专题03方程与方程组（5年汇编）（浙江专用）（原卷版）_2026秋初中教辅合集_2027学科网&_2027新好题汇编_2027新好题汇编2022-2026年中考数学真题分类汇编（浙江专用）

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专题03 方程与方程组
5 年真题1 年模拟
考点分类
浙江考情（2022-2026）
命题规律
考点01 一元一次方
程及其应用
2026·浙江·中考
2023·浙江嘉兴·中考
2023·浙江温州·中考
2023·浙江衢州·中考
2022·浙江嘉兴·中考
2022·浙江绍兴·中考
2022·浙江杭州·中考
2022-2026 年浙江中考在本考点共收录7 道真题，主要
考查根据实际数量关系列一元一次方程、解一元一次方
程以及辨析解方程过程中的错误。命题素材包括比赛积
分、古代生丝损耗、营养成分等，体现出较强的生活化
与数学文化特点。2026 年省级命题继续采用比赛积分情
境考查方程建模，说明“读懂数量关系并正确列式”仍
是主要方向。题目整体难度不高，但容易在去分母、单
位换算、括号处理和未知量表示上失分。复习时应同时
训练规范解方程和从文字情境中提取等量关系。
考点02 二元一次方
程（组）及其应用
2026·浙江·中考
2025·浙江·中考
2024·浙江·中考
2023·浙江·中考
2023·浙江宁波·中考
2023·浙江温州·中考
2023·浙江·中考
2023·浙江衢州·中考
2023·浙江台州·中考
2022·浙江杭州·中考
2022·浙江宁波·中考
2022·浙江嘉兴·中考
2022·浙江衢州·中考
2022·浙江台州·中考
2022·浙江舟山·中考
2022·浙江绍兴·中考
2022-2026 年浙江中考在本考点共收录16 道真题，是专
题03 中考查最稳定的考点。题型包括直接解方程组、
判断方程的解、根据实际情境列方程或方程组，以及将
方程组与图形面积、行程路线、数学文化材料结合。
2022-2023 年各地市卷以列方程组为主，常见情境涉及
票价、资源分配、足球积分、质量配比和古代数学问题；
2024-2026 年省级命题连续考查方程组的解法或建模，
说明该考点具有较强的延续性。命题趋势是由单纯消元
逐步走向复杂材料阅读和多数量关系建模。复习时既要
熟练掌握代入消元法、加减消元法，也要准确区分“总
量关系”和“倍数、差量关系”。
考点03 分式方程的
解法与应用
2026·浙江·中考
2025·浙江·中考
2022-2026 年浙江中考在本考点共收录11 道真题，且
2024-2026 年省级命题连续出现，考查稳定。题目既包
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2024·浙江·中考
2023·浙江台州·中考
2023·浙江嘉兴·中考
2022·浙江宁波·中考
2022·浙江台州·中考
2022·浙江丽水·中考
2022·浙江金华·中考
2022·浙江嘉兴·中考
2022·浙江衢州·中考
括直接解分式方程、由分式值建立方程和判断解题过
程，也包括工程效率、平均量、单价费用和新定义运算
等应用。直接计算题重点考查去分母、整式方程求解和
验根；应用题则要求根据平均数、单价或单位费用建立
分式关系。2023 年的错解辨析题和2022 年的新定义题
表明，命题已不局限于机械求解，而更加重视转化思想、
增根意识和方法理解。复习时必须强化取值范围的限制
和验根步骤，并注意与专题02 的分式恒等变形严格区
分。
考点04 一元二次方
程的解法与根的判
别式
2026·浙江·中考
2022·浙江温州·中考
2022-2026 年浙江中考在本考点共收录2 道真题，现有
题量较少，均以选择题形式考查一元二次方程根的判别
式。考查内容分别为含参数方程根的情况判断和由两个
相等实数根反求参数，核心是根据判别式与零的大小关
系判断根的情况。现有真题尚未覆盖配方法、公式法、
因式分解法等直接解法，因此当前题库覆盖面不足。
2026 年省级命题重新考查根的判别式，说明该知识点仍
具有现实命题价值。复习时应补充直接解方程、选择适
当解法、含参数根的情况和根与系数关系之间的综合
题。
考点05 一元二次方
程的实际应用
2023·浙江湖州·中考
2023·浙江衢州·中考
2023·浙江金华·中考
2022·浙江杭州·中考
2022·浙江衢州·中考
2022-2023 年浙江中考在本考点共收录5 道真题，
2024-2026 年未直接收录。题目主要围绕平均增长率、
传染传播、矩形面积变化和包装盒体积建立一元二次方
程，既考查列方程，也考查结合实际意义取舍方程的根。
增长率和传播问题突出连续变化模型，几何应用则要求
把边长变化转化为面积或体积关系。2023 年金华题还将
唯一解与判别式结合，综合性较强。复习时应重点掌握
增长率模型、传播模型、面积体积模型，并训练对负根、
超范围根等不合实际解的舍去说明。
考点01 一元一次方程及其应用
1．（2026·浙江·中考真题）2026 年“吴越杯”浙江省城市足球联赛开赛，规定胜一场积3 分，平一场积
1 分，负一场积0 分．某队在10 场比赛中负了2 场，共积20 分，求该队的胜场数．设该队胜了x 场，则x
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满足的方程是（
）
A．͵宰ᇰͳͲ െʹ ൈͳ 䳌ʹͲ
B．͵宰ᇰͳͲ െʹ െ宰ൈͳ 䳌ʹͲ
C．͵宰ᇰͳͲ ൈͳ 䳌ʹͲ
D．͵宰ᇰͳͲ െ宰ൈͳ 䳌ʹͲ
2．（2023·浙江·中考真题）古代中国的数学专著《九章算术》中有一题：“今有生丝三十斤，干之，耗三斤
十二两．今有干丝一十二斤，问生丝几何？”意思是：“今有生丝͵Ͳ 斤，干燥后耗损͵ 斤ͳʹ 两（古代中国
ͳ 斤等于ͳ͸ 两）．今有干丝ͳʹ 斤，问原有生丝多少？”则原有生丝为__________斤．
3．（2023·浙江温州·中考真题）一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的1.5 倍，碳水化合
物、蛋白质与脂肪的含量共30g．设蛋白质、脂肪的含量分别为宰g ，ݕg ，可列出方程为（
）
A．
ͷ
ʹ 宰ᇰݕ䳌͵Ͳ
B．宰ᇰ
ͷ
ʹ ݕ䳌͵Ͳ
C．
͵
ʹ 宰ᇰݕ䳌͵Ͳ
D．宰ᇰ
͵
ʹ ݕ䳌͵Ͳ
4．（2023·浙江衢州·中考真题）小红在解方程
͹宰
͵ 䳌
Ͷ宰െͳ
͸
ᇰͳ 时，第一步出现了错误：
解：ʹ ൈ͹宰䳌Ͷ宰െͳ ᇰͳ，
……
(1)请在相应的方框内用横线划出小红的错误处．
(2)写出你的解答过程．
5．（2022·浙江嘉兴·中考真题）某动物园利用杠杆原理称象：如图，在点P 处挂一根质地均匀且足够长的
钢梁（呈水平状态），将装有大象的铁笼和弹簧秤（秤的重力忽略不计）分别悬挂在钢梁的点A，B 处，当
钢梁保持水平时，弹簧秤读数为k（N）．若铁笼固定不动，移动弹簧秤使ܤܲ
扩大到原来的n（݊
‴ ͳ）倍，
且钢梁保持水平，则弹簧秤读数为_______（N）（用含n，k 的代数式表示）．
6．（2022·浙江绍兴·中考真题）元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一
百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之．” 其题意为：“良马每天行ʹͶͲ 里，劣马每天行ͳͷͲ 里，
劣马先行ͳʹ 天，良马要几天追上劣马？”答：良马追上劣马需要的天数是______．
7．（2022·浙江杭州·中考真题）计算：െ͸ ൈ
ʹ
͵ െ■െʹ͵．圆圆在做作业时，发现题中有一个数字被
墨水污染了．
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(1)如果被污染的数字是
ͳ
ʹ，请计算െ͸ ൈ
ʹ
͵ െ
ͳ
ʹ െʹ͵．
(2)如果计算结果等于6，求被污染的数字．
考点02 二元一次方程（组）及其应用
1．（2026·浙江·中考真题）解方程组：宰ᇰʹݕ䳌͸
ʹ宰ᇰݕ䳌㴀．
2．（2025·浙江·中考真题）手工社团的同学制作两种手工艺品A 和B，需要用到彩色纸和细木条，单个
手工艺品材料用量如下表．
材料
类别
彩色纸（张）
细木条（捆）
手工艺品A
5
3
手工艺品B
2
1
如果一共用了17 张彩色纸和10 捆细木条，问他们制作的两种手工艺品各有多少个？设手工艺品A 有x 个，
手工艺品B 有y 个，则x 和y 满足的方程组是（
）
A．ͷ宰ᇰ͵ݕ䳌ͳ͹
ʹ宰ᇰݕ䳌ͳͲ
B．ͷ宰ᇰ͵ݕ䳌ͳͲ
ʹ宰ᇰݕ䳌ͳ͹
C．ͷ宰ᇰʹݕ䳌ͳ͹
͵宰ᇰݕ䳌ͳͲ
D．ͷ宰ᇰʹݕ䳌ͳͲ
͵宰ᇰݕ䳌ͳ͹
3．（2024·浙江·中考真题）解方程组：
ʹ宰െݕ䳌ͷ
Ͷ宰ᇰ͵ݕ䳌െͳͲ
4．（2023·浙江·中考真题）如图，分别以ܽ
ǡܾǡ݉
ǡ݊
为边长作正方形，已知݉
‴݊
且满足ܽ݉
െܾ݊
䳌ʹ，ܽ݊
ᇰܾ݉
䳌Ͷ．
（1）若ܽ
䳌͵ǡܾ䳌Ͷ，则图1 阴影部分的面积是__________；
（2）若图1 阴影部分的面积为͵，图2 四边形ܣܤ形ܦ的面积为ͷ，则图2 阴影部分的面积是__________．
5．（2023·浙江宁波·中考真题）茶叶作为浙江省农业十大主导产业之一，是助力乡村振兴的民生产业．某
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村有土地60 公顷，计划将其中ͳͲ%的土地种植蔬菜，其余的土地开辟为茶园和种植粮食，已知茶园的面积
比种粮食面积的2 倍少3 公顷，问茶园和种粮食的面积各多少公顷？设茶园的面积为x 公顷，种粮食的面
积为y 公顷，可列方程组为(
)
A．宰ᇰݕ䳌͸Ͳ
ݕ䳌ʹ宰െ͵
B．宰ᇰݕ䳌ͷͶ
宰䳌ʹݕെ͵
C．宰ᇰݕ䳌͸Ͳ
宰䳌ʹݕെ͵
D．宰ᇰݕ䳌ͷͶ
ݕ䳌ʹ宰െ͵
6．（2023·浙江温州·中考真题）【素材1】某景区游览路线及方向如图1 所示，①④⑥各路段路程相等，
⑤⑦⑧各路段路程相等，②③两路段路程相等．
【素材2】设游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20 分钟．小温游路线①④⑤⑥⑦⑧用时3 小时25 分
钟；小州游路线①②⑧，他离入口的路程s 与时间t 的关系（部分数据）如图2 所示，在2100 米处，他到
出口还要走10 分钟．
【问题】路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为（
）
A．4200 米
B．4800 米
C．5200 米
D．5400 米
7．（2023·浙江·中考真题）我国古代数学名著《张丘建算经》中有这样一题：一只公鸡值5 钱，一只母
鸡值3 钱，3 只小鸡值1 钱，现花ͳͲͲ 钱买了ͳͲͲ 只鸡．若公鸡有8 只，设母鸡有宰只，小鸡有ݕ只，可
列方程组为___________．
8．（2023·浙江衢州·中考真题）下列各组数满足方程ʹ宰ᇰ͵ݕ䳌ͺ 的是（
）
A．宰䳌ͳ
ݕ䳌ʹ
B．宰䳌ʹ
ݕ䳌ͳ
C．宰䳌െͳ
ݕ䳌ʹ
D．宰䳌ʹ
ݕ䳌Ͷ
9．（2023·浙江台州·中考真题）解方程组：宰ᇰݕ䳌͹ǡ
ʹ宰െݕ䳌ʹǤ
10．（2022·浙江杭州·中考真题）某体育比赛的门票分A 票和B 票两种，A 票每张x 元，B 票每张y 元．已
知10 张A 票的总价与19 张B 票的总价相差320 元，则（
）
A．
ͳͲ宰
ͳ㴀ݕ䳌͵ʹͲ
B．
ͳͲݕ
ͳ㴀宰䳌͵ʹͲ
C．ͳͲ宰െͳ㴀ݕ䳌͵ʹͲ
D．ͳ㴀宰െͳͲݕ䳌͵ʹͲ
11．（2022·浙江宁波·中考真题）我国古代数学名著《九章算术》中记载：“粟米之法：粟率五十；粝米三
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十．今有米在十斗桶中，不知其数．满中添粟而舂之，得米七斗．问故米几何？”意思为：50 斗谷子能出
30 斗米，即出米率为
͵
ͷ．今有米在容量为10 斗的桶中，但不知道数量是多少．再向桶中加满谷子，再舂成
米，共得米7 斗．问原来有米多少斗？如果设原来有米x 斗，向桶中加谷子y 斗，那么可列方程组为（
）
A．
宰ᇰݕ䳌ͳͲ
宰ᇰ
͵
ͷ ݕ䳌͹
B．
宰ᇰݕ䳌ͳͲ
͵
ͷ 宰ᇰݕ䳌͹
C．
宰ᇰݕ䳌͹
宰ᇰ
ͷ
͵ ݕ䳌ͳͲ
D．
宰ᇰݕ䳌͹
ͷ
͵ 宰ᇰݕ䳌ͳͲ
12．（2022·浙江嘉兴·中考真题）“市长杯”青少年校园足球联赛的比赛规则是：胜一场得3 分，平一场得1
分，负一场得0 分．某校足球队在第一轮比赛中赛了9 场，只负了2 场，共得17 分．那么该队胜了几场，
平了几场？设该队胜了x 场，平了y 场，根据题意可列方程组为（
）
A．ሼ宰ᇰݕ䳌͹
͵宰ᇰݕ䳌ͳ͹
B．ሼ宰ᇰݕ䳌㴀
͵宰ᇰݕ䳌ͳ͹
C．ሼ宰ᇰݕ䳌͹
宰ᇰ͵ݕ䳌ͳ͹
D．ሼ宰ᇰݕ䳌㴀
宰ᇰ͵ݕ䳌ͳ͹
13．（2022·浙江衢州·中考真题）某班环保小组收集废旧电池，数据统计如下表．问1 节5 号电池和1 节7
号电池的质量分别是多少？设1 节5 号电池的质量为宰克，1 节7 号电池的质量为ݕ克，列方程组，由消元
法可得宰的值为（
）
5 号电池（节）
7 号电池（节）
总质量（克）
第一天
2
2
72
第二天
3
2
96
A．12
B．16
C．24
D．26
14．（2022·浙江台州·中考真题）解方程组：宰ᇰʹݕ䳌Ͷ
宰ᇰ͵ݕ䳌ͷ ．
15．（2022·浙江舟山·中考真题）上学期某班的学生都是双人同桌，其中
ͳ
Ͷ男生与女生同桌，这些女生占全
班女生的
ͳ
ͷ，本学期该班新转入4 个男生后，男女生刚好一样多，设上学期该班有男生x 人，女生y 人，根
据题意可得方程组为（
）
A．
宰ᇰͶ 䳌ݕ
宰
Ͷ 䳌
ݕ
ͷ
B．
宰ᇰͶ 䳌ݕ
宰
ͷ 䳌
ݕ
Ͷ
C．
宰െͶ 䳌ݕ
宰
Ͷ 䳌
ݕ
ͷ
D．
宰െͶ 䳌ݕ
宰
ͷ 䳌
ݕ
Ͷ
16．（2022·浙江绍兴·中考真题）计算
(1)计算：6tan30°+（ߨ+1）0- ͳʹ.
(2)解方程组ʹ宰െݕ䳌Ͷ，
宰ᇰݕ䳌ʹǤ
考点03 分式方程的解法与应用
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1．（2026·浙江·中考真题）分式方程
ʹ
宰െͳ 䳌
͵
宰的解是___________．
2．（2025·浙江·中考真题）解分式方程：
͵
宰ᇰͳ െ
ͳ
宰െͳ 䳌Ͳ．
3．（2024·浙江·中考真题）若
ʹ
宰െͳ 䳌ͳ，则宰䳌__________
4．（2023·浙江台州·中考真题）3 月12 日植树节期间，某校环保小卫士组织植树活动．第一组植树12 棵；
第二组比第一组多6 人，植树36 棵；结果两组平均每人植树的棵数相等，则第一组有________人．
5．（2023·浙江·中考真题）小丁和小迪分别解方程
宰
宰െʹ െ
宰െ͵
ʹെ宰䳌ͳ 过程如下：
小丁：
解：去分母，得宰െሺ宰െ͵㌳䳌宰െ
ʹ
去括号，得宰െ宰ᇰ͵ 䳌宰െʹ
合并同类项，得͵ 䳌宰െʹ
解得宰䳌ͷ
∴原方程的解是宰䳌ͷ
小迪：
解：去分母，得宰ᇰሺ宰െ͵㌳䳌ͳ
去括号得宰ᇰ宰െ͵ 䳌ͳ
合并同类项得ʹ宰െ͵ 䳌ͳ
解得宰䳌ʹ
经检验，宰䳌ʹ 是方程的增根，原方程无解
你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，并写出你
的解答过程．
6．（2022·浙江宁波·中考真题）定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，ܾܽٔ
䳌
ͳܽᇰ
ͳܾ．若ሺ宰ᇰͳ㌳ٔ
宰䳌
ʹ宰ᇰͳ
宰，则x 的值为___________．
7．（2022·浙江台州·中考真题）如图的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求的值是正确的，则图中
被污染的宰的值是____．
先化简，再求值：
͵െ宰
宰െͶ ᇰͳ，其中宰䳌
解：原
式䳌
͵െ宰
宰െͶ ڄ ሺ宰െͶ㌳ᇰሺ宰െͶ㌳
䳌͵ െ宰ᇰ宰െͶ
䳌െͳ
8．（2022·浙江丽水·中考真题）某校购买了一批篮球和足球．已知购买足球的数量是篮球的2 倍，购买足
球用了5000 元，购买篮球用了4000 元，篮球单价比足球贵30 元．根据题意可列方程
ͷͲͲͲ
ʹ宰䳌
ͶͲͲͲ
宰
െ͵Ͳ，则
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方程中x 表示（
）
A．足球的单价
B．篮球的单价
C．足球的数量
D．篮球的数量
9．（2022·浙江金华·中考真题）若分式
ʹ
宰െ͵的值为2，则x 的值是_______．
10．（2022·浙江嘉兴·中考真题）（1）计算：ሺͳ െ
͵ ͺ㌳Ͳ െ
Ͷ
（2）解方程：
宰െ͵
ʹ宰െͳ 䳌ͳ．
11．（2022·浙江衢州·中考真题）金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．
(1)用含ܽ
的代数式表示新能源车的每千米行驶费用．
(2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54 元．
①分别求出这两款车的每千米行驶费用．
②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800 元和7500 元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新
能源车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其它费用）
考点04 一元二次方程的解法与根的判别式
1．（2026·浙江·中考真题）关于宰的一元二次方程宰ʹ ᇰܾ宰െͳ 䳌Ͳ 的实数根的情况是（
）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
2．（2022·浙江温州·中考真题）若关于x 的方程宰ʹ ᇰ͸宰ᇰܿ
䳌Ͳ 有两个相等的实数根，则c 的值是（
）
A．36
B．െ͵͸
C．9
D．െ㴀
考点05 一元二次方程的实际应用
1．（2023·浙江湖州·中考真题）某品牌新能源汽车2020 年的销售量为20 万辆，随着消费人群的不断增多，
该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2022 年的销售量比2020 年增加了͵ͳǤʹ 万辆．如果设从2020 年到2022
年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为x，那么可列出方程是（
）
A．ʹͲ ͳ ᇰʹ宰䳌͵ͳǤʹ
B．ʹͲ ͳ ᇰʹ宰െʹͲ 䳌͵ͳǤʹ
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C．ʹͲ ͳ ᇰ宰ʹ 䳌͵ͳǤʹ
D．ʹͲ ͳ ᇰ宰ʹ െʹͲ 䳌͵ͳǤʹ
2．（2023·浙江衢州·中考真题）某人患了流感，经过两轮传染后共有36 人患了流感．设每一轮传染中平均
每人传染了宰人，则可得到方程（
）
A．宰ᇰͳ ᇰ宰䳌͵͸
B．ʹ ͳ ᇰ宰䳌͵͸
C．ͳ ᇰ宰ᇰ宰ͳ ᇰ宰䳌͵͸
D．ͳ ᇰ宰ᇰ宰ʹ 䳌͵͸
3．（2023·浙江金华·中考真题）如图是一块矩形菜地ܣܤ形ܦǡܣܤ䳌ܽ
m ǡܣܦ䳌ܾ
m ，面积为ݏmʹ ．现将边
ܣܤ增加ͳm．
（1）如图1，若ܽ
䳌ͷ，边ܣܦ减少ͳm，得到的矩形面积不变，则ܾ
的值是__________．
（2）如图2，若边ܣܦ增加ʹm，有且只有一个ܽ
的值，使得到的矩形面积为ʹݏmʹ ，则ݏ的值是__________．
4．（2022·浙江杭州·中考真题）某网络学习平台2019 年的新注册用户数为100 万，2021 年的新注册用户
数为169 万，设新注册用户数的年平均增长率为x（宰‴ Ͳ），则宰䳌_________（用百分数表示）．
5．（2022·浙江衢州·中考真题）将一个容积为360cm3 的包装盒剪开铺平，纸样如图所示．利用容积列出图
中x（cm）满足的一元二次方程：_____（不必化简）．
一、单选题
1．（2026·浙江衢州·一模）解分式方程
ʹ宰
宰െ͵ െʹ 䳌
ʹ宰െͳ
͵െ宰时，去分母正确的是（
）
A．ʹ宰െʹ 䳌ʹ宰െͳ
B．ʹ宰െʹ 䳌െʹ宰െͳ
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C．ʹ宰െʹ 宰െ͵ 䳌െʹ宰െͳ
D．ʹ宰െʹ 宰െ͵ 䳌ʹ宰െͳ
2．（2026·浙江·模拟预测）若关于宰的一元二次方程宰ᇰͳ
宰െ͵ 䳌݉
的两根为宰ͳ，宰ʹ（宰ͳ ൏宰ʹ），下
列判断正确的是（
）
A．宰ͳ 䳌െͳ，宰ʹ 䳌͵
B．݉
应满足݉
‴െͶ
C．当݉
‴ Ͳ 时，宰ͳ ‴െͳǡ宰ʹ ‴ ͵
D．当݉
൏Ͳ 时，െͳ ൏宰ͳ ൏宰ʹ ൏͵
3．（2026·浙江杭州·一模）已知二次函数ݕ䳌ܽ
宰ʹ ᇰܾ宰ᇰͳ്ܽ
Ͳ 的图象经过点ܯͳǡ݉
．当ݕ‴െʹ 时，宰
的取值范围是宰൏ݐᇰͳ 或宰‴െͷ െݐ，则݉
的值可能是（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
4．（2026·浙江湖州·二模）定义：函数ݕͳ的图象上存在点ܲ
，函数ݕʹ的图象上存在点ܳ
，且点ܲ
，ܳ
关于ݕ
轴对称，则称函数ݕͳ和ݕʹ具有“镜像关系”，点ܲ
，ܳ的纵坐标为函数ݕͳ和ݕʹ“镜像值”．关于函数ݕͳ 䳌െʹ宰ᇰʹ
和ݕʹ 䳌
Ͷ
宰有两个结论：①函数ݕͳ与ݕʹ具有“镜像关系”；②函数ݕͳ与ݕʹ的“镜像值”有且仅有一个，则（
）
A．①②都错
B．①②都对
C．①错②对
D．①对②错
二、填空题
5．（2026·浙江湖州·一模）【文化欣赏】三国时期的数学家赵爽所著的《勾股圆方图注》中记载了一种图
解一元二次方程的方法．以解方程宰ʹ ᇰʹ宰െ͵ͷ 䳌Ͳ 为例：将原方程整理可得：宰宰ᇰʹ 䳌͵ͷ，可视为一个
矩形的面积为35，构造如图所示的图形．此时大正方形的面积是宰ᇰ宰ᇰʹ ʹ，同时它又等于四个矩形的面
积加中间小正方形的面积的和．由此得：宰ᇰ宰ᇰʹ ʹ 䳌Ͷ宰宰ᇰʹ ᇰʹʹ 䳌Ͷ ൈ͵ͷ ᇰͶ 䳌ͳͶͶ，得正整数解为
宰䳌ͷ．
【应用体验】小明用此方法解关于宰的方程宰ʹ ᇰͷ宰െ݊
䳌Ͳ．已知在他构造的图形中，大正方形的面积为
81，则该方程的正整数解为__________．
6．（2026·浙江杭州·一模）古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中，利用尺规构造的方法求解一元二次
方程，深刻影响了数学的发展．对于形如宰ʹ ᇰ݌宰䳌ݍ݌‴ Ͳǡݍ‴ Ͳ 的方程，采用如下构造步骤：如图，
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①作线段ܣܤ䳌݌，取ܣܤ的中点ܦ，则ܦܤ䳌
݌
ʹ；
②过ܤ点作ܤܧ٣ ܣܤ，使得ܤܧʹ 䳌ݍ；
③以ܦ为圆心、ܦܧ的长为半径作圆，交直线ܣܤ于形，ܨ两点．该方程的正根为图中线段___________．
7．（2026·浙江温州·模拟预测）我国南宋时期数学家杨辉于1261 年写下的《详解九章算法》，书中记载的
图表给出了ܽ
ᇰܾ݊
展开式的系数规律．
当代数式宰Ͷ െͺ宰͵ ᇰʹͶ宰ʹ െ͵ʹ宰ᇰͳ͸ 的值为81 时，则宰的值为__________．
8．（2026·浙江台州·二模）一道作业题，要求用多种方法解方程宰ʹ െʹͷ宰ᇰʹͶ 䳌Ͳ．
有一位同学出现了如下解法：
解：观察方程可知，宰䳌ͳ 是这个方程的一个解，
所以可设原方程为宰െͳܽ
宰ᇰܾ
䳌Ͳ，
即ܽ
宰ʹ ᇰܾ宰െܽ
宰െܾ
䳌Ͳ，
所以ܽ
䳌ͳ，െܾ
䳌ʹͶ，ܾെܽ
䳌െʹͷ，
求得ܽ
䳌ͳ，ܾ
䳌െʹͶ，
即原方程为宰െͳ
宰െʹͶ 䳌Ͳ，
可得方程的两个根是宰ͳ 䳌ͳ，宰ʹ 䳌ʹͶ．
请分析这位同学的解法，写出方程宰͵ ᇰ͵宰ʹ െ͵宰െͳ 䳌Ͳ 所有的根_________．
9．（2026·浙江丽水·模拟预测）设一列数ܽͳ，ܽʹ，ܽ͵，…，ܽʹͲʹ͸中任意四个相邻数之和都是40，已知ܽͳ͵ 䳌ͳ͵，ܽ
ͳͺ 䳌ͺ宰，ܽͶ͵ 䳌͵宰ᇰ͸，ܽͳͲͶ 䳌ͳʹ宰െʹ，那么ܽʹͲʹ͸ 䳌______．
三、解答题
10．（2026·浙江嘉兴·一模）已知一列数，我们将第1 个数记为ܽͳ，第2 个数记为ܽʹ，第3 个数记为ܽ͵，…，
第݊
个数记为ܽ݊
，这݊
个数的和记为ܵ݊（即ܵ݊
䳌ܽ
ͳ ᇰܽ
ʹ ᇰڄڄڄᇰܽ݊
），并且这列数从第3 个数开始满足ܽ͵ 䳌ܽ
ͳ ᇰܽ
ʹ，ܽͶ 䳌ܽ
ʹ ᇰܽ
͵，…，ܽ݊
䳌ܽ݊
െʹ ᇰܽ݊
െͳ．例如，当ܽͳ 䳌ͳ，ܽʹ 䳌ͳ 时，ܽ͵ 䳌ܽ
ͳ ᇰܽ
ʹ 䳌ͳ ᇰͳ 䳌ʹ，ܽͶ 䳌ܽ
ʹ ᇰܽ
͵ 䳌
ͳ ᇰʹ 䳌͵，…，ܵ͵ 䳌ܽ
ͳ ᇰܽ
ʹ ᇰܽ
͵ 䳌ͳ ᇰͳ ᇰʹ 䳌Ͷ，ܵͶ 䳌ܽ
ͳ ᇰܽ
ʹ ᇰܽ
͵ ᇰܽ
Ͷ 䳌ͳ ᇰͳ ᇰʹ ᇰ͵ 䳌͹，……
(1)当ܽͳ 䳌ͳ，ܽʹ 䳌ͳ 时，求ܽͷ和ܵͷ的值．
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(2)若ܽʹ 䳌Ͷ，且ܵͷ 䳌ͳͺ，求ܽͳ的值．
11．（2026·浙江宁波·一模）我们学过配方法，对于二次三项式，当二次项系数为1 时，加上一次项系数一
半的平方，即可配成完全平方式，从而求出这个多项式的最大（或最小）值．
对于含字母参数a 的关于x 的多项式，我们同样可以用配方法求出它的最大（或最小）值，如：
宰ʹ െʹܽ
െͳ 宰ᇰʹܽ
ʹ െͺܽᇰͳʹ
原式䳌宰ʹ െʹܽ
െͳ 宰ᇰܽ
െͳ ʹ െܽ
െͳ ʹ ᇰʹܽ
ʹ െͺܽᇰͳʹ
䳌宰െܽ
െͳ
ʹ െܽ
ʹ ᇰʹܽ
െͳ ᇰʹܽ
ʹ െͺܽᇰͳʹ
䳌宰െܽ
ᇰͳ ʹ ᇰܽ
ʹ െ͸ܽᇰ㴀ᇰʹ
䳌宰െܽ
ᇰͳ ʹ ᇰܽ
െ͵ ʹ ᇰʹ．
所以，当ܽ
䳌͵，宰䳌ʹ 时，此式的最小值为2．
试用上述方法求下列多项式的最小（或最大）值，并说明此时字母所取的值：
(1)െ͵宰ʹ ᇰ͸宰ᇰͳͲ；
(2)宰ʹ െʹ宰ݕᇰʹݕʹ ᇰʹ宰െ͸ݕᇰͺ．
12．（2025·江苏南京·二模）命题：已知矩形A 两边长分别为m，n，存在一个矩形B，它的周长与面积都
是矩形A 的k 倍（k 为大于1 的正整数）．
(1)当݉
䳌ͳ，݊
䳌ʹ，݇
䳌͵ 时，命题是否成立．若成立，求出矩形B 的两边长；若不成立，请说明理由．
(2)判断命题的真假，并说明理由．
13．（2026·浙江舟山·二模）课堂上，程老师出示了两道题目进行对比分析，两位同学分别进行了回答．
题目1
题目2
解方程：
ʹെ宰
宰െ͵ 䳌
ͳ
͵െ宰െʹ
计算：
ʹെ宰
宰െ͵ െ
ͳ
͵െ宰ᇰʹ
解：方程两边同乘宰െ͵ ，得ʹ െ宰䳌െͳ െ
ʹ 宰െ͵ ①
去括号、移项得െ宰ᇰʹ宰䳌െͳ ᇰ͸ െʹ②
解得宰䳌͵③
解：原式䳌ʹ െ宰ᇰͳ ᇰ
ʹ 宰െ͵
䳌宰െ͵
(1)在题目1 中，该同学经检验发现当宰䳌͵ 时，宰െ͵ 䳌Ͳ，即分母为0，故宰䳌͵ 是方程的增根，则产生增
根的步骤是第_________步．（选填“①”、“②”、“③”）
(2)在题目2 中，该同学代入宰䳌ͳ 时发现原式结果为1，但计算后的结果是െʹ，显然计算有误．请你写出
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正确的计算过程．
14．（2026·浙江台州·二模）丢番图曾提出这样一个问题：将一给定的平方数，分为两个正有理数的平方和．
例如给定的平方数为16．
设其中一个正有理数的平方为宰ʹ，则另一个正有理数的平方为ͳ͸ െ宰ʹ．
令ͳ͸ െ宰ʹ 䳌ሺ݉
宰െͶ㌳ʹ，其中݉
为整数．
取݉
䳌ʹ，则ͳ͸ െ宰ʹ 䳌ሺʹ宰െͶ㌳ʹ，
于是ͳ͸ െ宰ʹ 䳌Ͷ宰ʹ െͳ͸宰ᇰͳ͸，
解得宰ͳ 䳌Ͳ（舍去），宰ʹ 䳌
ͳ͸
ͷ ．
所以宰ʹ 䳌
ʹͷ͸
ʹͷ ，ͳ͸ െ宰ʹ 䳌ͳ͸ െ
ͳ͸
ͷ
ʹ
䳌
ͳͶͶ
ʹͷ ，
即ͳ͸ 䳌
ʹͷ͸
ʹͷ ᇰ
ͳͶͶ
ʹͷ 䳌
ͳ͸
ͷ
ʹ
ᇰ
ͳʹ
ͷ
ʹ
．
(1)上面的解决过程中，为何将宰ͳ 䳌Ͳ 舍去？请说明理由．
(2)请你将平方数9 分为两个正有理数的平方和．
15．（2026·浙江宁波·三模）一元二次方程是初中数学代数板块的核心内容，也是中考的重点考查模块．现
以“单元整体”的视角，从定义、解法、根与系数的关系等核心维度，尝试解答下列问题：
(1)【概念辨析】若关于宰的方程͵ െܽ
宰ܽ
െͳ ᇰ͵宰䳌ͷ 是一元二次方程，则ܽ
的值是____．
(2)【解法实践】请从以下三个一元二次方程中任选一个你喜欢的方程进行求解：
①用配方法解：宰ʹ ᇰͶ宰ᇰͳ 䳌Ͳ；
②用公式法解：͵宰ʹ െͷ宰ᇰͳ 䳌Ͳ；
③用因式分解法解：ሺ宰െͶ㌳ʹ 䳌ͺ െʹ宰．
(3)【综合应用】已知݉
，݊是一元二次方程宰ʹ ᇰʹ宰െͳ 䳌Ͳ 的两根，请尝试计算݉
ʹ ᇰ͵݉
ᇰͳ݊
ʹ ᇰ͵݊
ᇰͳ
的值．
16．（2026·浙江温州·模拟预测）【阅读理解】
同学们，我们来学习近似计算二次方程解的方法．
例如，求ʹ宰ʹ ᇰʹ宰െ͹ 䳌Ͳ 的解．
思路：在二次函数ݕ䳌ʹ宰ʹ ᇰʹ宰െ͹ 中，若取x 的值为宰ͳ，宰ʹ，宰ͳ ൏宰ʹ，使得相应的函数值ݕͳ ڄ ݕʹ ൏Ͳ，则
抛物线与x 轴的交点中至少有一个在宰ͳǡͲ 与宰ʹǡͲ 之间，也就是说，方程ʹ宰ʹ ᇰʹ宰െ͹ 䳌Ͳ 至少有一个解
在宰ͳ与宰ʹ之间．
(1)【尝试探究】
小明按照上述方法求方程ʹ宰ʹ ᇰʹ宰െ͹ 䳌Ͳ 的一个解，过程如下表：
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x 的值
0
1
2
3
ݕ䳌ʹ宰ʹ ᇰʹ宰െ͹
െ͹
a
b
c
请利用表格信息，求出方程的解在哪两个相邻的整数之间．
(2)【迁移应用】
若关于x 的方程宰ʹ ᇰͶ宰ᇰ݉
䳌Ͳ 有两个不同的解，恰有一个解落在െͶ 与െ͵ 之间，求m 的取值范围．
17．（2026·浙江丽水·模拟预测）在某次举办的机器人长跑比赛中，有甲、乙两款机器人需要从相同起点同
向跑步ʹʹkm．机器人甲在跑步过程中速度保持不变，为ͺkm/h，但每跑1 小时需要更换电池原地休息12
分钟；甲出发12 分钟后机器人乙才出发，速度保持不变，为ݒ（km/h），乙跑一段时间后，因为故障，原
地修理了一段时间才继续按原速奔跑．已知机器人甲、乙跑步的路程y（km）与甲跑步的时间x（h）之间
的函数关系图象如图所示．
(1)ݐ䳌______，ݒ䳌______．
(2)求线段ܣܤ所在直线的函数表达式．
(3)直接写出机器人甲、乙相遇时乙跑步的时间．
18．（2026·浙江宁波·一模）2026 宁波半程马拉松的赛程全长为21 千米．小聪和小明两名选手同时从起点
出发，小聪在整个比赛过程中保持匀速跑步，小明跑了60 分钟后到达食品补给站，在补给站中休息10 分
钟后继续以原速跑到终点．小聪和小明离出发点的路程ݕkm 与出发时间宰min 之间的函数关系如图1 所
示，两人相距的路程ܵ
km 与出发时间宰min 之间的函数关系如图2 所示．
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(1)求小明跑步的速度（单位：千米/分）．
(2)求图中ܽ
的值．
(3)两人出发多少分钟后，他们相距的路程最大，并求出该最大值．
19．（2026·浙江杭州·二模）解答以下问题
(1)观察发现：计算下列各式的结果，观察结果的特征：
①ͳ ൈʹ ൈ͵ ൈͶ ᇰͳ 䳌ͷʹ
②ʹ ൈ͵ ൈͶ ൈͷ ᇰͳ 䳌ͳͳʹ
③͵ ൈͶ ൈͷ ൈ͸ ᇰͳ 䳌ͳ㴀ʹ
④Ͷ ൈͷ ൈ͸ ൈ͹ ᇰͳ 䳌．
(2)思考探究：设n 为正整数，
①第n 个算式为݊݊
ᇰͳ݊
ᇰʹ݊
ᇰ͵ ᇰͳ 䳌．
②请通过整式运算证明：该式的结果一定是某个整式的平方．
小明的部分证明过程如下：
证明：原式䳌݊݊
ᇰ͵݊
ᇰͳ݊
ᇰʹ
ᇰͳ
䳌݊
ʹ ᇰ͵݊݊
ʹ ᇰ͵݊
ᇰʹ ᇰͳ
设ܯ䳌݊
ʹ ᇰ͵݊，则原式䳌ܯܯᇰʹ ᇰͳ ڄڄڄڄڄڄ
小明证明过程中用了思想方法，请把小明没有完成的过程补充完整．
(3)拓展应用：已知四个连续正整数的乘积加1 等于ͳͲ㴀ʹ，求四个正整数中最小的整数．
20．（2026·浙江台州·二模）【发现】
数学兴趣小组活动中，小明发现：偶数的平方能被4 整除．
证明过程如下：整数݉
为偶数时，设݉
䳌ʹ݊（其中݊
为整数），݉
ʹ 䳌ʹ݊
ʹ 䳌Ͷ݊
ʹ，
因为݊
ʹ是整数，
所以݉
ʹ能被4 整除．
【类比】
探究奇数的平方被4 除所得余数的情况．
小明通过举例发现：
(1)奇数的平方被4 除余数为__________．
证明过程如下：整数݉
为奇数时，设݉
䳌ʹ݊
ᇰͳ（其中݊
为整数），
……
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(2)请补全证明过程．
【应用】
(3)小红求得某一个整系数一元二次方程判别式的值等于2026．判断小红的计算结果是否正确？若正确，请
写出一个符合条件的一元二次方程；若不正确，请说明理由．（注：整系数一元二次方程是指关于宰的方
程ܽ
宰ʹ ᇰܾ宰ᇰܿ
䳌Ͳ，其中ܽ
，ܾ，ܿ均为整数，且്ܽ
Ͳ）