文档内容
11.1 不等式【8 个必考点】
【人教版2024】
【知识点1 不等式的概念】......................................................................................................................................1
【必考点1 不等式的判断】......................................................................................................................................2
【必考点2 根据不等关系列不等式】.....................................................................................................................3
【知识点2 不等式的解与解集】..............................................................................................................................4
【必考点3 判断不等式的解】..................................................................................................................................4
【知识点3 不等式的解集在数轴上的表示】.........................................................................................................5
【必考点4 不等式的解集在数轴上的表示】.........................................................................................................6
【知识点4 不等式的性质】......................................................................................................................................8
【必考点5 应用不等式的性质对不等式变形】.....................................................................................................8
【必考点6 根据不等式的性质求取值范围】.......................................................................................................10
【必考点7 根据不等式的性质解不等式】............................................................................................................11
【必考点8 根据不等式的性质推断结论】...........................................................................................................13
【知识点1 不等式的概念】
1．不等式的定义：
像3>2，2x<3这样用不等号表示 大小 关系或 不等 关系的式子叫做不等式。表示的不等关系必
须成立。
2．不等号的读法及意义：
①小于：符号表示为 ＜ ；实际意义为小于，不足等。
②大于：符号表示为 ＞ ；实际意义为大于，超过等。
③小于或等于：符号表示为 ≤ ；实际意义为不大于，不超过，至多等。
④大于或等于：符号表示为 ≥ ；实际意义为不小于，不低于，至少等。
⑤不等于：符号表示为 ≠ ；实际意义为不相等。
3．列不等式：
审清题意，弄清关键词的含义，找出已知量与未知量以及他们之间存在的关系，然后用不等式将不等
关系表示出来。
【必考点1 不等式的判断】
【例1】下列各式中，是不等式的有（ ）
①2x+1＝2；②4x≠1；③﹣1＜1；④7+3x＞3+7x；⑤1﹣x；⑥2x＜3．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】由不等号“＞，≥，＜，≤，≠”连接的式子即为不等式即可求解．
【解答】解：①2x+1＝2，是等式；⑤1﹣x，是代数式；
根据不等式的定义可得，②4x≠1；③﹣1＜1；④7+3x＞3+7x；⑥2x≤3是不等式，共4个，
故选：C．
【例2】若x﹣3y□2是不等式，则符号“□”不能是（ ）
A．+ B．＞ C．≠ D．≤
【分析】根据不等式的定义解答即可．
【解答】解：A、x﹣3y+2没有不等式号，不是不等式，符合题意；
B、x﹣3y＞2是不等式，不符合题意；
C、x﹣3y≠2是不等式，不符合题意；
D、x﹣3y≤2是不等式，不符合题意；
故选：A．
【变式1】下列式子：①﹣3＜0；②2x+3y≥0；③x＝1；④x2﹣2xy+y2；⑤x+1＞3；其中是不等式的
有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【分析】用＞、≥、＜、≤、≠等不等号表示不相等关系的式子是不等式，据此来判断．
【解答】解：①②⑤是不等式，③是等式，④是整式，
∴其中是不等式的有3个．
故选：C．
【变式2】下列6个式子①﹣2＜0；②2x﹣1＞0；③2x﹣1＝0；④2x﹣1＜0；⑤m﹣2；⑥﹣2≤2ab，
其中不等式有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【分析】根据不等式的定义：用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等号表示不相等关系的
式子是不等式来判断．
【解答】解：根据不等式的定义可得：①﹣2＜0，②2x﹣1＞0，④2x﹣1＜0，⑥﹣2≤2ab共计4
个．
故选：B．
【变式3】给出下列各式：①﹣3＜0；②a+b≥0；③2x＝5；④x2﹣xy+y2；⑤x+2y＞y﹣7；⑥a≠3．
其中不等式的个数是（ ）
A．5 B．2 C．3 D．4
【分析】运用不等式的定义进行判断．【解答】解：①﹣3＜0是不等式；
②a+b≥0是不等式；
③2x＝5是等式，
④x2﹣xy+y2是代数式，没有不等关系，所以不是不等式，
⑤x+2y＞y﹣7是不等式，
⑥a≠3是不等式．
不等式有①②⑤⑥，共4个．
故选：D．
【必考点2 根据不等关系列不等式】
【例1】x的2倍与y的和小于5．用不等式表示为 ．
【分析】根据x的2倍与y的和小于5，即可得出不等式．
【解答】解：用不等式表示为2x+y＜5．
故答案为：2x+y＜5．
【变式1】用不等式表示“x与a的平方差不是正数”为 ．
【分析】“x与a的平方差不是正数”，即“x与a的平方差小于等于0”．
【解答】解：由题意得：x2﹣a2≤0．
故答案为：x2﹣a2≤0．
【变式2】一个数m的2倍与数n的差不小于5，写出这个不等式 ．
【分析】根据题中所给的数量关系，用不等式表示即可．
【解答】解：由题意得：2m﹣n≥5，
故答案为：2m﹣n≥5．
【变式3】x与y的平方和不大于10用不等式可表示为 ．
【分析】由题意即可得到答案．
【解答】解：x与y的平方和不大于10用不等式可表示为：x2+y2≤10．
故答案为：x2+y2≤10．
【知识点2 不等式的解与解集】
1．不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.
2．不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．
3．解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式．
【必考点3 判断不等式的解】
【例1】3是下列哪个不等式的解（ ）A．x+3＞0 B．x+3＜0 C．x﹣3＞0 D．x﹣5＞0
【分析】先解出不等式的解集，即可作出判断．
【解答】解：A：x+3＞0，x＞﹣3，正确．
B：x+3＜0，x＜﹣3，错误．
C：x﹣3＞0，x＞3，错误．
D：x﹣5＞0，x＞5．错误．
故选：A．
【变式1】下列数是不等式5x﹣3＜7的一个解的是（ ）
5 5
A． B．2 C． D．3
3 2
【分析】先根据不等式的性质求出x的解集，再从选项中选取符合题意的即可．
【解答】解：由题可知，
5x﹣3＜7，
5x＜10，
x＜2．
则只有A符合题意；
故选：A．
【变式2】若x＝1是不等式1﹣ax≤x的一个解，则a的值可以是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．任意实数
【分析】将x＝1代入该不等式组求解即可．
【解答】解：∵x＝1是不等式1﹣ax≤x的一个解，
∴1﹣a≤1，
解得a≥0，
故选：C．
【变式3】x＝2是不等式x﹣m＜0的一个解，则m的值不可能是（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
【分析】根据x＝2是不等式x﹣m＜0的一个解解答即可．
【解答】解：∵x＝2是不等式x﹣m＜0的一个解，
∴2﹣m＜0，m＞2，
所以m的值不可能是2．
故选：A．【知识点3 不等式的解集在数轴上的表示】
1．不等式解集的简单不等式表示方法：
一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，它的解集是一个范围。
一般用 来表示。
2．数轴表示法：
1中的简单不等式表示的解集可以在数轴上表示出来。
具体步骤：
第一步：确定 边界 以及 是否包含 。含等于则 包含 ，用 实心圆 来表示，不含等于则 不包
含 ，用 空心圈 来表示。
第二步：确定 方向 。大于向 右 ，小于向 左 。
第三步：画图。
如下图所示：
【必考点4 不等式的解集在数轴上的表示】
【例1】用不等式表示图中的不等式的解集，其中正确的是（ ）
A．x＞﹣2 B．x＜﹣2 C．﹣2＜x＜2 D．x＞2
【分析】根据数轴得出x＞﹣2，再得出答案即可．
【解答】解：根据数轴可知：x＞﹣2，
故选：A．
【变式1】不等式x≤﹣2的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据数轴实心圆点包括该点，空心圆圈不包括该点，大于向右，小于向左，求解即可．【解答】解：可知x≤﹣2解集在数轴上表示为：
故选：C．
【变式2】不等式x＜﹣1的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】利用在数轴上表示不等式的解集的方法进行解答即可．
【解答】解：不等式x＜﹣1的解集在数轴上表示为：
故选：D．
【变式3】若一个不等式的正整数解只有1，则该不等式的解集在数轴上的表示可能是（ ）
A．
B．
C．
D．【分析】根据不等式的正整数解只有 1，对四个选项中数轴所表示的不等式的解集内的正整数解分别进
行判定即可解决问题．
【解答】解：由题知，
A选项中的数轴所表示的不等式的解集中的正整数解为：1；
所以A选项符合题意．
B选项中的数轴所表示的不等式的解集中的正整数解为：1，2，3；
所以B选项不符合题意．
C选项中的数轴所表示的不等式的解集中的正整数解为：1，2；
所以C选项不符合题意．
D选项中的数轴所表示的不等式的解集中的正整数解为：1，2；
所以D选项不符合题意．
故选：A．
【知识点4 不等式的性质】
1．不等式的性质1：
不等式两边同时加（或减） 同一个 数（或式子），不等号的方向 不变 。
即若 ，则 。
2．不等式的性质2：
不等式的两边同时乘上（或除以） 同一个正数 ，不等号的方向 不变 。
若 ，则 。
3．不等式的性质3：
不等式的两边同时乘上（或除以） 同一个负数 ，不等号的方向 改变 。
若 ，则 。
【必考点5 应用不等式的性质对不等式变形】
a b
【例1】下列四个不等式：①ac＞bc；②﹣ca＜﹣cb；③ac2＞bc2；④ ＞ ．其中能推出a＞b的有
c2 c2
（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据不等式的性质，逐一判断即可解答．
【解答】解：①∵ac＞bc，c＞0，
∴a＞b，
故①不正确；②∵﹣ca＜﹣cb，c＞0，
∴a＞b，
故②不正确；
③∵ac2＞bc2，
∴a＞b，
故③正确；
a b
④∵ ＞ ，
c2 c2
∴a＞b，
故④正确；
所以，上列四个不等式，其中能推出a＞b的有2个，
故选：B．
【例2】下下列判断不正确的是（ ）
A．若（2m+1）a＞（2m+1）b，则a＞b
B．若a＞b，则a+2＞b+2
C．若a＞b，则﹣2a＜﹣2b
D．若a＞b，则a（c2+1）＞b（c2+1）
【分析】根据不等式的性质进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、若（2m+1）a＞（2m+1）b，且2m+1＞0，则a＞b，故A符合题意；
B、若a＞b，则a+2＞b+2，故B不符合题意；
C、若a＞b，则﹣2a＜﹣2b，故C不符合题意；
D、若a＞b，则a（c2+1）＞b（c2+1），故D不符合题意；
故选：A．
【变式1】下下列说法正确的是（ ）
A．若a＞b，则a+4＜b+4
B．若a＞b，则ac2＞bc2
a b
C．若 ＜ ，则a＜b
c c
D．若﹣2a﹣1＜﹣2b﹣1，则a＞b
【分析】根据不等式的性质进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、若a＞b，则a+4＞b+4，故A不符合题意；
B、若a＞b，c≠0，则ac2＞bc2，故B不符合题意；a b
C、若 ＜ ，c＞0，则a＜b，故C不符合题意；
c c
D、若﹣2a﹣1＜﹣2b﹣1，则a＞b，故D符合题意；
故选：D．
【变式2】设a，b是非零实数，若a＜b，则下列不等式成立的是（ ）
A．a2＜b2 B．ab2＜a2b
1 1 b a
C． ＜ D． ＜
ab2 a2b a b
【分析】根据不等式的性质逐项一一排除即可得答案．
【解答】解：A．若a＜b，不妨设a＝﹣2，b＝1，则a2＞b2，故本选项不符合题意；
B．若a＜b，不妨设a＝1，b＝2，则ab2＞a2b，故本选项不符合题意；
1 1
C．若a＜b，不等式两边同时除以a2b2，得 ＜ ，故本选项符合题意；
ab2 a2b
b a
D．若a＜b，不妨设a＝1，b＝2，则 ＞ ，故本选项不符合题意．
a b
故选：C．
【变式3】下列说法错误的是（ ）
A．若a＞b，则a+2＞b+2
a b
B．若a＞b，则− ＜−
2 2
C．若a＞b，则ac2＞bc2
a b
D．若 ＞ ，则a＞b
c2+1 c2+1
【分析】利用不等式的性质逐项判断即可．
【解答】解：若a＞b，两边同时加2得a+2＞b+2，则A不符合题意，
1 a b
若a＞b，两边同乘− 得− ＜− ，则B不符合题意，
2 2 2
若a＞b，当c≠0时，ac2＞bc2，则C符合题意，
a b
若 ＞ ，那么a＞b，则D不符合题意，
c2+1 c2+1
故选：C．
【必考点6 根据不等式的性质求取值范围】
【例1】不等式（2a﹣1）x＜2（2a﹣1）的解集是x＞2，则a的取值范围是（ ）1 1 1
A．a＜0 B．a＜ C．a＜− D．a＞−
2 2 2
【分析】这是一个含有字母系数的不等式，仔细观察，（2a﹣1）x＜2（2a﹣1），要想求得解集，需把
（2a﹣1）这个整体看作x的系数，然后运用不等式的性质求出，给出的解集是x＞2，不等号的方向已
改变，说明运用的是不等式的性质3，运用性质3的前提是两边都乘以（或除以）同一个负数，从而求
出a的范围．
【解答】解：∵不等式（2a﹣1）x＜2（2a﹣1）的解集是x＞2，
∴不等式变号，
∴2a﹣1＜0，
1
∴a＜ ．
2
故选：B．
【变式1】已知x＞y，若（a+3）x＞（a+3）y，则a的取值范围是 ．
【分析】根据不等式的性质（不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变）判断
即可．
【解答】解：已知x＞y，若（a+3）x＞（a+3）y，则a+3＞0，
解得a＞﹣3．
故答案为：a＞﹣3．
【变式2】若不等式（m﹣1）x＞（m﹣1）两边同除以（m﹣1），得x＜1，则m的取值范围为 ．
【分析】根据不等式的性质进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：不等式（m﹣1）x＞（m﹣1）两边同除以（m﹣1），得x＜1，
∴m﹣1＜0，
解得：m＜1，
故答案为：m＜1．
2
【变式3】若关于m的不等式（1﹣m）x＞2可化为x＜ ，则m的取值范围为 ．
1−m
【分析】观察已知条件中的不等式和其解集，然后根据不等式的性质列出关于 m的不等式，解不等式
求出m的取值范围即可．
2
【解答】解：∵关于m的不等式（1﹣m）x＞2可化为x＜ ，
1−m
∴1﹣m＜0，
﹣m＜﹣1，m＞1，
故答案为：m＞1．
【必考点7 根据不等式的性质解不等式】
【例1】根据不等式的性质，将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式．
2
（1）− x＜−2；
3
（2）10x＞7x+1．
2 2
【分析】（1）根据不等式的性质，将− x＜−2的两边同时除以− 即可；
3 3
（2）首先根据不等式的性质，将10x＞7x+1的两边同时减去7x，然后两边再同时除以3即可．
2
【解答】解：（1）∵− x＜−2，
3
2 2 2
∴− x÷（− ）＞﹣2÷（− ），
3 3 3
∴x＞3．
（2）∵10x＞7x+1，
∴10x﹣7x＞7x﹣7x+1，
∴3x＞1，
∴3x÷3＞1÷3，
1
即x＞ ．
3
【变式1】将下列不等式化为“x＞a”或“x＜a”的形式．
3
（1）− x＞60；
2
（2）﹣2x+3＜3x+2．
【分析】（1）根据不等式的性质即可得到不等式的解集；
（2）根据不等式的性质即可得到不等式的解集．
3
【解答】解：（1）− x＞60，
2
2
不等式两边同时乘− ，
3
解得：x＜﹣40；
（2）﹣2x+3＜3x+2，不等式两边同时减3x，得﹣5x+3＜2，
不等式两边同时减3，得﹣5x＜﹣1，
1
不等式两边同时除以﹣5，得x＞ ．
5
【变式2】将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式．
（1）x﹣3＜﹣5；
（2）2x≥6x﹣2．
【分析】结合不等式的性质进行求解即可．
【解答】解：（1）两边同时加上3，得x＜﹣5+3，
即x＜﹣2；
（2）两边同时加上﹣6x，得﹣4x≥﹣2，
1
两边都除以﹣4，得x≤ ．
2
【变式3】将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式．
2
（1）− x＞50；
3
（2）﹣3x+2＜2x+3．
【分析】（1）根据不等式的性质即可得到不等式的解集；
（2）根据不等式的性质即可得到不等式的解集．
2
【解答】解：（1）− x＞50，
3
3
不等式两边同时乘以− ，可得，x＜﹣75，
2
（2）﹣3x+2＜2x+3，
不等式两边同时减2x，可得，﹣3x+2﹣2x＜3，
不等式两边同时减2，可得，﹣5x＜1，
1
系数化为1，可得，x＞− ，
5
【必考点8 根据不等式的性质推断结论】
【例1】已知实数x，y满足x﹣y+1＝0，0＜2x+y＜1，则下列判断正确的是（ ）
2
A．﹣1＜x＜0 B．− ＜y＜1
31 4
C．− ＜3x+ y＜1 D．− ＜x+3 y＜2
3 3
【分析】先根据x﹣y+1＝0，0＜2x+y＜1，求出x，y的取值范围，再逐项判断．
【解答】解：∵x﹣y+1＝0，
∴y＝x+1，
∴2x+y＝2x+x+1＝3x+1，
∵0＜2x+y＜1，
∴0＜3x+1＜1，
∴﹣1＜3x＜0，
1
∴− ＜x＜0，
3
故A选项错误，不符合题意；
1
∵− ＜x＜0，
3
1 2
∴− +1＜x+1＜1，即 ＜x+1＜1，
3 3
2
∴ ＜y＜1，
3
故选项B错误，不符合题意；
2
∵﹣1＜3x＜0， ＜y＜1，
3
1
∴− ＜3x+y＜1，
3
故选项C正确，符合题意；
1
∵− ＜x＜0，2＜3y＜3，
3
5
∴ ＜x+3y＜3，
3
故选项D错误，不符合题意，
故选：C．
【例2】已知实数a，b满足a﹣b+2＝0，﹣5＜a+b﹣1＜1，则下列判断正确的是（ ）
A．﹣2＜a＜﹣3 B．2＜b＜3 C．﹣7＜2a+b＜2 D．﹣1＜a+2b＜4
【分析】由a﹣b+2＝0得出b＝a+2，代入﹣5＜a+b﹣1＜1可得﹣3＜a＜0，再求﹣1＜b＜2，分别代入
选项判断即可．【解答】解：∵a﹣b+2＝0，
∴b＝a+2，
∵﹣5＜a+b﹣1＜1，
∴﹣5＜a+a+2﹣1＜1，即﹣5＜2a+1＜1，
∴﹣3＜a＜0，故选项A不合题意；
∵b＝a+2，﹣3＜a＜0，
∴﹣1＜b＜2，故选项B不合题意；
由﹣3＜a＜0得，﹣6＜2a＜0，
由﹣1＜b＜2得，﹣2＜2b＜4，
∴﹣7＜2a+b＜2，﹣5＜a+2b＜4，故选项C符合题意，选项D不合题意．
故选：C．
【变式1】已知非零实数a，b，c满足：a﹣b+c＝0，2a﹣b＞0，则下列结论正确的是（ ）
A．a＜c B．5a﹣3b+c＜0 C．﹣a﹣b+3c＞0 D．3a﹣2b+c＞0
【分析】根据不等式的性质和整式的加减运算法则进行解答即可．
【解答】解：A．∵a﹣b+c＝0，
∴b＝a+c，
∵2a﹣b＞0，
∴2a﹣（a+c）＞0，
∴2a﹣a﹣c＞0，即a﹣c＞0，
∴a＞c，故选项A错误；
B．∵b＝a+c，
∴5a﹣3b+c
＝5a﹣3（a+c）+c
＝5a﹣3a﹣3c+c
＝2a﹣2c
＝2（a﹣c），
∵a﹣c＞0，
∴2（a﹣c）＞0，
∴5a﹣3b+c＞0，故选项B错误；
C．∵b＝a+c，
∴﹣a﹣b+3c＝﹣a﹣（a+c）+3c
＝﹣a﹣a﹣c+3c
＝﹣2a+2c
＝﹣2（a﹣c），
∵a﹣c＞0，
∴﹣2（a﹣c）＜0，
∴﹣a﹣b+3c＜0，故选项C错误；
D．∵b＝a+c，
∴3a﹣2b+c
＝3a﹣2（a+c）+c
＝3a﹣2a﹣2c+c
＝a﹣c＞0，
∴3a﹣2b+c＞0，故选项D正确．
故选：D．
【变式2】已知实数a，b，c满足：a+2b+2c＝0，2a+b+c＞0，则下面结果正确的是（ ）
A．a＜0，b+c＜0 B．a＞0，b+c＜0 C．a＜0，b+c＞0 D．a＞0，b+c＞0
【分析】根据等式和不等式的基本性质计算即可．
【解答】解：根据等式的基本性质1，将a+2b+2c＝0的两边同时减a，得（2b+2c）＝﹣a，
根据不等式的基本性质2，将2a+b+c＞0的两边同时乘2，得4a+2b+2c＞0，
将（2b+2c）＝﹣a代入4a+2b+2c＞0，得3a＞0，
根据不等式的基本性质2，将3a＞0的两边同时除以3，得a＞0，
根据不等式的基本性质3，将a＞0的两边同时乘﹣1，得﹣a＜0，
将（2b+2c）＝﹣a代入﹣a＜0，得2（b+c）＜0，
根据等式的基本性质2，将2（b+c）＜0的两边同时除以2，得b+c＜0，
∴a＞0，b+c＜0．
故选：B．
a+b−c −a−b+c
【变式 3】已知实数 a，b，c．满足 a+b+c＜1，a= ，c= ，则下列判断错误的是
2 3
（ ）
3 1
A．a＝3b B．a＞ C．2a+3c＝0 D．b＜
2 2
【分析】本题可先根据已知条件得出a、c关于b的表达式，再逐一分析选项．a+b−c −a−b+c
【解答】解：对a= ，c= ，
2 3
∴可得a﹣b+c＝0①，a+b+2c＝0②，
∴①+②得2a+3c＝0，
∴C选项正确；
−a−b
由①得a＝b﹣c，由②得c= ，
2
−a−b
∴a＝b−
2
∴a＝3b，
∴A选项正确；
∵a+b+c＜1，
2
把c=− a，a＝3b代入a+b+c＜1中，
3
2
3b+b− ×3b＜1，
3
1
∴解得b＜ ，
2
∴D选项正确，
1 3
∵b＜ ，a＝3b，可得a＜ ，
2 2
∴B选项错误．
故选：B．
