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11.2.1 一元一次不等式（12 大类型提分练）
题型01 一元一次不等式的定义
y
1．（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）下列式子：①x+2=2，②x>1，③x+3，④ −1<2，一元一
3
次不等式的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义，含有一个未知数，未知数的次数是1，未知数的系数不
为0，左右两边为整式的不等式，叫做一元一次不等式．根据一元一次不等式的定义分析判断即可．
【详解】解：①x+2=2，是方程，不是一元一次不等式；
②x>1，是一元一次不等式；
③x+3，是代数式，不是不等式；
y
④ −1<2，是一元一次不等式；
3
综上，一元一次不等式的个数为2个，
故选：B．
2．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知(m+4)x|m)−3+6>0是关于x的一元一次不等式，则m的值为（
）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】本题考查了一元一次不等式“含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等
式”，熟记一元一次不等式的定义是解题关键．根据一元一次不等式的定义可得m+4≠0，且|m|−3=1，
由此即可得解．
【详解】解：∵(m+4)x|m)−3+6>0是关于x的一元一次不等式，
∴m+4≠0，且|m|−3=1，
∴m=4．
故答案为：4．
3．（24-25七年级下·上海浦东新·期中）已知(m+3)x|m)−2+2>0是关于x的一元一次不等式，则m的值为
．
【答案】3
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义，含有一个未知数，且未知数的次数是1的不等式，叫做
{|m)−2=1)
一元一次不等式，据此可得 ，解之即可得到答案．
m+3≠0【详解】解：∵(m+3)x|m)−2+2>0是关于x的一元一次不等式，
{|m)−2=1)
∴ ，
m+3≠0
∴m=3，
故答案为：3．
题型02 解一元一次不等式
2x−1 x
4．（24-25七年级下·山西临汾·期中）解一元一次不等式 −1≤ 时，去分母正确的是（ ）
5 2
A．2(2x−1)−10≤5x B．2(2x−1)−1≤5x
C．2x−1−10≤5x D．2x−1−1≤5x
【答案】A
【分析】本题主要考查一元一次不等式的解法，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键；此题可根
据一元一次不等式的解法进行排除选项．
2x−1 x
【详解】解：解一元一次不等式 −1≤ 时，
5 2
去分母得：2(2x−1)−10≤5x；
故选：A．
5．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）解下列不等式．
(1)5x−2≥x；
x x−1
(2) +1< ．
3 2
1
【答案】(1)x≥
2
(2)x>9
【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
（1）移项，合并同类项，系数化1即可得解；
（2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1即可得解．
【详解】（1）解：5x−2≥x
移项，得5x−x≥2，
合并同类项，得4x≥2，
1
化系数为1，得x≥ ；
2
x x−1
（2） +1<
3 2
去分母，得2x+6<3(x−1)，
去括号，得2x+6<3x−3，移项，得2x−3x<−3−6，
合并同类项，得−x<−9，
系数化1，得x>9．
x+2 x−1
6．（24-25七年级下·上海·期中）解不等式 ≤ +1．
3 2
【答案】x≥1
【分析】本题考查了解不等式，根据解不等式的一般步骤，去分母、去括号、移项、合并同类项，系数化
成1解不等式即可．
x+2 x−1
【详解】解： ≤ +1，
3 2
去分母得：2(x+2)≤3(x−1)+6，
去括号得：2x+4≤3x−3+6，
移项、合并同类项得：−x≤−1，
∴不等式的解集是：x≥1．
2x+1 x−7
7．（24-25七年级下·上海闵行·期中）解不等式： −5≤ −x
3 2
【答案】x≤1
【分析】本题考查了解不等式，根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可．
【详解】解∶去分母，得2(2x+1)−30≤3(x−7)−6x，
去括号，得4x+2−30≤3x−21−6x，
移项，得4x−3x+6x≤−21−2+30，
合并同类项，得7x≤7，
系数化为1，得x≤1．
题型03 在数轴上表示一元一次不等式的解集
x 2x−4
8．（24-25九年级下·陕西安康·期中）不等式 − ≥1的解集在数轴上表示正确的是（ ）
2 3
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了解不等式、在数轴上表示不等式的解集等知识点，正确求得不等式的解集成为解
题的关键．
先求得不等式的解集，然后在数轴上表示出来即可．
x 2x−4
【详解】解： − ≥1，
2 3x 2x−4
×6− ×6≥1×6，
2 3
3x−2(2x−4)≥6，
3x−4x+8≥6，
3x−4x≥6−8，
−x≥−2，
x≤2，
在数轴上表示如下：
．
故选D．
1−x 2x
9．（24-25七年级下·福建福州·期中）解不等式 <1− ，并在数轴上表示它的解集．
2 5
【答案】x>−5，数轴见解析
【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式的步骤
是解题的关键．按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答．
【详解】解：5(1−x)<10−2×2x
5−5x<10−4x
−5x+4x<10−5
−x<5
x>−5．
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示．
x x+1
10．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）求不等式 + ≤2的解集并在数轴上表示出来．
2 3
【答案】x≤2，数轴见解析
【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解答本题的关键．按照
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求出不等式的解集，然后在数轴上表示出不等式
的解集．
x x+1
【详解】解：∵ + ≤2
2 3
∴3x+2x+2≤12
∴5x≤10
∴x≤2解集在数轴上表示：
题型04 列一元一次不等式求解代数式大小问题
1−3x
11．（24-25七年级下·全国·课后作业） 当x的值是 时，代数式
2
的值不
小于代数式x−2的值．
【答案】1（答案不唯一）
【分析】本题考查解一元一次不等式，根据题意列不等式，求出不等式的解集即可．
1−3x 1−3x
【详解】解：由代数式 的值不小于代数式x−2的值，得： ≥x−2，
2 2
解得x≤1，
故答案为：1（答案不唯一）．
3(x+1) x−3
12．（24-25七年级下·安徽安庆·阶段练习）已知代数式 2− 的值大于代数式 3+ 的值，试求
8 4
x的最大整数值．
【答案】−2
【分析】本题考查求不等式的整数解，根据题意，列出不等式，求出解集后，即可得出结果．
3(x+1) x−3
【详解】解：由题意，得：2− >3+ ，
8 4
解得：x<−1，
∴x的最大整数值为−2．
2x+1 2x−1
13．（24-25七年级下·上海黄浦·期中）当x满足什么条件时，2− 的值不大于 的值？
2 6
5
【答案】x≥
4
【分析】本题考查了解一元一次不等式，由题意得出不等式是解题的关键．
2x+1 2x−1
先由题意得到2− ≤ ，再解一元一次不等式即可．
2 6
2x+1 2x−1
【详解】解：由题意得，2− ≤ ，
2 6
5
解得：x≥ ，
4
5 2x+1 2x−1
∴当x≥ 时，2− 的值不大于 的值．
4 2 6
题型05 一元一次不等式的特殊解
14．（24-25七年级下·吉林长春·期中）不等式2x−10≤8−4x 的正整数解的和为 ．
【答案】6【分析】本题主要考查了求一元一次不等式的整数解，按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不
等式的解集，进而求出其正整数解即可得到答案．
【详解】解：2x−10≤8−4x，
移项得：2x+4x≤8+10，
合并同类项得：6x≤18，
系数化为1得：x≤3，
∴不等式的正整数解为1、2、3，
∴不等式2x−10≤8−4x的正整数解的和为1+2+3=6，
故答案为：6．
x−9 3x+4
15．（24-25七年级下·全国·课后作业）不等式 +1< 负整数解有多少个？
3 2
【答案】不等式的负整数解为−3,−2,−1，共3个．
【分析】本题主要考查解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式是解题的关键．根据运算法则求出
24
x>− ，即可得到负整数解．
7
【详解】解：去分母，得2(x−9)+6<3(3x+4)，
去括号，得2x−18+6<9x+12，
移项、合并同类项，得−7x<24，
24
系数化为1，得x>− ，
7
∴不等式的负整数解为−3,−2,−1，共3个．
3x−2 2x+1
16．（24-25七年级下·全国·课后作业）不等式 ≥ −1的非负整数解有 个．
5 3
【答案】5
【分析】本题考查求一元一次不等式的非负整数解．按照“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化
为1”的步骤求出不等式的解集，进而得出非负整数解．
3x−2 2x+1
【详解】解： ≥ −1，
5 3
3(3x−2)≥5(2x+1)−15，
9x−6≥10x+5−15，
9x−10x≥5−15+6，
−x≥−4，
解得x≤4，
所以非负整数解是x=0,1,2,3,4．一共有5个．
故答案为：5．
题型06 已知不等式解集求字母的取值17．（24-25八年级下·陕西西安·开学考试）若关于x的不等式5x+m≥7x的解集为x≤2．则m的值为 ．
【答案】4
m m
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，先解不等式得到x≤ ，由不等式得解集为x≤2，则 =2，
2 2
解方程即可得到答案．
m
【详解】解：解不等式5x+m≤7x得x≤ ，
2
∵不等式得解集为x≤2，
m
∴ =2，
2
∴m=4，
故答案为：4．
18．（24-25七年级下·安徽宣城·期中）如果关于x的不等式3x−a≤1的解集如图所示，则a的值是 ．
【答案】−4
【分析】此题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，解一元一次方程，熟练掌握不等式
的解法是解本题的关键．
表示出不等式的解集，由数轴上表示的不等式解集确定出a的值即可．
【详解】解：∵3x−a≤1，
∴3x≤a+1，
a+1
则x≤ ，
3
由数轴知x≤−1，
a+1
∴ =−1，
3
解得a=−4，
故答案为：−4．
19．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知关于x的一元一次不等式ax+1>0的解集是x<2，则a的值是
．
1
【答案】− /−0.5
2
【分析】本题考查根据不等式的解集求字母的值．先解不等式ax+1>0，然后根据不等式ax+1>0的解集
是x<2求出a的值即可．
【详解】解：ax+1>0，
移项得ax>−1，
1
当a>0时，系数化为1得x> ，舍去，
a1
当a<0时，系数化为1得x<− ，
a
∵不等式ax+1>0的解集是x<2，
1 1
∴− =2，即a=− ，
a 2
1
故答案为：− ．
2
m+3
20．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知不等式mx−3>2x+m的解集是x< ，求m的取值范围．
m−2
【答案】m<2
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，理解并掌握不等式的基本性质是解题关键．不等式的基本性
质：（1）不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；（2）不等式两边乘(或除以)同一个
正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．据此求解即可．
【详解】解：解不等式mx−3>2x+m，
不等式的两边同时减去(2x−3)，得(m−2)x>m+3．
m+3
∵它的解集是x< ，
m−2
∴m−2<0，
∴m<2．
题型07 已知不等式的解的情况求字母的值
21．（24-25七年级下·四川乐山·期中）已知关于x的不等式3x−a<0的正整数解恰好是1、2、3，则a的取
值范围是（ ）
A．9−3−m，再根据不等式的负整数解只有四个得到
−5≤−3−m<−4，解不等式组即可得到答案．
【详解】解：2x−m<3(x+1)
去括号，得2x−m<3x+3，
移项，得2x−3x<3+m，合并同类项，得−x<3+m，
系数化为1，得x>−3−m．
∵不等式的负整数解只有四个，
∴−5≤−3−m<−4
解得16(x+1)−2的最大整数解是方程
4x−mx=10的解，m= ．
13
【答案】
2
【分析】本题考查一元一次不等式的整数解、一元一次方程的解，解题的关键是明确一元一次不等式的解
法和一元一次方程的解法．解不等式求得它的解集，从而可以求得它的最大整数解，然后代入方程
4x−mx=10，从而可以得到m的值．
【详解】解：3(x−2)−5>6(x+1)−2，
3x−6−5>6x+6−2，
3x<−15，
∴x<−5，
∴最大整数解为−4，
把x=−4代入4x−mx=10，得：−16+4m=10，
13
解得m= ．
2
13
故答案为： ．
2
x−2
26．（23-24七年级下·山东德州·阶段练习）已知关于x的方程 +m=2，若该方程的解是不等式
3
1+3x
2x−1< 的最大整数解，则m= ．
2
【答案】2
【分析】本题考查了一元一次不等式的解集和解一元一次方程，解题的关键在于熟练掌握不等式和方程的
解题技巧．先求出不等式的解集，利用方程的解是不等式的最大整数解，即可求出m的值，将m的值代入
方程即可求出的值．
1+3x
【详解】解：2x−1<
2
4x−2<1+3x
4x−3x<1+2
x<3，1+3x
∴不等式2x−1< 的最大整数解为2，
2
x−2
∵关于x的方程 +m=2的解是x=2，
3
2−2
∴ +m=2，
3
∴m=2，
故答案为：2．
27．（23-24七年级下·山东烟台·期末）若不等式3(x+1)−7<4(x−1)+5的最小整数解是关于x的方程
1
x−ax=11的解，请求出代数式a2−2a−11的值．
4
【答案】−8
【分析】本题考查解一元一次不等式的整数解、解一元一次方程、代数式求值，先解一元一次不等式求得
不等式的最小整数解是−4，再代入方程求得a=3，最后代入代数式求值即可．
【详解】解：3(x+1)−7<4(x−1)+5，
解得x>−5，
∴不等式的最小整数解是−4，
1
∵不等式的最小整数解是关于x的方程 x−ax=11的解，
4
1
∴把x=−4代入得， ×(−4)−a×(−4)=11，
4
解得a=3，
把a=3代入a2−2a−11得，a2−2a−11=9−6−11=−8．
1−3x a−1
28．（24-25七年级下·上海·阶段练习）关于x的方程 +a= 的解是x=1，求关于x的不等式
2 3
3 1 1
ax+ ≥ a的解集，并求出满足条件的最小整数解．
4 6 2
4
【答案】x≥ ，满足条件的最小整数解为1
9
【分析】本题考查了一元一次方程的解、解一元一次方程、解一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式
的解法是解题关键．先将x=1代入方程可得一个关于a的一元一次方程，解方程可得a=1，再代入不等式
可得一个关于x的一元一次不等式，解不等式，由此即可得．
1−3x a−1
【详解】解：∵关于x的方程 +a= 的解是x=1，
2 3
1−3×1 a−1
∴ +a= ，
2 3
解得a=1，3 1 1 3 1 1
∴关于x的不等式 ax+ ≥ a为 x+ ≥ ，
4 6 2 4 6 2
不等式的两边同乘以12，得9x+2≥6，
4
解得x≥ ，
9
所以满足条件的最小整数解为1．
题型09 一元一次不等式与二元一次方程组的含参问题
{3x+ y=1+3a)
29．（24-25七年级下·河南新乡·期中）已知方程组 的解满足x+ y>0，则a的取值范围是
x+3 y=1−a
（ ）
A．a>−1 B．a<1 C．−11
【答案】A
【分析】本题考查的是二元一次方程组和一元一次不等式的综合问题，解题的关键是掌握相关知识．方程
组两方程相加，变形后表示出x+ y，代入已知不等式计算即可求出a的范围．．
{3x+ y=1+3a①)
【详解】解：
x+3 y=1−a②
①+②得：
3x+ y+x+3 y=1+3a+1−a
4x+4 y=2+2a
1
x+ y= (1+a)，
2
{3x+ y=1+3a)
∵方程组 的解满足x+ y>0，
x+3 y=1−a
1
∴ (1+a)>0，
2
解得：a>−1，
故选：A．
30．（24-25七年级下·湖南永州·期中）已知关于x，y的方程组¿的解满足x+ y≥8，求k的取值范围．
【答案】k的取值范围为k≥2
【分析】本题考查了解一元一次不等式，二元一次方程的解．把两方程相减可得到x+ y=−2+5k，所以
−2+5k≥8，然后解不等式得到k的取值范围．
【详解】解：¿，
方法一：②×2－①得y=4−7k，
将y=4−7k代入②，得x+2(4−7k)=2−2k，
解得x=−6+12k，
∴x+ y=−2+5k
∵x+ y≥8，∴−2+5k≥8
解得k≥2，
即k的取值范围为k≥2．
方法二：①－②，得x+ y=−2+5k，
∵x+ y≥8，
所以−2+5k≥8，解得k≥2
即k的取值范围为k≥2．
{3x−y=2a−5)
31．（23-24七年级下·四川宜宾·阶段练习）若关于x，y的方程组 ．
x+2y=3a+3
(1)若方程组的解满足y≤8−4x，则满足条件的a的最大值是多少？
(2)若方程组的解满足x是非正数，y是正数，化解|1−a)+|a−2)−|2a−2)．
【答案】(1)2
(2)1
【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，一元一次不等式组，化简绝对值；
（1）根据加减消元法得出y=5a−2−4x，根据题意得出5a−2≤8，解得a≤2，进而即可求解；
{x=a−1)
（2）根据加减消元法求得方程组的解为 ，根据题意列出不等式组，进而求得a的范围，并化简
y=a+2
绝对值，即可求解．
{3x−y=2a−5①)
【详解】（1）解：
x+2y=3a+3②
①+②得4x+ y=5a−2
∴y=5a−2−4x
∵y≤8−4x，
∴5a−2≤8
解得：a≤2
∴满足条件的a的最大值是2；
{3x−y=2a−5①)
（2）解：
x+2y=3a+3②
①×2+②得，7x=7a−7
解得：x=a−1
把x=a−1代入①得，3(a−1)−y=2a−5，
解得：y=a+2
{x=a−1)
∴
y=a+2
∵x是非正数，y是正数，{a−1≤0)
∴
a+2>0
解得：−20,a−2<0,a−1<0
∴|1−a)+|a−2)−|2a−2)
=1−a+2−a−(2−2a)
=1−a+2−a−2+2a
=1
题型10 一元一次不等式的新定义问题
32．（23-24七年级下·河北保定·期末）定义一种新运算：a⊗b=a−ab，例如：2⊗3=2−2×3=−4．
根据上述定义，
(1)若3⊗a=−9，求a及其平方根．
(2)2⊗x的计算结果落在如图所示的范围内，求x的最小整数值．
【答案】(1)a=4，±2
(2)4
【分析】（1）由新定义，按法则计算得到a=4，再由平方根定义求解即可得到答案；
（2）由新定义及数轴得到2⊗x≤−5，再按法则计算得到2−2x≤−5，解不等式即可得到答案．
【详解】（1）解：∵a⊗b=a−ab，3⊗a=−9，
∴−3a=−12，解得a=4，则±❑√a=±2；
（2）解：由题意得2⊗x≤−5，
7
∴2−2x≤−5，即−2x≤−7，解得x≥ ，
2
∴最小整数值为4．
【点睛】本题考查新定义运算，涉及解方程、平方根定义、解不等式及求不等式的整式解等知识，理解新
定义运算，熟记平方根定义及解不等式的方法是解决问题的关键．
33．（23-24七年级上·四川宜宾·期末）规定新运算：x∗y=ax−by，其中a、b是常数．已知2∗1=−4，
−1∗3=9．
(1)求a、b的值；
{
m∗n=−1
)
(2)若 (n) ，求m，n的值；
(2m)∗ =4
2
(3)若3x∗y=1−7t，(−2)x∗(−3)y=4t−3，且3x+4 y<6，求t的最大整数值．
【答案】(1)a=−3，b=−2；(2)m=−1，n=−2
(3)1
【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解等知识点，能把二
元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．
（1）根据新运算得出方程组，再①+②×2得出−7b=14，求出b，再把b=−2代入①求出a即可；
（2）根据新运算得出方程组，再①×2−②得出3n=−6，求出n，再把n=−2代入②求出m即可；
（3）根据新运算得出方程组，再①+②得出3x+4 y=2+3t，根据3x+4 y<6求出t的范围，再求出最大
整数解即可．
【详解】（1）解：∵2∗1=−4，−1∗3=9，x∗y=ax−by，
{2a−b=−4①)
∴ ，
−a−3b=9②
①+②×2，得−7b=14，
解得：b=−2，
把b=−2代入①，得2a+2=−4，
解得：a=−3；
（2）解：由（1）a=−3，b=−2，
∴x∗y=−3x+2y，
{
m∗n=−1
)
∵ (n) ，
(2m)∗ =4
2
{−3m+2n=−1①)
∴ ，
−6m+n=4②
①×2−②，得3n=−6，
解得：n=−2，
把n=−2代入②，得−6m−2=4，
解得：m=−1；
（3）解：∵3x∗y=1−7t，(−2)x∗(−3)y=4t−3，x∗y=−3x+2y，
{−9x+2y=1−7t①)
∴ ，
6x−6 y=4t−3②
①+②，得−3x−4 y=−2−3t，即3x+4 y=2+3t，
∵3x+4 y<6，
∴2+3t<6，
4
∴t< ，
3
∴t的最大整数值是1．
题型11 一元一次不等式与最值问题2x−1 5−3x
34．（21-22七年级上·广东广州·期末）已知 −1≥2x− ，求|x−1|−|x+3|的最大值和最
3 2
小值．
7 48
【答案】当x≤−3时，有最大值为4，；当x= 时，有最小值为− ．
17 17
【分析】解一元一次不等式得到未知数的取值范围，再根据未知数范围化简绝对值，即可求出答案．
2x−1 5−3x 7
【详解】解：不等式 −1≥2x− 的解是x≤ ，
3 2 17
7
当−3≤x≤ 时，|x−1|−|x+3|化简得，
17
=−(x−1)−(x+3)
=−2x−2
48
∴− ≤−2x−2≤4；
17
当x<−3时，|x−1|−|x+3|化简得，
=1−x+x+3
=4．
7 48
故当x≤−3时， |x−1)−|x+3)的最大值是4；当x= 时，|x−1|−|x+3|的最小值是− ．
17 17
【点睛】本题主要考查利用一元一次不等式的取值范围化简绝对值．理解和掌握不等式性质，化简绝对值
方法是解题的关键．
35．（2023七年级下·全国·专题练习）阅读下列材料：
问题：已知x−y=2，且x>1，y<0，试确定x+ y的取值范围．
解：∵x−y=2，∴x= y+2，
又∵x>1，∴y+2>1，∴y>−1，
又∵y<0，∴−1−2，y<0，
①试确定y的取值范围；
②试确定x+ y的取值范围
(2)已知x−y=a+1，且x<−b，y>2b，若根据上述做法得到3x−5 y的取值范围是−10<3x−5 y<26，
请求出a、b的值．
【答案】(1)(1)① −7−2，
∴y+5>−2，
∴y>−7，
∵y<0，
∴−7a+b+1，
∵y>2b，
∴−y<−2b，
∴a+b+1<−y＜−2b，
∴5a+5b+5<−5 y＜−10b，
∵2b+a+16的解法，再解答问题．
①因为|x)<6，从数轴上（如图1）可以看出只有大于－6而小于6的数的绝对值小于6，所以|x)<6的解
集为−66，从数轴上（如图2）可以看出只有小于－6的数和大于6的数的绝对值大于6．所以|x)>6
的解集为x<−6或x>6．
(1)|x)<2的解集为______，|x)>5的解集为______；
{2x−y=9m+4
)
(2)已知关于x,y的二元一次方程组 的解满足|x+ y)≤3，其中m是正整数，求m的值．
x+4 y=−8m+2
【答案】(1)−25或x<−5
(2)m=1,2,3
【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义、二元一次方程组的特殊解法，求一元一次不等式组的整理数
解等知识点，理解绝对值的几何意义是解答本题的关键．
（1）根据阅读材料的结论即可解答；
m
（2）先将二元一次的方程组的两方程求和可得x+ y= +2，再代入|x+ y|≤3得到关于m的绝对值方程，
3
然后求解，最后确定满足题意的m的值即可．
【详解】（1）解：由阅读材料提供方法可得：|x|<2的解集为−25的解集为x>5或x<−5．
故答案为−25或x<−5．
（2）解：∵二元一次方程组¿
1
∴ ①+②可得：3x+3 y=m+6，即x+ y= m+2
3
∵|x+ y)≤3
|1 )
∴ m+2 ≤3，
31
∴−3≤ m+2≤3
3
∴−15≤m≤3
∵m是正整数
∴m=1,2,3．
《一元一次不等式》 综合提升专项训练
37．（2025七年级下·全国·专题练习）不等式3(x−1)≤3的非负整数解有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键．先根据一元一次
不等式的解法求得x≤2，再求出其非负整数解即可．
【详解】解：原式去括号，得3x−3≤3，
移项，得3x≤3+3，
合并同类项，得3x≤6，
两边同除以3，得x≤2，
∴不等式3(x−1)≤3的非负整数解是0，1，2，共有3个．
故选：C．
38．（24-25七年级下·上海·阶段练习）关于x的不等式2x−a≤−1的解集如图所示，那么a的值是（ ）
A．−2 B．2 C．−3 D．3
【答案】D
【分析】本题考查了解一元一次不等式、一元一次方程，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题关键．先
a−1 a−1
解一元一次不等式可得x≤ ，再根据数轴可得这个不等式的解集为x≤1，从而可得 =1，解方程
2 2
即可得．
【详解】解：2x−a≤−1，
2x≤a−1，
a−1
x≤ ，
2
由数轴可知，关于x的不等式2x−a≤−1的解集为x≤1，
a−1
则 =1，
2
解得a=3，
故选：D．39．（24-25七年级下·安徽淮北·阶段练习）已知x=−2是不等式2x−3a>1的解，若a的最大整数为m，
则mb>2中b的取值范围是（ ）
A．b>−1 B．b<1 C．b≤−1 D．b<−1
【答案】D
3a+1
【分析】本题考查了求不等式的解集．解不等式2x−3a>1，得x> ，由x=−2是不等式2x−3a>1
2
5
的解，求得a<− ，由a的最大整数为m，求得m=−2，据此求解即可．
3
【详解】解：解不等式2x−3a>1，
3a+1
解得x> ，
2
∵x=−2是不等式2x−3a>1的解，
3a+1
∴−2> ，
2
5
解得a<− ，
3
∵a的最大整数为m，
∴m=−2，
∴−2b>2，
∴b<−1，
故选：D．
x 1 1
40．（24-25七年级下·全国·课后作业）若a,b是常数，不等式 + >0的解集为x< ，则a与b的数量关系
a b 5
是（ ）
A．b=5a B．b=−5a C．a=5b D．a=−5b
【答案】B
【分析】本题考查的是不等式的基本性质，一元一次不等式的解法，理解不等式的两边都乘以或除以同一
x 1 1 a 1
个负数，不等号的方向改变是解本题的关键．先由不等式 + >0的解集为x< ，可得a<0, =− ，再
a b 5 b 5
求解即可．
x 1
【详解】解：∵ + >0，
a b
x 1 1
∴ >− ，而解集为x< ，
a b 5
∴a<0 ，
a a 1
∴x<− ，且− = ，
b b 5
∴b=−5a；故选：B．
41．（24-25七年级下·安徽滁州·阶段练习）关于x的一元一次不等式2x−a≥2至少有两个负整数解，则a
的取值范围是（ ）
A．a<−6 B．a≥−6 C．a≤−6 D．a≤6
【答案】C
【分析】本题主要考查一元一次不等式，根据不等式解的个数求参数，理解负整数解的概念是解题的关键．
解一元一次不等式，根据不等式负整数解的个数，即可确定a的取值范围．
1
【详解】解：解不等式2x−a≥2得：x≥1+ a，
2
又∵关于x的一元一次不等式2x−a≥2至少有两个负整数解，
1
∴1+ a≤−2，
2
即：a≤−6，
故选：C．
{ x−y=1 )
42．（23-24七年级下·江苏南通·期中）已知关于x，y的方程组 中x，y均大于0．若a与正
x+ y=2a+3
数b的和为4，则a−b的取值范围是（ ）
A．−6−1，然后根据a+b=4，
y=a+1
b>0，可得4−a>0，从而可得a<4，即−10，y>0，
{a+2>0)
∴ ，
a+1>0
解得：a>−1，
∵a+b=4，
∴a=4−b，b=4−a，
∵b>0，
∴4−a>0，
∴a<4，
∴−10，解得：m>1，m的值可以是2等．
故答案为2．
45．（24-25七年级下·湖南永州·期中）在实数范围内规定新运算“Δ”，其规则是aΔb=3a−2b．已知
不等式xΔk≥1的解集在数轴上如图表示，则k的值是 ．
【答案】−2
【分析】本题考查了在数轴上表示不等式的解集、解一元一次不等式．根据新运算法则得到不等式
xΔk=3x−2k≥1，通过解不等式即可求k的取值范围，结合图象可以求得k的值．
【详解】解：根据图示知，已知不等式的解集是x≥−1．
∵xΔk=3x−2k≥1，
2k+1
∴x≥ ，
3
2k+1
∴ =−1，
3
解得k=−2．
故答案为：−2．
{x+3 y=2+a)
46．（24-25七年级下·安徽宣城·期中）关于x，y的二元一次方程组 的解满足x+ y<−2，
3x+ y=−4a
则a的范围为 ．
10
【答案】a>
3
【分析】本题考查了解二元一次方程组、解一元一次不等式等知识点，掌握解二元一次方程组、解一元一
次不等式是解答本题的关键．
先根据已知的二元一次方程组求出x+ y，然后代入不等式求解即可；
{x+3 y=2+a①)
【详解】解：
3x+ y=−4a②
①+②得
4x+4 y=2−3a
2−3a
x+ y= ，
4
∵x+ y<−2
2−3a
∴ <−2
410
解不等式得a> ．
3
10
故答案为：a> ．
3
x−6a
47．（24-25七年级下·广西贵港·阶段练习）已知关于x的方程x− =−1的解是正数，则a的取值范围
5
是 ．
5
【答案】a<−
6
【分析】本题考查了解一元一次方程，求不等式的解集，掌握去分母，去括号，移项，合并同类项，系数
化为1的方法及不等式求解的方法是关键．
根据解一元一次方程的方法得到解，再根据解为正数列不等式求解即可．
x−6a
【详解】解：x− =−1，
5
去分母得，5x−(x−6a)=−5，
去括号得，5x−x+6a=−5，
移项、合并同类项得，4x=−5−6a，
−5−6a
系数化为1得，x= ，
4
∵方程的解为正数，
−5−6a
∴x>0，即 >0，
4
5
解得，a<− ，
6
5
故答案为：a<− ．
6
{ x−y=m−1 ① )
48．（24-25七年级下·上海浦东新·期中）已知关于x、y的方程组 ，若方程组的解满
x+ y=−3m+7②
足x−2y<9，求m的最大整数值．
解：
【答案】4
【分析】本题考查解二元一次方程组，求一元一次不等式的整数解，先求出二元一次方程组的解，将解代
入不等式中，求出不等式的解集，进而求出m的最大整数值即可．
{ x−y=m−1 ① )
【详解】解： ，
x+ y=−3m+7②
{ x=−m+3 )
解得： ，
y=−2m+4
∵x−2y<9，
∴−m+3−2(−2m+4)<9，14
解得：m< ，
3
∴m的最大整数值为4．
49．（24-25七年级下·安徽淮北·阶段练习）在实数范围内定义一种新运算“⊗”，其运算规则为：
a⊗b=3a+2(b−a)，如1⊗4=3×1+2×(4−1)=9．
(1)若x⊗3=4，求x的值；
(2)求不等式x⊗2>−1⊗(x+2)的最大整数解．
【答案】(1)x=−2
(2)0
【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次不等式，理解新运算的定义是解题关键．
（1）根据新运算的定义建立方程，解一元一次方程即可得；
（2）根据新运算的定义建立一元一次不等式，解不等式即可得．
【详解】（1）解：由题意得：x⊗3=3x+2(3−x)，
∵x⊗3=4，
∴3x+2(3−x)=4，
解得x=−2．
（2）解：由题意得：x⊗2=3x+2(2−x)，
−1⊗(x+2)=3×(−1)+2[x+2−(−1))=−3+2(x+3)，
∵x⊗2>−1⊗(x+2)，
∴3x+2(2−x)>−3+2(x+3)，
解得x<1，
所以不等式x⊗2>−1⊗(x+2)的最大整数解为0．
50．（24-25七年级下·湖南益阳·期中）【阅读理解】
|a)的几何意义是：数a在数轴上对应的点到原点的距离．所以，|a)≤2可理解为：数a在数轴上对应的点
到原点的距离不大于2．
（1）|a)>2可理解为______；
我们定义：形如|x)≤m，|x)≥m，|x)>m，|x)4的解集是x<−4或x>4．（2）①不等式|x)<5的解集是______；
②不等式|x)>5的解集是______；
【拓展探究】
（2）请求出绝对值不等式|x+3)>12的解集．
【答案】（1）数a在数轴上对应的点到原点的距离大于2；（2）①−55或x<−5；（3）
x<−15或x>9
【分析】本题考查了绝对值不等式的解法，理解题意，能够根据将绝对值不等式转化为一元一次不等式组
求解是解题的关键．
(1)根据绝对值的几何意义，结合题意进行解答即可；
(2)根据绝对值的几何意义，对一元一次不等式求解即可；
(3)根据(1)(2)的理解，进行绝对值的化简，然后解一元一次不等式即可．
【详解】解：（1）由题意可知|a)>2可以理解为：数a在数轴上对应的点到原点的距离大于2，
故答案为：数a在数轴上对应的点到原点的距离大于2；
（2）①根据题意可得|x)<5的解集为−55的解集是，
∴x>5或x<−5，
故答案为：x>5或x<−5；
（3）∵|x+3)>12，
∴x+3<−12或x+3>12，
解得x<−15或x>9．
