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七年级数学下学期期末压轴题【最后一道】（100
题）
【人教版2024】
【选择题篇·30 题】
1．（2024春•和平区校级期末）如图，已知MN∥PQ，点B在MN上，点C在PQ上，点A在MN上方，
∠ABD：∠DBN＝3：2，点E在BD的反向延长线上，且∠ACE：∠ECP＝3：2，设∠A＝ ，则∠E的度数
用含 的式子一定可以表示为（ ）
α
α
2 3
A．2 B．72°+ α C．108°− α D．90°﹣
5 5
α α
2．（2024春•通州区期末）平面直角坐标系xOy中，点B（0，﹣5），C（3，﹣9），E（0，1），BC＝5，
点A在x轴正半轴上，线段AB与线段CE交于点D．若△EBD与△ACD面积相等，则点A到直线BC的距
离是（ ）
18 16
A．4 B． C． D．3
5 5
1
3．（2024春•阳新县校级期末）若关于x的不等式ax﹣b＞0的解集为x＜ ，则关于x的不等式（a+b）x＞b
3
﹣a的解集是（ ）
1 1 1 1
A．x＜− B．x＜ C．x＞− D．x＞
2 2 2 2
{ 1 x−1＞0 )
4．（2024春•云梦县期末）已知不等式组 2 ，如果这个不等式组有解，则a的取值范围为
2a−1＜x＜a+1
（ ）
3 3
A．1＜a＜2 B．a＞ C．1＜a＜ D．a＜2
2 2
5．（2024春•如皋市期末）已知a，b，c是三个非负数，且满足a+b＝2，3a+b﹣2c＝4，则式子2a﹣b+3c的
最大值为（ ）A．1 B．5 C．7 D．9
ax−3 2x
6．（2024春•河北区校级期末）已知关于x的方程 = +1的解是非负数，且关于y的不等式组
2 3
{y−1
−2＞
2−3 y
)
2 4 至多有3个整数解，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
4−y≤2a−3 y
A．27 B．28 C．35 D．36
{ x−2y=m ) {3x+ y≤0)
7．（2024春•武昌区期末）若关于x，y的方程组 的解满足不等式组 ，则满
2x+3 y=2m+4 x+5 y＞0
足条件的m的整数值是（ ）
A．2，3 B．2，﹣3 C．﹣2，﹣3 D．﹣2，3
{x+2y=−a+1)
8．（2024春•和平区期末）已知关于x，y的二元一次方程组 （a是常数），若不论a取什么
x−3 y=4a+6
实数，代数式kx﹣y（k是常数）的值始终不变，则k的值为（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2
9．（2024春•湖北期末）若x为实数，则[x]表示不大于x的最大整数，例如[1.6]＝1，[ ]＝3，[﹣2.82]＝﹣3
等．[x]+1是大于x的最小整数，则方程6x﹣3[x]+9＝0的解是（ ）
π
8 19
A．x=− B．x=−
3 6
7 8 19
C．x=− 或x＝﹣3 D．x=− 或x=−
2 3 6
10．（2024春•慈溪市期末）我国明代数学家程大位所著《算法统宗》中记载了一道有趣的题目：“一百馒头
一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”题目大意是：100个和尚分100个馒头，
刚好分完．大和尚1人分3个馒头，小和尚3人分一个馒头．问大、小和尚各有多少人？若大和尚有x人，
小和尚有y人．则下列方程或方程组中，正确的有（ ）
{
x+ y=100
) {
x+ y=100
) 1 1
① 1 ；② 1 ；③3x+ （100﹣x）＝100；④ y+3（100﹣y）＝100．
x+3 y=100 3x+ y=100 3 3
3 3
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
11．（2024春•咸安区期末）端午节前夕，某食品加工厂准备把生产的粽子装入A，B两种不同型号的包装盒
中，A种包装盒每盒可装8个粽子，B种包装盒每盒可装10个粽子，若将生产的200个粽子全部装入这两
种包装盒中（两种包装盒都使用且装满），最少需要两种包装盒共（ ）
A．20个 B．21个 C．22个 D．23个
12．（2024春•宜昌期末）下列命题；①在平面直角坐标系中，已知A（﹣2，8），B（a，8），其中a≠﹣2，则AB∥x轴；
②若x2＝7，则x=❑√7；
{2x+ y=2m−3)
③关于x，y的方程组 ．无论m为何值4x﹣y＝3恒成立；
x−y=3−m
④若1≤x＜b的整数解有3个，则b的取值范围为3＜b≤4．
其中是真命题的有（ ）
A．①③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
13．（2024春•黄埔区期末）如图，点E在BA延长线上，EC与AD交于点F，且∠E＝∠DCE，∠B＝∠D，
∠EFA是∠FCB的余角的5倍，点M是线段CB上的一动点，点N是线段MB上一点且满足∠MNF＝
∠MFN，FK平分∠EFM．下列结论：①BE∥CD；②AD∥CB；③FN平分∠AFM；④∠D+∠E＝
105°；⑤∠KFN＝30°．其中结论正确的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
{ax−by=c) {x=4) {2ax−3by=5c)
14．（2024春•芜湖期末）已知方程组 的解为 ，则方程组 的解为（
mx−ny=k y=1 2mx−3ny=5k
）
{x=4)
{x=10
)
A． B． 3
y=1 y=
5
{x=20)
{x=10
)
C． D． 5
y=5 y=
3
15．（2024秋•衡东县期末）如图，AB∥CD，F为AB上一点，FD∥EH，且FE平分∠AFG，过点F作
FG⊥EH于点G，且∠AFG＝2∠D，则下列结论：①∠D＝30°；②2∠D+∠EHC＝90°；③FD平分
∠HFB；④FH平分∠GFD．其中正确结论的个数是（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
16．（2024春•白云区期末）现有1角、5角、1元硬币各10枚，从中取出15枚，共7元．1角、5角、1元硬
币的取法共有（ ）
A．0种 B．1种 C．2种 D．3种
17．（2024春•江岸区期末）如图，在平面直角坐标系中，半径均为2个单位长度的半圆O ，O ，O ，…，组
1 2 3
成一条平滑的曲线，其中O （﹣2，0），O （2，0），O （6，0），…，在每一段半圆上均有靠近直径端
1 2 3
点的两个四等分点，P (−2−❑√2，❑√2)，P (−2+❑√2，❑√2)，P (2−❑√2，−❑√2)，P (2+❑√2，−❑√2)
1 2 3 4
，P (6−❑√2，❑√2)，P (6+❑√2，❑√2)，…，则点P 的坐标为（ ）
5 6 2024
A．(4046+❑√2，−❑√2) B．(4046−❑√2，❑√2)
C．(4042+❑√2，−❑√2) D．(4042−❑√2，❑√2)
18．（2024春•洪山区期末）小明同学在一次数学探究活动中，将小正方形放置在如图所示的平面直角坐标系
中，使得小正方形的中心（即正方形对角线的交点）位于原点，各顶点在坐标轴上，若各顶点到原点的距
离为1．接下来，按如图方式作新正方形，即从第二个正方形开始，以前一个正方形的一条对角线为边作
正方形，则第十个正方形中心O 的坐标为（ ）
10
A．（8，16） B．（8，20） C．（15，46） D．（15，48）
19．（2024春•汉阳区期末）如图，在平面坐标系xOy中，已知A（﹣5，4），B（﹣1，2），将线段AB平
移，得到线段CD（点A的对应点为点C，点B的对应点为点D），线段AB上任一点（x，y）在平移后的对应点为（x+m，y﹣n），其中m≥0，n≥0，若m+n＝6，且平移后三角形BCD的面积最大，则此时，
m，n的值为（ ）
A．m≥0，n≤6 B．m＝6，n＝0 C．m＝0，n＝6 D．m＝n＝3
x+2 x
{ ＞ +1 )
3 2
20．（2024春•武汉期末）若关于x的不等式组 的解集是x＜﹣2，且关于y的方程（a+2）
3
4x+ a＜x−1
2
﹣（y+2）＝2（y﹣1）的解是正数，则所有满足条件的整数a的值之和为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
21．（2024春•十堰期末）如图，直线AB经过原点O，点C在y轴上，D为线段AB上的一点，若A（﹣2，
m），B（4，n），C（0，3），AB＝9，则CD长度的最小值是（ ）
9 1
A．2 B．1 C． D．
4 2
{x+ y=2a+1)
22．（2024春•荔湾区期末）已知关于x，y的方程组 ，下列说法中正确的有（ ）个．
2x−y=7−a13
①当x＝y时，a= ；
4
②当x≥2y时，a的最小值为2；
③a取任意实数，5x﹣y的值始终不变；
④不存在实数a，使2x＝3y成立．
A．1 B．2 C．3 D．4
{4x+3 y=16，) {3x+2y=16，)
23．（2024春•黄石港区期末）已知关于x，y的方程组① 的解x，y比②
bx+ay=28 ax−by=−8
相应的解x，y正好都小1．则a，b的值分别为（ ）
A．2和3 B．﹣2和﹣3 C．6和4 D．﹣6和﹣4
24．（2024春•崇川区期末）在平面直角坐标系中，点A（1﹣m，0），B（1+m，0），其中m＞0，点C（1，
﹣1），在线段AB，AC，BC所围成的区域内（包括边界），若横、纵坐标都是整数的点恰有6个，则m
的取值范围是（ ）
A．2≤m＜3 B．2＜m≤3 C．2＜m＜3 D．3≤m＜4
25．（2024春•惠阳区期末）如图，在一个单位为1的方格纸上，△A
1
A
2
A
3
，△A
3
A
4
A
5
，△A
5
A
6
A
7
，⋯⋯，是
斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6的等腰直角三角形．若△A A A 的顶点坐标分别为A （2，0），A
1 2 3 1 2
（1，﹣1），A （0，0），则依图中所示规律，A 的横坐标为（ ）
3 2025
A．1014 B．﹣1014 C．1012 D．﹣1012
26．（2024春•海珠区期末）如图，E在线段BA的延长线上，∠EAD＝∠D，∠B＝∠D，EF∥HC，连FH交
AD于G，∠FGA的余角比∠DGH大16°，K为线段BC上一点，连CG，使∠CKG＝∠CGK，在∠AGK内
部有射线GM，GM平分∠FGC，则下列结论：①AD∥BC；②GK平分∠AGC；③∠DGH＝37°；
④∠MGK等于16°．其中正确的结论是（ ）A．①②③ B．②③ C．①② D．①②③④
27．（2024春•广州期末）“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”．中
国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个3×3方格，每一行、每一列及斜
对角的三个数之和都相等，也称之为三阶幻方．如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则图中的字母
m表示的数是（ ）
A．5 B．7 C．8 D．6
28．（2024春•武汉期末）已知正方形ABCD，点E、F、M、N、G、H是正方形边上的点，点P是正方形内
一点．如图（1），将正方形沿过P点的线段GH折叠，使点E落在EF上点E′，如图（2），展开后沿过
P点的线段MN折叠，使点G落在GH上点G′，若∠NMA'＝24°，则∠FHG的度数为（ ）
A．66° B．48° C．36° D．24°
{3x+2y=−a−1
)
29．（2024春•河北区期末）已知关于x、y的二元一次方程组 2 13 的解满足x≥y，且关于s的
x− y=a+
9 9
{ s＞ a−7 )
不等式组 3 恰好有4个整数解，那么所有符合条件的整数a的个数为（ ）
s≤1
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
30．（2024春•越秀区校级期末）下列说法：①立方根等于它本身的数是1或﹣1或0；②如果两条直线都垂直于同一直线，那么这两条直线平行；③❑√10在两个连续整数a和b之间，那么a+b＝7；④无理数就是
{x≥a+1)
开方开不尽的数；⑤若关于x的不等式组 无解，则b﹣a≤﹣1；⑥若关于x的不等式组
x≤b+2
{ x≥a+1 ) 1
有解且每个解都不在﹣1＜x≤3的范围内，则a＞− ；其中正确说法的个数为（ ）
x≤3a+2 2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【填空题篇·30 题】
1．（2024春•黄石期末）如图，AB∥CD，∠ABG的平分线BE和∠GCD的平分线CF的反向延长线交于点
E，且3∠E﹣5∠G＝172°，则∠G＝ 度．
2．（2024春•石首市期末）如图，某同学设计了一种计算流程图，据图完成下列问题：
（1）任意写出一个实数，使得该值经过一次运行就能输出结果，则该数为 ；
（2）如果要使开始输入的x的值经过两次运行才能输出结果，那么x的整数值为 ．
{2x+4≤a+x+3)
3．（2024春•宜城市期末）已知关于x的不等式组 有4个整数解，那么实数a的取值范围
3x−5≥x−4
是 ．
{3x−y=14−2m)
4．（2024春•硚口区期末）已知关于x，y的方程组 ，下列四个结论：
5x+ y=2+6m
①当m＝2时，方程组的解也是方程2x﹣y＝7的解；
②若x+y﹣5m＞1，则m＞﹣7；
③无论m取什么实数，y﹣7x的值始终不变；
④存在实数m使得3x+y＝﹣17．
其中正确的结论是 .（填写序号）
5．（2024春•青山区期末）关于x、y的二元一次方程：ax+y+2a﹣4＝0（a＞0），则下列四个结论：{x=−2)
①无论a为何值时，该方程都有一组解 ；
y=4
②若a＝1，则方程ax+y+2a﹣4＝0有三组非负整数解；
③若y＝﹣2x，则不等式ax+y+2a﹣4＞0的解集为x＞﹣2；
{x=c) {x=c+1)
④若 和 是方程ax+y+2a﹣4＝0的两组解，则m＞n．
y=m y=n
其中正确的结论是 .（请填写序号）
6．（2024春•武汉期末）如图，∠BCD＝∠BDC，AD∥BC，∠ADB的平分线交AB于点E，∠ABD的平分线
与CD延长线交于点F，∠F＝75°，则∠A＝ ．
7．（2024春•武汉期末）如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠（折线EF交AD于E，交BC于F），点C、
D的对应点分别是C ，D ，ED 交BC于G，再将四边形C D GF沿FG折叠，点C 、D 的对应点分别是
1 1 1 1 1 1 1
C 、D ，GD 交EF于H，给出下列结论：
2 2 2
①∠EGD ＝∠EFG；
2
②2∠EFC＝∠EGC+180°；
③若∠FEG＝26°，则∠EFC ＝102°；
2
④∠FHD ＝3∠EFB．
2
上述正确的结论是 ．
8．（2024春•洪山区期末）我们规定：[x]表示不超过x的最大整数．如：[3.2]＝3，[❑√8]=2．
则[❑√1]+[❑√2]+[❑√3]+[❑√4]+[❑√5]+⋯+[❑√47]+[❑√48]的值为 ．
9．（2024春•黄石港区期末）高斯函数[x]，也称取整函数，即[x]表示不超过x的最大整数，例如：[2.5]＝2，{2x−4
≤x−1)
[5]＝5，[﹣2.5]＝﹣3．若关于x的不等式组 3 的整数解恰有3个，则a的取值范围为
[a]−x＞0
．
10．（2024春•恩施州期末）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横、纵坐标均为整数的点，其顺序按图中
“→”方向排列，如（1，0），（1，1），（2，1），（2，0），（3，0），（3，1）⋯，根据这个规
律，第2025个点的坐标为 ．
11．（2024春•阳新县期末）在平面直角坐标系中，已知A（﹣a，3a+2），B（2a﹣3，a+2），C（2a﹣3，a
﹣2）三个点，下列四个命题：①若AB∥x轴，则a＝2；②若AB∥y轴，则a＝﹣1；③若a＝1，则A、
5 1
B、C三点在同一条直线上；④若a＞1，三角形ABC的面积等于8，则点C的坐标为( ， )．其中真命
3 3
题有 （填序号）．
3−x y+2 z+5
12．（2024春•海珠区期末）已知非负数x，y，z满足 = = ，设M＝3x﹣2y+z．则M的最大值
2 3 4
与最小值的和为 ．
13．（2024春•荔湾区期末）观察图中数的排列规律并回答问题：
如果一个数在第m行第n列，那么记它的位置为有序数对（m，n），例如数2在第2行第1列，记它的位
置为有序数对（2，1）．按照这种方式，数❑√71的位置为有序数对 ．
14．（2024春•洪山区期末）下列说法：①如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行；②若{x≥2a−3)
❑√3.14≈1.77，且❑√−x≈17.7，则x≈﹣314；③若关于x的不等式组 无解，则a+b≥4；④若
x≤5−2b
{ 2x≥a+1 )
关于x的不等式组 有解且每个解都不在﹣1＜x≤3的范围内，则a＞5．其中正确说法是
3x−2≤4a+3
．（填正确结论的序号）
15．（2024春•花都区期末）如图，点E，F为长方形ABCD的边AD，BC上的点，连接CE，AF，将三角形
EDC沿着CE翻折得到三角形EGC，三角形ABF翻折得到三角形AHF．此时，点H恰好落在线段EG上，
且∠AFB＝∠GED．以下结论：①AF∥EQ；②∠EAH+∠HFQ＝90°；③∠EHA＝∠CED；④∠QEC＝
∠ECQ，其中结论正确的是 ．（填入所有正确的序号）
{x−y(x≥ y))
16．（2024春•郯城县期末）对x，y定义一种新的运算G，规定G（x，y）= ，若关于x的不
y−x(x＜y)
{G(x，1)＞1 )
等式组 恰好有2个整数解，则m的取值范围是 ．
G(−2，x)≤m
17．（2024春•滨海新区期末）如图，AF平分∠BFE，延长EF到点G，作∠BFG 的角平分线，与AB的延长
线交于点D，点C是线段AD上异于点B的点，连接CG交DF于点N，使得∠FNG＝∠NFG，连接CE交
AF于点M，已知∠ADF+∠AFE＝90°，以下结论：①∠AFD＝90°；②AD∥EF；③∠G+∠ABF＝180°；
④∠CMF+∠CNF＝180°，其中正确的有 （请填写序号）
18．（2024春•河北区期末）在长为4，宽为x（2＜x＜4）的长方形纸片上，从它的一侧，剪去一个以长方形
纸片宽为边长的正方形（第一次操作）；从剩下的长方形纸片一侧再剪去一个以宽为边长的正方形（第二
次操作）；按此方式，如果第三次操作后，剩下的纸片恰为正方形，则x的值为
．
19．（2024春•海安市期末）在平面直角坐标系中，点A（m﹣3，m+3），B（m+3，m﹣3），当n≤m≤n+1
时，线段AB（含端点）始终与x轴相交，则n的取值范围为 ．
20．（2024春•海门区期末）在平面直角坐标系中，A（a，5），B（1，4﹣2a），C（1，b），若2a+b＝8，
10≤3a+b≤13．则△ABC面积的最大值为 ．21．（2024春•厦门期末）如图，AD∥BC，BD∥AE，DE平分∠ADB，且DE⊥CD．则下列结论中：
①∠AED＝∠ADE；②BD平分∠ABC；③∠OBE+∠OEB＝∠OAD；④∠DBC+2∠BDC＝180°．正确的
是 ．
{ x−y=a ) {x=m−1)
22．（2024春•通州区期末）已知关于x，y的方程组 的解满足 ，其中m，n都是实
3x+ y=2b y=3n+2
数，且m﹣n＝5．若a，b均为正整数，则所有符合条件的整数n的个数为 ．
23．（2024春•思明区校级期末）已知实数a，b，m，n（m≠n）满足|a−n+m|+❑√2a+b−2n+5=0，若
2
关于x的不等式ax+b＞﹣5的解集为x＜ ，则关于x的不等式mx﹣n＞0的解集是 ．
5
24．（2024春•崇川区校级期末）已知非负数a，b，c满足条件3a+2b+c＝4，2a+b+3c＝5，设s＝5a+4b+7c的
最大值是m，最小值是n，则m+n的值为 ．
25．（2024春•思明区校级期末）如图，AD∥BC，∠D＝∠ABC，点E是边DC上一点，连接AE交BC的延长
线于点H．点F是边AB上一点．使得∠FBE＝∠FEB，作∠FEH的角平分线EG交BH于点G，若∠DEH
＝110°，则∠BEG的度数为 ．
26．（2024春•海沧区期末）将一副三角板按图所示叠放，仅转动三角板BEC，在转动过程中保持直角顶点C
重合，且点E始终在直线AC的上方，∠ACE＜135°．当这两块三角板有两条边平行时（不考虑重合或共线
的情况），∠ACE＝ ．
3
27．（2024春•海安市期末）在平面直角坐标系xOy中有点P（2，0），点M（3﹣2m，1），点N（ m﹣3，
21），且M在N的左侧，连接MP、NP、MN，若△MNP区域（含边界）横坐标和纵坐标都为整数的点有且
只有4个，则m的取值范围为 ．
28．（2024春•惠城区期末）如图1，在长方形ABCD中，E点在AD上，并且∠ABE＝26˚，分别以BE、CE为
折痕进行折叠压平，如图2，若图2中∠AED＝n°，则∠DEC的度数为 ．
29．（2024春•芜湖期末）我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上
有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问
计算的奥妙．
你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？可以按如下步骤思考：
第1步：确定√359319的位数．因为103＝1000，1003＝1000000，1000＜59319＜1000000，所以√359319是2
位数；
第2步：确定个位数字．因为59319的个位上的数是9，93＝729，所以√359319的个位上的数是9；
第3步：确定十位数字．划去59319后面的三位319得到数59，33＝27，43＝64，而27＜59＜64，由此能
确定√359319的十位上的数是3．
综合以上可得√359319=39．
已知103823是整数的立方，按照上述方法，它的立方根是 ．
30．（2024春•无为市期末）定义[x]表示不大于x的最大整数，例如：[2.3]＝2，[1]＝1，[﹣1.2]＝﹣2．有下
1 7
列结论：①当x= 时，[1+x]+[1﹣x]的值为1；②[x﹣1]＝[x]﹣1；③x﹣1＜[x]≤x；④x=− 是方程3x
2 3
﹣2[x]+1＝0的唯一解，其中，正确的有 ．（填序号）【解答题篇·40 题】
1．（2024春•江岸区期末）如图1，平面直角坐标系中，点A（a，0），点B（0，b），且a，b满足
|a+3|+❑√b+4=0．
（1）求点A，B的坐标；
（2）将线段AB平移至CD处，点C与点A是对应点，C（x，y），F是线段CD上的点，点F的坐标为
（x+1.5，y﹣2），点E是x轴上一动点，点E的坐标为（m，0）．
9
①当x= ，y＝6，且m＞3时，三角形CFE的面积与三角形BFE的面积相等，求m的值；
2
②如图2，若点C，D均在第一象限，且满足4x+12＝ny，连接AC，BD，ED，若三角形ACE的面积小于
三角形BED的面积，且不小于三角形BED面积的一半，直接写出m的取值范围
.（用含有n的式子表示）
2．（2024春•武昌区期末）定义：若三个代数式满足以下条件，则称这三个代数式构成“和谐不等式”．
•只要其中任意两个代数式的和大于第三个代数式；
•满足上述条件的不等式的解集为大于2的实数．
例如：若三个代数式A，B和C构成关于x的不等式满足A+B＞C且解集为x＞2，则称A，B和C构成“和
谐不等式”．
（1）判断代数式A＝x﹣4，B＝x+2，C＝2是否构成“和谐不等式”？请说明理由．
（2）若A＝2x+m，B＝x，C＝3m+2构成“和谐不等式”，则m＝ ．
（3）若A＝ax+a，B＝﹣bx，C＝2b构成“和谐不等式”，求关于x的一元一次不等式组
{ax−a＞bx−2b)
的解集．
ax＜a+2b
3．（2024春•青山区期末）已知点A（a，3b），点B（3a，b），且a，b满足❑√a+b−3+|a+3b−7|=0．
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）如图1，点C（4，6），连接OC交AB于点E，连接AC，OB．求三角形ACE与三角形OBE的面积差；
（3）如图2，点P（m，﹣2m+2）在第二象限，且为直线AB左侧一点，求三角形PAB的面积？
4．（2024春•江汉区期末）定义：在平面直角坐标系中，已知点M（a，b），N（c，d），可以得到MN的中
a+c b+d
点P的坐标为( ， )；当d≥0时，将点P向上平移d个单位，得到Q；当d＜0时，将点P向下平
2 2
移|d|个单位，得到Q，我们称点Q为M关于N的中心平移点．例如：M（1，2），N（2，3），MN的中点
P的坐标为（1.5，2.5），M关于N的中心平移点Q的坐标为（1.5，5.5）．
（1）已知A（﹣3，1），B（1，3），C（﹣5，﹣5），直接写出A关于B的中心平移点D及A关于C的
中心平移点E的坐标；
（2）已知F（﹣3，m），G（5，m+2）位于x轴的同侧，F关于G的中心平移点为H，若△OHG的面积比
△OHF的面积大6，求m的值；
（3）已知R（n，n），S（0，2n）（n≠0），将点S向下平移1个单位得到T，将点S向上平移6个单位
得到U，分别过点S与U作x轴的平行线l 与l ．若点V在线段ST上，且V关于R的中心平移点在l 与l
1 2 1 2
之间（不含l ，l ），直接写出n的取值范围．
1 2
5．（2024春•硚口区期末）已知❑√b−5+|b−c−8|=0，d为4的算术平方根，点A（a，b），B（a﹣d，b
﹣3），C（c，0），且a＞0．
（1）直接写出b＝ ，c＝ ，d＝ ；（2）如图1，若点C在直线AB上，求a的值；
（3）平移线段AB，点A的对应点M在y轴的正半轴上，点B的对应点N恰好在x轴的负半轴上，点P以
每秒3个单位长度从点M向y轴负半轴运动，同时，点Q以每秒2个单位长度从N点向x轴正半轴运动，
直线NP，MQ交于点D，设点P，Q运动的时间为t秒．
①如图2，当1＜t＜2时，探究三角形MPD的面积和三角形NQD的面积的数量关系，并说明理由；
②若三角形MDN的面积为10，直接写出点D的坐标．
6．（2024春•湖北期末）如图1，在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），B（﹣4，﹣2），连接AB，与x
轴、y轴分别相交于点G、H，点G（a，0）、点H（0，b）满足(a+2) 2+❑√b−2=0．
（1）【基础训练】请你直接写出G、H两点的坐标；
（2）【能力提升】如图2，点C（m，n）在线段GH上，m、n满足n+m＝﹣1，点D在y轴负半轴上，连
接CD交x轴的负半轴于点M，且S△CGM ＝S△MOD ，求点D的坐标；
（3）【拓展延伸】如图3，P为直线AB上一点（异于A，B，G三点），过P点作AB的垂线交x轴于点
E，∠PEG和∠BGE的平分线所在的直线相交于Q点．当P在直线AB上运动时，请直接写出∠EQG的度
数．
7．（2023春•武穴市期末）如图，A为x轴负半轴上一点，C（0，﹣3），D（﹣4，﹣3）．（1）求△BCD的面积；
（2）如图（2），若AC⊥BC，作∠CBA的平分线交CO于P，交CA于Q，判断∠CPQ与∠AQB有何数量
关系，并说明理由；
（3）如图（3），若∠ADC＝∠DAC，点B在x轴正半轴上任意运动，∠ACB的平分线CE交DA的延长线
∠E
于点E，在B点的运动过程中， 的值是否变化？若不变化，求出其值；若变化，说明理由．
∠ABC
1
8．（2024春•石首市期末）在平面直角坐标系中，已知M( ，0)，A（1，a），B（2a，b），
2
1
C(− ，b+1)，过点M作直线l 平行于y轴．
2 1
（1）如果线段BC与x轴有公共点，求b的取值范围；
（2）若线段AC通过平移能够与线段BM重合，平移后点A、点C分别对应点B、点M．请分别求出a、b
的值；
（3）若直线外一点到这条直线的距离不大于1，则称这个点是该直线的“密接点”．
①点A （填写“是”或“不是”）直线l 的“密接点”；
1
②将△ABC平移到△DEF，平移后点A、点B、点C分别对应点D、点E、点F，点F刚好落在直线l 上，
1
点E落在y轴上且纵坐标为2a﹣b，如果△ODE的面积为4，过点A作直线l 平行于x轴，点B是否为直线
2
l 的“密接点”，说明理由．
2
9．（2024春•十堰期末）在平面直角坐标系中，点A（a，0），B（﹣a，2a），C（b，0）满足
|2a+b+1|+❑√a+2b+8=0．
（1）求点A，B，C的坐标．
（2）如图1，过点A作AD∥BC交y轴于点D，∠ADO和∠ACB的角平分线交于点E，求∠E的度数．
（3）如图2，点M是y轴负半轴上的一点，连接BM交x轴于点N，是否存在点M，使S△AMN ＝S△BCN ？若
存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．10．（2024春•宜昌期末）如图1，在平面直角坐标系中，已知A（a，0），B（0，b），其中a，b满足
|a−4|+❑√a−b+2=0．
（1）请直接填空：a＝ ，B点坐标为 ；
（2）点C（x，y）是线段AB上一动点，求x，y之间满足的关系式（含x的式子表示y）；
（3）如图2，将直线AB沿x轴向左平移，当平移后的直线DE经过点D（﹣2，0），点D是点A的对应点
时，解决如下问题：
①在直线DE上是否存在点P，使得三角形ADP的面积等于18？若存在，求出P点坐标，若不存在，请说
明理由；
②已知Q（m，n）是直线DE上一动点，且点Q位于第二象限，若三角形BOQ的面积不大于9，求n的取
值范围．
11．（2024春•孝感期末）如图1，在平面直角坐标系中，A（a，0），C（b，2），且(a+b) 2+❑√a−b+4=0
，AC与y轴相交于点F，过C作CB⊥x轴于点B．
（1）填空：a＝ ，b＝ ，三角形ABC的面积为 ；（2）如图2，过B作BD∥AC交y轴于D，若AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，求∠AED的度数；
（3）在y轴上是否存在点P，使得三角形ACP和三角形ABC的面积相等？若存在，求出P点坐标；若不
存在，请说明理由．
12．（2024春•咸安区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别是A（4，0），B（0，
2），点C坐标C（m，n）满足❑√m−3+|n−4|=0，连接AC，BC，OC．
（1）四边形OACB的面积为 ；
（2）点D是x轴上一个动点，当三角形ADC的面积为10时，求点D的坐标；
（3）将线段AC平移至线段PQ（点C的对应点为P，点A的对应点为Q），且点P在线段OB上，当三角
15
形PAC的面积为 时，求点Q的坐标．
2
13．（2024春•云梦县期末）如图1，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（a，0），B
（2，b），C（4，0），其中a，b满足❑√1−a−b+|b−3|=0，AB与y轴交于点D．
（1）求a，b的值及点D的坐标；
（2）如图2，E是y轴上位于AB上方的一动点，
①连接AE，EB，OB，当△AEB和△OEB的面积相等时，求点E的坐标；
②如图3，过点E作EF∥AB，EM平分∠FEO，AM平分∠BAO，求∠EMA的度数．
14．（2024春•大冶市期末）如图，在平面直角坐标系中，点A（4，a），B（b，0），C（0，c），且
|a−4|+(b−2) 2+❑√c−4=0．
（1）求四边形ACOB的面积．
（2）如图（1）点P从原点出发，沿y轴正半轴以每秒1个单位向点C匀速运动，运动时间为t秒，是否存
在S四边形APOB ＜2S△ACP ，存在，求t的取值范围，若不存在，请说明理由．（3）点P在线段OC上，且AP平分∠CAB，点G在x轴正半轴上运动，且AM平分∠BAG交x轴于点M，
过点M作MN⊥AP，交AP于点N，设∠AMN＝ ，∠AGB＝ ，试探究 与 的数量关系，画图并证明你
的结论．
α β α β
15．（2024春•汉川市期末）在平面直角坐标系中，点A（m，0），B（n，﹣m），且m，n满足|m﹣3|+
（n+1）2＝0，AB＝5．
（1）则点A的坐标是 ，点B的坐标是 ；
（2）求三角形AOB的面积；
（3）若点P从点A出发在射线AB上运动（点P不与点A点B重合），点P的速度为每秒3个单位，在点
P运动的同时，点Q从点O出发，以每秒2个单位的速度沿x轴负半轴运动，连接OP，BQ．若某一时刻
t，三角形BOQ的面积是三角形BOP的面积的2倍时，求t的值，并写出点Q的坐标．
16．（2024春•曾都区期末）如图所示，将一副三角板中的两块直角三角板按图1放置在两条平行线MN，PQ
之间，∠BAC＝∠BCA＝45°，∠EDF＝60°，∠DFE＝30°，∠ABC＝∠DEF＝90°，此时点A与点D重合，
点A，C，E三点共线．（1）固定三角形DEF的位置不变，将图1中的三角形ABC沿DE方向平移，使得点C正好落在直线MN
上，如图2所示，此时∠BCM的度数为 ；
（2）在图2的基础上，将三角形ABC绕点C逆时针旋转30°，试判断此时AC与DF的位置关系，并说明
理由；
（3）在图2的基础上，将三角形ABC绕点C按逆时针方向进行旋转，如图3所示．若边AC与边EF相交
于点G，我们发现∠CGF﹣∠ACM的值为定值，请求出这个定值；
（4）在图2的基础上，将三角形ABC绕点C按逆时针方向以每秒10°的速度旋转，至AC与直线MN首次
重合时停止运动．设旋转时间为t．试探究t为何值时，线段AB与三角形DEF的一条平行边，直接写出符
合条件的t的值．
17．（2024春•广水市期末）如图，直线AB∥CD，直线EF与AB、CD分别交于点G、H，∠EHD＝ （0°＜
＜90°）．小明将一个含45°角的直角三角板PMN按如图①放置，使点N、M分别在直线AB、CD上，∠P
α α
＝90°，∠PMN＝45°．
（1）若∠PNB＝20°，则∠PMD＝ ；
（2）若PN⊥EF，射线NO在∠MNG内交直线CD于点O，如图②．当N、M分别在点G、H的右侧，且
∠GNO：∠MNO＝3：2，PM∥NO时，求 的度数；
（3）小明将三角板PMN沿直线AB左右移动，保持PM∥EF，射线NO平分∠MNG，点N、M分别在直线
αAB和直线CD上移动，请直接写出∠MON的度数（用含 的式子表示）．
18．（2024春•越秀区期末）如图所示，点A（4，0），点B在y轴的正半轴上，OA＝2OB，点C（m，n）是
α
第一象限内一动点，且三角形ABC的面积为6，线段OC与AB交于点D．
（1）求三角形AOB的面积；
（2）若三角形AOD与三角形BCD的面积相等，求点C的坐标；
（3）将线段BC沿射线BA平移，得到线段AE（点B与点A是对应点），连接OE，设三角形OBC的面积
为S ，三角形OAE的面积为S ，S＝S ﹣S ，当4＜S＜7时，求m的取值范围．
1 2 1 2
19．（2024春•海珠区期末）定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和
不等式（组）的“梦想解”．
例：已知方程2x﹣3＝1与不等式x+3＞0，方程的解为x＝2，使得不等式也成立，则称“x＝2”为方程2x
﹣3＝1和不等式x+3＞0的“梦想解”．
（1）x＝﹣1是方程2x+3＝1和下列不等式 的“梦想解”；（填序号）
1 3 x−1
①x− ＞ ，②2（x+3）＜4，③ ＜3
2 2 2
{3x−2y=3m+2) {x＞y−5)
（2）若关于x，y的二元一次方程组 和不等式组 有“梦想解”，且m为整
2x−y=m−5 x−y＜1
数，求m的值．
{2x+3≥2n+1)
（3）若关于x的方程x﹣4＝﹣3n和关于x的不等式组 有“梦想解”，且所有整数“梦想
x−1＜4
解”的和为10，试求n的取值范围．
20．（2024春•天河区期末）在数学活动课中，同学们用一副直角三角板开展数学活动，其中△ABC和△DEF
分别为含45°和含30°的直角三角板，其中∠ABC＝∠DEF＝90°，∠BAC＝45°，∠EDF＝30°，且EF＜
AB．通过操作发现：
（1）如图1，将△DEF沿DF方向移动1cm，得到△D E F ，若EF＝1cm，DF＝2cm，DE=❑√3cm，求四边
1 1 1
形EDF E 的周长；
1 1
（2）将这副三角板如图2放置，点C与点F重合，并过点D作直线DG平行于边AC所在的直线，求
∠EDG的度数；
（3）在（2）的条件下，固定△DEF，将△ABC绕点A逆时针以20°/s的速度旋转t（0＜t≤9）秒，求当t为何值时，直线AB与△DEF的任意一条边所在直线垂直．
21．（2024春•白云区期末）如图1，已知A（﹣1，﹣2），D（0，1），将线段AD向右平移到BC，BC交x
轴于点M，连接OC，OB，DC，AB，S四边形ABCD＝12．
（1）点B的坐标为 ，点C的坐标为 ；
（2）求△BOC的面积和点M的坐标；
（3）如图2，若点P（m，n）为四边形ABCD内的一点，且S△ADP ＝4，求m，n之间满足的等量关系并直
接写出m的取值范围．
22．（2024春•番禺区期末）某书店用3000元首次购进了甲、乙两种图书，甲种图书每本进价为18元，乙种
图书每本进价为15元，书店在销售时甲种图书每本售价为26元，乙种图书每本售价为20元，全部售完后
共获利润1200元．
（1）求书店购进甲、乙两种图书各多少本？
（2）若书店以原进价再次购进甲、乙两种图书，购进甲种图书的数量是第一次的2倍，而购进乙种图书的
数量比第一次增加了50%．现在甲种图书降价出售，而乙种图书按原售价打九折出售．当两种图书销售完
毕时，要使再次获利不少于1560元，求甲种图书每本最低售价应为多少元？
（3）某活动中心计划用300元购买甲、乙两种图书，购买单价是（2）的条件下的最低售价，在300元恰
好用完的条件下，有哪些可行的购买方案？哪种方案书店获利较少？
23．（2024春•潮阳区校级期末）平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b），a，b均为整数，且满足
a=❑√2−b+❑√b−2+4，点C在y轴负半轴上且BC＝5，将线段AB平移到DE，其中点A的对应点是点
D，点B的对应点是点E．（1）请直接写出点A，B，C的坐标；
（2）如图（1），若点E的坐标为（﹣5，2），点F（m，n）为线段AC上一点，且△BDF的面积大于3，
求m的取值范围；
（3）如图（2），若DE与y轴的交点G在B点上方，点P为y轴上一动点，请直接写出∠EBO，∠BPD，
∠PDA之间的数量关系．
24．（2024春•金平区期末）如图1，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（0，2），（4，0），现
将点A向下平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点A的对应点C．
（1）连接AC，AB，点C的坐标为 ，三角形ABC的面积为 ；
（2）如图2，点D（3，3），若点P在x轴上，直线DP将四边形ACBD的面积分成3：8两部分，求点P
的坐标；
5
（3）点P（1，m）是一动点，若三角形PAB的面积是三角形AOB面积的 ，求m的值．
4
25．（2024春•恩平市期末）【阅读材料】：
材料一：对于实数x，y定义一种新运算K，规定：K（x，y）＝ax+by（其中a，b均为非零常数），等式右
边是通常的四则运算．比如：K（1，2）＝a+2b；K（﹣2，3）＝﹣2a+3b．
材料二：“已知x，y均为非负数，且满足x+y＝8，求2x+3y的范围”，有如下解法：
∵x+y＝8，
∴x＝8﹣y，
∵x，y是非负数，
∴x≥0即8﹣y≥0，∴0≤y≤8，
∵2x+3y＝2（8﹣y）+3y＝16+y，∴16≤16+y≤24，∴16≤2x+3y≤24．已知：K（1，2）＝7；K（﹣2，3）＝0．
【回答问题】：
（1）求出a，b的值；
（2）已知x，y均为非负数，x+2y＝10，求4x﹣y的取值范围；
1
（3）（1）的条件下，已知x，y，z都为非负数，K（x，z）＝3+x，K(x， y)=4−3x，求W＝x﹣
2
3y+4z的最大值和最小值．
26．（2024春•滨海新区期末）如图1，在平面直角坐标系中，已知点A（m，0），B（n，4），C（5，0），
且满足|2m+n|+（m﹣n+6）2＝0，线段AB交y轴于点F．
（Ⅰ）求出点A，B的坐标；
（Ⅱ）如图2，点D是y轴正半轴上的一点，若DB∥AC，∠BAC＝ ，AM，DM分别平分∠CAB，
∠ODB，求∠AMD（用含 的代数式表示）；
α
（Ⅲ）如图3，坐标轴上是否存在一点P（点C除外），使得三角形ABP的面积和三角形ABC的面积相
α
等？若存在，请宜接写出P点坐标；若不存在，请说明理由．
27．（2024春•河东区期末）在平面直角坐标系中，线段AB上有一点C，已知A（a，0），B（1，b），C
（0，3），a，b满足|a+3|+（b﹣4）2＝0．
（1）如图1，若点P（0，m）在线段OC上，且三角形ABP的面积为3，求点P的坐标；
（Ⅱ）如图2，将（Ⅰ）中线段AB水平向左平移一个单位，得到线段A B ，点C随AB也向左移动了一个
1 1
单位，对应点为C ，点P（0，m）在y轴上运动，请用含m的代数式表示三角形A C P的面积（m≠4），
1 1 1
并求出当三角形A C P面积等于6时，m的值；
1 1
（Ⅲ）如图3，在（Ⅰ）的条件下，过点B的直线BD交x轴于D（4，0），过点A作BD的平行线l，点Q
1
是直线l上的动点，且三角形ABQ的面积等于ABD面积的 ，直接写出点Q的纵坐标的所有可能的取值.
328．（2024春•河北区校级期末）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为
（0，b），点C的坐标为（2，3），连接AB．若a，b满足❑√a−4+|b+2|=0．平移线段AB，使点A与
点C重合，点B对应点为点D．
（1）填空：a＝ ，b＝ ，点D的坐标为 ；
（2）如图2，延长线段AB至点E（m，n）．连接OE，请利用△BOE，△AOB，△AOE的面积关系，求出
m，n满足的关系式；
（3）过点D作射线DF∥x轴，交y轴于点F，动点P从点D出发沿射线以每秒2个单位的速度向右运动，
1
连接OP，BP，BP交x轴于点Q，设运动时间为t秒，△POQ的面积为S，若S≥ ，求t的取值范围．
3
29．（2024春•甘井子区期末）定义：在平面直角坐标系中，对于点M（x，y），若点N坐标为（x+2a，﹣y
﹣2a），其中a为常数，我们称点M与点N是等距平移点．
例如：当a＝0时，如图，点M（3，2）的等距平移点N为（3，﹣2）．
（1）①当a＝﹣1时，点M坐标为（4，3），则它的等距平移点N的坐标为 ；
②若点M坐标为（﹣2，1），它的等距平移点N的坐标为（4，﹣7），则a＝ ；
（2）若点M在x轴上，且它的等距平移点N的坐标为（﹣2a+1，﹣9+4a）
①求△OMN的面积；
②若存在一点A（2，t），使△AMN的面积不大于△OMN面积的一半，请直接写出t的取值范围
；1 1
（3）当3a− ≤x≤ a+1时，点M（x，y ）的等距平移点是N（x+2a，y ），若y ﹣y ＝2，且其中一个
2 2 1 2 1 2
点到x轴的距离等于另一个点到x轴的距离的2倍，求a的值．
30．（2024春•如皋市期末）如图，AC⊥BC，C为垂足，过A点的直线MN∥BC，D为直线BC上方一点（不
在直线AC上），连接CD，∠BCD的平分线CE交MN于点E．
（1）求证：∠AEC＝∠DCE；
（2）若点D在直线MN上，∠ADC＝70°，求∠ACE的度数；
（3）当点D在直线MN的上方时，连接AD，若∠DAC的平分线所在的直线与射线CE相交于点P，请探
究∠ADC与∠APC之间的数量关系．
31．（2024春•鞍山期末）为庆祝“六一”儿童节，某校七年级学生举行趣味运动会，需要购买适合学生使用
的跳绳和毽子，经调查，已知2条跳绳和5只毽子共需90元，5条跳绳和8只毽子共需189元．
（1）求每条跳绳和每只毽子的价格各是多少元？
（2）学校预购买跳绳与毽子共50个，其中跳绳不能少于10条，若学校预算经费不能超过600元，请通过
计算策划购买方案；
（3）商场在“六一”期间开展促销活动，优惠方案如下表：
优惠活动一：（打折促销） 跳绳九折优惠，毽子八五折优惠
优惠活动二：（买一赠一） 买一条跳绳赠送一只毽子
根据（2）中的购买方案，选用哪一种优惠活动更合适？
32．（2024春•湛江校级期末）近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩，每个充电桩的占地面积分别为3m2和1m2．已知新建1个地上充电
桩和2个地下充电桩需要0.8万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要0.7万元．
（1）该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需多少万元？
（2）若该小区计划用不超过16.3万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于40个，则共有
几种建造方案？并列出所有方案；
（3）现考虑到充电设备对小区居住环境的影响，要求充电桩的总占地面积不得超过a m2，在（2）的前提
下，若仅有两种方案可供选择，直接写出a的取值范围．
33．（2024春•和县期末）某家具店经销A、B两种品牌的儿童床，已知A品牌儿童床的售价为4200元，利润
1
率为20%，B品牌儿童床的成本价为4200元，而每张B品牌儿童床的售价在成本的基础上增长了 ．
4
（1）该店销售记录显示，四月份销售A、B两种儿童床共20张，且销售A品牌儿童床的总利润与B品牌儿
童床总利润相同，求该店四月份售出A、B两种品牌的儿童床的数量；
（2）根据市场调研，该店五月份计划购进这两种儿童床共30张，要求购进B品牌儿童床张数不低于A品
牌儿童床张数的70%，而用于购买这两种儿童床的资金不超过115000元，请通过计算设计所有可能的进货
方案：
（3）在（2）的条件下，该店打算将五月份按计划购进的30张儿童床全部售出后，所获得利润的10%用于
购买甲、乙两款教学仪器捐赠给某希望小学．已知购买甲款仪器每台300元，购买乙款仪器每台130元，
且所捐的钱恰好用完，求该店捐赠甲，乙两款仪器的数量．
34．（2024春•潮南区期末）某体育用品店准备购进甲、乙两种品牌跳绳，若购买甲种跳绳10根，乙种跳绳5
根，需要100元，若购买甲种跳绳5根，乙种跳绳3根，需要55元．
（1）求购进甲，乙两种跳绳每根各需多少元？
（2）若该体育用品店刚好用了500元购进这两种跳绳，考虑顾客需求，要求购进甲种跳绳的数量不少于乙
种跳绳数量的3倍，且乙种跳绳数量不少于18根，那么该文具店共有哪几种购买方案？
（3）若该体育用品店销售每根甲种跳绳可获利润3元，销售每根乙种跳绳可获利润4元，在第（2）问的
各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？
35．（2024春•九龙坡区校级期末）小语种文化节展示周，校学生会设计并制作了一定数量的特色文化书签、
特色中性笔，在恩来广场举行义卖活动，将获得的所有利润全部捐献给家庭困难的老人．已知每个特色文
化书签、每支特色中性笔的成本分别为1元、1.5元，每个特色文化书签比每支特色中性笔售价少1元，并
且，当卖出特色文化书签20个和特色中性笔30支时，获得总利润90元．
（1）求每个特色文化书签、每支特色中性笔的售价分别为多少元？
（2）校学生会同学制作的特色文化书签、特色中性笔的数量之和为900，并且投入的总成本不超过1200
元，获得的总利润不少于1648元，请你通过计算说明共有哪几种制作方案？
（3）义卖刚开始的半个小时，学生会的同学们发现他们已经获得了150元的利润，但由于销售量较多，同
学们只记得售出特色文化书签的数量a个满足40≤a≤50，则a的值可能为多少？说明理由．36．（2024春•思明区校级期末）在平面直角坐标系中，A（a，c），B（b，3）．
（1）若a＝b+3，c是❑√10的整数部分，则AB＝ ．
（2）将A（a，c），B（b，3）平移后得到C（c﹣m，m﹣c），D（﹣7，2c﹣21），且2b+3m＝6，a＝c，
求AD与BC的位置关系．
（3）若a＞0，0＜t＜3，设B（﹣2t，3），点P（0，t），连接AP，BP，AB，AB交y轴于点M，且2PM
＝OP，S△APM ＝S△BOM ，若存在a的值，使得S△ABP ＞8，求t的取值范围．
37．（2024春•长沙期末）不妨约定：关于x，y的二元一次方程ax+by＝c（a，b，c为常数，且abc≠0），
若系数满足a+b＝2c，则称这个方程为“开心”方程．例如：方程4x+2y＝3，其中a＝4，b＝2，c＝3，满
足a+b＝2c，且abc≠0，则方程4x+2y＝3是“开心”方程，由两个“开心”方程组成的方程组称作“开
心”方程组．根据上述规定，回答下列问题：
（1）判断以下方程是不是“开心”方程（填“是”或“不是”）；
1 1 1
①4x+y＝10 ；② x− y= ．③x﹣y＝0 ；
2 3 12
{ ax+ y=b ) {x=p)
（2）若关于x，y的“开心”方程组 的解为 ，求p﹣q的值．
x+by=a+2 y=q
{ mx+ny=− k )
（3）关于x，y的“开心”方程组 2 满足n＜k≤m，其中n，m，k为整数，t为
(t−n)x+(m−t−2k)y=1
常数且t+6≠0，求m的值，并求此“开心方程组”的解．
38．（2024春•开福区校级期末）我们约定：不等式组m＜x＜n，m＜x≤n，m≤x＜n，m≤x≤n的“长度”均
为d＝n﹣m，（m＜n），不等式组的整数解称为不等式组的“整点”．例如：﹣2＜x≤2的“长度”d＝2
﹣（﹣2）＝4，“整点”为x＝﹣1，0，1，2．根据该约定，解答下列问题：
{5x+3＞3x)
（1）不等式组 的“长度”d＝ ；“整点”为 ；
2x−1≤0
{ 1≤x≤3 )
（2）若不等式组 1 的“长度”d＝2，求a的取值范围；
ax−3＜ x+1
2
{ 1≤x≤3 ) 3
（3）若不等式组 1 的“长度d= ，此时是否存在实数m使得关于y的不等式组
a≤x≤ a+2 2
2
{ y+1＞m )
恰有4个“整点”，若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
ay−1≤2m
39．（2024春•唐山期末）如图1，以直角三角形AOB的直角顶点O为原点，以OB、OA所在直线为x轴和y
行轴建立平面直角坐标系，点A（0，a），B（b，0）满足❑√a+2b+|b+2|=0，点C为线段AB的中点．在平面直角坐标系中，以任意两点M（x ，y ），N（x ，y ）为端点的线段中点坐标为
1 1 2 2
x +x y + y
( 1 2， 1 2 )．
2 2
（1）点A的坐标为 ；点B的坐标为 ；点C的坐标为 ；
（2）若一动点P从点B出发沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动，设运动时间为t（t＞0）
1
秒．当△OCP的面积不小于△AOB面积的 时，请求出t的取值范围；
4
（3）如图2所示，作OD∥AB，点F是线段AB上一点，连接OF，∠AOF＝∠AOD．点E是线段OA上一
∠OEB
动点，连接BE交OF于点G，请直接写出 的值．
∠OGB+∠ABE
40．（2024春•长沙期末）如图1，点E是直线AB上一点，F是直线CD上一点，AB∥CD．
（1）求证：∠P＝∠PEA+∠PFC；
（2）如图2，∠PFC＝∠PFQ，FQ与∠AEP的平分线交于点Q，与PE相交于点M，若∠EMF＝120°，求
∠P+∠Q的度数；
（3）如图3，EQ平分∠AEP，FM平分∠PFD，FN∥EQ，当∠P的大小不变时，下列结论：
①∠PFC+∠NFD的度数不变；②∠MFN的度数不变，其中有且只有一个是正确的，请你写出正确的结论
并说明理由．
