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8.4三元一次方程组的解法
考点一、三元一次方程概念
方程组含有三个未知数，每个方程中含有未知数的项的次数都是
1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫三元一次方程组。
考点二：解三元一次方程组的基本思路：
通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使
三元一次方程组转化为二元一次方程组，进而再转化为一元一次方
程。
题型一：三元一次方程组的解方法
1．（2022秋·全国·八年级专题练习）解三元一次方程组 ，如果消掉未知
数z，则应对方程组变形为（ ）
A．① +③ ，① ×2﹣② B．① +③ ，③ ×2+② C．②﹣① ，
②﹣③ D．①﹣② ，① ×2﹣③
2．（2022秋·八年级课时练习）已知方程组 ，则 的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2022秋·八年级课时练习）已知方程组 的解 ， 使
成立，则 的值是( )
A．0 B． C．1 D．2
题型二：三元一次方程组的解
4．（2022秋·陕西西安·八年级西安市第二十六中学校考阶段练习）解方程组
(1) (2) (3)5．（2022秋·八年级课时练习）解方程组
(1) ；(2) ；(3)
6．（2022秋·山东济南·八年级统考期中）在求代数式的值时，可以用整体求值的方法，化
难为易．
例：已知 ，求 的值．
解：① 得： ③
② ③得：
∴ 的值为2．
(1)已知 ，求 的值；
(2)马上期中了，班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，购
买 本笔记本、 支签字笔、 支记号笔需要 元．通过还价，班委购买了 本笔记
本、 支签字笔、 支记号笔，只花了 元，请问比原价购买节省了多少钱？
题型三：三元一次方程组的应用
7．（2019秋·八年级单元测试）如果方程组 的解中的x与y的值相等，那
么a的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2019秋·陕西西安·八年级校考期末）若3x+5y+6z＝5，4x+2y+z＝2，则x+y+z的值等
于（ ）
A．0 B．1 C．2 D．不能求出
9．（2018秋·广东深圳·八年级统考期中）已知 ，则 ＝（ ）
A． B． C．1 D．
题型四：三元一次方程组的实际问题
10．（2021秋·全国·八年级专题练习）一对夫妇现在年龄的和是其子女年龄和的6倍，他们两年前年龄和是子女两年前年龄和的10倍，6年后，他们的年龄和是子女6年后年龄和
的3倍，问这对夫妇共多少个子女？（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．（2022秋·山东济南·八年级校考期中）某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付
甲、乙两队共 元；乙、丙两队合做10天完成，厂家需付乙、丙两队共 元；甲、
丙两队合做5天完成全部工程的 ，厂家需付甲、丙两队共
(1)求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？
(2)若工期要求不超过20天完成全部工程，问可由哪队单独完成此项工程花钱最少？请说
明理由．
12．（2022秋·全国·八年级专题练习）某工程由甲、乙两队合作需6天完成，厂家需付甲、
乙两队共8700元，乙、丙两队合作需10天完成，厂家需支付乙、丙两队共8000元；甲、
丙两队合作5天完成全部工程的 ，此时厂家需付甲、丙两队共5500元．
（1）求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？
（2）若要不超过15天完成全部工程，问由哪队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由．
一、单选题
13．（2022秋·全国·八年级专题练习）设“■▲●”分别表示三种不同的物体，如图所示，
前两架天平保持平衡，若要使第三架天平也平衡，则“？”处应该放“●”（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
14．（2022秋·八年级课时练习）购买铅笔 支，作业本 本，圆珠笔 支共需 元；购买铅
笔 支，作业本 本，圆珠笔 支共需 元，则购买铅笔 支，作业本 本，圆珠笔 支共
需（ ）A． 元 B． 元 C． 元 D． 元
15．（2022秋·八年级课时练习）已知 是方程组 的解，则 的值为
（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
16．（2022秋·全国·八年级专题练习）我们探究得方程 的正整数解只有1组，方
程 的正整数解只有2组，方程 的正整数解只有3组，……，那么方程
的正整数解的组数是（ ）
A．27 B．28 C．29 D．30
17．（2022秋·八年级单元测试）《九章算术》是我国古代著名的数学专著，其“方程”章
中给出了“遍乘直除”的算法解方程组．比如对于方程组 ，将其中数字排
成长方形形式，然后执行如下步骤（如图）；第一步，将第二行的数乘以3，然后不断地
减第一行，直到第二行第一个数变为0；第二步，对第三行做同样的操作，其余步骤都类
似．其本质就是在消元．那么其中的a，b的值分别是（ ）
A．24，4 B．17，4 C．24，0 D．17，0
18．（2022秋·全国·八年级专题练习）已知x，y，z满足 ，则
的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
19．（2022春·山东烟台·八年级统考期中）盲盒为消费市场注入了活力，既能够营造消费
者购物过程中的趣味体验，也为商家实现销售额提升拓展了途径．某商家将蓝牙耳机、多
接口优盘、迷你音箱共22个，搭配为A，B，C三种盲盒各一个，其中A盒中有2个蓝牙
耳机，3个多接口优盘，1个迷你音箱；B盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口
优盘的数量，蓝牙耳机与迷你音箱的数量之比为3：2；C盒中有1个蓝牙耳机，3个多接
口优盘，2个迷你音箱．经核算，A盒的成本为145元，B盒的成本为245元（每种盲盒的
成本为该盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本之和），则C盒的成本为（ ）元．
A．135 B．155 C．185 D．225
20．（2022秋·八年级课时练习）《孙子算经》中有一个问题：今有甲、乙、丙三人持钱 ．
甲语乙、丙：“各将公等所持钱半以益我，钱成九十 ．”乙复语甲、丙：“各将公等所持钱半以益我，钱成七十 ．”丙复语甲、乙：“各将公等所持钱半以益我，钱成五十
六 ．”若设甲、乙各持钱数为x、y，则丙持钱数不可以表示为( )
A． B． C． D．
21．（2022秋·四川成都·八年级四川省蒲江县蒲江中学校考期中）解方程：
(1) (2) (3)
22．（2022秋·八年级课时练习）在等式 中，当 时， ；当 时，
：当 时， ．
(1)求 ， ， 的值；
(2)求当 时， 的值．
23．（2022秋·广西南宁·八年级南宁十四中校考开学考试）【阅读理解】
在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化难为易．
（1）解方程组
解：（1）把 代入 得： 解 （2）已知 ，求
的值．
得： ．
解：（2） 得：
把 代入 得： ．
得；
所以方程组的解为
【类比迁移】（1）若 ，则 ______．
（2）运用整体代入的方法解方程组 ．
【实际应用】（3）“战疫情，我们在一起”，某公益组织计划为老年公寓捐赠一批防疫物
资，已知打折前购买 瓶消毒液、 支测温枪、 套防护服共需 元；打折后购买
瓶消毒液、 支测温枪、 套防护服共需 元，比不打折时少花了多少钱？
一、单选题
24．（2022秋·八年级课时练习）利用两块大小一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图①方式放置，再交换两木块的位置，按图②方式放置，测量的数据如图，则桌子的
高度是（ ）
A．73cm B．74cm C．75cm D．76cm
25．（2022秋·八年级课时练习）已知关于x、y的方程组 的解满足2x﹣y＝
2k，则k的值为（ ）
A．k B．k C．k D．k
26．（2022秋·八年级课时练习）解方程组 ，把上面的三元一次方程组
消元转化成下面的二元一次方程组 ，需要经过如下的步骤，请你选出正确的步
骤（ ）
A． B． C． D．
27．（2019秋·全国·八年级校考期末）一个三位数，各位数上数字之和为10，百位数字比
十位数字大1，如果把百位数字与个位数字对调，所得的新数比原数的3倍还多61，那么
原来的三位数是（ ）
A．215 B．216 C．217 D．218
28．（2019·八年级课时练习）若 ，则 等于（ ）
A． B． C．2 D．
二、填空题
29．（2023秋·重庆丰都·八年级统考期末）小王带了1千元现金，去商场购买单价67元的A种商品a件和单价为59元的B种商品b件 ，找回了几张10元和几张1元的钞票
（都不超过9张，超过就补大面额的了）.小王算了一下，发现找得钱数不对.销售员再仔细
算了一遍，发现问题是把两种商品的单价弄反了，重新计算后，找回的10元和1元的钞票
张数也恰好相反.问小王购买了______件B种商品.
30．（2023秋·山东枣庄·八年级校考期末）若 ，那么代数式
______．
31．（2023秋·重庆九龙坡·八年级重庆市育才中学校考期末）近日，九龙坡区为积极应对
复杂严峻的发展环境和疫情考验，在全区范围内开展“接二（2022）连三（2023）·向新而
行”九龙坡区迎新消费促进季活动，某糖果销售商在该活动期间，向市场推出甲、乙、丙
三种糖果进行销售，其中每包甲糖果的成本是每包丙糖果的2倍，每包乙糖果与每包丙糖
果的成本之比为1：3，每包甲、乙、丙糖果的售价分别比成本高20%，20%，30%．该销
售商12月份销售甲糖果与丙糖果的数量之比为1：4，为使三种糖果的总利润是总成本的
25%，则该销售商12月份销售乙糖果与丙糖果的数量之比为______．
32．（2022秋·重庆江北·八年级校考期中）“泡泡玛特”创立12年之际，推出“森林精
灵”、“潘神神话”两种限量盲盒，每种盲盒均装有紫色、白色、红色三种颜色的Molly
公仔，每一种盲盒的成本是该盲盒中所有公仔的成本之和（包装费用不计）．其中，“森
林精灵”盲盒分别装有3个紫色，1个白色，1个红色公仔，“潘神神话”盲盒分别装有2
个紫色，3个白色，3个红色公仔．每个“森林精灵”盲盒中所有公仔的成本之和为1个紫
色Molly公仔的5倍，每个“潘神神话”盲盒的利润率为50%，且每个“潘神神话”盲盒
的售价比每个“森林精灵”盲盒高20%．店庆当天销售这两种盲盒的总销售额为60万元，
总利润率为60%，则这天销售“森林精灵”盲盒的总利润是______万元．
33．（2023秋·重庆大渡口·八年级重庆市第九十五初级中学校校考期末）某超市销售水果
时，将 、 、 三种水果采用甲、乙、丙三种方式搭配装箱进行销售，每箱的成本分别
为箱中 三种水果的成本之和，箱子成本忽略不计．甲种方式每箱分别装 、 、 三
种水果 ， ， ，乙种方式每箱分别装 、 、 三种水果 ， ， ．甲
每箱的总成本是每千克 成本的 倍，每箱甲的销售利润率为 ，每箱甲比每箱乙的售
价低 ，丙每箱在成本上提高 标价后，打九折销售获利为每千克 成本的 倍，
当销售甲、乙、丙三种方式的水果数量之比为 时，则销售的总利润率为______．
34．（2022秋·重庆江北·八年级校考期末）某生鲜店推出了 、 、 三类蔬菜包以方便
居家生活的市民购买， 、 、 三类蔬菜包内均由萝卜、白菜、洋葱三种蔬菜搭配而成，
每袋蔬菜包的成本也均为萝卜、白菜、洋葱三种蔬菜成本之和．每袋 蔬菜包有 公斤萝卜、 公斤白菜、 公斤洋葱；每袋 蔬菜包有 公斤萝卜、 公斤白菜、 公斤洋葱．已
知每袋 的成本是该袋中萝卜成本的 倍，利润率为 ％，每袋 的成本是其售价的 ，
每袋 的利润是每袋 利润的 ．若该生鲜店 月 日当天销售 、 、 三种蔬菜包袋数
之比为 ，则当天该生鲜店销售 、 、 三种蔬菜包的总利润与总成本的比值为
______．
35．（2022秋·广东梅州·八年级校考阶段练习）在关于 、 、 的方程组 ，
中，已知 ，那么 、 、 从小到大的排列顺序应该是_____．
三、解答题
36．（2022秋·八年级课时练习）例3．林芳、向民、艳君三位同学去商店买文具用品，林
芳说：“我买了4支水笔，2本笔记本，10本作文本共用了19元.”向民说：“我买了2支
水笔，3本笔记本，10本练习本共用了20元，”艳君说：“我买了12本练习本，8本作文
本共用了10元；作文本与练习本的价格是一样哦！”请根据以上内容，求出笔记本，水笔，
练习本的价格．
37．（2022秋·八年级课时练习）阅读感悟：有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一
个未知数的值，而是关于未知数的一个代数式的值．如以下问题：已知实数x、y满足
， ，求 和 的值．本题常规思路是将 ①，
②联立组成方程组，解得 、 的值再代入欲求值的代数式得到答案．常规思路
计算量比较大，其实本题还可以仔细观察两个方程未知数系数之间的关系，通过适当变形
整体求得代数式的值，如由①－②可得 ，由①＋②×2可得 ．这样的
解题思想就是通常所说的“整体思想”．
解决问题：
(1)已知二元一次方程组 ，则 ______， ______；
(2)试说明在关于x、y的方程组 中，不论a取什么实数， 的值始终不变；
(3)某班级组织活动购买小奖品，买3支铅笔、5块橡皮、1本笔记本共需21元，买4支铅
笔、7块橡皮、1本笔记本共需28元，则购买10支铅笔、10块橡皮、10本笔记本共需多
少元？
38．（2022秋·八年级课时练习）有一商场计划到厂家购买电视机，已知该厂家生产三种不
同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1100元，乙种每台1300元，丙种每台2100元．（1）若商场同时购进其中两种不同型号的电视机共60台，用去7万元，请你帮助商场设
计进货方案．
（2）若商场同时购进三种不同型号的电视机共50台，用去6万元，请你帮助商场设计进
货方案．
39．（2022秋·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考期末）对于一个三位数 ,如果 满足：
它的百位数字、十位数字之和与个位数字的差等于 ,那么称这个数 为“幸福数”．例如：
, , 是“幸福数”； , , 不是“幸福数”．
（1）判断 , 是否为“幸福数”？并说明理由；
（2）若将一个“幸福数” 的个位数的 倍放到十位,原来的百位数变成个位数,原来的十
位数变成百位数,得到一个新的三位数 （例如：若 ,则 ）,若 也是一个“幸福
数”,求满足条件的所有 的值．
40．（2022秋·八年级单元测试）对于有理数 ， ，定义新运算： ，
，其中 ， 是常数．已知 ， ．
（1）求 ， 的值；
（2）若关于 ， 的方程组 的解也满足方程 ，求 的值；
（3）若关于 ， 的方程组 的解为 ，求关于 ， 的方程组
的
