圆锥曲线的方程（八）讲义——2025届高三数学专项复习（含答案）_2.2025数学总复习_2025年新高考资料_专项复习_2025高考总复习专项复习-圆锥曲线的方程讲义（含答案）（完结）

2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时八 知识点一 根据a、b、c求椭圆标准方程,椭圆中的定值问题 典例1、如图，已知椭圆 分别是长轴的左、右两个端点， 是右焦点．椭 圆 C过点 ，离心率为 ． （1）求椭圆C的方程； （2）设直线 上有两个点 ，且 ，连接 交椭圆C于另一点P（不同于点 ）， 证明： 三点共线． 随堂练习：已知椭圆 ： （ ）过点 ，且焦距与长轴之比为 .设 ， 为椭 圆 的左､右顶点， 为椭圆上异于 ， 的一点，直线 ， 分别与直线 ： 相交于 ， 两点，且直线 与椭圆 交于另一点 . （1）求椭圆 的标准方程； （2）求证：直线 与 的斜率之积为定值； （3）判断三点 ， ， 是否共线，并证明你的结论. 典例2、已知椭圆 ，由E的上､下顶点，左､右焦点构成一个边长为 的正方形. （1）求E的方程；（2）过E的右焦点F做相互垂直的两条直线 ， ，分别和E交点A，B，C，D， 若由点A，B，C，D构成的四边形的面积是 ，求 ， 的方程. 随堂练习：已知椭圆 的右焦点 与抛物线 的焦点重合．（1）求椭圆 的离心率与抛物线 的方程；（2）过焦点 的动直线与抛物线 交于 ， 两点，从 原点 作直线 的垂线，垂足为 ，求动点 的轨迹方程；（3）点 为椭圆 上的点，设 直线 与 平行，且直线 与椭圆 交于 ， 两点，若 的面积为1，求直线 的方程． 典例3、椭圆 的右焦点为F、右顶点为A，上顶点为B，且满足 ． （1）求椭圆的离心率 ； （2）直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于N（N异于M）．记O为坐标原点，若 ， 且 的面积为 ，求椭圆的标准方程．随堂练习：已知椭圆 的上顶点与椭圆左、右顶点连线的斜率之积为 ． （1）求椭圆 的离心率； （2）若直线 与椭圆 相交于 、 两点，且 的面积为 （ 为坐标原点），求椭圆 的 标准方程． 知识点二 根据a、b、c求椭圆标准方程,根据韦达定理求参数,根据弦长求参数 典例4、已知椭圆 与 的离心率相同，过 的右焦点且垂直于 轴的直线被椭圆 截得 的线段长为 ． （1）求椭圆 的标准方程； （2）若直线 与椭圆 、 的交点从上到下依次为 、 、 、 ，且 ，求 的值．随堂练习：已知①如图，长为 ，宽为 的矩形 ，以 ､ 为焦点的椭圆 恰好过 两点②设圆 的圆心为 ，直线 过点 ，且与 轴不重合，直线 交圆 于 两点，过点 作 的平行线交 于 ，判断点 的轨迹是否椭圆 （1）在①②两个条件中任选一个条件，求椭圆 的标准方程； （2）根据（1）所得椭圆 的标准方程，若直线 被椭圆 截得的弦长等于短轴长，求 的值.典例5、已知椭圆 ，过点 ． （1）求C的方程； （2）若不过点 的直线l与C交于M，N两点，且满足 ，试探究：l是否过 定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 随堂练习：已知 为椭圆 上一点，上、下顶点分别为 、 ，右顶点为 ， 且 . （1）求椭圆 的方程； （2）点 为椭圆 上异于顶点的一动点，直线 与 交于点 ，直线 交 轴于点 .求证：直线 过定点.典例6、已知直线 经过椭圆 的右焦点，且椭圆C的离心率为 ． （1）求椭圆C的标准方程； （2）以椭圆 的短轴为直径作圆，若点M是第一象限内圆周上一点，过点M作圆 的切线交椭圆C于P，Q两点，椭圆C的右焦点为 ，试判断 的周长是否为定值．若是， 求出该定值．随堂练习：已知椭圆 的长轴长是焦距的2倍，点 是椭圆的右焦点，且点 在椭圆上，直线 与椭圆 交于A， 两点. （1）求椭圆 的方程； （2）当 时，求 的面积； （3）对 ， 的周长是否为定值？若是，给出证明，并求出定值；若不是，说明理由. 2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时八答案 典例1、答案：（1） （2）证明见解析 解：（1）由题意可知： ， ， 椭圆C的方程为 ； （2）证明：设 ， 由于 ，因此 ， ， 直线 的斜率为 ， 直线 的方程为 ，代入椭圆方程得： ， 整理得： ， 设 ， 代入直线 的方程得 ， 直线 的斜率为 ， 直线 的斜率为 ， ， 所以 三点共线． 随堂练习：答案： （1） ；（2）定值为 ，证明见解析； （3） ， ， 三点共线，证明见解析. 解:（1）由题知： ， 所以椭圆 ： . （2）由题知： ， 存在，且不为零，设 ， ， ， 则 ，即 . .所以直线 与 的斜率之积为定值 . （3） ， ， 三点共线，证明如下： 设直线 ： ，则直线 ： ， 将 代入直线 ， 得： ， ， ，设直线 ： ， ， 设 ，则 ，解得 ， 所以 ，即 ， 所以 ， ， 所以 ， 为公共点，所以 ， ， 三点共线. 典例2、答案： （1） （2） 与 的方程分别为： ， 解：（1）由已知， ， ，所以E的方程为 . （2）又题意中， ， ①若 或 斜率不存在，易知 ，不符合题意；②若 斜率存在，设 ，和 的方程联立得： ， ， ， ， 设 ，同理可得 ， 所以 解得 ， ，所以 与 的方程分别为： ， ， 随堂练习：答案： （1）离心率为 ；抛物线 的方程为 （2） （3） 解：（1）因 ， ，故 ，从而椭圆 的离心率为 ． 且椭圆 的右焦点 坐标为 ． 于是由椭圆 的右焦点 与抛物线 的焦点重合，得 ，即 ． 从而抛物线 的方程为 ． （2）设动点 的坐标为 ，由条件 ，且点 ， 在直线 上，可得 ． 于是 ． 即 ． 故动点 的轨迹方程为： ． （3）由于 ，设直线 方程为 ， ， ． 由 得 ，故 ．则 ． 又点 到直线 的距离 ， 故由 ， 解得 ，从而 ．因此，直线 的方程为 ． 典例3、答案： （1） （2） 解：（1） ， 离心率为 . （2）由（1）可知椭圆的方程为 ， 易知直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ， 联立 得 ， 由 ，① ， ， 由 可得 ，② 由 可得 ，③ 联立①②③可得 ， ， ，故椭圆的标准方程为 ．随堂练习：答案： （1） （2） 解：（1）由题知椭圆上顶点的坐标为 ，左、右顶点的坐标分别为 、 ， 所以 ，即 ， 又 ，所以 ，所以椭圆 的离心率 . （2）设 、 ，联立 得 ， 所以 ，可得 ， ， ， 所以 ， 又原点 到直线 的距离 ，所以 ， 解得 ，因此，椭圆 的方程为 ． 典例4、答案： （1） ；（2） ． 解:（1）设椭圆 的方程为 ，焦距为 ， 将 代入 的方程可得 ，解得 .由题意得 ，解得 ，因此 的方程为 ； （2）设 、 、 、 ， 由 ，得 （ 或 ）， 与 、 相交，只需当 时， ，解得 . 当 时， ， 由韦达定理可得 ，所以， 与 的中点相同， 所以， ， 即 ， 整理可得 ，解得 ，满足条件.随堂练习：答案： （1） ;（2） . 解: （1）选①：由已知，将 代入椭圆方程得： 故椭圆方程为： 选②：由题设可得如下示意图，易知：△ 为等腰三角形且 ， ∴ ，又 ，即 ， ∴ ，则 ， ∵ ， ∴椭圆定义知：动点 到两定点 的距离和为定值4， ∴ 的轨迹方程为 . （2）联立 与椭圆方程可得： ，且 ， 若交点为 ，则 ， ，∴直线 被椭圆 截得的弦长为 ，而短轴长为2， ∴ ，解得 . 典例5、答案：（1） （2）直线过定点 解：（1）由题意， ，解得 ， 所以椭圆C的标准方程为 ． （2）因为 ，两边平方，化简整理得， 易知直线l的斜率存在，设其方程为 ，其中 ． 由 ，得 ， ， 设 ，则 ， 所以 ， 所以 ， 即 ， 因为 ，所以 ，所以 ， 得 ，解得 ，满足 ， 所以直线l的方程为： ，即直线过定点 随堂练习：答案： （1） （2）证明见解析 解：（1）因为 为椭圆 上一点，所以 . 因为 ，所以 ，整理得 ，解得 或 . 当 时， ，与 矛盾.所以 ， . 椭圆 的方程为 . （2）设直线 的斜率为 ，则 . 因为 ， 由 解得 ， . 因为 ，所以 ，整理得 ， 所以 ， .所以 ，所以 . 令 ，得 . 所以 ， 所以 . 所以 . 所以直线 过定点 . x2 y2  1 典例6、答案： （1） 4 3 （2）周长是定值，且定值为4 yx1 y0 x1 C (1,0) c1 解：（1）因为 经过椭圆的右焦点，令 ，则 ，所以椭圆 的右焦点为 ，可得： ， c 1 e  又 a 2，可得：a2，由c2 a2b2 ，所以b2 3， x2 y2  1 ∴椭圆C的标准方程为 4 3 ； PQ y kxm(k 0,m0) （2）设直线 的方程为 ，  ykxm  x2 y2 由   4  3 1得： (34k2)x28kmx4m2120 ， (8km)24(34k2)(4m212) 48(4k2m23)0 所以 ， 8km 4m212 x x  ,xx  设P(x,y )，Q(x ,y )，则： 1 2 34k2 1 2 34k2 ， 1 1 2 28km 4m212  1k2  ( )24 所以 PQ  1k2 x x  1k2  (x x )2 4xx 34k2 34k2 1 2 1 2 1 2 (8km)24(4m212)(34k2) 48(4k2m23)  1k2   1k2  (34k2)2 (34k2)2 . m  3 因为直线 PQ 与圆 x2y2 3 相切，所以 1k 2 ，即 m2 3(1k2) ， 48k2 4km PQ  1k2   所以 34k2 34k2 ， 3 1  (x 1)2 (4x2)  (x 4)2 因为 PF  (x 1)2 y2 1 4 1 4 1 ， 2 1 1 1 1 PF 2 x QF 2 x 又 0x 1 2 ， 所以 2 2 1 ， 同理 2 2 2 . 1 4km 1 8km 4km PF  QF  PQ 4 (x x ) 4 ( ) 4 所以 2 2 2 1 2 34k2 2 34k2 34k2 ， △PFQ 即 2 的周长是定值，且定值为4． x2 y2 12 2  1 随堂练习：答案： （1） 4 3 （2） 7 （3）是，定值为8，证明见解析 a2c b2 a2c2 3c2 解：（1）长轴长是焦距的2倍，则 ，则 ， 6  6 x2 y2 P 2,  2 4  1    1 ∴椭圆为 4c2 3c2 ，代入点  2 得 4c2 3c2 ，解得c2 1. x2 y2  1 ∴椭圆C的方程为 4 3 . （2）k1，则直线为 yx1 ，过椭圆左焦点 F 1 1，0 ，右焦点为 F1,0 .x2 y2   1  4 3 8 8 设 Ax 1 ,y 1 ,Bx 2 ,y 2  ，由  yx1 得 7x28x80 ，∴x 1 +x 2 =- 7 , x 1 x 2 =- 7 ， 6 9 y +y =x +1+x +1= y y  x x xx 1 1 2 1 2 7 ， 1 2 1 2 1 2 7 . 12 2 1 12 2 y - y = ( y +y )2 -4y y = S = 创FF y - y = ∴ 1 2 1 2 1 2 7 . ∴ △ABF 2 1 1 2 7 . F 1，0 （3） △ABF 的周长为定值，理由如下： 直线l恒过椭圆左焦点 1 ， 由椭圆定义可知 △ABF 的周长为 F 1 A +FA +F 1 B +FB =2a+2a=8 .