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第八章 二元一次方程组
8.4 三元一次方程组的解法
一、温故知新（导）
{2x+ y=3①
1、解方程组：
3x+ y=4②
（1）这是几元几次方程组？
（2）求解的思想是什么？
（3）用什么方法消元可以解这个方程？
也就是说：解二元一次方程组，用“ ” 的思想，通过加减法或代入法，把“ ”转化
为“ ”，从而得解.
{
x−y+z＝0①
2、思考： 4x+2y+z＝3② 该怎么解？
25x+5 y+z＝60③
这是今天我们要学的内容，下面我们来看看今天的学习目标和重难点。
学习目标
1、了解三元一次方程组的概念.能解简单的三元一次方程组，进一步体会“消元”思想；
2、会利用三元一次方程组解决实际问题，进一步提高分析问题、解决问题的能力.
学习重难点
重点：掌握三元一次方程组的解法；
难点：三元一次方程组如何化归到二元一次方程组.
二、自我挑战（思）
1、小明手头有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸
币数量的4倍.求1元、2元、5元纸币各多少张？
问题1：题中有哪些未知量？你能找出哪些等量关系？
三个未知量：
等量关系，用方程表示等量关系.
（1）1元纸币的数量+2元纸币的数量+5元纸币的数量=12
(2)三种纸币的总钱数=22(3)1元纸币的数量=4倍的2元纸币的数量
问题2：观察列出的三个方程，你有什么发现？
2、因为三种纸币的数量必须同时满足上述三个方程，故将三个方程联立在一起.
{
x+ y+z=12①
x+2y+5z=22②
x=4 y③
在这个方程组中，含有三个未知数，每个方程中所含未知数的项的次数都是 1，并且一共有三
个方程，像这样的方程组叫做 组.
三、互动质疑（议、展）
1、组成三元一次方程组的三个一次方程中，每一个一次方程都含有三个未知数吗？
组成三元一次方程组的三个一次方程中，不一定要求每一个一次方程都含有三个未知数．
2、什么叫三元一次方程组的解？
类似二元一次方程组的解，三元一次方程组中 的公共解，叫做这个三元一次方程组的解.
3、能不能像以前一样“消元”，把“三元”化成“二元”呢？ 从而解这个三元一次方程组呢？
4、归纳总结：
从上面的分析可以看出.解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行 ，把
转化为 ，使解三元一次方程组转化为解 ，进而再转化为解 .
思路：
5、实例：
{
3x+4z=7①
例1 解三元一次方程组 2x+3 y+z=9②
5x−9 y+7z=8③
例2 在等式y=ax2＋bx＋c中，当x=-1时，y=0；当x=2时，y=3；当x=5时，y=60.求a，b，c的值．四、清点战果（评）
今天你是否完成了学习目标？你的困惑解决了没？
五、一战成名（检）
{
3x+4z＝7
1、方程组 2x+ y+z＝9 的解是（ ）
3x−3 y+7z＝−2
{
x=5
{
x=5 {x=−5 {x=4
A． y=−1 B． y=1 C． y=1 D． y=0
z=2 z=−2 z=2 z=3
{x−y+z＝−3①
2、解三元一次方程组 x+2y−z＝1②要使解法较为简便，首先应进行的变形为（ ）
x+ y＝0③
A．①+② B．①-② C．①+③ D．②-③
{2x−3 y+2z＝2①
3、解方程组 3x+4 y−2z＝5②，把上面的三元一次方程组消元转化成下面的二元一次方程组
4x+5 y−4z＝2③
{5x+ y＝7
，需要经历如下的步骤，请你选出正确的步骤（ ）
8x−y＝6
{ ①+② { ①+② { ①+② {②×2−③
A． B． C． D．
①×2+③ ②×2−③ ①×2−③ ①×2+③
{ x+ y＝5
4、三元一次方程组 y+z＝−1的解是 .
x+z＝−2
{4x−3 y−6z＝0 x
5、已知 ，则 = .
x+2y−7z＝0 y
6、已知y=ax2+bx+c.当x=3时，y=0；当x=-1时，y=0；当x=0，y=3；求a、b、c的值．六、用
（一）必做题
{5x+4 y−3z＝1
1、观察方程组 2x−2y+5z＝11的系数特征，若要使求解简便，消元的方法应选取（ ）
7x+2z＝6
A．先消去x B．先消去y
C．先消去z D．以上说法都不对
{x+ y−z＝8
2、方程组 y+z＝1 的解是（ ）
x−z＝−2
{
x=7 {x=5 {x=5 {x=−11
A． y=−8 B． y=1 C． y=3 D． y=10
z=9 z=2 z=3 z=−9
3、已知x+y=1，y+z=5，x+z=6，则xyz等于（ ）
A．0 B．7 C．8 D．9
{x+2y＝3
4、如果 y+2z＝5，则x+y+z的值为 ．
2x+z＝4
5、若对于有理数x和y,定义一种运算“△”，x△y=ax+by+c,其中a、b、c为常数．已知
3△5=15，7△3=-5，求5△4的值 ．
3
6、一个三位数，十位上的数字是个位上的数字的 ，百位上的数字与十位上的数字之和比个位上的
4
数字大1.将百位与个位上的数字对调后得到的新三位数比原三位数大495，求原三位数．
（二）选做题
7、水果市场将120吨水果运往各地商家，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能
力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载）
车型 甲 乙 丙
汽车运载量（吨/辆） 5 8 10
汽车运费（元/辆） 400 500 600
（1）若全部水果都用甲、乙两种车型来运送，需运费 8200元，问分别需甲、乙两种车型各
几辆？
（2）为了节约运费，市场可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送（每种车型至少 1辆），已
知它们的总辆数为16辆，你能通过列方程组的方法分别求出几种车型的辆数吗？8、甲、乙两人在某环形道路上跑步，假设他们在跑步过程中各自保持一定的速度不变．如果
他们同时从同一地点反向而行，那么就会形成每隔 10分钟相遇一次的规律；如果他们同时从
同一地点同向而行，那么 5分钟后甲在乙的前方 200米，并且他们的相遇规律变成了每隔 100
分钟相遇一次．求甲的速度和环形道路的长度．
