文档内容
11.2 一元一次不等式【10 个必考点】
【人教版2024】
【知识点1 一元一次不等式的概念】.....................................................................................................................1
【必考点1 一元一次不等式的判断】.....................................................................................................................1
【必考点2 由一元一次不等式的概念求值】.........................................................................................................2
【知识点2 解一元一次不等式】..............................................................................................................................4
【必考点3 解一元一次不等式】..............................................................................................................................4
【必考点4 列不等式求取值范围】..........................................................................................................................6
【必考点5 已知不等式的解集求参】.....................................................................................................................8
【必考点6 一元一次不等式的整数解】...............................................................................................................10
【必考点7 一元一次不等式的新定义问题】.......................................................................................................12
【知识点3 用一元一次不等式解决实际问题】...................................................................................................16
【必考点8 根据实际问题列一元一次不等式】...................................................................................................16
【必考点9 一元一次不等式的实际应用（最多至少问题）】...........................................................................18
【必考点10 一元一次不等式的实际应用（方案选择问题）】.........................................................................23
【知识点1 一元一次不等式的概念】
只含有 1 个未知数，且未知数的次数是 1 的整式不等式，叫做一元一次不等式。整个不等式中分母
不含有 字母 。
【必考点1 一元一次不等式的判断】
【例1】在数学表达式：﹣3＜0，a+b，x＝3，x2+2y+y2，x≠5，x+2＞y+3中，是一元一次不等式的有（
）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据不等式的定义，用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等号表示不相等关系的
式子是不等式，依次判断6个式子即可．
【解答】解：根据不等式的定义，依次分析可得：﹣3＜0，a+b，x＝3，x2+2y+y2，x≠5，x+2＞y+3，这
些不等式中只有1个式子x≠5符合一元一次不等式定义，而x＝3是等式，x2+2xy+y2是代数式，
故选：A．
1
【变式 1】有下列不等式：① x≥0；② x+3≤1；③− x＜1；④ 3x+y＞5；⑤ x2＞1；⑥
2x 1
1+ ＞5− (x−2)．其中一元一次不等式有（ ）
3 2
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【分析】根据一元一次不等式的定义解答即可．
1 x 1
【解答】解：①x≥0；②x+3≤1；③− x＜1；⑥1+ ＞5− (x−2)都是一元一次不等式，共4
2 3 2
个，
故选：B．
【变式2】下列式子中，一元一次不等式有（ ）
1 x−2 x
①x+2x2＞1；②2x﹣y＞0；③ −1＞0；④2x﹣3＞5；⑤ ＞1；⑥3x− ＞2﹣x．
x−1 3 2
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据一元一次不等式的定义解答即可．
x−2 x
【解答】解：一元一次不等式有：④2x﹣3＞5；⑤ ＞1；⑥3x− ＞2﹣x．
3 2
一元一次不等式有3个．
故选：B．
【变式3】下列关系式中，哪些是一元一次不等式．（ ）
①x＞0，②2x＜﹣2+x，③x﹣y＞﹣3，④4x＝﹣1，⑤❑√a+1≥0，⑥x2＞2．
A．①②③ B．①② C．②④⑤ D．①②⑥
【分析】根据一元一次不等式的定义逐项判断即可．
【解答】解：①x＞0是一元一次不等式；
②2x＜﹣2+x是一元一次不等式；
③x﹣y＞﹣3中含有两个未知数，不是一元一次不等式；
④4x＝﹣1是等式，不是一元一次不等式；
⑤❑√a+1≥0中❑√a+1不是整式，因此❑√a+1≥0不是一元一次不等式；
⑥x2＞2中未知数的指数是2，不是1，所以不是一元一次不等式；
综上分析可知，一元一次不等式有①②，故B正确．
故选：B．
【必考点2 由一元一次不等式的概念求值】
【例1】若关于x的一元一次不等式2a﹣x|2+3a|＞2，则a的值（ ）1 1 1
A．﹣1 B．1或− C．﹣1或− D．−
3 3 3
【分析】根据一元一次不等式的定义解答即可．
【解答】解：∵2a﹣x|2+3a|＞2是关于x的一元一次不等式，
∴|2+3a|＝1，
1
∴a=− 或﹣1．
3
故选：C．
【例2】若mx﹣8≤4﹣2x是关于x的一元一次不等式，则m的取值是 ．
【分析】首先不等式移项得mx﹣8≤4﹣2x，然后合并同类项得（m+2）x≤12，x的系数不能为0，进而
可得m+2≠0，再解可得m的取值范围．
【解答】解：mx﹣8≤4﹣2x，
mx+2x≤4+8
（m+2）x≤12，
m+2≠0，
解得：m≠﹣2，
故答案为：m≠﹣2．
【变式1】若（m+1）x|m+2|+4＜0是关于x的一元一次不等式，则m的值为（ ）
A．﹣1 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣3或﹣1
【分析】利用一元一次不等式的定义判断即可确定出m的值．
【解答】解：根据题意得：m+1≠0且|m+2|＝1，
解得：m＝﹣3．
故选：B．
【变式2】已知（k+3）x|k|﹣2+5＜k﹣4是关于x的一元一次不等式，则k的值是（ ）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．无法确定
【分析】根据一元一次不等式的定义，|k|﹣2＝1且k+3≠0，分别进行求解即可．
【解答】解：∵（k+3）x|k|﹣2+5＜k﹣4是关于x的一元一次不等式，
∴|k|﹣2＝1且k+3≠0，
解得：k＝3，
故选：A．
【变式3】已知3（x﹣1）≤mx2+nx﹣3是关于x的一元一次不等式，则mn2+（m﹣1）3的值是 ．【分析】根据一元一次不等式的定义，可得m、n的值，代入代数式计算可得答案．
【解答】解：由不等式3（x﹣1）≤mx2+nx﹣3是关于x的一元一次不等式，得
m＝0，n﹣3≠0．
解得m＝0，n≠3．
∴mn2+（m﹣1）3＝0+（﹣1）3＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【知识点2 解一元一次不等式】
具体步骤：
①去分母：在不等式两边同时乘上分母的 最小公倍数 。（根据等式的性质 2 ）
②去括号：利用去括号的法则去括号。
③移项：把含有未知数的移到等号的 左边 ，常数移到等号的 右边 。（根据等式的性质 1 ）
④并：利用合并同类项法则进行合并。
⑤系数化为1：不等式两边除以 系数 或乘上 系数的倒数 。当系数为负数时，不等号方向一定要 改变 。
（根据不等式的性质 2 或 3 ）
【必考点3 解一元一次不等式】
x+1
【例1】解不等式2+ ≤−x，小聪的解题过程如下：①﹣6+x+1＜3x；②x﹣3x≤6﹣1；③﹣2x≤5；
−3
5
④x≥− ．这个结果是错的，其中造成解答错误的一步是（ ）
2
A．① B．② C．③ D．④
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、移项、合并同类项、系数化为1可得．
【解答】解：去分母，得：﹣6+x+1≥3x，
移项，得：x﹣3x≥6﹣1，
合并同类项，得：﹣2x≥5，
5
系数化为1，得：x≤− ，
2
∴其中造成解答错误的一步是第①步，
故选：A．
【例2】解下列一元一次不等式．
（1）3（x+2）﹣1＜8﹣2（x﹣1）；
2x−1 5x+1
（2） − ≥1．
3 2【分析】（1）按照解一元一次不等式的步骤：去括号，移项，合并同类项，系数化为 1进行计算即
可；
（2）按照解一元一次不等式的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为 1进行计算即
可．
【解答】解：（1）3（x+2）﹣1＜8﹣2（x﹣1），
3x+6﹣1＜8﹣2x+2，
3x+2x＜8+2﹣6+1，
5x＜5，
x＜1；
2x−1 5x+1
（2） − ≥1，
3 2
2（2x﹣1）﹣3（5x+1）≥6，
4x﹣2﹣15x﹣3≥6，
4x﹣15x≥6+2+3，
﹣11x≥11，
x≤﹣1，
2x−1 1−3x
【变式1】在解不等式 −1＞ 的过程中：①去分母得4（2x﹣1）﹣4＞3（1﹣3x），②去括
3 4
8
号得8x﹣1﹣4＞3﹣9x，③移项、合并同类项得17x＞8，④系数化为1得解集为x＞ ．其中开始发
7
生错误的一步是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【分析】利用不等式的性质2可判定第一步错误，去分母时，漏乘整数项．
【解答】解：根据不等式的性质2可知错误的是①，
故选：A．
【变式2】解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来：
11
（1）2(4x−1)≥5(x− )；
5
x+1 2−x
（2） −1≤ ．
3 2
【分析】（1）先去括号，再移项，合并同类项，把x的系数化为1，然后在数轴上表示解集即可．
（2）先去分母，去括号，再移项，合并同类项，把x的系数化为1，然后在数轴上表示解集即可．11
【解答】解：（1）2(4x−1)≥5(x− )，
5
去括号，得8x﹣2≥5x﹣11，
移项及合并同类项，得3x≥﹣9，
系数化为1，得x≥﹣3．
其解集在数轴上表示如图所示，
；
x+1 2−x
（2） −1≤ ，
3 2
去分母，得2（x+1）﹣6≤3（2﹣x），
去括号，得2x+2﹣6≤6﹣3x，
移项及合并同类项，得5x≤10，
系数化为1，得x≤2．
其解集在数轴上的表示如图所示，
．
2x+1 2x−1
【变式3】当x满足什么条件时，2− 的值不大于 的值？
2 6
【分析】根据题意列出关于x的不等式，再解不等式即可．
2x+1 2x−1
【解答】解：由题意知，2− ≤ ，
2 6
则12﹣3（2x+1）≤2x﹣1，
12﹣6x﹣3≤2x﹣1，
﹣6x﹣2x≤﹣1﹣12+3，
﹣8x≤﹣10，
5
则x≥ ．
4
5 2x+1 2x−1
即当x≥ 时，2− 的值不大于 的值．
4 2 6【必考点4 列不等式求取值范围】
{3x+ y=1+m)
【例1】关于x，y二元一次方程组 的解满足2x+y＜1，则m的取值范围是（ ）
x+ y=3
A．m＜﹣2 B．m＞﹣2 C．m＜2 D．m＞2
【分析】将两个方程相加得到2x+y的值，整体代入不等式中，解不等式即可．
{3x+ y=1+m①)
【解答】解： ，
x+ y=3②
①+②得：4x+2y＝4+m，
∵2x+y＜1，
∴4x+2y＜2，
∴4+m＜2，
解得：m＜﹣2；
故选：A．
2x−m 1−x
【变式1】若关于x的方程x− = 的解是非负数，则m的取值范围是 ．
3 3
【分析】先求出方程的解，根据方程的解是非负数即可得出关于 m的不等式，求出不等式的解集即
可．
2x−m 1−x
【解答】解：x− = ，
3 3
3x﹣（2x﹣m）＝1﹣x，
3x﹣2x+m＝1﹣x，
2x＝1﹣m，
1−m
x= ，
2
∵x≥0，
1−m
∴ ≥0，
2
解得：m≤1，
∴m的取值范围是m≤1．
故答案为：m≤1．
{2x−y=2k−3)
【变式2】关于x、y的方程组 的解中x与y的和不小于﹣5，则k的取值范围为
x−2y=k
．【分析】把两个方程相减，可得x+y＝k﹣3，x与y的和不小于﹣5，即可求出答案．
{2x−y=2k−3①)
【解答】解： ，
x−2y=k②
①﹣②得x+y＝k﹣3，
∵x与y的和不小于﹣5，
∴k﹣3≥﹣5，
解得：k≥﹣2，
∴k的取值范围为k≥﹣2．
故答案为：k≥﹣2．
{x+3 y=5−5a①)
【变式3】已知方程组 的解x，y的和是负数，且a取符合条件的最小正整数．求关于
x−y=2a②
7x+5
x的不等式ax＜ 的解集．
3
5−3a 5−3a
【分析】先根据方程组求出x+y= ，根据x、y的和为负数得出不等式 ＜0，求出不等式的
2 2
7x+5
解集，求出不等式的最小正整数解，再把最小正整数解代入不等式ax＜ ，最后根据不等式的性
3
质求出不等式的解集即可．
{x+3 y=5−5a①)
【解答】解： ，
x−y=2a②
①+②，得2x+2y＝5﹣3a，
5−3a
x+y= ，
2
∵x、y的和为负数，
5−3a
∴ ＜0，
2
5
解得：a＞ ，
3
∴a的最小正整数解是2，
7x+5 7x+5
把a＝2代入ax＜ 得：2x＜ ，
3 3
解得：x＞﹣5，7x+5
即关于x的不等式ax＜ 的解集是x＞﹣5．
3
【必考点5 已知不等式的解集求参】
【例1】若关于x的不等式m﹣1≤1﹣x只有负数解，则m的取值范围是 ．
【分析】先解一元一次不等式，再根据只有负数解得到关于m的不等式，即可解答．
【解答】解：∵关于x的不等式m﹣1≤1﹣x的解集为x≤2﹣m，
又∵不等式m﹣1≤1﹣x只有负数解，
∴2﹣m＜0，
∴m＞2．
故答案为：m＞2．
【例2】若关于x的不等式x﹣2＞0的每一个解都能使x﹣3+m＞0成立，则m的取值范围是 ．
【分析】由x﹣2＞0得：x＞2，由x﹣3+m＞0得x＞3﹣m，根据关于x的不等式x﹣2＞0的每一个解都
能使x﹣3+m＞0成立，知2≥3﹣m，解之即可得出答案．
【解答】解：由x﹣2＞0得：x＞2，
由x﹣3+m＞0得x＞3﹣m，
∵关于x的不等式x﹣2＞0的每一个解都能使x﹣3+m＞0成立，
∴2≥3﹣m，
解得m≥1，
故答案为：m≥1．
【变式1】若关于x的不等式2（x﹣a）＜a+6的解集和不等式2x﹣4＜0的解集相同，则a的值为 ．
【分析】根据解不等式的方法，可得不等式的解集，根据不等式的解集相同，可得关于a的方程，根据
解方程，可得答案．
3a+6
【解答】解：解2（x﹣a）＜a+6，得x＜ ．
2
解2x﹣4＜0，得x＜2．
3a+6
由关于x的不等式2（x﹣a）＜a+6的解集和不等式2x﹣4＜0的解集相同，得 =2，
2
2
解得a=− ．
3
2
故答案为：− ．
3
3x+a
【变式2】关于x的两个不等式① ＜1与②1﹣3x＞0．
2（1）若两个不等式的解集相同，则a的值为 ；
（2）若不等式①的解都是②的解，则a的取值范围为 ．
【分析】（1）求出第二个不等式的解集，表示出第一个不等式的解集，由解集相同求出a的值即可；
（2）根据不等式①的解都是②的解，求出a的范围即可．
3x+a 2−a
【解答】解：（1）解不等式 ＜1与得：x＜ ，
2 3
1
解不等式1﹣3x＞0得：x＜ ，
3
∵两个不等式的解集相同，
2−a 1
∴ = ，
3 3
解得a＝1；
（2）∵不等式①的解都是②的解，
2−a 1
∴ ≤ ，
3 3
解得a≥1．
2 x+a
【变式3】已知关于x的不等式3− x＞ ．
3 2
（1）求该不等式的解集；
x
（2）若关于x的一元一次方程2(x+1)= +9的解为该不等式的一个解，求a的取值范围．
4
【分析】（1）不等式移项合并，把x系数化为1，即可求出解；
x 18−3a
（2）首先求出方程2(x+1)= +9的解为x＝4，然后根据题意得到 ＞4，进而求解即可．
4 7
2 x+a
【解答】解：（1）3− x＞ ，
3 2
去分母，得18﹣4x＞3（x+a），
去括号，得18﹣4x＞3x+3a，
移项、合并同类项，得7x＜18﹣3a，
18−3a
系数化为1，得x＜ ；
7
x
（2）解方程2(x+1)= +9，得x＝4．
4
∵方程的解为不等式的一个解，18−3a
∴ ＞4，
7
10
解得a＜− ．
3
【必考点6 一元一次不等式的整数解】
【例1】不等式5x﹣2≤3x+2的非负整数解为 ．
【分析】按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解：5x﹣2≤3x+2，
5x﹣3x≤2+2，
2x≤4，
x≤2，
∴该不等式的非负整数解为：0，1，2．
故答案为：0，1，2．
【例2】已知关于x的不等式3x﹣m+1＞0的最小整数解为2，则实数m的取值范围是 ．
【分析】先解出不等式，然后根据最小整数解为 2得出关于m的不等式组，解之即可求得m的取值范
围．
m−1
【解答】解：解不等式3x﹣m+1＞0，得：x＞ ，
3
∵不等式有最小整数解2，
m−1
∴1≤ ＜2，
3
解得：4≤m＜7，
故答案为4≤m＜7．
【变式1】若关于x的不等式3x﹣m≤﹣2的正整数解是1，2，3，4，则m的取值范围是 ．
m−2 m−2
【分析】首先求出x≤ ，然后根据题意得到4≤ ＜5，进而求解即可．
3 3
m−2
【解答】解：由不等式3x﹣m≤﹣2可得x≤ ，
3
∵关于x的不等式3x﹣m≤﹣2的正整数解是1，2，3，4，
m−2
∴4≤ ＜5，
3
解得14≤m＜17，
故答案为：14≤m＜17．【变式2】已知关于x的不等式3a+2x＞1至少有三个负整数解，则a的取值范围是 ．
【分析】根据关于x的一元一次不等式3a+2x＞1至少有3个负整数解只能是﹣3、﹣2、﹣1，得出
1−3a
＜−3，求出a的取值范围即可．
2
【解答】解：∵3a+2x＞1，
1−3a
∴x＞ ，
2
∵关于x的不等式3a+2x＞1至少有三个负整数解，
∴关于x的一元一次不等式3a+2x＞1至少有的三个负整数解是：﹣3、﹣2、﹣1，
1−3a
∴ ＜−3，
2
7
解得：a＞ ．
3
7
故答案为：a＞
3
【变式3】已知关于x的不等式2x﹣n＜3（x+1）．
（1）当n＝2025时，该不等式的解集为 ；
（2）若该不等式的负整数解有且只有2个，则n的取值范围是 ．
【分析】（1）将m的值代入，解不等式即可；
（2）先解不等式2x﹣n＜3（x+1），然后根据该不等式的负整数解有且只有2个，即可得到关于n的不
等式，然后求解即可．
【解答】解：（1）当n＝2025时，
2x﹣2025＜3（x+1），
去括号，得：2x﹣2025＜3x+3，
移项、合并同类项，得：﹣x＜2028，
系数化为1，得：x＞﹣2028，
故答案为：x＞﹣2028；
（2）由不等式2x﹣n＜3（x+1），可得：x＞﹣n﹣3，
∵该不等式的负整数解有且只有2个，
∴这三个整数解为﹣2，﹣1，
∴﹣3≤﹣n﹣3＜﹣2，
解得﹣1＜n≤0，故答案为：﹣1＜n≤0．
【必考点7 一元一次不等式的新定义问题】
【例1】定义一种新运算：当a＞b时，a*b＝ab+b；当a＜b时，a*b＝ab﹣b．若3*（x+2）＞0，则x的取
值范围是（ ）
A．﹣1＜x＜1或x＜﹣2 B．x＜﹣2或1＜x＜2
C．﹣2＜x＜1或x＞1 D．x＜﹣2或x＞2
【分析】分当3＞x+2，即x＜1时，当3＜x+2，即x＞1时，两种情况根据题目所给的新定义建立关于 x
的不等式进行求解即可．
【解答】解：当3＞x+2，即x＜1时，
∵3*（x+2）＞0，
∴3（x+2）+（x+2）＞0，
∴3x+6+x+2＞0，
∴x＞﹣2，
∴﹣2＜x＜1；
当3＜x+2，即x＞1时，
∵3*（x+2）＞0，
∴3（x+2）﹣（x+2）＞0，
∴2x+4＞0，
∴x＞﹣2，
∴x＞1；
综上所述，﹣2＜x＜1或x＞1，
故选：C．
【例2】对m，n定义一种新运算“*”，规定：m*n＝am﹣bn+5（a，b均为非零实数），等式右边的运算
是通常的四则运算，例如3*4＝3a﹣4b+5．已知2*3＝1，3*（﹣1）＝10．则关于x的不等式x*（2x﹣
3）＜5的最小整数解为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据2*3＝1，3*（﹣1）＝10建立关于a，b的方程组，求出a与b的值，再由x*（2x﹣3）＜
5得出关于x的不等式，再求出所得不等式的解集即可解决问题．
【解答】解：因为2*3＝1，3*（﹣1）＝10，
{2a−3b+5=1)
所以 ，
3a+b+5=10{a=1)
解得 ，
b=2
所以m*n＝m﹣2n+5．
又因为x*（2x﹣3）＜5，
所以x﹣2（2x﹣3）+5＜5，
解得x＞2，
所以x的最小整数值为3．
故选：C．
【变式1】若定义 max{a，b}是a与b中的较大者，例如：max{1，3}＝3，max{5，5}＝5，若有 y＝
max{x+3，﹣x+8}，那么y的最小值是 ．
【分析】根据题意列出一元一次不等式，再根据结果确定y的最小值．
【解答】解：当x+3≥﹣x+8时，
5
解得x≥ ，
2
∴y＝x+3．
5
∵x≥ ，
2
11
x+3≥ ，
2
11
则y≥ ；
2
当x+3＜﹣x+8，
5
解得x＜ ，
2
∴y＝﹣x+8，
5
∵x＜ ，
2
11
﹣x+8＞ ，
2
11
则y＞ ，
2
11
∴y的最小值为 ，
211
故答案为： ．
2
【变式2】对于实数a，b，我们定义符号min{a，b}：当a≤b时，min{a，b}＝a；当a＞b时，min{a，b}
＝b．例如：min{6，﹣1}＝﹣1，min{7，7}＝7．
根据上面的材料，回答下列问题：
（1）若p＞q，则min{2﹣p，2﹣q}＝ ．
5x−1 5x−1
（2）当min{x−2， }= 时，x的取值范围是 ．
2 2
【分析】（1）根据不等式的性质可得2﹣p＜2﹣q，然后根据定义的新运算即可解答；
5x−1
（2）根据定义的新运算可得： ≤x﹣2，然后进行计算即可解答．
2
【解答】解：（1）∵p＞q，
∴﹣p＜﹣q，
∴2﹣p＜2﹣q，
∴min{2﹣p，2﹣q}＝2﹣p，
故答案为：2﹣p；
5x−1 5x−1
（2）∵min{x−2， }= ，
2 2
5x−1
∴ ≤x﹣2，
2
5x﹣1≤2x﹣4，
5x﹣2x≤﹣4+1，
3x≤﹣3，
x≤﹣1，
故答案为：x≤﹣1．
【变式3】我们定义：如果两个一元一次不等式有公共整数解，那么称这两个不等式互为“和谐不等
式”，其中一个不等式是另一个不等式的“和谐不等式”．
（1）不等式x≥3 x≤﹣1的“和谐不等式”：（填“是”或“不是”）．
（2）若关于x的不等式x+m≥0不是3x﹣1＜2x+5的“和谐不等式”，求m的取值范围；
1
（3）若n≠− ，关于x的不等式x+3＞n与不等式2nx﹣1≤2n﹣x互为“和谐不等式”，求n的取值范
2
围．
【分析】（1）根据“和谐不等式”的定义即可求解；（2）解不等式x+m≥0可得x≥﹣m，解不等式3x﹣1＜2x+5得x＜6，再根据“和谐不等式”的定义可
得m＜﹣5；
（3）分两种情况讨论根据“和谐不等式”的定义得到含n的不等式，解得即可．
【解答】解：（1）∵不等式x≥3与不等式x≤﹣1没有公共整数解，
∴不等式x≥3不是x≤﹣1的“和谐不等式”，
故答案为：不是；
（2）不等式x+m≥0，
解得x≥﹣m，
不等式3x﹣1＜2x+5，
解得x＜6，
∵关于x的不等式x+m≥0不是3x﹣1＜2x+5的“和谐不等式”，
∴m≤﹣6；
（3）不等式x+3＞n，
解得x＞3﹣n，
不等式2nx﹣1≤2n﹣x，
整理得（2n+1）x≤2n+1，
1
①当2n+1＞0，即n＞− 时，x≤1，
2
∵关于x的不等式x+3＞n与不等式2nx﹣1≤2n﹣x互为“和谐不等式”，
1
∴− ＜n＜4；
2
1
②当2n+1＜0，即n＜− 时，x≥1，
2
此时关于x的不等式x+3＞n与不等式2nx﹣1≤2n﹣x互为“和谐不等式”，
1 1
综上所述，n的取值范围为n＜− 或− ＜n＜4．
2 2
【知识点3 用一元一次不等式解决实际问题】
列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即：
（1）审：认真审题，分清已知量、未知量；
（2）设：设出适当的未知数；
（3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超
过”“超过”等关键词的含义；（4）列：根据题中的不等关系，列出不等式；
（5）解：解出所列的不等式的解集；
（6）答：检验是否符合题意，写出答案.
【易错点剖析】
列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、“不大
于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键.
【必考点8 根据实际问题列一元一次不等式】
【例1】小华同学早上7：40前要到达学校，出家门时是7：20，已知他家离学校距离为2600m，他跑步的
速度为180m/min，走路的速度为80m/min，小华同学至少跑步多长时间才能保证不迟到．设小华同学跑
步时间为x min，则x满足的不等式为（ ）
A．180x+80（20﹣x）＜2600 B．180x+80（x﹣20）＞2600
2600−80x 2600−180x
C． +x＜20 D． +x＜20
180 80
【分析】设小华同学跑步时间为 x min，则剩余的路程为（2600﹣180x）m，则走路的时间为
2600−180x
（min），到校时间应小于20min列出不等式即可．
80
2600−180x
【解答】解：由题意得， + x＜20．
80
故选：D．
【例2】棕北中学班级篮球赛如火如荼的进行中，篮球比赛得分规则如下：三分线外进球得 3分（称为三
分球），三分线内进球得2分（称为两分球），不进球得0分．在某次投篮练习中，小明共投篮 25
次，有2次没进球，但得分超过了56分，设小明进了x个三分球，根据题意列不等式为（ ）
A．3x+2（25﹣x）＞56 B．2x+3（25﹣2﹣x）＞56
C．2x+3（25﹣x）＞56 D．3x+2（25﹣2﹣x）＞56
【分析】设小明进了x个三分球，则进了（25﹣2﹣x）个两分球，然后根据“分超过了56分”列出不
等式即可．
【解答】解：由题意得，
3x+2（25﹣2﹣x）＞56，
故选：D．
【变式1】哪吒为助力陈塘关振兴，自瑶池仙圃购得“混天仙桃”1000千克，收购价每千克10金．因东海
龙族作祟，运输途中仙桃遭海水侵蚀，质量损耗 4%．为保障陈塘关防务建设及民生改善，需确保至少20%的利润．设销售单价为x金/千克，则可列不等式为（ ）
1000(1−4%)(x−10)
A． ≥20%
1000×10
1000×(1−4%)x−10×1000
B． ≥20%
10×1000
1000(1−4%)(x−10)
C． ＞20%
1000×10
1000×(1−4%)x−10×1000
D． ＞20%
10×1000
【分析】根据“质量损耗4%，需确保至少20%的利润”列出不等式即可．
1000×(1−4%)x−10×1000
【解答】解：根据题意，得 ≥20%．
10×1000
故选：B．
【变式2】某乒乓球馆有两种计费方案，如表．小鸣和同学们打算周末去此乒乓球馆连续打球 4小时，经
服务生测算后，告知他们包场计费方案会比按人数计费方案便宜，若他们共有x人，根据题意可列不等
式 ．
包场计费：包场每场每小时50元，每人须另付入场费5元
人数计费：每人打球2小时20元，接着续打球每人每小时6元
【分析】根据包场计费方案比按人数计费方案便宜，即可得出关于x的一元一次不等式．
【解答】解：根据题意可列不等式：50×4+5x＜20x+（4﹣2）×6x．
故答案为：50×4+5x＜20x+（4﹣2）×6x．
【变式3】2025年3月，第18届国际田径联合会世界室内田径锦标赛在南京举办，比赛期间某商店购进了
一批服装，每件进价为200元，并以每件300元的价格出售，锦标赛结束后，商店准备将这批服装降价
处理，打x折出售，使得每件衣服的利润不低于5%，根据题意可列出来的不等式： ．
【分析】根据“每件衣服的利润不低于5%”即可列出不等式．
x
【解答】解：根据题意得：300× −200≥200×5%．
10
x
故答案为：300× −200≥200×5%．
10
【必考点9 一元一次不等式的实际应用（最多至少问题）】
【例1】已知某品牌的饮料有大瓶装与小瓶装之分．某超市花了 3500元购进一批该品牌的饮料共 1000
瓶，其中大瓶和小瓶饮料的进价及售价如下表所示：大瓶 小瓶
进价（元/瓶） 5 2
售价（元/瓶） 7 3
（1）该超市购进大瓶和小瓶饮料各多少瓶？
（2）在大瓶饮料售出200瓶，小瓶饮料售出100瓶后，商家决定将剩下的小瓶饮料的售价降低0.5元销
售，并把其中一定数量的小瓶饮料作为赠品，在顾客一次性购买大瓶饮料时，每满 2瓶就送1瓶小瓶饮
料，送完即止．超市要使这批饮料售完后获得的利润不低于1250元，那么小瓶饮料作为赠品最多只能
送出多少瓶？
【分析】（1）设该超市购进x瓶大瓶饮料，则购进（1000﹣x）瓶小瓶饮料，利用进货总价＝进货单价
×购进数量，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即购进大瓶饮料的数量），再将其代
入（1000﹣x）中，即可求出购进小瓶饮料的数量；
（2）设小瓶饮料作为赠品送出m瓶，利用总利润＝销售单价×销售数量﹣进货总价，结合总利润不少
于1250元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
【解答】解：（1）设该超市购进x瓶大瓶饮料，则购进（1000﹣x）瓶小瓶饮料，
根据题意得：5x+2（1000﹣x）＝3500，
解得：x＝500，
∴1000﹣x＝1000﹣500＝500（瓶）．
答：该超市购进500瓶大瓶饮料，500瓶小瓶饮料；
（2）设小瓶饮料作为赠品送出m瓶，
根据题意得：7×500+3×100+（3﹣0.5）（500﹣100﹣m）﹣3500≥1250，
解得：m≤20，
∴m的最大值为20．
答：小瓶饮料作为赠品最多只能送出20瓶．
【例2】某中学为了创建书香校园，去年购买了一批图书．其中科普书的单价比文学书的单价多 4元，买
100本科普书和100本文学书共用2000元．
（1）求去年购买的文学书和科普书的单价各是多少元？
（2）若今年文学书的单价比去年提高了25%，科普书的单价与去年相同，这所中学今年计划再购买文
学和科普书共200本，且购买文学书和科普书的总费用不超过2135元，这所中学今年至少要购买多少
本文学书？
【分析】（1）设去年文学书单价为x元，则科普书单价为（x+4）元，根据买100本科普书和100本文学书共用2000元，列出方程，即可得出答案；
（2）设这所学校今年购买y本文学书，根据购买文学书和科普书的总费用不超过 2135元，列出不等
式，求出不等式的解集即可得出答案．
【解答】解：（1）设去年文学书单价为x元，则科普书单价为（x+4）元，根据题意得：
100（x+x+4）＝2000，
解得：x＝8，
当x＝8时x+4＝12，
答：去年文学书单价为8元，则科普书单价为12元．
（2）设这所学校今年购买y本文学书，根据题意得．
8×（1+25%）y+12（200﹣y）≤2135，
1
y≥132 ，
2
∵y为整数，
∴y最小值是133；
答：这所中学今年至少要购买133本文学书．
【变式1】近期，我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房突破了142亿，商家推出A、B两种类型的哪
吒纪念娃娃．已知购进7件A种娃娃和购进10件B种娃娃的费用相同；每个A种娃娃的进价比每个B
种娃娃的进价多3元．
（1）每个A种娃娃和每个B种娃娃的进价分别是多少元？
（2）根据网上预约的情况，该商家计划用不超过1600元的资金购进A、B两种娃娃共200个，那么最
多购买A种娃娃多少个？
【分析】（1）根据题意，设每个B种娃娃的进价是x元，则每个A种娃娃的进价是（x+3）元，根据题
意列出一元一次方程即可得到答案；
（2）设购买A种娃娃m个，则购买B种娃娃（200﹣m）个，根据题意列出一元一次不等式即可得到答
案．
【解答】解：（1）设每个B种娃娃的进价是x元，则每个A种娃娃的进价是（x+3）元．
由题意可得7（x+3）＝10x，
整理得，3x＝21，
解得x＝7，
则x+3＝10．即每个A种娃娃进价10元，每个B种娃娃进价7元；
（2）设购买A种娃娃m个，则购买B种娃娃（200﹣m）个．
10m+7（200﹣m）≤1600，
整理得，3m≤200，
200
解得m≤ ≈66.7，
3
因为m为整数，所以m最大为66，
即最多购买A种娃娃66个．
【变式2】第9届哈尔滨亚冬会于2025年2月8日﹣2月14日举行．亚冬会期间其吉祥物“滨滨和妮妮”
系列产品热卖．某商店计划购进A、B两款型号的吉祥物．已知购买A型号吉祥物10套、B型号吉祥物
5
4套共需1000元，且B型号吉祥物每套价格是A型号吉祥物每套价格的 倍．
3
（1）分别求A、B型号吉祥物每套的价格；
（2）经市场调研，A型号吉祥物每套零售价为80元，B型号吉祥物每套零售价为150元．该商家决定
购进A、B两种型号吉祥物共200套，若要使这批吉祥物按零售价全部售完后的利润不低于 8500元，求
A型号吉祥物最多购进多少套．
5
【分析】（1）设A型号吉祥物每套价格是x元，则B型号吉祥物每套价格是 x元，根据购买A型号吉
3
祥物10套、B型号吉祥物4套共需1000元，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即A
5
型号吉祥物每套的价格），再将其代入 x中，即可求出B型号吉祥物每套的价格；
3
（2）设A型号吉祥物购进m套，则B型号吉祥物购进（200﹣m）套，利用总利润＝每套A型号吉祥物
的销售利润×购进A型号吉祥物的数量+每套B型号吉祥物的销售利润×购进B型号吉祥物的数量，结合
总利润不低于8500元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
5
【解答】解：（1）设A型号吉祥物每套价格是x元，则B型号吉祥物每套价格是 x元，
35
根据题意得：10x+4× x＝1000，
3
解得：x＝60，
5 5
∴ x= ×60＝100（元）．
3 3
答：A型号吉祥物每套价格是60元，B型号吉祥物每套价格是100元；
（2）设A型号吉祥物购进m套，则B型号吉祥物购进（200﹣m）套，
根据题意得：（80﹣60）m+（150﹣100）（200﹣m）≥8500，
解得：m≤50，
∴m的最大值为50．
答：A型号吉祥物最多购进50套．
【变式3】如图，是某牛奶的“营养成分表”及相关说明．（注：NRV%表示100ml牛奶中相关营养的含量
占一个人每日所需该种营养总量的百分比的参考值）
假设一个同学每日所需相关营养的含量恰好符合根据该牛奶“营养成分表”中的信息计算出的结果，请
解决下列问题：
（1）该同学每日所需碳水化合物是 g；
（2）该同学的钙的吸收率为80%，求他每天喝多少毫升的该牛奶，才能恰好满足一天的钙的摄入？
（不计其他渠道摄入的钙）
（3）该同学某天早餐喝了200ml该牛奶，吃了一个鸡蛋和一块牛排（每 100g牛排中蛋白质含量为
20g）．如果他在早餐中摄入的蛋白质全部吸收，且已经超过当日他所需蛋白质总量，那么这块牛排的
质量至少是多少克？（用一元一次不等式解决问题，结果保留整数．）
【分析】（1）根据表格中给出数据直接计算即可；
（2）设该同学每天喝x毫升的该牛奶，根据该同学喝的牛奶的含钙量×钙的吸收率＝营养表中的含钙量
列方程即可；（3）这块牛排的质量是y克，根据他摄入蛋白质的总量之和＞营养表中的蛋白质量，列出不等式即
可．
【解答】解：（1）该同学每日所需碳水化合物为：5.5÷2%＝275（g），
故答案为：275；
（2）设该同学每天喝x毫升的该牛奶，
x 125
根据题意得： ×125×80% = ，
100 16%
解得x＝781.25，
答：该同学每天喝781.25毫升的该牛奶，才能恰好满足一天的钙的摄入；
（3）这块牛排的质量是y克，
200 y 3.8
根据题意得： ×3.8+3.8×2+ ×20＞ ，
100 100 6%
2
解不等式得：y＞240 ，
3
∵y取整数，
∴y的最小值为241，
答：这块牛排的质量至少是241g．
【必考点10 一元一次不等式的实际应用（方案选择问题）】
【例1】研学旅行继承和发展了我国传统游学“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，成为素质
教育的新内容和新方式．某中学计划组织七年级师生赴某研学基地开展研学活动．现有A，B两种型号
的客车，载客量和租金如下表所示：
A型号客车 B型号客车
载客量（人/辆） 50 45
租金（元/辆） 600 520
已知学校租用A，B两种型号的客车共10辆，租车的总费用不超过5800元．
（1）最多能租用多少辆A型号客车？
（2）若七年级师生共有480人，请写出所有可行的租车方案．
【分析】（1）设租用A型号客车x辆，则租用B型号客车（10﹣x）辆．根据题意列出不等式，解不等
式，即可求解；
1
（2）根据题意得50x+45（10﹣x）≥480，结合（1）中的结论，x为整数，且x≤7 ，得出整数解，即
2
可求解．【解答】解：（1）设租用A型号客车x辆，则租用B型号客车（10﹣x）辆，
依题意，得600x+520（10﹣x）≤5800，
1
解得：x≤7 ，
2
又∵x为整数，
∴x的最大值为7，
答：最多能租用7辆A型号客车；
（2）依题意，得50x+45（10﹣x）≥480，
解得：x≥6，
1
又∵x为整数，且x≤7 ，
2
∴x＝6或7，
∴有两种租车方案．方案一：租用A型号客车6辆，B型号客车4辆；
方案二：租用A型号客车7辆，B型号客车3辆．
【例2】疫情期间，政府积极组织各商家开通便民服务，甲乙两商场以同样的价格出售同样的商品，并且
又各自推出不同的优惠方案，在甲商场累计购物超过200元后，超出200元的部分按85%收费，在乙商
店累计超过100元后，超出部分按照90%收费．
（1）若小明妈妈准备用420元去采购物资，你建议小明妈妈去 商场花费少（直接写出“甲”或
“乙”）；
（2）设某顾客累计了购物花费x（x＞200）元，若在甲商场购物，则实际花费 元，若在乙商场
购物，则实际花费 元．（均用含x的式子表示）；
（3）某顾客计划采购一件商品，经过测算选择在乙商场更优惠，求该顾客购买该商品的标价范围．
【分析】（1）计算出买160元的东西分别在甲、乙两商场的花费，然后得出在乙商场更少；
（2）根据甲、乙的优惠政策进行解答；
（3）根据（2）中表示出在乙两商场的花费列出的不等式，求出最合适的消费方案．
【解答】解：（1）在甲商店购买420元的东西需要花费：200+（420﹣200）×85%＝387（元），
在乙商场购买420元的东西需要花费：
100+（420﹣100）×90%＝388，
∵，388＞387，
∴建议小明妈妈去甲商场花费少；
故答案为：甲；（2）在甲商场购物：200+（x﹣200）×85%（或0.85x+30），
在乙商场购物：100+（x﹣100）×90%（或0.9x+10）；
故答案为：（0.85x+30）；（0.9x+10）；
（3）若到乙商场购物花费较少，则：
200+（x﹣200）×85%＞100+（x﹣100）×90%，
解得：x＜400，
∴当200＜x＜400时，到乙商场购物花费较少．
当100＜x＜200时，到乙商场购物花费较少．
∴100﹣400乙商场购物花费较少．
【变式1】任务背景：我校在世界读书日启动“书香校园”活动，我班在参与读书活动中，计划购进一些
笔记本用于摘抄“好词好句”．
驱动任务：购买笔记本的最省钱方案．
数据信息
信息一 购进A、B两种型号的笔记本．
信息二 已知 A 型号笔记本 12 元/个，B 型号笔记本 8
元/个．
问题解决
任务一 我班计划购进A、B两种型号的笔记本共50本，且
购买费用不超过528元，则最多可以购买A型号笔
记本多少本？
任务二 在满足任务一的条件下，要求购买 B型号的笔记本
2
数不多于A型号笔记本数的 ，我班购进笔记本的
3
方案有哪几种？哪种方案最省钱？
【分析】任务一：设可以购买A型号笔记本x本，则可以购买B型号笔记本（50﹣x）本，根据购买费
用不超过528元，列出一元一次不等式，解不等式即可；
2
任务二：购买B型号的笔记本数不多于A型号笔记本数的 ，列出一元一次不等式，解不等式，再由
3
（1）可知，x≤32，得30≤x≤32，然后求出正整数解，即可解决问题．
【解答】解：任务一：设可以购买A型号笔记本x本，则可以购买B型号笔记本（50﹣x）本，
由题意得：12x+8（50﹣x）≤528，
解得：x≤32，
答：最多可以购买A型号笔记本32本；2
任务二：50﹣x≤ x，
3
解得：x≥30，
由（1）可知，x≤32，
∴30≤x≤32，
∵x为正整数，
∴x的值为30，31，32，
∴购进笔记本的方案有3种：
①购买A型号笔记本30本，B型号笔记本20本，费用为12×30+8×20＝520（元）；
②购买A型号笔记本31本，B型号笔记本19本，费用为12×31+8×19＝524（元）；
③购买A型号笔记本32本，B型号笔记本18本，费用为12×32+8×18＝528（元）；
∵520＜524＜528，
∴购买A型号笔记本30本，B型号笔记本20本，最省钱．
【变式2】新学年，学校计划购买30副羽毛球拍和若干盒羽毛球，已知体育用品商店的标价及活动如下：
羽毛球拍100元/副，羽毛球30元/盒，现在正值活动期间，有以下两种优惠方案：
方案一：整体打九折；
方案二：原价购买两副羽毛球拍赠送一盒羽毛球．
（1）学校计划购买30副羽毛球拍和100盒羽毛球，若选择方案二共需花费 元．
（2）学校计划购买30副羽毛球拍和a盒羽毛球（a＞15）．
若选择方案一购买，需要花费 元（用含a的代数式表示）；
若选择方案二购买，需要花费 元（用含a的代数式表示）．
（3）学校想购买30副羽毛球拍和a盒羽毛球，应该如何选择购买方案能更省钱？
【分析】（1）根据题意列式计算，可得选择方案二共需花费5550元；
（2）选择方案一购买，需要花费（30×100+30a）×0.9＝（27a+2700）元，选择方案二购买，需要花费
30
30×100+30（a− ）＝（30a+2550）元；
2
（3）分三种情况列不等式（或方程）可解得答案．
30
【解答】解：（1）∵30×100+30×（100− ）＝3000+30×85＝5550（元），
2
∴选择方案二共需花费5550元；
故答案为：5550；
（2）选择方案一购买，需要花费（30×100+30a）×0.9＝（27a+2700）元，30
选择方案二购买，需要花费30×100+30（a− ）＝（30a+2550）元，
2
故答案为：（27a+2700），（30a+2550）；
（3）由27a+2700＜30a+2550，解得a＞50，
∴当a＞50时，选择方案一更省钱；
由27a+2700＝30a+2550，解得a＝50，
∴当a＝50时，选择两种方案相同；
由27a+2700＞30a+2550，解得a＜50，
∴当a＜50时，选择方案二更省钱．
【变式3】某厂生产一种产品，每件产品的生产成本价始终不变．该厂今年 3月份将产品的出厂价定为50
元/件，结果销售了3600件；4月份将产品的出厂价定为54元/件，结果销售了3000．已知该厂3月份
与4月份销售该产品所获的利润相同．备注：销售利润＝（每件产品的出厂价﹣每件产的成本价）×销
售数量
（1）求每件产品的生产成本价；
（2）若在生产过程中，平均每生产1件产品产生0.2m3的污水，为达到环保要求，工厂设计了如表所示
的两种污水处理方案并准备实施．
方案 费用
1：排到污水处理厂处理 每处理1m3污水需付12元排污费
2：本厂净化处理后排放 每月排污设备损耗费10000元，且每处理1m3污水需付2元排
污费
单纯从经济效益角度考虑，你认为该工厂应如何选择污水处理方案？
【分析】（1）设每件产品的生产成本价为x元，根据该厂3月份与4月份销售该产品所获的利润相
同，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设该工厂每个月生产y件产品，则每个月产生0.2ym3的污水，分方案1费用低、两种方案费用相
同以及方案2费用低三种情况，找出关于y的一元一次不等式（或一元一次方程），解之即可得出结
论．
【解答】解：（1）设每件产品的生产成本价为x元，
依题意，得：3600（50﹣x）＝3000（54﹣x），
解得：x＝30．
答：每件产品的生产成本价为30元．
（2）设该工厂每个月生产y件产品，则每个月产生0.2ym3的污水．当选择方案1费用低时，12×0.2y＜10000+2×0.2y，
解得：y＜5000；
当选择两种方案费用相同时，12×0.2y＝10000+2×0.2y，
解得：y＝5000；
当选择方案2费用低时，12×0.2y＞10000+2×0.2y，
解得：y＞5000．
∴当该工厂月生产量少于5000件时，选择污水处理方案1省钱；当该工厂月生产量等于5000件时，选
择两种污水处理方案费用相同；当该工厂月生产量大于5000件时，选择污水处理方案2省钱．
