文档内容
10.4 三元一次方程组的解法【6 个必考点】
【人教版2024】
【知识点1 三元一次方程组的定义】.....................................................................................................................1
【必考点1 三元一次方程（组）的定义】.............................................................................................................1
【必考点2 三元一次方程组的解】..........................................................................................................................4
【知识点2 三元一次方程组的解法】.....................................................................................................................6
【必考点3 判断三元一次方程组消元的步骤】.....................................................................................................7
【必考点4 解三元一次方程组】..............................................................................................................................9
【必考点5 利用消元法求值】................................................................................................................................12
【知识点3 列三元一次方程组解决实际问题的基本步骤】...............................................................................14
【必考点6 三元一次方程组的应用】...................................................................................................................14
【知识点1 三元一次方程组的定义】
1．定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1 的方程叫做三元一次方程；含有三个相同的
未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方
程组.
【易错点剖析】理解三元一次方程组的定义时，要注意以下几点：
（1）方程组中的每一个方程都是一次方程；
（2）如果三个一元一次方程合起来共有三个未知数，它们就能组成一个三元一次方程组.
【必考点1 三元一次方程（组）的定义】
【例1】下列方程中，属于三元一次方程的是（ ）
A． +x+y＝6 B．xy+y+z＝6
C．xπ+2y+3z＝9 D．3x+2y﹣4z＝4x+2y﹣2z
【分析】含有3个未知数，且含有未知数的项的指数为1的整式方程，叫做三元一次方程，据此进行判
断即可．
【解答】解：A、只含有2个未知数，不是三元一次方程，不符合题意；
B、含未知数的项的最高次幂为2次，不是三元一次方程，不符合题意；
C、是三元一次方程，符合题意；
D、方程化简为：﹣x﹣2z＝0，只含有2个未知数，不是三元一次方程，不符合题意．故选：C．
【例2】下列是三元一次方程组的是（ ）
3
{
2x=5
)
{ −y+z=−2)
x
A． x2+ y=7 B．
x−2y+z=9
x+ y+z=6
y=−3
{x+ y−z=7
)
{x+ y=2
)
C． xyz=1 D． y+z=1
x−3 y=4 x+z=9
【分析】如果方程组中含有三个未知数，每个方程中含有未知数的项的次数都是一次，并且方程组中一
共有两个或两个以上的方程，这样的方程组叫做三元一次方程组；利用三元一次方程组的定义逐项判断
即可得到答案．
【解答】解：对于A选项，第二个方程中未知数x的次数是2，
故A选项中方程组不是三元一次方程组；
对于B选项，第一个方程中分母含有未知数，
故B选项中方程组不是三元一次方程组；
对于C选项，第二个方程中每个未知数的次数都是1，但对于整个方程而言，次数是3，
故C选项中的方程组不是三元一次方程组；
对于D选项，方程组中含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，
故D选项中的方程组是三元一次方程组．
故选D．
【变式1】若（a﹣1）x+5yb+1+2z2﹣|a|＝10是一个关于x，y，z的三元一次方程，那么 a＝ ，b＝
．
{ a−1≠0 )
【分析】根据三元一次方程组的定义可得 b+1=1 ，然后进行计算即可解答．
2−|a|=1
【解答】解：∵（a﹣1）x+5yb+1+2z2﹣|a|＝10是一个关于x，y，z的三元一次方程，
{ a−1≠0 )
∴ b+1=1 ，
2−|a|=1
{a=−1)
解得： ，
b=0
故答案为：﹣1；0．
【变式2】下列是三元一次方程组的是（ ）{x+ y=2
)
{x+ y−z=5
)
A． y+z=7 B． xy+z=4
x+z=10 x−y=4
4
{
3x=6
)
{ = y+z)
x
C． x2+ y=9 D．
x−y=6
x+ y+z=8
y=1
【分析】本题考查了三元一次方程组的定义：含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1次
的整式方程，叫做三元一次方程组．
根据三元一次方程组的定义逐一判断即可．
【详解】解：A.满足三元一次方程组的定义，故符合题意；
B. xy+z=4，未知数的项的次数为2次，不是三元一次方程，故此选项不符合题意；
C.x2+ y=9 ，未知数的项的次数为2次，不是三元一次方程，故此选项不符合题意；
4
D. = y+z，不是整式方程，故此选项不符合题意；
x
故选A．
【变式3】下列是三元一次方程组的是（ ）
x+ y+z=1 1 1
{ ) { x− y=7)
1 2 3
A． 2x+ y+ z=4 B．
3 1 1
x+ y=5
xyz=6 3 4
x−y 2y+1 3x−6
{x−y=6
)
C． = = D． x−z=3
3 4 5
y+z=1
【分析】本题主要考查了三元一次方程组的定义．根据三元一次方程组必须满足“三元”和“一次”两个
要素来求解．
【详解】解：A、方程组中含有三个未知数，但含未知数的项的最高次数是3，不是三元一次方程组，本
选项不符合题意；
B、方程组中只含有两个未知数，不是三元一次方程组，本选项不符合题意；
C、方程组中只含有两个未知数，不是三元一次方程组，本选项不符合题意；
D、方程组中含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，是三元一次方程组，本选项符合题意；
故选：D．【必考点2 三元一次方程组的解】
{x=1
)
{ax+by=2
)
【例1】已知 y=2 是方程组 by+cz=3 的解，则a+b+c的值是（ ）
z=3 cx+az=7
A．3 B．2 C．1 D．无法确定
【分析】由题意，可将x，y及z的值代入方程组得到关于a，b，c的方程组，将方程组中三个方程左右
两边相加，变形后即可求出a+b+c的值．
{x=1
)
【解答】解：由题意将 y=2 代入方程组得：
z=3
{a+2b=2①
)
2b+3c=3② ，
c+3a=7③
①+②+③得：a+2b+2b+3c+c+3a＝2+3+7，
即4a+4b+4c＝4（a+b+c）＝12，
则a+b+c＝3．
故选：A．
{
mx−ny−z=7
)
【例2】已知x＝2，y＝﹣1，z＝﹣3是三元一次方程组 2nx−3 y−2mz=5 的解，则m2﹣7n+3k的值为
x+ y+z=k
（ ）
A．125 B．119 C．113 D．71
【分析】把x、y、z的值代入方程组，求出得出的方程组的解，最后代入求出代数式的值即可．
{
mx−ny−z=7
)
【解答】解：∵x＝2，y＝﹣1，z＝﹣3是三元一次方程组 2nx−3 y−2mz=5 的解，
x+ y+z=k
{
2m+n+3=7
)
∴代入得： 4n+3+6m=5 ，
2−1−3=k
解得：k＝﹣2，m＝7，n＝﹣10，
∴m2﹣7n+3k＝49+70﹣6＝113，
故选：C．
{
x+ y=8
)
【变式1】方程组 y+z=−2 的解使代数式kx+2y﹣z的值为﹣5，则k的值为（ ）
z+x=45 10 7
A．0 B． C．− D．
7 7 5
【分析】用加减消元法求解该三元一次方程组，再将方程组的解代入kx+2y﹣z＝﹣5即可求出k．
{
x+ y=8①
)
【解答】解： y+z=−2② ，
z+x=4③
①﹣②得：x﹣z＝10④，
③+④得：2x＝14，
解得：x＝7，
把x＝7代入①得：7+y＝8，
解得：y＝1，
把x＝7代入③得：z+7＝4，
解得：z＝﹣3，
{
x=7
)
∴原方程组的解为 y=1 ，
z=−3
{
x=7
)
把 y=1 代入kx+2y﹣z＝﹣5得：7k+2×1﹣（﹣3）＝﹣5，
z=−3
10
解得：k=− ．
7
故选：C．
{ x−by+4z=1 )
{x=a
)
【变式2】若方程组 的解是 y=1 ，则a+b+6c的值是（ ）
x−2by+3z=3
z=c
A．﹣3 B．0 C．3 D．6
【分析】把x，y与z代入方程组，将c看作已知数表示出a与b，代入原式计算即可求出值．
{x=a
) {a−b+4c=1①)
【解答】解：把 y=1 代入方程组得： ，
a−2b+3c=3②
z=c
①﹣②得：b+c＝﹣2，即b＝﹣2﹣c，
①×2﹣②得：a+5c＝﹣1，即a＝﹣5c﹣1，
则原式＝﹣5c﹣1﹣2﹣c+6c＝﹣3．
故选：A．{
3x−y=5
)
{ax−by+z=8
)
【变式3】已知方程组 2x+ y−z=0 与方程组 x+ y+5z=c 有相同的解，则a、b、c的值为（
4ax+5by−z=−22 2x+3 y=−4
）
{a=−2
)
{a=−2
)
A． b=−3 B． b=3
c=1 c=1
{
a=2
) {
a=2
)
C． b=−3 D． b=3
c=−1 c=−1
【分析】根据已知得出关于x、y的方程组，求出x、y的值，再求出z的值，把x、y、z的值代入方程组
得出关于a、b、c的方程组，求出即可．
{
3x−y=5
)
{ax−by+z=8
)
【解答】解：∵方程组 2x+ y−z=0 与方程组 x+ y+5z=c 有相同的解，
4ay+5by−z=−22 2x+3 y=−4
{ 3x−y=5 )
∴得出方程组： ，
2x+3 y=−4
解得：x＝1，y＝﹣2，
把x＝1，y＝﹣2代入2x+y﹣z＝0得：z＝0，
把x＝1，y＝﹣2，z＝0代入4ax+5by﹣z＝﹣22，ax﹣by+z＝8，x+y+5z＝c得：
{4a−10b=−22①
)
a+2b=8②
c=−1③
{
a=2
)
解得： b=3 ，
c=−1
故选：D．
【知识点2 三元一次方程组的解法】
解三元一次方程组的基本思想仍是消元，一般的，应利用代入法或加减法消去一个未知数，从而化三
元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数．解三元一次方程组
的一般步骤是：
（1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知
数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；
（2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；
（3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；（4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；
（5）将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起．
【易错点剖析】
（1）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求比较简单的解法．
（2）要检验求得的未知数的值是不是原方程组的解，将所求得的一组未知数的值分别代入原方程组里的
每一个方程中，看每个方程的左右两边是否相等，若相等，则是原方程组的解，只要有一个方程的左、右
两边不相等就不是原方程组的解．
【必考点3 判断三元一次方程组消元的步骤】
{2x−3 y+2z=2①
)
【例1】解方程组 3x+4 y−2z=5② ，把上面的三元一次方程组消元转化成下面的二元一次方程组
4x+5 y−4z=2③
{5x+ y=7)
，需要经历如下的步骤，请你选出正确的步骤（ ）
8x−y=6
{ ①+② ) { ①+② )
A． B．
①×2+③ ②×2−③
{ ①+② ) {②×2−③)
C． D．
①×2−③ ①×2+③
【分析】分别按下列操作完成后，即可做出判断．
【解答】解：A．①+②得5x+y＝7，①×2+③得8x﹣y＝6，故A正确；
B．①+②得5x+y＝7，②×2﹣③得：2x+3y＝8，故B错误；
C．①+②得5x+y＝7，①×2﹣③得﹣11y+8z＝2，故C错误；
D．①×2﹣③得﹣11y+8z＝2，①×2+③得8x﹣y＝6，故D错误；
故选：A．
{
x+2y+z=8①
)
【变式1】利用加减消元法解方程组 2x−y−z=−3② 下列做法正确的是（ ）
3x+ y−2z=−1③
A．要消去z，先将①+②，再将①×2+③
B．要消去z，先将①+②，再将①×3﹣③
C．要消去y，先将①﹣③×2，再将②﹣③
D．要消去y，先将①﹣②×2，再将②+③
【分析】观察方程组中x、y、z系数特征，利用加减消元法判断即可．{
x+2y+z=8①
)
【解答】解：利用加减消元法解方程组 2x−y−z=−3② ，
3x+ y−2z=−1③
要消去z，先将①+②，再将①×2+③，
要消去y，先将①+②×2，再将②+③
故选：A．
{
x+2y+z=8，①
)
【变式2】利用加减消元法解方程组 2x−y−z=−3，② ，下列做法正确的是（ ）
3x+ y−2z=−1，③
A．要消去z，先将①+②，再将①×2+③
B．要消去z，先将①+②，再将①×3
C．要消去y，先将①﹣③×2，再将②﹣③
D．要消去y，先将①﹣②×2，再将②+③
【分析】观察方程组中x、y、z系数特征，利用加减消元法判断即可．
{
x+2y+z=8①
)
【解答】解：利用加减消元法解方程组 2x−y−z=−3② ，
3x+ y−2z=−1③
要消去z，先将①+②，再将①×2+③，
要消去y，先将①+②×2，再将②+③．
故选：A．
{2x−3 y+2z=2①
) {5x+ y=7)
【变式3】把三元一次方程组 3x+4 y−2z=5② 消元转化成二元一次方程组 ，需要经历的
8x−y=6
4x+5 y−4z=2③
步骤是（ ）
{ ①+② ) { ①+② )
A． B．
①×2+③ ②×2−③
{ ①+② ) {①×2−③)
C． D．
①×2−③ ①×2+③
【分析】分别按下列操作完成后，即可做出判断．
【解答】解：A．①+②得5x+y＝7，①×2+③得8x﹣y＝6，故A正确；
B．①+②得5x+y＝7，②×2﹣③得：2x+3y＝8，故B错误；
C．①+②得5x+y＝7，①×2﹣③得﹣11y+8z＝2，故C错误；
D．①×2﹣③得﹣11y+8z＝2，①×2+③得8x﹣y＝6，故D错误；
故选：A．【必考点4 解三元一次方程组】
{3x+ y−4z=13
)
【例1】解方程组： 5x−y+3z=5 ．
x+ y−2z=3
【分析】①+②得出8x﹣z＝18④，②+③得出6x+z＝8⑤，由④和⑤组成方程组，求出方程组的
13 22
解，把x= ，z=− 代入③求出y即可．
7 7
{3x+ y−4z=13①
)
【解答】解： 5x−y+3z=5② ，
x+ y−2z=3③
①+②得：8x﹣z＝18④，
②+③得：6x+z＝8⑤，
{8x−z=18)
由④和⑤组成方程组： ，
6x+z=8
13
{ x= )
解得 7 ，
22
z=−
7
13 22 13 22
把x= ，z=− 代入③得： +y﹣2×（− ）＝3，
7 7 7 7
36
解得：y=− ，
7
13
{ x=
)
7
即方程组的解是 36 ．
y=−
7
22
z=−
7
【例2】已知y＝ax2+bx+c且当x＝1时，y＝5；当x＝﹣2时，y＝14；当x＝﹣3时，y＝25，求a，b，c的
值．
【分析】将x、y的值分别代入y＝ax2+bx+c，转化为关于a、b、c的方程，求出a、b、c的值．
【解答】解：把x＝1，y＝5；x＝﹣2，y＝14；x＝﹣3，y＝25代入y＝ax2+bx+c得：{ a+b+c=5 ① )
4a−2b+c=14 ② ，
9a−3b+c=25 ③
②﹣①，③﹣①得：
{a−b=3
)
，
2a−b=5
解得：a＝2，b＝﹣1，
将a、b的值代入①得：c＝4．
则a，b，c的值分别为：2，﹣1，4．
{
3x+2y+5z=2
)
【变式1】解方程组： x−2y−z=6 ．
4x+2y−7z=30.
【分析】先让①+②可得x+z＝2④，再让②+③得5x﹣8z＝36⑤，④和⑤组成方程组，解可求x、
z，再把x、z的值代入②可求y．
{
3x+2y+5z=2①
)
【解答】解： x−2y−z=6② ，
4x+2y−7z=30③
①+②，得x+z＝2④，
②+③，得5x﹣8z＝36⑤，
④×5﹣⑤，得13z＝﹣26，
解得z＝﹣2，
把z＝﹣2代入④，得x＝4，
把x＝4，z＝﹣2代入②，得y＝0．
{
x=4
)
所以原方程组的解是 y=0 ．
z=−2
{
3x+4 y−3z=3
)
【变式2】解方程组： 2x−3 y−2z=2 ．
5x−3 y+4z=−22
【分析】先用加减消元法①×3+②×4得x﹣z＝1，③﹣②得x+2z＝﹣8，再组成二元一次方程组即可
求出x、Z的值，再把x、Z的值代入②即可求出y的值，进而可得出方程组的解．
{
3x+4 y−3z=3①
)
【解答】解： 2x−3 y−2z=2② ，
5x−3 y+4z=−22③
①×3+②×4得x﹣z＝1④，③﹣②得x+2z＝﹣8⑤，
{ x−z=1 )
得方程组 ，
x+2z=−8
{x=−2)
解得 ，
z=−3
代入②得，﹣4﹣3y+6＝2，
∴y＝0．
{x=−2
)
∴方程组的解为 y=0 ．
z=−3
3 1
【变式3】在等式y＝ax2+bx+c中，当x＝1时，y＝﹣2；当x＝﹣1时，y＝20；当x= 与x= 时，y的值
2 3
相等，求a﹣2b+3c的值．
3 1
【分析】由当x= 与x= 时，y的值相等，得出a和b的关系，再将x与y代入等式，得出关于a，b，
2 3
c的方程组求解即可．
3 1
【解答】解：∵当由当x= 与x= 时y的值相等，
2 3
9 3 1 1
∴ a+ b+c= a+ b+c，
4 2 9 3
即11a+6b＝0，
x＝1时，y＝﹣2；当x＝﹣1时，y＝20代入等式得，
{a+b+c=−1 ①
)
a−b+c=20 ② ，
11a+6b=0 ③
①﹣②得：2b＝﹣22，
即b＝﹣11，
将b＝﹣11代入③得：a＝6，
把a＝6，b＝﹣11代入①，
∴c＝4，
∴a﹣2b+3c＝6+22+12＝40．
x+ y y+z z+x
【变式4】已知 = = ，且2x+4y﹣6z＝120，求x、y、z的值．
2 3 4x+ y y+z z+x
【分析】设 = = =k，用k表示出x，y，z，代入2x+4y﹣6z＝120中计算求出k的值，即
2 3 4
可确定出x，y，z的值．
x+ y y+z z+x
【解答】解：设 = = =k，
2 3 4
可得x+y＝2k，y+z＝3k，z+x＝4k，
解得：x＝1.5k，y＝0.5k，z＝2.5k，
代入2x+4y﹣6z＝120得：3k+2k﹣15k＝120，
解得：k＝﹣12，
则x＝﹣18，y＝﹣6，z＝﹣30．
【必考点5 利用消元法求值】
【例1】若a+2b﹣3c＝3，5a﹣6b+7c＝5，则a﹣6b+8c的值是（ ）
A．﹣2 B．2 C．0 D．﹣1
【分析】先把方程a+2b﹣3c＝3的左右两边同乘以3得到3a+6b﹣9c＝9，然后再同方程5a﹣6b+7c＝5
相减即可得到答案．
【解答】解：∵a+2b﹣3c＝3，
∴3a+6b﹣9c＝9①，
又∵5a﹣6b+7c＝5②，
∴②﹣①得：2a﹣12b+16c＝﹣4．
∴a﹣6b+8c＝﹣2，
故选：A．
【例2】若a﹣b+c＝5，a+b+c＝﹣3，则c2﹣ab的值满足（ ）
A．c2﹣ab＜0 B．c2﹣ab≤0 C．c2﹣ab＞0 D．c2﹣ab≥0
【分析】结合a﹣b+c＝5，a+b+c＝﹣3，利用含c的代数式分别表示出a，然后求得b，然后代入c2﹣ab
计算后进行判断即可．
【解答】解：∵a﹣b+c＝5①，a+b+c＝﹣3②，
∴①+②得：2a+2c＝2，
则a＝1﹣c，
将a＝1﹣c代入②得：1﹣c+b+c＝﹣3，
解得：b＝﹣4，
则c2﹣ab＝c2+4（1﹣c）
＝c2﹣4c+4
＝（c﹣2）2≥0，
故选：D．
{2x+ y−z=−3)
【变式1】已知方程组 ，则x2﹣2xy+y2的值是（ ）
5x−2y−z=3
A．1 B．2 C．4 D．9
【分析】方程组利用加减消元法消去z求出x﹣y的值，原式利用完全平方公式变形后代入计算即可求出
值．
{2x+ y−z=−3①)
【解答】解： ，
5x−2y−z=3②
②﹣①得：3x﹣3y＝6，
整理得：x﹣y＝2，
则原式＝（x﹣y）2＝4，
故选：C．
【变式2】若x、y满足x+y+m＝3，x﹣y﹣3m＝1，则代数式xy有可能值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【分析】结合已知条件进行代数式求值，然后代入xy中确定其取值即可．
{ x+ y+m=3 )
【解答】解：由题意可得 ，
x−y−3m=1
{ x=2+m )
解得 ，
y=1−2m
则xy＝（2+m）（1﹣2m）
＝2﹣4m+m﹣2m2
＝﹣2m2﹣3m+2
3 25 25
＝﹣2（m+ ）2+ ≤ ，
4 8 8
25
∵6＞5＞4＞ ＞3，
8
∴代数式xy有可能值为3，
故选：D．【变式3】若4x﹣3y﹣6z＝0，x+2y﹣7z＝0（xyz≠0），则 5x2+2y2−z2 的值等于（ ）
2x2−3 y2−10z2
1 19
A．− B．− C．﹣15 D．﹣13
2 2
【分析】先由{4x−3 y−6z=0)解得{x=3z )，再代入 5x2+2y2−z2 即可．
x+2y−7z=0 y=2z. 2x2−3 y2−10z2
{4x−3 y−6z=0)
【解答】解：由
x+2y−7z=0
{x=3z
)
解得 ，
y=2z.
代入 5x2+2y2−z2 45z2+8z2−z2 13，
= =−
2x2−3 y2−10z2 18z2−12z2−10z2
故选：D．
【知识点3 列三元一次方程组解决实际问题的基本步骤】
（1）弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数；
（2）找出能够表达应用题全部含义的相等关系；
（3）根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组；
（4）解这个方程组，求出未知数的值；
（5）写出答案(包括单位名称)．
【易错点剖析】
(1)解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不
符合题意的应该舍去．
(2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一．
(3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组．
【必考点6 三元一次方程组的应用】
【例1】某校开学典礼需要购买一、二、三等奖奖品若干，若购买一等奖奖品1件，二等奖奖品4件，三
等奖奖品4件，共需250元；若购买一等奖奖品 2件，二等奖奖品2件，三等奖奖品8件，共需320
元．则购买一件二等奖奖品需要的钱数是（ ）
A．20元 B．30元 C．40元 D．50元
【分析】设三等奖奖品的单价是x元，二等奖奖品的单价是y元，一等奖奖品的单价是z元，根据“若购买一等奖奖品1件，二等奖奖品4件，三等奖奖品4件，共需250元；若购买一等奖奖品2件，二等
奖奖品2件，三等奖奖品8件，共需320元．”可得出关于x，y，z的三元一次方程组，①×2﹣②得，
6y＝180，即可求出购买一件二等奖所需的费用．
【解答】解：设一等奖奖品的单价是x元，二等奖奖品的单价是y元，三等奖奖品的单价是z元，根据
题意得，
{x+4 y+4z=250①)
，
2x+2y+8z=320②
①×2﹣②得，6y＝180，
解得：y＝30，
故选：B．
【例2】小梦在某购物平台上购买甲、乙、丙三种商品，当购物车内选择 3件甲，2件乙，1件丙时显示的
价格为420元；当购物车内选择2件甲，3件乙，4件丙时显示的价格为580元，那么购买甲、乙、丙各
两件应该付款（ ）
A．200元 B．400元 C．500元 D．600元
【分析】设购买甲、乙、丙三种商品需付款 x元，y元，z元，根据题意列出方程组，计算即可求出 x，
y，z的值，即可得到结果．
【解答】解：设购买甲、乙、丙三种商品需付款x元，y元，z元，
{3x+2y+z=420①)
根据题意得： ，
2x+3 y+4z=580②
①+②得：5x+5y+5z＝1000，即x+y+z＝200，
∴2x+2y+2z＝400，
则购买甲、乙、丙各两件应该付款400元．
故选：B．
【变式1】某学校计划用104 000元购置一批电脑（这批款项须恰好用完，不得剩余或追加）．经过招
标，其中平板电脑每台1600元，台式电脑每台4000元，笔记本电脑每台4600元．
（1）若学校同时购进其中两种不同类型的电脑共50台，请你帮学校设计该如何购买；
（2）若学校同时购进三种不同类型的电脑共26台（三种类型的电脑都有），并且要求笔记本电脑的购
买量不少于15台，请你帮学校设计购买方案．
【分析】（1）设购买平板电脑x台，台式电脑y台，笔记本电脑z台，分情况讨论：当购买平板电脑、
笔记本电脑时；购买台式电脑、笔记本电脑时；当购买台式电脑、笔记本电脑时分别建立方程组求出其
解即可．（2）可根据三种不同类型的电脑的总量＝26台，购进三种电脑的总费用＝104 000元，以及题中给出
的条件“笔记本电脑的购买量不少于15台”来列方程组，求出符合条件的方案．
【解答】解：（1）设购买平板电脑x台，台式电脑y台，笔记本电脑z台，
①若购买平板电脑、台式电脑时，由题意，得
{ x+ y=50 )
，
1600x+4000 y=104000
{x=40)
解得： ；
y=10
②若购买平板电脑、笔记本电脑时，由题意，得
{ x+z=50 )
，
1600x+4600z=104000
{x=42)
解得： ；
z=8
③当购买台式电脑、笔记本电脑时，由题意，得
{ y+z=50 )
，
4000 y+4600z=104000
{ y=210 )
解得： ，不合题意，舍去．
z=−160
故共有两种购买方案：①购买平板电脑40台，台式电脑10台；②购买平板电脑42台，笔记本电脑8
台．
（2）根据题意得：
{
x+ y+z=26
)
1600x+4000y+4600z=104000 ，
z≥15
{x=4
)
{x=5
)
解得： y=6 或 y=1 ．
z=16 z=20
答：购买平板电脑4台，台式电脑6台，笔记本电脑16台，或购买平板电脑5台，台式电脑1台，笔记
本电脑20台．
【变式2】在甲、乙两盒坚果中，每盒均有核桃仁、腰果和杏仁三种坚果，其中甲盒坚果重 2千克，甲盒
里核桃仁的重量占甲盒坚果重量25%．
（1）甲盒里核桃仁重多少千克？
1
（2）若乙盒坚果重量比甲盒坚果重量多50%，且乙盒坚果中腰果是乙盒坚果重量的 ，求乙盒坚果中
2腰果重多少千克？
（3）在（1）、（2）的条件下，当甲乙两盒坚果混合在一起时，杏仁的重量占 28%，并且在混合之前
甲盒中的杏仁所占百分比是乙盒中杏仁所占百分比的2倍，求甲盒坚果中腰果重多少千克？
【分析】（1）甲盒里核桃仁重量为：2×25%＝0.5（千克）；
（2）先计算乙盒坚果的重量，再计算乙盒坚果中腰果的重量即可；
（3）先计算杏仁的总重量为1.4千克．设甲盒坚果中腰果重x千克，甲盒坚果中杏仁重y千克，乙盒坚
果中杏仁重z千克，根据题意列方程求解即可．
【解答】解：（1）甲盒里核桃仁重量为：2×25%＝0.5（千克）；
（2）乙盒坚果重量为：2×（1+50%）＝3（千克），
1
乙盒坚果中腰果重量为：3× =1.5（千克）；
2
（3）混合后，杏仁的总重量为：（2+3）×28%＝1.4（千克）；
设甲盒坚果中腰果重x千克，甲盒坚果中杏仁重y千克，乙盒坚果中杏仁重z千克，
根据题意列方程组，得：
x+y+0.5＝2，
y+z＝1.4，
y z
=2× ；
2 3
解得：x＝0.7，y＝0.8，z＝0.6；
答：（1）甲盒里核桃仁重0.5千克；
（2）乙盒坚果中腰果重1.5千克；
（3）甲盒坚果中腰果重0.7千克．
【变式3】请阅读下面对话，并解答问题：
一天晚饭后小明与隔壁小店老板闲聊，小店老板说：我经销A、B两种商品．A、B两种商品的进货单价
之和为5元；A商品零售价比进货单价多1元，B商品零售价比进货单价的2倍少1元，按零售价购买A
商品3件和B商品2件，共19元．你知道A、B两种商品的进货单价各多少元吗？小明想了想很快回答
了小店老板的问题．并给小店老板出了个问题：上次我去逛超市，买甲、乙、丙三样商品，拿了4件甲
商品，7件乙商品，1件丙商品，结果售货员告诉我共8元，我没带那么多钱，就改成了买2件甲商
品，3件乙商品，1件丙商品，结果售货员告诉我要6元，可我钱还是不够，我算了算，我的钱恰好够
买甲、乙、丙商品各一件，你知我那天带了多少钱吗？小店老板晕了，叹道：这我那知呀！后生可畏，
后生可畏啊！问题：
（1）你知小明是怎样求解小店老板的问题的吗？请写出求解过程．
（2）小明给老板的问题真的不能解决吗？若能解，请写出求解过程．
【分析】（1）设A商品进货价x元，B商品进货价y元，则A商品零售价为（x+1）元，B商品零售价
为（2y﹣1）元，利用A、B两种商品的进货单价之和为5元得到x+y＝5；利用零售价购买A商品3件和
B商品2件，共19元得3（x+1）+2（2y﹣1）＝19，然后组成二元一次方程组，再解方程组即可；
（2）设甲商品售价为 a 元，乙商品售价为 b 元，丙商品售价为 c 元，利用题意列方程组
{4a+7b+c=8①)
，然后利用加减法计算a+b+c的值即可．
2a+3b+c=6②
【解答】解：（1）设A商品进货价x元，B商品进货价y元，
{ x+ y=5 )
根据题意得 ，
3(x+1)+2(2y−1)=19
{x=2)
解得 ．
y=3
答：A、B两种商品的进货单价分别为2元，3元；
（2）设甲商品售价为a元，乙商品售价为b元，丙商品售价为c元，
{4a+7b+c=8①)
根据题意得 ，
2a+3b+c=6②
①﹣②得2a+4b＝2，则a+2b＝1③，
②﹣③得a+b+c＝5．
答：小明那天带了5元钱．
