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10.4 三元一次方程组的解法（7 大类型提分练）
类型一、三元一次方程（组）的定义................................................................................................................1
类型二、三元一次方程组的解法.......................................................................................................................1
类型三、解三元一次方程组...............................................................................................................................2
类型四、三元一次方程组与整体代入思想........................................................................................................2
类型五、三元一次方程组与含参问题................................................................................................................2
类型六、三元一次方程组的应用.......................................................................................................................3
类型七、三元一次方程组与新定义问题............................................................................................................4
三元一次方程组综合能力提升专练....................................................................................................................4
类型一、三元一次方程（组）的定义
1．（23-24七年级下·全国·假期作业）下列方程中，属于三元一次方程的是（ ）
A．π+x+ y=6 B．xy+ y+z=6
C．x+2y+3z=9 D．3x+2y−4z=4x+2y−2z
2．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列是三元一次方程组的是（ ）
4
{x+ y=2 ) {x+ y−z=5 ) { 3x=6 ) { y+z=2)
x
A． y+z=7 B． xy+z=4 C． x2+ y=9 D．
x−y=6
x+z=10 x−y=4 x+ y+z=8
y=1
3．（23-24七年级下·四川绵阳·期末）已知方程(m−1)x|m)+ y+5z=4是关于x，y，z的三元一次方程，则
m= ．
类型二、三元一次方程组的解法
{
2x+ y−3z=5
)
4．（23-24七年级下·全国·假期作业）解方程组 −4x−y+2z=12 ，最简便的消元方法是（ ）
5x+ y+7z=14
A．先消去x B．先消去y C．先消去z D．先消去常数项
{
x+ y+z=3①
)
5．（21-22七年级下·吉林长春·阶段练习）解三元一次方程组 3x+2y+z=10② ，如果消掉未知数z，
2x−y+z=−1③
则应对方程组变形为（ ）
A．①+③，①×2−② B．①+③，③×2+② C．②−①，②−③D．①−②，①
×2−③
6．（23-24七年级下·全国·课后作业）若(a−2)x+5 yb+1+2z3−|a|=10是一个关于x,y,z的三元一次方程，
那么a= ，b= ．
{
x+ y+z=0①
)
7．（23-24七年级下·全国·课后作业）解方程组 3x+2y+z=10② 如果消去未知数z，那么应对方程组
2x−y+z=0③进行的变形步骤为（ ）
A．①+③，①×2−② B．①+③，③×2+②
C．②−①，②−③ D．①−②，①×2−③
类型三、解三元一次方程组
8．（2025七年级下·全国·专题练习）解方程组：¿．
{2x+ y=4
)
9．（24-25七年级下·全国·课后作业）解三元一次方程组： x+3z=1
x+ y+z=7
{3x−y=−7①
)
10．（23-24六年级下·全国·单元测试）解方程组： y+2z=2②
2x−2z=−5③
类型四、三元一次方程组与整体代入思想
{x+2y=10
)
11．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）已知三元一次方程组 y+2z=10 ，则x+ y+z= （ ）
z+2x=40
A．20 B．30 C．35 D．70
{4x−3 y−3z=0)
12．（22-23七年级下·江苏南通·阶段练习）已知x，y，z都不为零，且 ，则式子
2x−3 y+z=0
x−3 y+4z
的值为（ ）
6 y+z
1 1 1 1
A． B． C．- D．-
11 10 11 10
{x−y+2z=1)
13．（2023七年级下·全国·专题练习）有理数x、y、z满足 ，则x+2y+5z的值是
x+ y+4z=3
（ ）
A．−4 B．3 C．4 D．值不能确定
{x+ y−5z=0)
14．（2025七年级下·浙江·专题练习）已知方程组 ，则x:y:z= ．
x−y+z=0
类型五、三元一次方程组与含参问题
{x−y=2
)
15．（24-25七年级下·全国·课后作业）如果方程组 y−z=3 的解也是方程3x−5 y+mz=0的解，那么
z+x=−1
m的值是（ ）
1 1
A．−2 B．2 C．− D．
2 2
{
x+ y=8
)
16．（23-24七年级下·山东威海·期末）方程组 y+z=−2 的解使代数式kx+2y−z的值为−5，则k的值
z+x=4为（ ）
5 10 7
A．0 B． C．− D．
7 7 5
{x=1
)
{ax+by=2
)
17．（16-17七年级下·山东德州·阶段练习）已知 y=2 是方程组 by+cz=3 的解，则a+b+c的值是
z=3 cx+az=7
（ ）
A．3 B．2 C．1 D．无法确定
18．（23-24七年级下·全国·课后作业）已知在代数表达式y=ax2+bx+c中，当x=−1时，y=4；当x=0
时，y=2；当x=1时，y=2．求这个表达式中a,b,c的值．
类型六、三元一次方程组的应用
19．（23-24七年级下·全国·课后作业）有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件、乙7件、丙1件，共需64元；
若购甲4件、乙10件、丙1件，共需79元；现购甲1件、乙3件，共需（ ）
A．13元 B．14元 C．15元 D．16元
20．（2025七年级下·全国·专题练习）某校七年级有3个班，已知一班、二班的平均人数与三班人数之和
为45，二班、三班的平均人数与一班人数之和为48，一班、三班的平均人数与二班人数之和为47，则三
个班的总人数为( )
A．68 B．70 C．72 D．74
21．（24-25七年级下·全国·课后作业）小明从家到学校的路程是2.5km，其中有一段上坡路，一段平路和
一段下坡路．如果保持上坡路每小时行3km，平路每小时行4km，下坡路每小时行5km，那么小明从家到学
校要用0.6h，从学校到家要用0.72h．小明从家到学校的上坡路，平路，下坡路分别是多少千米？
22．（24-25七年级下·江苏南京·期中）用方程组解决问题：某动物保护机构要准备A，B，C三种类型的
食物共310份给需要救助的动物，现安排40名志愿者来准备这些食物，每名志愿者只能准备同一种类型的
食物，且要求每名志愿者满工作量．根据以下表格信息，回答问题．
食物类型 A B C
每名志愿者准备量（份） 6 8 9
(1)如果C类型食物安排了16名志愿者，那么A，B两种类型食物各需多少名志愿者？
(2)现要求每种类型的食物至少安排11名志愿者，求三种类型的食物各需安排多少名志愿者，写出所有可
行的方案．
23．（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的
3+5=8
数．示例： ，即 ．(1)若x=1，求m,n的值；
(n m) 2025
(2)若y=16，求 − 的值．
5 6
类型七、三元一次方程组与新定义问题
24．（23-24七年级下·全国·期末）对于x，y，定义新运算：x∗y=ax+by+c，其中a、b、c是常数，等
式右边是通常的加法和乘法运算．已知3∗5=15，4∗7=28，则1∗1的值为 ．
25．（24-25七年级下·重庆九龙坡·阶段练习）一个四位正整数m，各数位上的数字均不为0，若千位上的
数字和百位上的数字之和，等于十位数字与个位数字之差的k倍（k为整数），称m为“k型数”，即例如，
4275：4+2=3×(7−5)，则4275为“3型数”；3526：3+5=−2×(2−6)，则3526为“−2型数”．
（1）最小的“2型数”是 ．
（2）若四位数m是“3型数”，m−3是“−3型数”，将m的百位数字与十位数字交换位置，得到一个新
的四位数m′，m′也是“3型数”，求满足条件的m的最大值是 ．
三元一次方程组综合能力提升专练
26．（20-21七年级下·湖南长沙·期中）观察方程组¿的系数特征，若要使求解简便，消元的方法是（ ）
A．先消去x B．先消去y C．先消去z D．以上说法都不对
{x+ y=−1
)
27．（23-24七年级下·全国·课后作业）方程组 x+z=0 的解是（ ）
y+z=1
{x=−1
) {
x=1
) {
x=0
)
{x=−1
)
A． y=1 B． y=0 C． y=1 D． y=0
z=0 z=−1 z=−1 z=1
28．（24-25七年级下·山西晋城·期中）已知方程组¿，则a+b+c=（ ）
A．2 B．4 C．−3 D．3
29．（2024七年级下·浙江·专题练习）为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文→密文（加
密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文a，b，c，对应密文a+1，−a+2b+4，
b+3c+9，如果接收方收到密文7，12，22，则解密得到的明文为（ ）
A．6，2，7 B．2，6，7 C．6，7，2 D．7，2，6
30．（2024七年级下·全国·专题练习）某校开学典礼需要购买一、二、三等奖奖品若干，若购买三等奖奖
品3件，二等奖奖品5件，一等奖奖品1件，共需62元，若购三等奖奖品4件，二等奖奖品7件，一等奖奖品1件共需77元．现在购买三等奖、二等奖、一等奖奖品各一件，共需（ ）元
A．31 B．32 C．33 D．34
31．（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）某宾馆有单人间，双人间，三人间三种客房供游客选择居住，现某旅
游团有18名游客同时安排居住在该宾馆，若每个房间都住满，共租了8间客房，则居住方案有（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
{
x+ y=6
)
32．（24-25七年级下·四川宜宾·阶段练习）已知方程组 y+z=−5 ，则x+ y+z的值是 ．
z+x=7
33．（24-25七年级下·山东潍坊·期中）某市举行中学生足球联赛，比赛的计分规则为：胜1场得3分，平
1场得1分，负1场得0分．某中学足球队在12场比赛中，平和负的场数之和等于胜的场数，共得20分．
设该队在联赛中胜x场，平y场、负z场，则列三元一次方程组为 ．
{4x−y−10z=0)
34．（23-24七年级下·全国·课后作业）已知x,y,z满足 ，则x:y:z= ．
3x+ y−11z=0
35．（24-25七年级下·四川内江·阶段练习）在一家水果店，小明买了1斤苹果，4斤西瓜，2斤橙子，共付
27.2元；小惠买了2斤苹果，6斤西瓜，2斤橙子，共付32.4元．则买1斤西瓜和1斤橙子需付
元．
36．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）一生态牧场上的草每天均匀生长．这片草可供16头牛吃60天，或
者供18头牛吃50天．如果将这片草全部割下制成干草以备冬天的草料，但制成干草后使用要比直接使用
1
青草损失 的营养．那么，由这些割下来的草所制成的干草可供30头牛吃 天．
5
37．（24-25七年级下·四川宜宾·阶段练习）母亲节到了，小红，小莉，小莹到花店买花送给自己的母亲．
小红买了3枝玫瑰，7枝康乃馨，1枝百合花，付了14元；小莉买了4枝玫瑰，10枝康乃馨，1枝百合花，付
了16元；小莹买上面三种花各2枝，则她应付 元．
38．（24-25七年级下·全国·课后作业）从A地到B地骑车要走上坡、下坡、平路三个路段，全程9km．某
1
人上坡每小时行4km，下坡每小时行8km，平路每小时行6km．如图，他从A地到B地用了1 h，从B地到
2
3
A地用了1 h，则从A地到B地上坡、下坡、平路的路程分别是 ．
4
{3x−y=5①
)
39．（23-24七年级下·全国·课后作业）已知x，y满足 求x−4 y和7x+5 y的值．仔细观
2x+3 y=7②
察两个方程未知数的系数之间的关系，可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由①−②可得
x−4 y=−2，由①＋②×2可得7x+5 y=19．这种方法利用了“整体思想”．请你利用“整体思想”，
解决下列问题：
{2x+ y=5
)
(1)已知二元一次方程组 ，则x−y=_______，x+ y=_______；
x+2y=10(2)买5支铅笔，2块橡皮，1本日记本共需35元，买4支铅笔，3块橡皮，2本日记本共需47元，求购买
11支铅笔，3块橡皮，1本日记本共需多少元．
40．（24-25七年级下·四川乐山·期中）【阅读感悟】：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知x,y满足3x−y=5①，2x+3 y=7②，求x−4 y和7x+5 y的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运
算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数
式的值，如由①−②可得x−4 y=−2，由①+②×2可得7x+5 y=19．这样的解题思想就是通常所说的
“整体思想”．
【解决问题】：
{2x+ y=7)
(1)已知二元一次方程组 ，则x−y=______，x+ y=______；
x+2y=8
(2)“战疫情，我们在行动”．某爱心公益小组计划为老年公寓捐赠一批防疫物资．已知购买20瓶消毒液、
3支测温枪、2套防护服共需1180元；购买30瓶消毒液、2支测温枪、8套防护服共需2170元．若该爱心
公益小组捐赠了100瓶消毒液、10支测温枪、20套防护服，那么购买这批防疫物资共需多少元？
(3)对于两数x、y，定义新运算：x★y=ax+by+c，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法
运算．已知3★5=15,4★7=28，那么1★1=_________．
41．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）2024-2025年度中国篮球联赛（CBA）决赛的门票价格如下表：
等级 A B C
未
票价（元/张） 未知 150
知
小聪带了2700元购票款前往购票，若购买2张A等票和5张B等票，付款2500元；若购买4张A等票和1
张B等票，付款2300元．
(1)求A等票和B等票每张分别为多少元？
(2)若小聪要将2700元的购票款全部用于购买这三种门票，并且每种门票至少一张，请写出购买方案．
42．（23-24七年级下·全国·课后作业）阅读材料并回答问题：
{x=1)
我们把多元方程（组）的非负整数解叫作这个方程（组）的“好解”．例如： 就是方程3x+ y=11
y=8
{x=1
) {x−2y+z=0)
的一个“好解”； y=2 是方程组 的一个“好解”．
x+ y+z=6
z=3
(1)求方程x+2y=5的所有“好解”．
{ x+ y+k=−2① )
(2)关于x，y，k的方程组 有“好解”吗？若有，请求出对应的“好解”；若没有，请
x−5 y+3k=2②
说明理由．
