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2022-2023学年人教版七年级数学下册精选压轴题培优卷
专题14 解三元一次方程组
考试时间：120分钟 试卷满分：100分
评卷人 得分
一、选择题(每题2分，共20分)
1．(本题2分)（河南省周口市川汇区2021-2022学年七年级上学期期末数学试题）若 ， ，
则 的值等于（ ）
A． B．1 C． D．5
【答案】B
【思路点拨】两式相加即可求解．
【规范解答】由题意 ①， ②，
①+②得x-z=-1，
∴ =1，
故选B．
【考点评析】此题主要考查加减消元法的应用，解题的关键是熟知方程组的求解方法．
2．(本题2分)（2023春·七年级单元测试）已知方程组 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【思路点拨】把三个方程相加即可得到 的值．
【规范解答】解： ，
①＋②＋③，得：
，∴ ．
故选：A．
【考点评析】本题考查解三元一次方程组．理解和掌握解方程过程中的整体思想是解题的关键．
3．(本题2分)（2022春·河南洛阳·七年级统考期中）已知三元一次方程组 ，则
（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【思路点拨】①+②+③得出2x+2y+2z=12，等式两边都除以2，即可得出答案．
【规范解答】解： ，
①+②+③，得2x+2y+2z=12，
等式两边都除以2，得x+y+z=6，
故选：B．
【考点评析】本题考查了解三元一次方程组，能选择适当的方法求解是解此题的关键．
4．(本题2分)（2023春·浙江·七年级专题练习）已知x，y，z满足 ，则 的
值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【思路点拨】按照解三元一次方程组的步骤先求出 、 ，后代入式子中进行计算即可解
答．
【规范解答】解： ，
由①+②得： ，
∴ ③，
将③代入①，得 ，解得： ，
∴
=
=3，
故选：B．
【考点评析】本题考查了解三元一次方程组，求代数式的值，熟练掌握解三元一次方程组的方法——代入
消元法和加减消元法是解题的关键．
5．(本题2分)（2023春·七年级单元测试）方程组 的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【思路点拨】根据代入消元法解三元一次方程组即可求解．
【规范解答】解： ，
由①得 ④，由②得 ⑤，
将④⑤代入③得， ，
解得 ，
将 代入④得 ，
将 代入⑤得 ，
原方程组的解为 ．
故选C．
【考点评析】本题考查了解三元一次方程组，掌握代入消元是解题的关键．6．(本题2分)（2023·全国·七年级专题练习） 的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【思路点拨】利用加减消元法解方程组即可．
【规范解答】解： ，
，得： ④；
，得： ⑤；
，得： ，解得： ；
把 代入④得： ，解得： ；
把 ， 代入①得： ，解得： ；
∴方程组的解为： ，
故选A．
【考点评析】本题考查解三元一次方程组．熟练掌握加减消元法解方程组，是解题的关键．
7．(本题2分)（2020秋·七年级课时练习）三元一次方程组 ，的解为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【思路点拨】用加减消元法解.
【规范解答】 ，
得 ……④，
得 ，解得 .把 代入①，
得 ，解得 ，把 代入③，
得 ，解得 ，
所以原方程组的解为 .
故选：D.
【考点评析】考查了解三元一次方程组，解题关键是利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加
减消元法．
8．(本题2分)（2023春·七年级课时练习）在y=ax2+bx+c中，当x=1时，y=0；当x=﹣1时，y=6；当x=2
时，y=3；则当x=﹣2时，y=（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
【答案】C
【思路点拨】根据题意得到三元一次方程组得 ，再解方程组得 ，则y=2x2-3x+1，然
后把x=-2代入计算．
【规范解答】根据题意得 ，解方程组得 ，
所以y=2x2-3x+1，
当x=-2时，y=2×4-3×（-2）+1=15．
故选C．
【考点评析】本题考查了解三元一次方程组：利用加减消元或代入消元把解三元一次方程组的问题转化为
解二元一次方程组的问题．
9．(本题2分)（2019春·湖北黄石·七年级校联考期末）若关于 的方程组 的解也是二元
一次方程 的解，则 的值为（ ）
A．1 B．3 C． D．2
【答案】A
【思路点拨】把方程组 的中的x-y=9m乘以2再与x+2y=3m相加，求出x，代入求出y，然后把
方程组的解代入二元一次方程，从而求出m的值．
【规范解答】由题知,方程组 ，x−y=9m乘以2再与x+2y=3m相加得，
3x=21m，
∴x=7m，
把x=7m代入方程组求出y=−2m，
∵x,y的方程组 的解也是方程3x+2y=17的解，
∴把x=7m，y=−2m代入方程3x+2y=17得，
3×7m+2×(−2m)=17，
解得m=1；
故选A.
【考点评析】此题考查解三元一次方程组，解题关键在于掌握运算法则10．(本题2分)（2023秋·天津南开·七年级南开翔宇学校校考期末）已知 且x＋y＝3，
则z的值为( )
A．9 B．－3 C．12 D．不确定
【答案】B
【思路点拨】先利用x＋y＝3，得2x+2y=6,3x+3y=9,进而将方程组进行化简整理,再用代入消元法即可求解.
【规范解答】解：∵x＋y＝3，将其代入方程组得 ,
由（1）得y=z-6,将其代入（2）得z=-3,
故选B.
【考点评析】本题考查了三元一次方程组的求解,中等难度,熟悉代入消元的方法和对原方程组进行化简是
解题关键.
评卷人 得分
二、填空题(他2分，共20分)
11．(本题2分)（2023·全国·七年级专题练习）方程组 的解________．
【答案】
【思路点拨】利用消元法解三元一次方程组即可得．
【规范解答】解： ，
由① ②得： ④，
由① ③得： ⑤，
由④ ⑤得： ，
解得 ，将 代入④得： ，
解得 ，
将 ， 代入③得： ，
解得 ，
则方程组的解为 ，
故答案为： ．
【考点评析】本题考查了解三元一次方程组，熟练掌握消元法是解题关键．
12．(本题2分)（2021秋·全国·八年级专题练习）已知 ，则
________．
【答案】-10
【思路点拨】根据题目已知条件可得： ， ， ，把 变形为
代值即可得出答案．
【规范解答】 ，
，即 ，
，
故答案为：-10．
【考点评析】本题考查三元一次方程组，解题关键是根据题意得到已知与待求式之间的关系．
13．(本题2分)（2020春·辽宁抚顺·七年级校考期中）有甲，乙，丙三种不同重量的重物，它们的重量
分别为a，b，c，天平一端放2个甲，另一端放一个乙和一个丙天平平衡；或者天平一端放一个甲和一个
乙，另一端放一个丙，天平平衡．问a：b：c的值为_____．
【答案】2：1：3
【思路点拨】根据题意可得关于a、b、c的方程组，然后用含b的代数式分别表示a、c，进一步即可求出答案．
【规范解答】解：由题意，得 ，解得： ，
∴a：b：c＝2b：b：3b＝2：1：3．
故答案为：2：1：3．
【考点评析】本题考查了二元一次方程组的应用，属于常考题型，正确列出方程组、用含b的代数式分别
表示a、c是解此题的关键．
14．(本题2分)（2019春·山东潍坊·七年级统考期中）解关于 、 、 的三元一次方程组
，得 ______．
【答案】2
【思路点拨】只需运用消元法先消去其中一个未知数，转化成二元一次方程组，然后解这个方程组，就可
解决问题．
【规范解答】解： ，
由①+②得：2x+4y=−2，即x+2y=−1，
由②×3+③得：3x+11y=−8，
解方程组 ，
解得： ，
将y=−1代入②得：z=−2，
∴ ，
故答案为：2．
【考点评析】本题主要考查了三元一次方程组的解法，在解题的过程中用到了转化思想、消元法等重要的
数学思想方法，应熟练掌握．
15．(本题2分)（2022秋·重庆潼南·九年级校联考阶段练习）甲、乙、丙三家花店准备采购多肉、茉莉花、绣球三种植物．多肉、茉莉花、绣球的单价分别为5元、15元、25元，乙购买的多肉数量是甲的10
倍，茉莉花数量是甲的6倍，绣球数量是甲的8倍，丙购买的多肉数量是甲的3倍，茉莉花数量是甲的7
倍，绣球数量和甲相同，三家花店采购共花费金额2510元，丙比甲多用420元，则三家花店购买绣球共花
费________元．
【答案】
【思路点拨】设甲花店采购多肉、茉莉花、绣球三种植物分别为 株、 株、 株，则乙花店采购多肉、
茉莉花、绣球三种植物分别为 株、 株、 株，丙花店采购多肉、茉莉花、绣球三种植物分别为
株、 株、 株，再将三家花店采购的多肉、茉莉花、绣球分别算出数量，再根据数量 单价 总价，得
出方程组并解出，再根据数量 单价 总价，即可得出三家花店购买绣球的钱数．
【规范解答】解：设甲花店采购多肉、茉莉花、绣球三种植物分别为 株、 株、 株，则乙花店采购多
肉、茉莉花、绣球三种植物分别为 株、 株、 株，丙花店采购多肉、茉莉花、绣球三种植物分别为
株、 株、 株，
∴三家花店采购的多肉为： （株），
三家花店采购的茉莉花为： （株），
三家花店采购的绣球为： （株），
∴根据题意，可得： ，
即 ，
由 ，可得： ，
∵ 、 都是正整数，
∴ 可能为 ，
把 代入 ，可得： ，
整理，可得： ，
∵ 为正整数， 可能为 ，
∵当 时， （符合题意），
当 时， （不符合题意），当 时， （不符合题意），
当 时， （不符合题意），
∴ ，
∴三家花店采购的绣球为： （株），
∴ （元），
∴三家花店购买绣球共花费 元．
故答案为： ．
【考点评析】本题考查了三元一次方程组的应用，解本题的关键在找出数量关系，列出方程并解出．
16．(本题2分)（2021·上海·九年级专题练习）某水稻种植中心培育了甲、乙、丙三种水稻，将这三种
水稻分别种植于三块大小各不相同的试验田里．去年，三种水稻的平均亩产量分别为300kg，500kg，
400kg，总平均亩产量为450kg，且丙种水稻的的总产量是甲种水稻总产量的4倍，今年初，研究人员改良
了水稻种子，仍按去年的方式种植，三种水稻的平均亩产量都增加了．总平均亩产量增长了20%，甲、丙
两种水稻的总产量增长了30%，则乙种水稻平均亩产量的增长率为_____．
【答案】15%
【思路点拨】设甲、乙、丙三种水稻各种植了a亩，b亩，c亩，乙种水稻平均亩产量的增长率为x，根据
题意列出方程组进行解答便可．
【规范解答】解：设甲、乙、丙三种水稻各种植了a亩，b亩，c亩，乙种水稻平均亩产量的增长率为x，
根据题意得，
，
化简得 ，
把（2）代入（1）得，b＝6a（4），
把（2）和（4）都代入（3）得，300ax＝15a+24a+6a，
∴x＝15%，
故答案为15%．
【考点评析】本题主要考查了方程组解应用题，关键是读懂题意正确列出方程组．17．(本题2分)（2023·安徽·九年级专题练习）已知对任意 关于 的二元一次方程
只有一组公共解，求这个方程的公共解_____________．
【答案】
【思路点拨】先把原方程化为 的形式，再分别令a，b的系数为0，即可求出答
案．
【规范解答】解：由已知得：
∴
两式相加得： ，即 ，
把 代入 得到， ，
故此方程组的解为： ．
故答案为： ．
【考点评析】本题主要考查的知识点是三元一次方程组的问题，运用三元一次方程组的解法的知识进行计
算，即可解答．
18．(本题2分)（2023春·七年级课时练习）已知方程组 那么 的值为_______．
【答案】-3
【思路点拨】把三个方程相加得到新的方程，再用新的方程分别减去三个方程得到x，y，z的值最后进行
计算即可．
【规范解答】解： ，将①+②+③，得x+y+z=6④，
由④-①得z=5，由④-②得x=1，由④-③得y=0，
∴ =-3．故答案为：-3．
【考点评析】本题考查了三元一次方程组的计算，解决此题的关键是掌握一些基本的三元一次方程组的解
法．
19．(本题2分)（2021春·河南周口·七年级统考期中）方程组 中，
______________________．
【答案】
【思路点拨】利用加减消元法计算即可．
【规范解答】解：
①+②+③得， ，
则 ，
故答案为：9．
【考点评析】本题考查的是三元一次方程组的解法，掌握加减消元法解方程组是解题的关键．
20．(本题2分)（2019春·七年级课时练习）已知 是方程组 的解，则a＋b＋c的值是
________．
【答案】3
【思路点拨】根据方程组的特点，运用加减消元法求解关于a、b、c的三元一次方程组.
【规范解答】解：将 代入
得 ,解方程组可得 ,
∴a+b+c=2+0+1=3，
即答案为3.
【考点评析】掌握解三元一次方程组的方法是解答本题的关键.评卷人 得分
三、解答题(共60分)
21．(本题6分)（2022春·广东河源·七年级校考期末）解下列方程或方程组：
(1) ；
(2) = ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【思路点拨】（1）根据解一元一次方程的步骤解方程，即可求解；
（2）根据解一元一次方程的步骤解方程，即可求解；
（3）采用加减消元法解方程组，即可求解；
（4）采用加减消元法和代入消元法解方程组，即可求解．
【规范解答】（1）解：去括号得： ，
移项得： ，
合并同类项得： ，
系数化为1得： ，
所以，原方程的解为 ；（2）解：去分母得： ，
去括号得： ，
移项得： ，
合并同类项得： ，
系数化为1得： ，
所以，原方程的解为 ；
（3）解：由原方程组整理得：
由 得 ，
把 代入①得 ，
所以，原方程组的解为 ；
（4）解：
把③代入①得： ，
把③代入②得： ，
由 ，解得： ，
把 代入④，解得 ，
把 代入③，解得 ，
所以，原方程组的解为 ．
【考点评析】本题考查了解一元一次方程、二元一次方程组及三元一次方程组，熟练掌握和运用解方程及
方程组的方法是解决本题的关键．
22．(本题6分)（2023春·全国·七年级专题练习）在等式 中，当 时， ；当时， ；当 与 时，y的值相等，求 的值．
【答案】37
【思路点拨】由当 与 时，y的值相等，得出a和b的关系，再将x与y的2对值代入等式，得出
关于a，b，c的方程组求解即可．
【规范解答】解：∵当 与 时，y的值相等，
∴ ，即 ，
把当 时， ；当 时， 代入等式得
，
①-②得： ，即 ，
将 代入③得： ，
将 代入①得： ，
∴ ，
∴ ．
【考点评析】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元
法．
23．(本题8分)（2022春·浙江金华·七年级统考期末）解方程组：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)(2)
【思路点拨】（1）先把方程组整理为 ，再利用加减消元法解方程组即可；
（2）先消去未知数z，得到 ， ，再利用加减消元法解方程组即可．
【规范解答】（1）解：∵ ，
整理得： ，
①+②得：
②-①得：
∴方程组的解为：
（2）
①+②得：
①+③得：
得：
把 代入⑤得：
把 代入③得：
∴方程组的解为：
【考点评析】本题考查的是二元一次方程组，三元一次方程组的解法，掌握“方程组的解法”是解本题的关键．
24．(本题8分)（2022春·江苏扬州·七年级校联考阶段练习）【阅读感悟】
对于方程组的问题，有时候要求的结果不是每个未知数的值，而是求关于未知数的代数式的值．如已知实
数 满足 ，求 和 的值．
方法一：解方程组，分别求出 的值，代入代数式求值；
方法二：仔细观察两个方程中未知数的系数之间的关系，通过适当变形整体求代数式的值．解法如下：
①－②，得： ；①＋②×2，得： ．
比较：方法一运算量较大，是常规思路；方法二运算较为简单，这种解题思路就是通常所说的“整体思
想”．
【问题解决】
(1)已知二元一次方程组 ，则 ＝____； ＝____．
(2)某班级因组织活动购买奖品．买13支铅笔、4块橡皮、2本笔记本共需48元；买25支铅笔、7块橡皮、
3本笔记本共需84元．则购买5只铅笔、5块橡皮、5本笔记本共需_____元．
(3)对于实数 ，定义新运算： ，其中 、 、 是常数，等式右边是通常的加减法和
乘法运算．已知 ， ，那么 的值是_____．
【答案】(1)4；2
(2)60
(3)－11
【思路点拨】（1）根据整体思想①-②可求得 ，根据①＋②可得 ，即可求解；
（2）设购买1只铅笔、1块橡皮、1本笔记本分别需要 元，根据题意列出方程组，根据整体思想解方
程组即可求解．
（3）根据题意，列出方程组，根据整体思想解方程组即可求解．
（1）
解： ，①-②得， ，
①＋②得， ，
，
故答案为：4，2；
（2）
解：设购买1只铅笔、1块橡皮、1本笔记本分别需要 元，根据题意得，
，
①×2-②得： ，
，
即购买5只铅笔、5块橡皮、5本笔记本共需60元，
故答案为：60；
（3）
解：∵ ， ，
∴ ，
①×3-②×2得 ，
，
故答案为：-11
【考点评析】本题考查了解二元一次方程组，解三元一次方程组，整体代入是解题的关键．
25．(本题8分)（2023春·七年级课时练习）下面所示为教材中三元一次方程组的解题过程，请根据教材
提供的做法和有关信息解决问题．
例1 解方程组：
解 由方程②，得 ．……步骤一④
将④分别代入方程①和③，得
……步骤二
整理，得解这个二元一次方程组，得
代入④，得 ．
所以原方程组的解是
(1)其中的步骤二通过______法消去未知数 ，将三元一次方程组转化成了______．
(2)仿照以上思路解方程组， 消去字母 后得到的二元一次方程组为______．
【答案】(1)代入消元（代入） ， 二元一次方程组
(2)① 或 或 等，答案不唯一
【思路点拨】（1）根据解三元一次方程组的解法进行分析即可；
（2）利用加减消元法进行求解即可．
【规范解答】（1）解方程组：
由方程②，得
将④分别代入方程①和③，得
整理，得
故答案为：代入消元（代入） 二元一次方程组
（2）解方程组：
由方程②+①，得3x+3y=9由方程①+③，得4x+6y=14
由方程③-②得x+3y=5
由x+y=3 （3x+3y=9）， 2x+3y=7（4x+6y=14） ， x+3y=5中 任意两个组合得到均可
故答案为： 或 或 等，答案不唯一
【考点评析】此题考查了一次方程组的解法，解三元一次方程组，解本题的关键是消元．
26．(本题8分)（2023春·七年级课时练习）在等式 中，当 时， ；当 时，
：当 时， ．
(1)求 ， ， 的值；
(2)求当 时， 的值．
【答案】(1)
(2)
【思路点拨】（1）根据题设条件，得到关于 ， ， 的三元一次方程组，利用加减消元法解之即可，
（2）结合（1）的结果，得到关于 和 的等式，把 代入，计算求值即可．
【规范解答】（1）根据题意得： ，
①＋②得： ④
③＋②×2得： ⑤，
⑤－④得： ，
把 代入④得： ，
解得： ，
把 ， 代入①得： ，
解得： ，
方程组的解为： ；（2）根据题意得： ，
把 代入得： ，
即 的值为 ．
【考点评析】本题考查了解三元一次方程组，解题的关键：（1）正确掌握加减消元法，（2）正确掌握代
入法．
27．(本题8分)（2022春·湖北恩施·七年级校联考阶段练习）解下列二元一次方程组：
(1)
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【思路点拨】（1）先将原方程去分母进行变形，由①×4-②×3得 ③，把 代入①得
④，组成新的方程组，由③+④得 ，把 代入③求得y即可求解；
（2）由①+③求得 ，由②+③得 ④，把 代入④得 ，再把y和z的值代入①求出x即
可．
(1)
解：将原方程组变形为 ，
由①×4-②×3得 ③，
把 代入①得 ④，
则组成新的方程组为 ，由③+④得 ，
把 代入③得 ，
∴原方程组的解是 ；
(2)
解：在 中
由①+③得 ，
由②+③得 ④，
把 代入④得 ，
把 ， 代入①得 ，
∴原方程组的解是 ．
【考点评析】本题主要考查了二元一次方程组和三元一次方程组的解法，理解方程组的解法是解答关键．
28．(本题8分)（2019春·福建福州·七年级福建省福州第十九中学校考期中）在平面直角坐标系中，O
为坐标原点，点A的坐标为（a,a），点B的坐标（b,c），且a、b、c满足
(1)若a没有平方根，判断点A在第几象限并说明理由．
(2)连AB、OA、OB，若△OAB的面积大于5而小于8，求a的取值范围；
(3)若两个动点M（2m，3m-5），N(n-1，-2n-3)，请你探索是否存在以两个动点M、N为端点的线段MN
AB，且MN=AB．若存在，求出M、N两点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）第三象限；（2）见解析；（3）见解析
【思路点拨】（1）根据平方根的意义得到a＜0，然后根据各象限点的坐标点的特征可判断点A在第三象
限；
（2）先利用方程组 ，用a表示b、c，得b=2+a.c=a, 则B点的坐标为（2+a，a），故ABx轴，AB=|2+a-a|=2，故 由若△OAB的面积大于5而小于8，可得
计算即可得a的取值范围；
（3）由AB x轴即MN AB可得MN x轴，则M、N的y坐标，以及MN=AB=2，可得方程组解得m、n的值，
即可得出结论．
【规范解答】解：（1）∵a没有平方根，
∴a＜0，
∴点A在第三象限；
（2）解方程组
用a表示b、c，得
∵点B坐标为（b，c）
∴点B坐标为（2+a，a）
∵点A的坐标为（a，a）
∴AB=|2+a-a|=2，AB与x轴平行
∴
∵△OAB的面积大于5而小于8，
∴
解得： 或
(3) ∵AB x轴
又∵MN AB
∴MN x轴
∵M(2m， 3m-5) ，N(n-1，-2n-3)，MN=AB=2
∴
∴∴ 或
∴ 或
【考点评析】本题考查了坐标与图形的性质，平方根，解三元一次方程组，三角形的面积，解不等式，审
清题意，能灵活运用各个知识点之间的联系是解决的关键．
