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10.4 三元一次方程组的解法（7 大类型提分练）
类型一、三元一次方程（组）的定义................................................................................................................1
类型二、三元一次方程组的解法.......................................................................................................................2
类型三、解三元一次方程组...............................................................................................................................3
类型四、三元一次方程组与整体代入思想........................................................................................................5
类型五、三元一次方程组与含参问题................................................................................................................7
类型六、三元一次方程组的应用.......................................................................................................................9
类型七、三元一次方程组与新定义问题..........................................................................................................12
三元一次方程组综合能力提升专练..................................................................................................................13
类型一、三元一次方程（组）的定义
1．（23-24七年级下·全国·假期作业）下列方程中，属于三元一次方程的是（ ）
A．π+x+ y=6 B．xy+ y+z=6
C．x+2y+3z=9 D．3x+2y−4z=4x+2y−2z
【答案】C
【分析】本题考查三元一次方程的识别，含有3个未知数，且含有未知数的项的指数为1的整式方程，叫
做三元一次方程，据此进行判断即可．
【详解】解：A、只含有2个未知数，不是三元一次方程，不符合题意；
B、含未知数的项的最高次幂为2次，不是三元一次方程，不符合题意；
C、是三元一次方程，符合题意；
D、方程化简为：−x−2z=0，只含有2个未知数，不是三元一次方程，不符合题意；
故选C．
2．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列是三元一次方程组的是（ ）
4
{x+ y=2 ) {x+ y−z=5 ) { 3x=6 ) { y+z=2)
x
A． y+z=7 B． xy+z=4 C． x2+ y=9 D．
x−y=6
x+z=10 x−y=4 x+ y+z=8
y=1
【答案】A
【分析】主要考查三元一次方程组的定义：含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1次的
方程组，叫做三元一次方程组．根据三元一次方程组的定义来求解，对A、B、C、D四个选项进行一一验
证．
【详解】解：由题意知，含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1次，并且一共有
三个方程，叫做三元一次方程组．
A、满足三元一次方程组的定义，故A选项正确；
B、xy+z=4，未知量的次数为2次，∴不是三元一次方程，故B选项错误；
C、x2+ y=9，未知量x的次数为2次，∴不是三元一次方程，故C选项错误；
4
D、 y+z=2不是整式方程，故D选项错误；
x故选：A．
3．（23-24七年级下·四川绵阳·期末）已知方程(m−1)x|m)+ y+5z=4是关于x，y，z的三元一次方程，则
m= ．
【答案】−1
【分析】本题考查一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义得|m)=1且m−1≠0，进而可求解，熟
练掌握一元一次方程的定义：“只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这
样的方程叫做一元一次方程”是解题的关键．
【详解】解：依题意得：|m)=1且m−1≠0，
解得：m=−1，
故答案为：−1．
类型二、三元一次方程组的解法
{
2x+ y−3z=5
)
4．（23-24七年级下·全国·假期作业）解方程组 −4x−y+2z=12 ，最简便的消元方法是（ ）
5x+ y+7z=14
A．先消去x B．先消去y C．先消去z D．先消去常数项
【答案】B
【解析】略
{
x+ y+z=3①
)
5．（21-22七年级下·吉林长春·阶段练习）解三元一次方程组 3x+2y+z=10② ，如果消掉未知数z，
2x−y+z=−1③
则应对方程组变形为（ ）
A．①+③，①×2−② B．①+③，③×2+② C．②−①，②−③D．①−②，①
×2−③
【答案】C
【分析】注意到方程组z前面的系数都为1，所以直接相减消去．
{
x+ y+z=3①
)
【详解】解：解三元一次方程组 3x+2y+z=10② ，
2x−y+z=−1③
②−①得：2x+ y=7
②−③得：x+3 y=11
{2x+ y=7
)
方程组变形为 ，刚好消去z，
x+3 y=11
故选：C．
【点睛】本题考查对三元一次方程组的消元，善于观察是解题关键，根据系数的特征灵活应用加减消元法．
6．（23-24七年级下·全国·课后作业）若(a−2)x+5 yb+1+2z3−|a|=10是一个关于x,y,z的三元一次方程，
那么a= ，b= ．
【答案】 −2 0【分析】本题考查了三元一次方程，解题关键是掌握三元一次方程的定义．根据三元一次方程的定义：含
{a−2≠0
)
有三个未知数，未知数的次数都是1的方程，由此可得 b+1=1 ，解出即可得出答案．
3−|a)=1
{a−2≠0
)
【详解】解：由题意得： b+1=1 ，
3−|a)=1
{a=−2)
解得： ．
b=0
故答案为：−2，0．
{
x+ y+z=0①
)
7．（23-24七年级下·全国·课后作业）解方程组 3x+2y+z=10② 如果消去未知数z，那么应对方程组
2x−y+z=0③
进行的变形步骤为（ ）
A．①+③，①×2−② B．①+③，③×2+②
C．②−①，②−③ D．①−②，①×2−③
【答案】C
【分析】本题主要考查了解三元一次方程组，对三元一次方程组的消元，善于观察是解题关键，根据系数
的特征②−①，②−③即可得解．
{
x+ y+z=0①
)
【详解】解： 3x+2y+z=10② ，
2x−y+z=0③
②−①得：
3x+2y+z−(x+ y+z)=10−0
3x+2y+z−x−y−z=10
2x+ y=10，
②−③得：
3x+2y+z−(2x−y+z)=10−0
3x+2y+z−2x+ y−z=10
x+3 y=10，
{2x+ y=10)
方程组变形为 ，刚好消去z，
x+3 y=10
故选：C．
类型三、解三元一次方程组
8．（2025七年级下·全国·专题练习）解方程组：¿．
【答案】¿
【分析】本题考查了解三元一次方程组，利用消元的思想是解题的关键，消元包括：代入消元法和加减消元法．①+②得出8x−z=18④，②+③得出6x+z=8⑤，由④和⑤组成方程组，求出方程组的解，把
13 22
x= ，z=− 代入③求出y即可．
7 7
【详解】解：¿，
①+②得：8x−z=18④，
②+③得：6x+z=8⑤，
由④和⑤组成方程组：¿，
13
两式相加得：14x=26，解得：x= ，
7
13 22
将x= 代入④解得z=− ，
7 7
13 22 13 ( 22)
把x= ，z=− 代入③得： + y−2× − =3，
7 7 7 7
36
解得：y=− ，
7
即方程组的解是¿．
{2x+ y=4
)
9．（24-25七年级下·全国·课后作业）解三元一次方程组： x+3z=1
x+ y+z=7
{x=−2
)
【答案】 y=8
z=1
【分析】本题考查三元一次方程组，掌握加减消元法是关键．利用加减消元法解方程即可得答案．
{2x+ y=4,①
)
【详解】解： x+3z=1,②
x+ y+z=7.③
③-①，得−x+z=3④，
②+④，得4z=4，
解得z=1．
把z=1代入④，得−x+1=3，
解得x=−2．
把x=−2代入①，得y=8.
{x=−2
)
∴原方程组的解为 y=8 ．
z=1
{3x−y=−7①
)
10．（23-24六年级下·全国·单元测试）解方程组： y+2z=2②
2x−2z=−5③x=−2
{ )
y=1
【答案】
1
z=
2
【分析】本题考查的是三元一次方程组的解法，先消去未知数y，再求解x，再进一步解答，从而可得答案．
{3x−y=−7①
)
【详解】解： y+2z=2② ，
2x−2z=−5③
由①＋②，得：3x+2z=−5④．
由③＋④，得：5x=−10，
解得：x=−2，
把x=−2代入①，得：y=1，
1
把y=1代入②，得：z= ，
2
x=−2
{ )
y=1
∴原方程组的解集是 .
1
z=
2
类型四、三元一次方程组与整体代入思想
{x+2y=10
)
11．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）已知三元一次方程组 y+2z=10 ，则x+ y+z= （ ）
z+2x=40
A．20 B．30 C．35 D．70
【答案】A
【分析】此题考查解三元一次方程组，根据各方程的特点选用加减法将三个方程相加即可求出结果，熟练
掌握加减法解方程组是解题的关键．
{x+2y=10①
)
【详解】解： y+2z=10② ，
z+2x=40③
①+②+③得3x+3 y+3z=60，
∴x+ y+z=20，
故选：A．
{4x−3 y−3z=0)
12．（22-23七年级下·江苏南通·阶段练习）已知x，y，z都不为零，且 ，则式子
2x−3 y+z=0
x−3 y+4z
的值为（ ）
6 y+z
1 1 1 1
A． B． C．- D．-
11 10 11 10
【答案】A5
【分析】把z看作是常数，再解二元一次方程组可得x=2z，y= z，再代入代数式求值即可．
3
{4x−3 y−3z=0①)
【详解】解： ，
2x−3 y+z=0②
①−②得：2x−4z=0，
∴x=2z，
把x=2z代入②得：4z−3 y+z=0，
5
∴y= z，
3
5
2z−3× z+4z
x−3 y+4z 3 z 1
∴ = = = ；
6 y+z 5 11z 11
6× z+z
3
故选A
【点睛】本题考查的是三元一次方程组的解法，求解代数式的值，把其中一个未知数看作是常数，解方程
组是解本题的关键．
{x−y+2z=1)
13．（2023七年级下·全国·专题练习）有理数x、y、z满足 ，则x+2y+5z的值是
x+ y+4z=3
（ ）
A．−4 B．3 C．4 D．值不能确定
【答案】C
【分析】把方程看着关于x、y的方程，用z表示x、y．然后代入x+2y+5z即可求值．
{x−y+2z=1①)
【详解】解： ，
x+ y+4z=3②
①+②得：2x+6z=4，
x=2−3z，
②−①得：2y+2z=2，
y=1−z，
把x=2−3z，y=1−z代入得：
x+2y+5z=2−3z+2(1−z)+5z=4，
故本题选：C．
【点睛】本题考查解三元一次方程组，正确掌握加减消元法消去未知数是解决本题的关键．
{x+ y−5z=0)
14．（2025七年级下·浙江·专题练习）已知方程组 ，则x:y:z= ．
x−y+z=0
【答案】2:3:1
【分析】根据方程组系数的特点，先消去未知数y，得出x与z的关系，再得出y与z的关系，最后求比值．
本题考查了解三元一次方程组．关键是把其中一个未知数当作已知数，求另外两个未知数与这个未知数的
关系．{x+ y−5z=0①)
【详解】解： ，
x−y+z=0②
①+②得：2x−4z=0，∴x=2z，
①−②得：2y−6z=0，∴y=3z，
∴x:y:z=2z:3z:z=2:3:1．
故答案为：2:3:1．
类型五、三元一次方程组与含参问题
{x−y=2
)
15．（24-25七年级下·全国·课后作业）如果方程组 y−z=3 的解也是方程3x−5 y+mz=0的解，那么
z+x=−1
m的值是（ ）
1 1
A．−2 B．2 C．− D．
2 2
【答案】B
【分析】本题主要考查三元一次方程组的解法；把三元转换成二元利用消元法解出x,y,z的值，再代入求
解即可．
{x−y=2①
)
【详解】解： y−z=3② ，
z+x=−1③
①+②得x−z=5④，
③+④得2x=4，
解得：x=2，
∴y=0,z=−3，
∴将x=2，y=0,z=−3代入3x−5 y+mz=0，
得6−3m=0，
解得：m=2，
故选：B．
{
x+ y=8
)
16．（23-24七年级下·山东威海·期末）方程组 y+z=−2 的解使代数式kx+2y−z的值为−5，则k的值
z+x=4
为（ ）
5 10 7
A．0 B． C．− D．
7 7 5
【答案】C
【分析】本题主要考查了解三元一次方程组，解题的关键是掌握消元的方法并熟练运用．
用加减消元法求解该三元一次方程组，再将方程组的解代入kx+2y−z=−5即可求出k．{
x+ y=8①
)
【详解】解： y+z=−2② ，
z+x=4③
①−②得：x−z=10④，
③+④得：2x=14，
解得：x=7，
把x=7代入①得：7+ y=8，
解得：y=1，
把x=7代入③得：z+7=4，
解得：z=−3，
{
x=7
)
∴原方程组的解为 y=1 ，
z=−3
{
x=7
)
把 y=1 代入kx+2y−z=−5得：7k+2×1−(−3)=−5，
z=−3
10
解得：k=− ．
7
故选：C．
{x=1
)
{ax+by=2
)
17．（16-17七年级下·山东德州·阶段练习）已知 y=2 是方程组 by+cz=3 的解，则a+b+c的值是
z=3 cx+az=7
（ ）
A．3 B．2 C．1 D．无法确定
【答案】A
【分析】此题考查了三元一次方程组的解，以及解三元一次方程组，方程组的解为能使方程组中每一个方
程左右两边相等的未知数的值，本题的技巧性比较强，求a+b+c不要求出a，b及c的值，而是整体求出．
由题意，可将x，y及z的值代入方程组得到关于a，b，c的方程组，将方程组中三个方程左右两边相加，
变形后即可求出a+b+c的值．
{x=1
)
【详解】解：由题意将 y=2 代入方程组得：
z=3
{a+2b=2①
)
2b+3c=3② ，
c+3a=7③
①+②+③得：a+2b+2b+3c+c+3a=2+3+7，
即4a+4b+4c=4(a+b+c)=12，
∴a+b+c=3．故选：A．
18．（23-24七年级下·全国·课后作业）已知在代数表达式y=ax2+bx+c中，当x=−1时，y=4；当x=0
时，y=2；当x=1时，y=2．求这个表达式中a,b,c的值．
{
a=1
)
【答案】 b=−1
c=2
【分析】根据题意列出三元一次方程组，解方程组即可．本题考查了三元一次方程组的应用，根据题意正
确列出三元一次方程组，并熟练掌握方程组的解法是解题关键．
【详解】解：由题意得：
{a−b+c=4
)
c=2 ，
a+b+c=2
{
a=1
)
解得 b=−1 ．
c=2
类型六、三元一次方程组的应用
19．（23-24七年级下·全国·课后作业）有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件、乙7件、丙1件，共需64元；
若购甲4件、乙10件、丙1件，共需79元；现购甲1件、乙3件，共需（ ）
A．13元 B．14元 C．15元 D．16元
【答案】C
【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系．设购买甲、乙、
丙各一件分别需要x、y、z元，根据题意列方程组求解即可．
【详解】解：设购买甲、乙、丙各一件分别需要x、y、z元，
{3x+7 y+z=64①
)
由题意得： ，
4x+10 y+z=79②
②−①得：
4x+10 y+z−(3x+7 y+z)=79−64
4x+10 y+z−3x−7 y−z=15
x+3 y=15，
即购甲1件、乙3件，共需15元，
故选：C．
20．（2025七年级下·全国·专题练习）某校七年级有3个班，已知一班、二班的平均人数与三班人数之和
为45，二班、三班的平均人数与一班人数之和为48，一班、三班的平均人数与二班人数之和为47，则三
个班的总人数为( )
A．68 B．70 C．72 D．74
【答案】B
【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意．根据“一班、二班的平均人数与三班人数之和为45，二班、三班的平均人数与一班人数之和为48，一班、三班的平均人数与二班人数之和为
47”列出三元一次方程组，再根据整体思想求解．
【详解】解：设一班为x人，二班有y人，三班由z人，
1
{ (x+ y)+z=45
)
2
1
则： (y+z)+x=48 ，
2
1
(x+z)+ y=47
2
{x+ y+2z=90①
)
方程组可化为： 2x+ y+z=96② ，
x+2y+z=94③
①+②+③得：4(x+ y+z)=280，
∴x+ y+z=70，
故选：B．
21．（24-25七年级下·全国·课后作业）小明从家到学校的路程是2.5km，其中有一段上坡路，一段平路和
一段下坡路．如果保持上坡路每小时行3km，平路每小时行4km，下坡路每小时行5km，那么小明从家到学
校要用0.6h，从学校到家要用0.72h．小明从家到学校的上坡路，平路，下坡路分别是多少千米？
【答案】上坡路是0.6km，平路是0.4km，下坡路是1.5km
【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，先设小明从家到学校的上坡路是xkm，平路是ykm，下坡路
是zkm．结合小明从家到学校的路程是2.5km，保持上坡路每小时行3km，平路每小时行4km，下坡路每小
{x=0.6
)
时行5km，那么小明从家到学校要用0.6h，从学校到家要用0.72h，进行列式，再解出 y=0.4 ，即可作
z=1.5
答．
【详解】解：设小明从家到学校的上坡路是xkm，平路是ykm，下坡路是zkm．
x+ y+z=2.5
{
)
x y z
+ + =0.6
由题意，得 3 4 5 ，
z y x
+ + =0.72
3 4 5
{x=0.6
)
解得 y=0.4 ，
z=1.5
故小明从家到学校的上坡路是0.6km，平路是0.4km，下坡路是1.5km．
22．（24-25七年级下·江苏南京·期中）用方程组解决问题：某动物保护机构要准备A，B，C三种类型的
食物共310份给需要救助的动物，现安排40名志愿者来准备这些食物，每名志愿者只能准备同一种类型的
食物，且要求每名志愿者满工作量．根据以下表格信息，回答问题．食物类型 A B C
每名志愿者准备量（份） 6 8 9
(1)如果C类型食物安排了16名志愿者，那么A，B两种类型食物各需多少名志愿者？
(2)现要求每种类型的食物至少安排11名志愿者，求三种类型的食物各需安排多少名志愿者，写出所有可
行的方案．
【答案】(1)A，B两种类型食物各需13名，11名志愿者
(2)见解析
【分析】本题考查了二元一次方程组和三元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解答本题的关键．
（1）设A，B两种类型食物各需x名，y名志愿者，根据共有40名志愿者和共310份食物列方程组求解即
可；
（2）设A，B，C三种类型的食物各需x，y，z名志愿者，根据共有40名志愿者和共310份食物列方程
组求解即可．
【详解】（1）设A，B两种类型食物各需x名，y名志愿者，由题意，得
{ x+ y=40−16 )
，
6x+8 y=310−16×9
{x=13)
解得 ，
y=11
所以A，B两种类型食物各需13名，11名志愿者；
（2）设A，B，C三种类型的食物各需x，y，z名志愿者，由题意，得
{ x+ y+z=40① )
，
6x+8 y+9z=310②
①×9−②得：
3x+ y=50，
∴y=50−3x，
∵每种类型的食物至少安排11名志愿者，
∴当x=11时，y=17,z=12，
当x=12时，y=14,z=14，
当x=13时，y=11,z=16，
所以方案一：A类型11人，B类型17人，C类型12人；方案二：A类型12人，B类型14人，C类型14人；
方案三：A类型13人，B类型11人，C类型16人．
23．（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的
3+5=8
数．示例： ，即 ．(1)若x=1，求m,n的值；
(n m) 2025
(2)若y=16，求 − 的值．
5 6
{m=3)
【答案】(1)
n=5
(2)1
【分析】本题主要考查二元一次方程组，三元一次方程组的应用；
（1）根据图形得出关于m,n的二元一次方程组，代入x=1，即可求出；
（2）根据图形得出关于m,n,x的三元一次方程组，代入y=16，即可求出．
【详解】（1）解：依题意，
{x+2x=m,)
得
2x+m=n.
当x=1时，
{m=3,)
n=5.
{x+2x=m,
{
m=3x,
))
（2）依题意，得 m+2x=n,∴ n=5x,
m+n= y, m+n=8x= y.
当y=16时，
m=6,
{ )
n=10,∴
(n
−
m) 2025
=(2−1) 2025=1．
5 6
x=2,
类型七、三元一次方程组与新定义问题
24．（23-24七年级下·全国·期末）对于x，y，定义新运算：x∗y=ax+by+c，其中a、b、c是常数，等
式右边是通常的加法和乘法运算．已知3∗5=15，4∗7=28，则1∗1的值为 ．
【答案】−11
{3a+5b+c=15①)
【分析】本题主要考查了解三元一次方程组，新定义，根据新定义得到 ，再利用
4a+7b+c=28②
①×3−②×2得到a+b+c=−11，据此可得答案．
【详解】解：∵x∗y=ax+by+c，3∗5=15，4∗7=28，{3a+5b+c=15①)
∴
4a+7b+c=28②
①×3−②×2得：a+b+c=−11，
∴1∗1=a+b+c=−11，
故答案为：−11．
25．（24-25七年级下·重庆九龙坡·阶段练习）一个四位正整数m，各数位上的数字均不为0，若千位上的
数字和百位上的数字之和，等于十位数字与个位数字之差的k倍（k为整数），称m为“k型数”，即例如，
4275：4+2=3×(7−5)，则4275为“3型数”；3526：3+5=−2×(2−6)，则3526为“−2型数”．
（1）最小的“2型数”是 ．
（2）若四位数m是“3型数”，m−3是“−3型数”，将m的百位数字与十位数字交换位置，得到一个新
的四位数m′，m′也是“3型数”，求满足条件的m的最大值是 ．
【答案】 1121 7551
【分析】本题是一个新定义阅读题，主要考查整式的加减和三元一次方程组，考查了学生阅读、归纳材料
的能力；重点是理解题目意思，熟练掌握整式的加减
（1）根据“k型数”直接求解即可；
（2）根据题目中的要求进行整式的加减运算，分情况讨论即可．
【详解】解：（1）设这个四位数m=1000a+100b+10c+d（其中1≤a，b，c，d≤9且均为整数），若
a+b=k(c−d)，且k为整数，称m为“k型数”，
∵1≤a，b，c，d≤9且均为整数
∴a+b≥2,c−d≥1，即c>d，
∴当a=1,b=1,c=2,d=1时，有最小的“2型数”为1121，
故答案为：1121；
（2）设四位数m=1000a+100b+10c+d，
∵四位数m是“3型数”，
∴a+b=3(c−d)，则c>d，
m−3是“−3型数”，则十位数与个位数的差是个负数，
∴cd矛盾，舍去，
当c−1<10+d−3时，c
