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8.4 三元一次方程组
三元一次方程的定义：
含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程．如x+y-z＝1，
2a-3b+4c＝5等都是三元一次方程．
三元一次方程组的定义：
一般地，由几个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程
组.
注意：
(1)三元一次方程的条件：①是整式方程，②含有三个未知数，③含未知数的项的最高
次数是1次．
(2) 三元一次方程的一般形式：ax+by+cz+d=0，其中a、b、c不为零．
(3) 三个方程中不一定每一个方程中都含有三个未知数，只要三个方程共含有三个未知
量即可．
（4）在实际问题中含有三个未知数，当这三个未知数同时满足三个相等关系时，可以
建立三元一次方程组求解．
题型1：三元一次方程（组）的概念
1.1．下列方程组中，是三元一次方程组的是（ ）
{x+ y=0
{
3x+4z=7 {x2-2y=0
{ x+ y=0
A． y+z=1 B． C． 2x+3 y=9-z D． y+z=3
y+2x=1
z+w=5 5x-9 y+7z=8 x+ y+z=1
【变式1-1】下列方程组不是三元一次方程组的是（ ）
{
x=5 {x+ y=3
{
4x-9z=17 {x+ y-z=5
A． x+ y=7 B． y+z=4 C． 3x+ y+15z=18 D． xyz=1
x+ y+z=6 z+x=2 x+2y+3z=2 x-3 y=2
解三元一次方程组的一般步骤
(1)利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两
组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；
(2)解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；
(3)将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；
(4)解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；
(5)将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起．
注意：
（1）解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”消元，把“三元”化
为“二元”．使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方
程．其思想方法是：
（2）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求其较简单的
解法．
题型2：解三元一次方程组的一般方法
2.（2022春•南关区校级月考）解三元一次方程组 ，如果消掉未知
数z，则应对方程组变形为（ ）
A．①+③，①×2﹣② B．①+③，③×2+② C．②﹣①，②﹣③ D．①﹣
②，①×2﹣③
【变式2-1】（2022春•船山区校级期中）解方程组 ，如果要使运算简
便，那么消元时最好应（ ）
A．先消去x B．先消去y C．先消去z D．先消常数项
【变式2-2】解方程组.
{
x- y+z=2①
{
3x- y+z=4①
（1） x+ y-z=-4② （2） 2x+3 y-z=12②
x+ y+z=6③ x+ y+z=6③
【变式2-3】解下列方程组：
2x 3 y
{ + =6
3 4
（1） x y 1 ； （2）
- =-
6 2 3
．题型3：用参数法或整体代入法解三元一次方程组
{ x y z
= =
3. 3 2 5
2x+3 y-4z=8
【变式3-1】（2021秋•武侯区期末）已知 ＝ ＝ ≠0，且a+b﹣2c＝3，求a的值．
【变式3-2】（2021春•椒江区月考）已知 ＝ ＝ ，且2x+4y﹣6z＝120，求
x、y、z的值．
【变式3-3】阅读下列材料，然后解答后面的问题：
已知方程组 ，求x+y+z的值．
解：将原方程组整理得
①×3﹣②×2，得x+y+z＝6．
仿照上述解法，解决下列问题：已知方程组 ，求x+2y﹣z的值．题型4：构建三元一次方程组
4.（2022春•遵化市期末）在等式 y＝ax2+bx+c中，当x＝﹣1时，y＝3；当x＝0
时，y＝1，当x＝1时，y＝1，求这个等式中a、b、c的值．
【变式4-1】（2022春•东莞市校级期中）在等式y＝ax2+bx+c中，当x＝1时，y＝0；
当x＝﹣1时，y＝﹣2：当x＝2时，y＝7．
（1）求a，b，c的值；
（2）求当x＝﹣3时，y的值．
【变式4-2】利用两块完全相同的长方形木块测量一张桌子的高度，首先将木块按图
一方式放置，再交换两木块的位置，按图二方式放置，测量数据如图，求桌子的高
度.
【变式4-3】（2021•下城区一模）已知x﹣2y+z＝2x﹣y+z＝3，且x，y，z的值中仅有
一个为0，解这个方程组．题型5：三元一次方程组与整式值的问题
5.已知实数a，b，c满足 √a2-2a+1 +（2b2﹣3b+1）2+|（c﹣2）（c﹣1）﹣
c+2|＝0，求关于x的方程ax2+bx+c﹣2＝0的根.
【变式5-1】在等式y=ax2+bx+c中，当x=1时，y=4，当x=2时，y=3，当x=﹣3
时，y=﹣12．求（b﹣c）2010﹣2011a的值．
【变式5-2】已知 |a-2b|+(c+b) 2+√c+1=0 ，求a＋b－c的平方根.
【变式5-3】（2022•丰顺县校级开学）若有理数a，b，c满足（a+2c﹣2）2+|4b﹣3c﹣
4|+| ﹣4b﹣1|＝0，试求a3n+1b3n+2﹣c4n+2．
三元一次方程组的应用
列三元一次方程组解应用题的一般步骤
1．弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未
知数；
2．找出能够表达应用题全部含义的相等关系；
3．根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组；
4．解这个方程组，求出未知数的值；
5．写出答案(包括单位名称)．
注意：
(1)解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的应该舍去．
(2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一．
(3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组．
题型6：三元一次方程组解决实际问题
6.在我校艺术节的各项比赛中，七年级（1）班同学取得了优秀的成绩，为了表
彰同学们，林老师特意到瑞安书城买书给学生作为奖励，书城二楼专设8折售书
架，销售文教类图书，部分书籍和标价如下表：
原价（元）
中国历史故事 50
名人名言 20
幻夜 25
（1）若林老师在书城买了《中国历史故事》和《名人名言》一共20本，共付了
440元钱，请求出这两种书林老师各买了多少本？
（2）若林老师买了以上三种书（每种都有）20本，共付了360元钱，其中《名
人名言》书买了 本.（直接写出答案）
【变式6-1】（2022•玉环市一模）桌面上有甲、乙、丙三个杯子，三个杯子内原本均
装有一些水．先将甲杯的水全部倒入丙杯，此时丙杯的水量为原本甲杯内水量的 3
倍；再将乙杯的水全部倒入丙杯，此时丙杯的水量为原本乙杯内水量的4倍少150毫
升，若过程中水没有溢出，则原本甲、乙两杯内的水量相差多少毫升？
【变式6-2】（2022春•宝山区校级月考）某家电商场计划用9万元从生产厂家购进50
台电视机．已知该厂家生产两种不同型号的电视机，出厂价分别为 A种每台1500
元，B种每台2100元．若家电商场同时购进A、B两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，求商场购进这两种型号的电视机各多少台？
【变式6-3】（2022春•绍兴期末）2022年北京冬奥会取得了圆满成功，巧妙蕴含中华
文化的冬奥场馆，是北京冬奥会上一道特有的风景．某校 40名同学要去参观A、B、
C三个冬奥场馆，每一位同学只能选择一个场馆参观．已知购买 2张A场馆门票加1
张B场馆的门票共需要110元，购买3张A场馆门票和2张B场馆门票共需要180
元．
（1）求A场馆和B场馆门票的单价；
（2）已知C场馆门票每张售价15元，且参观当天有优惠活动：每购买1张A场馆门
票就赠送1张C场馆门票．
①若购买A场馆门票赠送的C场馆门票刚好够参观C场馆的同学使用，此次购买门
票所需总金额为1140元，则购买A场馆门票 张；
②若参观C场馆的同学除了使用掉赠送的门票外，还需另外购买部分门票，且最终
购买三种门票共花费了1035元，求所有满足条件的购买方案．
【变式6-4】（2022•文成县一模）“互联网+”让我国经济更具活力，直播助销就是运
用“互联网+”的生机勃勃的销售方式，让大山深处的农产品远销全国各地．小聪为
当地甲、乙、两三种特色产品助销．已知每包甲的售价比每包乙的售价低 40元，某
顾客购买数量相同的甲产品和乙产品分别花了200元和1000元．
（1）求每包甲、乙产品的售价．
（2）已知甲产品的成本为 8元/包，乙产品的成本为36元/包，小聪计划助销100
包，总成本1500元．
①若只助销甲、乙两种产品，则可获利多少元？
②若助销三种产品，丙产品成本为6元/包，售价为9元/包，则最多可获利多少元？一、单选题
{x- y+z=-3①
1．解三元一次方程组 x+2y-z=1② ，要使解法较为简便，首先应进行的变形为（
x+ y=1③
）
A．①+② B．①-② C．①+③ D．②-③
{
x+ y=3
2．（2022七下·秦皇岛期中）已知方程组 y+z=-6，则x+ y+z的值是（ ）
z+x=9
A．3 B．4 C．5 D．6
{x- y+z=-3，①
3．（2020八上·光明期末）解三元一次方程组 x+2y-z=1，② 要使解法较为简便，
x+ y=0，③
首先应进行的变形为（ ）
A．①+② B．①-② C．①+③ D．②-③
4．（2021七下·射洪月考）在抗击疫情网络知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，学校
计划用200元钱购买A、B、C三种奖品，A种每个10元，B种每个20元，C种每个
30元，在C种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，购买方案有（ ）
A．12种 B．14种 C．15种 D．16种
{ x=3-m
5．（2022七下·沐川期末）若 ，则y用含x的代数式表示为（ ）
y=1+2m
A．y=2x+7 B．y=-2x+7 C．y=2x-5 D．
y=-2x-5
{x=a
{ x-by+4z=1
6．（2022七下·南安期末）若方程组 的解是 y=1，则a+b+6c的值是
x-2by+3z=3
z=c
（ ）
A．－3 B．0 C．3 D．6
二、填空题7．（2021七下·忻州期末）我们知道，适合二元一次方程的一对未知数的值叫做这个二
元一次方程的一个解．同样地，适合三元一次方程的一对未知数的值叫做这个三元一
次方程的一个解．请写出方程x+ y+z=4的一个正整数解
．
8．某服装厂专门安排210名工人进行手工衬衣的缝制，每件衬衣由2个小袖、1个衣
身、1个衣领组成，如果每人每天能够缝制衣袖10个，或衣身15个，或衣领12个，
那么应该安排 名工人缝制衣袖，才能使每天缝制出的衣袖，衣身、衣领正
好配套．
9．（2021七下·万州期末）农历五月初五，中国传统节日端午节.某超市为了吸引顾客，
在端午节当天推出由白粽、豆沙粽、蛋黄粽三种不同的粽子搭配而成的A、B两种礼
盒，其中，A种礼盒含4个白粽、3个豆沙粽、3个蛋黄粽；B种礼盒含2个白粽、4个
豆沙粽、4个蛋黄粽.每种礼盒的成本价分别为三种粽子的成本价之和（包装成本忽略
不计），已知每盒A种礼盒的总成本为1个白粽成本的13倍，每盒A种礼盒的利润率
为20%，每盒B种礼盒的利润率为25%，则当销售A、B两种礼盒的数量之比为7：26
时，则该超市销售这两种礼盒的总利润率为 .
三、计算题
10．（2021七下·硚口期末）解下列方程组：
{
a-b+c=0，①
{3x- y=11，①
（1） （2） 4a+2b+c=3，②
4x+3 y=-7.②
25a+5b+c=60.③
四、解答题
11．某农场300名职工耕种51公顷土地，计划种植水稻、棉花和蔬菜，已知种植各种
农作物每公顷所需的劳动力人数及投入的设备资金如下表：
农作物品种 每公顷所需劳动力 每公顷所需投入的设备资金
水稻 4人 1万元
棉花 8人 1万元
蔬菜 5人 2万元
已知该农场计划投入设备资金67万元，应该怎样安排这三种农作物的种植面积，才
能使所有职工有工作，而且投入的资金正好够用？12．（2021·下城模拟）已知x－2y＋z＝2x－y＋z＝3，且x，y，z的值中仅有一个为0，
解这个方程组．
五、综合题
13．在等式 y=ax2+bx+c 中，当 x=0 时， y= -5 ；当 x=2 时， y=3 ；当
x=-2 时， y=11 .
（1）求a，b，c的值
5
（2）小苏发现：当x=-1或 x= 时， y 的值相等.请分析“小苏的发现”是否正
3
确？
14．（2022八上·南宁开学考）【阅读理解】
在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化难为易．
{x+2(x+ y)=3①
（1）解方程组
x+ y=1②
{4x+3 y+2z=10①
（2）已知 ，求x+ y+z的
解：（1）把②代入①得：x+2×1=3.解
9x+7 y+5z=25②
得：x=1． 值．
把x=1代入②得：y=0． 解：（2）①×2得：8x+6 y+4z=20③
{x=1
②-③得；x+ y+z=5
所以方程组的解为
y=0
{ x+ y+z=18
（1）【类比迁移】若 ，则2x+3 y+4z= ．
3x+5 y+7z=28
{
2x- y-5=0①
（2）运用整体代入的方法解方程组 2x- y+7 ．
+3 y=11②
6
（3）【实际应用】“战疫情，我们在一起”，某公益组织计划为老年公寓捐赠一批
防疫物资，已知打折前购买39瓶消毒液、12支测温枪、3套防护服共需2070元；打折
后购买52瓶消毒液、16支测温枪、4套防护服共需2350元，比不打折时少花了多少钱？
