文档内容
11.1 不等式【8 个必考点】
【人教版2024】
【知识点1 不等式的概念】......................................................................................................................................1
【必考点1 不等式的判断】......................................................................................................................................1
【必考点2 根据不等关系列不等式】.....................................................................................................................2
【知识点2 不等式的解与解集】..............................................................................................................................2
【必考点3 判断不等式的解】..................................................................................................................................2
【知识点3 不等式的解集在数轴上的表示】.........................................................................................................3
【必考点4 不等式的解集在数轴上的表示】.........................................................................................................3
【知识点4 不等式的性质】......................................................................................................................................4
【必考点5 应用不等式的性质对不等式变形】.....................................................................................................5
【必考点6 根据不等式的性质求取值范围】.........................................................................................................5
【必考点7 根据不等式的性质解不等式】.............................................................................................................6
【必考点8 根据不等式的性质推断结论】.............................................................................................................6
【知识点1 不等式的概念】
1．不等式的定义：
像3>2，2x<3这样用不等号表示 大小 关系或 不等 关系的式子叫做不等式。表示的不等关系必
须成立。
2．不等号的读法及意义：
①小于：符号表示为 ＜ ；实际意义为小于，不足等。
②大于：符号表示为 ＞ ；实际意义为大于，超过等。
③小于或等于：符号表示为 ≤ ；实际意义为不大于，不超过，至多等。
④大于或等于：符号表示为 ≥ ；实际意义为不小于，不低于，至少等。
⑤不等于：符号表示为 ≠ ；实际意义为不相等。
3．列不等式：
审清题意，弄清关键词的含义，找出已知量与未知量以及他们之间存在的关系，然后用不等式将不等
关系表示出来。
【必考点1 不等式的判断】
【例1】下列各式中，是不等式的有（ ）
①2x+1＝2；②4x≠1；③﹣1＜1；④7+3x＞3+7x；⑤1﹣x；⑥2x＜3．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【例2】若x﹣3y□2是不等式，则符号“□”不能是（ ）
A．+ B．＞ C．≠ D．≤
【变式1】下列式子：①﹣3＜0；②2x+3y≥0；③x＝1；④x2﹣2xy+y2；⑤x+1＞3；其中是不等式的
有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【变式2】下列6个式子①﹣2＜0；②2x﹣1＞0；③2x﹣1＝0；④2x﹣1＜0；⑤m﹣2；⑥﹣2≤2ab，
其中不等式有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【变式3】给出下列各式：①﹣3＜0；②a+b≥0；③2x＝5；④x2﹣xy+y2；⑤x+2y＞y﹣7；⑥a≠3．
其中不等式的个数是（ ）
A．5 B．2 C．3 D．4
【必考点2 根据不等关系列不等式】
【例1】x的2倍与y的和小于5．用不等式表示为 ．
【变式1】用不等式表示“x与a的平方差不是正数”为 ．
【变式2】一个数m的2倍与数n的差不小于5，写出这个不等式 ．
【变式3】x与y的平方和不大于10用不等式可表示为 ．
【知识点2 不等式的解与解集】
1．不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.
2．不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．
3．解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式．
【必考点3 判断不等式的解】
【例1】3是下列哪个不等式的解（ ）
A．x+3＞0 B．x+3＜0 C．x﹣3＞0 D．x﹣5＞0
【变式1】下列数是不等式5x﹣3＜7的一个解的是（ ）
5 5
A． B．2 C． D．3
3 2
【变式2】若x＝1是不等式1﹣ax≤x的一个解，则a的值可以是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．任意实数
【变式3】x＝2是不等式x﹣m＜0的一个解，则m的值不可能是（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5【知识点3 不等式的解集在数轴上的表示】
1．不等式解集的简单不等式表示方法：
一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，它的解集是一个范围。
一般用 来表示。
2．数轴表示法：
1中的简单不等式表示的解集可以在数轴上表示出来。
具体步骤：
第一步：确定 边界 以及 是否包含 。含等于则 包含 ，用 实心圆 来表示，不含等于则 不包
含 ，用 空心圈 来表示。
第二步：确定 方向 。大于向 右 ，小于向 左 。
第三步：画图。
如下图所示：
【必考点4 不等式的解集在数轴上的表示】
【例1】用不等式表示图中的不等式的解集，其中正确的是（ ）
A．x＞﹣2 B．x＜﹣2 C．﹣2＜x＜2 D．x＞2
【变式1】不等式x≤﹣2的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】不等式x＜﹣1的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．
D．
【变式3】若一个不等式的正整数解只有1，则该不等式的解集在数轴上的表示可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【知识点4 不等式的性质】
1．不等式的性质1：
不等式两边同时加（或减） 同一个 数（或式子），不等号的方向 不变 。
即若 ，则 。
2．不等式的性质2：
不等式的两边同时乘上（或除以） 同一个正数 ，不等号的方向 不变 。
若 ，则 。
3．不等式的性质3：
不等式的两边同时乘上（或除以） 同一个负数 ，不等号的方向 改变 。
若 ，则 。
【必考点5 应用不等式的性质对不等式变形】
a b
【例1】下列四个不等式：①ac＞bc；②﹣ca＜﹣cb；③ac2＞bc2；④ ＞ ．其中能推出a＞b的有
c2 c2（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【例2】下下列判断不正确的是（ ）
A．若（2m+1）a＞（2m+1）b，则a＞b
B．若a＞b，则a+2＞b+2
C．若a＞b，则﹣2a＜﹣2b
D．若a＞b，则a（c2+1）＞b（c2+1）
【变式1】下下列说法正确的是（ ）
A．若a＞b，则a+4＜b+4
B．若a＞b，则ac2＞bc2
a b
C．若 ＜ ，则a＜b
c c
D．若﹣2a﹣1＜﹣2b﹣1，则a＞b
【变式2】设a，b是非零实数，若a＜b，则下列不等式成立的是（ ）
A．a2＜b2 B．ab2＜a2b
1 1 b a
C． ＜ D． ＜
ab2 a2b a b
【变式3】下列说法错误的是（ ）
A．若a＞b，则a+2＞b+2
a b
B．若a＞b，则− ＜−
2 2
C．若a＞b，则ac2＞bc2
a b
D．若 ＞ ，则a＞b
c2+1 c2+1
【必考点6 根据不等式的性质求取值范围】
【例1】不等式（2a﹣1）x＜2（2a﹣1）的解集是x＞2，则a的取值范围是（ ）
1 1 1
A．a＜0 B．a＜ C．a＜− D．a＞−
2 2 2
【变式1】已知x＞y，若（a+3）x＞（a+3）y，则a的取值范围是 ．
【变式2】若不等式（m﹣1）x＞（m﹣1）两边同除以（m﹣1），得x＜1，则m的取值范围为 ．
2
【变式3】若关于m的不等式（1﹣m）x＞2可化为x＜ ，则m的取值范围为 ．
1−m【必考点7 根据不等式的性质解不等式】
【例1】根据不等式的性质，将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式．
2
（1）− x＜−2；
3
（2）10x＞7x+1．
【变式1】将下列不等式化为“x＞a”或“x＜a”的形式．
3
（1）− x＞60；
2
（2）﹣2x+3＜3x+2．
【变式2】将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式．
（1）x﹣3＜﹣5；
（2）2x≥6x﹣2．
【变式3】将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式．
2
（1）− x＞50；
3
（2）﹣3x+2＜2x+3．
【必考点8 根据不等式的性质推断结论】
【例1】已知实数x，y满足x﹣y+1＝0，0＜2x+y＜1，则下列判断正确的是（ ）
2
A．﹣1＜x＜0 B．− ＜y＜1
3
1 4
C．− ＜3x+ y＜1 D．− ＜x+3 y＜2
3 3
【例2】已知实数a，b满足a﹣b+2＝0，﹣5＜a+b﹣1＜1，则下列判断正确的是（ ）
A．﹣2＜a＜﹣3 B．2＜b＜3 C．﹣7＜2a+b＜2 D．﹣1＜a+2b＜4
【变式1】已知非零实数a，b，c满足：a﹣b+c＝0，2a﹣b＞0，则下列结论正确的是（ ）
A．a＜c B．5a﹣3b+c＜0 C．﹣a﹣b+3c＞0 D．3a﹣2b+c＞0
【变式2】已知实数a，b，c满足：a+2b+2c＝0，2a+b+c＞0，则下面结果正确的是（ ）
A．a＜0，b+c＜0 B．a＞0，b+c＜0 C．a＜0，b+c＞0 D．a＞0，b+c＞0
a+b−c −a−b+c
【变式 3】已知实数 a，b，c．满足 a+b+c＜1，a= ，c= ，则下列判断错误的是
2 3
（ ）
A．a＝3b B． C．2a+3c＝0 D．
