专题03方程与方程组（5年汇编）（浙江专用）（解析版）_2026秋初中教辅合集_2027学科网&_2027新好题汇编_2027新好题汇编2022-2026年中考数学真题分类汇编（浙江专用）

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专题03 方程与方程组
5 年真题1 年模拟
考点分类
浙江考情（2022-2026）
命题规律
考点01 一元一次方
程及其应用
2026·浙江·中考
2023·浙江嘉兴·中考
2023·浙江温州·中考
2023·浙江衢州·中考
2022·浙江嘉兴·中考
2022·浙江绍兴·中考
2022·浙江杭州·中考
2022-2026 年浙江中考在本考点共收录7 道真题，主要
考查根据实际数量关系列一元一次方程、解一元一次方
程以及辨析解方程过程中的错误。命题素材包括比赛积
分、古代生丝损耗、营养成分等，体现出较强的生活化
与数学文化特点。2026 年省级命题继续采用比赛积分情
境考查方程建模，说明“读懂数量关系并正确列式”仍
是主要方向。题目整体难度不高，但容易在去分母、单
位换算、括号处理和未知量表示上失分。复习时应同时
训练规范解方程和从文字情境中提取等量关系。
考点02 二元一次方
程（组）及其应用
2026·浙江·中考
2025·浙江·中考
2024·浙江·中考
2023·浙江·中考
2023·浙江宁波·中考
2023·浙江温州·中考
2023·浙江·中考
2023·浙江衢州·中考
2023·浙江台州·中考
2022·浙江杭州·中考
2022·浙江宁波·中考
2022·浙江嘉兴·中考
2022·浙江衢州·中考
2022·浙江台州·中考
2022·浙江舟山·中考
2022·浙江绍兴·中考
2022-2026 年浙江中考在本考点共收录16 道真题，是专
题03 中考查最稳定的考点。题型包括直接解方程组、
判断方程的解、根据实际情境列方程或方程组，以及将
方程组与图形面积、行程路线、数学文化材料结合。
2022-2023 年各地市卷以列方程组为主，常见情境涉及
票价、资源分配、足球积分、质量配比和古代数学问题；
2024-2026 年省级命题连续考查方程组的解法或建模，
说明该考点具有较强的延续性。命题趋势是由单纯消元
逐步走向复杂材料阅读和多数量关系建模。复习时既要
熟练掌握代入消元法、加减消元法，也要准确区分“总
量关系”和“倍数、差量关系”。
考点03 分式方程的
解法与应用
2026·浙江·中考
2025·浙江·中考
2022-2026 年浙江中考在本考点共收录11 道真题，且
2024-2026 年省级命题连续出现，考查稳定。题目既包
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2024·浙江·中考
2023·浙江台州·中考
2023·浙江嘉兴·中考
2022·浙江宁波·中考
2022·浙江台州·中考
2022·浙江丽水·中考
2022·浙江金华·中考
2022·浙江嘉兴·中考
2022·浙江衢州·中考
括直接解分式方程、由分式值建立方程和判断解题过
程，也包括工程效率、平均量、单价费用和新定义运算
等应用。直接计算题重点考查去分母、整式方程求解和
验根；应用题则要求根据平均数、单价或单位费用建立
分式关系。2023 年的错解辨析题和2022 年的新定义题
表明，命题已不局限于机械求解，而更加重视转化思想、
增根意识和方法理解。复习时必须强化取值范围的限制
和验根步骤，并注意与专题02 的分式恒等变形严格区
分。
考点04 一元二次方
程的解法与根的判
别式
2026·浙江·中考
2022·浙江温州·中考
2022-2026 年浙江中考在本考点共收录2 道真题，现有
题量较少，均以选择题形式考查一元二次方程根的判别
式。考查内容分别为含参数方程根的情况判断和由两个
相等实数根反求参数，核心是根据判别式与零的大小关
系判断根的情况。现有真题尚未覆盖配方法、公式法、
因式分解法等直接解法，因此当前题库覆盖面不足。
2026 年省级命题重新考查根的判别式，说明该知识点仍
具有现实命题价值。复习时应补充直接解方程、选择适
当解法、含参数根的情况和根与系数关系之间的综合
题。
考点05 一元二次方
程的实际应用
2023·浙江湖州·中考
2023·浙江衢州·中考
2023·浙江金华·中考
2022·浙江杭州·中考
2022·浙江衢州·中考
2022-2023 年浙江中考在本考点共收录5 道真题，
2024-2026 年未直接收录。题目主要围绕平均增长率、
传染传播、矩形面积变化和包装盒体积建立一元二次方
程，既考查列方程，也考查结合实际意义取舍方程的根。
增长率和传播问题突出连续变化模型，几何应用则要求
把边长变化转化为面积或体积关系。2023 年金华题还将
唯一解与判别式结合，综合性较强。复习时应重点掌握
增长率模型、传播模型、面积体积模型，并训练对负根、
超范围根等不合实际解的舍去说明。
考点01 一元一次方程及其应用
1．（2026·浙江·中考真题）2026 年“吴越杯”浙江省城市足球联赛开赛，规定胜一场积3 分，平一场积
1 分，负一场积0 分．某队在10 场比赛中负了2 场，共积20 分，求该队的胜场数．设该队胜了x 场，则x
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满足的方程是（
）
A．͵ㄠ〱ͳͲ െʹ ൈͳ 䳌ʹͲ
B．͵ㄠ〱ͳͲ െʹ െㄠൈͳ 䳌ʹͲ
C．͵ㄠ〱ͳͲ ൈͳ 䳌ʹͲ
D．͵ㄠ〱ͳͲ െㄠൈͳ 䳌ʹͲ
【答案】B
【分析】总比赛10场，负2 场，胜ㄠ场，则平ͳͲ െʹ െㄠ场，胜场总积分为͵ㄠ分，平场总积分为ͳͲ െʹ െ
ㄠൈͳ 分，再由总积分为20 分，列出关于ㄠ的一元一次方程即可．
【详解】解：总比赛10 场，负2 场，胜ㄠ场，则平ͳͲ െʹ െㄠ场，胜场总积分为͵ㄠ分，平场总积分
为ͳͲ െʹ െㄠൈͳ 分，
∵总积分为20 分，
∴͵ㄠ〱ͳͲ െʹ െㄠൈͳ 䳌ʹͲ．
2．（2023·浙江·中考真题）古代中国的数学专著《九章算术》中有一题：“今有生丝三十斤，干之，耗三斤
十二两．今有干丝一十二斤，问生丝几何？”意思是：“今有生丝͵Ͳ 斤，干燥后耗损͵ 斤ͳʹ 两（古代中国
ͳ 斤等于ͳ͸ 两）．今有干丝ͳʹ 斤，问原有生丝多少？”则原有生丝为__________斤．
【答案】
ͻ͸
͹
【分析】设原有生丝ㄠ斤，根据题意列出方程，解方程即可求解．
【详解】解：设原有生丝ㄠ斤，依题意，
͵Ͳ
͵Ͳ െ͵ ͳʹ
ͳ͸
䳌ㄠ
ͳʹ
解得：ㄠ䳌
ͻ͸
͹ ，
故答案为：
ͻ͸
͹ ．
3．（2023·浙江温州·中考真题）一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的1.5 倍，碳水化合
物、蛋白质与脂肪的含量共30g．设蛋白质、脂肪的含量分别为ㄠg ，ݕg ，可列出方程为（
）
A．
ͷ
ʹ ㄠ〱ݕ䳌͵Ͳ
B．ㄠ〱
ͷ
ʹ ݕ䳌͵Ͳ
C．
͵
ʹ ㄠ〱ݕ䳌͵Ͳ
D．ㄠ〱
͵
ʹ ݕ䳌͵Ͳ
【答案】A
【分析】根据碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g 列方程．
【详解】解：设蛋白质、脂肪的含量分别为ㄠg，ݕg，则碳水化合物含量为ሺͳ案ͷㄠ耀g，
则：ㄠ〱ͳ案ͷㄠ〱ݕ䳌͵Ͳ，即
ͷ
ʹ ㄠ〱ݕ䳌͵Ͳ，
故选A．
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4．（2023·浙江衢州·中考真题）小红在解方程
͹ㄠ
͵ 䳌
Ͷㄠെͳ
͸
〱ͳ 时，第一步出现了错误：
解：ʹ ൈ͹ㄠ䳌Ͷㄠെͳ 〱ͳ，
……
(1)请在相应的方框内用横线划出小红的错误处．
(2)写出你的解答过程．
【答案】(1)
(2)ㄠ䳌
ͳ
ʹ.
【分析】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，
求出解
（1）根据等式的性质，解一元一次方程的步骤即可判断；
（2）首先去分母、然后去括号、移项、合并同类项、次数化成1 即可求解．
【详解】（1）略
（2）解：
͹ㄠ
͵ 䳌
Ͷㄠെͳ
͸
〱ͳ，
去分母，得，ʹ ൈ͹ㄠ䳌Ͷㄠെͳ 〱͸，
移项，得：ͳͶㄠെͶㄠ䳌െͳ 〱͸，
合并同类页，得：ͳͲㄠ䳌ͷ，
解得：ㄠ䳌
ͳ
ʹ．
5．（2022·浙江嘉兴·中考真题）某动物园利用杠杆原理称象：如图，在点P 处挂一根质地均匀且足够长的
钢梁（呈水平状态），将装有大象的铁笼和弹簧秤（秤的重力忽略不计）分别悬挂在钢梁的点A，B 处，当
钢梁保持水平时，弹簧秤读数为k（N）．若铁笼固定不动，移动弹簧秤使ܤܲ
扩大到原来的n（݊
‴ ͳ）倍，
且钢梁保持水平，则弹簧秤读数为_______（N）（用含n，k 的代数式表示）．
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【答案】݇݊
【分析】根据杠杆的平衡条件是：动力×动力臂=阻力×阻力臂，计算即可．
【详解】设弹簧秤新读数为x
根据杠杆的平衡条件可得：݇ڄܲ
ܤ䳌ㄠڄ݊ܲ
ܤ
解得ㄠ䳌݇݊
故答案为：݇݊．
6．（2022·浙江绍兴·中考真题）元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一
百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之．” 其题意为：“良马每天行ʹͶͲ 里，劣马每天行ͳͷͲ 里，
劣马先行ͳʹ 天，良马要几天追上劣马？”答：良马追上劣马需要的天数是______．
【答案】20
【分析】设良马x 天追上劣马，根据良马追上劣马所走路程相同可得：240x＝150（x＋12），即可解得
良马20 天追上劣马．
【详解】解：设良马x 天追上劣马，
根据题意得：240x＝150（x＋12），
解得x＝20，
答：良马20 天追上劣马；故答案为：20．
7．（2022·浙江杭州·中考真题）计算：െ͸ ൈ
ʹ
͵ െ■െʹ͵．圆圆在做作业时，发现题中有一个数字被
墨水污染了．
(1)如果被污染的数字是
ͳ
ʹ，请计算െ͸ ൈ
ʹ
͵ െ
ͳ
ʹ െʹ͵．
(2)如果计算结果等于6，求被污染的数字．
【答案】(1)-9
(2)3
【分析】（1）根据有理数混合运算法则计算即可；
（2）设被污染的数字为x，由题意，得െ͸ ൈ
ʹ
͵ െㄠെʹ͵ 䳌͸，解方程即可；
【详解】（1）解：െ͸ ൈ
ʹ
͵ െ
ͳ
ʹ െʹ͵ 䳌െ͸ ൈ
ͳ
͸ െͺ 䳌െͳ െͺ 䳌െͻ；
（2）设被污染的数字为x，
由题意，得െ͸ ൈ
ʹ
͵ െㄠെʹ͵ 䳌͸，解得ㄠ䳌͵，
所以被污染的数字是3．
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考点02 二元一次方程（组）及其应用
1．（2026·浙江·中考真题）解方程组：ㄠ〱ʹݕ䳌͸
ʹㄠ〱ݕ䳌ͻ ．
【答案】ㄠ䳌Ͷ
ݕ䳌ͳ
【分析】利用加减消元法求解即可．
【详解】解：
ㄠ〱ʹݕ䳌͸①
ʹㄠ〱ݕ䳌ͻ②，
①ൈʹ 得，ʹㄠ〱Ͷݕ䳌ͳʹ③，
③െ②得，͵ݕ䳌͵，
解得，ݕ䳌ͳ，
把ݕ䳌ͳ 代入②得，ʹㄠ〱ͳ 䳌ͻ，
解得，ㄠ䳌Ͷ，
因此原方程组的解为ㄠ䳌Ͷ
ݕ䳌ͳ ．
2．（2025·浙江·中考真题）手工社团的同学制作两种手工艺品A 和B，需要用到彩色纸和细木条，单个
手工艺品材料用量如下表．
材料
类别
彩色纸（张）
细木条（捆）
手工艺品A
5
3
手工艺品B
2
1
如果一共用了17 张彩色纸和10 捆细木条，问他们制作的两种手工艺品各有多少个？设手工艺品A 有x 个，
手工艺品B 有y 个，则x 和y 满足的方程组是（
）
A．ͷㄠ〱͵ݕ䳌ͳ͹
ʹㄠ〱ݕ䳌ͳͲ
B．ͷㄠ〱͵ݕ䳌ͳͲ
ʹㄠ〱ݕ䳌ͳ͹
C．ͷㄠ〱ʹݕ䳌ͳ͹
͵ㄠ〱ݕ䳌ͳͲ
D．ͷㄠ〱ʹݕ䳌ͳͲ
͵ㄠ〱ݕ䳌ͳ͹
【答案】C
【分析】本题考查根据实际问题，列二元一次方程，根据题意，建立关于彩色纸和细木条用量的二元
一次方程组．
【详解】解：每个手工艺品A 用5 张，每个B 用2 张，总用量为17 张．因此可列方程为：ͷㄠ〱ʹݕ䳌ͳ͹；
每个手工艺品A 用3 捆，每个B 用1 捆，总用量为10 捆．因此可列方程为：͵ㄠ〱ݕ䳌ͳͲ；
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故方程组为：ͷㄠ〱ʹݕ䳌ͳ͹
͵ㄠ〱ݕ䳌ͳͲ ；
故选C．
3．（2024·浙江·中考真题）解方程组：
ʹㄠെݕ䳌ͷ
Ͷㄠ〱͵ݕ䳌െͳͲ
【答案】
ㄠ䳌
ͳ
ʹ
ݕ䳌െͶ
【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用①×3＋②得，ͳͲㄠ䳌ͷ，解得ㄠ䳌
ͳ
ʹ，再把ㄠ䳌
ͳ
ʹ代入①
求出ݕ䳌െͶ 即可.
【详解】解：
ʹㄠെݕ䳌ͷ①
Ͷㄠ〱͵ݕ䳌െͳͲ②
①×3＋②得，ͳͲㄠ䳌ͷ
解得ㄠ䳌
ͳ
ʹ，
把ㄠ䳌
ͳ
ʹ代入①得ͳ െݕ䳌ͷ，
解得ݕ䳌െͶ
∴
ㄠ䳌
ͳ
ʹ
ݕ䳌െͶ
4．（2023·浙江·中考真题）如图，分别以ܽ
ǡܾǡ݉
ǡ݊
为边长作正方形，已知݉
‴݊
且满足ܽ݉
െܾ݊
䳌ʹ，ܽ݊
〱ܾ݉
䳌Ͷ．
（1）若ܽ
䳌͵ǡܾ䳌Ͷ，则图1 阴影部分的面积是__________；
（2）若图1 阴影部分的面积为͵，图2 四边形ܣܤ形ܦ的面积为ͷ，则图2 阴影部分的面积是__________．
【答案】
ʹͷ
ͷ
͵
【分析】（1）根据正方形的面积公式进行计算即可求解；
（2）根据题意，解方程组得出݉
䳌
ʹܽ〱Ͷܾ
͵݊
䳌
Ͷܽെʹܾ
͵
，根据题意得出݉
〱݊
䳌
ͳͲ，进而得出ܽ
䳌
ͻ ͳͲെ͵Ͳ
ʹͲܾ
䳌
͵ ͳͲ〱͵ ͵Ͳ
ʹͲ
，
根据图2 阴影部分的面积为݉݊
，代入进行计算即可求解．
【详解】解：（1）ܽ
䳌͵ǡܾ䳌Ͷ，图1 阴影部分的面积是ܽ
ʹ 〱ܾ
ʹ 䳌͵ʹ 〱Ͷʹ 䳌ʹͷ，
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故答案为：ʹͷ．
（2）∵图1 阴影部分的面积为3，图2 四边形ܣܤ形ܦ的面积为ͷ，
∴ܽʹ 〱ܾ
ʹ 䳌͵，
ͳ
ʹ݉
〱݊݉
〱݊
䳌ͷ，即݉
〱݊
ʹ 䳌ͳͲ
∴݉
〱݊
䳌
ͳͲ（负值舍去）
∵ܽ݉
െܾ݊
䳌ʹ，ܽ݊
〱ܾ݉
䳌Ͷ．
解得：݉
䳌
ʹܽ〱Ͷܾܽ
ʹ〱ܾʹ݊
䳌
Ͷܽെʹܾܽ
ʹ〱ܾʹ
∵ܽʹ 〱ܾ
ʹ 䳌͵①
∴݉
䳌
ʹܽ〱Ͷܾ
͵݊
䳌
Ͷܽെʹܾ
͵
，
∴݉
〱݊
䳌
͸ܽ〱ʹܾ
͵
䳌ʹܽ〱
ʹ
͵ܾ，
∴ʹܽ〱
ʹ
͵ܾ
䳌
ͳͲ②
联立①②解得：ܽ
䳌
͵Ͳ〱ͻ ͳͲ
ʹͲܾ
䳌
͵ ͳͲെ͵ ͵Ͳ
ʹͲ
（ܾ为负数舍去）或ܽ
䳌
ͻ ͳͲെ͵Ͳ
ʹͲܾ
䳌
͵ ͳͲ〱͵ ͵Ͳ
ʹͲ
∴ʹܽ〱Ͷܾ
䳌
͵Ͳ〱͵ ͳͲ
ʹ
，Ͷܽെʹܾ
䳌
െ͵Ͳ〱͵ ͳͲ
ʹ
图2 阴影部分的面积是
ͳ
ʹ
ʹ݉
ൈ
ʹ݊
䳌݉݊݉݊
䳌ʹܽ〱Ͷܾ
Ͷܽെʹܾ
ͻ
䳌
͵Ͳ 〱͵ ͳͲ
ʹ
ൈെ
͵Ͳ 〱͵ ͳͲ
ʹ
ͻ
䳌ͷ
͵
故答案为：
ͷ
͵．
5．（2023·浙江宁波·中考真题）茶叶作为浙江省农业十大主导产业之一，是助力乡村振兴的民生产业．某
村有土地60 公顷，计划将其中ͳͲ%的土地种植蔬菜，其余的土地开辟为茶园和种植粮食，已知茶园的面积
比种粮食面积的2 倍少3 公顷，问茶园和种粮食的面积各多少公顷？设茶园的面积为x 公顷，种粮食的面
积为y 公顷，可列方程组为(
)
A．ㄠ〱ݕ䳌͸Ͳ
ݕ䳌ʹㄠെ͵
B．ㄠ〱ݕ䳌ͷͶ
ㄠ䳌ʹݕെ͵
C．ㄠ〱ݕ䳌͸Ͳ
ㄠ䳌ʹݕെ͵
D．ㄠ〱ݕ䳌ͷͶ
ݕ䳌ʹㄠെ͵
【答案】B
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【分析】根据某村有土地60 公顷，计划将其中ͳͲ%的土地种植蔬菜，得到种植茶园和种植粮食的面积
为ͻͲ%，结合茶园的面积比种粮食面积的2 倍少3 公顷，列出方程组即可．
【详解】解：设茶园的面积为x 公顷，种粮食的面积为y 公顷，
由题意，得：ㄠ〱ݕ䳌͸Ͳ ͳ െͳͲ%
ㄠ䳌ʹݕെ͵
，
即：ㄠ〱ݕ䳌ͷͶ
ㄠ䳌ʹݕെ͵
故选B．
6．（2023·浙江温州·中考真题）【素材1】某景区游览路线及方向如图1 所示，①④⑥各路段路程相等，
⑤⑦⑧各路段路程相等，②③两路段路程相等．
【素材2】设游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20 分钟．小温游路线①④⑤⑥⑦⑧用时3 小时25 分
钟；小州游路线①②⑧，他离入口的路程s 与时间t 的关系（部分数据）如图2 所示，在2100 米处，他到
出口还要走10 分钟．
【问题】路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为（
）
A．4200 米
B．4800 米
C．5200 米
D．5400 米
【答案】B
【分析】设①④⑥各路段路程为x 米，⑤⑦⑧各路段路程为y 米，②③各路段路程为z 米，由题意及图
象可知
ㄠ〱ݕ〱ݖ
Ͷͷ
䳌
ㄠ〱ݕ〱ݖെʹͳͲͲ
ͳͲ
，然后根据“游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20 分钟．小温游路线①④
⑤⑥⑦⑧用时3 小时25 分钟”可进行求解．
【详解】解：由图象可知：小州游玩行走的时间为͹ͷ 〱ͳͲ െͶͲ 䳌Ͷͷ（分钟），小温游玩行走的时间
为ʹͲͷ െͳͲͲ 䳌ͳͲͷ（分钟）；
设①④⑥各路段路程为x 米，⑤⑦⑧各路段路程为y 米，②③各路段路程为z 米，由图象可得：
ㄠ〱ݕ〱ݖ
Ͷͷ
䳌
ㄠ〱ݕ〱ݖെʹͳͲͲ
ͳͲ
，
解得：ㄠ〱ݕ〱ݖ䳌ʹ͹ͲͲ，
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∴游玩行走的速度为ʹ͹ͲͲ െʹͳͲͲ ൊͳͲ 䳌͸Ͳ（米/分），
由于游玩行走速度恒定，则小温游路线①④⑤⑥⑦⑧的路程为͵ㄠ〱͵ݕ䳌ͳͲͷ ൈ͸Ͳ 䳌͸͵ͲͲ，
∴ㄠ〱ݕ䳌ʹͳͲͲ，
∴路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为ʹㄠ〱ʹݕ〱ݖ䳌ㄠ〱ݕ〱ݖ〱ㄠ〱ݕ䳌ʹ͹ͲͲ 〱ʹͳͲͲ 䳌ͶͺͲͲ（米）；
故选B．
7．（2023·浙江·中考真题）我国古代数学名著《张丘建算经》中有这样一题：一只公鸡值5 钱，一只母
鸡值3 钱，3 只小鸡值1 钱，现花ͳͲͲ 钱买了ͳͲͲ 只鸡．若公鸡有8 只，设母鸡有ㄠ只，小鸡有ݕ只，可
列方程组为___________．
【答案】ͷ ൈͺ 〱͵ㄠ〱
ͳ
͵ ݕ䳌ͳͲͲ
ㄠ〱ݕ〱ͺ 䳌ͳͲͲ
【分析】根据“现花ͳͲͲ 钱买了ͳͲͲ 只鸡”，列出方程组即可．
【详解】解：依题意得：ͷ ൈͺ 〱͵ㄠ〱
ͳ
͵ ݕ䳌ͳͲͲ
ㄠ〱ݕ〱ͺ 䳌ͳͲͲ
，
故答案为：ͷ ൈͺ 〱͵ㄠ〱
ͳ
͵ ݕ䳌ͳͲͲ
ㄠ〱ݕ〱ͺ 䳌ͳͲͲ
．
8．（2023·浙江衢州·中考真题）下列各组数满足方程ʹㄠ〱͵ݕ䳌ͺ 的是（
）
A．ㄠ䳌ͳ
ݕ䳌ʹ
B．ㄠ䳌ʹ
ݕ䳌ͳ
C．ㄠ䳌െͳ
ݕ䳌ʹ
D．ㄠ䳌ʹ
ݕ䳌Ͷ
【答案】A
【分析】代入ㄠǡݕ的值，逐一判断即可解答．
【详解】解：当ㄠ䳌ͳ
ݕ䳌ʹ 时，方程左边䳌ʹ ൈͳ 〱͵ ൈʹ 䳌ͺ，方程左边䳌方程右边，故A 符合题意；
当ㄠ䳌ʹ
ݕ䳌ͳ 时，方程左边䳌ʹ ൈʹ 〱͵ ൈͳ 䳌͹，方程左边്方程右边，故B 不符合题意；
当ㄠ䳌െͳ
ݕ䳌ʹ 时，方程左边䳌ʹ ൈെͳ 〱͵ ൈʹ 䳌Ͷ，方程左边്方程右边，故C 不符合题意；
当ㄠ䳌ʹ
ݕ䳌Ͷ 时，方程左边䳌ʹ ൈʹ 〱͵ ൈͶ 䳌ͳ͸，方程左边്方程右边，故D 不符合题意；
故选：A．
9．（2023·浙江台州·中考真题）解方程组：ㄠ〱ݕ䳌͹ǡ
ʹㄠെݕ䳌ʹ案
【答案】ㄠ䳌͵ǡ
ݕ䳌Ͷ案
【分析】把两个方程相加消去y，求解x，再把x 的值代入第1 个方程求解y 即可．
【详解】解：ㄠ〱ݕ䳌͹①
ʹㄠെݕ䳌ʹ②
①+②，得͵ㄠ䳌ͻ．
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∴ㄠ䳌͵．
把ㄠ䳌͵ 代入①，得ݕ䳌Ͷ．
∴这个方程组的解是ㄠ䳌͵
ݕ䳌Ͷ ．
10．（2022·浙江杭州·中考真题）某体育比赛的门票分A 票和B 票两种，A 票每张x 元，B 票每张y 元．已
知10 张A 票的总价与19 张B 票的总价相差320 元，则（
）
A．
ͳͲㄠ
ͳͻݕ䳌͵ʹͲ
B．
ͳͲݕ
ͳͻㄠ䳌͵ʹͲ
C．ͳͲㄠെͳͻݕ䳌͵ʹͲ
D．ͳͻㄠെͳͲݕ䳌͵ʹͲ
【答案】C
【分析】根据题中数量关系列出方程即可解题；
【详解】解：由10 张A 票的总价与19 张B 票的总价相差320 元可知，
ͳͲㄠെͳͻݕ䳌͵ʹͲ 或ͳͻݕെͳͲㄠ䳌͵ʹͲ，
∴ͳͲㄠെͳͻݕ䳌͵ʹͲ，
故选：C．
11．（2022·浙江宁波·中考真题）我国古代数学名著《九章算术》中记载：“粟米之法：粟率五十；粝米三
十．今有米在十斗桶中，不知其数．满中添粟而舂之，得米七斗．问故米几何？”意思为：50 斗谷子能出
30 斗米，即出米率为
͵
ͷ．今有米在容量为10 斗的桶中，但不知道数量是多少．再向桶中加满谷子，再舂成
米，共得米7 斗．问原来有米多少斗？如果设原来有米x 斗，向桶中加谷子y 斗，那么可列方程组为（
）
A．
ㄠ〱ݕ䳌ͳͲ
ㄠ〱
͵
ͷ ݕ䳌͹
B．
ㄠ〱ݕ䳌ͳͲ
͵
ͷ ㄠ〱ݕ䳌͹
C．
ㄠ〱ݕ䳌͹
ㄠ〱
ͷ
͵ ݕ䳌ͳͲ
D．
ㄠ〱ݕ䳌͹
ͷ
͵ ㄠ〱ݕ䳌ͳͲ
【答案】A
【分析】根据题意列出方程组即可；
【详解】原来有米x 斗，向桶中加谷子y 斗，容量为10 斗，则ㄠ〱ݕ䳌ͳͲ；
已知谷子出米率为
͵
ͷ，则来年共得米ㄠ〱
͵
ͷ ݕ䳌͹；
则可列方程组为
ㄠ〱ݕ䳌ͳͲ
ㄠ〱
͵
ͷ ݕ䳌͹ ，故选A．
12．（2022·浙江嘉兴·中考真题）“市长杯”青少年校园足球联赛的比赛规则是：胜一场得3 分，平一场得1
分，负一场得0 分．某校足球队在第一轮比赛中赛了9 场，只负了2 场，共得17 分．那么该队胜了几场，
平了几场？设该队胜了x 场，平了y 场，根据题意可列方程组为（
）
A．ሼㄠ〱ݕ䳌͹
͵ㄠ〱ݕ䳌ͳ͹
B．ሼㄠ〱ݕ䳌ͻ
͵ㄠ〱ݕ䳌ͳ͹
C．ሼㄠ〱ݕ䳌͹
ㄠ〱͵ݕ䳌ͳ͹
D．ሼㄠ〱ݕ䳌ͻ
ㄠ〱͵ݕ䳌ͳ͹
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【答案】A
【分析】由题意知：胜一场得3 分，平一场得1 分，负一场得0 分，某校足球队在第一轮比赛中赛了9
场，只负了2 场，共得17 分等量关系：胜场〱平场〱负场䳌ͻ，得分总和为17．
【详解】解：设该队胜了x 场，平了y 场，
根据题意，可列方程组为：
ሼㄠ〱ݕ〱ʹ 䳌ͻ
͵ㄠ〱ݕ䳌ͳ͹ ，
׵ ሼㄠ〱ݕ䳌͹
͵ㄠ〱ݕ䳌ͳ͹
故选：A．
13．（2022·浙江衢州·中考真题）某班环保小组收集废旧电池，数据统计如下表．问1 节5 号电池和1 节7
号电池的质量分别是多少？设1 节5 号电池的质量为ㄠ克，1 节7 号电池的质量为ݕ克，列方程组，由消元
法可得ㄠ的值为（
）
5 号电池（节）
7 号电池（节）
总质量（克）
第一天
2
2
72
第二天
3
2
96
A．12
B．16
C．24
D．26
【答案】C
【分析】根据表格建立二元一次方程组，用消元法即可得到答案．
【详解】解：设1 节5 号电池的质量为ㄠ克，1 节7 号电池的质量为ݕ克，
根据表格得ʹㄠ〱ʹݕ䳌͹ʹ①
͵ㄠ〱ʹݕ䳌ͻ͸②,
由②-①得ㄠ䳌ʹͶ，故选：C．
14．（2022·浙江台州·中考真题）解方程组：ㄠ〱ʹݕ䳌Ͷ
ㄠ〱͵ݕ䳌ͷ ．
【答案】ㄠ䳌ʹ
ݕ䳌ͳ
【分析】用加减消元法解二元一次方程组即可；
【详解】ㄠ〱ʹݕ䳌Ͷ①
ㄠ〱͵ݕ䳌ͷ②．
解：②െ①，得ݕ䳌ͳ．
把ݕ䳌ͳ 代入①，得ㄠ䳌ʹ．
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∴原方程组的解为ㄠ䳌ʹ
ݕ䳌ͳ ．
15．（2022·浙江舟山·中考真题）上学期某班的学生都是双人同桌，其中
ͳ
Ͷ男生与女生同桌，这些女生占全
班女生的
ͳ
ͷ，本学期该班新转入4 个男生后，男女生刚好一样多，设上学期该班有男生x 人，女生y 人，根
据题意可得方程组为（
）
A．
ㄠ〱Ͷ 䳌ݕ
ㄠ
Ͷ 䳌
ݕ
ͷ
B．
ㄠ〱Ͷ 䳌ݕ
ㄠ
ͷ 䳌
ݕ
Ͷ
C．
ㄠെͶ 䳌ݕ
ㄠ
Ͷ 䳌
ݕ
ͷ
D．
ㄠെͶ 䳌ݕ
ㄠ
ͷ 䳌
ݕ
Ͷ
【答案】A
【分析】设上学期该班有男生x 人，女生y 人，则本学期男生有（x+4）人，根据题意，列出方程组，
即可求解．
【详解】解：设上学期该班有男生x 人，女生y 人，则本学期男生有（x+4）人，根据题意得：
ㄠ〱Ͷ 䳌ݕ
ㄠ
Ͷ 䳌
ݕ
ͷ
．故选：A
16．（2022·浙江绍兴·中考真题）计算
(1)计算：6tan30°+（ߨ+1）0- ͳʹ.
(2)解方程组ʹㄠെݕ䳌Ͷ，
ㄠ〱ݕ䳌ʹ案
【答案】(1)1
(2) ㄠ䳌ʹ
ݕ䳌Ͳ
【分析】（1）根据特殊角的三角函数值，零指数幂，二次根式的性质化简，然后进行计算即可；
（2）利用加减消元法解二元一次方程组即可．
【详解】（1）解：原式䳌͸ ൈ
͵
͵ 〱ͳ െʹ ͵ 䳌ʹ ͵ 〱ͳ െʹ ͵＝ͳ；
（2）ʹㄠെݕ䳌Ͷ  ①
ㄠ〱ݕ䳌ʹ  ②，
①＋②得3x＝6，
∴x＝2，
把x＝2 代入②，得y＝0，
∴原方程组的解是ㄠ䳌ʹ
ݕ䳌Ͳ ．
考点03 分式方程的解法与应用
1．（2026·浙江·中考真题）分式方程
ʹ
ㄠെͳ 䳌
͵
ㄠ的解是___________．
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【答案】ㄠ䳌͵
【分析】先去分母将分式方程转化为整式方程，求解后检验即可得到原方程的解．
【详解】解：方程两边同乘最简公分母ㄠሺㄠെͳ耀，得ʹㄠ䳌͵ሺㄠെͳ耀，
去括号，得ʹㄠ䳌͵ㄠെ͵，
移项，得ʹㄠെ͵ㄠ䳌െ͵，
合并同类项，得െㄠ䳌െ͵，
系数化为ͳ，得ㄠ䳌͵，
检验：当ㄠ䳌͵ 时，ㄠሺㄠെͳ耀䳌͵ ൈሺ͵ െͳ耀䳌͸്
Ͳ，
∴ㄠ䳌͵ 是原分式方程的解．
2．（2025·浙江·中考真题）解分式方程：
͵
ㄠ〱ͳ െ
ͳ
ㄠെͳ 䳌Ͳ．
【答案】ㄠ䳌ʹ
【分析】本题主要考查了解分式方程，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1 的步骤
解方程并检验即可得到答案．
【详解】解：
͵
ㄠ〱ͳ െ
ͳ
ㄠെͳ 䳌Ͳ
方程两边同时乘以ㄠെͳ
ㄠ〱ͳ 得：͵ ㄠെͳ െㄠ〱ͳ 䳌Ͳ，
去括号得：͵ㄠെ͵ െㄠെͳ 䳌Ͳ，
移项，合并同类项得：ʹㄠ䳌Ͷ，
系数化为1 得：ㄠ䳌ʹ，
检验，当ㄠ䳌ʹ 时，ㄠെͳ
ㄠ〱ͳ്
Ͳ，
∴ㄠ䳌ʹ 是原方程的解．
3．（2024·浙江·中考真题）若
ʹ
ㄠെͳ 䳌ͳ，则ㄠ䳌__________
【答案】͵
【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方
程求解．解分式方程一定注意要验根．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到ㄠ的值，
经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：去分母得：ʹ 䳌ㄠെͳ，
移项合并得：െㄠ䳌െ͵，
解得：ㄠ䳌͵，
经检验，ㄠ䳌͵ 是分式方程的解，
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故答案为：͵
4．（2023·浙江台州·中考真题）3 月12 日植树节期间，某校环保小卫士组织植树活动．第一组植树12 棵；
第二组比第一组多6 人，植树36 棵；结果两组平均每人植树的棵数相等，则第一组有________人．
【答案】3
【分析】审题确定等量关系：第一组平均每人植树棵数＝第二组平均每人植树棵数，列方程求解，注
意检验．
【详解】设第一组有x 人，则第二组有ሺㄠ〱͸耀人，根据题意，得
ͳʹ
ㄠ䳌
͵͸
ㄠ〱͸
去分母，得ͳʹሺㄠ〱͸耀䳌͵͸ㄠ
解得，ㄠ䳌͵
经检验，ㄠ䳌͵ 是原方程的根．
故答案为：3
5．（2023·浙江·中考真题）小丁和小迪分别解方程
ㄠ
ㄠെʹ െ
ㄠെ͵
ʹെㄠ䳌ͳ 过程如下：
小丁：
解：去分母，得ㄠെሺㄠെ͵耀䳌ㄠെ
ʹ
去括号，得ㄠെㄠ〱͵ 䳌ㄠെʹ
合并同类项，得͵ 䳌ㄠെʹ
解得ㄠ䳌ͷ
∴原方程的解是ㄠ䳌ͷ
小迪：
解：去分母，得ㄠ〱ሺㄠെ͵耀䳌ͳ
去括号得ㄠ〱ㄠെ͵ 䳌ͳ
合并同类项得ʹㄠെ͵ 䳌ͳ
解得ㄠ䳌ʹ
经检验，ㄠ䳌ʹ 是方程的增根，原方程无解
你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，并写出你
的解答过程．
【答案】
小丁和小迪的解法都错误；
解：去分母，得ㄠ〱ሺㄠെ͵耀䳌ㄠെʹ，
去括号，得ʹㄠെ͵ 䳌ㄠെʹ，
解得，ㄠ䳌ͳ，
经检验：ㄠ䳌ͳ 是方程的解．
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【分析】根据解分式方程的步骤判断小丁和小迪的解法是否正确，再正确解方程即可．
【详解】略
6．（2022·浙江宁波·中考真题）定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，ܾܽٔ
䳌
ͳܽ〱
ͳܾ．若ሺㄠ〱ͳ耀ٔ
ㄠ䳌
ʹㄠ〱ͳ
ㄠ，则x 的值为___________．
【答案】െ
ͳ
ʹ/െͲ案ͷ
【分析】根据新定义可得ሺㄠ〱ͳ耀ٔ
ㄠ䳌
ʹㄠ〱ͳ
ㄠʹ〱ㄠ，由此建立方程
ʹㄠ〱ͳ
ㄠʹ〱ㄠ䳌
ʹㄠ〱ͳ
ㄠ解方程即可．
【详解】解：∵ܾܽٔ
䳌
ͳܽ〱
ͳܾ，
∴ሺㄠ〱ͳ耀ٔ
ㄠ䳌
ͳ
ㄠ〱ͳ 〱
ͳ
ㄠ䳌
ㄠ〱ͳ〱ㄠ
ㄠㄠ〱ͳ 䳌
ʹㄠ〱ͳ
ㄠʹ〱ㄠ，
又∵ሺㄠ〱ͳ耀ٔ
ㄠ䳌
ʹㄠ〱ͳ
ㄠ，
∴
ʹㄠ〱ͳ
ㄠʹ〱ㄠ䳌
ʹㄠ〱ͳ
ㄠ，
∴ㄠʹ 〱ㄠ
ʹㄠ〱ͳ െㄠʹㄠ〱ͳ 䳌Ͳ，
∴ㄠʹ 〱ㄠെㄠ
ʹㄠ〱ͳ 䳌Ͳ，
∴ㄠʹ ʹㄠ〱ͳ 䳌Ͳ，
∵ሺㄠ〱ͳ耀ٔ
ㄠ䳌
ʹㄠ〱ͳ
ㄠ即ㄠ്
Ͳ，
∴ʹㄠ〱ͳ 䳌Ͳ，
解得ㄠ䳌െ
ͳ
ʹ，
经检验ㄠ䳌െ
ͳ
ʹ是方程
ʹㄠ〱ͳ
ㄠʹ〱ㄠ䳌
ʹㄠ〱ͳ
ㄠ的解，
故答案为：െ
ͳ
ʹ．
7．（2022·浙江台州·中考真题）如图的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求的值是正确的，则图中
被污染的ㄠ的值是____．
先化简，再求值：
͵െㄠ
ㄠെͶ 〱ͳ，其中ㄠ䳌
解：原
式䳌
͵െㄠ
ㄠെͶ ڄ ሺㄠെͶ耀〱ሺㄠെͶ耀
䳌͵ െㄠ〱ㄠെͶ
䳌െͳ
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【答案】5
【分析】根据题意得到方程
͵െㄠ
ㄠെͶ 〱ͳ 䳌െͳ，解方程即可求解．
【详解】解：依题意得：
͵െㄠ
ㄠെͶ 〱ͳ 䳌െͳ，即
͵െㄠ
ㄠെͶ 〱ʹ 䳌Ͳ，
去分母得：3-x+2(x-4)=0，
去括号得：3-x+2x-8=0，
解得：x=5，
经检验，x=5 是方程的解，
故答案为：5．
8．（2022·浙江丽水·中考真题）某校购买了一批篮球和足球．已知购买足球的数量是篮球的2 倍，购买足
球用了5000 元，购买篮球用了4000 元，篮球单价比足球贵30 元．根据题意可列方程
ͷͲͲͲ
ʹㄠ䳌
ͶͲͲͲ
ㄠ
െ͵Ͳ，则
方程中x 表示（
）
A．足球的单价
B．篮球的单价
C．足球的数量
D．篮球的数量
【答案】D
【分析】由
ͷͲͲͲ
ʹㄠ䳌
ͶͲͲͲ
ㄠ
െ͵Ͳ 的含义表示的是篮球单价比足球贵30 元，从而可以确定x 的含义．
【详解】解：由
ͷͲͲͲ
ʹㄠ䳌
ͶͲͲͲ
ㄠ
െ͵Ͳ 可得：
由
ͷͲͲͲ
ʹㄠ表示的是足球的单价，而
ͶͲͲͲ
ㄠ表示的是篮球的单价，
׵ ㄠ表示的是购买篮球的数量，故选D
9．（2022·浙江金华·中考真题）若分式
ʹ
ㄠെ͵的值为2，则x 的值是_______．
【答案】4
【分析】根据题意建立分式方程，再解方程即可；
【详解】解：由题意得：
ʹ
ㄠെ͵ 䳌ʹ
去分母：ʹ 䳌ʹ ㄠെ͵
去括号：ʹ 䳌ʹㄠെ͸
移项，合并同类项：ʹㄠ䳌ͺ
系数化为1：ㄠ䳌Ͷ
经检验，x=4 是原方程的解，故答案为：4；
10．（2022·浙江嘉兴·中考真题）（1）计算：ሺͳ െ
͵ ͺ耀Ͳ െ
Ͷ
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（2）解方程：
ㄠെ͵
ʹㄠെͳ 䳌ͳ．
【答案】（1）െͳ；（2）ㄠ䳌െʹ
【分析】（1）先计算零次幂与算术平方根，再合并即可；
（2）先去分母，化为整式方程，再解整式方程并检验即可．
【详解】解：（1）ሺͳ െ
͵ ͺ耀Ͳ െ
Ͷ
䳌ͳ െʹ 䳌െͳ
（2）
ㄠെ͵
ʹㄠെͳ 䳌ͳ，
去分母：ㄠെ͵ 䳌ʹㄠെͳǡ
整理得：ㄠ䳌െʹǡ
经检验：ㄠ䳌െʹ 是原方程的根，
所以原方程的根为：ㄠ䳌െʹ案
11．（2022·浙江衢州·中考真题）金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．
(1)用含ܽ
的代数式表示新能源车的每千米行驶费用．
(2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54 元．
①分别求出这两款车的每千米行驶费用．
②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800 元和7500 元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新
能源车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其它费用）
【答案】(1)
͵͸ܽ元
(2)①燃油车的每千米行驶费用为Ͳ案͸ 元，新能源车的每千米行驶费用为Ͳ案Ͳ͸ 元；②每年行驶里程超过
5000 千米时，买新能源车的年费用更低
【分析】（1）利用电池电量乘以电价，再除以续航里程即可得；
（2）①根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多Ͳ案ͷͶ 元建立方程，解方程可得ܽ
的值，由此即可
得；
②设每年行驶里程为ㄠ千米时，买新能源车的年费用更低，根据这两款车的年费用建立不等式，解不
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等式即可得．
【详解】（1）解：新能源车的每千米行驶费用为
͸ͲൈͲ案͸ܽ䳌
͵͸ܽ元，
答：新能源车的每千米行驶费用为
͵͸ܽ元．
（2）解：①由题意得：
ͶͲൈͻܽെ
͵͸ܽ䳌Ͳ案ͷͶ，
解得ܽ
䳌͸ͲͲ，
经检验，ܽ
䳌͸ͲͲ 是所列分式方程的解，
则
ͶͲൈͻܽ䳌
ͶͲൈͻ
͸ͲͲ 䳌Ͳ案͸，
͵͸ܽ䳌
͵͸
͸ͲͲ 䳌Ͳ案Ͳ͸，
答：燃油车的每千米行驶费用为Ͳ案͸ 元，新能源车的每千米行驶费用为Ͳ案Ͳ͸ 元；
②设每年行驶里程为ㄠ千米时，买新能源车的年费用更低，
由题意得：Ͳ案͸ㄠ〱ͶͺͲͲ ‴ Ͳ案Ͳ͸ㄠ〱͹ͷͲͲ，
解得ㄠ‴ ͷͲͲͲ，
答：每年行驶里程超过5000 千米时，买新能源车的年费用更低．
考点04 一元二次方程的解法与根的判别式
1．（2026·浙江·中考真题）关于ㄠ的一元二次方程ㄠʹ 〱ܾㄠെͳ 䳌Ͳ 的实数根的情况是（
）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
【答案】A
【详解】解：∵一元二次方程ㄠʹ 〱ܾㄠെͳ 䳌Ͳ 中，ܽ
䳌ͳ，ܿ䳌െͳ，
∴Δ 䳌ܾ
ʹ െͶܽܿ
䳌ܾ
ʹ െͶ ൈͳ ൈെͳ 䳌ܾ
ʹ 〱Ͷ，
∵ܾʹ ൒Ͳ，
∴ܾʹ 〱Ͷ ‴ Ͳ，
∴方程有两个不相等的实数根．
2．（2022·浙江温州·中考真题）若关于x 的方程ㄠʹ 〱͸ㄠ〱ܿ
䳌Ͳ 有两个相等的实数根，则c 的值是（
）
A．36
B．െ͵͸
C．9
D．െͻ
【答案】C
【分析】根据判别式的意义得到Δ 䳌͸ʹ െͶܿ䳌Ͳ，然后解关于c 的一次方程即可．
【详解】解：∵方程ㄠʹ 〱͸ㄠ〱ܿ
䳌Ͳ 有两个相等的实数根
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∴Δ 䳌͸ʹ െͶ ൈͳ ൈܿ
䳌Ͳ
解得ܿ
䳌ͻ
故选：C．
考点05 一元二次方程的实际应用
1．（2023·浙江湖州·中考真题）某品牌新能源汽车2020 年的销售量为20 万辆，随着消费人群的不断增多，
该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2022 年的销售量比2020 年增加了͵ͳ案ʹ 万辆．如果设从2020 年到2022
年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为x，那么可列出方程是（
）
A．ʹͲ ͳ 〱ʹㄠ䳌͵ͳ案ʹ
B．ʹͲ ͳ 〱ʹㄠെʹͲ 䳌͵ͳ案ʹ
C．ʹͲ ͳ 〱ㄠʹ 䳌͵ͳ案ʹ
D．ʹͲ ͳ 〱ㄠʹ െʹͲ 䳌͵ͳ案ʹ
【答案】D
【分析】设年平均增长率为x，根据2020 年销量为20 万辆，到2022 年销量增加了͵ͳ案ʹ 万辆列方程即
可．
【详解】解：设年平均增长率为x，由题意得
ʹͲ ͳ 〱ㄠʹ െʹͲ 䳌͵ͳ案ʹ，
故选：D．
2．（2023·浙江衢州·中考真题）某人患了流感，经过两轮传染后共有36 人患了流感．设每一轮传染中平均
每人传染了ㄠ人，则可得到方程（
）
A．ㄠ〱ͳ 〱ㄠ䳌͵͸
B．ʹ ͳ 〱ㄠ䳌͵͸
C．ͳ 〱ㄠ〱ㄠͳ 〱ㄠ䳌͵͸
D．ͳ 〱ㄠ〱ㄠʹ 䳌͵͸
【答案】C
【分析】患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每一轮传染中平均每人传
染了ㄠ人，则第一轮传染了ㄠ个人，第二轮作为传染源的是ሺㄠ〱ͳ耀人，则传染ㄠሺㄠ〱ͳ耀人，依题意列方程：
ͳ 〱ㄠ〱ㄠሺͳ 〱ㄠ耀䳌͵͸．
【详解】由题意得：ͳ 〱ㄠ〱ㄠሺͳ 〱ㄠ耀䳌͵͸，
故选：C．
3．（2023·浙江金华·中考真题）如图是一块矩形菜地ܣܤ形ܦǡܣܤ䳌ܽ
m ǡܣܦ䳌ܾ
m ，面积为ݏmʹ ．现将边
ܣܤ增加ͳm．
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（1）如图1，若ܽ
䳌ͷ，边ܣܦ减少ͳm，得到的矩形面积不变，则ܾ
的值是__________．
（2）如图2，若边ܣܦ增加ʹm，有且只有一个ܽ
的值，使得到的矩形面积为ʹݏmʹ ，则ݏ的值是__________．
【答案】
6
͸ 〱Ͷ ʹ/Ͷ ʹ 〱͸
【分析】（1）根据面积的不变性，列式计算即可．
（2）根据面积，建立分式方程，转化为a 一元二次方程，判别式为零计算即可．
【详解】
（1）根据题意，得，起始长方形的面积为ݏ䳌ܾܽ
mʹ ，变化后长方形的面积为ܽ
〱ͳܾ
െͳ
mʹ ，
∵ܽ
䳌ͷ，边ܣܦ减少ͳm，得到的矩形面积不变，
∴ͷ 〱ͳܾ
െͳ 䳌ͷܾ，
解得ܾ
䳌͸，
故答案为：6．
（2）根据题意，得，起始长方形的面积为ݏ䳌ܾܽ
mʹ ，变化后长方形的面积为ܽ
〱ͳܾ
〱ʹ
mʹ ，
∴ʹݏ䳌ܽ
〱ͳܾ
〱ʹ ，ܾ
䳌
ݏܽ，
∴ʹݏ䳌ܽ
〱ͳ
ݏܽ〱ʹ ，
∴
ʹݏܽ
〱ͳ 䳌
ݏܽ〱ʹ，
∴ʹܽʹ 〱ʹ െݏܽ
〱ݏ䳌Ͳ，
∵有且只有一个ܽ
的值，
∴Δ 䳌ܾ
ʹ െͶܽܿ
䳌ʹ െݏʹ െͺݏ䳌Ͳ，
∴ݏʹ െͳʹݏ〱Ͷ 䳌Ͳ，
解得ݏͳ 䳌͸ 〱Ͷ ʹǡݏʹ 䳌͸ െͶ ʹ（舍去），
故答案为：͸ 〱Ͷ ʹ．
4．（2022·浙江杭州·中考真题）某网络学习平台2019 年的新注册用户数为100 万，2021 年的新注册用户
数为169 万，设新注册用户数的年平均增长率为x（ㄠ‴ Ͳ），则ㄠ䳌_________（用百分数表示）．
【答案】30%
【分析】由题意：2019 年的新注册用户数为100 万，2021 年的新注册用户数为169 万，即可列出关于
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x 的一元二次方程，解方程即可．
【详解】解：设新注册用户数的年平均增长率为x（ㄠ‴ Ͳ），则2020 年新注册用户数为100（1+x）万，
2021 年的新注册用户数为100（1+x）2 万户，
依题意得100（1+x）2=169，
解得：x1=0.3，x2=-2.3（不合题意舍去），
∴x=0.3=30%，
故答案为：30%．
5．（2022·浙江衢州·中考真题）将一个容积为360cm3 的包装盒剪开铺平，纸样如图所示．利用容积列出图
中x（cm）满足的一元二次方程：_____（不必化简）．
【答案】
ʹͲെʹㄠ
ʹ
൉ㄠ൉ͳͷ 䳌͵͸Ͳ
【分析】根据题意分别找出包装盒的长、宽、高，再利用长方体的体积即可列出关于x 的方程．
【详解】由包装盒容积为360cm3 可得，
ʹͲെʹㄠ
ʹ
൉ㄠ൉ͳͷ 䳌͵͸Ͳ，
故答案为：
ʹͲെʹㄠ
ʹ
൉ㄠ൉ͳͷ 䳌͵͸Ͳ．
一、单选题
1．（2026·浙江衢州·一模）解分式方程
ʹㄠ
ㄠെ͵ െʹ 䳌
ʹㄠെͳ
͵െㄠ时，去分母正确的是（
）
A．ʹㄠെʹ 䳌ʹㄠെͳ
B．ʹㄠെʹ 䳌െʹㄠെͳ
C．ʹㄠെʹ ㄠെ͵ 䳌െʹㄠെͳ
D．ʹㄠെʹ ㄠെ͵ 䳌ʹㄠെͳ
【答案】C
【分析】方程左右两边乘以ㄠെ͵ 去分母得到结果，即可作出判断．
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【详解】解：
ʹㄠ
ㄠെ͵ െʹ 䳌
ʹㄠെͳ
͵െㄠ，
方程两边乘以ㄠെ͵ 去分母得：ʹㄠെʹ ㄠെ͵ 䳌െʹㄠെͳ ．
2．（2026·浙江·模拟预测）若关于ㄠ的一元二次方程ㄠ〱ͳ
ㄠെ͵ 䳌݉
的两根为ㄠͳ，ㄠʹ（ㄠͳ ൏ㄠʹ），下
列判断正确的是（
）
A．ㄠͳ 䳌െͳ，ㄠʹ 䳌͵
B．݉
应满足݉
‴െͶ
C．当݉
‴ Ͳ 时，ㄠͳ ‴െͳǡㄠʹ ‴ ͵
D．当݉
൏Ͳ 时，െͳ ൏ㄠͳ ൏ㄠʹ ൏͵
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的解的定义、根的判别式、二次函数的图象与一元二次方程的关系逐个选
项进行判断即可．
【详解】解：对于选项A：把ㄠͳ 䳌െͳ，ㄠʹ 䳌͵ 代入原方程得左边为0，
所以仅当݉
䳌Ͳ 时成立，并非任意情况，
∴A 选项错误，不符合题意；
对于选项B：先把ㄠ〱ͳ
ㄠെ͵ 䳌݉
化简得ㄠʹ െʹㄠെ͵ െ݉
䳌Ͳ，
由题意得，方程有两个不相等的实数根（因ㄠͳ ൏ㄠʹ），
∴令Δ ‴ Ͳ，
即ܾʹ െͶܽܿ
䳌െʹ ʹ െͶ ൈͳ ൈെ͵ െ݉
＞Ͳ，
解得݉
＞െͶ，
所以B 选项正确，符合题意；
对于选项C：令ݕ䳌ㄠ〱ͳ
ㄠെ͵ ，这是开口向上的抛物线，与ㄠ轴交于െͳǡͲ ǡ ͵ǡͲ ，顶点为ͳǡ െͶ ．
当݉
＞Ͳ 时，直线ݕ䳌݉
与抛物线交于两点，其横坐标满足ㄠͳ＜െͳǡㄠʹ＞͵（如݉
䳌ͷ 时，根为െʹ 和
Ͷ），而不是ㄠͳ＞െͳ，
∴C 选项错误，不符合题意；
对于选项D：由C 知，抛物线ݕ䳌ㄠ〱ͳ
ㄠെ͵ 的顶点为ͳǡ െͶ ，
所以当݉
＜െͶ 时，直线ݕ䳌݉
与抛物线没有交点，所以方程ㄠ〱ͳ
ㄠെ͵ 䳌݉
没有实数根，仅当
െͶ＜݉
＜Ͳ 时，才符合െͳ ൏ㄠͳ ൏ㄠʹ ൏͵，
∴D 选项错误，不符合题意；
故选B．
3．（2026·浙江杭州·一模）已知二次函数ݕ䳌ܽ
ㄠʹ 〱ܾㄠ〱ͳ്ܽ
Ͳ 的图象经过点ܯͳǡ݉
．当ݕ‴െʹ 时，ㄠ
的取值范围是ㄠ൏ݐ〱ͳ 或ㄠ‴െͷ െݐ，则݉
的值可能是（
）
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A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】D
【分析】由题意易得݉
䳌ܽ
〱ܾ
〱ͳ，抛物线的开口向上，即ܽ
‴ Ͳ，且当ݕ䳌െʹ 时，即方程ܽ
ㄠʹ 〱ܾㄠ〱
ͳ 䳌െʹ 有两个不相等的实数根，这两个根分别为ㄠͳ 䳌ݐ〱ͳ，ㄠʹ 䳌െͷ െݐ，然后可得ܾ
䳌Ͷܽ，ܽ
‴
͵
Ͷ，进而
问题可求解．
【详解】解：把点ܯͳǡ݉
代入二次函数ݕ䳌ܽ
ㄠʹ 〱ܾㄠ〱ͳ്ܽ
Ͳ 得：݉
䳌ܽ
〱ܾ
〱ͳ，
∵ݕ‴െʹ 时，ㄠ的取值范围是ㄠ൏ݐ〱ͳ 或ㄠ‴െͷ െݐ，
∴抛物线的开口向上，即ܽ
‴ Ͳ，当ݕ䳌െʹ 时，即方程ܽ
ㄠʹ 〱ܾㄠ〱ͳ 䳌െʹ 有两个不相等的实数根，这
两个根分别为ㄠͳ 䳌ݐ〱ͳ，ㄠʹ 䳌െͷ െݐ，
令ܽ
ㄠʹ 〱ܾㄠ〱͵ 䳌Ͳ，
根据一元二次方程根与系数的关系可得ㄠͳ 〱ㄠʹ 䳌െܾܽ
䳌ݐ〱ͳ െͷ െݐ䳌െͶ，
∴ܾ
䳌Ͷܽ，
∴方程可为ܽ
ㄠʹ 〱Ͷܽㄠ〱͵ 䳌Ͳ，݉
䳌ܽ
〱Ͷܽ〱ͳ 䳌ͷܽ〱ͳ，
∵Δ 䳌Ͷܽ
ʹ െͶܽൈ͵ 䳌ͳ͸ܽʹ െͳʹܽ
‴ Ͳ，且ܽ
‴ Ͳ，
∴ܽ
‴
͵
Ͷ，
∴݉
䳌ͷܽ〱ͳ ‴ ͷ ൈ
͵
Ͷ 〱ͳ 䳌
ͳͻ
Ͷ ，
∴m 的值可能是5．
4．（2026·浙江湖州·二模）定义：函数ݕͳ的图象上存在点ܲ
，函数ݕʹ的图象上存在点ܳ
，且点ܲ
，ܳ
关于ݕ
轴对称，则称函数ݕͳ和ݕʹ具有“镜像关系”，点ܲ
，ܳ的纵坐标为函数ݕͳ和ݕʹ“镜像值”．关于函数ݕͳ 䳌െʹㄠ〱ʹ
和ݕʹ 䳌
Ͷ
ㄠ有两个结论：①函数ݕͳ与ݕʹ具有“镜像关系”；②函数ݕͳ与ݕʹ的“镜像值”有且仅有一个，则（
）
A．①②都错
B．①②都对
C．①错②对
D．①对②错
【答案】D
【分析】根据“镜像关系”的定义，结合关于y 轴对称的点的坐标特征，建立方程，通过判断方程解的个
数验证结论①，再求出“镜像值”的个数验证结论②．
【详解】解：设函数ݕͳ图象上点ܲ
的坐标为ㄠǡݕͳ ，
∵ܲ，ܳ
关于ݕ轴对称，ܳ
在ݕʹ图象上，
∴ܳ
点坐标为ሺെㄠǡݕʹ耀，且ㄠ്
Ͳ，
∵ܲ
在ݕͳ 䳌െʹㄠ〱ʹ 上，
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∴ݕͳ 䳌െʹㄠ〱ʹ，
∵ܳ
在ݕʹ 䳌
Ͷ
ㄠ上，
∴ݕʹ 䳌
Ͷ
െㄠ䳌െ
Ͷ
ㄠ，
若ݕͳ和ݕʹ具有“镜像关系”，则存在ܲǡܳ
使得ݕͳ 䳌ݕʹ，
即：െʹㄠ〱ʹ 䳌െ
Ͷ
ㄠ，
整理得：ㄠʹ െㄠെʹ 䳌Ͳ，
解得ㄠͳ 䳌ʹ，ㄠʹ 䳌െͳ，方程有两个不相等的实根，说明存在符合条件的点，故结论①正确；
当ㄠ䳌ʹ 时，ݕͳ 䳌െʹ ൈʹ 〱ʹ 䳌െʹ ，
当ㄠ䳌െͳ 时，ݕͳ 䳌െʹ ൈሺെͳ耀〱ʹ 䳌Ͷ ，则“镜像值”共两个，故结论②错误．
二、填空题
5．（2026·浙江湖州·一模）【文化欣赏】三国时期的数学家赵爽所著的《勾股圆方图注》中记载了一种图
解一元二次方程的方法．以解方程ㄠʹ 〱ʹㄠെ͵ͷ 䳌Ͳ 为例：将原方程整理可得：ㄠㄠ〱ʹ 䳌͵ͷ，可视为一个
矩形的面积为35，构造如图所示的图形．此时大正方形的面积是ㄠ〱ㄠ〱ʹ ʹ，同时它又等于四个矩形的面
积加中间小正方形的面积的和．由此得：ㄠ〱ㄠ〱ʹ ʹ 䳌Ͷㄠㄠ〱ʹ 〱ʹʹ 䳌Ͷ ൈ͵ͷ 〱Ͷ 䳌ͳͶͶ，得正整数解为
ㄠ䳌ͷ．
【应用体验】小明用此方法解关于ㄠ的方程ㄠʹ 〱ͷㄠെ݊
䳌Ͳ．已知在他构造的图形中，大正方形的面积为
81，则该方程的正整数解为__________．
【答案】ʹ
【分析】根据示例中赵爽弦图的构造方法，将方程ㄠʹ 〱ͷㄠെ݊
䳌Ͳ 变形为ㄠሺㄠ〱ͷ耀䳌݊
，可知矩形的
长为ㄠ〱ͷ，宽为ㄠ，进而表示出大正方形的边长，利用大正方形的面积建立方程求解即可．
【详解】解：由方程ㄠʹ 〱ͷㄠെ݊
䳌Ͳ
移项得ㄠʹ 〱ͷㄠ䳌݊
，即ㄠሺㄠ〱ͷ耀䳌݊
．
根据题意及示例图形可知，构造的四个矩形的长为ㄠ〱ͷ，宽为ㄠ．
大正方形的边长为矩形的长与宽之和，即ሺㄠ〱ͷ耀〱ㄠ䳌ʹㄠ〱ͷ．
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因为大正方形的面积为ͺͳ，
所以ሺʹㄠ〱ͷ耀ʹ 䳌ͺͳ．
因为ㄠ为正整数，
所以ʹㄠ〱ͷ ‴ Ͳ，
所以ʹㄠ〱ͷ 䳌ͻ．
解得ㄠ䳌ʹ．
6．（2026·浙江杭州·一模）古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中，利用尺规构造的方法求解一元二次
方程，深刻影响了数学的发展．对于形如ㄠʹ 〱݌ㄠ䳌ݍ݌‴ Ͳǡݍ‴ Ͳ 的方程，采用如下构造步骤：如图，
①作线段ܣܤ䳌݌，取ܣܤ的中点ܦ，则ܦܤ䳌
݌
ʹ；
②过ܤ点作ܤܧ٣ ܣܤ，使得ܤܧʹ 䳌ݍ；
③以ܦ为圆心、ܦܧ的长为半径作圆，交直线ܣܤ于形，ܨ两点．该方程的正根为图中线段___________．
【答案】ܤ形的长或ܣܨ的长
【分析】根据题意，ܦܧ䳌ܦ形䳌ܤ形〱ܦܤ䳌ܤ形〱
݌
ʹ，在Rt ᇞܦܤܧ中，利用勾股定理构造方程，整理得
ܤ形ʹ 〱݌ܤ形䳌ݍ，对比题干的方程可知，ㄠ䳌ܤ形是方程ㄠʹ 〱݌ㄠ䳌ݍ的正根，结合等量代换可知，ㄠ䳌ܣܨ也
是方程ㄠʹ 〱݌ㄠ䳌ݍ的正根．
【详解】解：∵ܦܤ䳌
݌
ʹ，
∴ܦܧ䳌ܦ形䳌ܤ形〱ܦܤ䳌ܤ形〱
݌
ʹ，
在Rt ᇞܦܤܧ中，ܦܧʹ 䳌ܦܤʹ 〱ܤܧʹ，
∴ܤ形〱
݌
ʹ
ʹ
䳌
݌
ʹ
ʹ
〱ݍ，
整理，得ܤ形ʹ 〱݌ܤ形䳌ݍ，
∴ㄠ䳌ܤ形是方程ㄠʹ 〱݌ㄠ䳌ݍ的正根，
∵ܦ形䳌ܦܨ，ܦܣ䳌ܦܤ，
∴ܦ形െܦܤ䳌ܦܨെܦܣ，即ܤ形䳌ܣܨ，
∴ㄠ䳌ܣܨ也是方程ㄠʹ 〱݌ㄠ䳌ݍ的正根．
7．（2026·浙江温州·模拟预测）我国南宋时期数学家杨辉于1261 年写下的《详解九章算法》，书中记载的
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图表给出了ܽ
〱ܾ݊
展开式的系数规律．
当代数式ㄠͶ െͺㄠ͵ 〱ʹͶㄠʹ െ͵ʹㄠ〱ͳ͸ 的值为81 时，则ㄠ的值为__________．
【答案】5 或െͳ
【分析】根据给出的规律得到ㄠെʹ Ͷ 䳌ͺͳ，则ㄠെʹ ʹ 䳌ͻ，解方程即可．
【详解】解：由题意得ㄠͶ െͺㄠ͵ 〱ʹͶㄠʹ െ͵ʹㄠ〱ͳ͸ 䳌ㄠെʹ Ͷ 䳌ͺͳ，
即ㄠെʹ ʹ 䳌ͻ，解得ㄠ䳌ͷ 或െͳ．
8．（2026·浙江台州·二模）一道作业题，要求用多种方法解方程ㄠʹ െʹͷㄠ〱ʹͶ 䳌Ͳ．
有一位同学出现了如下解法：
解：观察方程可知，ㄠ䳌ͳ 是这个方程的一个解，
所以可设原方程为ㄠെͳܽ
ㄠ〱ܾ
䳌Ͳ，
即ܽ
ㄠʹ 〱ܾㄠെܽ
ㄠെܾ
䳌Ͳ，
所以ܽ
䳌ͳ，െܾ
䳌ʹͶ，ܾെܽ
䳌െʹͷ，
求得ܽ
䳌ͳ，ܾ
䳌െʹͶ，
即原方程为ㄠെͳ
ㄠെʹͶ 䳌Ͳ，
可得方程的两个根是ㄠͳ 䳌ͳ，ㄠʹ 䳌ʹͶ．
请分析这位同学的解法，写出方程ㄠ͵ 〱͵ㄠʹ െ͵ㄠെͳ 䳌Ͳ 所有的根_________．
【答案】ㄠͳ 䳌ͳ，ㄠʹ 䳌െʹ 〱
͵，ㄠ͵ 䳌െʹ െ
͵
【分析】仿照题干给出的因式分解方法，先通过试根找出方程的一个根，再利用多项式相等的条件分
解三次多项式为一次因式与二次因式的乘积，最后求解一元二次方程得到所有根.
【详解】将ㄠ䳌ͳ 代入方程左边ㄠ͵ 〱͵ㄠʹ െ͵ㄠെͳ ，得ͳ͵ 〱͵ ൈͳʹ െ͵ ൈͳ െͳ 䳌Ͳ ，
因此ㄠ䳌ͳ 是原方程的一个根.
设原方程可写为ሺㄠെͳ耀ሺܽㄠʹ 〱ܾㄠ〱ܿ耀䳌Ͳ ，展开得：ܽㄠ͵ 〱ሺܾെܽ
耀ㄠʹ 〱ሺܿെܾ耀ㄠെܿ
䳌Ͳ 对比原方程
ㄠ͵ 〱͵ㄠʹ െ͵ㄠെͳ 䳌Ͳ 的系数，
根据多项式相等对应系数相等，可得ܽ
䳌ͳǡܾെܽ
䳌͵ǡܿെܾ
䳌െ͵ǡ െܿ
䳌െͳ，
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解得ܽ
䳌ͳǡܾ䳌Ͷǡܿ䳌ͳ，
因此原方程可化为ሺㄠെͳ耀ሺㄠʹ 〱Ͷㄠ〱ͳ耀䳌Ͳ ，
可得ㄠെͳ 䳌Ͳ 或ㄠʹ 〱Ͷㄠ〱ͳ 䳌Ͳ，
解ㄠെͳ 䳌Ͳ 得ㄠ䳌ͳ，
对于一元二次方程ㄠʹ 〱Ͷㄠ〱ͳ 䳌Ͳ，判别式Δ 䳌Ͷʹ െͶ ൈͳ ൈͳ 䳌ͳʹ ，由求根公式得：ㄠ䳌
െͶേͳʹ
ʹ
䳌െ
ʹ േ
͵，
综上，方程的所有根为ㄠͳ 䳌ͳ，ㄠʹ 䳌െʹ 〱
͵，ㄠ͵ 䳌െʹ െ
͵.
9．（2026·浙江丽水·模拟预测）设一列数ܽͳ，ܽʹ，ܽ͵，…，ܽʹͲʹ͸中任意四个相邻数之和都是40，已知ܽͳ͵ 䳌ͳ͵，ܽ
ͳͺ 䳌ͺㄠ，ܽͶ͵ 䳌͵ㄠ〱͸，ܽͳͲͶ 䳌ͳʹㄠെʹ，那么ܽʹͲʹ͸ 䳌______．
【答案】8
【分析】根据任意四个相邻数之和为40，可推出这列数是以4 为周期循环，确定各已知数在周期中的
位置，列方程求解ㄠ，再根据周期得到ܽʹͲʹ͸的值．
【详解】解：根据题意，得ܽ݊
〱ܽ݊
〱ͳ 〱ܽ݊
〱ʹ 〱ܽ݊
〱͵ 䳌ܽ݊
〱ͳ 〱ܽ݊
〱ʹ 〱ܽ݊
〱͵ 〱ܽ݊
〱Ͷ，
因此可得ܽ݊
䳌ܽ݊
〱Ͷ，
即这列数中数的周期为4，
满足ܽ
ͳ 䳌ܽ
ͷ 䳌ܽ
ͻ 䳌案案案䳌ܽ
Ͷ݇〱ͳ，ܽ
ʹ 䳌ܽ
͸ 䳌ܽ
ͳͲ 䳌案案案䳌ܽ
Ͷ݇〱ʹ，ܽ
͵ 䳌ܽ
͹ 䳌ܽ
ͳͳ 䳌案案案䳌ܽ
Ͷ݇〱͵，ܽ
Ͷ 䳌ܽ
ͺ 䳌ܽ
ͳʹ 䳌案案案䳌ܽ
Ͷ݇；
对各已知数下标变形得：
ͳ͵ 䳌Ͷ ൈ͵ 〱ͳ，因此ܽͳ͵ 䳌ܽ
ͳ 䳌ͳ͵，
ͳͺ 䳌Ͷ ൈͶ 〱ʹ，因此ܽͳͺ 䳌ܽ
ʹ 䳌ͺㄠ，
Ͷ͵ 䳌Ͷ ൈͳͲ 〱͵，因此ܽͶ͵ 䳌ܽ
͵ 䳌͵ㄠ〱͸，
ͳͲͶ 䳌Ͷ ൈʹ͸，因此ܽͳͲͶ 䳌ܽ
Ͷ 䳌ͳʹㄠെʹ，
∵任意四个相邻数之和为40，
∴ܽͳ 〱ܽ
ʹ 〱ܽ
͵ 〱ܽ
Ͷ 䳌ͶͲ，
∴ͳ͵ 〱ͺㄠ〱͵ㄠ〱͸ 〱ͳʹㄠെʹ 䳌ͶͲ，
整理得ʹ͵ㄠ〱ͳ͹ 䳌ͶͲ，
解得ㄠ䳌ͳ，
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∵ʹͲʹ͸ 䳌Ͷ ൈͷͲ͸ 〱ʹ，
∴ܽʹͲʹ͸ 䳌ܽ
ʹ 䳌ͺㄠ䳌ͺ ൈͳ 䳌ͺ．
三、解答题
10．（2026·浙江嘉兴·一模）已知一列数，我们将第1 个数记为ܽͳ，第2 个数记为ܽʹ，第3 个数记为ܽ͵，…，
第݊
个数记为ܽ݊
，这݊
个数的和记为ܵ݊（即ܵ݊
䳌ܽ
ͳ 〱ܽ
ʹ 〱ڄڄڄ〱ܽ݊
），并且这列数从第3 个数开始满足ܽ͵ 䳌ܽ
ͳ 〱ܽ
ʹ，ܽͶ 䳌ܽ
ʹ 〱ܽ
͵，…，ܽ݊
䳌ܽ݊
െʹ 〱ܽ݊
െͳ．例如，当ܽͳ 䳌ͳ，ܽʹ 䳌ͳ 时，ܽ͵ 䳌ܽ
ͳ 〱ܽ
ʹ 䳌ͳ 〱ͳ 䳌ʹ，ܽͶ 䳌ܽ
ʹ 〱ܽ
͵ 䳌
ͳ 〱ʹ 䳌͵，…，ܵ͵ 䳌ܽ
ͳ 〱ܽ
ʹ 〱ܽ
͵ 䳌ͳ 〱ͳ 〱ʹ 䳌Ͷ，ܵͶ 䳌ܽ
ͳ 〱ܽ
ʹ 〱ܽ
͵ 〱ܽ
Ͷ 䳌ͳ 〱ͳ 〱ʹ 〱͵ 䳌͹，……
(1)当ܽͳ 䳌ͳ，ܽʹ 䳌ͳ 时，求ܽͷ和ܵͷ的值．
(2)若ܽʹ 䳌Ͷ，且ܵͷ 䳌ͳͺ，求ܽͳ的值．
【答案】(1)ܽͷ 䳌ͷ，ܵͷ 䳌ͳʹ
(2)ܽͳ 䳌െʹ
【分析】（1）根据ܽͷ 䳌ܽ
͵ 〱ܽ
Ͷ，ܵͷ 䳌ܽ
ͳ 〱ܽ
ʹ 〱ܽ
͵ 〱ܽ
Ͷ 〱ܽ
ͷ求解即可；
（2）先表示出ܽ͵ 䳌ܽ
ͳ 〱Ͷ，ܽͶ 䳌ܽ
ͳ 〱ͺ，ܽͷ 䳌ʹܽ
ͳ 〱ͳʹ，然后根据ܵͷ 䳌ͳͺ 列式求解即可．
【详解】（1）解：因为ܽͷ 䳌ܽ
͵ 〱ܽ
Ͷ，
所以ܽ
ͷ 䳌ʹ 〱͵ 䳌ͷ；
因为ܵͷ 䳌ܽ
ͳ 〱ܽ
ʹ 〱ܽ
͵ 〱ܽ
Ͷ 〱ܽ
ͷ，
所以ܵͷ 䳌ͳ 〱ͳ 〱ʹ 〱͵ 〱ͷ 䳌ͳʹ．
（2）解：若ܽ
ʹ 䳌Ͷ，
则ܽ͵ 䳌ܽ
ͳ 〱Ͷ，ܽͶ 䳌ܽ
ͳ 〱ͺ，ܽͷ 䳌ʹܽ
ͳ 〱ͳʹ．
由ܵͷ 䳌ͳͺ 得ܽͳ 〱ܽ
ʹ 〱ܽ
͵ 〱ܽ
Ͷ 〱ܽ
ͷ 䳌ͳͺ，
所以ܽ
ͳ 〱Ͷ 〱ܽ
ͳ 〱Ͷ 〱ܽ
ͳ 〱ͺ 〱ʹܽͳ 〱ͳʹ 䳌ͳͺ，
所以ͷܽͳ 䳌െͳͲ，
所以ܽ
ͳ 䳌െʹ．
11．（2026·浙江宁波·一模）我们学过配方法，对于二次三项式，当二次项系数为1 时，加上一次项系数一
半的平方，即可配成完全平方式，从而求出这个多项式的最大（或最小）值．
对于含字母参数a 的关于x 的多项式，我们同样可以用配方法求出它的最大（或最小）值，如：
ㄠʹ െʹܽ
െͳ ㄠ〱ʹܽ
ʹ െͺܽ〱ͳʹ
原式䳌ㄠʹ െʹܽ
െͳ ㄠ〱ܽ
െͳ ʹ െܽ
െͳ ʹ 〱ʹܽ
ʹ െͺܽ〱ͳʹ
䳌ㄠെܽ
െͳ
ʹ െܽ
ʹ 〱ʹܽ
െͳ 〱ʹܽ
ʹ െͺܽ〱ͳʹ
䳌ㄠെܽ
〱ͳ ʹ 〱ܽ
ʹ െ͸ܽ〱ͻ 〱ʹ
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䳌ㄠെܽ
〱ͳ ʹ 〱ܽ
െ͵ ʹ 〱ʹ．
所以，当ܽ
䳌͵，ㄠ䳌ʹ 时，此式的最小值为2．
试用上述方法求下列多项式的最小（或最大）值，并说明此时字母所取的值：
(1)െ͵ㄠʹ 〱͸ㄠ〱ͳͲ；
(2)ㄠʹ െʹㄠݕ〱ʹݕʹ 〱ʹㄠെ͸ݕ〱ͺ．
【答案】(1)当ㄠ䳌ͳ 时，多项式െ͵ㄠʹ 〱͸ㄠ〱ͳͲ 取得最大值为ͳ͵
(2)当ㄠ䳌ͳ，ݕ䳌ʹ 时，多项式ㄠʹ െʹㄠݕ〱ʹݕʹ 〱ʹㄠെ͸ݕ〱ͺ 的最小值为͵
【分析】（1）对െ͵ㄠʹ 〱͸ㄠ〱ͳͲ 进行配方，即可得出结果；
（2）对ㄠʹ െʹㄠݕ〱ʹݕʹ 〱ʹㄠെ͸ݕ〱ͺ 进行配方，即可得出结果．
【详解】（1）解：െ͵ㄠʹ 〱͸ㄠ〱ͳͲ
䳌െ͵ ㄠʹ െʹㄠ〱ͳͲ
䳌െ͵ ㄠʹ െʹㄠ〱ͳ െͳ 〱ͳͲ
䳌െ͵ ㄠെͳ ʹ 〱͵ 〱ͳͲ
䳌െ͵ ㄠെͳ ʹ 〱ͳ͵，
∵ㄠെͳ ʹ ൒Ͳ，
∴െ͵ ㄠെͳ ʹ ൑Ͳ，
∴െ͵ ㄠെͳ ʹ 〱ͳ͵ ൑ͳ͵，当且仅当ㄠെͳ 䳌Ͳ，即ㄠ䳌ͳ 时，等号成立，此时多项式取得最大值为ͳ͵；
（2）解：ㄠʹ െʹㄠݕ〱ʹݕʹ 〱ʹㄠെ͸ݕ〱ͺ
䳌ㄠʹ െʹ ݕെͳ ㄠ〱ݕെͳ ʹ െݕെͳ ʹ 〱ʹݕʹ െ͸ݕ〱ͺ
䳌ㄠെݕെͳ
ʹ െݕʹ െʹݕ〱ͳ 〱ʹݕʹ െ͸ݕ〱ͺ
䳌ㄠെݕ〱ͳ ʹ െݕʹ 〱ʹݕെͳ 〱ʹݕʹ െ͸ݕ〱ͺ
䳌ㄠെݕ〱ͳ ʹ 〱ݕʹ െͶݕ〱͹
䳌ㄠെݕ〱ͳ ʹ 〱ݕʹ െͶݕ〱Ͷ 〱͵
䳌ㄠെݕ〱ͳ ʹ 〱ݕെʹ ʹ 〱͵，
∵ㄠെݕ〱ͳ ʹ ൒Ͳ，ݕെʹ ʹ ൒Ͳ，
∴ㄠെݕ〱ͳ ʹ 〱ݕെʹ ʹ 〱͵ ൒͵，当且仅当ㄠെݕ〱ͳ 䳌Ͳ 且ݕെʹ 䳌Ͳ 时等号成立，
由ݕെʹ 䳌Ͳ 可得，ݕ䳌ʹ，
将ݕ䳌ʹ 代入ㄠെݕ〱ͳ 䳌Ͳ 可得ㄠ䳌ͳ，
故当ㄠ䳌ͳ，ݕ䳌ʹ 时，多项式ㄠʹ െʹㄠݕ〱ʹݕʹ 〱ʹㄠെ͸ݕ〱ͺ 的最小值为͵．
12．（2025·江苏南京·二模）命题：已知矩形A 两边长分别为m，n，存在一个矩形B，它的周长与面积都
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是矩形A 的k 倍（k 为大于1 的正整数）．
(1)当݉
䳌ͳ，݊
䳌ʹ，݇
䳌͵ 时，命题是否成立．若成立，求出矩形B 的两边长；若不成立，请说明理由．
(2)判断命题的真假，并说明理由．
【答案】(1)成立，矩形B 的两边长为
ͻെͷ͹
ʹ
，
ͻ〱ͷ͹
ʹ
，
(2)成立，
理由：若矩形A 两边长分别为m，n，此时矩形B 的周长为ʹ݇݉
〱݊
，面积为݇݉݊
，设矩形B 的长为
x，则宽为݇݉
〱݊
െㄠ．
根据题意列方程，得：ㄠ݇݉
〱݊
െㄠ䳌݇݉݊
，
即ㄠʹ െ݇݉
〱݊
ㄠ〱݇݉݊
䳌Ͳ，
根据求根公式得：ܾʹ െͶܽܿ
䳌݇
ʹ݉
〱݊
ʹ െͶ݇݉݊
䳌݇݇݉
〱݊
ʹ െͶ݉݊
，
∵݇
‴ ͳ，
∴݇݇݉
〱݊
ʹ െͶ݉݊
‴݉
〱݊
ʹ െͶ݉݊
又݉
〱݊
ʹ െͶ݉݊
䳌݉
െ݊
ʹ ൒Ͳ，
∴݇݇݉
〱݊
ʹ െͶ݉݊
‴ Ͳ，
∴存在矩形B，
∴此命题成立．
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式及其解法．
（1）根据矩形的长和宽表示出新矩形的长和宽，再根据面积的关系列出一元二次方程，进一步求解即
可；
（2）设矩形A 两边长分别为m，n，此时矩形B 的周长为ʹ݇݉
〱݊
，面积为݇݉݊
，设矩形B 的长为
x，则宽为݇݉
〱݊
െㄠ．再根据面积的关系列出一元二次方程，利用根的判别式求解即可．
【详解】（1）解：当݉
䳌ͳ，݊
䳌ʹ，݇
䳌͵ 时，此时矩形B 的周长为18，面积为6，
设矩形B 的长为x，则宽为ͻ െㄠ．
根据题意列方程，得：ͻ െㄠㄠ䳌͸，
∴ㄠʹ െͻㄠ〱͸ 䳌Ͳ，
解之得：ㄠͳ 䳌
ͻെͷ͹
ʹ
，ㄠʹ 䳌
ͻ〱ͷ͹
ʹ
；
∴此时命题成立．
（2）略
13．（2026·浙江舟山·二模）课堂上，程老师出示了两道题目进行对比分析，两位同学分别进行了回答．
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题目1
题目2
解方程：
ʹെㄠ
ㄠെ͵ 䳌
ͳ
͵െㄠെʹ
计算：
ʹെㄠ
ㄠെ͵ െ
ͳ
͵െㄠ〱ʹ
解：方程两边同乘ㄠെ͵ ，得ʹ െㄠ䳌െͳ െ
ʹ ㄠെ͵ ①
去括号、移项得െㄠ〱ʹㄠ䳌െͳ 〱͸ െʹ②
解得ㄠ䳌͵③
解：原式䳌ʹ െㄠ〱ͳ 〱
ʹ ㄠെ͵
䳌ㄠെ͵
(1)在题目1 中，该同学经检验发现当ㄠ䳌͵ 时，ㄠെ͵ 䳌Ͳ，即分母为0，故ㄠ䳌͵ 是方程的增根，则产生增
根的步骤是第_________步．（选填“①”、“②”、“③”）
(2)在题目2 中，该同学代入ㄠ䳌ͳ 时发现原式结果为1，但计算后的结果是െʹ，显然计算有误．请你写出
正确的计算过程．
【答案】(1)①
(2)解：原式䳌
ʹെㄠ〱ͳ
ㄠെ͵ 〱ʹ
䳌
͵െㄠ
ㄠെ͵ 〱ʹ
䳌െͳ 〱ʹ
䳌ͳ
【详解】（1）原方程分母不能等于零，即ㄠ്
͵，第①步把原方程转化为整式方程后，ㄠ的取值可以
为3，产生了原方程的增根．
（2）略．
14．（2026·浙江台州·二模）丢番图曾提出这样一个问题：将一给定的平方数，分为两个正有理数的平方和．
例如给定的平方数为16．
设其中一个正有理数的平方为ㄠʹ，则另一个正有理数的平方为ͳ͸ െㄠʹ．
令ͳ͸ െㄠʹ 䳌ሺ݉
ㄠെͶ耀ʹ，其中݉
为整数．
取݉
䳌ʹ，则ͳ͸ െㄠʹ 䳌ሺʹㄠെͶ耀ʹ，
于是ͳ͸ െㄠʹ 䳌Ͷㄠʹ െͳ͸ㄠ〱ͳ͸，
解得ㄠͳ 䳌Ͳ（舍去），ㄠʹ 䳌
ͳ͸
ͷ ．
所以ㄠʹ 䳌
ʹͷ͸
ʹͷ ，ͳ͸ െㄠʹ 䳌ͳ͸ െ
ͳ͸
ͷ
ʹ
䳌
ͳͶͶ
ʹͷ ，
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即ͳ͸ 䳌
ʹͷ͸
ʹͷ 〱
ͳͶͶ
ʹͷ 䳌
ͳ͸
ͷ
ʹ
〱
ͳʹ
ͷ
ʹ
．
(1)上面的解决过程中，为何将ㄠͳ 䳌Ͳ 舍去？请说明理由．
(2)请你将平方数9 分为两个正有理数的平方和．
【答案】(1)见解析
(2)ͻ 䳌
ͳʹ
ͷ
ʹ
〱
ͻ
ͷ
ʹ
【分析】（1）根据题意，ㄠ为正有理数即可求解；
（2）根据题干的解题步骤，设其中一个正有理数的平方为ㄠʹ，则另一个正有理数的平方为ͻ െㄠʹ，令
ͻ െㄠʹ 䳌ሺ݉
ㄠെ͵耀ʹ，取݉
䳌ʹ，再通过解方程求出ㄠ的值，进而求解即可．
【详解】（1）解：因为题目要求将给定平方数分为两个正有理数的平方和，
ㄠ䳌Ͳ 不是正有理数，不符合要求，故舍去；
（2）解：设其中一个正有理数的平方为ㄠʹ，则另一个正有理数的平方为ͻ െㄠʹ．
令ͻ െㄠʹ 䳌ሺ݉
ㄠെ͵耀ʹ，其中݉
为整数．
取݉
䳌ʹ，则ͻ െㄠʹ 䳌ሺʹㄠെ͵耀ʹ，
于是ͻ െㄠʹ 䳌Ͷㄠʹ െͳʹㄠ〱ͻ，
解得ㄠͳ 䳌Ͳ（舍去），ㄠʹ 䳌
ͳʹ
ͷ ．
所以ㄠʹ 䳌
ͳͶͶ
ʹͷ ，ͻ െㄠʹ 䳌ͻ െ
ͳʹ
ͷ
ʹ
䳌
ͺͳ
ʹͷ，
即ͻ 䳌
ͳͶͶ
ʹͷ 〱
ͺͳ
ʹͷ 䳌
ͳʹ
ͷ
ʹ
〱
ͻ
ͷ
ʹ
．
15．（2026·浙江宁波·三模）一元二次方程是初中数学代数板块的核心内容，也是中考的重点考查模块．现
以“单元整体”的视角，从定义、解法、根与系数的关系等核心维度，尝试解答下列问题：
(1)【概念辨析】若关于ㄠ的方程͵ െܽ
ㄠܽ
െͳ 〱͵ㄠ䳌ͷ 是一元二次方程，则ܽ
的值是____．
(2)【解法实践】请从以下三个一元二次方程中任选一个你喜欢的方程进行求解：
①用配方法解：ㄠʹ 〱Ͷㄠ〱ͳ 䳌Ͳ；
②用公式法解：͵ㄠʹ െͷㄠ〱ͳ 䳌Ͳ；
③用因式分解法解：ሺㄠെͶ耀ʹ 䳌ͺ െʹㄠ．
(3)【综合应用】已知݉
，݊是一元二次方程ㄠʹ 〱ʹㄠെͳ 䳌Ͳ 的两根，请尝试计算݉
ʹ 〱͵݉
〱ͳ݊
ʹ 〱͵݊
〱ͳ
的值．
【答案】(1)െ͵
(2)选择方程①，ㄠͳ 䳌െʹ 〱
͵，ㄠʹ 䳌െʹ െ
͵（答案不唯一）；
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(3)݉
ʹ 〱͵݉
〱ͳ݊
ʹ 〱͵݊
〱ͳ 䳌െͳ
【分析】（1）由一元二次方程的定义：含有一个未知数，未知数的最高次数为2 的整式方程即可得；
（2）根据解一元二次方程的方法解答即可；
（3）本题考查根与系数的关系，与一元二次方程解的定义，先利用方程的解的定义对式子进行化简，
再由根与系数的关系：ㄠͳ 〱ㄠʹ 䳌െܾܽ，ㄠͳㄠʹ 䳌ܿܽ即可得．
【详解】（1）解：由题意，得ܽ
െͳ 䳌ʹ 且͵ െ്ܽ
Ͳ，解得ܽ
䳌െ͵；
（2）选择方程①
由方程ㄠʹ 〱Ͷㄠ〱ͳ 䳌Ͳ；得：
ㄠʹ 〱Ͷㄠ䳌െͳ，
ㄠʹ 〱Ͷㄠ〱Ͷ 䳌െͳ 〱Ͷ，
ሺㄠ〱ʹ耀ʹ 䳌͵，
ㄠ〱ʹ 䳌േ
͵，
ㄠ䳌െʹ േ
͵，
∴ㄠͳ 䳌െʹ 〱
͵，ㄠʹ 䳌െʹ െ
͵；
选择方程②
͵ㄠʹ െͷㄠ〱ͳ 䳌Ͳ
׶ܽ
䳌͵，ܾ
䳌െͷ，ܿ䳌ͳ，
׵ Δ 䳌ܾ
ʹ െͶܽܿ
䳌ʹͷ െͶ ൈ͵ ൈͳ 䳌ͳ͵
׵ ㄠ䳌
െܾേΔ
ʹܽ
䳌
ͷേͳ͵
͸
，
׵ ㄠͳ 䳌
ͷ〱ͳ͵
͸
，ㄠʹ 䳌
ͷെͳ͵
͸
；
选择方程③
ሺㄠെͶ耀ʹ 䳌ͺ െʹㄠ
ㄠെͶ ʹ 䳌െʹ ㄠെͶ
ㄠെͶ ʹ 〱ʹ ㄠെͶ 䳌Ͳ
ㄠെͶ
ㄠെͶ 〱ʹ 䳌Ͳ
ㄠെͶ
ㄠെʹ 䳌Ͳ
׵ ㄠെͶ 䳌Ͳ 或ㄠെʹ 䳌Ͳ
׵ ㄠͳ 䳌Ͷ，ㄠʹ 䳌ʹ；
（3）׶݉
，݊
是一元二次方程ㄠʹ 〱ʹㄠെͳ 䳌Ͳ 的两根，
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׵代入得：݉
ʹ 〱ʹ݉
െͳ 䳌Ͳ，݊
ʹ 〱ʹ݊
െͳ 䳌Ͳ，且݉
〱݊
䳌െʹ，݉݊
䳌െͳ，
׵݉
ʹ 〱͵݉
〱ͳ݊
ʹ 〱͵݊
〱ͳ
䳌݉
ʹ 〱ʹ݉
െͳ 〱݉
〱ʹ݊
ʹ 〱ʹ݊
െͳ 〱݊
〱ʹ
䳌݉
〱ʹ݊
〱ʹ
䳌݉݊
〱ʹ݉
〱ʹ݊
〱Ͷ
䳌݉݊
〱ʹ݉
〱݊
〱Ͷ
䳌െͳ 〱ʹ ൈെʹ 〱Ͷ
䳌െͳ．
16．（2026·浙江温州·模拟预测）【阅读理解】
同学们，我们来学习近似计算二次方程解的方法．
例如，求ʹㄠʹ 〱ʹㄠെ͹ 䳌Ͳ 的解．
思路：在二次函数ݕ䳌ʹㄠʹ 〱ʹㄠെ͹ 中，若取x 的值为ㄠͳ，ㄠʹ，ㄠͳ ൏ㄠʹ，使得相应的函数值ݕͳ ڄ ݕʹ ൏Ͳ，则
抛物线与x 轴的交点中至少有一个在ㄠͳǡͲ 与ㄠʹǡͲ 之间，也就是说，方程ʹㄠʹ 〱ʹㄠെ͹ 䳌Ͳ 至少有一个解
在ㄠͳ与ㄠʹ之间．
(1)【尝试探究】
小明按照上述方法求方程ʹㄠʹ 〱ʹㄠെ͹ 䳌Ͳ 的一个解，过程如下表：
x 的值
0
1
2
3
ݕ䳌ʹㄠʹ 〱ʹㄠെ͹
െ͹
a
b
c
请利用表格信息，求出方程的解在哪两个相邻的整数之间．
(2)【迁移应用】
若关于x 的方程ㄠʹ 〱Ͷㄠ〱݉
䳌Ͳ 有两个不同的解，恰有一个解落在െͶ 与െ͵ 之间，求m 的取值范围．
【答案】(1)方程的解落在1 和2 之间
(2)Ͳ ൏݉
൏͵
【分析】（1）将点的横坐标代入解析式得到纵坐标，根据两点纵坐标之积小于零，判断解的范围；
（2）将ㄠ䳌െͶ 和ㄠ䳌െ͵ 分别代入ݕ䳌ㄠʹ 〱Ͷㄠ〱݉
得到ݕͳ、ݕʹ，根据ݕͳݕʹ ൏Ͳ，结合判别式大于0
求出m 的取值范围．
【详解】（1）解：将ㄠͳ 䳌ͳ 代入得，ݕͳ 䳌െ͵；当ㄠʹ 䳌ʹ 时，ݕʹ 䳌ͷ，
所以ݕͳ ڄ ݕʹ ൏Ͳ，所以方程的解落在1 和2 之间．
（2）解：׶方程ㄠʹ 〱Ͷㄠ〱݉
䳌Ͳ 有两个不同的解，
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׵ Δ 䳌Ͷʹ െͶ݉
‴ Ͳ，
׵݉
൏Ͷ，
将ㄠͳ 䳌െͶ，ㄠʹ 䳌െ͵ 分别代入得ݕͳ 䳌݉
，ݕʹ 䳌݉
െ͵，
∵恰有一个解落在െͶ 与െ͵ 之间，
∴ݕͳݕʹ 䳌݉݉
െ͵ ൏Ͳ，所以Ͳ ൏݉
൏͵．
17．（2026·浙江丽水·模拟预测）在某次举办的机器人长跑比赛中，有甲、乙两款机器人需要从相同起点同
向跑步ʹʹkm．机器人甲在跑步过程中速度保持不变，为ͺkm/h，但每跑1 小时需要更换电池原地休息12
分钟；甲出发12 分钟后机器人乙才出发，速度保持不变，为ݒ（km/h），乙跑一段时间后，因为故障，原
地修理了一段时间才继续按原速奔跑．已知机器人甲、乙跑步的路程y（km）与甲跑步的时间x（h）之间
的函数关系图象如图所示．
(1)ݐ䳌______，ݒ䳌______．
(2)求线段ܣܤ所在直线的函数表达式．
(3)直接写出机器人甲、乙相遇时乙跑步的时间．
【答案】(1)
͸͵
ʹͲ；12
(2)ݕ䳌
ͳͶͲ
ͳ͵ ㄠെ
ͳͷͷ
ͳ͵ ；
(3)Ͳ案Ͷh，ͳ案ͺ͹ͷh，ʹ案͹ͷh
【分析】（1）先求出当甲跑步时间ㄠ䳌Ͳ案͸h 时甲的路程，用路程除以甲的速度再加上两次休息的时间
可求出t 的值；由题意可知此时乙跑步时间为Ͳ案Ͷh，即可求出ݒ的值；
（2）设ݕ䳌݇
ㄠ〱ܾ，将ܣʹ案ͷǡͳͷ ，ܤ
͸͵
ʹͲ ǡʹʹ 代入计算即可；
（3）分三种情况作答即可．
【详解】（1）解：12 分钟䳌Ͳ案ʹ 小时，乙比甲晚出发Ͳ案ʹ 小时，
ݐ䳌
ʹʹ
ͺ 〱Ͳ案ʹ 〱Ͳ案ʹ 䳌
͸͵
ʹͲ，
当甲跑步时间ㄠ䳌Ͳ案͸h 时：甲的路程：ݕ䳌ͺ ൈͲ案͸ 䳌Ͷ案ͺ km ，
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乙跑步时间为Ͳ案͸ െͲ案ʹ 䳌Ͳ案Ͷ h ，此时两者路程相等，
故ݒ䳌
Ͷ案ͺ
Ͳ案Ͷ 䳌ͳʹ km h ．
（2）解：由（1）知ܣʹ案ͷǡͳͷ ，ܤ
͸͵
ʹͲǡʹʹ ，
设ݕ䳌݇
ㄠ〱ܾ，
代入得
ʹ案ͷ݇〱ܾ
䳌ͳͷ
͸͵
ʹͲ݇
〱ܾ
䳌ʹʹ ，
解得：݇
䳌
ͳͶͲ
ͳ͵ܾ
䳌െ
ͳͷͷ
ͳ͵
，
∴线段ܣܤ所在直线的函数表达式为ݕ䳌
ͳͶͲ
ͳ͵ ㄠെ
ͳͷͷ
ͳ͵ ；
（3）解：第一次相遇：ㄠ䳌Ͳ案͸h，乙跑步时间䳌Ͳ案͸ െͲ案ʹ 䳌Ͳ案Ͷh；
第二次相遇：乙维修停在ݕ䳌ͳͷ 处，
∵ͳͷ ൊͺ 䳌ͳǥǥ͹，
∴甲跑到ݕ䳌ͳͷ 时，ㄠ䳌ͳ 〱Ͳ案ʹ 〱
͹
ͺ 䳌ʹ案Ͳ͹ͷ h ，
此时乙总跑步时间为ʹ案Ͳ͹ͷ െͲ案ʹ 䳌ͳ案ͺ͹ͷ h ；
第三次相遇：ㄠ‴ ʹ案ͷ 时，则ͳʹㄠെͳͷ 䳌ͺㄠെͲ案ʹ ൈʹ ൈͺ，
解得ㄠ䳌ʹ案ͻͷh，
此时乙总跑步时间为ʹ案ͻͷ െͲ案ʹ 䳌ʹ案͹ͷ h ；
综上所述，甲、乙相遇时乙跑步的时间为Ͳ案Ͷh，ͳ案ͺ͹ͷh，ʹ案͹ͷh．
18．（2026·浙江宁波·一模）2026 宁波半程马拉松的赛程全长为21 千米．小聪和小明两名选手同时从起点
出发，小聪在整个比赛过程中保持匀速跑步，小明跑了60 分钟后到达食品补给站，在补给站中休息10 分
钟后继续以原速跑到终点．小聪和小明离出发点的路程ݕkm 与出发时间ㄠmin 之间的函数关系如图1 所
示，两人相距的路程ܵ
km 与出发时间ㄠmin 之间的函数关系如图2 所示．
(1)求小明跑步的速度（单位：千米/分）．
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(2)求图中ܽ
的值．
(3)两人出发多少分钟后，他们相距的路程最大，并求出该最大值．
【答案】(1)
ͳ
Ͷ千米/分
(2)126
(3)出发ͻͶmin 时，两人相距最远为
ͳ͸
͵ km
【分析】（1）根据速度的定义求解即可；
（2）设ܱ
ܦ对应的函数表达式ݕ䳌݇
ㄠ，待定系数法求解即可；
（3）根据题意，分Ͳ ൑ㄠ൑͸Ͳ，͸Ͳ൏ㄠ൑͹Ͳ，͹Ͳ൏ㄠ൑ͻͶ，ͻͶ൏ㄠ൑ͳʹ͸，求解即可；
【详解】（1）解：小明跑步的速度为
ͳͷ
͸Ͳ 䳌
ͳ
Ͷ千米/分．
（2）解：小明跑了60 分钟，路程为15 千米，根据图2，得此时二人相距5 千米，
故此时小聪跑的路程为ͳͷ െͷ 䳌ͳͲ（千米），
故图象经过点͸ͲǡͳͲ ，
设ܱ
ܦ对应的函数表达式ݕ䳌݇
ㄠ，
由题意得图象过点͸ͲǡͳͲ ，
׵ ͳͲ 䳌͸Ͳ݇，
解得݇
䳌
ͳ
͸．
׵ܱ
ܦ对应的函数表达式ݕ䳌
ͳ
͸ ㄠ．
令ݕ䳌ʹͳ，
解得ㄠ䳌ͳʹ͸．
׵ܽ
的值为126．
（3）解：当Ͳ ൑ㄠ൑͸Ͳ 时，根据题意，得ݏ䳌
ͳ
Ͷ ㄠെ
ͳ
͸ ㄠ䳌
ͳ
ͳʹ ㄠ，
且s 随x 的增大而增大，
故ㄠ䳌͸Ͳ 时，s 取得最大值，且最大值为ݏ䳌
ͳ
ͳʹ ൈ͸Ͳ 䳌ͷ（千米）；
当͸Ͳ൏ㄠ൑͹Ͳ 时，根据题意，得小明此时休息，路程保持15 千米，小聪跑的路程表达式为ݕ䳌
ͳ
͸ ㄠ，
故ݏ䳌ͳͷ െ
ͳ
͸ ㄠ，
且s 随x 的增大而减小，
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故ㄠ䳌͸Ͳ 时，s 取得最大值，且最大值为ݏ䳌
ͳ
ͳʹ ൈ͸Ͳ 䳌ͷ（千米）；
此时取不到60，故最大值小于5 千米即ݏ൏ͷ；
小明跑完最后͸km 所需的时间为͸ ൊ
ͳ
Ͷ 䳌ʹͶmin．
当͹Ͳ൏ㄠ൑ͻͶ 时，根据题意，得小明跑的路程表达式为ݕ䳌
ͳ
Ͷ ㄠെ͹Ͳ 〱ͳͷ 䳌
ͳ
Ͷ ㄠെʹ案ͷ，
小聪跑的路程表达式为ݕ䳌
ͳ
͸ ㄠ，
故ݏ䳌
ͳ
Ͷ ㄠെʹ案ͷ െ
ͳ
͸ ㄠ䳌
ͳ
ͳʹ ㄠെʹ案ͷ，
且s 随x 的增大而增大，
故ㄠ䳌ͻͶ 时，s 取得最大值，且最大值为ݏ䳌
ͳ
ͳʹ ൈͻͶ െʹ案ͷ 䳌
ͳ͸
͵ （千米）；
当ͻͶ൏ㄠ൑ͳʹ͸ 时，根据题意，得小明跑到了终点，路程为21 千米，不变；
小聪跑的路程表达式为ݕ䳌
ͳ
͸ ㄠ，
故ݏ䳌ʹͳ െ
ͳ
͸ ㄠ，
且s 随x 的增大而减小，
故ㄠ䳌ͻͶ 时，s 取得最大值，且最大值为ݏ䳌ʹͳ െ
ͳ
͸ ൈͻͶ 䳌
ͳ͸
͵ （千米）；
此时取不到94，故最大值小于
ͳ͸
͵ 千米即ݏ൏
ͳ͸
͵ ；
׶
ͳ͸
͵ ‴ ͷ，
׵当ㄠ䳌ͻͶ 时，他们之间相距最远，且为
ͳ͸
͵ 千米．
19．（2026·浙江杭州·二模）解答以下问题
(1)观察发现：计算下列各式的结果，观察结果的特征：
①ͳ ൈʹ ൈ͵ ൈͶ 〱ͳ 䳌ͷʹ
②ʹ ൈ͵ ൈͶ ൈͷ 〱ͳ 䳌ͳͳʹ
③͵ ൈͶ ൈͷ ൈ͸ 〱ͳ 䳌ͳͻʹ
④Ͷ ൈͷ ൈ͸ ൈ͹ 〱ͳ 䳌．
(2)思考探究：设n 为正整数，
①第n 个算式为݊݊
〱ͳ݊
〱ʹ݊
〱͵ 〱ͳ 䳌．
②请通过整式运算证明：该式的结果一定是某个整式的平方．
小明的部分证明过程如下：
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证明：原式䳌݊݊
〱͵݊
〱ͳ݊
〱ʹ
〱ͳ
䳌݊
ʹ 〱͵݊݊
ʹ 〱͵݊
〱ʹ 〱ͳ
设ܯ䳌݊
ʹ 〱͵݊，则原式䳌ܯܯ〱ʹ 〱ͳ ڄڄڄڄڄڄ
小明证明过程中用了思想方法，请把小明没有完成的过程补充完整．
(3)拓展应用：已知四个连续正整数的乘积加1 等于ͳͲͻʹ，求四个正整数中最小的整数．
【答案】(1)ʹͻʹ
(2)①ሺ݊
ʹ 〱͵݊
〱ͳ耀ʹ；②换元（整体），见解析
(3)ͻ
【分析】（1）利用有理数的混合运算法则求出结果即可；
（2）①根据给出算式，总结出规律即可；
②利用换元思想和完全平方公式进行证明；
（3）根据题意，列出一元二次方程，然后利用因式分解法求解．
【详解】（1）解：Ͷ ൈͷ ൈ͸ ൈ͹ 〱ͳ 䳌ʹͻʹ；
（2）解：①݊݊
〱ͳ݊
〱ʹ݊
〱͵ 〱ͳ 䳌ሺ݊
ʹ 〱͵݊
〱ͳ耀ʹ；
②小明证明过程中用了换元（整体）思想方法，
证明：原式䳌݊݊
〱͵݊
〱ͳ݊
〱ʹ
〱ͳ
䳌݊
ʹ 〱͵݊݊
ʹ 〱͵݊
〱ʹ 〱ͳ
设ܯ䳌݊
ʹ 〱͵݊，则原式䳌ܯܯ〱ʹ 〱ͳ 䳌ܯʹ 〱ʹܯ〱ͳ 䳌ܯ〱ͳ ʹ，
将ܯ䳌݊
ʹ 〱͵݊
代入上式得，
∴݊݊
〱ͳ݊
〱ʹ݊
〱͵ 〱ͳ 䳌ሺ݊
ʹ 〱͵݊
〱ͳ耀ʹ；
（3）解：根据题意得݊
ʹ 〱͵݊
〱ͳ 䳌ͳͲͻ，
∴݊
ʹ 〱͵݊
െͳͲͺ 䳌Ͳ，݊
〱ͳʹ݊
െͻ 䳌Ͳ
解得݊
䳌ͻ 或݊
䳌െͳʹ（舍去），
∴四个正整数中最小的整数为9．
20．（2026·浙江台州·二模）【发现】
数学兴趣小组活动中，小明发现：偶数的平方能被4 整除．
证明过程如下：整数݉
为偶数时，设݉
䳌ʹ݊（其中݊
为整数），݉
ʹ 䳌ʹ݊
ʹ 䳌Ͷ݊
ʹ，
因为݊
ʹ是整数，
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所以݉
ʹ能被4 整除．
【类比】
探究奇数的平方被4 除所得余数的情况．
小明通过举例发现：
(1)奇数的平方被4 除余数为__________．
证明过程如下：整数݉
为奇数时，设݉
䳌ʹ݊
〱ͳ（其中݊
为整数），
……
(2)请补全证明过程．
【应用】
(3)小红求得某一个整系数一元二次方程判别式的值等于2026．判断小红的计算结果是否正确？若正确，请
写出一个符合条件的一元二次方程；若不正确，请说明理由．（注：整系数一元二次方程是指关于ㄠ的方
程ܽ
ㄠʹ 〱ܾㄠ〱ܿ
䳌Ͳ，其中ܽ
，ܾ，ܿ均为整数，且്ܽ
Ͳ）
【答案】(1)1
(2)证明见解析
(3)小红的计算结果不正确，理由见解析
【分析】（1）（2）设奇数为݉
䳌ʹ݊
〱ͳ（݊
为整数），展开平方后整理变形，根据整除的性质证明
结论；
（3）根据ܾ
的奇偶性，分析判别式Δ 䳌ܾ
ʹ െͶܽܿ
被Ͷ 除的余数，将2026 除以Ͷ 得到余数，对比即可
判断结果是否正确．
【详解】（1）解：奇数的平方被4 除余数为1，
证明见（2）；
（2）证明：׶整数݉
为奇数时，设݉
䳌ʹ݊
〱ͳ（其中݊
为整数），
׵݉
ʹ 䳌ʹ݊〱ͳ ʹ
䳌Ͷ݊
ʹ 〱Ͷ݊
〱ͳ
䳌Ͷ݊
ʹ 〱݊
〱ͳ，
׶݊
是整数，
׵݊
ʹ 〱݊
是整数，
׵ Ͷ݊
ʹ 〱݊
能被Ͷ 整除，
׵݉
ʹ被Ͷ 除所得余数为ͳ；
（3）解：小红的计算结果不正确，理由如下：
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由题意得，设整系数一元二次方程为ܽ
ㄠʹ 〱ܾㄠ〱ܿ
䳌Ͳ（്ܽ
Ͳ，a，b，c 均为整数），
∴Δ 䳌ܾ
ʹ െͶܽܿ
，
当ܾ
为偶数时，由题干可得，ܾʹ能被Ͷ 整除，
∵Ͷܽܿ
是Ͷ 的整数倍，
∴Δ 䳌ܾ
ʹ െͶܽܿ
能被Ͷ 整除，即Δ被Ͷ 除余数为Ͳ；
当ܾ
为奇数时，由（2）可知，ܾʹ被Ͷ 除余数为ͳ，
∵Ͷܽܿ
是Ͷ 的整数倍，
∴Δ 䳌ܾ
ʹ െͶܽܿ
被Ͷ 除余数为ͳ，
∴任意整系数一元二次方程的判别式被Ͷ 除的余数只能是Ͳ 或ͳ，
׶ ʹͲʹ͸ ൊͶ 䳌ͷͲ͸ڮڮʹ，即2026 被Ͷ 除余数为ʹ，不满足上述结论，
׵小红的计算结果不正确．