文档内容
10.2 解二元一次方程组【10 个必考点】
【人教版2024】
【知识点1 代入消元法解二元一次方程组】.........................................................................................................1
【必考点1 代入消元法解方程组的步骤判断】.....................................................................................................2
【必考点2 用代入消元法解二元一次方程组】.....................................................................................................4
【知识点2 加减消元法解二元一次方程组】.........................................................................................................7
【必考点3 加减消元法解方程组的步骤判断】.....................................................................................................7
【必考点4 用加减消元法解二元一次方程组】.....................................................................................................9
【必考点5 用合适的方法解二元一次方程组】...................................................................................................11
【必考点6 用换元法解二元一次方程组】...........................................................................................................15
【必考点7 用整体代入法解二元一次方程组】...................................................................................................18
【必考点8 解含参的二元一次方程组（解相同）】...........................................................................................21
【必考点9 解含参的二元一次方程组（解出错）】...........................................................................................23
【必考点10 解含参的二元一次方程组（解满足条件）】.................................................................................26
【知识点1 代入消元法解二元一次方程组】
用代入消元法解二元一次方程组的一般过程：
①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x（或y）的代数式表示y（或x），即变
y=ax+b x=ay+b
成 （或 ）的形式；
②将
y=ax+b
（或
x=ay+b
）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去 y（或x），得到一
个关于x（或y）的一元一次方程；
③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值；
④把x（或y）的值代入
y=ax+b
（或
x=ay+b
）中，求y（或x）的值；
{
⑤用“ ”联立两个未知数的值，就是方程组的解.
【易错点剖析】
①用代入法解二元一次方程组时，应先观察各项系数的特点，尽可能选择变形后比较简单或代入后化简比
较容易的方程变形；②变形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程组中的另一个方程；
③要善于分析方程的特点，寻找简便的解法.如将某个未知数连同它的系数作为一个整体用含另一个未知数
的代数式来表示，代入另一个方程，或直接将某一方程代入另一个方程，这种方法叫做整体代入法.整体代
入法是解二元一次方程组常用的方法之一，它的运用可使运算简便，提高运算速度及准确率.
【必考点1 代入消元法解方程组的步骤判断】
{2x+3 y=8①)
【例1】用代入法解方程组 有以下过程，其中错误的一步是（ ）
3x−5 y=5②
8−3 y
（1）由①得x= ③；
2
8−3 y
（2）把③代入②得3× −5y＝5；
2
（3）去分母得24﹣9y﹣10y＝5；
（4）解之得y＝1，再由③得x＝2.5．
A．（1） B．（2） C．（3） D．（4）
【分析】出错一步为（3），理由去分母时两边都乘以2，写出正确的解法即可．
【解答】解：其中错误的一步为（3），
正确解法为：去分母得：24﹣9y﹣10y＝10，
移项合并得：﹣19y＝﹣14，
14
解得：y= ．
19
故选：C．
{ 3m−4n=7① )
【变式1】解方程组 的最好方法是（ ）
9m−10n+25=0②
7+4n
A．由①得m= ，再代入②
3
10n−25
B．由②得m= ，再代入①
9
C．由①得3m＝4n+7，再代入②
D．由②得9m＝10n﹣25，再代入①
【分析】观察两方程中m系数关系，即可得到最好的解法．
{ 3m−4n=7① )
【解答】解：解方程组 的最好方法是由①得3m＝4n+7，再代入②．
9m−10n+25=0②
故选：C．{ s+t=1① )
【变式2】用代入法解方程组 ，下列选项中错误的是（ ）
3s−5t=8②
3s−8
A．由②得t= ，再代入①
5
8+5t
B．由②得s= ，再代入①
3
C．由①得s＝1﹣t，再代入②
D．由①得t＝s﹣1，再代入②
【分析】利用代入消元法判断即可．
3s−8 5t+8
【解答】解：由②得：t= ，再代入①或由②得：s= ，再代入①；
5 3
由①得：t＝1﹣s，再代入②或由①得：s＝1﹣t，再代入②．
故A，B，C正确，D错误．
故选：D．
{2x+3 y−2=0，①)
【变式3】用代入法解方程组 正确的解法是（ ）
4x+1=9 y，②
3 y−2
A．先将①变形为x= ，再代入②
2
2−2x
B．先将①变形为y= ，再代入②
3
9
C．先将②变形为x= y−1，再代入①
4
D．先将②变形为y＝9（4x﹣1），再代入①
【分析】利用等式的基本性质：移项（要变号），系数化 1，即可求得答案，注意排除法在解选择题中
的应用．
2−3 y
【解答】解：A、先将①变形为x= ，再代入②，故本选项错误；
2
2−2x
B、先将①变形为y= ，再代入②，故本选项正确；
3
9 y−1
C、先将②变形为x= ，再代入①，故本选项错误；
4
4x+1
D、先将②变形为y= ，再代入①，故本选项错误．
9
故选：B．【必考点2 用代入消元法解二元一次方程组】
【例1】用代入消元法解下列方程组：
{3x+2y=7)
（1） ；
5 y−x=9
{ x+3 y=10 )
（2） ．
5x−4 y=12
【分析】（1）方程组利用代入消元法求出解即可；
（2）方程组利用代入消元法求出解即可．
{3x+2y=7①)
【解答】解：（1） ，
5 y−x=9②
由②得，x＝5y﹣9③，
把③代入①得：3（5y﹣9）+2y＝7，
解得：y＝2，
把y＝2代入③得：x＝5×2﹣9＝1，
{x=1)
则方程组的解为 ；
y=2
{ x+3 y=10①)
（2） ，
5x−4 y=12②
由①得：x＝10﹣3y③，
把③代入②得：5（10﹣3y）﹣4y＝12，
整理得：﹣19y＝﹣38，
解得：y＝2，
把y＝2代入③得：x＝10﹣3×2＝4，
{x=4)
则方程组的解为 ．
y=2
【变式1】用代入法解下列方程组：
{2x+3 y=−19①)
（1） ．
x+5 y=1②
{2x−3 y=1①
)
（2） y+1 x+2 ．
= ②
4 3
【分析】（1）由②得出x＝1﹣5y③，把③代入①得出2（1﹣5y）+3y＝﹣19，求出x，再把y＝3代
入③求出x即可；
（2）由①得出x＝3+2y③，把③代入②得出3（3+2y）﹣8y＝13，求出y，再把y＝﹣2代入③求出x即可．
{2x+3 y=−19①)
【解答】解：（1） ，
x+5 y=1②
由②，得x＝1﹣5y③，
把③代入①，得2（1﹣5y）+3y＝﹣19，
解得：y＝3，
把y＝3代入③，得x＝﹣14，
{x=−14)
所以方程组的解是 ；
y=3
{2x−3 y=1①
)
（2） y+1 x+2 ，
= ②
4 3
②×12得，3y+3＝4x+8③，
由①得，3y＝2x﹣1④，
把④代入③得，2x﹣1+3＝4x+8，
解得，x＝﹣3，
7
∴y=− ，
3
{x=−3
)
所以方程组的解是 7 ．
y=
3
【变式2】用代入法解下列方程组：
{2x+4 y=5①)
（1） ；
x=1−y②
{ 3m=5n① )
（2） ．
2m−3n=1②
【分析】（1）应用代入消元法，求出方程组的解是多少即可．
（2）应用代入消元法，求出方程组的解是多少即可．
【解答】解：（1）②代入①，可得：2（1﹣y）+4y＝5，
3
解得y= ，
2
3 1
把y= 代入②，解得x=− ，
2 21
{x=− )
2
∴原方程组的解是 ．
3
y=
2
（2）由①，可得n＝0.6m，
把n＝0.6m代入②，可得：2m﹣3×0.6m＝1，
解得m＝5，
把m＝5代入①，解得n＝3，
{m=5)
∴原方程组的解是 ．
n=3
【变式3】用代入消元法解二元一次方程组：
{4x+ y=15)
（1） ；
3x−2y=3
{ x− y =1 )
（2） 3 ．
2(x−4)+3 y=5
【分析】（1）利用代入消元法解方程组即可；
（2）将原方程整理后利用代入消元法解方程组即可．
{4x+ y=15①)
【解答】解：（1） ，
3x−2y=3②
由①得y＝15﹣4x③，
将③代入②得3x﹣2（15﹣4x）＝3，
整理得：11x﹣30＝3，
解得：x＝3，
将x＝3代入③得y＝15﹣12＝3，
{x=3)
故原方程组的解为 ；
y=3
{ 3x−y=3① )
（2）原方程整理得 ，
2x+3 y=13②
由①得y＝3x﹣3③，
将③代入②得2x+3（3x﹣3）＝13，
整理得：11x＝22，
解得：x＝2，将x＝2代入③得y＝6﹣3＝3，
{x=2)
故原方程组的解为 ．
y=3
【知识点2 加减消元法解二元一次方程组】
用加减消元法解二元一次方程组的一般过程：
①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有
一个未知数的系数绝对值相等的形式；
②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两
个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；
④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值；
{
⑤将两个未知数的值用“ ”联立在一起即可.
【易错点剖析】
当方程组中有一个未知数的系数的绝对值相等或同一个未知数的系数成整数倍时，用加减消元法较简单.
【必考点3 加减消元法解方程组的步骤判断】
{5x−2y=4①)
【例1】小丽在用“加减消元法”解二元一次方程组 时，利用①×a+②×b消去x，则a、
2x+3 y=9②
b的值可能是（ ）
A．a＝2，b＝5 B．a＝3，b＝2 C．a＝﹣3，b＝2 D．a＝2，b＝﹣5
【分析】利用加减消元法判断即可．
{5x−2y=4①)
【解答】解：小丽在用“加减消元法”解二元一次方程组 时，
2x+3 y=9②
利用①×2+②×（﹣5）消去x，得：10x﹣4y﹣10x﹣15y＝8+9，即﹣19y＝17，
则a、b的值可能是a＝2，b＝﹣5，
故选：D．
{2x+3 y=−10①)
【变式1】利用加减消元法解方程组 ，下列做法正确的是（ ）
3x−5 y=−6②
A．要消去y，可以将①×5+②×2
B．要消去x，可以将①×5+②×2
C．要消去y，可以将①×5+②×3
D．要消去x，可以将①×（﹣5）+②×2【分析】观察方程组中x与y的系数特点，利用加减消元法判断即可．
【解答】解：要消去y可以将①×5+②×3，故选项A不合题意，C合题意；
要消去x，可以将①×3﹣②×2，故选项B、D不合题意．
故选：C．
{2x+5 y=−10①，)
【变式2】用加减消元法解方程组 时，有如下四种解法，甲：①×3﹣②×5，①×
5x−3 y=2②
（﹣5）+②×2，丙：①×3+②×5，丁：①×5﹣②×2；其中不能完成“消元”的是（ ）
A．只有甲 B．乙和丙 C．丁和乙 D．丙和丁
【分析】根据加减消元法进行计算即可求解．
{2x+5 y=−10①)
【解答】解： ，
5x−3 y=2②
甲：①×3﹣②×5，得6x+15y﹣25x+15y＝﹣30﹣10不能消元，符合题意；
乙：①×（﹣5）+②×2，得﹣10x﹣25y+10x﹣6y＝﹣50+4能消去x，不合题意；
丙：①×3+②×5，得6x+15y+25x﹣15y＝﹣30+10，能消去y，不合题意；
丁：①×5﹣②×2：得10x+25y﹣10x+6y＝﹣50﹣4，能消去x，不合题意．
故选：A．
{3x+4 y=16①)
【变式3】利用加减消元法解方程组 ，嘉嘉说：要消去x，可以将①×5﹣②×3；琪琪
5x−6 y=33②
说：要消去y，可以将①×3+②×2；关于嘉嘉、琪琪的说法，下列判断正确的是（ ）
A．嘉嘉对，琪琪不对 B．嘉嘉不对，琪琪对
C．嘉嘉和琪琪都不对 D．嘉嘉和琪琪都对
【分析】利用加减消元法判断即可．
{3x+4 y=16①)
【解答】解：利用加减消元法解方程组 ，要消去x，可以将①×5﹣②×3；要消去y，
5x−6 y=33②
可以将①×3+②×2，
则嘉嘉和琪琪都对．
故选：D．
{ x= y ) {5x−2y=−1) {5x−3 y=2)
【变式 4】已知二元一次方程组：① ；② ；③ ；④
3x−2y=1 3x+2y=0 y=6+2x
{2x+ y=−2)
，解以上方程组比较适合选择的方法是（ ）
2x−6 y=1
A．①②用代入法，③④用加减法B．①③用代入法，②④用加减法
C．②③用代入法，①④用加减法
D．②④用代入法，①③用加减法
【分析】根据①中x、y的关系为x＝y，③中x、y的关系为y＝6+2x，①③用代入法，②④用加减
法．
{ x= y ) {5x−2y=−1) {5x−3 y=2)
【解答】解：已知二元一次方程组：① ；② ；③ ；④
3x−2y=1 3x+2y=0 y=6+2x
{2x+ y=−2)
，解以上方程组比较适合选择的方法是：①③用代入法，②④用加减法．
2x−6 y=1
故选：B．
【必考点4 用加减消元法解二元一次方程组】
【例1】用加减消元法解二元一次方程组：
{5x+2y=25)
（1） ；
3x+4 y=15
{
2x+3 y=1
)
（2） y−1 x−2 ．
=
4 3
【分析】（1）先利用加减消元法求出x的值，再利用代入消元法求出y的值即可；
（2）先将方程组中的方程化为不含分母的方程，再利用加减消元法求解即可．
{5x+2y=25①)
【解答】解：（1） ，
3x+4 y=15②
①×2﹣②得，7x＝35，
解得x＝5，
把x＝5代入①得，25+2y＝25
解得y＝0，
{x=5)
∴方程组的解为 ；
y=0
{
2x+3 y=1
)
（2） y−1 x−2 ，
=
4 3
{2x+3 y=1①)
方程化为 ，
4x−3 y=5②
①+②得，6x＝6，解得x＝1，
1
将x＝1代入①得，y=− ，
3
{
x=1
)
∴方程组的解为 1 ．
y=−
3
【变式1】用加减法解下列方程组：
{x−2y=1
)
（1） ；
3x+2y=3
{x
−
y−1
=1)
（2） 2 3 ．
4x−y=8
【分析】（1）利用加减消元法求出解即可．
（2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
{x−2y=1①)
【解答】解：（1） ，
3x+2y=3②
由①+②得：4x＝4，
解得：x＝1，
把x＝1代入①得：1﹣2y＝1，
解得：y＝0，
{x=1)
∴方程组的解为 ；
y=0
{3x−2y=−1①)
（2）方程组整理得： ，
4x−y=8②
②×2﹣①，得：5x＝12，
12
解得：x= ，
5
12 48
把x= 代入②，得： −y=8，
5 5
8
解得y= ，
5
12
{x= )
5
∴方程组的解为 ．
8
y=
5【变式2】用加减消元法解方程：
{4x+7 y=−19)
（1） ；
4x−5 y=17
{ 3(x−1)= y+5 )
（2） ．
5(y−1)=3(x+5)
【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；
（2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
{4x+7 y=−19①)
【解答】解：（1） ，
4x−5 y=17②
①﹣②得：12y＝﹣36，即y＝﹣3，
1
把y＝﹣3代入①得：x= ，
2
{ x= 1 )
则方程组的解为 2 ；
y=−3
{ 3x−y=8① )
（2）方程组整理得： ，
3x−5 y=−20②
①﹣②得：4y＝28，即y＝7，
把y＝7代入①得：x＝5，
{x=5)
则方程组的解为 ．
y=7
【变式3】用加减法解下列方程组
{ 2x−y=5 )
（1） ；
7x−3 y=20
{ x+ y + x−y =1 )
（2） 2 3 ．
2(3x+ y)−3(x−2y)=11
【分析】（1）利用加减消元法①×3﹣②，求出x的值，再将x的值代入①求出y的值即可；
（2）先去括号去分母整理方程组，再利用加减消元法①×8﹣②，求出x的值，再将x的值代入①求
出y的值即可．
{ 2x−y=5① )
【解答】解：（1） ，
7x−3 y=20②
①×3﹣②得，﹣x＝﹣5，解得：x＝5，将x＝5代入①，得10﹣y＝5，解得：y＝5，
{x=5)
故原方程组的解为 ．
y=5
{ x+ y + x−y =1 )
（2） 2 3 ，
2(3x+ y)−3(x−2y)=11
{ 5x+ y=6① )
方程组整理得： ，
3x+8 y=11②
①×8﹣②得，37x＝37，解得：x＝1，
将x＝1代入①，得5+y＝6，解得：y＝1，
{x=1)
故原方程组的解为 ．
y=1
【必考点5 用合适的方法解二元一次方程组】
【例1】解方程组：
{2x−y=5
)
（1） ；
5x+2y=8
{ x+ y + x−y =6 )
（2） 2 3 ．
4(x+ y)−5(x−y)=2
【分析】（1）利用加减消元法即可解决；
（2）先将原式化为整式后利用加减消元即可．
{2x−y=5①)
【解答】解：（1） ，
5x+2y=8②
①×2+②得：9x＝18，
解得：x＝2，
将x＝2代入①，得：4﹣y＝5，
解得：y＝﹣1．
{ x=2 )
故原方程组的解为： ．
y=−1
{5x+ y=36①)
（2）原方程组可化为： ，
−x+9 y=2②
②×5+①得：46y＝46，
解得：y＝1，把y＝1代入①得：x＝7．
{x=7)
故原方程组的解为： ．
y=1
【变式1】解下列方程组：
{ 3 y−2x=1 )
（1） x+2 y+1 ；
=1−
3 4
{6(x−y)−7(x+ y)=21)
（2） ．
2(x−y)−5(x+ y)=−1
{3 y−2x=1)
【分析】（1）把原方程组进行整理为 ，然后再根据解二元一次方程组的方法：加减消元
4x+3 y=1
法求解即可；
（2）先把x﹣y，x+y看作整体，根据解二元一次方程组的方法：加减消元法求出x+y，x﹣y的值，然后
再根据解二元一次方程组的方法：加减消元法求出x，y的值即可．
{ 3 y−2x=1 )
【解答】解：（1） x+2 y+1 ，
=1−
3 4
{3 y−2x=1①)
整理，得 ，
4x+3 y=1②
②﹣①，得6x＝0，
解得：x＝0，
把x＝0代入①，得3y﹣2×0＝1，
1
解得：y= ，
3
{x=0
)
∴原方程组的解为 1 ；
y=
3
{6(x−y)−7(x+ y)=21①)
（2） ，
2(x−y)−5(x+ y)=−1②
②×3，得6（x﹣y）﹣15（x+y）＝﹣3③，
①﹣③，得8（x+y）＝24，
解得：x+y＝3④，
把x+y＝3代入②，得2（x﹣y）﹣5×3＝﹣1，解得：x﹣y＝7⑤，
{x+ y=3⑥)
由④⑤联立方程组，得 ，
x−y=7⑦
⑥+⑦，得2x＝10，
解得：x＝5，
把x＝5代入⑥，得5+y＝3，
解得：y＝﹣2，
{ x=5 )
∴方程组的解为 ．
y=−2
【变式2】解方程组：
{ x+1=6 y )
（1） ；
2(x+1)−y=11
{
x+4 y=28
)
（2） x−2 y+3 5 ．
− =−
4 3 2
【分析】（1）先化简，后利用加减法消元法求解即可；
（2）先把②去分母，然后利用加减法消元法求解即可．
{ x+1=6 y )
【解答】解：（1） ，
2(x+1)−y=11
{x−6 y=−1①)
化简方程组，得： ，
2x−y②
由①×2﹣②得：﹣11y＝﹣11，
解得：y＝1，
把y＝1代入①，解得：x＝5
{x=5)
∴方程组的解是 ；
y=1
{
x+4 y=28
)
（2） x−2 y+3 5 ，
− =−
4 3 2
{ x+4 y=28① )
化简方程组，得： ，
3x−4 y=−12②
由①+②得：4x＝16，
解得：x＝4，
把x＝4代入①，解得：y＝6{x=4)
∴方程组的解是 ．
y=6
【变式3】解下列二元一次方程组：
{ x+2y=10 )
（1） ；
−3x+5 y=3
{ 3(x−y) + y =1 )
（2） 2 4 ．
2(x+2y)=5(x+ y)+5
【分析】（1）利用加减消元法求解即可；
（2）原方程整理后，利用加减消元法求解即可．
{ x+2y=10① )
【解答】解：（1） ，
−3x+5 y=3②
①×3得：3x+6y＝30③
③+②得：11y＝33，
∴y＝3；
将代入①得：x＝4；
{x=4)
∴方程组的解是 ；
y=3
{6x−5 y=4①)
（2）方程组整理得： ，
3x+ y=−5②
①+②×5得：21x＝﹣21，
∴x＝﹣1，
将代入②得：﹣3+y＝﹣5，
∴y＝﹣2，
{x=−1)
∴方程组的解是 ．
y=−2
【必考点6 用换元法解二元一次方程组】
{3x−ay=16) {x=7)
【例1】如果关于x，y的二元一次方程组 的解是 ，求下列关于x，y的方程组的解
2x+by=15 y=1
{3(x+ y)−a(x−y)=16)
．
2(x+ y)+b(x−y)=15
{3m−an=16)
【分析】把x+y和x﹣y看成一个整体，利用换元法列出方程组 ，进行计算即可．
2m+bn=15【解答】解：设x+y＝m，x﹣y＝n，
{3m−an=16)
∴原方程组可化为： ，
2m+bn=15
{m=7)
由已知条件可知此方程组的解为： ，
n=1
{x+ y=7①)
∴ ，
x−y=1②
①+②得：2x＝8，
解得：x＝4，
①﹣②得：2y＝6，
解得：y＝3，
{x=4)
∴原方程组的解为： ．
y=3
【变式1】已知关于x，y的二元一次方程组
{a
1
x+b
1
y=c
1
)
的解为
{x=2)
，求关于x，y的二元一次方程
a x+b y=c y=1
2 2 2
{a (x+3)+b y−2b =c ，)
1 1 1 1
组 的解．
a (x+3)+b y−2b =c
2 2 2 2
{a (x+3)+b y−2b =c ) {a x+b y=c )
1 1 1 1 1 1 1
【分析】将方程组 化为与方程组 系数相同的形式是本题的
a (x+3)+b y−2b =c a x+b y=c
2 2 2 2 2 2 2
{x+3=m) {a
1
(x+3)+b
1
(y−2)=c
1
) {a
1
m+b
1
n=c
1
)
关键．设 ，由 得： ，再求解即可．
y−2=n a (x+3)+b (y−2)=c a m+b n=c
2 2 2 2 2 2
{a (x+3)+b y−2b =c )
1 1 1 1
【解答】解：由 ，得：
a (x+3)+b y−2b =c
2 2 2 2
{a (x+3)+b (y−2)=c )
1 1 1
∴ ，
a (x+3)+b (y−2)=c
2 2 2
{x+3=m)
设 ，
y−2=n{a (x+3)+b (y−2)=c ) {a m+b n=c )
1 1 1 1 1 1
由 得： ，
a (x+3)+b (y−2)=c a m+b n=c
2 2 2 2 2 2
{a
1
x+b
1
y=c
1
) {x=2)
∵方程组 的解是 ，
a x+b y=c y=1
2 2 2
{m=2) {a
1
m+b
1
n=c
1
)
∴ 是方程组 的解，
n=1 a m+b n=c
2 2 2
{x+3=2)
∴ ，
y−2=1
{x=−1)
解得： ．
y=3
【变式2】数学方法：
{3(2x+ y)−2(x−2y)=26)
解方程组： ，若设 2x+y＝m，x﹣2y＝n，则原方程组可化为
2(2x+ y)+3(x−2y)=13
{3m−2n=26) {m=8 ) { 2x+ y=8 ) {x=3)
，解方程组得 ，所以 ，解方程组得 ，我们把某个式子看
2m+3n=13 n=−1 x−2y=−1 y=2
成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法．
{ax+by=6) {x=−2)
（1）直接填空：已知关于x，y的二元一次方程组 ，的解为 ，那么关于m、n的
bx+ay=3 y=4
{a(m+n)+b(m−n)=6)
二元一次方程组 的解为： ．
b(m+n)+a(m−n)=3
{ x+ y − x−y =4 )
（2）知识迁移：请用这种方法解方程组 2 3 ．
2(x+ y)+x−y=16
（3）拓展应用：已知关于x，y的二元一次方程组 {a 1 x+b 1 y=c 1 ) 的解为 { x=4 ) ，求关于x，y的方
a x+b y=c y=−3
2 2 2
{2a x+3b y=5c
)
1 1 1
程组 的解．
2a x+3b y=5c
2 2 2{m+n=−2)
【分析】（1）设m+n＝x，m﹣n＝y，即可得 ，解方程组即可求解；
m−n=4
x+ y x−y { m−n=4 )
（2）设 =m， =n，则原方程组可化为 ，解方程组即可求解；
2 3 4m+3n=16
（3）设 2x =m， 3 y =n，则原方程组可化为 {a 1 m+b 1 n=c 1 ) ，根据 {a 1 x+b 1 y=c 1 ) 的解为 { x=4 )
5 5 a m+b n=c a x+b y=c y=−3
2 2 2 2 2 2
2x
{ =4 )
{m=4 ) 5
，可得 ，即有 ，则问题得解．
n=−3 3 y
=−3
5
{ax+by=6)
【解答】解：（1）设m+n＝x，m﹣n＝y，则原方程组可化为 ，
bx+ay=3
{ax+by=6) {x=−2)
∵ 的解为 ，
bx+ay=3 y=4
{m+n=−2)
∴ ，
m−n=4
{m=1
)
解得 ，
n=−3
{m=1
)
故答案为： ；
n=−3
（2）设 x+ y =m， x−y =n，则原方程组可化为 { m−n=4 ) ，
2 3 4m+3n=16
{m=4)
解得 ，
n=0
x+ y
{ =4)
2
即有 ，
x−y
=0
3
{x=4)
解得 ，
y=4
{x=4)
即：方程组的解为 ；
y=42x 3 y {5ma +5nb =5c )
（3）设 =m， =n，则原方程组可化为 1 1 1 ，
5 5 5ma +5nb =c
2 2 2
{a m+b n=c
)
1 1 1
化简，得 ，
a m+b n=c
2 2 2
∵关于x，y的二元一次方程组 {a 1 x+b 1 y=c 1 ) 的解为 { x=4 ) ，
a x+b y=c y=−3
2 2 2
2x
{ =4 )
{m=4 ) 5
∴ ，即有 ，
n=−3 3 y
=−3
5
{x=10)
解得： ．
y=−5
{x=10)
故方程组的解为： ．
y=−5
2x+3 y 4x−3 y
{ + =7)
3 2
【变式3】在解方程组 时，某同学发现：如果直接用代入消元法或加减消元法求
2x+3 y 4x−3 y
+ =5
4 3
解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的 2x+3y、4x﹣3y分别看作一个整体，通过换元：设
m n
{ + =7)
3 2 {m=12) {m=12)
m＝2x+3y、n＝4x﹣3y，可以将原方程组化为 ，解得 ，把 代入 m＝
m n n=6 n=6
+ =5
4 3
{2x+3 y=12) {x=3) {x=3)
2x+3y、n＝4x﹣3y，得 ，解得 ，所以原方程组解为 ．
4x−3 y=6 y=2 y=2
{3x+by=1) {x=1) {3(x−2)+b(y+2)=1)
（1）若方程组 的解为 ，则方程组 的解为 ；
ax+ y=6 y=1 a(x−2)+(y+2)=6（ 2 ） 若 方 程 组 {a 1 x+b 1 y=c 1 ) 的 解 为 { x=k ) ， 其 中 k 为 常 数 ． 求 方 程 组
a x+b y=c y=k−2
2 2 2
1 1
{ a (x+1)+ b (y−2)=c )
3 1 2 1 1
的解．
1 1
a (x+1)+ b (y−2)=c
3 2 2 2 2
{3m+bn=1)
【分析】（1）设x﹣2＝m，y+2＝n，则方程组可化为 ，再进一步解方程组即可；
am+n=6
1 1 {a e+b f =c )
（2）设 (x+1)=e， (y−2)=f，则方程组可化为 1 1 1 ，再进一步求解即可．
3 2 a e+b f =c
2 2 2
{3x+by=1) {x=1)
【解答】解：（1）∵ 的解为 ，
ax+ y=6 y=1
{3m+bn=1) {m=1)
∴ 的解为 ，
am+n=6 n=1
设x﹣2＝m，y+2＝n，
{3m+bn=1)
则方程组可变为： ，
am+n=6
{x−2=1)
∴ ，
y+2=1
{ x=3 )
解得： ．
y=−1
{ x=3 )
故答案为： ．
y=−1
1 1
（2）设 (x+1)=e， (y−2)=f，
3 2
{a e+b f =c
)
1 1 1
则原方程组可变为： ，
a e+b f =c
2 2 2
{a 1 x+b 1 y=c 1 ) { x=k )
∵ 的解为 ，
a x+b y=c y=k−2
2 2 2{a 1 e+b 1 f =c 1 ) { e=k )
∴ 的解为 ，
a e+b f =c f =k−2
2 2 2
1
{ (x+1)=k )
3
即 ，
1
(y−2)=k−2
2
{x=3k−1)
解得： ．
y=2k−2.
【必考点7 用整体代入法解二元一次方程组】
{ x+ y+3=10 )
【例1】阅读材料：小强同学在解方程组 时发现，可将第一个方程通过移项变形为 x+y
4(x+ y)−y=25
＝7，然后把第二个方程中的x+y换成7，可以很轻松地解出这个方程组．小强同学发现的这种方法叫作
“整体代入法”，是中学数学里很常用的一种解题方法．
（1）请按照小强的解法解出这个方程组；
{2x+3 y=−4)
（2）用整体代入法解方程组 ．
6x−5 y=16
【分析】（1）由①，得x+y＝7③，把③代入②即可求出y的值，把y＝3代入③即可求出x的值，
从而得出方程组的解；
（2）由②，得3（2x+3y）﹣14y＝16③，把①代入③即可求出y的值，把y＝3代入①即可求出x的
值，从而得出方程组的解．
{ x+ y+3=10① )
【解答】解：（1） ，
4(x+ y)−y=25②
由①，得x+y＝7③，
把③代入②，得4×7﹣y＝25，
解得y＝3，
把y＝3代入③，得x＝4，
{x=4)
所以方程组的解是 ；
y=3
{2x+3 y=−4①)
（2） ，
6x−5 y=16②
由②，得6x+9y﹣14y＝16，即3（2x+3y）﹣14y＝16③，
把①代入③，得3×（﹣4）﹣14y＝16，解得y＝﹣2，
把y＝﹣2代入①，得x＝1，
{ x=1 )
所以方程组的解是 ．
y=−2
{2x+5 y=3①)
【变式1】阅读材料：善思考的小军在解方程组 时，采用了一种“整体代入”的解法：
4x+11y=5②
解：将方程②变形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5 ③
把方程①代入③，得：2×3+y＝5，所以y＝﹣1
把y＝﹣1代入①得，x＝4，
{ x=4 )
所以方程组的解为 ．
y=−1
{3x−2y=5
)
请你模仿小军的“整体代入”法解方程组 ．
9x−4 y=19
【分析】方程组中第二个方程变形后，将第一个方程代入求出x的值，进而求出y的值，得到方程组的
解．
{3x−2y=5①
)
【解答】解：
9x−4 y=19②
将方程②变形：3（3x﹣2y）+2y＝19．
将方程①代入③，得3×5+2y＝19．y＝2
把y＝2代入①得 x＝3
{x=3)
∴方程组的解为 ．
y=2
【变式2】先阅读材料，然后解方程组．
{ x+ y−2=0① )
材料：解方程组： ，
3(x+ y)−y=4②
由①，得x+y＝2．③
把③代入②，得3×2﹣y＝4，解得y＝2．
把y＝2代入③，得x＝0．
{x=0)
∴原方程组的解为 ．
y=2
这种方法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请用这种方法解方程{
3x−2y−1=0①
)
组： 6x−4 y+3 ．
+ y=2②
6
【分析】将②中的分子前两项提取公因式，将①变形后代入即可得到关于y的一元一次方程，从而求
出原方程组的解即可．
【解答】解：由①，得3x﹣2y＝1③，
2(3x−2y)+3
②可化为 +y＝2④，
6
5 7
将③代入④，得 +y＝2，解得y= ；
6 6
7 7 10
将y= 代入③，得3x− =1，解得x= ．
6 3 9
10
{x= )
9
∴原方程组的解为 ．
7
y=
6
【变式3】数学活动课上，小云和小辉在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题：
{ 3x+4① )
已知关于x，y的二元一次方程组 的解满足2x+3y＝1③，求m的值．
x+2y=2−3m②
小云：将①③联立可得一个新的不含m的二元一次方程组．
小辉：哈哈！直接①+②可以更简便地求出m的值．
（1）按照小云的方法，求出x，y的值；
（2）老师说，小辉的方法体现了整体代入的思想，请按照小辉的思路求出m的值．
{3x+4 y①)
【分析】（1）联立①③，可得出关于x，y的二元一次方程组 ，运用加减消元法，解之
2x+3 y③
即可得出x，y的值；
（2）利用①+②，可得出4x+6y＝5﹣3m，结合2x+3y＝1，可得出关于m的一元一次方程，解之即可
得出m的值．
{3x+4 y①)
【解答】解：（1）联立①③得： ，
2x+3 y③
由①×2﹣③×3整理得﹣y＝3，
解得y＝﹣3，
将y＝﹣3代入③得：2x+3×（﹣3）＝1，解得：x＝5，
{ x=5 )
∴原方程组的解为 ．
y=−3
{ 3x+4 y① )
（2） ，
x+2y=2−3m②
①+②得：4x+6y＝5﹣3m，
1
则2x+3 y= (5−3m)，
2
∵2x+3y＝1，
1
∴ (5−3m)=1，
2
则5﹣3m＝2，
∴m＝1．
【必考点8 解含参的二元一次方程组（解相同）】
{2x+5 y=−6) {bx+ay=−8)
【例1】已知方程组 的解和方程组 的解相同，求（2a+b）2024的值．
ax−by=−4 3x−5 y=16
【分析】联立两方程组中不含a与b的方程组成新的方程组，求出新方程组的解得到x与y的值，代入
剩下的方程求出a与b的值，即可求出原式的值．
{2x+5 y=−6)
【解答】解：联立得： ，
3x−5 y=16
①+②得：5x＝10，即x＝2，
把x＝2代入①得：y＝﹣2，
{2a+2b=−4)
，
2b−2a=−8
解得：a＝1，b＝﹣3，
则原式＝（2﹣3）2024＝1．
{mx+2ny=4) {nx+(m−1)y=3)
【变式1】若关于x，y的方程组 与 有相同的解．
x+ y=1 x−y=3
（1）求这个相同的解；
（2）求m，n的值．
{x+ y=1)
【分析】（1）根据题意得到方程组 ，解方程组即可；
x−y=3
（2）将（1）中求得的解代入剩余的两个方程中得到关于m，n的方程组，解方程组即可．{x+ y=1)
【解答】解：（1）由题意，得 ，
x−y=3
{ x=2 )
解得： ；
y=−1
{ x=2 ) { mx+2ny=4 ) { 2m−2n=4 )
（2）把 代入 得 ，
y=−1 nx+(m−1)y=3 2n−(m−1)=3
{m=6)
解得 ，
n=4
∴m＝6，n＝4．
{2x+3 y=7)
{5x−2y=8
)
【变式2】已知关于x，y的方程组 和方程组 nx 的解相同．
mx+ny=5 +my=3
3
（1）求m，n的值．
（2）求3m﹣2mn+m2﹣1的值．
{2x+3 y=7) {x=2)
【分析】（1）把方程组中的两个已知方程组合可得 ，解方程组可得： ，再代入另
5x−2y=8 y=1
外两个方程，求解m，n，从而可得答案．
（2）把m，n的值代入求出代数式的值即可．
{2x+3 y=7 ①)
【解答】解：（1）根据题意得： ，
mx+ny=5 ②
①×2+②×3：19x＝38，
∴x＝2，
把x＝2代入①：y＝1，
{x=2)
∴
y=1
{x=2)
{mx+ny=5
)
{2m+n=5
)
把 代入 nx 得 2 ，
y=1 +my=3 m+ n=3
3 3
{m=1)
解得： ；
n=3
{m=1)
（2）把 代入3m﹣2mn+m2﹣1得：
n=3
原式＝3﹣2×3+1﹣1＝3﹣6+1﹣1＝﹣3．
{mx+2ny=4，) { x−y=3， )
【变式3】已知关于x，y的方程组 与 有相同的解．
x+ y=1 nx+(m−1)y=3（1）求这个相同的解；
（2）求m，n的值；
（3）小明同学说：“无论a取何值，（1）中的解都是关于x，y的方程（3+a）x+（2a+1）y＝5的
解．”这句话对吗？请你说明理由．
{x+ y=1)
【分析】（1）联立 ，解方程组即可；
x−y=3
{ x=2 ) { 2m−2n=4 )
（2）把 代入另外两个方程中得 ，解方程组即可；
y=−1 2n−(m−1)=3
{ x=2 )
（3）将 代入（3+a）x+（2a+1）y＝5，等式恒成立．
y=−1
{x+ y=1)
【解答】解：（1）联立 ，
x−y=3
{ x=2 )
解得 ；
y=−1
{ x=2 ) { 2m−2n=4 )
（2）把 代入另外两个方程中得 ，
y=−1 2n−(m−1)=3
{m=6)
解得 ；
n=4
（3）对，理由如下：
{ x=2 )
将 代入（3+a）x+（2a+1）y＝5，
y=−1
得到5＝5，
∴小明的话是对的．
【必考点9 解含参的二元一次方程组（解出错）】
{ax+5 y=15) {x=−3)
【例1】在解方程组 时，甲看错了方程组中的a，得到的解为 ，乙看错了方程组
4x−by=−2 y=1
{x=5)
中的b，得到的解是 ．
y=4
（1）求原方程组中a、b的值各是多少？
（2）求出原方程组中的正确解．
{x=−3)
【分析】（1）甲由于看错了方程①中的a，得到方程组的解为 ，那么他的解对②还是正确
y=−1
{x=5)
的，所以把他的解代入②中得一方程．乙看错了②中的b得到方程组的解为 ，那么他的解对
y=4①也是正解的，所以把他的解代入①中，也得一方程．即可求出a、b的值；
（2）两方程组成一个方程组，求出方程组的解即可．
{x=−3)
【解答】解：（1）将 代入②得b＝﹣10，
y=1
{x=5)
将 代入①得a＝﹣1；
y=4
{ −x+5 y=15①)
（2）原方程组为 ，
4x+10 y=−2②
①×2﹣②得：﹣6x＝32，
16
解得：x=− ，
3
①×4+②得：30y＝58，
29
解得：y= ，
15
16
{x=− )
3
即原方程组的解为： ．
29
y=
15
{mx+ y=3
)
{ x= 15 )
【变式1】甲、乙两同学同时解关于x、y的方程组 ，甲看错了m，解出的结果是 2 ；
2x−ny=9
y=−3
{ x=4 )
乙看错了n，解出的结果是 ，你能确定m、n的值和原方程组的解吗？
y=−5
15
【分析】把x= ，y＝﹣3代入2x﹣ny＝9得出15+3n＝9，求出n＝﹣2，把x＝4，y＝﹣5代入mx+y＝
2
{2x+ y=3①)
3得出4m﹣5＝3，求出m＝2，得出方程组为 ，求出方程组的解即可．
2x+2y=9②
15
【解答】解：把x= ，y＝﹣3代入2x﹣ny＝9得：15+3n＝9，
2
解得：n＝﹣2，
把x＝4，y＝﹣5代入mx+y＝3得：4m﹣5＝3，
解得：m＝2，{2x+ y=3①)
则原方程组为 ，
2x+2y=9②
①﹣②得：y＝6，
把y＝6代入①得：2x+6＝3，
3
解得：x=− ，
2
{ x=− 3 )
∴方程组的解为： 2 ．
y=6
{1
ax−by=1①) {x=4)
【变式2】小鑫、小童两人同时解方程组 2 时，小鑫看错了方程②中的a，解得 ，
y=1
ax−y=17②
{ x=5 )
小童看错了①中的b，解得 ．
y=−7
（1）求正确的a，b的值；
（2）求原方程组的正确解．
【分析】（1）把小鑫的结果代入第一个方程，小童的结果代入第二个方程，求出正确 a与b的值即
可；
（2）把a与b的值代入方程组，求出正确解即可．
{ 1 ⋅4a−b=1 )
【解答】解：（1）根据题意，可得 2 ，
5a−(−7)=17
{2a−b=1)
整理得： ，
5a+7=17
{a=2)
解得： ；
b=3
{x−3 y=1①)
（2）将a，b代入原方程组，得 ，
2x−y=17②
由②可得y＝2x﹣17③，
将③代入①，可得x﹣3（2x﹣17）＝1，
解得：x＝10，
把x＝10代入③，解得：y＝3．
{x=10)
故原方程组的正确解是 ．
y=3{ax−4 y=10)
【变式3】已知关于x，y的二元一次方程组 ，甲由于看错了方程组中的a，得到的方程组
5x+by=42
{x=12) { x=2 )
的解为 ，乙由于看错了b，得到方程组的解为 ．
y=−3 y=−1
（1）求a，b的值；
{ax−4 y=10) { 2mx+ny=6 )
（2）若方程组 的解与方程组 的解相同，求2m﹣n的值．
5x+by=42 mx+2ny=−6
【分析】（1）根据甲、乙看错的数，确定方程组的解是原方程组的哪一个方程的解，进而求出a、b的
值即可；
{ 2mx+ny=6 )
（2）根据a、b的值求出原方程组的解，再代入方程组 进行适当的变形即可．
mx+2ny=−6
{ax−4 y=10)
【解答】解：（1）由于甲看错了关于x，y的二元一次方程组 中的a，得到的方程组的
5x+by=42
{x=12)
解为 ，
y=−3
{x=12)
∴ 满足方程5x+by＝42，即5×12﹣3b＝42，
y=−3
解得b＝6，
{ax−4 y=10) { x=2 )
由于乙看错了关于x，y的二元一次方程组 中的吧，得到的方程组的解为 ，
5x+by=42 y=−1
{ x=2 )
∴ 满足方程ax﹣4y＝10，即2a﹣4×（﹣1）＝10，
y=−1
解得a＝3，
答：a＝3；b＝6；
{3x−4 y=10)
（2）当a＝3，b＝6时，原方程可变为 ，
5x+6 y=42
{x=6)
解得 ，
y=2
{x=6) { 2mx+ny=6 ) {12m+2n=6①)
把 代入方程组 得， ，
y=2 mx+2ny=−6 6m+4n=−6②
{m=1
)
解得 ，
n=−3
∴2m﹣n＝2+3＝5．【必考点10 解含参的二元一次方程组（解满足条件）】
{x+3 y=2k+4)
【例1】已知关于x，y的方程组 ．
x−2y=k
（1）若方程组的解互为相反数，求k的值；
（2）若方程组的解满足方程3x+y＝10，求k的值．
【分析】（1）解方程组得出5y＝k+4，5x＝7k+8，根据方程组的解互为相反数，得出x+y＝0，即5x+5y
＝7k+8+k+4＝0，解关于k的方程即可；
{x=3)
（2）解方程组得 ，然后代入原方程即可求出k的值．
y=1
{x+3 y=2k+4①)
【解答】解：（1）
x−2y=k②
①﹣②，得5y＝k+4，
①×2+②×3，得5x＝7k+8．
∵方程组的解互为相反数，
∴x+y＝0，
即5x+5y＝7k+8+k+4＝0，
3
∴k=− ．
2
{x+3 y=2k+4①)
（2）
x−2y=k②
②×2﹣①，得x﹣7y＝﹣4，
∵3x+y＝10，
{x=3)
解得 ，
y=1
代入②得：3﹣2×1＝k，
∴k＝1．
{x+2y=k−1①)
【变式1】已知关于x、y的方程组 ．
3x+ y=5k+4②
（1）解这个方程组（结果用含k的代数式表示）；
（2）若这个方程组的解也满足方程4x+3y＝5，求k的值．
【分析】（1）将k看作常数运用加减消元法可解得；
（2）将（1）中x、y代入4x+3y＝5，可得关于k的方程，解方程可得k的值．{x+2y=k−1①)
【解答】解：（1） ，
3x+ y=5k+4②
由①×3：3x+6y＝3k﹣3③，
由③﹣②：5y＝﹣2k﹣7，
−2k−7
∴y= ，
5
由②×2﹣①：5x＝9k+9，
9k+9
∴x= ，
5
9k+9
{ x= )
5
∴ ；
−2k−7
y=
5
（2）由①+②：4x+3y＝6k+3，
∵4x+3y＝5，
∴6k+3＝5，
1
∴k= ；
3
（2）∵4x+3y＝5，
9k+9 −2k−7
∴4× +3× =5，
5 5
1
∴k= ．
3
{x+ y=3k−4)
【变式2】已知关于x，y的方程组 ，
x−y=k+2
（1）若方程组的解满足方程3x﹣4y＝1，求k的值；
（2）请你给出k的一个值，使方程组的解中x，y都是正整数，并直接写出方程组的解．
【分析】（1）由方程组解出x、y，再代入3x﹣4y＝1即可解决问题．
（2）k是大于3的整数，任意取一个值即可．
{x+ y=3k−4) {x=2k−1)
【解答】解：（1）由 ，解得
x−y=k+2 y=k−3
把x＝2k﹣1，y＝k﹣3代入3x﹣4y＝1，得3（2k﹣1）﹣4（k﹣3）＝1
∴k＝﹣4．
（2）k＝5，则x＝2×5﹣1＝9，y＝5﹣3＝2．（答案不唯一）．{ x+2y−6=0 )
【变式3】已知关于x，y的方程组 ．
mx−2y+m+4=0
（1）请直接写出方程x+2y﹣6＝0的所有正整数解；
（2）若方程组的解满足x+y＝0，求m的值．
（3）无论实数m取何值，方程x﹣2y+mx+5＝0总有一个固定的解，请求出这个解？
【分析】（1）先把方程x+2y﹣6＝0写成x+2y＝6，然后求出其正整数解即可；
（2）把方程x+2y﹣6＝0和x+y＝0联立成方程组，解方程组求出x，y，再代入方程mx﹣2y+m+4＝0，
求出m即可；
（3）把方程左边不含m的项结合，然后根据已知条件列出关于x，y的方程，解方程即可．
【解答】解：（1）∵x+2y﹣6＝0，
∴x+2y＝6，
令x＝2，则y＝2；
令x＝4，则y＝1；
{x=2) {x=4)
∴方程x+2y﹣6＝0的所有正整数解为 或 ；
y=2 y=1
{x+2y−6=0①)
（2）由题意得： ，
x+ y=0②
把②代入①得：y＝6，
把y＝6代入②得：x＝﹣6，
把x＝﹣6，y＝6代入mx﹣2y+m+4＝0得：
﹣6m﹣12+m+4＝0，
5m＝﹣8，
8
m=− ；
5
（3）x﹣2y+mx+5＝0，
∴（x﹣2y+5）+mx＝0，
∵论实数m取何值，方程x﹣2y+mx+5＝0总有一个固定的解，
{ x=0① )
∴ ，
x−2y+5=0②
5
把①代入②得：y= ，
2
∴方程x﹣2y+mx+5＝0的固定解为．
