文档内容
七上数学期末复习压轴题 12 个必考点（84 题）
【人教版2024】
【考点1 与绝对值有关的压轴题】..........................................................................................................................1
【考点2 与整式的加减有关的压轴题】..................................................................................................................2
【考点3 与一元一次方程的解有关的压轴题】.....................................................................................................3
【考点4 一元一次方程的实际应用压轴题】.........................................................................................................4
【考点5 与线段有关的计算压轴题】......................................................................................................................6
【考点6 数轴、线段中的动点压轴题】..................................................................................................................8
【考点7 与角度有关的计算压轴题】....................................................................................................................11
【考点8 角的旋转压轴题】....................................................................................................................................13
【考点9 新定义问题】............................................................................................................................................17
【考点10 日历与幻方问题】..................................................................................................................................18
【考点11 数字规律问题】......................................................................................................................................20
【考点12 图形规律问题】......................................................................................................................................22
【考点1 与绝对值有关的压轴题】
|x−2| |x−1| |x|
1．（2023秋•光山县校级期末）若1＜x＜2，则 − + 的值是（ ）
x−2 1−x x
A．﹣3 B．﹣1 C．2 D．1
2．（2023秋•荔湾区期末）在数轴上表示有理数a，b，c的点如图所示，若a+b＜0，ac＜0，则下面四个
结论：①abc＜0；②b+c＜0；③|a|﹣|b|＞0；④|a﹣c|＜|a|，其中一定成立的结论个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2023秋•潮南区校级期末）已知有理数a，b，c在数轴上的对应位置如图，则|1﹣2c|+|c﹣2a|+2|a﹣2b|
＝（ ）
A．1﹣4a+4b﹣c B．﹣1﹣4a+4b+3c
C．1+4b﹣3c D．1+4a﹣4b﹣3c
4．（2023秋•抚州期末）适合|a+5|+|a﹣3|＝8的整数a的值有（ ）A．4个 B．5个 C．7个 D．9个
5．（2023秋•忠县期末）如果有理数a，b，c满足|a+b+c|＝a+b﹣c，对于以下结论：①c＝0；②（a+b）
c＝0；③当a，b互为相反数时，c不可能是正数；④当c≠0时，|a+b+c﹣2|﹣|5﹣c|＝﹣3．其中正确
的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
|b+c| 2|a+c| 3|a+b|
6．（2023秋•渝中区期末）已知abc＜0，a+b+c＝0，若x= + − ，则x的最大
a b c
值与最小值的乘积为（ ）
A．﹣24 B．﹣12 C．6 D．24
7．（2023秋•武汉期末）数轴上点A、B表示的数为a、b，则A、B两点之间的距离可表示为线段AB＝|a
﹣b|，如：数轴上表示数x的点与表示数﹣1的点之间的距离为|x﹣（﹣1）|＝|x+1|．代数式|x+3|﹣|x﹣2|
的最大值等于 ．
【考点2 与整式的加减有关的压轴题】
1．（2024•宁波校级期末）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为
长方形（长为m cm，宽为n cm）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表
示．则图②中两块阴影部分的周长和是（ ）
A．4m cm B．4n cm C．2（m+n） cm D．4（m﹣n） cm
2．（2023秋•儋州校级期末）三张大小不一的正方形纸片按如图①和图②方式分别放置于相同的大长方
形中，它们既不重叠也无空隙，记图①阴影部分周长为m，图②阴影部分周长之和为n，则m与n的
差（ ）
A．与正方形A的边长有关
B．与正方形B的边长有关C．与正方形C的边长有关
D．与A，B，C的边长均无关
3．（2023秋•越秀区期末）已知A＝2x2+3xy﹣2x，B＝x2+xy+y，且A﹣2B的值与x的取值无关．若B＝5，
则A的值是（ ）
A．﹣4 B．2 C．6 D．10
4．（2023秋•沂源县期末）已知无论x，y取什么值，多项式（3x2﹣my+9）﹣（nx2+5y﹣3）的值都等于定
值12，则m+n等于（ ）
A．8 B．﹣2 C．2 D．﹣8
5．（2023秋•鼓楼区校级期末）已知4x2﹣6xy＝﹣6，3y2﹣2xy＝12，则式子2x2﹣xy﹣3y2的值是（ ）
A．8 B．5 C．﹣8 D．﹣15
6．（2023秋•襄城区期末）若多项式2x3﹣8x2+mx﹣1与多项式x3+（3m+1）x2﹣5x+7的差不含二次项，则
它们的和等于 ．
7．（2023秋•广州期末）已知A＝x2+xy﹣2x﹣3，B＝﹣x2+3xy﹣9．若3A﹣B的值等于﹣2，则代数式x2
3
− x+3的值是 ．
2
【考点3 与一元一次方程的解有关的压轴题】
1
1．（2023秋•郑州期末）若关于x的方程2x+1= x+a的解为x＝﹣3，则关于y的方程2（y﹣2）+1
2023
1
= (y−2)+a的解为（ ）
2023
A．y＝﹣1 B．y＝﹣2 C．y＝﹣3 D．不能确定
2−ax x
2．（2023秋•陇县期末）已知关于x的方程x− = −1有非负整数解，则整数a的所有可能的取值
6 3
的和为（ ）
A．﹣6 B．﹣7 C．﹣14 D．﹣19
x m(x−1)
3．（2023秋•广州期末）已知x＝3是关于x的方程( +1)+ =1的解，n满足关系式|m+n|＝2，
3 2
则mn的值是 ．
kx+a 2x+bk
4．（2023秋•乌鲁木齐期末）已知a，b为定值，关于x的方程 =1− ，无论k为何值，它的
3 6
解总是1，则a+b＝ ．3x ax+2
5．（2023秋•赤坎区校级期末）若关于x的方程 + =b有无数解，则2a+3b的值为 ．
2 3
6．（2023秋•龙泉驿区期末）已知关于 y的方程2+5y＝（b+5）y无解，关于x的方程5+ax＝2a有唯一
解，则关于z的方程az＝b的解为 ．
7．（2023秋•潮南区期末）定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“集团方
程”，例如：方程4x＝8和x+1＝0为“集团方程”．
（1）若关于x的方程3x+m＝0与方程4x﹣1＝x+8是“集团方程”，求m的值；
（2）若“集团方程”的两个解的差为6，其中一个较大的解为n，求n的值；
1 1
（3）若关于x的一元一次方程 x+3=2x+k和 x+1=0是“集团方程”，求关于y的一元一
2022 2022
1
次方程 (y+1)+3=2y+2+k的解．
2022
【考点4 一元一次方程的实际应用压轴题】
1．（2023秋•宿城区期末）为迎接新年到来，光明中学开展制作“中国结”活动．七（1）班有m人，打
算制作n个“中国结”．若每人做4个，则可比计划多做2个；若每人做2个，则将比计划少做58个，
现有下列四个方程：
n+2 n−58 n−2 n+58
①4m﹣2＝2m+58；②4m+2＝2m﹣58；③ = ；④ = ．其中正确的是（ ）
4 2 4 2
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
2．（2023秋•黄石港区期末）某市近期公布的居民用天然气阶梯价格方案如下：
第一档天然气用量 第二档天然气用量 第三档天然气用量
年用天然气量360立方 年用天然气量超出360立方米，不 年用天然气量600立方米以上，超
米及以下，价格为每立 足600立方米时，超过360立方米 过600立方米部分价格为每立方米
方米2元． 部分每立方米价格为2.5元． 3元．
若某户2023年实际缴纳天然气费2463元，则该户2023年使用天然气 立方米．
3．（2024•东莞市校级模拟）国庆黄金周，某商场促销方案规定：商场内所有商品按标价的80%出售，同
时当顾客在商场内一次性消费满一定金额后，按下表获得相应的返还金额．
消费金额（元） 小于或等于500元 500～1000 1000～1500 1500以上
返还金额（元） 0 60 100 150
注：500～1000表示消费金额大于500元且小于或等于1000元，其他类同．
根据上述促销方案，顾客在该商场购物可以获得双重优惠．例如，若购买标价为 1000元的商品，则消
费金额为800元，获得的优惠额为1000×（1﹣80%）+60＝260（元）．（1）购买一件标价为1600元的商品，顾客获得的优惠额是多少？
（2）若顾客在该商场购买一件标价x元（x＞1250）的商品，那么该顾客获得的优惠额为多少？（用含
有x的代数式表示）
（3）若顾客在该商场第一次购买一件标价x元（x＞1250）的商品后，第二次又购买了一件标价为500
元的商品，两件商品的优惠额共为650元，则这名顾客第一次购买商品的标价为 元．
4．（2023秋•鹤山市期末）晨光文具店分两次购进一款礼品盲盒共 70盒，总共花费960元，已知第一批
盲盒进价为每盒15元，第二批盲盒进价为每盒12元．（利润＝销售额﹣成本）
（1）求两次分别购进礼品盲盒多少盒？
（2）文具店老板计划将每盒盲盒标价20元出售，销售完第一批盲盒后，再打八折销售完第二批盲盒，
按此计划该老板总共可以获得多少元利润？
（3）在实际销售中，该文具店老板在以（2）中的标价20元售出一些第一批盲盒后，决定搞一场促销
活动，尽快把第一批剩余的盲盒和第二批盲盒售完，老板现将标价提高到40元/盒，再推出活动：购买
两盒，第一盒七五折，第二盒半价，不单盒销售．售完所有盲盒后该老板共获利润 710元，按（2）中
标价售出的礼品盲盒有多少盒？
5．（2023秋•新会区期末）安宁市的一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元，若经粗
加工后销售，每吨利润可达4500元；若经精加工后销售每吨获利7500元．当地一家农产品企业收购这
种蔬菜140吨，该企业加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可以加工16吨，如果进行
精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行，受季节条件限制，企业必须在15天的时间
将这批蔬菜全部销售或加工完毕，企业研制了四种可行方案：
方案一：全部直接销售；
方案二：全部进行粗加工；
方案三：尽可能多地进行精加工，没有来得及进行精加工的直接销售；
方案四：将一部分进行精加工，其余的进行粗加工，并恰好15天完成．
请通过计算以上四个方案的利润，帮助企业选择一个最佳方案使所获利润最多？
6．（2023秋•枣阳市期末）某购物平台准备在春节期间举行年货节活动，此次年货节活动特别准备了A、
B两种商品进行特价促销，已知购进了A、B两种商品，其中A种商品每件的进价比B种商品每件的进
价多40元，购进A种商品2件与购进B种商品3件的进价相同．
（1）求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？
（2）该网购平台从厂家购进了A、B两种商品共60件，所用资金为5800元，出售时，A种商品在进价
的基础上加价20%进行标价；B商品按标价出售每件可获利20元．若按标价出售A、B两种商品，则全部售完共可获利多少元？
（3）在（2）的条件下，年货节期间，A商品按标价出售，B商品按标价先销售一部分商品后，余下的
2
再按标价降价8元出售，A、B两种商品全部售出，总获利比全部按标价售出获利少了 ，则B商品按
13
标价售出多少件？
7．（2023秋•汉川市期末）新时代超市经销甲、乙两种商品，两种商品相关信息如表：
商品 进价（元/件） 售价（元/件） 利润率
甲种 40 60 n
乙种 50 m 50%
（1）以上表格中m，n的值分别为 ， ；
（2）若该超市同时购进甲种商品数量是乙种商品数量的2倍少10件，且在正常销售情况下售完这两种
商品共获利3050元，求购进甲、乙两种商品各多少件？
（3）春节临近，该超市决定对甲、乙两种商品进行如下的优惠活动：
顾客一次性购商品 数量 优惠措施
甲种 不超过15件 不优惠
超过15件 全部按售价8.5折
乙种 不超过15 不优惠
超过15件但不超过25件 全部按售价8.8折
超过25件 全部按售价8折
小华的爸爸一次性购买包含甲、乙两种商品共40件，按上述条件优惠后实付款恰好为2280元；求出小
华的爸爸购买方案．
【考点5 与线段有关的计算压轴题】
1．（2023秋•江岸区期末）如图，AB＝20cm，点C是线段AB延长线上一点，点M为线段AC的中点，在
线段BC上存在一点N（N在M的右侧且N不与B、C重合），使得4MN﹣NB＝40cm且BN＝kCN，则k
的值为（ ）
A．2 B．3 C．2或3 D．不能确定
2．（2023秋•源汇区校级期末）已知点A、B、C都在直线l上，点C是线段AB的三等分点，D、E分别为
线段AB、BC中点，直线l上所有线段的长度之和为91，则AC＝ ．
3．（2023秋•阜平县期末）如果一点在由两条具有公共端点的线段组成的一条折线上，且把这条折线分成长度相等的两部分，则把这一点叫做这条折线的“折中点”．如图，点 P是折线M﹣O﹣N的“折中
点”．
（1）若OM＝10，ON＝6，点P在线段 上（填“OM”或“ON”）；
（2）若ON＝8，OP＝3，则OM的长度为 ．
4．（2023秋•青山湖区校级期末）在同一直线上有A，B，C，D不重合的四个点，AB＝8，BC＝3，CD＝
5，则AD的长为 ．
5．（2023秋•随县期末）如图，线段 AB的长为a，点C为线段AB的中点，D为线段AB上一点，且
1 11 PD
AD= BD．图中共有 条线段；若P为直线AB上一点，且PA+PB= a，则 的值为
3 10 AB
．
6．（2023秋•安庆期末）如图，AB为一根长为40cm的绳子，拉直铺平后，在绳子上任意取两点M、N，
分别将AM、BN沿点M、N折叠，点A、B分别落在绳子上的点A′、B′处（绳子无并性，折叠处的长
度忽略不计）．
（1）当点A′与点B′恰好重合时，MN＝ cm．
（2）当A′B′＝10cm时，MN＝ cm．
7．（2023秋•黄冈期末）如图，将一段长为100cm绳子AB拉直铺平后折叠（绳子无弹性，折叠处长度忽
略不计），使绳子与自身一部分重叠．若将绳子AB沿N点折叠后，点B落在B'处（点B'始终在点A右
侧），在重合部分B'N上沿绳子垂直方向剪断，将绳子分为三段，若这三段的长度由短到长的比为 2：
3：5，BN的值可能为 ．【考点6 数轴、线段中的动点压轴题】
1．（2023秋•青山区期末）已知，点O为数轴的原点，点A，B在数轴上的位置如图所示，点A表示的数
为10，AB＝12，点C是数轴上原点左侧一点．
（1）若BC＝2OA．
①则点B表示的数是 ，点C表示的数是 ；
②点P，Q同时分别从点A、C出发向右运动，若点Q的速度比点P的速度的2倍少3个单位长度，运
动3秒时，点O是线段PQ的中点，求点P的速度．
（2）点P、Q、R同时分别从点A、B、C出发向右运动，点P的速度为1个单位长度/秒，点Q的速度
为3个单位长度/秒，点R的速度为3个单位长度/秒．若从线段QR的右端点到达原点O起，直至线段
2
QR的左端点与点P重叠止，共用时5 秒，请直接写出C点表示的数．
3
2．（2023秋•武昌区期末）数轴上点A表示的数是a（a＜0），点B表示的数是b（b＞0），点C是线段
AB的中点．
知识准备：
因为点A表示的数是a（a＜0），点B表示的数是b（b＞0），则OA＝﹣a，OB＝b，所以AB＝OB+OA
＝b+（﹣a）＝b﹣a．
1 1
因为点C是线段AB的中点，则BC= AB= (b−a)．
2 2
那么点C表示的数：
1 a+b a+b
①当点C在原点右侧时，如图1，则OC=OB−BC=b− (b−a)= ，点C表示的数为 ．
2 2 2
1 a+b
②当点 C 在原点左侧时，如图 2，则OC=BC−OB= (b−a)−b=− ，点 C 表示的数为
2 2
a+b a+b
−(− )= ．
2 2
a+b
综上，点C表示的数为 ．
2
知识应用：若a＝﹣8，b＝10，如图3．
（1）点C表示的数为 ；（2）线段DE在射线AB上运动，点D在点E的左边，点M是线段AD的中点，点N是线段BE的中
点，DE＝4，求线段MN的长度；
（3）点P，Q为数轴上两动点，动点P从点A出发以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时动点
Q从点B出发以3个单位长度/秒的速度向左匀速运动．当P，Q两点相遇后，PQ＝9时，动点P变为以
5个单位长度/秒的速度向左匀速运动，动点Q保持原有的速度和方向不变．设运动时间为t秒，在动点
P从点A出发后的整个运动过程中，当PQ＝6时，t＝ ．
3．（2023秋•硚口区期末）A，B在数轴上，分别表示数m，n，且|m+17|+（n﹣15）2＝0．
（1）直接写出m的值是 ，n的值是 ，线段AB的长度是 ；
（2）如图1，PQ是一条定长的线段（点P在点Q的左侧），它在数轴上从左向右匀速运动，在运动过
程中，线段PQ完全经过点A（即点A在线段PQ上的这段过程）所需的时间为4秒，线段PQ完全经过
线段AB（即线段PQ与线段AB有公共点的这段过程）所需的时间为20秒．
①求线段PQ的长；
②直接写出线段PQ运动的速度为 个单位长度/秒；
③如图2，当动线段PQ运动到Q点与A点重合时，与此同时，点C从P点出发，在动线段PQ上，以
1个单位长度/秒的速度向Q点运动，遇到Q点后，点C立即原速返回，向P点运动，遇到P点后也立
即原速返回，向Q点运动．设动线段PQ，以及点C同时运动的时间为t秒（0≤t≤20），当4PC﹣QB
＝4时，求t的值．
4．（2023秋•鄂州期末）情境背景
我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思
想方法．A，B是数轴上的两点（点B在点A的右侧），点A表示的数为﹣15，A，B两点的距离AB是
点A到原点O的距离OA的4倍，即AB＝4OA．
特例初探
（1）在情境背景下，数轴上点B表示的数是 ，点C为数轴上的动点，当AC+BC＝72时，可知点C表示的数为 ．
能力提升
（2）动点P，Q分别从点B和A同时出发向左匀速运动，点P，Q的速度分别为每秒7个单位长度和每
秒3个单位长度．
①当点P与点Q之间的距离为4个单位长度时，求此时点P和点Q在数轴上所表示的数；
②设运动时间为t，点M为数轴上P、Q两点之间的动点，且点M始终满足PM：MQ＝1：3，点M在
3
运动到点O的过程中， PQ﹣OM的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，说明理由．
2
5．（2024•济南模拟）【背景知识】
数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的
规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点
a+b
表示的数为 ．
2
【问题情境】
如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿
数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t
秒（t＞0）．
【综合运用】
（1）填空：用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为 ；点Q表示的数为 ；
（2）求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数；
1
（3）求当t为何值时，PQ= AB；
2
（4）若点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若
变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长．
6．（2023秋•荆门期末）如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为﹣2，b，
8．某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度1.2cm，点C对齐刻度6.0cm．我们把数轴上点A到点C的距离表示为AC，同理，A到点B的距离表示为AB．
（1）在图1的数轴上，AC＝ 个长度单位；在图2中刻度尺上，AC＝ cm；数轴上的1个长
度单位对应刻度尺上的 cm；刻度尺上的1cm对应数轴上的 个长度单位；
（2）在数轴上点B所对应的数为b，若点Q是数轴上一点，且满足CQ＝2AB，请通过计算，求b的值
及点Q所表示的数；
（3）点M，N分别从B，C出发，同时向右匀速运动，点M的运动速度为5个单位长度/秒，点N的速
度为3个单位长度/秒，设运动的时间为t秒（t＞0）．在M，N运动过程中，若AM﹣k•MN的值不会随
t的变化而改变，请直接写出符合条件的k的值．
7．（2023秋•恩平市期末）已知多项式3m3n2﹣8mn3﹣2中，多项式的项数为a，四次项的系数为b，常数
项为c，且a，b，c的值分别是点A、B、C在数轴上对应的数，点P从B点出发，沿数轴向右以1单
位/s的速度匀速运动，点Q从点A出发，沿数轴向左匀速运动，两点同时出发．
（1）求a（b﹣c）的值；
（2）若点Q运动速度为3单位/s，经过多长时间P、Q两点相距5？
AP−OC
（3）O是数轴上的原点，当点P运动在原点左侧上时，分别取OP和AC的中点EF，试问 的
EF
值是否变化，若变化，求出其范围；若不变，求出其值．
【考点7 与角度有关的计算压轴题】
1．（2023秋•武昌区期末）钟表是日常生活中的计时工具，我们观察钟表可以发现钟表中有许多数学内
容．例如，我们可以思考在3时到5时之间，钟表上的时针与分针的夹角问题．从3时开始到5时之
间，当经过t分钟后，钟表上的时针与分针刚好成110°的角，则t的值为 ．
2．（2023秋•汉川市期末）钟表是我们日常生活中常见的计时工具，善于观察的小亮偶然发现在 9时到10
时之间的某一时刻时，时针与分针恰好重合了，则该时刻为9时 分．（要求取准确值）3．（2023秋•东西湖区期末）射线OC为锐角∠AOB的三等分线，射线OD平分∠AOC，此时图中所有锐
角度数之和为190°，则∠AOB的度数为 °．
4．（2023秋•鄂州期末）射线OA，OB，OC，OD是同一平面内互不重合的四条射线，∠AOB＝60°，
∠AOD＝50°，∠BOC＝10°，则∠COD的度数为 ．
5．（2024春•望花区期末）如图，已知△AOB＝35°，OD⊥OB，以O为顶点作射线OC，使∠AOC＝
2∠AOB，则∠COD的度数为 ．（结果在0°∼180°之间）
6．（2023秋•随县期末）新定义：如果两个角的和为120°，我们称这两个角互为“兄弟角”．已知∠AOB
＝ （15°＜ ＜45°），∠AOB与∠AOC互为“兄弟角”，∠AOB与∠AOD互余．
（α1）如图，α当点B在∠AOC的内部，且点B，点D在OA的同侧时：
①若∠BOC＝60°，则 ＝ °．
1 α
②若∠AOE= ∠AOD，射线OM在∠AOC内部，且满足∠COM＝3∠AOM，求∠EOM的度数（用
3
含 的式子表示）．
（2α）直接写出∠COD所有可能的度数： （可用含 的式子表示）．
α
7．（2023秋•江海区期末）新定义：如果∠MON的内部有一条射线OP将∠MON分成的两个角，其中一
个角是另一个角的 n 倍，那么我们称射线 OP 为∠MON 的 n 倍分线，例如，如图 1，∠MOP＝4∠NOP，则OP为∠MON的4倍分线．∠NOQ＝4∠MOQ，则OQ也是∠MON的4倍分线．
（1）应用：若∠AOB＝60°，OP为∠AOB的二倍分线，且∠BOP＞∠POA，则∠BOP＝ °；
（2）如图2，点A，O，B在同一条直线上，OC为直线AB上方的一条射线．
①若OP，OQ分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线，（∠COP＞∠POA，∠COQ＞∠QOB）已知，
∠AOC＝120°，则∠POQ＝ °；
②在①的条件下，若∠AOC＝ ，∠POQ的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；若
发生变化，请说明理由． α
③如图3，已知∠MON＝90°，且OM，ON所在射线恰好是分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线，请直
接写出∠AOC的度数．
【考点8 角的旋转压轴题】
1．（2023秋•洪山区期末）已知∠COD在∠AOB的内部，∠COD：∠AOB＝1：7，∠COD是∠AOB补角
1
的 （本题出现的角均指不大于平角的角）．
2
（1）如图1，求∠COD的值；
（2）在（1）的条件下，OC平分∠AOD，射线OM满足∠MOC＝4∠MOB，求∠MOB的大小；
（3）如图2，若∠AOC＝30°，射线OC绕点O以每秒30°的速度顺时针旋转，同时射线OD以每秒10°
的速度绕点O顺时针旋转，当射线OC与OB重合后，再以每秒5°的速度绕点O逆时针旋转．设射线
OD，OC运动的时间为t秒（0＜t≤9），当|∠BOC﹣∠BOD|＝50°时，请直接写出t的值 ．
2．（2023秋•江岸区期末）若∠A+2∠B＝90°，我们则称∠B是∠A的“绝配角”．例如：若∠1＝10°，
∠2＝40°，则∠2是∠1的“绝配角”，请注意：此时∠1不是∠2的“绝配角”．（1）如图1，已知∠AOB＝60°，在∠AOB内存在一条射线OC，使得∠AOC是∠BOC的“绝配角”，
此时∠AOC＝ ．（直接填写答案）
（2）如图2，已知∠AOB＝60°，若平面内存在射线OC、OD（OD在直线OB的上方），使得∠AOC是
∠BOC的“绝配角”，∠BOC与∠BOD互补，求∠AOD大小．
（3）如图3，若∠AOB＝10°，射线OC从OA出发绕点O以每秒20°的速度逆时针旋转，射线OD绕点
O从OB出发以每秒10°的速度顺时针旋转，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，运动时间为t秒（0＜
t≤20）．
①当0＜t＜17时，∠AOB是∠MON的“绝配角”，求出此时t的值．
②当17＜t≤20时，t＝ 时，∠AOB是∠MON的“绝配角”（直接填写答案）．
3．（2023秋•东西湖区期末）已知∠AOB＝40°．
1
（1）如图1，OC在∠AOB的内部，且∠AOC= ∠BOC，则∠BOC＝ ；
3
（2）如图2，∠AOC＝20°，OM在∠AOB的内部，ON是∠MOC四等分线，且3∠CON＝∠NOM，求
4∠AON+∠COM的值；
（3）如图3，∠AOC＝20°，射线OM绕着O点从OB开始以5度/秒的速度逆时针旋转一周至OB结
束，在旋转过程中，设运动的时间为t，ON是∠MOC四等分线，且3∠CON＝∠NOM，当t在某个范围
1
内时，∠AON− ∠BOM会为定值，请直接写出定值，并指出对应t的范围（本题中的角均大于0°
4
且不超过180°）．4．（2023秋•云梦县期末）已知∠COD在∠AOB的内部，∠AOB＝120°，∠COD＝20°．（本题中研究的
角的度数均小于180°）
（1）如图1，求∠AOD+∠COB的大小；
（2）如图2，OM平分∠COB，ON平分∠AOD，求∠NOM的大小．
（3）如图3，若∠AOC＝30°，射线OC、OD同时绕点O旋转，其中射线OC先以每秒10°的速度顺时
针旋转，当与射线OB重合后，再以每秒15°的速度绕点O逆时针旋转；射线OD始终以每秒20°的速度
绕点O顺时针旋转．设射线OC、OD运动的时间是t秒（0＜t≤15），当∠COD＝80°时，直接写出t的
值．
5．（2023秋•咸安区期末）如图 1，在直线MN上摆放一副直角三角板，两三角板顶点重合于点 O，
∠AOB＝60°，∠OCD＝45°，将三角板COD绕点O以每秒6°的速度顺时针方向转动，设转动时间为 t
秒．
（1）如图2，若OC平分∠MOB，则t的最小值为 ；此时∠DOB﹣∠MOC＝ 度；（直接写
答案）（2）当三角板COD转动如图3的位置，此时OC、OD同时在直线OB的右侧，猜想∠DOB与
∠MOC有怎样的数量关系？并说明理由；（数量关系中不含t）
（3）若当三角板COD开始转动的同时，另一个三角板OAB也绕点O以每秒3°的速度顺时针转动，当
OC旋转至射线ON上时，两三角板同时停止运动：
①当t为何值时，∠BOC＝15°；
②在转动过程中，请写出∠DOB与∠MOC的数量关系，并说明理由．（数量关系中不含t）
6．（2023秋•广水市期末）如图1，点O为直线AB上一点，过O点作射线OC，使∠AOC：∠BOC＝1：
3，将一直角△MON的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．绕点O顺时针旋转△MON，其中旋转的角度为 （0＜ ＜360°）．
（1）将图1中的直角△MON旋转至图2的位α置，使α得ON落在射线OB上，此时 为 度；
（2）将图1中的直角△MON旋转至图3的位置，使得ON在∠AOC的内部．试α探究∠AOM与∠NOC
之间满足什么等量关系，并说明理由；
（3）在上述直角△MON从图1旋转到图3的位置的过程中，若直角△MON绕点O按每秒25°的速度顺
时针旋转，当直角△MON的直角边ON所在直线恰好平分∠AOC时，求此时直角△MON绕点O的运动
时间t的值．
7．（2023秋•海珠区期末）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝110°，将一直
角三角板的直角顶点放在点O处（∠OMN＝30°），一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下
方．
（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，
求∠BON的度数．
（2）将图1中三角板绕点O以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，同时射线OP从OC开始绕点O
以每秒2°的速度沿顺时针方向旋转，当三角板停止运动时，射线OP也停止运动．设旋转时间为t秒．
①在运动过程中，当∠POM＝40°时，求t的值．②当40＜t＜54时，在旋转的过程中∠CON与∠AOM始终满足关系m∠CON+∠AOM＝n°（m，n为常
数），求m+n的值．
【考点9 新定义问题】
1．（2023秋•襄城区期末）探究规律，完成相关题目．王老师说：我定义了一种新的运算，叫“※”运
算．王老师写了一些按照“※”运算法则进行运算的式子：（+2）※（+4）＝﹣6；（﹣3）※（﹣4）
＝﹣7；（﹣2）※（+3）＝+5；（+5）※（﹣6）＝+11；0※（+9）＝﹣9：（﹣7）※0＝+7．请你按
照王老师定义的运算法则计算（﹣2023）※（+2024）的结果为（ ）
A．﹣4047 B．0 C．1 D．4047
2．（2023秋•安陆市期末）定义一种关于整数n的“F”运算：
（1）当n是奇数时，结果为3n+5；
n n
（2）当n是偶数时，结果是 （其中k是使 为奇数的正整数），并且运算重复进行．
2k 2k
例如：取n＝58，第一次经F运算是29，第二次经F运算是92，第三次经F运算是23，第四次经F运
算是74，…，若n＝9，则第2023次经F运算的结果是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
3．（2023秋•瑶海区期末）如图是计算机程序的一个流程图，现定义：“x←x+2”表示用x+2的值作为x
的值输入程序再次计算．比如：当输入x＝2时，依次计算作为第一次“传输”，可得2×2＝4，4﹣1＝
3，32＝9，9不大于2024，所以2+2＝4，把x＝4输入程序，再次计算作为第二次“传输”，可得第二
次“传输”后可4×2＝8，8﹣1＝7，……，若输入x＝1，那么经过（ ）次“传输”后可以输出结
果，结束程序．A．11 B．12 C．21 D．23
4．（2023秋•洪山区期末）定义：我们称使等式b2＝4ac成立的有理数a，b，c为“唯一根数组”，记作
1 1 5
【a，b，c】．例如：由于22＝4× ×3，因此【 ，2，3】是“唯一根数组”．若【5+ k﹣k2，k，1】
3 3 2
是“唯一根数组”，则2k﹣k2+1的值为 ．
5．（2023秋•郧阳区期末）用〈m〉表示大于m的最小整数，例如〈1〉＝2，〈3.2〉＝4，〈﹣3〉＝﹣
2．用max{a，b}表示a，b两数中较大的数，例如 max{﹣2，4}＝4，按上述规定，如果整数 x满足
max{x，﹣3x}＝﹣2〈x〉+8，则x的值是 ．
1
6．（2023秋•越秀区期末）已知a是不为1的有理数，我们把 称为a的差倒数，如：3的差倒数是
1−a
1 1
=− ．已知a ＝﹣1，a 是a 的差倒数，a 是a 的差倒数，a 是a 的差倒数，…，以此类推，a
1 2 1 3 2 4 3 n
1−3 2
1
为a n﹣1 的差倒数，则a 2 ＝ ；若a 1 +a 2 +⋯+a n ＝55，则n＝ ．
2
7．（2023秋•江汉区期末）定义：一个正整数 x＝1000a+100b+10c+d（其中a，b，c，d均为小于10的非
负整数）．若ma﹣b＝mc﹣d，m为整数，我们称x为“m倍数”．例如，5923：2×5﹣9＝2×2﹣3，则
3 3
称5923为“2倍数”；1940：﹣3×1﹣9＝﹣3×4﹣0，则称1940为“﹣3倍数”；2548： ×2−5= ×
2 23
4﹣8．因为 不是整数，所以2548不是“m倍数”．
2
（1）直接判断3274和2961是否为“m倍数”，若是，直接写出m的值；
（2）若一个三位数x为“﹣2倍数”，且个位数字为7，判断这个三位数是否能被7整除，并说明理
由；
（3）若一个四位数x为“1倍数”，且各数位的数字互不相等，将它的千位数字和百位数字组成的两位
y−z
数记为y（即10a+b），十位数字和个位数字组成的两位数记为z（即10c+d）．若 为整数，求这
8
个四位数；
（4）若一个四位数x为“4倍数”，将它的百位数字和十位数字互换，得到的新的四位数仍为“4倍
数”，x+6为“﹣4倍数”，直接写出满足条件的x的最大值．
【考点10 日历与幻方问题】
1．（2023秋•武昌区期末）如图，在2024年1月的日历表中用图形框出10，18，19，24四个数，它们的
和为71．若保持图形框的整体形状不变，在日历表中平移，还是框出四个数，则它们的和不可能是（
）
A．35 B．63 C．99 D．119
2．（2023秋•随县期末）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方一九宫格．将
9个数填入幻方的空格中，要求每一横行，每一竖列以及两条对角线上的 3个数之和相等，如图是一个
未完成的幻方，则x﹣y的值是（ ）
﹣1
x 2
﹣2 y
A．0 B．﹣3 C．3 D．4
3．（2023秋•岱岳区期末）现有一个50个偶数排成的数阵，用如图所示的框去框住四个数，则这四个数的和有可能是（ ）
A．98 B．210 C．314 D．386
4．（2023秋•大冶市期末）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫
格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的 3个数之和相等，例如
图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则x的值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．（2023秋•南沙区期末）如图是2024年1月日历，用“Z”型方框任意覆盖其中四个方格，最小数字记
为a，四个数字之和记为S．当S＝82时，a所表示的日期是星期（ ）
A．一 B．二 C．三 D．四
6．（2023秋•潢川县期末）在如图所示的图案中，每个小三角形的边长都为1，把由四个小三角形组成的
边长为2的大三角形称为一个“单元”，现将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这十个数分别填入图中
的十个小三角形中，使得对于图中的四个“单元”，每个“单元”中的四个数之和都是 23，若2，4，
5，a已填入图中，位置如图所示，则a表示的数是 ．7．（2023秋•香洲区期末）爱动脑筋的小亮同学设计了一种“幻圆”游戏，将1，﹣2，﹣3，3，4，6，﹣
7，8分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，他已经将4，6，﹣7，
8这四个数填入了圆圈，则图中a+b的值为 ．
【考点11 数字规律问题】
1．（2023秋•汉川市期末）阅读材料：大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题：1+2+3+…
1
+100＝？经过研究，这个问题的一般性结论是 1+2+3+⋯+n= n（n+1），其中n是正整数．现在我们
2
1
来研究一个类似的问题：1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）＝？观察几个特殊的等式：1×2= ×（1×2×3﹣
3
1 1
0×1×2），2×3= ×（2×3×4﹣1×2×3），3×4= ×（3×4×5﹣2×3×4），将这三个等式的两边相加，可以
3 3
1
得到1×2+2×3+3×4= ×3×4×5＝20．读完这段材料，请你思考后计算：1×2+2×3+3×4+…+50×51的值是
3
（ ）
A．41650 B．44200 C．46852 D．49608
2．（2023秋•来凤县期末）正整数按如图的规律排列，请写出第 15行，第18列的数字是（ ）A．284 B．296 C．303 D．304
3．（2024 秋•黔东南州期末）为了求 1+2+22+23+…+220的值，可令 S＝1+2+22+23+…+220，则 2S＝
2+22+23+24+…+221，因此 2S﹣S＝221﹣1，所以 1+2+22+23+…+220＝221﹣1，仿照以上推理，计算
1+5+52+53+…+52024＝（ ）
A．52024 B．52023﹣1
1 1
C． (52024−1) D． (52025−1)
4 4
4．（2023秋•无为市期末）观察下面三行数：
第①行：2、4、6、8、10、12、…
第②行：3、5、7、9、11、13、…
第③行：1、4、9、16、25、36、…
设x、y、z分别为第①、②、③行的第100个数，则2x﹣y+2z的值为（ ）
A．9999 B．10001 C．20199 D．20001
5．（2023秋•恩施市期末）“转化”是一种解决问题的常用思想，有时画图可以帮助我们找到转化的方
法．例如借助图①，可以把算式1+3+5+7+9+11转化为62＝36．请你观察图②，利用转化的方法计
1 1 1 1 1 1 1 1
算： + + + + + + + = ．
2 4 8 16 32 64 128 2561 1 1 1
6．（2023秋•广水市期末）将数字1个1，2个 ，3个 ，4个 ，…n个 （n为正整数）按顺序排成一
2 3 4 n
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
排：1， ， ， ， ， ， ， ， ， ，⋯ ， ， ⋯，记 a ＝1，a ＝a + + ，a ＝a
1 2 1 3 2
2 2 3 3 3 4 4 4 4 n n n 2 2
1 1 1
+ + + ，…S ＝a ，S ＝a +a ，S ＝a +a +a +…+a ，则S ﹣S ＝ ．
1 1 1 1 2 n 1 2 3 n 1000 1008
3 3 3
7．（2023秋•江陵县期末）从2开始，连续的偶数相加，它们和的情况如表：
加数的个数n S
1 2＝1×2
2 2+4＝6＝2×3
3 2+4+6＝12＝3×4
4 2+4+6+8＝20＝4×5
5 2+4+6+8+10＝30＝5×6
（1）若n＝7时，则S的值为 ．
（2）根据表中的规律猜想：用含n的代数式表示S的公式为：S＝2+4+6+8+…+2n＝ ．
（3）根据上题的规律计算102+104+106+…+2020的值（要有过程）．
【考点12 图形规律问题】
1．（2023秋•黄冈期末）如图，将一些形状相同的小五角星按图中所示放置，据此规律，第59个图形五
角星的个数为（ ）
A．3600 B．3500 C．3599 D．3499
2．（2023秋•黄石港区期末）下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第①个图形有3颗
棋子，第②个图形一共有9颗棋子，第③个图形一共有l8颗棋子，…，则第⑥个图形中棋子的颗数为
（ ）A．63 B．84 C．108 D．152
3．（2023秋•郧阳区期末）如图1是一根起点为0且标有单位长度的射线，现有同学将它弯折成如图2，
弯折后落在虚线上的点，从下往上第一个数是0，第二个数是12，第三个数是42，…，依此规律，落在
虚线上的第五个点对应的数是（ ）
A．90 B．96 C．150 D．156
4．（2023秋•曾都区期末）根据图中数字的规律，若第n个图中的p＝101，则q的值为（ ）
A．2500 B．﹣2500 C．2601 D．﹣2601
5．（2023秋•惠东县期末）在“互联网+”时代，利用二维码可以进行身份识别．某校建立了一个身份识
别系统，如图是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行数字从左
到右依次记为a，b，c，d，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为a×23+b×22+c×21+d×20，如图
中第一行数字从左到右依次为1，0，0，1，序号为1×23+0×22+0×21+1×20＝9（其中20＝1），表示该生
为9班学生，下面表示6班学生的识别图案是（ ）A． B．
C． D．
6．（2023秋•海珠区期末）如图所示的图形都由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，若按此规律排列
下去，则第n个图形中有 个小圆圈．
7．（2023秋•汉阳区期末）问题呈现：在小学我们学习过用图示法求1+2+3+⋯+n的方法：
如图1，从第1层至第n层，分别有1，2，3，⋯，n个小圆圈；将图1旋转后拼成如图2．
①图2中，每层有小圆圈 个；共有小圆圈 个．
②1+2+3+⋯+n＝
数学思考：如何求12+22+32+⋯+n2？小明同学根据上面的启示设计了如图3所示三角形数阵型：
第1行圆圈中的数为1，即12；第2行两个圆圈中数的和为2+2，即22；⋯⋯；第n行n个圆圈中数的和为n+n+⋯+n，即n2，这样，该三角形数阵中所有圆圈中的数的和为12+22+32+⋯+n2．
¿
为了求这个和，他将三角形数阵型经过两次旋转可得如图4所示的三角形数阵型．
观察这三个三角形数阵型各行同一位置圆圈中的数，（如第n﹣1行的第1个圆圈中的数分别为n﹣1，
2，n），
③发现每个位置上三个圆圈中数的和均为 ；
④这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为：3（12+22+32+⋯+n2）＝ ；
⑤12+22+32+⋯+n2＝ ．
拓展运用：根据以上发现，
12+22+32+⋯+n2
⑥计算 的结果为 ．
1+2+3+⋯+n
⑦求212+222+232+…+302的值．
