【解答】解：（1）x+1＝0，解得：x＝﹣1，
﹣3x+5＝4x+12，
4x+3x＝5﹣12，
7x＝﹣7，
x＝﹣1，
∵﹣1和﹣1是互为倒数，
∴x+1＝0是方程﹣3x+5＝4x+12的“优雅方程”，
故答案为：是；
（2）2（x+4）﹣9＝0，
2x+8﹣9＝0，2x＝1，
1
x= ，
2
2x﹣（a+10）＝6x，
2x﹣a﹣10＝6x，
6x﹣2x＝﹣a﹣10，
4x＝﹣a﹣10，
−a−10
x= ，
4
∵程2（x+4）﹣9＝0与关于x的方程2x﹣（a+10）＝6x互为“优雅方程”，
−a−10
∴ =2，
4
﹣a﹣10＝8，
﹣a＝10+8，
﹣a＝18，
a＝﹣18；
（3）mx+2＝1，
mx＝﹣1，
1
x=− ，
m
1＝7﹣nx，
nx＝6，
6
x= ，
n
∵于x的方程mx+2＝1与1＝7﹣nx互为“优雅方程”，
1 6
∴− ⋅ =1，
m n
6
− =1，
mn
mn＝﹣6，
∵m为正整数，n为负整数，
∴m＝1，n＝﹣6；
m＝2，n＝﹣3；m＝3，n＝﹣2；
m＝6，n＝﹣1；
综上可知：m＝1，n＝﹣6或m＝2，n＝﹣3或m＝3，n＝﹣2或m＝6，n＝﹣1；
5 2
5．（2024秋•南岗区校级月考）解一元一次方程时，发现这样一种特殊情况：2x+ =3的解为x= ，恰
3 3
5 2
巧2+ −3= ，我们将这种类型的方程做如下定义：如果一个方程ax+b＝c的解满足x＝a+b﹣c，则称
3 3
它为“巧合方程”，请解决以下问题．
3
（1）请判断方程3x+ =3是否是巧合方程： （直接写“是”或“不是”）；
4
1
（2）已知方程 x+b=1是巧合方程，请求出b的值；
2
n 15
（3）若4x+m＝n和3x+ = 都是巧合方程，请求出2mn﹣m+n的值．
2 4
【分析】（1）解原方程，利用“巧合方程”的定义进行验证即可；
（2）先解方程，再根据“巧合方程”的定义，建立关于b的方程求解即可；
（3）同理（2）求出m，n的值，代入2mn﹣m+n计算即可．
3
【解答】解：（1）3x+ =3
4
9
3x=
4
3
x= ，
4
如果一个方程ax+b＝c的解满足x＝a+b﹣c，则称它为“巧合方程”，
3 3
∵3+ −3= ，
4 4
3
∴3x+ =3是巧合方程；
4
故答案为：是；
1
（2） x+b=1
2
1
x=1−b
2
x＝2﹣2b，1
∵方程 x+b=1是巧合方程，
2
1
∴2−2b= +b−1
2
5
∴b= ；
6
5
故b的值为 ；
6
n 15
（3）3x+ =
2 4
12x+2n＝15
12x＝15﹣2n
15−2n
x= ，
12
n 15
∵方程3x+ = 是巧合方程，
2 4
n 15 15−2n
∴3+ − = ，即36+6n﹣45＝15﹣2n，
2 4 12
解得：n＝3；
4x+m＝n
n−m
解得：x= ，
4
∵方程4x+m＝n是巧合方程，
n−m
∴4+m−n= ，
4
∴5n﹣5m＝16，
∵n＝3，
∴5×3﹣5m＝16，
1
解得：m=− ，
5
1 1
∴2mn−m+n=2×(− )×3−(− )+3
5 5
6 1
=− + +3
5 5
＝2．故2mn﹣m+n的值为2．
6．（2023秋•东台市期末）定义：关于x的方程ax﹣b＝0与方程bx﹣a＝0（a、b均为不等于0的常数）
称互为“伴生方程”，例如：方程2x﹣1＝0与方程x﹣2＝0互为“伴生方程”．
（1）若关于x的方程2x﹣3＝0与方程3x﹣c＝0互为“伴生方程”，则c＝ ；
（2）若关于x的方程4x+3m+1＝0与方程5x﹣n+2＝0互为“伴生方程”，求m、n的值；
（3）若关于x的方程5x﹣b＝0与其“伴生方程”的解都是整数，求整数b的值．
【分析】（1）根据“错位方程”的定义直接可得答案；
（2）将“错位方程”组成方程组求解可得答案；
b 2
（3）根据“错位方程”2x﹣b＝0与bx﹣2＝0的解均为整数，可得 与 都为整数，由此可得答案．
2 b
【解答】解：（1）∵2x﹣3＝0与方程3x﹣c＝0互为“错位方程”，
∴c＝2．
故答案为：2；
（2）将4x+3m+1＝0写成4x﹣（﹣3m﹣1）＝0的形式，
将5x﹣n+2＝0写成5x﹣（n﹣2）＝0的形式，
∵4x+3m+1＝0与方程5x﹣n+2＝0互为“错位方程”，
{−3m−1=5)
∴ ，
n−2=4
{m=−2)
∴ ，
n=6
∴m、n的值分别是﹣2，6；
（3）5x﹣b＝0的“错位方程”为bx﹣5＝0（b≠0），
b
由5x﹣b＝0得，x= ，
5
5
当bx﹣5＝0，得x= ，
b
∵5x﹣b＝0与bx﹣5＝0的解均为整数，
b 5
∴ 与 都为整数，
5 b
∵b也为整数，
b 5
∴当b＝5时， =1， =1，都为整数，
5 bb 5
当b＝﹣5时， =−1， =−1，都为整数，
5 b
∴b的值为±5．
7．（2023秋•铁西区期末）如果两个方程的解相差1，则称解较大的方程为另一个方程的“后移方程”．
例如：方程x﹣2＝0是方程x﹣1＝0的后移方程．
（1）判断方程2x+1＝0是否为方程2x+3＝0的后移方程 （填“是”或“否”）；
（2）若关于x的方程3x+m+n＝0是关于x的方程3x+m＝0的后移方程，求n的值．
（3）当a≠0时，如果方程ax+b＝0是方程ax+c＝0的后移方程，用等式表达a，b，c满足的数量关系
．
【分析】（1）求出两个方程的解，利用“后移方程”的定义判断即可；
（2）分别表示出两个方程的解，根据“后移方程”的定义列出关于n的方程，求出方程的解即可得到n
的值；
（3）分别表示出两个方程的解，根据“后移方程”的定义列出关系式即可．
【解答】解：（1）方程2x+1＝0，
1
解得：x=− ，
2
方程2x+3＝0，
3
解得：x=− ，
2
1 3 1 3
∵（− ）﹣（− ）=− + = 1，
2 2 2 2
∴方程2x+1＝0是方程2x+3＝0的后移方程；
故答案为：是；
（2）方程3x+m+n＝0，
m+n
解得：x=− ，
3
方程3x+m＝0，
m
解得：x=− ，
3
m+n m
根据题意得：− −（− ）＝1，
3 3
解得：n＝﹣3；
（3）方程ax+b＝0，b
解得：x=− ，
a
方程ax+c＝0，
c
解得：x=− ，
a
b c c−b
根据题意得：− −（− ）＝1，即 = 1，
a a a
整理得：a+b﹣c＝0．
故答案为：a+b﹣c＝0．
【考点6 一元一次方程的应用（根据题中数量关系列方程）】
1．（2024秋•南岗区校级期中）有一些相同的房间需要用地板装修地面，每一天 4名熟练的装修工人可装
修5间房，结果还剩3m2未能装修；每一天6名初级装修工人除了能装修7间房以外，还可以多装修
5m2．若一名熟练工人每天比一名初级工人多装修3m2，设每个房间地面面积x m2，一名初级工人每天
装修ym2，下列方程中正确的有（ ）
5x+3 7x−5 5x−3 7x+5 4(y+3)+3 6 y−5 4(y+3)−3 6 y+5
① = +3；② − =3；③ = ；④ =
4 6 4 6 5 7 5 7
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
【分析】设每个房间地面面积为x m2，一名初级工人每天装修ym2，则一名熟练工人每天装修（y+3）
m2，根据一名熟练工人每天比一名初级工人多装修3m2，可得出方程②，根据每个房间底面面积不变，
可得出方程③，此题得解．
【解答】解：设每个房间地面面积为 x m2，一名初级工人每天装修ym2，则一名熟练工人每天装修
（y+3）m2，
5x−3 7x+5 4(y+3)+3 6 y−5
依题意，得： − =3或 = ，
4 6 5 7
∴正确的方程为②③．
故选：D．
2．（2024秋•上海期中）一天，妙妙去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要35年才
出生；你若是我现在这么大，我就118岁啦！”，请问奶奶现在的年龄是 岁．
【分析】设奶奶现在的年龄是x岁，则妙妙现在的年龄是（2x﹣118）岁，根据妙妙与奶奶的年龄差不
变，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设奶奶现在的年龄是x岁，则妙妙现在的年龄是（2x﹣118）岁，
根据题意得：x﹣（2x﹣118）＝2x﹣118+35，解得：x＝67，
∴奶奶现在的年龄是67岁．
故答案为：67．
3．（2024秋•南岗区校级月考）我市计划把某一段公路的一侧全部换上丁香树，要求路的两端各栽一棵，
并且每两棵树的间隔相等．如果每隔5米栽1棵，则树苗缺21棵；如果每隔6米栽1棵，树苗正好用
完，道路共 米．
【分析】根据“路的长度不变”列方程求解．
【解答】解：设原有树苗x棵，
根据题意得：5（x+21﹣1）＝6（x﹣1），
解得：x＝106，
∴5×（106+21﹣1）＝630（米），
故答案为：630．
4．（2024•中山市三模）中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算
经》中有个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？其大意是：今有若干
人乘车，每三人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘．问共有
辆车．
【分析】设共有x辆车，根据人数相等，列出方程进行求解即可．
【解答】解：设共有x辆车，由题意，得：3（x﹣2）＝2x+9，
解得：x＝15；
答：共有15辆车；
故答案为：15．
5．（2024秋•永登县期中）为了全面提高学生的综合素养，启迪学生的数学思维，我校初一年级开展了
“数学核心素养竞赛——有理数计算”活动，设立特等奖和一、二等奖共 87人，其中二等奖人数比一
等奖人数的2倍多10人．设一等奖的人数为x人．
（1）请用含x的代数式表示：特等奖人数是 人，二等奖人数是 人（结果化为最简）；
（2）若特等奖奖品的单价为18元，一等奖奖品的单价为16元，二等奖奖品的单价为12元，请用含x
的代数式表示该校本次购买所有奖品需要的总费用，并将结果化为最简；
（3）在（2）的基础上，若一等奖的人数为20人，则该校本次购买所有奖品共花费多少元？
【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以写出相应的代数式；
（2）根据题目中的数据，可以用含x的代数式表示购买87件奖品所需的总费用；
（3）将x＝20代入（2）中的代数式，计算即可．【解答】解：（1）∵一等奖的人数为x人，二等奖人数比一等奖人数的2倍多10人，
∴二等奖有（2x+10）人，特等奖有87﹣x﹣（2x+10）＝（77﹣3x）人，
故答案为：（77﹣3x），（2x+10）；
（2）由题意可得，购买87件奖品所需的总费用为：18（77﹣3x）+16x+12（2x+10）
＝1386﹣54x+16x+24x+120
＝（1506﹣14x）元，
即购买87件奖品所需的总费用为（1506﹣14x）元；
（3）当x＝20时，
1506﹣14x＝1506﹣14×20＝1226（元），
答：该校购买87件奖品共花费1226元．
6．（2024秋•南岗区校级期中）七年级四班共有学生48人，其中男生人数比女生人数多2人，劳技课
上，老师组织同学们自己动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身11个或盒底26个．
（1）七年级四班有男生和女生各多少人？
（2）原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配2个盒底，那么这节课做出的盒身和盒
底不能完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒
底刚好配套．
【分析】（1）设七年级四班有男生x人，则有女生（48﹣x）人，根据男生人数比女生人数多2人，可
列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即男生的人数），再将其代入（48﹣x）中，即可求出
女生人数；
（2）设有y名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套，根据这节课制作的盒底的
总数量是制作的盒身总数量的2倍，可列出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）设七年级四班有男生x人，则有女生（48﹣x）人，
根据题意得：x﹣（48﹣x）＝2，
解得：x＝25，
∴48﹣x＝48﹣25＝23．
答：七年级四班有男生25人，女生23人；
（2）设有y名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套，
根据题意得：26（25﹣y）＝2×11（23+y），
解得：y＝3．
答：有3名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套．
7．（2024秋•香坊区校级期中）列一元一次方程解决实际问题（两问均需用方程求解）第九届亚洲冬季运动会于2025年在中国黑龙江省哈尔滨市举行，而有着少数民族风格的“滨滨”“妮
妮”吉祥物盲盒颇受大众关注．现有工厂生产吉祥物的盲盒，分为A、B两种包装，该工厂共有1000名
工人．
（1）若该工厂生产盲盒A的人数比生产盲盒B的人数的2倍少200人，请求出生产盲盒B的工人人
数；
（2）为了促销，工厂按商家要求生产盲盒大礼包，该大礼包由 2个盲盒A和3个盲盒B组成．已知每
个工人平均每天可以生产20个盲盒A或10个盲盒B，且每天只能生产一种包装的盲盒．该工厂应该安
排多少名工人生产盲盒A，多少名工人生产盲盒B才能使每天生产的盲盒正好配套？
【分析】（1）设生产盲盒B的工人人数为x人，则生产盲盒A的工人人数为（2x﹣200）人，根据该工
厂共有1000名工人，列出一元一次方程，解方程即可；
（2）设安排m人生产盲盒A，则安排（1000﹣m）人生产盲盒B，根据盲盒大礼包由2个盲盒A和3个
盲盒B组成．列出一元一次方程，解方程即可．
【解答】解：（1）设生产B的人数为x人，则生产A的人数为（2x﹣200）人，
于是（2x﹣200）+x＝1000，
解得：x＝400，
所以生产盲盒B的工人人数为400人，
答：生产盲盒B的工人人数为400人；
（2）设安排m人生产A，则安排（1000﹣m）人生产B，
于是3×20m＝2×10（1000﹣m），
解得：m＝250，
∴1000﹣m＝1000﹣250＝750（人），
所以该工厂应该安排250名工人生产A，750名工人生产B才能使每天生产的盲盒正好配套，
答：该工厂应该安排250名工人生产A，750名工人生产B才能使每天生产的盲盒正好配套．
【考点7 一元一次方程的应用（根据常见公式列方程）】
1．（2024秋•两江新区校级月考）张先生向商店订购某种商品80件，每件定价100元．张先生向商店经
理说：“如果你肯减价，每减价1元，我就多订购4件．“商品店经理算了一下，如果减价 5%，由于
张先生多订购，仍可获得与原来一样多的利润，则这种商品的成本是 元．
【分析】设这种商品的成本是x元，先计算出减价5%可多买20件，再用代数式表示此时每件商品的利
润为（100﹣100×5%﹣x）元，于是列方程得（80+20）（100﹣100×5%﹣x）＝80（100﹣x），解方程
求出x的值即得到问题的答案．【解答】解：设这种商品的成本是x元，
∵4×100×5%＝20（件），
∴减价5%可多买20件，
根据题意得（80+20）（100﹣100×5%﹣x）＝80（100﹣x），
解得x＝75，
故答案为：75．
商品利润
2．（2024秋•南岗区校级月考）已知：商品利润率= ×100%，某商人经营甲、乙两种商
商品成本价
品，每件甲种商品的利润率为80%，每件乙种商品的利润率为50%，当售出的乙种商品比售出的甲种商
品的件数多20%时，这个商人得到的总利润率为60%，甲、乙两种商品进价的比值是 ．
【分析】根据甲种商品利润+乙种商品利润＝两种商品的总进价×总利润率列出等式，对等式进行化简即
可求解
【解答】解：设甲、乙商品进价分别为a、b，售出甲种商品m件，则每件甲种商品的利润为80%a，每
件乙种商品的利润为50%b，售出乙种商品（1+20%）m件，
根据题意得，80%am+50%b×（1+20%）m＝60%[am+b×（1+20%）m]，
化简得，4a+3b＝3a+3.6b，
∴a＝0.6b，
a 3
∴ = ，
b 5
3
故答案为： ．
5
3．（2024秋•香坊区校级期中）甲、乙两城相距780千米，一辆货车和一辆客车分别从两城同时出发，相
3
向而行．货车每小时行50千米，货车每小时行驶的路程比客车每小时行驶的路程少 ，从出发开始经
8
过
小时两车相距130千米．
【分析】设从出发开始经过x小时两车相距130千米，利用路程＝速度×时间，结合两车的路程之和为
（780﹣130）千米或者（780+130）千米，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设从出发开始经过x小时两车相距130千米，
3 3
根据题意得：50x+50÷（1− ）x＝780﹣130或50x+50÷（1− ）x＝780+130，
8 8
解得：x＝5或x＝7，∴从出发开始经过5或7小时两车相距130千米．
故答案为：5或7．
4．（2024秋•南岗区校级期中）萧红中学社团活动开展的如火如荼，七年级无人机小组两名同学小汐和小
岑，准备利用周日时间，制作一架无人机．小汐单独做3小时完成，小岑单独做5小时完成．为了不影
4
响休息，所以两人准备一起先完成前 的工作量，求两位同学应该合作几小时？
5
【分析】根据工作效率×工资时间＝工作总量列方程求解即可．
4
【解答】解：小汐单独做3小时完成，小岑单独做5小时完成．两人准备一起先完成前 的工作量，
5
设两位同学应该合作x小时，依题意得：
1 1 4
( + )x= ，
3 5 5
解得x＝1.5，
答：两位同学应该合作1.5小时．
5．（2024秋•上海期中）一个水池有甲、乙、丙三个水管，单开甲管6小时可以将空池注满；单开乙管4
1
小时可以将空池注满；单开丙管12小时可以把满池的水放完；现在水池里有 的水，开放乙、丙两管2
4
小时后，三管齐开，求再过多少小时可以把水池注满？
【分析】设再过x小时可以把水池注满，则甲管开放了x小时，乙管开放了（x+2）小时，丙管开放了
（x+2）小时，利用水池中原有水量+甲管注入的水量+乙管注入的水量﹣丙管放出的水量＝整池水量，
可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设再过x小时可以把水池注满，则甲管开放了x小时，乙管开放了（x+2）小时，丙管开
放了（x+2）小时，
1 x x+2 x+2
根据题意得： + + − = 1，
4 6 4 12
5
解得：x= ．
4
5
答：再过 小时可以把水池注满．
4
6．（2024春•嘉定区期末）从夏令营营地到学校，先下山再走平路，一少先队员骑自行车以每小时12千
米的速度下山，以每小时9千米的速度通过平路，共用了55分钟；回来时，通过平路的速度不变，但
以每小时6千米的速度上山，共花去了1小时10分钟，问营地到学校有多少千米．【分析】根据题意，设山路x千米，从营地回学校共用了55分钟，从学校回营地用了1小时10分钟，
根据平路的速度不变，所以时间也不变，多用掉的时间是因为上山的速度降低了，可得出方程，解出即
可得到山路的路程．由此求出上山的时间，再求出平路的时间，根据速度乘时间等于路程求出平路的路
程，最后求和即可．
11 7
【解答】解：55分钟= 小时，1小时10分钟= 小时，
12 6
设山路x千米，
∵一少先队员骑自行车以每小时12千米的速度下山，以每小时9千米的速度通过平路，共用了55分
钟；回来时，通过平路的速度不变，但以每小时6千米的速度上山，共花去了1小时10分钟，
x x 7 11
∴ − = − ，
6 12 6 12
解得：x＝3，
1
3÷6= （小时），
2
7 1 2
− = （小时），
6 2 3
2
9× =6 （千米），
3
3+6＝9 （千米），
答：营地到学校有9千米．
7．（2024秋•汉阳区期中）甲、乙两人分别从 AB两地同时出发，相向而行，出发时甲和乙的速度比是
1 2
3：2，相遇后甲的速度提高 ，乙的速度提高 ，当甲到达B地时，乙离A地还有26km，两地相距多少
5 5
千米？
3 2
【分析】设两地相距x千米，则相遇时，甲行了 x千米，乙行了 x千米，利用时间＝路程÷速度，可
5 5
列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
3 2
【解答】解：设两地相距x千米，则相遇时，甲行了 x千米，乙行了 x千米，
5 5
2 3
x x−26
5 5
根据题意得： = ，
1 2
3×(1+ ) 2×(1+ )
5 5
解得：x＝90．答：两地相距90千米．
【考点8 一元一次方程的应用（根据题中的规律列方程）】
1．（2024秋•浙江期中）相传有神龟出于洛水，其背上有此图案（图1），史称“洛书”，图2是洛书的
数字表示．这也就是术数中常说的“九宫格”，就是将已知的9个数填入3×3的方格中，使每一行、每
一列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．在图3的“九宫格”中也有类似于图2的数字之和的这个
规律，则x的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣8 C．5 D．9
【分析】首先由4+5+6＝15＝5×3，得到每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和都相等，且等
于中间的数的3倍，然后在图3的“九宫格”中，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：∵4+5+6＝15＝5×3，
∴每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和都相等，且等于中间的数的3倍，
∴在图3的“九宫格”中，每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和等于中间的数（﹣5）的3
倍，
∴﹣2﹣5+x＝﹣5×3，
∴x＝﹣8．
故选：B．
2．（2024秋•江阴市期中）如图，在探究“幻方”、“幻圆”的活动课上，学生们感悟到我国传统数学文
化的魅力．一个小组尝试将数字﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6这12个数填入“六
角幻星”图中，使6条边上四个数之和都相等．部分数字已填入圆圈中，则a的值为 ．
【分析】根据将数字﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6这12个数填入“六角幻星”图中，使6条边上四个数之和都相等，可得，再观察“六角幻星”图可知﹣a+3与﹣a﹣3相差6，只有﹣
3，3或0，6满足，依此即可求解．
【解答】解：设右下边为x，由满足6条边上四个数之和都相等，它们的和为x﹣1，如图所示：
观察图形还有﹣4，﹣3，0，3，4，6五个数字，观察“六角幻星”图可知﹣a+3与﹣a﹣3相差6，只有
﹣3，3或0，6满足，
则﹣a﹣3＝﹣3或﹣a﹣3＝0，
解得a＝0或a＝﹣3，
当a＝0时，x﹣（x+a﹣4）＝4，x或x+a﹣4又有1个为0（不合题意舍去），
当a＝﹣3时，符合题意．
故答案为：﹣3．
3．（2024秋•雁塔区校级期中）将连续的奇数1，3，5，7，9，…排成如图所示的数表，记P 表示第m
mn
行第n个数，如，P 表示第3行第2个数是27．
32
（1）P ＝ ．
56
（2）若将数表中的7字形框上下左右移动，当T字形框中的四个数之和等于288时，求出四个数中的
最大数；
（3）用含m，n的代数式表示P ＝ ．
mn
【分析】（1）利用P ＝P +12，即可求出结论；
56 46
（2）设四个数中的最大数的数是x，则另外三个数分别是x﹣14，x﹣12，x﹣10，根据T字形框中的四
个数之和等于288，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；（3）由P 表示第m行第n个数，即第6（m﹣1）+n个奇数，将其代入第a个奇数是2a﹣1中，即可
mn
得出结论．
【解答】解：（1）根据题意得：P ＝47+12＝59．
56
故答案为：59；
（2）设四个数中的最大数的数是x，则另外三个数分别是x﹣14，x﹣12，x﹣10，
根据题意得：x﹣14+x﹣12+x﹣10+x＝288，
解得：x＝81．
答：四个数中的最大数是81；
（3）根据题意得：P 表示第m行第n个数，即第6（m﹣1）+n个奇数，
mn
∴P ＝2[6（m﹣1）+n]﹣1＝2（6m+n﹣6）﹣1＝12m+2n﹣13．
mn
故答案为：12m+2n﹣13．
4．（2024秋•宿城区期中）三阶幻方是最基础的幻方，又叫九宫格，要求由连续的九个整数组成一个三行
三列的数阵，其对角线、横行、纵行的和都相等．
（1）如图1，请用1﹣9这九个整数填写幻方数阵；
（2）如图2，一初慧泉中学数学兴趣小组的同学发现，对于三阶幻方，任何一个角上的数（如数a）都
1
等于与这个数不在同一横行、竖列及对角线上的两个数（如数b、c）之和的一半，即a= （b+c），你
2
认为他们的发现正确吗？说说你的道理；
（3）如图3，一初慧泉中学数学兴趣小组的同学研究了一个变形幻方，要求填入连续的8个整数，使每
一横行（3个数）、每一纵行（3个数）以及外圈（4个数）的和都相等，请你填写出这 8个数．
【分析】（1）按题意填空即可；
（2）设九个数依次为m+1，m+2，…，m+9，其各数之和为（m+1）+（m+2）+…+（m+9）＝9m+45，1
则 第 一 横 行 、 纵 行 和 对 角 线 上 三 数 之 和 为 (9m+45)=3m+15， 那 么 正 中 间 的 数 为
3
1 1
[4(3m+15)−(9m+45)]=m+5，填表之后得出则a+2x﹣c＝b+2x﹣a，即a= (b+c)；
3 2
（3）按题意填空即可．
【解答】解：（1）如图所示，其对角线、横行、纵行的和都为15；
4 9 2
3 5 7
8 1 6
（2）正确，理由如下：
设九个数依次为m+1，m+2，…，m+9，其各数之和为（m+1）+（m+2）+…+（m+9）＝9m+45，
1
则第一横行、纵行和对角线上三数之和为 (9m+45)=3m+15，
3
1
∴正中间的数为 [4(3m+15)−(9m+45)]=m+5，
3
即每一横（纵、对角线）之和是正中间数的3倍，
设正中间的数为x，
填表如下，
1
则a+2x﹣c＝b+2x﹣a，即a= (b+c)；
2
（3）
5．（2024秋•邳州市期中）三阶幻方又叫九宫格，它是由九个数字组成的一个三行三列的矩阵．三阶幻方有“和幻方”和“积幻方”之分．“和幻方”，指其每一横行、每一竖列、每条斜对角线上的三个数字
之和均相等；“积幻方”，指其每一横行、每一竖列、每条斜对角线上的三个数字之积均相等．
（1）如图1是一个“和幻方”，则a＝ ，b＝ ；
（2）如图2是一个“积幻方”，求mn的值．
【分析】（1）根据每一横行、每一竖列、每条斜对角线上的三个数字之和均相等，可列出关于a（b）
的一元一次方程，解之即可得出a（b）的值；
（2）根据每一横行、每一竖列、每条斜对角线上的三个数字之积均相等，可列出关于m（n）的一元一
次方程，解之可得出m（n）的值，再将其代入mn中即可求出结论．
【解答】解：（1）根据题意得：2+5+8＝6+a+8，2+5+8＝2+b+6，
解得：a＝1，b＝7．
故答案为：1，7；
4 4
（2）根据题意得：2×（− ）×（﹣3）＝﹣3×2×m，2×（− ）×（﹣3）＝2×2×n，
3 3
4
解得：m=− ，n＝2，
3
4 16
∴mn＝（− ）2= ．
3 9
6．（2024秋•东西湖区期中）观察下面有规律排列的三行数：
（1）第一行数中，第7个数是 ，第二行数中，第7个数是 ，第三行数中，第7个数是
；
（2）取每行数的第2024个数，计算这三个数的和是多少？
（3）如图，在第二行、第三行数中，用两个长方形组成“阶梯形”方框，框住 4个数，左右移动“阶
梯形”方框，是否存在框住的4个数的和为﹣5118，若存在，求这四个数，若不存在，请说明理由．【分析】（1）观察三行数，可找出“第一行数中，第n个数是（﹣2）n（n为正整数）；第二行中，第
n个数是（﹣2）n﹣1（n为正整数）；第三行中，第n个数是（﹣2）n+1+2（n为正整数）”，代入n＝
7，即可求出结论；
（2）将每行数的第2024个数相加，即可求出结论；
（3）根据框住的4个数的和为﹣5118，可得出（﹣2）n＝1024，解之可得出n的值，由该值符合题意，
可得出存在框住的4个数的和为﹣5118，再将（﹣2）n＝1024代入（﹣2）n﹣1，（﹣2）n+1﹣1，（﹣
2）n+2+2，（﹣2）n+3+2中，即可求出结论．
【解答】解：（1）∵第一行数中，第1个数是﹣2＝（﹣2）1，第2个数是4＝（﹣2）2，第3个数是﹣
8＝（﹣2）3，第4个数是16＝（﹣2）4，…，
∴第n个数是（﹣2）n（n为正整数），
∴第一行数中，第7个数是（﹣2）7＝﹣128；
观察三行数之间的关系，可得出第二行中，第n个数是（﹣2）n﹣1（n为正整数）；第三行中，第n个
数是﹣2[（﹣2）n﹣1]＝（﹣2）n+1+2（n为正整数），
∴第二行数中，第7个数是﹣128﹣1＝﹣129，第三行数中，第7个数是﹣2×（﹣128）+2＝258．
故答案为：﹣128，﹣129，258；
（2）根据题意得：（﹣2）2024+（﹣2）2024﹣1+（﹣2）2025+2
＝（﹣2）2024+（﹣2）2024﹣1﹣2×（﹣2）2024+2
＝1；
（3）根据题意得：[（﹣2）n﹣1]+[（﹣2）n+1﹣1]+[（﹣2）n+2+2]+[（﹣2）n+3+2]＝﹣5118，
整理得：（﹣2）n＝1024，
解得：n＝10，符合题意，
∴左右移动“阶梯形”方框，存在框住的4个数的和为﹣5118，
∴（﹣2）n﹣1＝1024﹣1＝1023；（﹣2）n+1﹣1＝﹣2×1024﹣1＝﹣2049；（﹣2）n+2+2＝4×1024+2＝
4098；（﹣2）n+3+2＝﹣8×1024+2＝﹣8190．
答：左右移动“阶梯形”方框，存在框住的4个数的和为﹣5118，这四个数分别是1023，﹣2049，
4098，﹣8190．
7．（2024秋•西城区校级期中）如图所示，将从1开始的自然数按某种规律填入方格表中，从上到下依次
为第1行，第2行，……；从左到右依次为第1列，第2列，……．请回答：
（1）第6行第5列的数字是 ；数字58在 行 列；
（2）第m行第n列的数字是 ；
（3）用形如正方形的框框出9个数字，这9个数字的和能否等于234？如果可以，求出位于正方形框中
心的数字；如果不可以，请说明理由．
【分析】（1）根据表格规律：7个一循环，每行的数字是上一行数字加 7即可得解，再利用58÷7＝
8.......2，即可得到答案；
（2）根据表格得到规律写出即可得到答案；
（3）根据（2）的规律列出几个数字，结合和为234，列式即可得到答案．
【解答】解：（1）由表格得到规律为：从第二行开始每行的数字是上一行数字加7，第一行数字为1、
2、3、4、5、6、7，
∴第6行第5列的数字为7×（6﹣1）+5＝7×5+5＝35+5＝40，
∵58÷7＝8.......2，8+1＝9，
∴58在第9行，第2列；
故答案为：40；9；2；
（2）由表格得到规律为：7个一循环，从第二行开始每行的数字是上一行数字加7，第一行数字为1、
2、3、4、5、6、7，
∴第m行第n列的数字为：7×（m﹣1）+n＝7m+n﹣7，即第m行第n列的数字是7m+n﹣7；
故答案为：7m+n﹣7；
（3）可以，理由如下：
设9个数字最中间的为x，由题意得，
x﹣8+x﹣7+x﹣6+x﹣1+x+x+1+x+6+x+7+x+8＝234，
解得：x＝26，
所以位于正方形框中心的数字是26．
【考点9 一元一次方程的应用（分段计费问题）】
1．（2024秋•杭州期中）某市居民用电电费目前实行梯度价格表．每月用电量 单价
不超出180千瓦时的部分 0.5元/千瓦时
超出180千瓦时不超出400千瓦 0.6元/千瓦时
时的部分
超出400千瓦时的部分 0.8元/千瓦时
（1）若月用电140千瓦时，应交电费 元，若月用电240千瓦时，应交电费 元；
（2）若居民王大爷家12月用电量为x千瓦（x＞400），请计算他们家12月应缴电费 元（用含
x的代数式表示）；
（3）若居民李大爷家11、12月份共用电380千瓦时（其中11月份用电量少于12月份），设11月用电
a千瓦时（80＜a＜180），求李大爷11、12月共交电费多少元？（用含a的代数式表示，并化简）
【分析】（1）根据表格可知，用电不超出180千瓦时，按照单价0.5元/千瓦时收费，即可求解；月用
电超出180千瓦时，前面180千瓦时按照0.5元/千瓦时收费，超过部分按照0.6元/千瓦时收费，即可求
解；
（2）按照收费标准求解即可；
（3）根据题意求解即可．
【解答】解：（1）月用电140千瓦时，应交电费：140×0.5＝70（元），
月用电240千瓦时，应交电费：180×0.5+（240﹣180）×0.6＝126（元），
故答案为：70，126；
（2）180×0.5+（400﹣180）×0.6+（x﹣400）×0.8＝90+132+0.8x﹣320＝（0.8x﹣98）元，
故答案为：（0.8x﹣98）；
（3）∵居民李大爷家11、12月份共用电380千瓦时（其中11月份用电量少于12月份），设11月用电
a千瓦时（80＜a＜180），
∴12月用电200＜380﹣a＜300，
∴11、12月共交电费为：0.5a+0.5×180+（380﹣a﹣180）×0.6＝（210﹣0.1a）元，
答：李大爷11、12月共交电费（210﹣0.1a）元．
2．（2024秋•黄埔区期中）水果批发市场批发丰水梨的价格如表：
购买丰水梨（千克） 单价
不超过10千克的部分 9元/千克
超过10千克但不超过20千克的部分 8元/千克
超过20千克的部分 6元/千克
（1）若陈阿姨第一次购买丰水梨5千克，需要付费 元；第二次购买丰水梨15千克，需要付费 元；
第三次购买丰水梨x千克（x超过20千克），需要付费 元（化简结果用含x的式子表示）．
（2）若陈阿姨购买丰水梨花了200元，求她买了多少千克的丰水梨？
（3）若陈阿姨分两次共购买50千克的丰水梨，且第一次购买的数量为a千克（0＜a≤20），请问她这
两次购买丰水梨共需要付多少元？（化简结果用含a的式子表示）
【分析】（1）当购买丰水梨5千克时，利用应付费用＝9×购买质量，可求出结论；当购买丰水梨15千
克时，利用应付费用＝9×10+8×超过10千克的部分，可求出结论；当购买丰水梨x千克（x超过20千
克），利用应付费用＝9×10+8×（20﹣10）+6×超过20千克的部分，即可用含x的代数式表示出应付费
用；
（2）设陈阿姨买了m千克的丰水梨，求出购买20千克的丰水梨应付费用，由该值小于200元，可得出
m＞20，由（1）的结论结合应付费用为200元，可列出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论；
（3）分0＜a≤10及10＜a≤20两种情况考虑，当0＜a≤10时，利用陈阿姨这两次购买丰水梨应付费
用＝9×第一次购买的数量+6×第二次购买的数量+50，即可用含a的代数式表示出陈阿姨这两次购买丰
水梨应付费用；当10＜a≤20时，利用陈阿姨这两次购买丰水梨应付费用＝9×10+8×（第一次购买的数
量﹣10）+6×第二次购买的数量+50，即可用含a的代数式表示出陈阿姨这两次购买丰水梨应付费用．
【解答】解：（1）根据题意得：9×5＝45（元）；
9×10+8×（15﹣10）＝130（元）；
当x＞20时，需要付费9×10+8×（20﹣10）+6（x﹣20）＝（6x+50）（元）．
故答案为：45，130，（6x+50）；
（2）设陈阿姨买了m千克的丰水梨，
∵9×10+8×（20﹣10）＝170（元），170＜200，
∴m＞20．
根据题意得：6m+50＝200，
解得：m＝25．
答：陈阿姨买了25千克的丰水梨；
（3）∵陈阿姨分两次共购买50千克的丰水梨，且第一次购买的数量为a千克（0＜a≤20），
∴陈阿姨第二次购买的数量为（50﹣a）千克．
当0＜a≤10时，需要付费9a+6（50﹣a）+50＝（3a+350）（元）；
当10＜a≤20时，需要付费9×10+8（a﹣10）+6（50﹣a）+50＝（2a+360）（元）．
答：若0＜a≤10，则陈阿姨这两次购买丰水梨共需要付（3a+350）元；若10＜a≤20，则陈阿姨这两次
购买丰水梨共需要付（2a+360）元．3．（2024秋•金水区期中）网约车已成为人们出行的首选便捷工具，某网约车行车计费规则如下表：
项目 时长费 里程费 远途费
单价 0.5元/分钟 1.6元/千米 0.4元/千米
乘客车费由时长费、里程费、远途费三部分构成．其中时长费按行车实际时间计算；里程费按行车的实
际里程计算；远途费收取标准如下：行车里程 10千米以内（含10千米），不收远途费，超过10千米
的，超出部分每千米收0.4元．
（1）张老师乘坐该网约车，行车里程为20千米，行车时间为30分钟，需付车费 元；
（2）若小明乘坐该网约车，行车里程为a千米，行车时间为b分钟．请用含a，b的代数式表示车费，
并化简：当a≤10时，小明应付车费 元；当a＞10时，小明应付车费 元；
（3）小明和张老师都乘坐该网约车，行车里程分别是 7.5千米和12千米，如果两人所付车费相同，那
么两人所乘的两辆网约车的行车时间相差 分钟．
【分析】（1）利用乘客车费＝时长费+里程费+远途费，即可求出结论；
（2）当a≤10时，利用小明应付车费＝时长费+里程费，可用含a，b的代数式表示出小明应付车费；
当a＞10时，利用小明应付车费＝时长费+里程费+远途费，可用含a，b的代数式表示出小明应付车
费；
（3）设两人所乘的两辆网约车的行车时间相差 x分钟，利用0.5×两人所乘的两辆网约车的行车时间之
差＝1.6×两人所乘的两辆网约车的里程之差+0.4×张老师乘坐网约车的远途费，可列出关于x的一元一次
方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）根据题意得：0.5×30+1.6×20+0.4×（20﹣10）
＝0.5×30+1.6×20+0.4×10
＝15+32+4
＝51（元），
∴张老师需付车费51元．
故答案为：51；
（2）根据题意得：当a≤10时，小明应付车费（0.5b+1.6a）元；
当a＞10时，小明应付车费0.5b+1.6a+0.4（a﹣10）＝（0.5b+2a﹣4）元．
故答案为：（0.5b+1.6a），（0.5b+2a﹣4）；
（3）设两人所乘的两辆网约车的行车时间相差x分钟，
根据题意得：0.5x＝1.6×（12﹣7.5）+0.4×（12﹣10），
解得：x＝16，
∴两人所乘的两辆网约车的行车时间相差16分钟．故答案为：16．
4．（2024秋•南海区期中）美团外卖骑手分为专职和兼职两种，专职骑手月工资4000元保底，每送一单
外卖可再得3元；兼职骑手没有保底工资，每送一单外卖可得4元，小张是一名专职美团骑手，小李是
一名兼职美团骑手．
（1）若10月小张和小李送出的外卖单数相同，且小张比小李多收入了2500元，求小张送出了多少单
外卖．
（2）根据国家个人所得税率标准，工资超过5000时，需要交纳个人所得税，税率如表所示：
级数 工资范围 个人税率
1 不超过5000元 0
2 超过5000元至不超过8000元的部分 3%
3 超过8000元至不超过17000元的部分 10%
… … …
问题：如果小张在11月交了200元的个人所得税，请问小张在11月送出了多少单外卖？
【分析】（1）设小张送出了送出了a单，根据小张比小李多收入了2500元，建立方程求解即可；
（2）先表示小张送的钱数，再表格中的数据可以表示小张的个人所得税，建立方程求解即可．
【解答】解：（1）设小张送出了送出了a单，则小李也送出了a单，
根据题意可得，4000+3a﹣4a＝2500，
解得a＝1500，
∴小张送出了1500单外卖；
（2）∵（8000﹣5000）×3%＝90，90＜200，
∴小张的收入高于8000元，
设小张送出了送出了b单，
则小张的收入为4000+3b，
∴3000×3%+（4000+3b﹣8000）×10%＝200，
解得：b＝1700，
∴小张11月份送了1700单外卖．
5．（2024秋•丽水期中）为了节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计量，将居民的每月生活用水水
价分为三个等级：一级：20吨及以下，二级：大于20吨，不超过30吨，三级：30吨以上．以下是小
青家水费发票的部分信息：（居民生活水费＝自来水费+污水处理费）
（1）从以上信息可知，水费的收费标准（含污水处理费）：每月用水 20吨及以内为 元/吨，每
月用水20～30吨（含30吨）为 元/吨，30吨及以上为 元/吨．（2）随着气温的降低，小青家的用水量也在逐步下降，已知 2024年2月份小青家所缴的水费为55.20
元，请你计算小青家该月份的用水量为多少吨？
（3）为了提倡节约用水，小青家打算将水费控制在不少于48元，不超过74元，那么用水量应该如何
控制？
丽水市xx县自来水公司水费专用发票联
计费日期：2023﹣07﹣01至2023﹣08﹣11
付款期限：
上期抄见数 本期抄见数 加原表用水量/吨 本期用水量/吨
884 919 35
自来水费 污水处理费
用水量/吨 单价/元 金额/元 用水量/吨 单价/元 金额/元
阶梯一20 1.3 26.00 20 0.50 10.00
阶梯二10 19.00 10 0.50 5.00
阶梯三5 15.00 5 0.50 2.50
本期实付金额 （大写）柒拾柒元伍角整77.50元
【分析】（1）利用单价＝自来水费的单价+污水处理费的单价，即可求出结论；
（2）设小青家该月份的用水量为x吨，由36＜55.2＜60，可得出20＜x＜30，利用2024年2月份小青
家所缴的水费＝36+2.4×用水量超过20吨的部分，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（3）设小青家该月份的用水量为y吨，分水费为48元及水费为74元两种情况，求出y的值，再结合
“小青家打算将水费控制在不少于48元，不超过74元”，即可确定结论．
【解答】解：（1）根据题意得：每月用水20吨及以内为1.3+0.5＝1.8（元/吨）；
每月用水20～30吨（含30吨）为19÷10+0.5＝2.4（元/吨）；
30吨及以上为15÷5+0.5＝3.5（元/吨）．
故答案为：1.8，2.4，3.5；
（2）设小青家该月份的用水量为x吨，
∵26+10＝36（元），36+19+5＝60（元），36＜55.2＜60，
∴20＜x＜30．
根据题意得：36+2.4（x﹣20）＝55.2，
解得：x＝28．
答：小青家该月份的用水量为28吨；
（3）设小青家该月份的用水量为y吨，当水费为48元时，36+2.4（y﹣20）＝48，
解得：y＝25；
当水费为74元时，60+3.5（y﹣30）＝74，
解得：y＝34，
∴用水量应该控制在不少于25吨，不超过34吨．
6．（2024秋•建湖县期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节
水的目的，该市自来水收费的收费标准如表：
收费标准（注：水费按月份结算）
每月用水量 单价（元/立方米）
不超出6立方米的部分 2
超出6立方米不超出10立方米的部分 4
超出10立方米的部分 8
例如：某户居民1月份用水8立方米，应收水费为2×6+4×（8﹣6）＝20（元）
请根据上表的内容解答下列问题：
（1）若某户居民2月份用水7立方米，则应收水费 元
（2）若某户居民4月份用水a立方米（其中6＜a≤10），请用含a的代数式表示应收水费 ．
（3）若某户居民3月份交水费60元，则3月份用水量为 立方米；
（4）若某户居民5、6两个月共用水18立方米（6月份用水量超过了10立方米），设5月份用水x立
方米，请用含x的代数式表示该户居民5、6两个月共交水费多少元？
【分析】（1）根据用水7立方米，结合水费收费标准表，即可列式作答；
（2）根据6＜a≤10，结合水费收费标准表，即可列式作答；
（3）先算出刚用10立方米的水费，发现交水费60元的用水量大于10立方米，故设该月用水量为b立
方米（10＜b），结合水费收费标准表，即可列式作答；
（4）设5月份用水x立方米，则6月份用水（18﹣x）立方米，且9＜x≤18，结合水费收费标准表，即
可列式作答．
【解答】解：（1）依题意，6×2+（7﹣6）×4＝12+4＝16（元），
故某户居民2月份用水7立方米，则应收水费16元，
故答案为：16；
（2）依题意，
6×2+（a﹣6）×4＝（﹣12+4a）（元），
故某户居民4月份用水a立方米（其中6＜a≤10），应收水费（﹣12+4a）元，故答案为：（﹣12+4a）；
（3）依题意，当用水量刚好10立方米，则6×2+（10﹣6）×4＝12+16＝28（元），
∵60＞28，
∴设3月份用水量为b立方米（b＞10），
则6×2+（10﹣6）×4+（b﹣10）×8＝12+16+8b﹣80＝8b﹣52（元），
即8b﹣52＝60，
解得b＝14，
故3月份用水量为14立方米；
故答案为：14；
（4）依题意，设5月份用水x立方米，则6月份用水（18﹣x）立方米，且18﹣x＞10，
当10＜18﹣x＜12，6月份的水费：
6×2+（10﹣6）×4+（18﹣x﹣10）×8＝92﹣8x（元），
此时该户居民5、6两个月共交水费：4x﹣12+﹣8x+92＝（80﹣4x）（元）；
当0≤x≤6时，5月份的水费：2x（元），
当12≤18﹣x≤18，6月份的水费：
6×2+（10﹣6）×4+（18﹣x﹣10）×8＝（92﹣8x）（元），
综上所述，该户居民5、6两个月共交水费：2x﹣8x+92＝（92﹣6x）（元）或（92﹣8x）（元）
【考点10 一元一次方程的应用（方案最优化问题）】
1．（2023秋•武都区期末）红领巾球馆计划购买某品牌的乒乓球拍和乒乓球．已知该品牌的乒乓球拍每副
定价150元，乒乓球每盒定价15元．元旦期间该品牌决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优
惠方案，即
方案一：买一副乒乓球拍送两盒乒乓球；
方案二：乒乓球拍和乒乓球都按定价的90%付款．
该球馆计划购买乒乓球拍10副，乒乓球x盒（x＞20，x为整数）．
（1）当x＝40时，若该球馆按方案一购买，需付款 元；若该球馆按方案二购买，需付款
元；
（2）当x为何值时，分别用两种方式购买所需费用一样？
（3）若x＝40，能否找到一种更为省钱的购买方案？如果能，请你写出购买方案，并计算出此方案所
需费用；如果不能，请说明理由．
【分析】（1）认真读懂题意，按照两种付费方案列代数式；
（2）由（1）得代数式相等，求x值即可；（3）购买20副球拍和20盒乒乓球采用第一种方案，10盒乒乓球采用第二种方案，计算出应付钱数．
【解答】解：（1）方案一需付款：150×10+（x﹣20）×15＝（15x+1200）元，
方案二需付款：（150×10+15x）×90%＝（13.5x+1350）元；
当x＝40时，方案一需付款＝15x+1200＝15×40+1200＝1800（元），
方案二需付款：13.5x+1350＝13.5×40+1350＝1890（元）；
故答案为：1800元，1890元；
（2）根据题意可列方程为：13.5x+1350＝15x+1200，
解得：x＝100，
答：当x＝100时，分别用两种方式购买所需费用一样；
（3）购买10副球拍和20盒乒乓球采用第一种方案，20盒乒乓球采用第二种方案，
∴应付钱数：10×150+（40﹣20）×15×90%＝1770（元）．
2．（2023秋•潮阳区期末）某企业加工一批员工制服，现有甲、乙两个加工厂都想加工这批制服，已知甲
工厂每天能加工这种制服18套，乙工厂每天能加工这种制服27套，且单独加工这批制服甲厂比乙厂要
多用10天．在加工过程中，企业需付甲厂每天费用80元、付乙厂每天费用120元．
（1）求这批制服共有多少套．
（2）为了尽快完成这批制服，先由甲、乙两厂按原生产速度合作一段时间后，甲工厂停工，而乙工厂
1
每天的生产速度提高 ，乙工厂单独完成剩余部分，且乙工厂的全部工作时间是甲工厂工作时间的 2倍
9
还少7天，求乙工厂共加工多少天．
（3）经企业研究决定制定如下方案：方案一：由甲工厂单独完成：方案二：由乙工厂单独完成：方案
三：按（2）问方式完成：并且每种方案在加工过程中，每个工厂需要一名工程师进行技术指导，并由
企业提供每天15元的午餐补助费，请你通过计算帮企业选择一种最省钱的加工方案．
【分析】（1）设单独加工这批校服乙厂需要x天，则甲厂需要（x+10）天，利用学校加工的服装数量
不变列出方程，解方程即可得出甲乙两长的生产时间，利用甲厂的生产时间×甲厂的工作效率即可得出
结论；
（2）设实际生产中甲厂的工作时间为y天，则乙厂的全部工作时间为（2y﹣7）天，利用甲乙合作共同
完成了生产任务为等量关系，列出方程解方程即可得出结论；
（3）分别利用所付费用＝生产时间×每天所付费用，计算出三个方案的费用，通过比较可得最省钱的加
工方案．
【解答】解：（1）设单独加工这批校服乙厂需要x天，则甲厂需要（x+10）天，由题意得：18（x+10）＝27x，
解得：x＝20．
∴这批校服共有：20×27＝540（套）．
答：这批校服共有540套．
（2）设实际生产中甲厂的工作时间为y天，则乙厂的全部工作时间为（2y﹣7）天，
1
由题意得：（18+27）y+27（1+ ）（2y﹣7﹣y）＝540，
9
解得：y＝10．
∴2y﹣7＝20﹣7＝13（天）．
答：乙工厂共加工13天．
（3）由题意得：由（1）知：甲厂的设出时间为：x+10＝30（天），
∴方案一所付费用为：（15+80）×30＝2850（元）；
方案二所付费用为：（15+120）×20＝2700（元）；
方案三所付费用为：（15+80）×10+（120+15）×13＝2705（元）．
∵2700＜2705＜2850，
∴学校选择方案二最省钱．
3．（2023秋•荔湾区期末）为进一步加强学生“学党史、知党情、跟党走”的信心，培养学生的民族精神
和爱国主义情怀，某学校组织开展以“观看红色电影，点燃红色初心”为主题的教育活动．电影票价格
表如下：
购票张数 1至40 41至80 80以上
每张票的价格 20元 18元 免2张门票，其余每张17元
该校七年级两个班共有83名学生去看电影，其中七（1）班的学生人数超过30，但不足40．
（1）如果两个班都以班为单位单独购票，一共付了1572元．求七（2）班学生的人数；
（2）在（1）所得的班级学生人数下，如果七（1）班有7名学生因有比赛任务不能参加这次活动，请
你为两个班级设计购买电影票的方案，并指出最省钱的方案．
【分析】（1）设七（1）班有x名学生，则七（2）班有（83﹣x）名学生，由“七（1）班的学生人数
超过30，但不足40”，可得出七（2）班超过43且不足53，结合“两个班都以班为单位单独购票，一
共付了1572元”，可列出关于x的一元一次方程，解之可求出七（1）班学生的人数，再将其代入（83
﹣x）中，即可求出七（2）班学生的人数；
（2）分别求出以班为单位单独购票、两班联合购买（83﹣7）张票及两个班联合购买81张票所需费
用，比较后即可得出结论．【解答】解：（1）设七（1）班有x名学生，则七（2）班有（83﹣x）名学生，
根据题意得：20x+18（83﹣x）＝1572，
解得：x＝39，
∴83﹣x＝83﹣39＝44（人）．
答：七（2）班有44名学生；
（2）方案1：以班为单位单独购票，所需费用为20×（39﹣7）+18×44＝1432（元）；
方案2：两个班联合购买正好张数的票，所需费用为18×（83﹣7）＝1368（元）；
方案3：两个班联合购买81张票，所需费用为17×（81﹣2）＝1343（元）．
∵1432＞1368＞1343，
∴最省钱的方案为两个班联合购买81张票．
4．（2023秋•和县期末）冬季已经来临，学校准备组织七年级学生参观冰雪大世界．参观门票学生票价为
160元，冰雪大世界经营方为学校推出两种优惠方案，方案一：“所有学生门票一律九折”；方案二：
“如果学生人数超过100人，则超出的部分打八折”．
（1）求参观学生为多少人时，两种方案费用一样．
（2）学校准备租车送学生去冰雪大世界，如果单独租用45座的客车若干辆，则有15人没有座位；若
租用同样数量的60座客车，则多出一辆，且其余客车恰好坐满，求我校七年级共有多少学生参观冰雪
大世界？（司机不占用客车座位数）
（3）在（2）的条件下，学校采用哪种优惠方案购买门票更省钱？
【分析】（1）设参观学生为x人，根据两种优惠方案花费相等列出方程，解方程即可；
（2）设学校租用45座的客车a辆，根据两个客车所拉学生人数相等列方程，解方程即可；
（3）比较两种方案的花费得出结论．
【解答】解：（1）设参观学生为x人，两种方案费用一样，
根据题意得：160×0.9x＝160×100+（x﹣100）×160×0.8，
整理得：16x＝3200，
解得：x＝200，
答：参观学生为200人时，两种方案费用一样；
（2）设学校租用45座的客车a辆，
由题意得：45a+15＝60（a﹣1），
解得：a＝5，
∴七年级参观冰雪大世界的人数为：60（5﹣1）＝240（人），
答：我校七年级共有240学生参观冰雪大世界；（3）采用方案一花费：160×0.9×240＝34560（元）；
采用方案二花费：100×160+140×160×0.8＝16000+17920＝33920（元）；
∵33920＜34560，
∴采用方案二购买门票更省钱．
5．（2023秋•曲阳县期末）甲、乙两城相距800千米，一辆客车从甲城开往乙城，车速为a（0＜a＜100）
千米/小时，同时一辆出租车从乙城开往甲城，车速为90千米/小时，设客车行驶时间为t（小时）
（1）当t＝5时，客车与乙城的距离为 千米（用含a的代数式表示）
（2）已知a＝70，丙城在甲、乙两城之间，且与甲城相距260千米
①求客车与出租车相距100千米时客车的行驶时间；（列方程解答）
②已知客车和出租车在甲、乙之间的服务站M处相遇时，出租车乘客小王突然接到开会通知，需要立
即返回，此时小王有两种返回乙城的方案：
方案一：继续乘坐出租车到丙城，加油后立刻返回乙城，出租车加油时间忽略不计；
方案二：在M处换乘客车返回乙城．
试通过计算，分析小王选择哪种方案能更快到达乙城？
【分析】第一问用代数式表示，第二问中用到了一元一次方程的知识，也用到了相遇的知识，要求会画
图形，数形结合更好的解决相遇问题．
【解答】解：（1）当t＝5时，客车与乙城的距离为（800﹣5a）千米
故答案为：（800﹣5a）；
（2）①解：设当客车与出租车相距100千米时客车的行驶时间是t小时
a：当客车和出租车没有相遇时
70t+90t+100＝800
解得：t＝4.375
b：当客车和出租车相遇后
70t+90t﹣100＝800
解得：t＝5.625
当客车与出租车相距100千米时客车的行驶时间是4.375小时或5.625小时
②小王选择方案二能更快到达乙城．【精思博考：选择方案一时，小王需要 7小时到达乙城；选择方
案二时，小王需要小时到达乙城】
解：设客车和出租车x小时相遇
70x+90x＝800
∴x＝5此时客车走的路程为350km，出租车的路程为450km
∴丙城与M城之间的距离为90km
方案一：小王需要的时间是（90+90+450）÷90＝7h
45
方案二：小王需要的时间是 450÷70=
7
∴小王选择方案二能更快到达乙城．
6．（2023秋•邵阳期末）为准备春节文艺汇演，甲、乙两所学校共92名学生（其中甲校学生多于乙校学
生，且甲校学生不够90名）准备统一购买服装参加演出，下面是服装厂给出的演出服装的价格表：
购买服装的套数 1套至45 46至90套 91套及以上
套
每套服装的价格 60元 50元 40元
如果两所学校分别单独购买服装，一共应付5000元．
（1）甲、乙两校各有多少名学生准备参加演出？
（2）如果两校联合起来购买服装，那么比各自购买服装共可以节省多少钱？
（3）如果甲校有6名学生被调去参加书法比赛不能参加演出，请你为两校设计购买服装方案，并说明
哪一种最省钱．
【分析】（1）设甲校有x名学生参加演出，则乙校有（92﹣x）名学生参加演出，根据总价＝单价×数
量结合他们一共应付5000元，得出关于x的一元一次方程，解方程得出结论；
（2）用5000﹣92套服装所需费用，即可求出结论；
（3）分别求出购买服装、一起购买及购买91套服装所需费用，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设甲校有x名学生准备参加演出，则乙校有（92﹣x）名学生参加演出，
根据题意得：50x+60（92﹣x）＝5000
解得，x＝52．
∴92﹣x＝92﹣52＝40，
答：甲校有52名学生准备参加演出，乙校有40名学生准备参加演出；
（2）由题意得：5000﹣92×40＝1320（元），
答：甲、乙两校联合起来购买服装比各自购买服装共可以节省1320元；
（3）因为甲校有6名学生不能参加演出，则甲校有46名学生参加演出，
①若两校联合购买服装，则需要（46+40）×50＝4300 （元）．
②若两校各自购买服装，则需要（46+40）×60＝5160（ 元）
③若两校联合购买91套服装，则需要40×91＝3640 （元）
综上所述，最省钱的购买服装方案是两校联合购买91套服装．7．（2023秋•兴宾区期末）某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为 0.1万元；经粗加
工后销售，每吨利润可达0.5万元；经精加工后销售，每吨利润涨至0.8万元．当地一家蔬菜公司收购
这种蔬菜120吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工14吨：如果进行
精加工，每天可加工5吨，但两种加工方式不能在同一天同时进行，受季节条件限制，公司必须在15
天内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此，公司研制了三种可行方案：
方案一；将蔬菜全部进行粗加工．
方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没来得及进行加工的蔬菜在市场上直接销售．
方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好15天完成．
你认为哪种方案利润最大，为什么？
【分析】由条件可知全部蔬菜均可进行粗加工，计算120×0.5可得到方案一的利润；由条件可知15天可
精加工蔬菜75吨，计算75×0.8+45×0.1可得到方案二的利润；设用x天精加工蔬菜，则用（15﹣x）天
粗加工蔬菜，列方程求出x的值，得精加工蔬菜50吨，粗加工蔬菜70吨，计算50×0.8+70×0.5可得到
方案三的利润，对比即可得到结果．
【解答】解：方案一：由条件可知全部蔬菜均可进行粗加工，
120×0.5＝60（万元），
∴将蔬菜全部进行粗加工再销售，可获得利润60万元；
方案二：由条件可知15天可精加工蔬菜15×5＝75（吨），
则剩下120﹣75＝45（吨）在市场上直接销售，
75×0.8+45×0.1＝64.5（万元），
∴尽可能多的对蔬菜进行精加工，没来得及进行加工的蔬菜在市场上直接销售，可获得利润64.5万
元；
方案三：设用x天精加工蔬菜，则用（15﹣x）天粗加工蔬菜，
依题意得，5x+14（15﹣x）＝120，
解得x＝10，
得精加工蔬菜5×10＝50（吨），粗加工蔬菜14×5＝70（吨），
50×0.8+70×0.5＝75（万元）；
∵60＜64.5＜75，
∴方案三获得利润最大，最大利润为75万元．
【考点11 一元一次方程的应用（动点问题）】
1．（2024秋•镇江期中）如图已知数轴上点A、B分别表示a、b，且|b+6|与（a﹣9）2互为相反数，O为原
点．若电子蚂蚁M、N分别从点A、B同时出发，点M以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点N以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动．
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）若电子蚂蚁N向右运动遇到电子蚂蚁M就会按原速返回，返回至点B后立刻原速向右运动，遇到
电子蚂蚁M就会按原速返回，返回至点B后立刻原速向右运动…，循环运动一直到电子蚂蚁M运动到
点B处结束，此时电子蚂蚁N的运动路程为 ；
（3）电子蚂蚁N到点A后立刻按原来的速度改变方向向左运动，设运动时间为t（t＞0）秒．
①求t为何值时，电子蚂蚁M、N与A的距离相同；
②求t为何值时，电子蚂蚁M与N相距4个单位长度，直接写出答案．
【分析】（1）由|b+6|与（a﹣9）2互为相反数，可得出|b+6|+（a﹣9）2＝0，结合绝对值及偶次方的非
负性，即可求出a，b的值；
（2）利用时间＝路程÷速度，可求出电子蚂蚁M的运动时间（即电子蚂蚁N的运动时间），再利用路
程＝速度×时间，即可求出电子蚂蚁N的运动路程；
（3）利用时间＝路程÷速度，可求出点N到达点A所需时间．
①当0≤t≤7.5时，电子蚂蚁M表示的数为9﹣t，电子蚂蚁N表示的数为﹣6+2t，由电子蚂蚁M、N与
A的距离相同（同在点A左侧，相等即可），可列出关于t的一元一次方程，解之可得出t的值；当t＞
7.5时，电子蚂蚁M表示的数为9﹣t，电子蚂蚁N表示的数为24﹣2t，由电子蚂蚁M、N与A的距离相
同（同在点A左侧，相等即可），可列出关于t的一元一次方程，解之可得出t的值；
②当0≤t≤7.5时，电子蚂蚁M表示的数为9﹣t，电子蚂蚁N表示的数为﹣6+2t，由电子蚂蚁M与N
相距4个单位长度，可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之可得出t的值；当t＞7.5时，
电子蚂蚁M表示的数为9﹣t，电子蚂蚁N表示的数为24﹣2t，由电子蚂蚁M与N相距4个单位长度，
可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之可得出t的值．
【解答】解：（1）∵|b+6|与（a﹣9）2互为相反数，
∴|b+6|+（a﹣9）2＝0，
∴b+6＝0，a﹣9＝0，
解得：a＝9，b＝﹣6．
故答案为：9；﹣6；
（2）∵点A表示的数为9，点B表示的数为﹣6，
∴AB＝|9﹣（﹣6）|＝15，
∴电子蚂蚁M的运动时间为15÷1＝15（秒），∴电子蚂蚁N的运动时间为15秒，
∴电子蚂蚁N的运动路程为2×15＝30．
故答案为：30；
（3）电子蚂蚁N从点B到点A所需的时间为15÷2＝7.5（秒）．
①当0≤t≤7.5时，电子蚂蚁M表示的数为9﹣t，电子蚂蚁N表示的数为﹣6+2t，
∴9﹣t＝﹣6+2t，
解得：t＝5；
当t＞7.5时，电子蚂蚁M表示的数为9﹣t，电子蚂蚁N表示的数为9﹣2（t﹣7.5）＝24﹣2t，
∴9﹣t＝24﹣2t，
解得：t＝15．
答：t为5或15时，电子蚂蚁M、N与A的距离相同；
②当0≤t≤7.5时，电子蚂蚁M表示的数为9﹣t，电子蚂蚁N表示的数为﹣6+2t，
∴|9﹣t﹣（﹣6+2t）|＝4，
即15﹣3t＝4或3t﹣15＝4，
11 19
解得：t= 或 ；
3 3
当t＞7.5时，电子蚂蚁M表示的数为9﹣t，电子蚂蚁N表示的数为9﹣2（t﹣7.5）＝24﹣2t，
∴|9﹣t﹣（24﹣2t）|＝4，
即15﹣t＝4或t﹣15＝4，
解得：t＝11或t＝19．
11 19
答：当t为 或 或11或19时，电子蚂蚁M与N相距4个单位长度．
3 3
2．（2024秋•海珠区期中）如图，A，B两点在数轴上分别表示有理数a，b，且满足|a+3|+（b﹣9）2＝0，
点O为原点．
（1）请直接写出a＝ ，b＝ ；
（2）一动点P从A出发，以每秒2个单位长度向左运动，一动点Q从B出发，以每秒3个单位长度向
左运动，设运动时间为t（秒）．
①试探究：P、Q两点到原点的距离可能相等吗？若能，请直接写出t的值；若不能，请说明理由；
②若动点Q从B出发后，到达原点O后保持原来的速度向右运动，当点Q在线段OB上运动时，分别
AB−OQ
取OB和AQ的中点E，F，试判断 的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明
EF理由．
【分析】（1）根据非负数的性质即可求出a、b的值；
（2）①先表示出运动t秒后P点对应的数为﹣3﹣2t，Q点对应的数为9﹣3t，再根据两点间的距离公
式得出PO＝|﹣3﹣2t|，OQ＝|9﹣3t|，利用建立方程，求解即可；
AB−OQ
②先分别表示出点E表示的数，点F表示的数，再计算 即可．
EF
【解答】解：（1）∵|a+3|+（b﹣9）2＝0，
∴a+3＝0，b﹣9＝0，
∴a＝﹣3，b＝9，
故答案为：﹣3，9；
（2）①∵若动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从B出发，
以每秒3个单位长度向左运动，
∴运动t秒后P点对应的数为﹣3﹣2t，Q点对应的数为9﹣3t，
∴|﹣3﹣2t|＝|9﹣3t|，
6
解得t= 或12，
5
6
答：点P的运动时间t为 或12秒；
5
AB−OQ
② 的值是一个定值，理由如下：
EF
9
当点Q运动到线段OB上时，OB中点E表示的数是 ，
2
9−3t−(−3) 3
当Q从B向O运动时，AQ中点F表示的数是−3+ =3− t，
2 2
9 3 3 3
则EF= −(3− t)= + t，
2 2 2 2
AB−OQ (9+3)−(9−3t)
= =2
所以 EF 3 3 ；
+ t
2 2
当Q从O向B运动时，Q点对应数为3t﹣9，
3t−9−(−3) 3
AQ中点F表示的数是−3+ = t−6，
2 29 3 21 3
则EF= −( t−6)= − t，
2 2 2 2
AB−OQ (9+3)−(3t−9)
= =2
所以 EF 21 3 ；
− t
2 2
AB−OQ
故 的值是一个定值，为2．
EF
3．（2024秋•南沙区期中）已知式子M＝（a﹣16）x3+20x2+10x+5是关于x的二次多项式，且二次项的系
数为b，在数轴上有A，B，C三个点，且点A，B，C三点所表示的数分别为a，b，c，如图所示，已知
AC＝6AB．
（1）a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）若点P到A点的距离是点P到B点的距离的2倍，求点P的对应的数；
（3）动点P从C出发，以每秒1个单位的速度向右移动，设移动时间为t秒．当点P运动到A点时，
点Q也从C点出发，以每秒4个单位的速度向右运动，Q点到达B点后，再立即以同样的速度返回，运
动到终点C．在点Q开始运动后第几秒时，P，Q两点之间的距离为8？请说明理由．
【分析】（1）由式子M是关于x的二次多项式，可求出a值，结合该多项式的二次项为b，可得出b的
值，由AC＝6AB结合点C在点A的左侧，即可求出c的值；
（2）设点P对应的数为x，根据点P到A点的距离是点P到B点的距离的2倍，可列出关于x的含绝对
值符号的一元一次方程，解之即可得出结论；
（3）利用时间＝路程÷速度，求出点Q到达点B及点Q返回点C所需时间，设点Q的运动时间为m
秒，当0≤m≤7时，点P对应的数是16+m，点Q对应的数是﹣8+4m，根据P，Q两点之间的距离为
8，可列出关于m的含绝对值符号的一元一次方程，解之取其符合题意的值即可；当7＜m≤14时，点P
对应的数是16+m，点Q对应的数是20﹣4（m﹣7）＝48﹣4m，根据P，Q两点之间的距离为8，可列
出关于m的含绝对值符号的一元一次方程，解之取其符合题意的值即可．
【解答】解：（1）∵式子M＝（a﹣16）x3+20x2+10x+5是关于x的二次多项式，且二次项的系数为b，
∴a﹣16＝0，b＝20，
∴a＝16．
∵AC＝6AB，且点C在点A的左侧，
∴16﹣c＝6×（20﹣16），
∴c＝﹣8．故答案为：16，20，﹣8；
（2）设点P对应的数为x，
根据题意得：|x﹣16|＝2|x﹣20|，
即x﹣16＝2（x﹣20）或x﹣16＝2（20﹣x），
56
解得：x＝24或x= ．
3
56
答：点P对应的数为 或24；
3
（3）|﹣8﹣20|÷4＝7（秒），7×2＝14（秒）．
设点Q的运动时间为m秒，
∵当点P运动到A点时，点Q也从C点出发，且点A对应的数为16，
∴当0≤m≤7时，点P对应的数是16+m，点Q对应的数是﹣8+4m，
根据题意得：|16+m﹣（﹣8+4m）|＝8，
即24﹣3m＝8或3m﹣24＝8，
16 32
解得：m= 或m= （不符合题意，舍去）；
3 3
当7＜m≤14时，点P对应的数是16+m，点Q对应的数是20﹣4（m﹣7）＝48﹣4m，
解得：|16+m﹣（48﹣4m）|＝8，
即32﹣5m＝8或5m﹣32＝8，
24
解得：m= （不符合题意，舍去）或m＝8．
5
16
答：在点Q开始运动 秒或8秒时，P，Q两点之间的距离为8．
3
4．（2024秋•香洲区校级期中）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完
美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，则A，B
a+b
两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为 ；
2
【问题情境】如图，已知数轴上有A、B两点，分别表示的数为﹣10，6，点P以每秒2个单位长度的速
度从点A出发沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒1个单位长度从点B出发沿数轴向左匀速运动，当一个
点到达终点，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）A、B两点的距离为 个单位长度；线段AB的中点M所表示的数为 ；（2）当t＝2时，求出此时P，Q两点在数轴上表示的数；
（3）用含t的代数式表示P，Q两点在数轴上对应的数；
（4）求出当t为何值时，P，Q两点的距离为5．
【分析】（1）利用数轴上两点间的距离公式及线段中点表示的数，可求出 A，B两点的距离及点M表
示的数；
（2）利用点P表示的数＝﹣10+点P的运动速度×运动时间及点Q表示的数＝6﹣点Q的运动速度×运动
时间，即可得出结论；
（3）利用点P表示的数＝﹣10+点P的运动速度×运动时间及点Q表示的数＝6﹣点Q的运动速度×运动
时间，即可用含t的代数式表示出点P，Q表示的数；
（4）根据P，Q两点的距离为5，可列出关于t的含绝对值的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）∵点A表示的数为﹣10，点B表示的数为6，
−10+6
∴A，B两点的距离为|﹣10﹣6|＝16，线段AB的中点M所表示的数为 =−2．
2
故答案为：16，﹣2；
（2）根据题意得：当t＝2时，点P表示的数为﹣10+2×2＝﹣6；
点Q表示的数为6﹣1×2＝4；
（3）根据题意得：当运动时间为t秒时，点P表示的数为﹣10+2t；
点Q表示的数为6﹣t；
（4）根据题意得：|﹣10+2t﹣（6﹣t）|＝5，
即16﹣3t＝5或3t﹣16＝5，
11
解得：t= 或t＝7．
3
11
答：当t为 或7时，P，Q两点的距离为5．
3
5．（2024秋•靖江市校级期中）【背景知识】若数轴上的点 A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点
a+b
之间的距离为|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为 ．
2
利用数形结合思想解决下列问题：如图，数轴上点 A表示的数为﹣2，点B表示的数为10，点P从点A
出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的
速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）．（1）填空：A、B两点间的距离AB＝ ，线段PQ的中点表示的代数式为 ；
1
（2）若点M为PA的中点，点N为QB的中点，在运动过程中，当t为何值时，MN= AB；
2
（3）点P从A点向右匀速运动，同时点Q从B点向左匀速运动，P到B后以每秒4个单位长度的速度
沿数轴向A匀速运动，到达A后停止运动，在此运动过程中P、Q两点之间的距离能否为2个单位．如
果能，请求出此时点P表示的数；如果不能，请说明理由．
【分析】（1）利用数轴上两点间的距离公式，可求出AB的值，当运动时间为t（t＞0）秒时，点P表
示的数为﹣2+3t，点Q表示的数为10﹣2t，再用含t的代数式表示出线段PQ的中点即可；
−4+3t 1
（2）当运动时间为t（t＞0）秒时，点M表示的数为 ，点N表示的数为10﹣t，根据MN=
2 2
AB，可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论；
（3）利用时间＝路程÷速度，可求出点P运动到点B及点P返回到点A所需时间，当0≤t≤4时，点P
表示的数为﹣2+3t，点Q表示的数为10﹣2t，根据PQ＝2，可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方
程，解之可得出t的值，将其代入（﹣2+3t）中，即可求出结论；当4＜t≤7时，点P表示的数为26﹣
4t，点Q表示的数为10﹣2t，根据PQ＝2，可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之可得出t
的值，将其代入（26﹣4t）中，即可求出结论．
【解答】解：（1）∵数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为10，
∴AB＝|﹣2﹣10|＝12；
∵点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点 Q从点B出发，以每秒2
个单位长度的速度向左匀速运动，
∴当运动时间为t（t＞0）秒时，点P表示的数为﹣2+3t，点Q表示的数为10﹣2t，
−2+3t+10−2t 8+t
∴线段PQ的中点表示的代数式为 = ．
2 2
8+t
故答案为：12， ；
2
（2）∵点M为PA的中点，点N为QB的中点，
−2−2+3t −4+3t
∴当运动时间为 t（t＞0）秒时，点 M 表示的数为 = ，点 N 表示的数为
2 210−2t+10
=10﹣t．
2
−4+3t 1
根据题意得：| −（10﹣t）|= ×12，
2 2
5 5
即12− t＝6或 t﹣12＝6，
2 2
12 36
解得：t= 或t= ．
5 5
12 36 1
答：当t为 或 时，MN= AB；
5 5 2
（3）12÷3＝4（秒），4+12÷4＝7（秒）．
当0≤t≤4时，点P表示的数为﹣2+3t，点Q表示的数为10﹣2t，
∴|﹣2+3t﹣（10﹣2t）|＝2，
即12﹣5t＝2或5t﹣12＝2，
14
解得：t＝2或t= ，
5
14 32
∴﹣2+3t＝﹣2+3×2＝4或﹣2+3t＝﹣2+3× = ；
5 5
当4＜t≤7时，点P表示的数为10﹣4（t﹣4）＝26﹣4t，点Q表示的数为10﹣2t，
∴|26﹣4t﹣（10﹣2t）|＝2，
即16﹣2t＝2或2t﹣16＝2，
解得：t＝7或t＝9（不符合题意，舍去），
∴26﹣4t＝26﹣4×7＝﹣2．
32
答：在此运动过程中P、Q两点之间的距离能为2个单位，此时点P表示的数为4或 或﹣2．
5
6．（2024秋•广州期中）初一年级开设了丰富多彩的选修课，佳佳同学在“数学实验与探究”课上借助两
根木棒PQ、MN研究数轴上的动点问题：
如图，数轴上有A，B，C三个点，分别表示有理数﹣24，﹣10和12、佳佳把两根木棒放在数轴上，使
点Q与点A重合，点N与点B重合，点P在点Q的左边，点M在点N的左边，且PQ＝2，MN＝6．木
棒MN从点B开始一直向右以每秒1个单位的速度匀速运动；木棒PQ同时从点A开始向右以每秒3个
单位的速度匀速运动，当点Q运动到C时，木棒PQ立即以每秒2个单位的速度返回（返回过程中，仍
然保持点P在点Q的左边），当点Q再次运动到点A时，两根木棒立即同时停止运动，设运动时间为 t
秒．（1）当t＝16时，点N表示的数为 ，点P表示的数为 ；
（2）在整个运动的过程中，当线段PM和线段QN的长度之和为12时，求出对应的t的值；
（3）点D为木棒PQ上一点，在整个运动过程中，是否存在某些时间段，使得点D到点P、Q、M、N
的距离之和为一个定值？若存在，请求出这个定值和持续的总时长；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据题意列式计算即可得出答案；
（2）分0＜t≤12时和12＜t≤30两种情况解答即可；
（3）分0＜t≤12时和12＜t≤30两种情况进行讨论即可得出答案．
【解答】解：（1）当t＝16时，点N表示的数为：﹣10+16＝6，
[12﹣（﹣24）]÷3＝12，
P表示的数为：12﹣（16﹣12）×2﹣2＝2，
故答案为：6，2；
（2）况1：当0＜t≤12时，P：﹣26+3t，M：﹣16+t，Q：﹣24+3t，N：﹣10+t，
PM＝|（﹣26+3t）﹣（﹣16+t）|＝|2t﹣10|，
QN＝|（﹣24+3t）﹣（﹣10+t）|＝|2t﹣14|，
∵PM+QN＝12，
∴|2t﹣10|+|2t﹣14|＝12，即|t﹣5|+|t﹣7|＝6，
∴t ＝3，t ＝9；
1 2
况2：当12＜t≤30时，
P：10﹣2（t﹣12）＝34﹣2t，M：﹣16+t，Q：36﹣2t，N：﹣10+t，
PM＝|50﹣3t|，QN＝|46﹣3t|，
∵PM+QN＝12，
50 46
|t− |+|t− |=4，
3 3
∴t ＝14，t ＝18，
3 4
综上所述，对应t的值为3秒、9秒、14秒或18秒；10
（3）定值为8；持续总时长为 秒，求解过程如下：
3
∵点D为小木棒PQ上任意一点，
∴在运动过程中PD+QD＝PQ＝2始终保持不变，
∴只要使DM+DN保持不变即可，
∴当PQ与MN完全重合时，点D到点P、Q、M、N的距离之和为一个定值，该定值为PQ+MN＝2+6＝
8；
况1：当0＜t≤12时，
1°∵﹣26+3t＝﹣16+t，
∴t ＝5；
1
2°∵﹣24+3t＝﹣10+t，
∴t ＝7；
2
∴5≤t≤7，
∴持续时长：7﹣5＝2（秒）；
况2：当12＜t≤30时，
∵36﹣2t＝﹣10+t，
46
∴t = ，
3 3
2°∵﹣16+t＝34﹣2t，
50
∴t = ，
4 3
50 46 4
∴持续时长为 − = （ 秒），
3 3 3
4 10
2+ = （ 秒），
3 3
10
∴持续的总时长为 秒．
3
7．（2024秋•天津期中）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美
地结合．研究数轴我们发现了很多重要的规律．如数轴上点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则
A、B两点之间的距离表示为AB＝|a﹣b|．
【综合运用一】如图，数轴上点E表示为﹣3，点F表示为2．
（1）线段EF的长度是 ．
（2）若x表示任意一个有理数．利用数轴回答下列问题：①当|x+3|+|x﹣2|＝7，则x＝ ．
式子|x+3|+|x﹣2|是否存在最小值？若不存在，请说明理由；若存在，请直接说出x的取值范围，并化简
求出最小值？
【综合运用二】已知点A、B、C为数轴上三个点，表示的数分别是a，b，c，满足（c﹣7）2+|b﹣13|＝
1
0，且a为− 的倒数．
12
（1）a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）若动点P从点A出发沿数轴正方向运动，动点Q同时从点B出发也沿数轴正方向运动，点P的速
度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度．设运动的时间为t秒（t＞0）．
①用含t的式子表示：t秒后，点P表示的数为 ，点Q表示的数为 ；
②当PO＝6时，求t的值．
（3）在（2）的条件下，P、Q出发的同时，动点M从点C出发沿数轴正方向运动，速度为每秒5个单
位长度，点M追上点Q后立即返回沿数轴负方向运动．求点M追上点Q后再经过几秒，MQ＝2MP？
【分析】综合运用一：（1）根据两点间的距离公式即可求解；
（2）根据|x+3|+|x﹣2|的几何意义即可解答；
综合运用二：（1）根据平方和绝对值的非负性，倒数的定义即可解答；
（2）①根据题意直接列出代数式即可；
②由PO＝6，结合两点间的距离公式即可得到关于t的方程，求解即可；
（3）点M未追上点Q时，表示出点M表示的数，根据点M追上点Q时，点M，Q表示的数相同，可
求出运动的时间和此时点M表示的数，从而可求出点M返回沿负方向运动时所表示的数，根据两点间
的距离公式，根据MQ＝2MP可列出方程，求解即可．
【解答】解：综合运用一：
（1）∵点E表示为﹣3，点F表示为2，
∴EF＝|﹣3﹣2|＝5；
故答案为：5；
（2）①∵点E表示为﹣3，点F表示为2，
数轴上到点E的距离和到点F的距离之和为7的点表示的数是﹣4或3，
∴当|x+3|+|x﹣2|＝7时，x＝﹣4或3；
故答案为：﹣4或3②当﹣3≤x≤2时，|x+3|+|x﹣2|取得最小值，最小值为5；
综合运用二：
1
（1）∵a为− 的倒数，
12
∴a＝﹣12，
∵（c﹣7）2≥0，|b﹣13|≥0，且（c﹣7）2+|b﹣13|＝0，
∴（c﹣7）2＝0，|b﹣13|＝0，
∴c＝7，b＝13．
故答案为：﹣12，13，7；
（2）①当运动t秒时，点P表示的数为﹣12+3t，点Q表示的数为13+2t．
故答案为：﹣12+3t，13+2t；
②当PO＝6时，|﹣12+3t|＝6，
∴﹣12+3t＝±6，
解得t＝2或6；
（3）点M未追上点Q时，点M表示的数为7+5t，
当点M追上点Q时，7+5t＝13+2t，
解得t＝2，
即当它们运动2秒时，点M追上点Q，此时点M表示的数为7+5×2＝17，
∵点M追上点Q后立即返回沿数轴负方向运动，
∴点M表示的数为17﹣5（t﹣2）＝﹣5t+19，
当MQ＝2MP时，|（﹣5t+19）﹣（13+2t）|＝2|（﹣5t+19）﹣（﹣12+3t）|，
56 68
解得t= 或 ，
9 23
56 38 68 22
∴ −2= ， −2= ，
9 9 23 23
∴点M追上点Q后再经过秒或秒，MQ＝2MP．
