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8.4 三元一次方程组
三元一次方程的定义：
含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程．如x+y-z＝1，
2a-3b+4c＝5等都是三元一次方程．
三元一次方程组的定义：
一般地，由几个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程
组.
注意：
(1)三元一次方程的条件：①是整式方程，②含有三个未知数，③含未知数的项的最高
次数是1次．
(2) 三元一次方程的一般形式：ax+by+cz+d=0，其中a、b、c不为零．
(3) 三个方程中不一定每一个方程中都含有三个未知数，只要三个方程共含有三个未知
量即可．
（4）在实际问题中含有三个未知数，当这三个未知数同时满足三个相等关系时，可以
建立三元一次方程组求解．
题型1：三元一次方程（组）的概念
1.1．下列方程组中，是三元一次方程组的是（ ）
{x+ y=0
{ x+ y=0
A． y+z=1 B．
y+2x=1
z+w=5
{
3x+4z=7 {x2-2y=0
C． 2x+3 y=9-z D． y+z=3
5x-9 y+7z=8 x+ y+z=1
【答案】C
【解析】【解答】解： A.4个未知数，不符合题意；
B.2个未知数，不符合题意；
C.有三个未知数，每个方程的次数是1，是三元一次方程组，符合题意；
D.方程的次数为2，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用三元一次方程组的定义判断即可．【变式1-1】下列方程组不是三元一次方程组的是（ ）
{
x=5 {x+ y=3
A． x+ y=7 B． y+z=4
x+ y+z=6 z+x=2
{
4x-9z=17 {x+ y-z=5
C． 3x+ y+15z=18 D． xyz=1
x+2y+3z=2 x-3 y=2
【答案】D
{x+ y-z=5
【解析】【解答】解：下列方程组不是三元一次方程组的是 xyz=1 ，
x-3 y=2
故选D
【分析】利用三元一次方程组的定义判断即可．
解三元一次方程组的一般步骤
(1)利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两
组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；
(2)解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；
(3)将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个
一元一次方程；
(4)解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；
(5)将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起．
注意：
（1）解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”消元，把“三元”化
为“二元”．使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方
程．其思想方法是：
（2）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求其较简单的
解法．
题型2：解三元一次方程组的一般方法
2.（2022春•南关区校级月考）解三元一次方程组 ，如果消掉未知
数z，则应对方程组变形为（ ）
A．①+③，①×2﹣② B．①+③，③×2+② C．②﹣①，②﹣③ D．①﹣
②，①×2﹣③
【分析】观察z的系数，利用加减消元法消去z即可．【解答】解：解三元一次方程组 ，如果消掉未知数z，
则应对方程组变形为②﹣①，②﹣③．
故选：C．
【点评】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元
法与加减消元法．
【变式2-1】（2022春•船山区校级期中）解方程组 ，如果要使运算简
便，那么消元时最好应（ ）
A．先消去x B．先消去y C．先消去z D．先消常数项
【分析】观察发现，未知数 y的系数具有相同，或互为相反数，从而可确定先消去
y．
【解答】解：观察未知数x，y，z的系数特点发现：
未知数y的系数要么相等，要么互为相反数，
所以要使运算简便，那么消元时最好应先消去y，
故选：B．
【点评】本题考查的是解方程组时，消元的技巧，掌握“根据相同未知数的系数特点进
行消元”是解本题的关键．
【变式2-2】解方程组.
{
x- y+z=2①
（1） x+ y-z=-4②
x+ y+z=6③
{
3x- y+z=4①
（2） 2x+3 y-z=12②
x+ y+z=6③
【答案】（1）解：+②得：2x=-2，
∴x=-1，
②-③得：-2z=-10，
∴z=5，
把x、z的值代入①得-y=-2，
∴y=2，{x=-1
∴原方程组的解是 y=2 .
z=5
（2）解:①-③得2x-2y=-2，④
①+②得5x+2y=16，⑤
④+⑤得7x=14，∴x=2，
把x=2代入④中，得4-2y=-2，
∴y=3
把x=2，y=3代入③中，得2+3+z=6，
∴z=1
{x=2
所以原方程组的解是 y=3
z=1
【解析】【分析】(1)直接利用加减消元法解三元一次方程组即可；
(2)先利用加减消元法消去未知数z，得出关于x、y的方程组，再利用加减消元法解
二元一次方程组，即可解答.
【变式2-3】解下列方程组：
2x 3 y
{ + =6
3 4
（1） ；
x y 1
- =-
6 2 3
（（2） ．
2x 3 y
{ + =6
3 4 {8x+9 y=72①
【答案】（1）解： 可化为 ，
x y 1 x-3 y=-2②
- =-
6 2 3
由①+3×②得： 8x+3x=72-6 ，
解得 x=6 ，
将 x=6 代入②得： 6-3 y=-2 ，
8
解得 y= ，
3{x=6
则方程组的解为 8 ；
y=
3
（2）解： ，
①×2+②×3得13x+8y＝55④，
③﹣②得x﹣5y＝﹣7⑤，
由④⑤组成方程组 得 ，
把x＝3，y＝2代入①得6+2+3z＝11，
解得z＝1．
所以原方程组的解为 ．
题型3：用参数法或整体代入法解三元一次方程组
{ x y z
= =
3. 3 2 5
2x+3 y-4z=8
x y z
【答案】解：依题可设 = = =m，
3 2 5
∴x=3m，y=2m，z=5m，
∵2x+3y-4z=8，
∴6m+6m-20m=8，
∴m=-1，
∴x=-3，y=-2，z=-5.
{x=-3
∴原方程组的解为： y=-2.
z=-5
x y z
【解析】【分析】依题可设 = = =m，从而可得x=3m，y=2m，z=5m，再由
3 2 5
2x+3y-4z=8求得m值，将m值代入可得x、y、z的值，从而得出原方程组的解.
【变式3-1】（2021秋•武侯区期末）已知 ＝ ＝ ≠0，且a+b﹣2c＝3，求a的值．
【分析】设 ＝ ＝ ＝k，得出a＝6k，b＝5k，c＝4k，代入得出6k+5k﹣8k＝3，求出k即可．
【解答】解：设 ＝ ＝ ＝k，
则a＝6k，b＝5k，c＝4k，
∵a+b﹣2c＝3，
∴6k+5k﹣8k＝3，
∴k＝1，
∴a＝6k＝6．
【点评】本题考查了解三元一次方程组，比例的性质的应用，解此题的关键是求出 k
的值．
【变式3-2】（2021春•椒江区月考）已知 ＝ ＝ ，且2x+4y﹣6z＝120，求
x、y、z的值．
【分析】设 ＝ ＝ ＝k，用k表示出x，y，z，代入2x+4y﹣6z＝120中计
算求出k的值，即可确定出x，y，z的值．
【解答】解：设 ＝ ＝ ＝k，
可得x+y＝2k，y+z＝3k，z+x＝4k，
解得：x＝1.5k，y＝0.5k，z＝2.5k，
代入2x+4y﹣6z＝120得：3k+2k﹣15k＝120，
解得：k＝﹣12，
则x＝﹣18，y＝﹣6，z＝﹣30．
【点评】此题考查了解三元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式3-3】阅读下列材料，然后解答后面的问题：
已知方程组 ，求x+y+z的值．
解：将原方程组整理得
①×3﹣②×2，得x+y+z＝6．
仿照上述解法，解决下列问题：已知方程组 ，求x+2y﹣z的值．
【分析】根据题意给出的方法即可求出答案．
【解答】解： ，
①﹣②得：4x+8y﹣4z＝12，∴x+2y﹣z＝3．
【点评】本题考查三元一次方程，解题的关键是正确理解题意给出的方法，本题属于
基础题型．
题型4：构建三元一次方程组
4.（2022春•遵化市期末）在等式 y＝ax2+bx+c中，当x＝﹣1时，y＝3；当x＝0
时，y＝1，当x＝1时，y＝1，求这个等式中a、b、c的值．
【分析】根据题意列出三元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：由题意得， ，
解得，a＝1，b＝﹣1，c＝1．
【点评】本题考查的是三元一次方程组的解法，解三元一次方程组的一般步骤：①
首先利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两
组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组．②然后解这个
二元一次方程组，求出这两个未知数的值．③再把求得的两个未知数的值代入原方
程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个关于第三个未知数的一元一次方程．
④解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值，得到方程组的解．
【变式4-1】（2022春•东莞市校级期中）在等式y＝ax2+bx+c中，当x＝1时，y＝0；
当x＝﹣1时，y＝﹣2：当x＝2时，y＝7．
（1）求a，b，c的值；
（2）求当x＝﹣3时，y的值．
【分析】（1）根据题设条件，得到关于a，b，c的三元一次方程组，利用加减消元
法解之即可，
（2）结合（1）的结果，得到关于x和y的等式，把x＝﹣3代入，计算求值即可．
【解答】解：（1）根据题意得： ，
①+②得：a+c＝﹣1④
③+②×2得：2a+c＝1⑤，
⑤﹣④得：a＝2，
把a＝2代入④得：2+c＝﹣1，
解得：c＝﹣3，
把a＝2，c＝﹣3代入①得：2+b﹣3＝0，
解得：b＝1，方程组的解为： ；
（2）根据题意得：y＝2x2+x﹣3，
把x＝﹣3代入得：y＝2×（﹣3）2﹣3﹣3＝12，
即y的值为12．
【点评】本题考查了解三元一次方程组，解题的关键：（1）正确掌握加减消元法，
（2）正确掌握代入法．
【变式4-2】利用两块完全相同的长方形木块测量一张桌子的高度，首先将木块按图
一方式放置，再交换两木块的位置，按图二方式放置，测量数据如图，求桌子的高
度.
【答案】解：设桌子高度为 h ，长方形木块的长和宽分别为 a ， b
{h+a-b=80
根据题意，可列方程组
h-a+b=70
两式相加得： h=75
答：桌子高度 75cm .
【解析】【分析】 设桌子高度为 h ，长方形木块的长和宽分别为 a,b，由图一可得
桌子的高+长方形木块的长-长方形木块的宽=80cm，由图二可得桌子的高+长方形木
块的宽-长方形木块的长=70cm，从而即可列出方程组，求解即可.
【变式4-3】（2021•下城区一模）已知x﹣2y+z＝2x﹣y+z＝3，且x，y，z的值中仅有
一个为0，解这个方程组．
【分析】原式化为 ，②﹣①得，x+y＝0，即可得出 z＝0，由
解得 ，即可求得原方程组的解为 ．
【解答】解：原式化为 ，②﹣①得，x+y＝0，
∵x，y，z的值中仅有一个为0，
∴z＝0，
由 解得 ，
∴原方程组的解为 ．
【点评】本题考查了解三元一次方程组，加减消元法消去z联立关于x、y的方程组是
解题的关键．
题型5：三元一次方程组与整式值的问题
5.已知实数a，b，c满足 √a2-2a+1 +（2b2﹣3b+1）2+|（c﹣2）（c﹣1）﹣
c+2|＝0，求关于x的方程ax2+bx+c﹣2＝0的根.
{
a2-2a+1=0
【答案】解：由题可知： 2b2-3b+1=0 ，
(c-2)(c-1)-c+2=0
a=1
{
{a=1
1
解得： b=1 或 b= ，
2
c=2
c=2
1
即方程为x2+x＝0或x2+ x＝0，
2
1
解得：x＝0，x＝﹣1，x＝﹣ .
1 2 3 2
【解析】【分析】根据二次根式、绝对值和偶次方的非负性得出方程组，求出方程
组的解，再代入方程ax2+bx+c﹣2＝0，求出方程的解即可.
【变式5-1】在等式y=ax2+bx+c中，当x=1时，y=4，当x=2时，y=3，当x=﹣3
时，y=﹣12．求（b﹣c）2010﹣2011a的值．
{
a+b+c=4
【答案】解：把x=1，y=4；x=2，y=3；x=﹣3，y=﹣12代入得： 4a+2b+c=3
9a-3b+c=-12
，
解得：a=﹣1，b=2，c=3，
则原式=1+2011=2012．
【解析】【分析】把x与y的三对值代入等式求出a，b，c的值，即可确定出原式的
值．【变式5-2】已知 |a-2b|+(c+b) 2+√c+1=0 ，求a＋b－c的平方根.
{a-2b=0
【答案】解：根据题意得： c+b=0 ，
c+1=0
{a=2
解得： b=1 ，
c=-1
∴ a＋b−c＝2＋1−（−1）＝4，
则a＋b−c的平方根是：±2.
【解析】【分析】根据非负数的性质列出方程求出a、b、c的值，代入所求代数式计
算即可.
【变式5-3】（2022•丰顺县校级开学）若有理数a，b，c满足（a+2c﹣2）2+|4b﹣3c﹣
4|+| ﹣4b﹣1|＝0，试求a3n+1b3n+2﹣c4n+2．
【分析】根据非负数的性质得到 ，再解方程组得到 ，所以
a3n+1b3n+2﹣c4n+2＝43n+1•（ ）3n+2﹣（﹣1）4n+2＝（4× ）3n+1• ﹣1，然后根据积的
乘方进行计算．
【解答】解：根据题意得 ，
②+③得 a﹣3c﹣5＝0，
所以a＝6c+10，
把a＝6c+10代入①得6c+10+2c﹣2＝0，、
解得c＝﹣1，
所以a＝﹣6+10＝4，
把c＝﹣1代入②得4b+3﹣4＝0，
解得b＝ ，
所以方程组的解为 ，所以a3n+1b3n+2﹣c4n+2＝43n+1•（ ）3n+2﹣（﹣1）4n+2
＝（4× ）3n+1• ﹣1
＝ ﹣1
＝﹣ ．
【点评】本题考查了解三元一次方程组：利用代入法或加减法，把解三元一次方程组
的问题转化为解二元一次方程组的问题．也考查了非负数的性质．
三元一次方程组的应用
列三元一次方程组解应用题的一般步骤
1．弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未
知数；
2．找出能够表达应用题全部含义的相等关系；
3．根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组；
4．解这个方程组，求出未知数的值；
5．写出答案(包括单位名称)．
注意：
(1)解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得
的结果是否合理，不符合题意的应该舍去．
(2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一．
(3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组．
题型6：三元一次方程组解决实际问题
6.在我校艺术节的各项比赛中，七年级（1）班同学取得了优秀的成绩，为了表
彰同学们，林老师特意到瑞安书城买书给学生作为奖励，书城二楼专设8折售书
架，销售文教类图书，部分书籍和标价如下表：
原价（元）
中国历史故事 50
名人名言 20
幻夜 25
（1）若林老师在书城买了《中国历史故事》和《名人名言》一共20本，共付了
440元钱，请求出这两种书林老师各买了多少本？
（2）若林老师买了以上三种书（每种都有）20本，共付了360元钱，其中《名
人名言》书买了 本.（直接写出答案）【答案】（1）解：设《中国历史故事》买了x本，《名人名言》买了y本，
{ x+ y=20
由题意得 ，
50×0.8x+20×0.8 y=440
{ x=5
解得 .
y=15
答：《中国历史故事》买了5本，《名人名言》买了15本；
（2）15
【解析】【解答】解:（2）设三种书分别是x本、y本、z本，由题意得
{ x+ y+z=20
50×0.8x+20×0.8 y+25×0.8z=360
消去z得20x﹣4y＝﹣40
∴y＝5x+10
∵x、y都是正整数，
{
x=1
∴ y=15 .
z=4
故答案是：15.
【分析】（1） 设《中国历史故事》买了x本，《名人名言》买了y本， 根据：林老
师在书城买了《中国历史故事》和《名人名言》一共20本，共付了440元钱 ，列出方
程组，解之即可；
（2）设三种书分别是x本、y本、z本， 根据：林老师买了以上三种书（每种都有）
20本，共付了360元钱 ，列出三元方程组，求出其正整数即可.
【变式6-1】（2022•玉环市一模）桌面上有甲、乙、丙三个杯子，三个杯子内原本均
装有一些水．先将甲杯的水全部倒入丙杯，此时丙杯的水量为原本甲杯内水量的 3
倍；再将乙杯的水全部倒入丙杯，此时丙杯的水量为原本乙杯内水量的4倍少150毫
升，若过程中水没有溢出，则原本甲、乙两杯内的水量相差多少毫升？
【分析】根据题意可以分别设出甲乙丙原有水的体积，然后根据题意可以列出方程
组，然后作差即可得到原本甲、乙两杯内的水量相差多少毫升，本题得以解决．
【解答】解：设甲杯中原有水a毫升，乙杯中原有水b毫升，丙杯中原有水c毫升，，
②﹣①，得
b﹣a＝50，
∴原本甲、乙两杯内的水量相差50毫升．
【点评】本题考查三元一次方程组的应用，解题的关键是明确题目中的等量关系，列
出相应的方程组．
【变式6-2】（2022春•宝山区校级月考）某家电商场计划用9万元从生产厂家购进50
台电视机．已知该厂家生产两种不同型号的电视机，出厂价分别为 A种每台1500
元，B种每台2100元．若家电商场同时购进A、B两种不同型号的电视机共50台，
用去9万元，求商场购进这两种型号的电视机各多少台？
【分析】设商场购进A种家电x台，B家电y台，则 ，再解方
程组即可．
【解答】解：设商场购进A种家电x台，B家电y台，
则 ，
解得
答：商场购进A种家电25台，B家电25台．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用，找到等量关系列出方程组是解题关键．
【变式6-3】（2022春•绍兴期末）2022年北京冬奥会取得了圆满成功，巧妙蕴含中华
文化的冬奥场馆，是北京冬奥会上一道特有的风景．某校 40名同学要去参观A、B、
C三个冬奥场馆，每一位同学只能选择一个场馆参观．已知购买 2张A场馆门票加1
张B场馆的门票共需要110元，购买3张A场馆门票和2张B场馆门票共需要180
元．
（1）求A场馆和B场馆门票的单价；
（2）已知C场馆门票每张售价15元，且参观当天有优惠活动：每购买1张A场馆门
票就赠送1张C场馆门票．
①若购买A场馆门票赠送的C场馆门票刚好够参观C场馆的同学使用，此次购买门
票所需总金额为1140元，则购买A场馆门票 张；
②若参观C场馆的同学除了使用掉赠送的门票外，还需另外购买部分门票，且最终
购买三种门票共花费了1035元，求所有满足条件的购买方案．
【分析】（1）设A场馆门票的单价为x元，B场馆门票的单价为y元，根据“购买2
张A场馆门票和1张B场馆门票共需要110元，购买3张A场馆门票和2张B场馆门票共需要180元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）①设购买A场馆门票a张，则购买B场馆门票（40﹣2a）张，根据此次购买门
票所需总金额为1140元，列方程即可；
②设购买A场馆门票m张，C场馆门票n张，则购买B场馆门票（40﹣2m﹣n），利
用购买门票所需总金额＝门票单价×购买数量，即可得出关于 m，n的二元一次方
程，结合m，n均为正整数，即可得出m，n的值，再结合到A场馆参观的人数要少
于到B场馆参观的人数，即可得出各购买方案．
【解答】解：（1）设A场馆门票的单价为x元，B场馆门票的单价为y元，
依题意得： ，
解得： ．
答：A场馆门票的单价为40元，B场馆门票的单价为30元．
（2）①设购买A场馆门票a张，则购买B场馆门票（40﹣2a）张，
40a+30（40﹣2a）＝1140，
解得a＝3，
故答案为：3．
②设购买A场馆门票m张，C场馆门票n张，则购买B场馆门票（40﹣2m﹣n），
依题意得：40m+30（40﹣2m﹣n）+15n＝1035，
∴n＝11﹣ m．
又∵m，n均为正整数，
∴ 或 ．
当m＝3，n＝7时，40﹣2m﹣n＝40﹣2×3﹣7＝27，
当m＝6，n＝3时，40﹣2m﹣n＝40﹣2×6﹣3＝25，
∴共有2种购买方案，
方案1：购买3张A场馆门票，27张B场馆门票，7张C场馆门票；
方案2：购买6张A场馆门票，25张B场馆门票，3张C场馆门票．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应
用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一
次方程组；（2）①根据各数量之间的关系，找出w关于a的函数关系式；②找准等
量关系，正确列出二元一次方程．
【变式6-4】（2022•文成县一模）“互联网+”让我国经济更具活力，直播助销就是运
用“互联网+”的生机勃勃的销售方式，让大山深处的农产品远销全国各地．小聪为
当地甲、乙、两三种特色产品助销．已知每包甲的售价比每包乙的售价低 40元，某顾客购买数量相同的甲产品和乙产品分别花了200元和1000元．
（1）求每包甲、乙产品的售价．
（2）已知甲产品的成本为 8元/包，乙产品的成本为36元/包，小聪计划助销100
包，总成本1500元．
①若只助销甲、乙两种产品，则可获利多少元？
②若助销三种产品，丙产品成本为6元/包，售价为9元/包，则最多可获利多少元？
【分析】（1）设每包甲的售价为x元，每包乙的售价为（x+40）元，根据购买数量
相同的甲产品和乙产品分别花了200元和1000元列出方程，解方程即可；
（2）①设助销甲种产品m包，助销乙种产品n包．根据只助销甲、乙两种产品，计
划助销100包，总成本1500元列出方程组，求出m、n，根据利润＝售价﹣成本列式
计算即可；
②设助销甲种产品a包，助销乙种产品b包，助销丙种产品c包，获利w元，得出w
关于b的一次函数解析式，根据助销三种产品求出b的取值范围，再根据一次函数的
性质即可求解．
【解答】解：（1）设每包甲的售价为x元，每包乙的售价为（x+40）元．
由题意，得 ＝ ，
解得x＝10，
经检验，x＝10是原方程的解，
则x+40＝50．
答：每包甲的售价为10元，每包乙的售价为50元；
（2）①设助销甲种产品m包，助销乙种产品n包．
由题意，得 ，
解得 ．
75×10+25×50﹣1500＝500（元）．
答：若只助销甲、乙两种产品，则可获利500元；
②设助销甲种产品a包，助销乙种产品b包，助销丙种产品c包．
由题意，得 ，
解得 ．
设获利w元，
则w＝（10﹣8）a+（50﹣36）b+（9﹣6）c＝2（450﹣15b）+14b+3（14b﹣350）
＝26b﹣150，
∵助销三种产品，
∴ ，即 ，
解得25＜b＜30，
∵26＞0，
∴w随b的增大而增大，
∴当b＝29时，w有最大值，最大值为26×29﹣150＝604元．
答：若助销三种产品，则最多可获利604元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，三元一次方程组，一元一次不等式组，一次函
数的综合应用，其中准确理解题意，并根据题意列出方程和不等式是解题的关键．
一、单选题
{x- y+z=-3①
1．解三元一次方程组 x+2y-z=1② ，要使解法较为简便，首先应进行的变形为（
x+ y=1③
）
A．①+② B．①-② C．①+③ D．②-③
【答案】A
【解析】【解答】解：∵x+y=1，①②的z项的系数互为相反数，
∴①+② 消去z，
得出关于x、y的二元一次方程组求解，较为容易.
故答案为：A.
【分析】观察可知，③有两个未知数，则由①②两方程消去未知数z，得出得出关于
x、y的二元一次方程组求解，较为容易.
{
x+ y=3
2．（2022七下·秦皇岛期中）已知方程组 y+z=-6，则x+ y+z的值是（ ）
z+x=9
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A{
x+ y=3
【解析】【解答】解：方程组 y+z=-6，
z+x=9
三个方程相加得：2x+2y+2z=6，
∴x+ y+z=3，
故答案为：A．
【分析】利用三元一次方程组的解法求解即可。
{x- y+z=-3，①
3．（2020八上·光明期末）解三元一次方程组 x+2y-z=1，② 要使解法较为简便，
x+ y=0，③
首先应进行的变形为（ ）
A．①+② B．①-② C．①+③ D．②-③
【答案】A
【解析】【解答】解：①+②得：2x+y=-2 ④，
④和③组成二元一次方程组.
故A符合题意.
故答案为：A.
【分析】解三元一次方程组的方法就是消元，由①+②消去z，与③组成二元一次方程
组，即可得出答案.
4．（2021七下·射洪月考）在抗击疫情网络知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，学校
计划用200元钱购买A、B、C三种奖品，A种每个10元，B种每个20元，C种每个
30元，在C种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，购买方案有（ ）
A．12种 B．14种 C．15种 D．16种
【答案】B
【解析】【解答】解：设A种买x个，B种买y个，C中买z个，依题意得
10x+20 y+30z=200 ，
20-x-3z
得 y= ，
2
由于x、y、z只取正整数，所以需使 (20-x-3z) 被2整除且 (20-x-3z) 为正数，
且 z≤2 ，
17-x
当 z=1 ， y= ， x=1,3,5,7,9,11,13,15 ，8种，
2
14-x
当 z=2 ， y= ， x=2,4,6,8,10,12 ，6种，
2
∴10x+20 y+30z=200 的正整数解有14组{x=1 {x=3 {x=5 {x=7 {x=9 {x=11 {x=13 {x=15
y=8, y=7, y=6, y=5， y=4， y=3 ,， y=2 ,， y=1 .
z=1 z=1 z=1 z=1 z=1 z=1 z=1 z=1
{x=2 {x=4 {x=6 {x=8 {x=10 {x=12
y=6, y=5， y=4， y=3， y=2 ， y=1 ，
z=2 z=2 z=2 z=2 z=2 z=2
所以购买方案共有14种.
故答案为：B.
【分析】设A种买x个，B种买y个，C中买z个，根据题意列出方程：10x+20y+ 30z
=200，变形后根据x、y、z均为正整数，且C种奖品不超过两个分别讨论，确定解的
个数，即可得出所有可能的方案数.
{ x=3-m
5．（2022七下·沐川期末）若 ，则y用含x的代数式表示为（ ）
y=1+2m
A．y=2x+7 B．y=-2x+7 C．y=2x-5 D．
y=-2x-5
【答案】B
{ x=3-m①
【解析】【解答】解：
y=1+2m②
由①×2得
2x=6-2m③
由②+③得
2x+y=7
解之：y=-2x+7.
故答案为：B.
【分析】观察方程组中m的系数存在倍数关系，由①×2+②消去m，可得到关于x，y
的方程，然后求出y即可.
{x=a
{ x-by+4z=1
6．（2022七下·南安期末）若方程组 的解是 y=1，则a+b+6c的值是
x-2by+3z=3
z=c
（ ）
A．－3 B．0 C．3 D．6
【答案】A
{x=a
{ x-by+4z=1
【解析】【解答】解：∵方程组 的解是 y=1，
x-2by+3z=3
z=c{a-b+4c=1①
∴ ，
a-2b+3c=3②
由①-②得：b+c=-2，
∴b=-2-c，
把b=-2-c代入①，得：
a-(-2-c)+4c=1，
∴a+5c=-1，
∴a+b+6c=a+5c+b+c=-1-2=-3.
故答案为：A.
【分析】由题意把x、y、z的值代入方程组可得关于a、b、c的方程组，将c作为常数，
用含c的式子表示出a、b，整体代换计算即可求解.
二、填空题
7．（2021七下·忻州期末）我们知道，适合二元一次方程的一对未知数的值叫做这个二
元一次方程的一个解．同样地，适合三元一次方程的一对未知数的值叫做这个三元一
次方程的一个解．请写出方程x+ y+z=4的一个正整数解
．
{x=1 {x=1 {x=2
【答案】 y=1或 y=2或 y=1
z=2 z=1 z=1
{x=1
【解析】【解答】解：当 y=1时，x+ y+z=4成立；
z=2
{x=1
当 y=2时，x+ y+z=4成立；
z=1
{x=2
当 y=1时，x+ y+z=4成立；
z=1
{x=1 {x=1 {x=2
故答案为： y=1或 y=2或 y=1．
z=2 z=1 z=1
【分析】利用解三元一次方程的方法求解即可。
8．某服装厂专门安排210名工人进行手工衬衣的缝制，每件衬衣由2个小袖、1个衣
身、1个衣领组成，如果每人每天能够缝制衣袖10个，或衣身15个，或衣领12个，
那么应该安排 名工人缝制衣袖，才能使每天缝制出的衣袖，衣身、衣领正
好配套．
【答案】120
【解析】【解答】解：设应该安排x名工人缝制衣袖，y名工人缝制衣身，z名工人缝制衣领，才能使每天缝制出的衣袖，衣身、衣领正好配套，依题意有
{ x+ y+z=120
，
10x:15 y:12z=2:1:1
{x=120
解得 y=40 ．
z=50
故应该安排120名工人缝制衣袖，才能使每天缝制出的衣袖，衣身、衣领正好配套．
故答案为：120．
【分析】可设应该安排x名工人缝制衣袖，y名工人缝制衣身，z名工人缝制衣领，才
能使每天缝制出的衣袖，衣身、衣领正好配套，根据等量关系：①一共210名工人；
②小袖的个数：衣身的个数：衣领的个数=2：1：1；依此列出方程组求解即可．
9．（2021七下·万州期末）农历五月初五，中国传统节日端午节.某超市为了吸引顾客，
在端午节当天推出由白粽、豆沙粽、蛋黄粽三种不同的粽子搭配而成的A、B两种礼
盒，其中，A种礼盒含4个白粽、3个豆沙粽、3个蛋黄粽；B种礼盒含2个白粽、4个
豆沙粽、4个蛋黄粽.每种礼盒的成本价分别为三种粽子的成本价之和（包装成本忽略
不计），已知每盒A种礼盒的总成本为1个白粽成本的13倍，每盒A种礼盒的利润率
为20%，每盒B种礼盒的利润率为25%，则当销售A、B两种礼盒的数量之比为7：26
时，则该超市销售这两种礼盒的总利润率为 .
【答案】24%
【解析】【解答】解：设白粽成本为a元/个、豆沙粽成本为b元/个、蛋黄粽成本为c
元/个，
则A种礼盒成本为：4a+3b+3c=13a，即b+c=3a，
B种礼盒成本为：2a+4b+4c=2a+4 × 3a=14a，
当销售A、B两种礼盒的数量之比为7：26时，
A种礼盒的利润： 7×13a×20%=18.2a ，其总成本为： 7×13a=91a ，
B种礼盒的利润： 26×14a×25%=91a ，其总成本为： 26×14a=364a ，
总利润
则该超市销售这两种礼盒的总利润率为 = ×100%
总成本
18.2a+91a
= ×100%
91a+364a
=24% .
故答案为： 24% .
【分析】设白粽成本为a元/个、豆沙粽成本为b元/个、蛋黄粽成本为c元/个，可得每
盒A种礼盒成本为4a+3b+3c=13a，即b+c=3a，再表示出每盒B种礼盒成本为：
2a+4b+4c=2a+4 × 3a=14a，由当销售A、B两种礼盒的数量之比为7：26时，表示出
每种礼盒的利润及总成本，根据该超市销售这两种礼盒的总利润率为总利润
= ×100%进行计算即可.
总成本
三、计算题
10．（2021七下·硚口期末）解下列方程组：
{3x- y=11，①
（1）
4x+3 y=-7.②
{
a-b+c=0，①
（2） 4a+2b+c=3，②
25a+5b+c=60.③
{ 3x- y=11①
【答案】（1）解： ，
4x+3 y=-7②
将①×3+②得：13x＝26，
解得：x＝2，
将x＝2代入①解得：y＝﹣5，
{ x=2
∴原方程组的解为：
y=-5
{
a-b+c=0①
（2）解： 4a+2b+c=3② ，
25a+5b+c=60③
①×2+②得：2a+c＝1，
①×5+③得：5a+c＝10，
将2a+c＝1式减去5a+c＝10得：a＝3，
将a＝3代入2a+c＝1得：c＝﹣5，
将a＝3，c＝﹣5代入①得：b＝﹣2，
{a=3
∴原方程组的解为： b=-2 .
c=-5
【解析】【分析】（1）利用加减消元法解二元一次方程组， 将①×3+②消去y，求出
x的值，再将x的值代入①方程求出y的值，从而即可得出方程组的解；
(2)利用加减消元法解三元一次方程组，首先 ①×2+② 消去b得出一个关于a、c的
二元一次方程，再 ①×5+③消去b得出一个关于a、c的二元一次方程，联立两二元
一次方程组成方程组，求解得出a、c的值，再将a、c的值代入①方程求出b的值，从
而即可得出方程组的解.
四、解答题
11．某农场300名职工耕种51公顷土地，计划种植水稻、棉花和蔬菜，已知种植各种
农作物每公顷所需的劳动力人数及投入的设备资金如下表：
农作物品种 每公顷所需劳动力 每公顷所需投入的设备资金水稻 4人 1万元
棉花 8人 1万元
蔬菜 5人 2万元
已知该农场计划投入设备资金67万元，应该怎样安排这三种农作物的种植面积，才
能使所有职工有工作，而且投入的资金正好够用？
【答案】解：设种植水稻x公顷，棉花y公顷，蔬菜z公顷，由题意，得
{
x+ y+2z=67 {x=15
4x+8 y+5z=300 ，解得 y=20 .
x+ y+z=51 z=16
答：种植水稻15公顷，棉花20公顷，蔬菜16公顷.
【解析】【分析】设种植水稻x公顷，棉花y公顷，蔬菜z公顷，根据“共耕种51公
顷土地”可得方程x+y+z=51，根据“总资金67万元”可得方程x+y+2z=67，根据“共
300名职工”可得方程4x+8y+5z=300，联立求解即可.
12．（2021·下城模拟）已知x－2y＋z＝2x－y＋z＝3，且x，y，z的值中仅有一个为0，
解这个方程组．
{x-2y+z=3①
【答案】解：原式化为 ，
2x- y+z=3②
②-①得，x+y=0，即x和y互为相反数，
∵x，y，z的值中仅有一个为0，
∴z=0，
{ x+ y=0 { x=1
由 ，解得 ，
x-2y=3 y=-1
{
x=1
∴原方程组的解为 y=-1
z=0
{x-2y+z=3①
【解析】【分析】原式化为 ，②-①得，x+y=0，即可得出z=0，由
2x- y+z=3②
{
x=1
{ x+ y=0 { x=1
解得 ，即可求得原方程组的解为 y=-1
x-2y=3 y=-1
z=0
五、综合题
13．（）在等式 y=ax2+bx+c 中，当 x=0 时， y= -5 ；当 x=2 时， y=3 ；
当 x=-2 时， y=11 .
（1）求a，b，c的值
5
（2）小苏发现：当x=-1或 x= 时， y 的值相等.请分析“小苏的发现”是否正
3
确？{
c=-5，①
【答案】（1）解：根据题意，得 4a+2b+c=3，②
4a-2b+c=11，③
②-③得 4b=-8 ，
解得 b=-2 .
把 b=-2，c=-5 代入②，得 4a-4-5=3 ，
解得 a=3 ，
{a=3，
因此 b=-2，
c=-5.
（2）解：“小苏的发现"是正确的，
由（1）可知等式为 y=3x2-2x-5 ，
当 x=-1 时， y=3+2-5=0 ；
5 25 10
当 x= 时， y= - -5=0 ，
3 3 3
5
所以当 x=-1 或 x= 时， y 的值相等.
3
【解析】【分析】（1）分别将已知的x，y的三组对应值代入y=ax2+bx+c中，建立关
于a，b，c的方程组，解方程组求出a，b，c的值.
5
（2）由（1）可知y=3x2-2x-5，将x=-1，x= 分别代入y=3x2-2x-5，分别可求出y的值，
3
再比较两个y值的大小，据此可作出判断.
14．（2022八上·南宁开学考）【阅读理解】
在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化难为易．
{x+2(x+ y)=3①
（1）解方程组
x+ y=1②
{4x+3 y+2z=10①
（2）已知 ，求x+ y+z的
解：（1）把②代入①得：x+2×1=3.解
9x+7 y+5z=25②
得：x=1． 值．
把x=1代入②得：y=0． 解：（2）①×2得：8x+6 y+4z=20③
{x=1
②-③得；x+ y+z=5
所以方程组的解为
y=0
{ x+ y+z=18
（1）【类比迁移】若 ，则2x+3 y+4z= ．
3x+5 y+7z=28
{
2x- y-5=0①
（2）运用整体代入的方法解方程组 2x- y+7 ．
+3 y=11②
6
（3）【实际应用】“战疫情，我们在一起”，某公益组织计划为老年公寓捐赠一批防疫物资，已知打折前购买39瓶消毒液、12支测温枪、3套防护服共需2070元；打折
后购买52瓶消毒液、16支测温枪、4套防护服共需2350元，比不打折时少花了多少钱？
【答案】（1）23
（2）解：由①可得：2x- y=5③，
5+7
把③代入②得： +3 y=11，
6
解得：y=3，
{x=4
∴方程组的解为 ；
y=3
（3）解：设打折前消毒液、测温枪和防护服的单价为x元，y元，z元，
打折后消毒液、测温枪和防护服的单价为a元，b元，c元，
则(x-a)、(y-b)、(z-c)分别为每瓶消毒液、每支额温枪、每套防护服少花的钱，
由题意可得，
{39x+12y+3z=2070①
，
52a+16b+4c=2350②
①÷3，②÷4得：
{ 13x+4 y+z=690③
，
13a+4b+c=587.5④
③-④得：
13(x-a)+4(y-b)+(z-c)=102.5，
左右两边乘4得，
52(x-a)+16(y-b)+4(z-c)=410，
∴比不打折时少花了410元．
{ x+ y+z=18①
【解析】【解答】解：（1） ，
3x+5 y+7z=28②
①+②
得：2x+3 y+4z=23．
2
故答案为：23；
【分析】（1）将两个方程相加，然后除以2可得2x+3y+4z的值；
（2）由①可得2x-y=5，代入②中可得y的值，将y的值代入2x-y=5中可得x的值，据
此可得方程组的解；
（3）设打折前消毒液、测温枪和防护服的单价为x元，y元，z元，打折后消毒液、测
温枪和防护服的单价为a元，b元，c元，根据题意可得关于xyz、abc的方程组，化简
可得52(x-a)+16(y-b)+4(z-c)的值，据此解答.
