1 / 98
学科网（北京）股份有限公司
专题05 二次函数
5 年真题1 年模拟
考点分类
福建考情（2022-2026）
命题规律
考点01 二次函数
的性质
2026 福建卷、
2025 福建卷、
2024 福建卷、
2023 福建卷、
2022 福建卷
高频压轴选择题、填空题；核心考查对称轴、开
口方向、点到对称轴距离与函数值大小比较、含
参数取值范围；偶尔结合增长率实际应用；侧重
数形结合，易错点：分类讨论点在对称轴左右两
侧、距离比较不等式建立。
考点02 二次函数
压轴
2026 福建卷、
2025 福建卷、
2024 福建卷、
2023 福建卷、
2022 福建卷
试卷最后一道几何代数综合大题，多小问梯度设
问；常综合顶点、判别式、坐标交点、直线相交、
距离相等（外心）、面积倍数、定点定值、几何
等量探究；核心思想：数形结合、坐标法、分类
讨论；难度大，区分整张试卷水平，第(1)(2) 问
基础易得分，第(3) 问综合性强。
考点01 二次函数的性质
1．（2026·福建·中考真题）已知抛物线
2
2
y
x
nx
经过点
3,
A
a ，
5,
B
b ．若a
b
，且
0
ab
，则n
的取值可以是（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【分析】先将A、B 两点横坐标代入抛物线解析式，得到,a b 关于n 的表达式，再结合a
b
和
0
ab
的
条件列不等式，求出n 的取值范围，即可判断符合条件的选项．
【详解】解：∵抛物线
2
2
y
x
nx
经过点
3,
A
a
，
5,
B
b
，
∴将
3
x
代入解析式得
2
3
2
3
9
6
a
n
n
，
将
5
x
代入解析式得
25
2
5
25 10
b
n
n
，
2 / 98
学科网（北京）股份有限公司
∵a
b
，且
0
ab
，
∴
0
a
b
，
∴
9
6
0
25 10
0
n
n
解得1.5
2.5
n
观察选项，只有
2
n
符合该范围．
2．（2025·福建·中考真题）已知点
1
2
2,
,
1,
A
y
B
y
在抛物线
2
3
1
y
x
bx
上，若3
b
，则下列判断
正确的是（
）
A．
1
2
1
y
y
B．
1
2
1
y
y
C．
2
1
1
y
y
D．
2
1
1
y
y
【答案】A
【分析】本题考查比较二次函数的函数值的大小，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键，先求
出对称轴的范围，再根据二次函数的增减性进行判断即可．
【详解】解：∵
2
3
1
y
x
bx
，
∴当
0
x
时，
1
y ，
∴抛物线过点
0,1 ，
∴抛物线的开口向上，对称轴为
2 3
6
b
b
x
，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵3
b
，
∴
2
1
3
6
2
b
，
∵
2 1
1
2
2
6
b
，2
0
1
2
6
b
，
∴点
1
2,
A
y
到对称轴的距离大于点
0,1 到对称轴的距离，小于
2
1,
B
y
到对称轴的距离，
∴
1
2
1
y
y
；
故选：A．
3．（2024·福建·中考真题）已知二次函数
2
2
0
y
x
ax
a a
的图象经过
1
,
2
a
A
y
，
2
3 ,
B
a y
两点，则
下列判断正确的是（
）
A．可以找到一个实数a ，使得
1y
a
B．无论实数a 取什么值，都有
1y
a
C．可以找到一个实数a ，使得
2
0
y
D．无论实数a 取什么值，都有
2
0
y
3 / 98
学科网（北京）股份有限公司
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据题意得到二次函数开口向上，且对称轴为
2
2
a
x
a
，顶
点坐标为
2
,a a
a
，再分情况讨论，当
0
a
时，当
0
a
时，
1y ，
2y 的大小情况，即可解题．
【详解】解：
二次函数解析式为
2
2
0
y
x
ax
a a
，
二次函数开口向上，且对称轴为
2
2
a
x
a
，顶点坐标为
2
,a a
a
，
当
2
a
x
时，
2
2
2
1
3
4
4
a
y
a
a
a
a
，
当
0
a
时，0
2
a
a
，
2
1
a
y
a
a
，
当
0
a
时，
0
2
a
a
，
2
1
a
a
y
a
，
故A、B 错误，不符合题意；
当
0
a
时，0
2
3
a
a
a
，
由二次函数对称性可知，
2
0
y
a
，
当
0
a
时，3
2
0
a
a
a
，由二次函数对称性可知，
2y
a
，不一定大于0 ，
故C 正确符合题意；D 错误，不符合题意；
故选：C．
4．（2023·福建·中考真题）根据福建省统计局数据，福建省2020年的地区生产总值为43903.89亿元，2022
年的地区生产总值为53109.85亿元．设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意可列方程
（
）
A．
43903.89 1
53109.85
x
B．
2
43903.89(1
)
53109.85
x
C．
2
43903.89
53109.85
x
D．
2
43903.89 1
53109.85
x
【答案】B
【分析】设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程即可求解．
【详解】设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意可列方程
2
43903.89(1
)
53109.85
x
，
故选：B．
4 / 98
学科网（北京）股份有限公司
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
5．（2023·福建·中考真题）已知抛物线
2
2
(
0)
y
ax
ax
b a
经过
1
2
2
3,
,
1,
A
n
y
B n
y
两点，若,
A B 分
别位于抛物线对称轴的两侧，且
1
2
y
y
，则n 的取值范围是___________．
【答案】1
0
n
【分析】根据题意，可得抛物线对称轴为直线
1
x ，开口向上，根据已知条件得出点A在对称轴的右侧，
且
1
2
y
y
，进而得出不等式，解不等式即可求解．
【详解】解：∵
2
2
y
ax
ax
b
，
0
a
∴抛物线的对称轴为直线
2
1
2
a
x
a
，开口向上，
∵
1
2
2
3,
,
1,
A
n
y
B n
y
分别位于抛物线对称轴的两侧，
假设点B 在对称轴的右侧，则
1 1
n，解得
2
n
，
∴
2
3
1
4
0
n
n
n
∴A 点在B 点的右侧，与假设矛盾，则点A 在对称轴的右侧，
∴
2
3
1
1 1
n
n
解得：1
2
n
又∵
1
2
y
y
，
∴
2
3
1
1
1
n
n
∴2
2
2
.
n
n
解得：
0
n
∴1
0
n
，
故答案为：1
0
n
．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
6．（2022·福建·中考真题）已知抛物线
2
2
y
x
x
n
与x 轴交于A，B 两点，抛物线
2
2
y
x
x
n
与x 轴
交于C，D 两点，其中n＞0，若AD＝2BC，则n 的值为______．
【答案】8
【分析】先求出抛物线
2
2
y
x
x
n
与x 轴的交点，抛物线
2
2
y
x
x
n
与x 轴的交点，然后根据
2
AD
BC
，
得出
2
2
4
AD
BC
，列出关于n 的方程，解方程即可。
5 / 98
学科网（北京）股份有限公司
【详解】解：把y=0 代入
2
2
y
x
x
n
得：
2
2
0
x
x
n
，
解得：
1
2
4
4
1
1
2
n
x
n
，
2
2
4
4
1
1
2
n
x
n
，
把y=0 代入
2
2
y
x
x
n
得：
2
2
0
x
x
n
，
解得：
3
2
4
4
1
1
2
n
x
n
，
4
2
4
4
1
1
2
n
x
n
，
∵
2
AD
BC
，
∴
2
2
4
AD
BC
，
∴
2
2
1
4
2
3
4
x
x
x
x
，
即
2
2
1
1
1
1
4
1
1
1
1
n
n
n
n
，
2
2
1
1
4
1
1
n
n
，
令1
n
m
，则
2
2
1
4 1
m
m
，
解得：
1
1
3
m
，
2
3
m
，
当
1
1
3
m
时，
1
1
3
n
，解得：
8
9
n
，
∵
0
n＞，
∴
8
9
n
不符合题意舍去；
当
2
3
m
时，1
3
n
，解得：
8
n
，
∵
0
8＞，
∴
8
n
符合题意；
综上分析可知，n 的值为8．
【点睛】本题主要考查了抛物线与x 轴的交点问题，根据题意用n 表示出
2
2
4
AD
BC
，列出关于n 的方程
是解题的关键．
考点02 二次函数压轴
1．（2026·福建·中考真题）已知抛物线
2
y
x
bx
c
．
(1)若
1
b ，
2
c
，求抛物线的顶点坐标；
(2)若抛物线上存在一点
0
0
,
P x
y
在x 轴上方，求证：抛物线与x 轴有两个交点；
(3)抛物线与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点
0,2
C
，直线
2
y
bx
与
1
y
bx
相交于点D ，E 是y 轴
6 / 98
学科网（北京）股份有限公司
上不与点C 重合的点．若坐标平面内存在点M 满足MA
MB
MC
ME
，试探究CD 和DE 的数量关系，
并证明．
【答案】(1) 1 9
,
2 4
(2)证明：
抛物线上的点
0
0
,
P x
y
在x 轴上方，
2
0
0
0
0
y
x
bx
c
，
2
0
0
0
c
x
bx
y
，
2
2
2
2
2
0
0
0
0
0
4
1
4
4
4
4
2
4
0
b
c
b
c
b
x
bx
y
x
b
y
，
即方程
2
0
x
bx
c
有两个不相等的实数根，
抛物线与x 轴有两个交点．
(3)CD 和DE 的数量关系是CD
DE
，
证明：
抛物线
2
y
x
bx
c
与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点
0,2
C
，如图，
故可设
1,0
A x
，
2,0
B x
，
1
2
x
x
，
则
1x ，
2x 是方程
2
2
0
x
bx
的两根，
由求根公式可得
2
1
8
2
b
b
x
，
2
2
8
2
b
b
x
，
又坐标平面内存在点M 满足MA
MB
MC
，
由对称性可设
,
2
b
M
m
，
由勾股定理可得，
2
2
2
2
8
0
2
2
b
b
b
MA
m
，
2
2
2
2
2
b
MC
m
，
2
2
2
2
2
8
0
2
2
2
2
b
b
b
b
m
m
，
7 / 98
学科网（北京）股份有限公司
解得
1
2
m
，
点M 的坐标为
1
,
2 2
b
，
直线
2
y
bx
与
1
y
bx
相交于点D ，
0
b
，
联立
2
1
y
bx
y
bx
，解得
3
2
1
2
x
b
y
，
点D 的坐标为
3
1
,
2
2
b
，
由
1
,
2 2
b
M
，
3
1
,
2
2
D
b
可知MD
CE
，
又
MC
ME
，
MD 垂直平分CE ，
CD
DE
．
【分析】（1）将
1
b ，
2
c
代入抛物线表达式，配方得顶点式，根据顶点式写出顶点坐标即可；
（2）由抛物线上的点
0
0
,
P x
y
在x 轴上方得
2
0
0
0
0
y
x
bx
c
，进而得
2
0
0
0
c
x
bx
y
，
进而得判别式为
2
2
0
0
4
2
4
0
b
c
x
b
y
，得
2
0
x
bx
c
有两个不相等的实数根，进而判断抛物线与
x 轴有两个交点；
（3）设
1,0
A x
，
2,0
B x
，
1
2
x
x
，由对称性可设
,
2
b
M
m
，根据抛物线与方程的关系可得
1x 、
2x ，根
据勾股定理得
2
MA ，
2
MC ，由MA
MC
列式计算可得点M 的坐标，联立直线
2
y
bx
与
1
y
bx
可得
点D 的坐标，进而得MD
CE
，由MC
ME
得MD 垂直平分CE ，进而得CD
DE
．
【详解】（1）解：
1
b ，
2
c
，
2
2
1
9
2
2
4
y
x
x
x
，
抛物线的顶点坐标为1 9
,
2 4
．
（2）略
（3）略
2．（2025·福建·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数
2
2
y
ax
bx
的图象过点
(1, ), (2, )
A
t B
t ．
8 / 98
学科网（北京）股份有限公司
(1)求b
a 的值；
(2)已知二次函数
2
2
y
ax
bx
的最大值为
2
3
1
4 a
．
①求该二次函数的表达式；
②若
1
2
,
,
,
M x m
N x m 为该二次函数图象上的不同两点，且
0
m
，求证：
2
1
2
1
1
2
2
x
x
m
x
．
【答案】(1) 3
(2)①
2
3
2
y
x
x
；
②证明：因为点
1,
M x m 在函数
2
3
2
y
x
x
的图象上，
所以
2
1
1
3
2
m
x
x
．
由①知，点
1
2
,
,
,
M x m
N x m 关于直线
3
2
x
对称，不妨设
1
2
x
x
，
则
2
1
3
3
2
2
x
x
，即
1
2
3
x
x
．
所以
2
2
1
1
1
2
2
1
1
1
1
2
2
2
2
2
x
x
x
m x
x
m
x
m x
1
1
1
2
1
1
2
1
2
2
x
x
x
m x
m x
2
1
1
1
2
1
3
2
1
2
2
x
x
x
m x
m x
1
2
1
1
2
2
m x
m x
m x
1
2
1
3
2
m x
x
m x
0
，
所以
2
1
2
1
1
2
2
x
x
m
x
．
【分析】本题考查了二次函数表达式、二次函数的图象与性质、一元二次方程．
（1）根据二次函数的对称性求解即可；
（2）①先求出顶点坐标，然后根据最大值为
2
3
1
4 a
列方程求解即可；
9 / 98
学科网（北京）股份有限公司
②先根据二次函数的对称性求出
1
2
3
x
x
，然后把
2
1
2
1
1
2
2
x
x
m
x
通分后代入即可求解．
【详解】（1）解：二次函数
2
2
y
ax
bx
的图象的对称轴为
2
b
x
a
．
因为点
(1, ), (2, )
A
t B
t 在该函数的图象上，
所以2
1
2
2
b
b
a
a
，
所以
3
2
2
b
a
，
所以
3
b
a ．
（2）①由（1）可得，
3
b
a
，
所以该函数的表达式为
2
3
2
y
ax
ax
，
函数图象的顶点坐标为3
9
,
2
2
4 a
．
因为函数的最大值为
2
3
1
4 a
，
所以
0
a
，且
2
9
3
2
1
4
4
a
a
，
解得
1
a ，或
4
a
（舍去）．
所以该二次函数的表达式为
2
3
2
y
x
x
．
②略
3．（2024·福建·中考真题）如图，已知二次函数
2
y
x
bx
c
的图象与x 轴交于,
A B 两点，与y 轴交于点C ，
其中
2,0 ,
0, 2
A
C
．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若P 是二次函数图象上的一点，且点P 在第二象限，线段PC 交x 轴于点
,
D
PDB
△
的面积是CDB 的面
积的2 倍，求点P 的坐标．
10 / 98
学科网（北京）股份有限公司
【答案】(1)
2
2
y
x
x
(2)
3,4
【分析】本题考查二次函数表达式、二次函数的图象与性质、二元一次方程组、一元二次方程、三角形面
积等基础知识，考查运算能力、推理能力、几何直观等.
（1）根据待定系数法求解即可；
（2）设
,
P m n ，因为点P 在第二象限，所以
0,
0
m
n
．依题意，得
2
PDB
CDB
S
S
△
△
，即可得出
2
n
CO
，求出
2
4
n
CO
，由
2
2
4
m
m
，求出m ，即可求出点P 的坐标．
【详解】（1）解：将
2,0 ,
0, 2
A
C
代入
2
y
x
bx
c
，
得
4
2
0
2
b
c
c
，
解得
1
2
b
c
，
所以，二次函数的表达式为
2
2
y
x
x
．
（2）设
,
P m n ，因为点P 在第二象限，所以
0,
0
m
n
．
依题意，得
2
PDB
CDB
S
S
△
△
，即
1
2
2
1
2
BD n
BD CO
，所以
2
n
CO
．
由已知，得
2
CO
，
所以
2
4
n
CO
．
由
2
2
4
m
m
，
解得
1
2
3,
2
m
m
（舍去），
所以点P 坐标为
3,4
．
4．（2023·福建·中考真题）已知抛物线
2
3
y
ax
bx
交x 轴于
1,0 ,
3,0
A
B
两点，M 为抛物线的顶点，,
C D
为抛物线上不与
,
A B 重合的相异两点，记AB 中点为E ，直线
,
AD BC 的交点为P ．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若
3
4,3 ,
,
4
C
D m
，且
2
m
，求证：
,
,
C D E 三点共线；
(3)小明研究发现：无论
,
C D 在抛物线上如何运动，只要
,
,
C D E 三点共线，
,
,
AMP
MEP
ABP 中必存在面
积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由．
11 / 98
学科网（北京）股份有限公司
【答案】(1)
2
4
3
y
x
x
(2)证明：
设直线CE 对应的函数表达式为
0
y
kx
n k
，
因为E 为AB 中点，所以
2,0
E
．
又因为
4,3
C
，所以
4
3
2
0
k
n
k
n
，解得
3
2
3
k
n
，
所以直线CE 对应的函数表达式为
3
3
2
y
x
．
因为点
3
,
4
D m
在抛物线上，所以
2
3
4
3
4
m
m
．
解得，
3
2
m
或
5
2
m
．
又因为
2
m
，所以
3
2
m
．
所以
3
3
,
2
4
D
．
因为3
3
3
3
2
2
4
，即
3
3
,
2
4
D
满足直线CE 对应的函数表达式，所以点D 在直线CE 上，即
,
,
C D E 三点
共线；
(3)
ABP 的面积为定值，其面积为2
【分析】（1）将
1,0 ,
3,0
A
B
代入
2
3
y
ax
bx
，即可解得；
（2）
1,0 ,
3,0
A
B
，AB 中点为E ，且
4,3
C
，可求出过
,
C E 两点所在直线的一次函数表达式
3
3
2
y
x
，
12 / 98
学科网（北京）股份有限公司
D 为抛物线上的一点，所以
3
3
,
2
4
D
，此点在
3
3
2
y
x
，可证得
,
,
C D E 三点共线；
（3）设
,
C D与
,
D C分别关于直线EM 对称，则
,
P P关于直线EM 对称，且
AMP 与AMP的面积不相等，
所以
AMP 的面积不为定值；如图，当
,
C D 分别运动到点
1
1
,
C D 的位置，且保持
1
1
,
,
C D E 三点共线．此时
1
AD
与
1
BC 的交点
1P 到直线EM 的距离小于P 到直线EM 的距离，所以
1
MEP
△
的面积小于
MEP
△
的面积，故
MEP
△
的面积不为定值；故
ABP 的面积为定值，由（2）求出
7 , 2
3
P
，此时
ABP 的面积为2．
【详解】（1）解：因为抛物线
2
3
y
ax
bx
经过点
1,0 ,
3,0
A
B
，
所以
3
0,
9
3
3
0.
a
b
a
b
解得
1,
4.
a
b
所以抛物线的函数表达式为
2
4
3
y
x
x
；
（2）略
（3）解：
ABP 的面积为定值，其面积为2．
理由如下：（考生不必写出下列理由）
如图1，当
,
C D 分别运动到点
,
C D
的位置时，,
C D与
,
D C分别关于直线EM 对称，此时仍有
,
,
C D E
三点
共线．设AD与BC的交点为P，则
,
P P关于直线EM 对称，即PP
x
∥轴．此时，PP与AM 不平行，且AM
不平分线段PP，故P ，P到直线AM 的距离不相等，即在此情形下
AMP 与
AMP的面积不相等，所以
AMP 的面积不为定值．
13 / 98
学科网（北京）股份有限公司
如图2，当
,
C D 分别运动到点
1
1
,
C D 的位置，且保持
1
1
,
,
C D E 三点共线．此时
1
AD 与
1
BC 的交点
1P 到直线EM
的距离小于P 到直线EM 的距离，所以
1
MEP
△
的面积小于
MEP
△
的面积，故
MEP
△
的面积不为定值．
又因为
,
,
AMP
MEP
ABP 中存在面积为定值的三角形，故
ABP 的面积为定值．
在（2）的条件下，直线BC 对应的函数表达式为
3
9
y
x
，直线AD 对应的函数表达式为
3
3
2
2
y
x
，求
得
7 , 2
3
P
，此时
ABP 的面积为2．
【点睛】本题考查一次函数和二次函数的图象与性质、二元一次方程组、一元二次方程、三角形面积等基
础知识，如何利用数形结合求得点的坐标、函数的表达式等是解题的关键．
5．（2022·福建·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线
2
y
ax
bx
经过A（4，0），B（1，4）
两点．P 是抛物线上一点，且在直线AB 的上方．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若△OAB 面积是△PAB 面积的2 倍，求点P 的坐标；
14 / 98
学科网（北京）股份有限公司
(3)如图，OP 交AB 于点C，PD
BO
∥
交AB 于点D．记△CDP，△CPB，△CBO 的面积分别为
1S ，2
S ，3
S ．判
断
1
2
2
3
S
S
S
S
是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
2
4
16
3
3
y
x
x
(2)存在，
16
2, 3
或（3，4）
(3)存在，9
8
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）待定系数法求得直线AB 的解析式为
4
16
3
3
y
x
，过点P 作PM⊥x 轴，垂足为M，PM 交AB 于点
N．过点B 作BE⊥PM，垂足为E．可得
PAB
PNB
PNA
S
S
S
△
△
△
3
2 PN
，设
2
4
16
,
1
4
3
3
P m
m
m
m
，
则
4
16
,
3
3
N m
m
．由
2
4
16
4
16
8
3
3
3
3
3
PN
m
m
m
，解方程求得m 的值，进而即可求解；
（3）由已知条件可得OBC
PDC
∽
，进而可得
1
2
2
3
S
S
CD
PC
S
S
BC
OC
2PD
OB
，过点,
B P 分别作x 轴的垂线，
垂足分别
,
F E ，PE 交AB 于点Q ，过D 作x 的平行线，交PE 于点G ，可得DPG
OBF
∽
，设
2
4
16
,
1
4
3
3
P m
m
m
m
，
4
16
,
3
3
D n
n
，则
4
16
,
3
3
G m
n
，根据PD
DG
OB
OF
可得
2
4
4
n
m
m
，
根据
1
2
2
3
S
S
CD
PC
S
S
BC
OC
2 DG
OF
2
1
5
9
2
2
8
m
，根据二次函数的性质即可求的最大值．
【详解】（1）解：（1）将A（4，0），B（1，4）代入
2
y
ax
bx
，
得
16
4
0
4
a
b
a
b
，
解得
4
3
16
3
a
b
．
所以抛物线的解析式为
2
4
16
3
3
y
x
x
．
（2）设直线AB 的解析式为
0
y
kx
t k
，
将A（4，0），B（1，4）代入y
kx
t
，
得
4
0
4
k
t
k
t
，
15 / 98
学科网（北京）股份有限公司
解得
4
3
16
3
k
t
．
所以直线AB 的解析式为
4
16
3
3
y
x
．
过点P 作PM⊥x 轴，垂足为M，PM 交AB 于点N．
过点B 作BE⊥PM，垂足为E．
所以
PAB
PNB
PNA
S
S
S
△
△
△
1
1
2
2
PN
BE
PN
AM
1
2 PN
BE
AM
3
2 PN
．
因为A（4，0），B（1，4），所以
1
4 4
8
2
OAB
S
△
．
因为△OAB 的面积是△PAB 面积的2 倍，
所以
3
2
8
2 PN
，
8
3
PN
．
设
2
4
16
,
1
4
3
3
P m
m
m
m
，则
4
16
,
3
3
N m
m
．
所以
2
4
16
4
16
8
3
3
3
3
3
PN
m
m
m
，
即
2
4
20
16
8
3
3
3
3
m
m
，
解得
1
2
m
，
2
3
m
．
所以点P 的坐标为
16
2, 3
或（3，4）．
（3）
PD
BO
∥
OBC
PDC
∽
16 / 98
学科网（北京）股份有限公司
CD
PD
PC
BC
OB
OC
记△CDP，△CPB，△CBO 的面积分别为
1S ，
2
S ，
3
S ．则
1
2
2
3
S
S
CD
PC
S
S
BC
OC
2PD
OB
如图，过点
,
B P 分别作x 轴的垂线，垂足分别
,
F E ，PE 交AB 于点Q ，过D 作x 的平行线，交PE 于点G
1,4
B
，
1,0
F
1
OF
,
PD
OB DG
OF
∥
∥
DPG
OBF
∽
PD
PG
DG
OB
BF
OF
，
设
2
4
16
,
1
4
3
3
P m
m
m
m
直线AB 的解析式为
4
16
3
3
y
x
．
设
4
16
,
3
3
D n
n
，则
4
16
,
3
3
G m
n
2
4
16
4
16
3
3
3
3
PG
m
m
n
2
4
4
4
3 m
m
n
DG
m
n
2
4 (
4
4)
3
4
1
m
m
n
m
n
整理得
2
4
4
n
m
m
17 / 98
学科网（北京）股份有限公司
1
2
2
3
S
S
CD
PC
S
S
BC
OC
2PD
OB
2 DG
OF
2 m
n
2
4
2
4
m
m
m
2
1
5
4
2 m
m
2
1
5
9
2
2
8
m
5
2
m
时，
1
2
2
3
S
S
S
S
取得最大值，最大值为9
8
【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，面积问题，相似三角形的性质与判定，第三问
中转化为线段的比是解题的关键．
1．（2026·福建福州·模拟预测）若函数
2
y
x
ax
b
在0
1
x
的最大值是M ，最小值是m ，则M
m
（
）
A．与a 有关，且与b 有关
B．与a 有关，但与b 无关
C．与a 无关，且与b 无关
D．与a 无关，但与b 有关
【答案】B
【分析】将二次函数配方后，分情况讨论对称轴与0
1
x
的位置关系，计算M
m
即可判断结果．
【详解】解：对二次函数配方得，
2
2
(
)
2
4
a
a
y
x
b
，抛物线开口向上，对称轴为直线
2
a
x
，
当
0
2
a
，即
0
a
时，函数在0
1
x
，y 随着x 的增大而增大，
∴当
0
x
时，y 有最小值，
1
x 时，y 有最大值，
1
,
M
a
b m
b
，
1
M
m
a
，结果不含b ；
当
1
2
a
，即
2
a
时，函数在0
1
x
，y 随着x 的增大而减小，
当
0
x
时，y 有最大值，
1
x 时，y 有最小值，
,
1
M
b m
a
b
，
18 / 98
学科网（北京）股份有限公司
1
M
m
a
，结果不含b ；
当
1
0
2
2
a
，即1
0
a
时，函数最小值为顶点纵坐标，最大值在
1
x 处取得，
2
,
1
4
a
m
b
M
a
b
，
2
1
4
a
M
m
a
，结果不含b ；
当1
1
2
2
a
，即2
1
a
时，函数最小值为顶点纵坐标，最大值在
0
x
处取得，
2
,
4
a
m
b
M
b
，
2
4
a
M
m
，结果不含b ，
综上，所有情况的M
m
都只与a 有关，不含b ，因此M
m
与a 有关，与b 无关．
2．（2026·福建三明·三模）将抛物线
:
C
2
(
3)
6
y
x
进行平移得抛物线
:
C
2
2
y
x
，点
,5
P m
在抛
物线C 上，对应点P在抛物线C上，则点P的横坐标可以是（
）．
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【分析】先根据两个抛物线的顶点坐标确定平移规律，然后用含m 的代数式表示出点P的坐标，再将点P的
坐标代入抛物线C的方程，即可求出点P的横坐标．
【详解】解：
抛物线
2
:
(
3)
6
C y
x
的顶点为
3,6 ，抛物线
2
:
2
C
y
x
的顶点为
0,2 ，
平移规律为：向左平移3 个单位，向下平移4 个单位，
点
,5
P m
在抛物线C 上，平移后对应点为P，
P
的坐标为
3,5
4
m
，即
3,1
m
，
P在抛物线C上，
将
3,1
P m
代入
2
2
y
x
得：
2
1
(
3)
2
m
，
整理得
2
(
3)
1
m
，
解得
2
m
或
4
m
，
则
3
m的值可以是1
或1，
因此点P的横坐标可以是1
或1，选项A 符合．
3．（2026·江苏南通·一模）二次函数
2
4
2
0
y
ax
ax
a
的图象过点
1
1,
A
y
，
2
2,
B
y
，
3
6,
C
y
，若
19 / 98
学科网（北京）股份有限公司
1
2
3
0
y y y
，则a 的取值范围是（
）
A．
2
1
5
4
a
B．
2
1
5
6
a
C．
3
2
4
5
a
D．
1
1
3
6
a
【答案】B
【分析】先判断出对称轴为直线
2
x
，故点B 为顶点坐标．把其余两点代入函数解析中可得
1
5
2
y
a
，
3
12
2
y
a
，进而可判断出
2
1
3
y
y
y
，因为
2
2
4
y
a
恒为正，且
1
2
3
0
y y y
，故
3y 必为负，
1y 必为正，由
此可列不等式组，解不等式组即可解决问题．
【详解】解：由二次函数
2
4
2
0
y
ax
ax
a
可知对称轴为直线
2
x
，故点B 为顶点坐标．
2
4
8
2
2
4
y
a
a
a
，
二次函数
2
4
2
0
y
ax
ax
a
的图象还过
1
1,
A
y
，
3
6,
C
y
两点，
1
4
2
5
2
y
a
a
a
，
3
36
24
2
12
2
y
a
a
a
，
比较点A 和点C 到对称轴
2
x
的距离，
即
2
1
6
2
，且
0
a
，
2
1
3
y
y
y
．
∵
0
a
，
2
2
4
y
a
∴
恒为正，
∵
1
2
3
0
y y y
，
3y
必为负，
1y 必为正，
故有
0
2
4
5
2
0
12
2
0
a
a
a
a
，
解得：
2
1
5
6
a
．
4．（2026·福建南平·二模）二次函数
2
2
y
mx
mx
m
（m 是常数且
0
m
）
图象经过点
1
1
,
P x y
，一次
函数y
mx
m
的图象经过点
2
2
,
Q x
y
，当
0
m
时，下列结论不一定
．．．正确的是（
）
A．当
1
2
0
x
x
时，
1
2
y
y
B．当
1
2
1
x
x
时，
1
2
y
y
C．当
1
2
y
y
m
时，
1
2
x
x
D．当
1
2
y
y
m
时，
1
2
x
x
20 / 98
学科网（北京）股份有限公司
【答案】D
【分析】根据二次函数和一次函数解析式得出两者都恒过定点
1,0
，与y 轴的交点都为(0,
)
m ．当
0
m
时，
画出大致图象，根据选项一一判断即可．
【详解】解：∵
2
2
2
1
2
2
1
1
y
mx
mx
m
m x
x
m x
，
2
1
y
mx
m
m x
，
∴抛物线
2
1
2
y
mx
mx
m
与直线
2y
mx
m
都恒过定点
1,0
，与y 轴的交点都为(0,
)
m ．
当
0
m
时，大致图象如下，
由图可知，当
1
2
0
x
x
时，
1
2
y
y
，故A 正确，不符合题意；
当
1
2
1
x
x
时，
1
2
y
y
，故B 正确，不符合题意；
当
1
2
y
y
m
时，
1
2
x
x
，故C 正确，不符合题意；
当
1
2
y
y
m
时，若
1
1
x ，则
1
2
x
x
，若
1
1
x ，则
1
2
x
x
，故选项D 不一定正确，符合题意．
5．（2026·福建三明·二模）小亮在学习了利用二次函数的图象估计一元二次方程的根一课后，尝试利用图
象求方程
2
2
3
x
x
n
的根，他发现方程有四个不等实数根，则n 的值可能是（
）
A．0
B．1
C．4
D．5
【答案】B
【分析】，将方程转化为
2
2
3
y
x
x
与y
n
的交点问题，画出函数图象得到n 的取值范围，再判断选项
即可.
【详解】解：画出
2
2
3
y
x
x
的图象如图：
21 / 98
学科网（北京）股份有限公司
∵方程
2
2
3
x
x
n
有四个不等实数根，
∴0
4
n
，
故n 的值可能是1.
6．（2026·福建泉州·二模）作二次函数
2
y
ax
bx
c
（
0
a
）的图象关于原点的中心对称图形，所得图
象的解析式为
2
1
4
y
a x
a ，当3
2
x
时，二次函数
2
y
ax
bx
c
最大值与最小值的差是（
）
A．a
B．3a
C．6a
D．9a
【答案】D
【分析】先利用关于原点中心对称的坐标变换求出原二次函数的解析式，再根据开口向上的二次函数性质，
在给定范围内找出最大值和最小值，计算二者的差即可.
【详解】解：设对称后图象上任意一点为
,x y ，则其关于原点的对称点
,x
y
在原二次函数
2
y
ax
bx
c
上
将
,x
y
代入原函数得
2
(
)
(
)
y
a
x
b
x
c
，
整理得对称后函数解析式为
2
y
ax
bx
c
，
∵对称后解析式为
2
(
1)
4
y
a x
a
，展开得
2
2
3
y
ax
ax
a
，
∴
2 ,
3
b
a c
a
，
∴原函数整理为
2
2
2
3
(
1)
4
y
ax
ax
a
a x
a
，
0
a
，
二次函数开口向上，对称轴为
1
x ，
∵3
2
x
∴当
1
x 时，y 值最小，即
min
4
y
a
3
x 到对称轴距离为
3
1
2
，
2
x
到对称轴距离为
2
1
3
，3
2
，
最大值在
2
x
处，代入得
2
max
(2
1)
4
5
y
a
a
a
；
最大值与最小值的差为
5
4
9
a
a
a
.
7．（2026·福建泉州·模拟预测）已知二次函数
2
y
ax
bx
c
的图象过点
1,0
A
和
0,1
C
．若此抛物线的
顶点在第一象限，设t
a
b
c
，则t 的取值范围是（
）
A．
0
t
B．0
2
t
C．
2
t
D．1
2
t
【答案】B
22 / 98
学科网（北京）股份有限公司
【分析】先代入已知点坐标得到c 和b 关于a 的表达式，再根据顶点在第一象限的条件确定a 的取值范围，
最后将t 表示为a 的一次式，即可求出t 的取值范围.
【详解】解：∵二次函数
2
y
ax
bx
c
过点
1,0
A
和
0,1
C
，
∴
2
1
( 1)
0
c
a
b
c
，
整理得
1
b
a
，
∵抛物线顶点在第一象限，且过
1,0
和
0,1 ，
∴抛物线的开口向下，即
0
a
，顶点横坐标为
0
2
b
a
，
∴
0
b
，
∴
1
0
a
，
即
1
a ，综上得
1
0
a
，
∵t
a
b
c
，代入
1
b
a
，
1
c 得：
1
1
2
2
t
a
a
a
，
∵1
0
a
，
∴2
2
0
a
，
∴0
2
2
2
a
，即0
2
t
.
8．（2026·福建漳州·模拟预测）已知抛物线
2
y
ax
c
经过不同的两点
9
3,
3
M
m
，
,
2
N d
m
，当
1
x
时，
1
y
m
，若
0
m
，则d 的值可能为（
）
A．3
B．2
C．1
D．4
【答案】B
【分析】抛物线
2
y
ax
c
对称轴为y 轴，先根据给定的x 范围的不等式判断开口方向，再利用点在抛物线
上推导a 和d 的关系，验证选项得到结果．
【详解】解：∵抛物线
2
y
ax
c
的对称轴为
0
x
，
若
0
a
，抛物线开口向下，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大，不满足
1
x 时
1
y
m
，
∴
0
a
，抛物线开口向上，开口向上时，
1
x ，y 随x 增大而减小，最小值在
1
x 处，
∴
2
( 1)
1
a
c
a
c
m
①，
将
9
3,
3
M
m
代入抛物线得
9
9
3
a
c
m
②，
①
②，得
9
8
4
a
m
m
，
23 / 98
学科网（北京）股份有限公司
∵
2
6
6
9
3
m
m
m
m
∴
9
8
4
6
4
2
a
m
m
，
∴
1
4
a
，且当
3
m
时，a 取得最小值1
4 ．
由①式得
1
c
m
a
，
∴抛物线为
2
1
y
ax
m
a
，
将
,
2
N d
m
代入抛物线得
2
2
1
a
m
m
a
d
，
∴
2
1
1
a d
，即
2
1
1
d
a
，
∵
1
4
a
，即1
4
a
，
∴
2
1
4
d
，
∴
2
5
d
，
∴
5
5
d
，故排除选项A（
3
d ）和D（
4
d
），
对
1
d ，满足
5
5
d
，但此时
21
1
1
a
，得到1
0
a
，不存在a 的值．故排除选项C．
综上所述，d 的值可能为2
，B 选项符合题意．
9．
（2026·福建泉州·模拟预测）已知点
1
1
,
M x y 和
2
2
,
N x
y
在抛物线
2
2
2
0
y
ax
a x a
上，若对于
1
2
x
a
，
2
4
5
x
，都有
1
2
y
y
，则a 的取值范围为（
）
A．
3
0
2
a
B．0
2
a
C．
3
0
2
a
D．0
2
a
【答案】D
【分析】先计算点M 的纵坐标，可知当
2
4
5
x
时，
2
0
y
．再分a 的正负讨论，结合抛物线的图像性质，
推导出满足条件的a 的取值范围．
【详解】解：∵
1
2
x
a
，代入得：
2
2
3
3
1
(2 )
2
2
4
4
0
y
a
a
a
a
a
a
，由题意可得对于
1
2
x
a
，
2
4
5
x
，
都有
1
2
y
y
，此时当
2
4
5
x
时，
2
0
y
．
∵抛物线的对称轴为直线
2
2
2
a
x
a
a
，
当
0
a
时，抛物线开口向下，对称轴
0
x
a
当
2
4
5
x
时，
2y 随着
2x 的增大而减小，故最小值在
2
5
x
处，此时
2
2
25
2
5
5 (5
2 )
y
a
a
a
a
，
∵
0
a
，
24 / 98
学科网（北京）股份有限公司
∴5
2
0
a
，
∴
2
5 (5
2 )
0
y
a
a
，不满足条件；
当
0
a
时，抛物线开口向上，对称轴
0
x
a
当
2
4
5
x
时，
2y 随着
2x 的增大而增大，故最小值在
2
4
x
处，此时
2
2
2
4
2
4
4 (4
2 )
y
a
a
a
a
，
∵
0
a
，
∴要使
2
4 (4
2 )
0
y
a
a
，则有4
2
0
a
，
解得
2
a
，
∴0
2
a
．
综上所述，0
2
a
．
10．
（2026·福建莆田·模拟预测）如图，点P 是抛物线
2
y
x
bx
c
的顶点，点B 、点D 在抛物线上，PA
BC
x
∥
∥
轴，AB
PA
，BC
CD
，若PA
BC
m
，则AB
CD 的值为（
）
A．
1
2
B．2
5
C．1
3
D．1
4
【答案】C
【分析】先把抛物线解析式化成顶点式可得
2
2
1
1
2
4
y
x
b
c
b
，即点
2
1
1
,
2
4
P
b c
b
；再结合
PA
BC
m
以及图形可求得点B、点C 的纵坐标为
2
2
1
4
m
c
b
，点D 的纵坐标为
2
2
1
4
4
m
c
b
，然后求出
2
AB
m
、
2
3
CD
m
，最后代入求出比例即可．
【详解】解：∵
2
2
2
1
1
2
4
y
x
bx
c
x
b
c
b
，
∴点
2
1
1
,
2
4
P
b c
b
，
∵PA
BC
m
，
∴点B 的横坐标为
1
2 b
m
，点C 和点D 的横坐标为
1
2
2 b
m
，
25 / 98
学科网（北京）股份有限公司
∴点B、点C 的纵坐标为
2
2
2
2
1
1
1
1
2
2
4
4
b
m
b
c
b
m
c
b
，点D 的纵坐标为
2
2
2
2
1
1
1
1
2
4
2
2
4
4
b
m
b
c
b
m
c
b
，
∴
2
2
2
2
1
4
1
4
A
c
b
c
m
B
m
b
，
2
2
2
2
2
1
1
4
3
4
4
CD
m
c
m
c
m
b
b
，
∴
2
2
1
3
3
AB
m
CD
m
．
11．
（2026·福建泉州·二模）设抛物线
2
2
2
1
y
x
mx
m
的顶点为P ，与x 轴分别交于A
B
、
两点，判定PAB
的形状是（
）
A．等边三角形
B．等腰直角三角形
C．钝角三角形
D．锐角三角形
【答案】B
【分析】先对抛物线配方得到顶点坐标，再求抛物线与x 轴交点得到AB 的长度，利用抛物线对称性得到
PAB 为等腰三角形，再根据线段长度关系判断三角形形状．
【详解】解：∵
2
2
2
2
1
(
)
1
y
x
mx
m
x
m
，
∴顶点P 的坐标为
, 1
m
，P 到x 轴的距离为1
令
0
y
，得
2
(
)
1
0
x
m
，
解得
1
1
x
m
，
2
1
x
m
，
∴
,
A B 两点在x 轴上的坐标为
1,0
m
和
1,0
m
，
可得
1
1
2
AB
m
m
∵抛物线对称轴为x
m
，顶点P 在对称轴上，
∴PA
PB
，
PAB
是等腰三角形，
∵P 到AB 的距离为1，满足P 到AB 的距离
1
2 AB
，
可得
90
APB
，
∴
PAB
是等腰直角三角形．
12．
（2026·福建泉州·模拟预测）抛物线
2
0
y
ax
bx
c a
经过四点：
1,
m
t
，
0, k
，
1,t ，
2
,
m
t
，
其中
0
t
，则下列选项中，值不变的是（
）
A．t
k
B．
2
k
t
C．t
k
D．tk
【答案】C
26 / 98
学科网（北京）股份有限公司
【分析】利用抛物线上纵坐标相等的两点关于对称轴对称的性质，先求出抛物线对称轴，再得到t 与k 的关
系，最后判断各选项即可．
【详解】解：∵抛物线
2
0
y
ax
bx
c a
经过点
1,
m
t
和
2
,
m
t
，两点纵坐标相等∴抛物线对称
轴为直线
1
2
1
2
2
m
m
x
，
∵点
0, k
和点
1,t 在抛物线上，且到对称轴
1
2
x
的距离相等，
∴两点关于抛物线对称轴对称，
∴两点纵坐标相等，即k
t
，得k
t
，
依次判断选项：A、
2
t
k
t
t
t
，值随t 变化，不是定值，不符合题意；
B、
2
2
3
k
t
t
t
t
，值随t 变化，不是定值，不符合题意；
C、
1
t
t
k
t
，值恒为1
，是定值，符合题意；
D、
2
tk
t
t
t
，值随t 变化，不是定值，不符合题意．
13．（2026·福建厦门·三模）已知抛物线
2
0
y
ax
bx
c a
过点
1
1
,
A x y
，
2
2,
B
y
，当
1
2
1
x
时，
若存在
1x 使
1
2
y
y
，则下列结论一定成立的是（
）
A．
1y
c
B．
1y
c
C．
2y
c
D．
2y
c
【答案】B
【分析】本题利用开口向上抛物线的函数值性质，先推导对称轴的位置，再利用对称轴左侧的单调性比较
1y
与c 的大小．
【详解】设抛物线对称轴为x
h
，
∵
0
a
，
∴抛物线开口向上，函数值满足：点离对称轴越远，函数值越大，
∵
1
2
y
y
，抛物线
2
0
y
ax
bx
c a
过点
1
1
,
A x y
，
2
2,
B
y
，
∴
1
2
x
h
h
，
∴两边平方得
2
2
1
2
x
h
h
，
整理得：
1
1
1
2
2
2
2
x
x
h x
，
∵
1
1
2
x
，
27 / 98
学科网（北京）股份有限公司
∴
1
2
0
x
，
不等式两边除以
1
2
x
，不等号方向改变得：
1
2
2
x
h
，即
1
2
2
x
h
，
∵
1
2
1
x
，
∴
1
2
1
0
2
2
x
，要存在
1x 满足不等式，必有
0
h
，即对称轴在y 轴右侧，
∵抛物线开口向上，对称轴左侧（x
h
）y 随x 增大而减小，
又∵
1
1
0
x
h
，
1x 、1
都在对称轴左侧，将
0
x
代入抛物线得y
c
，
∴
1y
c
一定成立．
14．（2026·福建厦门·三模）如图，在正方形ABCD中，E 是BC 边上的动点，连接DE ，过点E 作EF
DE
交AB 于点F ，在点E 从点B 运动到点C 的过程中，线段BF 长度的变化情况是（
）
A．逐渐变小
B．逐渐变大
C．先变小再变大
D．先变大再变小
【答案】D
【分析】设正方形边长为a ，BE
x
，BF
y
，通过证明BEF
CDE
∽
，建立y 与x 的函数关系式，利用
二次函数的性质判断BF 的变化情况．
【详解】设正方形ABCD 的边长为a ，BE
x
，BF
y
，则CE
a
x
，
四边形ABCD 是正方形，
90
B
C
，CD
a
，
90
CDE
DEC
，
EF
DE
，
90
DEF
，
90
BEF
DEC
，
BEF
CDE
，
BEF
CDE
，
90
B
C
，
BEF
CDE
∽
，
28 / 98
学科网（北京）股份有限公司
BF
BE
CE
CD
，即
y
x
a
x
a
，
2
1
y
x
x
a
，
0
a
，
1
0
a
，
该函数图象开口向下，对称轴为直线
1
1
2
2
a
x
a
，
点E 从点B 运动到点C ，即0
x
a
，
当0
2
a
x
时，y 随x 的增大而增大；当2
a
x
a
时，y 随x 的增大而减小，
线段BF 长度的变化情况是先变大再变小．
15．（2026·福建莆田·二模）已知抛物线
2
y
x
bx
经过
1
2
,
,
1,
A m y
B
y
，当1
3
m
≤
≤时，总有
1
2
y
y
，
则b 的值不可能为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【分析】先根据抛物线性质得到b 的取值范围，再判断选项即可，解题用到开口向下的二次函数函数值与点
到对称轴距离的关系．
【详解】∵抛物线
2
y
x
bx
中
1
0
a
∴抛物线开口向下，点到对称轴距离越近，函数值越大，抛物线对称轴为
2
b
x
，
当
1
3
m
≤
≤
时总有
1
2
y
y
，都有
1
2
2
b
b
m
，
整理得
2
1
0
m
bm
b
，即
1
1
0
m
m
b
（1
3
m
）
当
1
1
0
m
m
b
时，
1
2
1,
1
m
m
b
，
∴根据抛物线的性质可知，1
1
m
b
∵1
3
m
∴
1
3
b
解得
2
b
∵选项中只有1
2
不满足条件
∴b 的值不可能为1．
29 / 98
学科网（北京）股份有限公司
16．（2026·福建宁德·一模）对于二次函数
2
1
y
ax
bx
，则下列结论中正确的是（
）
A．当
0
a
时，该二次函数的图象与x 轴没有交点
B．当
0
b
时，该二次函数的图象与x 轴必有交点
C．当
0
a
b
时，在第一象限内，y 的值随x 值的增大而增大
D．当
0
a
b
时，在第二象限内，y 的值随x 值的增大而减小
【答案】C
【分析】可通过判别式判断函数与x 轴的交点情况，结合对称轴位置和开口方向判断函数增减性，推导判
断各选项正误．
【详解】解：二次函数
2
1
y
ax
bx
中，
0
a
，判别式
2
4
b
a
，对称轴为
2
b
x
a
，
对于选项A：
当
0
a
时，取
1
a ，
3
b
，得
2
3
4 1
5
0
，函数图象与x 轴有交点，A 错误；
对于选项B：当
0
b
时，取
2
a
，
2
b ，得
2
2
4
2
4
0
，函数图象与x 轴没有交点，B
错误；
对于选项C：
0
a
b
，二次函数开口向上，
0
2
b
a
，即对称轴在y 轴左侧，第一象限内
0
x
，所有
点都在对称轴右侧，开口向上的二次函数在对称轴右侧y 随x 增大而增大，C 正确；
对于选项D：
0
a
b
，取
3
a ，
2
b ，满足
0
a
b
，得对称轴
1
0
3
x
，当
1
2
1
1
0
2
x
x
，
代入得
1
0
y
，
2
5
4
y
，x 增大时y 增大，说明第二象限内y 不是随x 增大而减小，D 错误。
17．（2026·福建漳州·模拟预测）方程
2
3
1
x
x
的根可视为函数
3
y
x
的图象与函数
1
y
x
的图象交点的
横坐标，那么用此方法可推断出方程
3
2
1
x
x
的实数根x 所在的范围是（
）
A．
1
0
4
x
B．1
1
4
3
x
C．1
1
3
2
x
D．1
1
2
x
【答案】C
【分析】仿照题干给出的方法，将原方程变形得到两个函数，方程的实数根即为两个函数图象交点的横坐
标，通过计算不同x 处两个函数的函数值，结合函数增减性即可判断交点所在范围．
【详解】解：∵
0
x
不满足方程
3
2
1
x
x
，
∴
0
x
，
方程两边同除以x ，得
2
1
2
x
x
，
因此方程
3
2
1
x
x
的实数根是函数
2
2
y
x
与
1
y
x
图象交点的横坐标，
30 / 98
学科网（北京）股份有限公司
∵当两个函数图象相交时，交点的纵坐标
2
1
2
2
0
y
x
x
，
∴当两个函数图象相交时，交点的横坐标
1
0
2
x
，
当
1
3
x
时，
2
2
1
1
2
( )
2
2
3
9
y
x
，
1
3
y
x
，可得
2
1
2
x
x
，
当
1
2
x
时，
2
2
1
1
2
( )
2
2
2
4
y
x
，
1
2
y
x
，可得
2
1
2
x
x
，
∵
2
2
y
x
在
0
x
时，y 随x 的增大而增大，
1
y
x
在
0
x
时，y 随x 的增大而减小，
∴两个函数交点的横坐标满足1
1
3
2
x
，即方程的实数根x 所在范围是1
1
3
2
x
．
18．（2026·福建厦门·模拟预测）经研究发现某型号火箭高度
m
h
与时间s
t
的关系近似满足二次函数，
科研人员在测试该型号火箭向上竖直升空时，获得的部分数据如下表，则下列判断正确的是（
）
时间/ s
t
1
10
18
20
火箭高度
/ m
h
155
1010
1090
1010
A．火箭在前18s 持续上升
B．火箭在18s 后才开始下降
C．火箭在10s 前可以达到1090m
D．火箭在30s 时的高度低于155m
【答案】D
【分析】根据二次函数的对称性求出对称轴，结合火箭运动轨迹确定开口方向，再利用待定系数法求出函
数解析式，结合二次函数的增减性和对称性逐一判断各选项即可求解．
【详解】解：∵二次函数中，
10
t
和
20
t
时h 相等，
∴二次函数的对称轴为直线
10
20
15
2
t
，
∵火箭先上升后下降，
∴二次函数开口向下，
∴
0
a
，当
15
t
时，h 随t 增大而增大，当
15
t
时，h 随t 增大而减小，最高点在
15s
t
处，
∴火箭在15s 后已经开始下降，故选项A
B
、
错误；
设函数解析式为
2
(
15)
h
a t
k
，代入
1
155
t
h
，
和
10
1010
t
h
，
得，
2
2
(1 15)
155
(10 15)
1010
a
k
a
k
，
31 / 98
学科网（北京）股份有限公司
解得
5
1135
a
k
，
∴
2
5(
15
1135
h
t
)
，
当
1090
h
时，
2
5(
15)
1135
1090
t
，
解得
12
t
或
18
t
，
∴最早12s 才达到1090m，10s 前无法达到，故选项C 错误；
∵
1
t 关于对称轴
15
t
的对称点为
15
15 1
29
t
，
∴
29
1
155
h
h
，
∵
15
t
时h 随t 增大而减小，且30
29
，
∴
30
29
155
h
h
，即30s 时高度低于155m ，故选D 正确．
19．（2026·福建漳州·模拟预测）已知抛物线
2
y
x
bx
与x 轴交于A，B 两点，抛物线
2
1
1
y
x
b x
与x 轴交于C，D 两点，其中
1
b ．若
3
AD
BC
，则b 的值为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】先分别求出两个抛物线与x 轴的交点坐标，根据
1
b 确定四个交点在x 轴上的位置顺序，再根据
3
AD
BC
列出关于b 的方程，解方程即可得到结果.
【详解】解：把
0
y
代入
2
y
x
bx
得：
2
0
x
bx
，
解得
1
0
x
，
2x
b
，
∵
1
b ，
∴
1
0
b
；
把
0
y
代入
2
(
1)
(
1)
y
x
b x
得：
1
1
0
x
x
b
，
解得
3
1
x ，
4
1
x
b
，
∵
1
b ，
∴
1
1
1
0
b
b
b
，
∴四个交点的横坐标从小到大依次为0,1,
,1
b
b
，
不妨设A 横坐标为0 ，B 横坐标为b
，C 横坐标为1，D 横坐标为1 b
；
∵x 轴上两点距离为大横坐标减小横坐标，
32 / 98
学科网（北京）股份有限公司
∴
1
0
1
AD
b
b
，
1
BC
b
；
∵
3
AD
BC
，
∴
1
3
1
b
b
，解得
2
b ，符合
1
b ，
故b 的值为2
.
20．
（2026·福建漳州·模拟预测）已知二次函数
2
6
9
5
0
y
ax
ax
a
a
，当
2
x
时，y 随x 的增大而增大．当
0
x
k
时，函数的最大值是5，最小值是9
5
a
，则k 的值可能是（
）
A．10
B．9
C．7
D．5
【答案】D
【分析】先对二次函数配方得到对称轴，再根据给定区间的增减性确定开口方向，最后根据最值条件确定k
的取值范围，选出符合条件的选项．
【详解】解：对二次函数配方得：
2
2
6
9
5
(
3)
5
y
ax
ax
a
a x
，
∴二次函数的对称轴为直线
3
x
，顶点坐标为
3,5 ．
∵当
2
x
时，y 随x 的增大而增大，且2
3
，说明对称轴左侧y 随x 增大而增大，
∴抛物线开口向下，即
0
a
．
当
0
x
时，代入得
9
5
y
a
，
0
x
关于对称轴
3
x
的对称点为
6
x
，
即
6
x
时
9
5
y
a
．
∵开口向下时，点离对称轴越远函数值越小，且0
x
k
时，函数最大值为5 ，最小值为9
5
a
，
∴3
6
k
，
观察选项，只有5 在范围内．
21．（2026·福建南平·一模）抛物线
1
C 过点
0
P a，，
3 ,0
Q
a
，将抛物线
1
C 向上平移2 个单位后，得到抛物
线
2
²
C
y
ax
bx
c
：
，若抛物线
2
C 上有两点
1
2
2,
A
a
y
，
2
3
1,
B
a
y
，使得
1
2
y
y
一定成立，则a 的取值
范围为（
）
A．3
0
a
或
1
a
B．3
0
a
C．
1
a
D．3
1
a
【答案】A
【分析】由抛物线与x 轴两交点，求出对称轴；根据抛物线平移对称轴不变，算出A、B 两点到对称轴的距
离，分别为定值2 和|
1|
a
；按
0
a
开口向上：函数值越大，离对称轴距离越远；
0
a
开口向下，函数值
33 / 98
学科网（北京）股份有限公司
越小，离对称轴距离越远，分类进行讨论，根据
1
2
y
y
列绝对值不等式，结合a 的正负范围取交集，求出a
的取值范围．
【详解】解：∵抛物线
1
C 过点
0
P a，，
3 ,0
Q
a
，且P、Q 是两个不同交点，
∴
0
a
，且
3
a
a
，
∴其对称轴为：
3
2
2
a
a
x
a
∵抛物线向上平移2 个单位得到
2
C ，对称轴不变，
∴
2
2 :
C
y
ax
bx
c
的对称轴仍为
2
x
a
．
∵
1
2
2,
A
a
y
，
2
3
1,
B
a
y
，两点到对称轴
2
x
a
的距离分别为：
| (2
2)
2 | | 2| 2
A
d
a
a
| (3
1)
2 | |
1|
B
d
a
a
a
当
0
a
时（开口向上）：
抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大．
要使
1
2
y
y
恒成立，需
B
A
d
d
，即：
|
1| 2
a
解得
1
2
a
或
1
2
a
，
即
1
a 或
3
a
．
∵
0
a
∴
1
a ．
当
0
a
时（开口向下）：
抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小．
要使
1
2
y
y
恒成立，需
B
A
d
d
，
即：|
1| 2
a
解得2
1
2
a
，即3
1
a
．
∵
0
a
，
∴3
0
a
．
综合两种情况可得：a 的取值范围为：3
0
a
或
1
a ．
34 / 98
学科网（北京）股份有限公司
22．（2026·福建漳州·模拟预测）已知点
1
,
2
a
A
y
，
2
,
0
2
a
B
t y
t
，在抛物线
2
2
0
y
x
ax
a a
上，
则下列结论中，错误的是（
）
A．当
0
t
a
时，
1
2
y
y
B．存在实数a，使得
1
0
y
C．a 取任意非零实数时，都有
1y
a
D．a 取任意非零实数时，都存在t，使得
1
2
y
y
【答案】D
【分析】把点
1
,
2
a
A
y
，
2
,
0
2
a
B
t y
t
，代入抛物线
2
2
0
y
x
ax
a a
，可得
1y ，
2y ，对各选项
进行分析判断即可．
【详解】解：把
1
,
2
a
A
y
代入
2
2
y
x
ax
a
，得
2
2
1
3
2 ·
2
2
4
a
a
a
y
a
a
a
，
把
2
,
0
2
a
B
t y
t
代入
2
2
y
x
ax
a
，得
2
2
2
2
3
(
)
2
2
2
4
a
a
a
y
t
a
t
a
at
t
a
，
∴
2
2
1
y
y
t
at
t t
a
，
0
t
，
当
0
t
a
时，
0
t
a
，
∴
2
1
0
y
y
t t
a
，
∴
1
2
y
y
，
∴A 选项正确，不符合题意；
令
1
0
y
，即
2
3
0
4
a
a
，
0
a
，
解得
4
3
a
，
∴存在实数a，使得
1
0
y
，
∴B 选项正确，不符合题意；
∵
2
1
3
4
a
y
a
，
∴
2
1
3
4
a
y
a
，
∵
0
a
，
∴
2
0
a
，
35 / 98
学科网（北京）股份有限公司
∴
2
1
3
0
4
a
y
a
，
∴a 取任意非零实数时，都有
1y
a
，
∴C 选项正确，不符合题意；
若
1
2
y
y
，则
2
1
0
y
y
t t
a
，
∵
0
t
，
∴t
a
，
当
0
a
时，
0
t
a
，与
0
t
矛盾，
∴当
0
a
时，不存在t ，使得
1
2
y
y
，
∴D 选项错误，符合题意．
23．（2026·福建泉州·二模）已知二次函数
2
0
y
ax
bx
c a
的图象经过点
4,
,
2,
A
k
B
k
两点，若关
于x 的方程
2
3
3
1
a x
b x
c
k
有两个不相等的实数根m ，
n m
n
，则下列结论正确的是（
）
A．
4
n
m
B．
4
n
m
C．
6
n
m
D．
6
n
m
【答案】B
【分析】先利用二次函数纵坐标相等的两点求出原函数对称轴，再根据函数平移规律得到目标方程对应函
数的对称轴，最后利用二次函数交点关于对称轴对称的性质推导两根之和．
【详解】解：∵二次函数
2
0
y
ax
bx
c a
经过纵坐标相等的两点
4,
,
2,
A
k
B
k
，
∴原二次函数的对称轴为直线
4
2
1
2
x
，
∵令
2
3
3
y
a x
b x
c
，它是原二次函数向右平移3 个单位得到的函数，
∴y的对称轴为直线
1
3
2
x
，
∵方程
2
3
3
1
a x
b x
c
k
的两个根
,
m n 是
2
3
3
y
a x
b x
c
图象与
1
y
k
图象的两个交
点的横坐标，这两点关于二次函数y的对称轴对称，
∴
2
2
m
n
，整理得
4
n
m
；
而n
m
的值不确定，因此只有B 选项正确．
24．（2026·福建南平·二模）已知抛物线
2
0
y
ax
bx
c a
与x 轴交于
1,0
A
，
1
,0
B
a
两点，且点
1
2,
C
y
，
2
,
2
a
D
y
都在抛物线上，则下列说法正确的是（
）
36 / 98
学科网（北京）股份有限公司
A．当
4
a
时，
1
2
y
y
B．当
4
a 时，
1
2
y
y
C．无论a 为何值，
1
2
y
y
D．无论a 为何值，
1
2
y
y
【答案】B
【分析】根据二次函数的性质判断即可
【详解】解：∵已知抛物线
2
0
y
ax
bx
c a
与x 轴交于
1,0
A
，
1
,0
B
a
两点，
根据抛物线与x 轴交点的横坐标，得出抛物线的对称轴，
∴抛物线对称轴是直线
1 1
2
2
a
a
x
，
∴点D 是抛物线的顶点，
∵不确定a 大于还是小于0，根据点D 横坐标与抛物线的对称轴，判断点D 为顶点；a 的大小不确定，需
分类讨论．
∴抛物线开口方向不确定，
2y 是这个二次函数的最值，但不确定是最大值还是最小值，
∴
1y 和
2y 的大小关系不能确定，故C，D 选项错误；
由于
2y 是这个二次函数的最值，只要C 不是顶点，即2
2
a
，
4
a ，都有
1
2
y
y
，
当
4
a
时，开口方向仍有两种可能，
∴
1y 和
2y 的大小关系不能确定，故A 选项错误；
当
4
a 时，抛物线开口向下，
2y 是这个二次函数的最大值，故
1
2
y
y
，B 选项正确．
25．（2026·福建三明·一模）已知二次函数
2
4
y
x
m
x
（m 为常数）．若1
2
m
，点
2
5,
P
m
p
，
4
7,
Q
m
q
在该函数图象上，则p 与q 的大小关系是（
）
A．p
q
B．p
q
C．p
q
D．无法确定
【答案】A
【分析】分别代入求出,p q ，再作差比较大小即可．
【详解】解：二次函数
2
4
y
x
m
x
，
2
5
2
2
5
4
5 2
1
10
5
p
m
m
m
m
m
，
2
4
7
2
4
7
4
2
7
4
3
8
34
21
q
m
m
m
m
m
m
m
，
2
2
8
34
21
10
5
8
24
16
8
1
2
q
p
m
m
m
m
m
m
m
37 / 98
学科网（北京）股份有限公司
又
1
2
m
，
1
0,
2
0
m
m
，则
1
2
0
m
m
，
即
8
1
2
0
q
p
m
m
，
故q
p
，即p
q
．
26．（2026·福建泉州·一模）已知抛物线
2
2
0
y
ax
bx
a ab
与x 轴交于A，B 两点，O 为原点，点M
在抛物线上且不与A，B 重合，过点M 作MN
OM
交抛物线的对称轴于点N，若MN
AN
，则OM 的长
度为（
）
A．1
B．
2
C．2
D．4
【答案】B
【分析】本题利用抛物线对称轴性质，垂直关系和线段相等条件，结合点M 在抛物线上的坐标性质，化简
推导得到OM 长度的平方，即可求出OM ．
【详解】解：设点
,
M x y ，
,
2
b
N
n
a
，抛物线对称轴为直线
2
b
x
a
，
∵MN
OM
，由勾股定理得：
2
2
2
OM
MN
ON
，
代入坐标得：
2
2
2
2
2
2
2
2
b
b
x
y
x
y
n
n
a
a
，
展开化简得：
2
2
2
2
2
0
b
x
y
x
ny
a
，
∵
,
M x y 在抛物线上，
∴
2
2
y
ax
bx
a
，
两边除以a 得：
2
2
y
b
x
x
a
a
，
设
1,0
A x
是抛物线与x 轴交点，
∴
2
1
1
2
0
ax
bx
a
，
两边除以a 得
2
1
1
2
b
x
x
a
，
∵MN
AN
，
∴
2
2
MN
AN
，
代入坐标得：
38 / 98
学科网（北京）股份有限公司
2
2
2
2
1
2
2
b
b
x
y
n
x
n
a
a
，
展开化简并代入
2
1
1
2
b
x
x
a
，得：
2
2
2
2
0
b
x
y
x
ny
a
，
∴
2
2
2
2
b x
x
y
ny
a
，
把
2
2
2
2
b x
x
y
ny
a
代入
2
2
2
2
2
0
b
x
y
x
ny
a
得：
2
2
2
2
2
2
2
2
2
0
x
y
x
y
ny
ny
，
化简得：
2
2
2
x
y
，
∵
2
2
OM
x
y
，
∴
2
OM
．
27．（2026·福建漳州·一模）已知
1
2
3
2,
,
5,
,
,
A
y
B
y
C t y
是抛物线
2
2
y
x
mx
上不同的三个点．若对于
0
1
t
，都有
1
3
2
y
y
y
，则m 的取值范围是（
）
A．3
2
2
m
B．3
5
2
2
m
C．
5
2
2
m
D．2
3
m
【答案】B
【分析】先求出抛物线的对称轴为直线x
m
，然后分别画图求解
3
2
y
y 和
1
3
y
y
时的m 的取值范围．
【详解】解：对于
2
2
y
x
mx
，对称轴为直线
2
2 1
m
x
m
，
∵
3
2
y
y ，如图：
∴5
2
t
m
，
39 / 98
学科网（北京）股份有限公司
即
5
2
t
m
，
∵
0
t
，
∴5
5
2
2
t
，
∴
5
2
m
；
∵
1
3
y
y
，如图：
∴
2
2
t
m
，
即
2
2
t
m
，
∵
1
t ，
∴
2
3
2
2
t
，
∴
3
2
m
，
综上：3
5
2
2
m
．
28．（2026·福建厦门·一模）从地面竖直向上抛出的小球离地面的高度h（单位；m ）与小球的运动时间t
（单位：s ）之间满足
2
2
3
6
12
3
0
2
h
t
at
a
t
a
．则下列选项中正确的是（
）
A．
0.5s
t
和
3s
t
时，小球离地面的高度相同
B．
2.5s
t
时，小球到达最高点
C．
3.5s
t
时，小球回到地面
D．2
3
t
时，小球处于下降阶段
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，由题意得，当
0
t
时，
0
h
，利用待定系数法可得
2
2
3
12
3
2
12 0
4
h
t
t
t
t
，据此利用二次函数的性质逐一判断即可．
40 / 98
学科网（北京）股份有限公司
【详解】解：由题意得，当
0
t
时，
0
h
，
∴
2
0
0
0
12
3a
，
∴
2
a
或
2
a （舍去）；
∴
2
2
3
12
3
2
12 0
4
h
t
t
t
t
，
当
0.5s
t
时，
2
3
0.5
12
0.5
0.75
6
5.25
h
当
3s
t
时，
2
3
3
12
3
27
36
9
h
，
∴
0.5s
t
和
3s
t
时，小球离地面的高度不相同，故A 说法错误；
∵3
0
，
∴当
2s
t
时，h 有最大值，
∴
2s
t
时，小球到达最高点，故B 说法错误；
当
3.5s
t
时，
2
3
3.5
12
3.5
36.75
42
5.25
0
h
，
∴
3.5s
t
时，小球没有回到地面，故C 说法错误；
∵
2
3
2
12 0
4
h
t
t
，3
0
，
∴当2
3
t
时，h 随t 的增大而减小，
∴当2
3
t
时，小球处于下降阶段，故D 说法正确；
故选：D．
29．（2025·福建龙岩·一模）已知二次函数
2
2
y
x
bx
c
的图象经过
3,
,
3,
A t
m
B t
n
两点，则下列结
论一定正确的是（
）
A．
0
t
b
m
n
B．
0
t
b
m
n
C．
0
t
b
m
n
D．
0
t
b
m
n
【答案】A
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，先求出对称轴为x
b
，根据
3
t 和
3
t 关于x
t
对称，分
,
,
t
b t
b t
b
三种情况，进行讨论求解即可．
【详解】解：∵
2
2
y
x
bx
c
，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线
2
2
b
x
b
，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵
3,
,
3,
A t
m
B t
n
，
41 / 98
学科网（北京）股份有限公司
∴点A 到对称轴的距离为：
3
t
b
，点B 到对称轴的距离为：
3
t
b
，点,
A B 关于x
t
对称，
①当t
b
时，则点
,
A B 关于对称轴对称，
∴m
n
，
∴
0
t
b
m
n
；
②当t
b
时，则：
3
3
t
b
t
b
，
∴n
m
，
∴
0,
0
t
b
m
n
，
∴
0
t
b
m
n
；
③当t
b
时，则：
3
3
t
b
t
b
，
∴n
m
，
∴
0,
0
t
b
m
n
，
∴
0
t
b
m
n
；
综上：
0
t
b
m
n
；
故选A．
30．
（2026·福建泉州·模拟预测）等边ABC 中，
4 3
BC
，点P、点Q 分别是AB 、AC 上的动点，且AP
CQ
，
过A 、P、Q 三点作
O ，则
O 半径的最小值为________．
【答案】2
【分析】连接
,
,
OP OQ PQ，过点O作OH
PQ
，由题意易得
60 ,
4 3
A
B
C
AB
AC
BC
，则
有
1
30 ,
2
OPQ
OQP
PH
QH
PQ
，然后可得
3
3
OP
PQ
，要使
O 的半径为最小，即OP 的值为
最小，则需满足PQ 的值为最小，过点Q 作QE
AB
，设AQ
x
，则有
4 3
CQ
AC
AQ
x
AP
，进
而问题可求解．
42 / 98
学科网（北京）股份有限公司
【详解】解：连接
,
,
OP OQ PQ，过点O作OH
PQ
，如图所示：
∵ABC 是等边三角形，
∴
60 ,
4 3
A
B
C
AB
AC
BC
，
∴
2
120
POQ
A
，
∵PO
OQ
=
，
∴
1
30 ,
2
OPQ
OQP
PH
QH
PQ
，
∴
3
cos30
2
PH
OP
OP
，
∴
3
3
OP
PQ
，
要使
O 的半径为最小，即OP 的值为最小，则需满足PQ 的值为最小，
过点Q 作QE
AB
，设AQ
x
，则有
4 3
CQ
AC
AQ
x
AP
，
∴
1
3
cos60
,
sin 60
2
2
AE
AQ
x EQ
AQ
x
，
∴
3
4 3
2
PE
AP
AE
x
，
∴
2
2
2
2
2
2
3
3
4 3
3
2 3
12
4
2
PQ
QE
PE
x
x
x
，
∵
2
3
2 3
0
x
，
∴
2
2
3
2 3
12
12
PQ
x
，
∴当
2 3
x
时，
2
PQ 有最小值12，即
2 3
PQ
，
∴OP 的最小值为
3
2
3
OP
PQ
，
即
O 半径的最小值为2 ．
31．（2026·福建福州·模拟预测）已知某商品的月利润是其涨价额的二次函数，且存在最大值．商家先将该
物品涨价8 元，月利润增多；又涨价4 元，发现月利润更多了，于是商家想知道涨价多少元时利润最大．记
43 / 98
学科网（北京）股份有限公司
涨价t 元时，利润最大，则t 的取值范围是_____．
【答案】
10
t
【分析】根据商品的月利润是其涨价额的二次函数，且存在最大值，涨价t 元时，利润最大，可设解析式为
2
y
a x
t
h
，其中
0
a
，故抛物线开口向下，函数图象上的点到对称轴x
t
的距离越小函数值越大，
据此结合题意列不等式组即可求解.
【详解】设月利润为y 元，涨价额为x 元，二次函数为
2
y
a x
t
h
，
0
a
，其对称轴为x
t
．
存在最大值，
抛物线开口向下，
0
a
，函数图象上的点到对称轴x
t
的距离越小函数值越大，
由题意可得：12
8
0
t
t
t
，
当0
8
t
时，不等式组可化为：12
8
t
t
t
，不等式组无解，
当8
12
t
时，不等式组可化为：12
8
t
t
t
，解得10
12
t
，
当
12
t
时，不等式组可化为：
12
8
t
t
t
，该不等式组恒成立，
综上所述：
10
t
．
32．（2026·福建宁德·二模）已知m ，n 是一元二次方程
2
3
0
x
x
t
的两个实数根．下列说法：①t 的取
值范围是
9
4
t
；②若
1
8
mn
m
n
mn
，则t 的值为1
或5；③二次函数
2
3
y
x
x
t
的最小值总不
大于0；④代数式
2
3
2
n
m
mn
的最大值是27
8 ．其中正确的是________．（填写序号）
【答案】①③
【分析】根据一元二次方程根的判别式得到t 的取值范围即可判断①，结合根与系数的关系得出
3
m
n
，
mn
t
，代入
1
8
mn
m
n
mn
，整理得出关于t 的一元二次方程，解方程结合①t 的取值范围即可求
出t 的值，即可判断②，把二次函数的一般式化成顶点式即可判断③，把
2
3
2
n
m
mn
化为关于t 的二
次函数，利用二次函数的性质可判断④．
【详解】解：已知m ，n 是一元二次方程
2
3
0
x
x
t
的两个实数根，
对于①由根的判别式得
2
Δ
( 3)
4 1
9
4
0
t
t
，解得
9
4
t
，故①正确．
对于②由根与系数的关系得
3
m
n
，mn
t
，
代入
1
8
mn
m
n
mn
得：
1
3
8
t
t
；
整理得
2
4
5
0
t
t
：
解得
5
t
或
1
t ，
44 / 98
学科网（北京）股份有限公司
因为
9
4
t
，
所以
5
t
舍去，仅
1
t 符合题意，故②错误．
对于③二次函数
2
2
3
9
3
2
4
y
x
x
t
x
t
，开口向上，最小值为
9
4
t
，
因为
9
4
t
，所以
9
0
4
t
，即最小值总不大于0 ，故③正确．
对于④因为m 是方程
2
3
0
x
x
t
的根，
所以
2
3
m
m
t
，
则
2
3
3
3
3
9
n
m
n
m
t
m
n
t
t
，又mn
t
，
因此原式
2
2
11
49
9
2
11
18
2
4
t
t
t
t
t
，
该式是关于t 的二次函数，开口向下，对称轴为
11
2
t
，
因为
9
11
4
2
t
，
所以当
9
4
t
时，原式取得最大值，
代入得最大值
9
9
27
1
27
27
9
2
4
4
4
4
16
8
，故④错误．
综上：①③正确；
33．（2026 年5 月福建省漳州市龙海区浮宫中学九年级练习试卷），为方程
2
2
0
kx
x
k
的两个实
数根，则k 的取值范围为_____．
【答案】1
1
k
且
0
k
【分析】方程有两个实数根，说明该方程为一元二次方程，二次项系数不为0 ，且根的判别式大于等于0 ，
再利用图象法解不等式即可．
【详解】解：
，为方程
2
2
0
kx
x
k
的两个实数根，
该方程为一元二次方程，可得
0
k
，
这里a
k
，
2
b ，c
k
，
2
Δ
4
b
ac
2
( 2)
4
k
k
2
4
4k
．
方程有两个实数根，
0
，即
2
4
4
0
k
，
整理得，
2
1
0
k
，
45 / 98
学科网（北京）股份有限公司
故令
2
1
y
k
，其函数图象如下图所示：
当
0
y
时，即
2
0
1
k
，
1
k
，即
( 1,0)
A
，
(1,0)
B
，
由图象可知，当
0
y
时，即
2
1
0
k
，
此时，1
1
k
，
综上，k 的取值范围是1
1
k
且
0
k
．
34．（2026·福建厦门·三模）已知点
1
2
3
4
1,
,
2,
,
5,
,
6,
A
y
B
y
C
y
D
y 是抛物线
2
y
x
bx
c
上的点，其中
点A，C 在抛物线对称轴的两侧．若
1
2
y
y
，则c，
2y ，
4y 的大小关系是________．
【答案】
2
4
y
c
y
/
4
2
y
c
y
【分析】根据抛物线开口方向，结合已知条件先求出对称轴的取值范围，再明确c 是抛物线
0
x
处的函数
值，利用开口向上的抛物线上点到对称轴的距离越大，函数值越大的性质，比较三个点到对称轴的距离即
可得到大小关系．
【详解】解：抛物线
2
y
x
bx
c
中
1
0
a
，因此抛物线开口向上，抛物线上的点到对称轴的距离越大，
函数值越大，
设抛物线对称轴为x
h
，则
2
b
h
，
∵
1
2
y
y
，
∴1
2
h
h
，
∴
2
2
(1
)
(2
)
h
h
，整理得2
3
h
，解得
3
2
h
，
∵点A ，C 在对称轴两侧，A 的横坐标为1，C 的横坐标为5 ，
46 / 98
学科网（北京）股份有限公司
∴1
5
h
，
∴
3
1
2
h
，
当
0
x
时，代入抛物线解析式得y
c
，因此c 是抛物线上横坐标为0 的点的函数值，
∵0
h
h
，2
2
h
h
，6
6
h
h
，且
3
1
2
h
，
∴1
9
2
1,
6
5
2
2
h
h
∴2
6
h
h
h
，
∴
2
4
y
c
y
．
35．（2026·福建漳州·模拟预测）随着电动汽车充电基础设施日趋完善，便捷的出行方式让越来越多的人青
睐电动汽车．已知某品牌电动汽车从电量0% 开始快充时，累计充电时间
min
y
与汽车仪表盘显示的电量
%
x
的关系可用二次函数
2
1
1
300
6
y
x
x
近似刻画，而电动汽车行驶过程中汽车仪表盘显示的可行驶里程
s km 与电量
%
x
的关系如下表所示．
汽车仪表盘显示的电
量
%
x
0
10
20
30
40
…
汽车仪表盘显示的可
行驶里程
s km
0
70
140
210
280
…
若王老师驾驶电动汽车前往某地，途经某一充电站，到达该充电站时汽车仪表盘显示的电量为30%，此时
到目的地的路程还有490km ．若王老师计划在该充电站一次性充电一段时间，在其他地方不再充电，且他
到达目的地时汽车仪表盘显示的电量恰好为10% ，则充电时间为________ min ．
【答案】80
3 /
2
26 3
【分析】由表可知，每行驶70 千米，需要10% 的电量，根据题意可得，电量需充到80%，根据累计充电时
间
min
y
与汽车仪表盘显示的电量
%
x
的关系，即可求解．
【详解】解：由表可知，每行驶70 千米，需要10% 的电量，
根据题意可得，电量需充到
490
70 10 10
80 %
，
在
2
1
1
300
6
y
x
x
中，
47 / 98
学科网（北京）股份有限公司
当
30
x
时，
2
1
1
30
30
8
300
6
y
，
当
80
x
时，
2
1
1
104
80
80
300
6
3
y
，
∴充电时间为
104
80
8
min
3
3
．
36．（2026·福建三明·一模）在平面直角坐标系xOy 中，点
1
2
3
,
1,
2,
A m y
B m
y
C m
y
，
，
是抛物线
2
4
3
0
y
ax
ax
a
图象上的三点，若
1
n
m
n
时，满足
3
1
2
y
y
y
恒成立，则n 的整数部分数值为
_____．
【答案】1
【分析】通过代入三点横坐标求出抛物线对应纵坐标，根据函数值的大小关系列不等式解出m 的取值范围，
结合
1
n
m
n
时不等式恒成立的条件确定n 的取值范围，进而得出n 的整数部分即可．
【详解】解：∵抛物线的解析式为
2
4
3
0
y
ax
ax
a
，
∴抛物线的对称轴为直线
4
2
2
2
b
a
x
a
a
，抛物线开口向下，
∵点
1
2
3
,
1,
2,
A m y
B m
y
C m
y
，
，
在抛物线上，
∴
2
1
4
3
y
am
am
，
2
2
2
1
4
1
3
2
3
3
y
a m
a m
am
am
a
，
2
2
3
2
4
2
3
4
3
y
a m
a m
am
a
，
由
2
1
y
y
得
2
2
2
3
3
4
3
am
am
a
am
am
，
化简得2
3
0
am
a
，
∵
0
a
，两边除以a ，不等号方向改变，得2
3
0
m
，
解得
1.5
m
，
由
1
3
y
y
得
2
2
4
3
4
3
am
am
am
a
，
化简得4
4
0
am
a
，
∵
0
a
，两边除以4a，不等号方向改变，得
1
0
m
，解得
1
m ，
∴1
1.5
m
，
∵
1
n
m
n
时不等式恒成立，
48 / 98
学科网（北京）股份有限公司
∴n 的整数部分为1．
37．（2026·福建福州·三模）在平面直角坐标系中，点M 的坐标为
2
,
m m
bm
，其中b 为常数且
4
b
．若
2
3
3
m
bm
b
，且
2
m
b
，则m 的取值范围是________．
【答案】
3
m
【分析】将原不等式整理为一元二次不等式，因式分解求解对应一元二次方程的根，根据
4
b
判断两根大
小，利用二次函数的性质得到一元二次不等式的解集，再结合已知条件
2
m
b
排除不成立的解集，即可得到
m 的取值范围．
【详解】解：
2
3
3
m
bm
b
2
3
3
0
m
bm
b
令
2
3
3
0
m
bm
b
因式分解得
3
3
0
m
m
b
解得
1
3
m
，
2
3
m
b
4
b
2
1
3
3
2 3
4
2 3
0
m
m
b
b
，即
2
1
m
m
设
2
3
3
y
x
bx
b
，
∵二次项系数为1
0
，
∴二次函数
2
3
3
y
m
bm
b
开口向上，
∴当
0
y
时，
1
m
m
或
2
m
m
，即
3
m
或
3
m
b
，
2
b
m
，且
4
b
，
4
3
3
3
2
3
0
2
2
2
b
b
b
3
2
b
b
49 / 98
学科网（北京）股份有限公司
∴
3
m
b
与
2
m
b
无公共解，舍去，
故m 的取值范围为
3
m
．
38．（2026·福建厦门·模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，直线y
x
m
与双曲线
5
y
x
交于
,5
A a
a ，
B 两点，在线段AB 上取一点M （M 不与A ，B 重合），点M 的横坐标为t ，作MH
x
轴于H ，交双曲
线
5
y
x
于N ，记d
MN OH
．若d 随t 的增大而减小，则t 的取值范围是______．
【答案】3
1
t
或3
5
t
【分析】先根据点A 在双曲线上求出a 的值，进而得到直线解析式和交点B 的横坐标，确定t 的初始取值
范围，再用t 表示d，得到d 关于t 的二次函数，根据二次函数的增减性求出满足条件的t 的范围．
【详解】解：
点
,5
A a
a 在双曲线
5
y
x
上，
5
5
a
a
，
解得
2
1
a ，
即
1
a ．
①当
1
a 时，
1,5
A
，
将
1,5
A
代入y
x
m
，得
5
1
m
，
解得
6
m
，
∴直线
6
y
x
当
5
6
x
x
时，
解得
1
1
x ，
2
5
x
，
即点B 的横坐标为5 ，
点M 在线段AB 上，不与A ，B 重合，
1
5
t
．
由题意得
,
6
M t
t
，
5
,
N t t
，OH
t
，且1
5
t
时，
5
6
t
t
，
5
6
MN
t
t
，
2
5
6
6
5
d
MN OH
t
t
t
t
t
，
该二次函数开口向下，对称轴为
6
3
2
1
t
，
50 / 98
学科网（北京）股份有限公司
当
3
t
时，d 随t 的增大而减小，结合1
5
t
得3
5
t
．
②当
1
a 时，
1, 5
A
，将
1, 5
A
代入y
x
m
，得
5
1 m
，
解得
6
m
，
∴直线
6
y
x
，
当
5
6
x
x
时，
解得
1
1
x ，
2
5
x ，即点B 的横坐标为5
，
点M 在线段AB 上，不与A ，B 重合，
5
1
t
．
由题意得
,
6
M t
t
，
5
,
N t t
，OH
t
t
，
且5
1
t
时，5
6
t
t
，
5
5
6
6
MN
t
t
t
t
，
2
5
6
6
5
d
MN OH
t
t
t
t
t
，
该二次函数开口向下，对称轴为
6
3
2
1
t
，
当
3
t
时，d 随t 的增大而减小，
结合5
1
t
，得
3
1
t
．
综上，t 的取值范围是3
1
t
或3
5
t
．
39．（2026·福建厦门·一模）抛物线
2
2
1
y
x
的顶点为A，将其沿水平方向向右平移m 个单位长度，
得到的抛物线的顶点为B，平移前后的两条抛物线相交于点C，若ACB 为等边三角形，则m的值为________．
【答案】2 3
【分析】本题主要考查了二次函数综合，二次函数图象的平移问题，等边三角形的性质，勾股定理，首先
根据顶点式确定原抛物线的顶点A 的坐标，再写出平移后的抛物线方程和顶点B 的坐标．联立两条抛物线
方程求出交点C 的坐标；过点C 作CD
AB
于D，根据等边三角形的性质和勾股定理求出CD 的长和点D
的坐标，进而建立方程求解即可．
【详解】解：由题意得，点A 的坐标为
2, 1
，
51 / 98
学科网（北京）股份有限公司
∵将抛物线
2
2
1
y
x
沿水平方向向右平移m 个单位长度，得到的抛物线的顶点为B，
∴点B 的坐标为
2
, 1
m
，
∴平移后的抛物线解析式为
2
2
1
y
x
m
，
联立
2
2
2
1
2
1
y
x
y
x
m
，得
2
2
2
2
x
x
m
，
∴
2
2
x
x
m
或
2
2
x
x
m
，
当
2
2
x
x
m
时，
0
m
，不符合题意；
当
2
2
x
x
m
时，
2
2
m
x
，
在
2
2
1
y
x
中，当
2
2
m
x
时，
2
2
2
2
1
1
2
4
m
m
y
，
∴
2
2
,
1
2
4
m m
C
；
如图所示，过点C 作CD
AB
于D，
∵ABC 是等边三角形，
∴
2
2
AC
AB
m
m
（向右平移，m 是正数），
∴
1
2
2
m
AD
AB
，
∴
2
2
3
2
m
CD
AC
AD
，
2
, 1
2
m
D
，
∴
2
3
1
1
4
2
m
CD
m
，
∴
2
3
4
2
m
m
，
解得
2 3
m
或
0
m
（舍去），
故答案为：2 3
52 / 98
学科网（北京）股份有限公司
40．（2026·福建泉州·模拟预测）若对于实数r ，s，满足r
s
，且当r
x
s
时，对应的函数值y 的取值范
围也为r
y
s
，则称区间
,r s 为该函数的一个“保值区间”．
(1)若二次函数
2
y
x
存在“保值区间”，且当
0
x
时的一个“保值区间”为
0,t ，求t 的值；
(2)已知
,a b 为二次函数
2
4
5
y
x
x
的“保值区间”，且a
b
，求
5
1
a a
b
b
的值．
【答案】(1)
1
t
(2)16
【分析】（1）由当
0
x
时的一个保值区间为
0,t ，可得当x
t
时，
2t
t
，据此求解即可；
（2）由
,a b 为二次函数
2
4
5
y
x
x
的“保值区间”，可得
2
5
5
0
a
a
，
2
5
5
0
b
b
，所以a ，b 为关
于x 的一元二次方程
2
5
5
0
x
x
的根，求出
5
a
b
，
5
ab
，
2
5
5
a
a
，然后用整体代入法求解即可．
【详解】（1）解：∵
2
y
x
的二次项系数1 大于0，对称轴是直线
0
x
，
∴当
0
x
时，
2
y
x
随x 的增大而增大，
当
0
x
时的一个“保值区间”为
0,t ，且
0
t
，
当x
t
时，
2t
t
，
1
0
t
，2
1
t ．
又
0
t
∴
1
t ；
（2）解：
2
4
5
y
x
x
的二次项系数1 大于0，对称轴为直线
2
x
，
当
2
x
时，y 随x 的增大而增大，
,a b 为二次函数
2
4
5
y
x
x
的“保值区间”，
当x
a
时，
2
4
5
a
a
a
，
当x
b
时，
2
4
5
b
b
b
，
整理得
2
5
5
0
a
a
，
2
5
5
0
b
b
，
a
，b 为关于x 的一元二次方程
2
5
5
0
x
x
的根，
5
a
b
，
5
ab
，
2
5
5
a
a
，
∴原式
2
5
1
5
5
5
5
1
5
5
5 1
25
5
5 1 16
a
ab
b
a
b
a
b
．
41．（2026·福建漳州·模拟预测）抛物线
2
y
x
bx
c
经过点
,0
A
b
．
(1)求c 的值；
53 / 98
学科网（北京）股份有限公司
(2)已知B 是x 轴上方的抛物线上一点，BH
x
轴，垂足为H，且
OBH
BAO
．
①求证：
·
OH AH 为定值；
②若抛物线上有且仅有两个点C，D（异于点B），使得AOB
AOC
AOD
，
，
的面积相等，求该抛物线的函
数表达式．
【答案】(1)
0
c
(2)①证明：设
2
( ,
)
B n n
bn
，
点B 在x 轴上方，
2
0
n
bn
，
2
( ,
),
(
,0)
B n n
bn
A
b
，
2
,
,
OH
n BH
n
bn AH
n
b
，
tan
,tan
OH
BH
OBH
BAH
BH
AH
，
OBH
BAH
，
tan
tan
OBH
BAH
，
OH
BH
BH
AH
，
2
2
2
OH AH
BH
n
bn
，
2
2
n
n
b
n
bn
，
∴
2
n n
b
n n
b
2
0
BH
n
bn
n n
b
1
n n
b
1
BH
2
1
OH AH
BH
，为定值．
②抛物线的函数表达式为
2
2
y
x
x
或
2
2
y
x
x
【分析】（1）把点
,0
A
b
代入抛物线，即可求解；
54 / 98
学科网（北京）股份有限公司
（2）①设
2
( ,
)
B n n
bn
，则
2
,
,
OH
n BH
n
bn AH
n
b
，根据
OBH
BAH
，得到
tan
tan
OBH
BAH
，因此OH
BH
BH
AH
，从而可推出
2
n n
b
n n
b
，得到
1
n n
b
，即可证明
2
1
OH AH
BH
，为定值；
②根据同底三角形面积相等得点B，C，D 到x 轴的距离都相等，都等于
1
BH ，结合交点个数要求，利用
一元二次方程判别式求出b 的值，即可得到抛物线解析式．
【详解】（1）解：∵抛物线
2
y
x
bx
c
经过点
,0
A
b
，
∴
2
0
b
b
b
c
，
∴
0
c
．
（2）①略；
②∵AOB
AOC
AOD
，
，
的面积相等，且它们有公共边AO ，AO 在x 轴上，
∴点B，C，D 到x 轴的距离都相等，都等于
1
BH ，
∴点B，C，D 是直线
1
y 或直线
1
y
与抛物线的交点，
由方程组
2
1
y
y
x
bx
得
2
1
0
x
bx
，
∵
2
2
Δ
4
1
4
0
b
b
，
∴该方程总有2 个不同实根，对应抛物线上2 个点，其中一个为B，因此异于B 有1 个点满足条件．
由方程组
2
1
y
y
x
bx
得
2
1
0
x
bx
，
∵要求异于B 共有2 个点满足条件，
∴该方程有两个相等的实数根，
∴
2
2
Δ
4 1
4
0
b
b
，
解得
2
b ．
∴该抛物线的函数表达式为
2
2
y
x
x
或
2
2
y
x
x
．
42．（2026·福建福州·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线
2
3
y
ax
bx
交y 轴于点A ，且过点
1,2
B
，
3,0
C
．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)将抛物线向右平移
0
m m
个单位，当平移后抛物线经过点C 时，求m 的值．
55 / 98
学科网（北京）股份有限公司
【答案】(1)
2
1
1
3
2
2
y
x
x
；
(2)
5
m
．
【分析】（1）利用待定系数法，将B
C
、
两点坐标代入抛物线解析式，解方程组即可得到抛物线解析式；
（2）根据抛物线平移的“左加右减”规律得到平移后的解析式，将点C 坐标代入，解方程求出m 的值，再结
合
0
m
即可得到结果．
【详解】（1）解：把
1,2
B
，
3,0
C
代入
2
3
y
ax
bx
，
得
2
2
1
1
3
2
3
3
3
0
a
b
a
b
，
整理得
3
2
9
3
3
0
a
b
a
b
解得
1
2
1
2
a
b
，
∴抛物线的函数解析式为
2
1
1
3
2
2
y
x
x
；
（2）解：由1 得抛物线解析式为
2
1
1
3
2
2
y
x
x
，
∴
2
2
1
1
1
1
25
3
2
2
2
2
8
y
x
x
x
，
∵将抛物线向右平移
(
0)
m m
个单位，
∴根据平移规律，得到平移后的解析式为
2
1
1
25
2
2
8
y
x
m
，
∵平移后抛物线经过点
3,0
C
，
∴将
3
x
，
0
y
代入得
2
1
1
25
0
3
2
2
8
m
，
2
5
25
2
4
m
5
5
2
2
m
，
解得
1
0
m
，
2
5
m
，
∵
0
m
，
56 / 98
学科网（北京）股份有限公司
∴
5
m
．
43．（2026·福建厦门·模拟预测）如图，抛物线
2
y
ax
bx
c
与y 轴交于点
0,3
C
，顶点为D，对称轴为
直线
1
x ，点P 在抛物线上，点P 的纵坐标为2，过点P 作x 轴的平行线交抛物线于另一点M，交y 轴
于点E．若
DMP
△
的面积是
CMP
△
的面积的3 倍，求抛物线的解析式．
【答案】
2
2
4
3
y
x
x
【分析】先利用点C 坐标与对称轴为
1
x 求出
2
b
a
，再求出点D 的坐标，进而分别求出点C、D 到MP
的距离，利用
DMP
CMP
S
DF
S
CE
列出方程，求出a 、b 的值，从而求出抛物线的解析式．
【详解】解：如图，令直线
1
x 与MP 交于点F，
将点
0,3
C
代入抛物线
2
y
ax
bx
c
得：
3
c
，
抛物线
2
y
ax
bx
c
对称轴为
2
b
x
a
，
1
2
b
a
，
2
b
a
，
抛物线解析式为
2
2
3
y
ax
ax
，
将
1
x 代入
2
2
3
y
ax
ax
得：
2
1
2
1
3
3
y
a
a
a
，
1,3
D
a
，
PM
x
∥轴，点P 的纵坐标为2，
57 / 98
学科网（北京）股份有限公司
CE
MP
、DF
MP
，
3
2
1
CE
、
3
2
1
DF
a
a
，
抛物线的图象开口向下，
0
a
，
1
0
a
，
1
DF
a
，
1
2
3
1
2
DMP
CMP
MP
DF
S
DF
S
CE
MP CE
，
1
3
1
a
，
解得：
2
a ，
2
2
4
b
，
抛物线的解析式为
2
2
4
3
y
x
x
．
44．（2026·福建福州·三模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线
2
2
0
y
ax
bx
a
交x 轴于
1,0
A
，
4,0
B
两点，交y 轴于点C ，直线BC 交抛物线的对称轴于点D ．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)若点P 在x 轴下方的抛物线上运动，直线AP ，BP 分别交抛物线的对称轴于点M ，N ，当点M ，N 均
在点D 的下方时，试判断DM
DN
是否为定值？若是，求这个定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
2
1
3
2
2
2
y
x
x
(2) DM
DN
是定值，且
15
4
DM
DN
【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出直线BC 的解析式，进而求出D 点坐标，设
2
1
3
,
2
2
2
P n
n
n
，求出
,
M N 的坐标，进而求出
58 / 98
学科网（北京）股份有限公司
,
DM DN 的长，计算DM
DN
即可得到结论．
【详解】（1）解：
抛物线
2
2
0
y
ax
bx
a
交x 轴于
1,0
A
，
4,0
B
两点，
2
0
16
4
2
0
a
b
a
b
，
解得
1
2
3
2
a
b
，
抛物线的函数解析式为
2
1
3
2
2
2
y
x
x
；
（2）解：在
2
1
3
2
2
2
y
x
x
中，当
0
x
时，
2
y ，
0, 2
C
，
设直线BC 的解析式为y
kx
b
，则
4
0
2
k
b
b
，
解得
1
2
2
k
b
，
∴直线BC 的解析式为
1
2
2
y
x
，
抛物线的解析式为
2
1
3
2
2
2
y
x
x
对称轴为直线
3
3
2
1
2
2
2
x
，
在
1
2
2
y
x
中，当
3
2
x
时，
1
3
5
2
2
2
4
y
，
3
5
,
2
4
D
，
如图，设点
2
1
3
,
2
2
2
P n
n
n
，
59 / 98
学科网（北京）股份有限公司
设直线AP 的解析式为
1
0
y
k
x
k
，
将点P 的坐标代入，得
2
1
3
1
2
2
2
k
n
n
n
，
解得
1
4
2
k
n
，
直线AP 的解析式
1
4
1
2
y
n
x
，
在
1
4
1
2
y
n
x
中，当
3
2
x
时，
1
3
5
4
1
5
2
2
4
y
n
n
，
3 5
,
5
2 4
M
n
，
5
5
5
15
5
4
4
4
4
DM
n
n
．
同理可得直线BP 的解析式为
1
1
4
2
y
n
x
，
在
1
1
4
2
y
n
x
中，当
3
2
x
时，
1
3
5
5
1
4
2
2
4
4
y
n
n
，
3
5
5
,
2
4
4
N
n
，
5
5
5
5
4
4
4
4
DN
n
n
，
5
15
5
15
4
4
4
4
DM
DN
n
n
．
∴DM
DN
是定值，且
15
4
DM
DN
．
45．（2026·福建南平·二模）如图，二次函数
2
(
1)
y
x
m
x
m
（其中
1
m ）的图象与x 轴交于A、B 两
点，与y 轴交于点C．
(1)点B 的坐标为______，点C 的坐标为_______；
(2)若点D 为ABC 的外心，判断BCD 的形状并说明理由；
(3)若点D 为ABC 的外心，BCD 与ACO 的面积之比为5:8，求二次函数的表达式．
【答案】(1)
1,0 ，
0,m
(2)解：BCD 是等腰直角三角形，
60 / 98
学科网（北京）股份有限公司
理由：由（1）知点
1,0
B
，点
,0
A
m
，点
0,
C
m ，
∴OA
m
m
，OC
m
，
∴OA
OC
m
，
又∵
90
AOC
，
∴AOC 是等腰直角三角形，且
45
BAC
，
∵点D 为ABC 的外心，
∴DA
DC
DB
，即ABC 是
D的内接三角形，如图：
∴
2
90
BDC
BAC
，
∴BCD 是等腰直角三角形；
(3)
2
2
y
x
x
【分析】（1）在
2
(
1)
y
x
m
x
m
中，分别令
0
y
，
0
x
，即可求解；
（2）由（1）知点
1,0
B
，点
,0
A
m
，点
0,
C
m ，可得OA
OC
m
，易证AOC 是等腰直角三角形，
且
45
BAC
，根据点D 为ABC 的外心，得到ABC 是
D的内接三角形，利用圆周角定理可得
90
CDB
即可说明；
（3）由（2）得AOC
BCD
、
是等腰直角三角形，易证BCD
ACO
∽
，结合已知可得
2
2
5
8
BC
AC
，求出
2
2
2
2
2
,
1
AC
m
BC
m
，建立方程求解即可．
【详解】（1）解：在
2
(
1)
y
x
m
x
m
中，令
0
y
得
2
(
1)
0
x
m
x
m
，即
1
0
x
x
m
，
解得
1
1
x ，
2x
m
，
∴点
1,0
B
，点
,0
A
m
，
在
2
(
1)
y
x
m
x
m
中，令
0
x
得y
m
，
点
0,
C
m ；
（2）略
61 / 98
学科网（北京）股份有限公司
（3）解：由（2）得AOC
BCD
、
是等腰直角三角形，
∴BCD
ACO
∽
，
2
2
2
5
8
BCD
ACO
S
BC
BC
S
AC
AC
，
∵点
1,0
B
，点
,0
A
m
，点
0,
C
m ，
∴
2
2
2
2
2
,
1
AC
m
BC
m
，
∴
2
2
1
5
2
8
m
m
，
解得
2
m ，
∵
1
m ，
∴
2
m
；
∴二次函数的表达式为
2
2
y
x
x
．
46．（2026·福建泉州·二模）问题探究
定义：对于一个函数，若存在自变量
0x ，对应的函数值也等于
0x ，则称点
0
0
,
x x
为该函数图象上的一个“不
动点”．例如：对于一次函数
3
2
y
x
，当
1
2
x
时，
1
2
y
，则点1 1
,
2 2
为该函数图象上的一个“不动点”．请
你尝试探究下面问题．
(1)对于反比例函数
0
k
y
k
x
，求当k 满足什么条件时，该函数图象上存在“不动点”？
(2)已知二次函数
2
2
2
1
y
x
mx
m
m
（m 为常数）．
①求证：无论m 取何实数，该二次函数的图象上总有两个“不动点”；
②若点
1
1
,
P x x 和点
2
2
,
Q x
x
是该二次函数图象上的两个“不动点”．问线段PQ 的长是否与m 的取值有关？
【答案】(1)当k 满足
0
k 时，该函数图象上存在“不动点”
(2)①设
0
0
,
x x
是二次函数图象上的点，
则
2
2
0
0
0
2
1
x
x
mx
m
m
，
即
2
2
0
0
(2
1)
1
0
x
m
x
m
m
，
∵
2
2
2
Δ
4
2
1
4
1
5
0
b
ac
m
m
m
，
∴以上方程有两个不等实根，
即该二次函数的图象上总有两个“不动点”；
62 / 98
学科网（北京）股份有限公司
②线段PQ 的长与m 的取值无关
【分析】（1）设反比例函数图象上存在“不动点”
0
0
,
x x
，可得出
2
0
0
k
x
，问题得解；
（2）①设
0
0
(
,
)
x x
是二次函数图象上的点，将其代入二次函数解析式，即可得到关于
0x 的一元二次方程，再
根据方程的判别式判断根的情况，问题得解；
②由①得方程的两根
1x ，
2x ，根据根与系数的关系，可以列出
1
2
x
x
、
1
2
x x
的式子，再根据勾股定理表示
出PQ ，再代入
1
2
x
x
、
1
2
x x
的式子，即可求解．
【详解】（1）解：设反比例函数
0
k
y
k
x
的图象上存在“不动点”
0
0
(
,
)
x x
，即
0
0
x
，
则
0
0
k
x
x
，即
2
0
0
k
x
，
∴当k 满足
0
k 时，该函数图象上存在“不动点”；
（2）①略
②由①得方程的两根
1x ，
2x 满足
1
2
2
1
2
2
1
1
x
x
m
x x
m
m
，
∴
2
2
1
2
1
2
PQ
x
x
x
x
2
1
2
1
2
2
4
x
x
x
x
2
2
2
2
1
4
1
m
m
m
10
，
即线段PQ 的长与m 的取值无关．
47．（2026·福建三明·二模）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），
用20 米长的栅栏围成一个矩形花园ABCD（栅栏只围AB ，BC 两边）．
(1)若BC 比AB 长6 米，求AB 、BC 的长；
(2)若在墙角P 处有一棵树与墙CD 、AD 的距离分别是12米和6 米，要将这棵树围在花园内（含边界，不考
63 / 98
学科网（北京）股份有限公司
虑树的粗细），花园可以围出的最大面积是多少？
【答案】(1) AB 长7 米，BC 长13米
(2)花园可以围出的最大面积是
2
96m
【分析】（1）设AB 长x 米，依据BC 比AB 长6 米表示出BC 的代数式，再结合栅栏总长20 米列一元一次
方程，解方程得到AB 长后算出BC 长度；
（2）先设AB 为m 米，用总长表示BC ，根据树木位置列出m 的取值不等式确定取值范围，列出面积二次
函数，根据函数性质即可求出最大面积．
【详解】（1）解：设AB 长x 米，则BC 长
6
x
米，
根据题意，得：
6
20
x
x
，
解得
7
x
；
∴
6
13
x
；
答：AB 长7 米，BC 长13米；
（2）解：设AB 长m 米，则BC 长
20
m
米，
由题意得
6
20
12
m
m
，
解得6
8
m
，
∵花园面积
2
20
10
100
S
m
m
m
1
0
，
∴抛物线开口向下，
∵对称轴为
10
m
，
∴当6
8
m
时，S 随m 的增大而增大，
∴当
8
m
时，花园的面积取得最大值，
2
2
8 10
100
96
S
m
花园
，
答：花园可以围出的最大面积是
2
96m ．
48．（2026·福建三明·二模）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线
2
(
0)
y
ax
bx a
．
(1)当
2
x
时，y 随x 的增大而减小，当
2
x
时，y 随x 的增大而增大，用等式表示a 与b 关系，并说明理
由；
(2)若抛物线经过点
1,3
A
，
2,0
B
，且与直线y
x
在第一象限内交于点C ；D 为抛物线在第四象限的图
64 / 98
学科网（北京）股份有限公司
象上一点，是否存在这样的点D ，使得
2
ADC
OAC
S
S
△
△
？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理
由．
【答案】(1)
4
b
a
；理由如下：
抛物线
2
y
ax
bx
的对称轴为
2
2
b
b
x
a
a
，
0
a
，抛物线开口向上
又∵当
2
x
时，y 随x 的增大而减小，当
2
x
时，y 随x 的增大而增大，
∴抛物线的对称轴为直线
2
x
，即
2
2
b
a
，
4
b
a
．
(2)不存在，理由如下：
∵抛物线
2
y
ax
bx
经过点
1,3
A
、
2,0
B
．
∴
2
1
1
3
4
2
0
a
b
a
b
．
解得
1
2
a
b
．
∴抛物线的解析式为
2
2
y
x
x
．
∵抛物线与直线y
x
在第一象限内交于点C ，
∴联立，得
2
2
y
x
x
y
x
．
解得
0
x
（不符题意，舍去）或
3
x
，
∴
3
y
，
3,3
C
．
1,3
A
，
0,0
O
，
3,3
C
4
AC
，
1
1
3
4 3
6
2
2
OAC
S
AC
△
，
2
2 6
12
ADC
OAC
S
S
△
△
．
设
2
,
2
D t t
t
，且D 在第四象限，
0
t
，
2
2
0
t
t
．
65 / 98
学科网（北京）股份有限公司
∵直线AC 的解析式为
3
y
，点D 到直线AC 的距离为
2
2
3
2
3
2
t
t
t
t
，
2
1
4
3
2
12
2
ADC
S
t
t
△
．
化简：
2
2
3
0
t
t
．
∵
2
2
4 1 3
8
0
，
∴方程无实数根，
∴不存在这样的点D ．
【分析】（1）由抛物线的解析式得其对称轴为直线
2
2
b
x
a
，另一方面，由题意得抛物线的对称轴为直
线
2
x
，由此即可得a 与b 关系；
（2）由待定系数法可求得抛物线的解析式为
2
2
y
x
x
，从而可求出抛物线与直线y
x
在第一象限内交于
点C 的坐标，
OAC
S
与
ADC
S
的面积；设
2
,
2
D t t
t
，且D 在第四象限，
从而可表示
ADC
S
的面积，这样得到关于t 的一元二次方程，判断方程是否有解即可判断点D 是否存在．
【详解】（1）解：
4
b
a
；理由略；
（2）解：不存在；理由略．
49．（2026·福建泉州·二模）如图，已知二次函数
2
3
y
x
x
c
的图像与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交
于点C ，其中B 点坐标为
1,0 ．
(1)求c 的值；
(2)点P 是抛物线上第四象限的一动点，当
PAB
CAB
时，求线段AP 的长．
【答案】(1)
4
c
(2)6 2
【分析】（1）将
1,0
B
代入
2
3
y
x
x
c
中，进一步可得答案．
66 / 98
学科网（北京）股份有限公司
（2）如图，记点C 关于x 轴对称点为C，作直线AC交二次函数于点P ，此时
PAB
CAB
，求解点C
坐标为
0, 4
，直线AC解析式为
4
y
x
，再进一步求解即可．
【详解】（1）解：将
1,0
B
代入
2
3
y
x
x
c
中，
得
2
0
1
3 1
c
．
解得
4
c
；
（2）解：将
0
y
代入
2
3
4
y
x
x
中，得
∴
2
0
3
4
x
x
，
解得
1
4
x ，
2
1
x ，
∴点A 坐标为
4,0
，
将
0
x
代入
2
3
4
y
x
x
中，得
解得
4
y
，
∴点C 坐标为
0,4 ．
如图，记点C 关于x 轴对称点为C，作直线AC交二次函数于点P ，
此时
PAB
CAB
，
∵C 关于x 轴对称点为C．
∴点C坐标为
0, 4
．
设直线AC解析式为y
kx
b
，
将
4,0
A
、
0, 4
C
代入y
kx
b
，
得
0
4
4
k
b
b
，
67 / 98
学科网（北京）股份有限公司
解得
1
4
k
b
，
∴直线AC解析式为
4
y
x
．
联立方程
2
3
4
4
y
x
x
y
x
，
解得
1
1
4
0
x
y
，
2
2
2
6
x
y
，
∴点P 坐标为
2, 6
．
∴
2
2
2
4
6
0
6 2
AP
．
∴AP 的长为6 2 ．
50．（2026·福建泉州·模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线
2
0
y
ax
bx
c a
经过点O 和点
3,3
A
a ．
(1)求抛物线的对称轴；
(2)点M 是抛物线上的一点，且在直线OA 下方．过点M 作x 轴的垂线，垂足为P ，直线MP 交直线OA 于点
N ，设点P 为
,0
P t
．若MN 的长随OP 的长的增大而增大，求t 的取值范围．
【答案】(1)对称轴为直线
1
x
(2)
3
0
2
t
【分析】（1）将点
0,0
O
代入解析式得出
0
c
，进而代入
3,3
A
a 得出
2
b
a
，根据对称轴公式，即可求
解；
（2）根据题意得出
2
2
2
3
MN
at
at
at
at
at
，其中0
3
t
，进而根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：将点
0,0
O
代入，抛物线
2
y
ax
bx
c
，
可得
0
c
，
∴该抛物线解析式为
2
y
ax
bx
，
将点
3,3
A
a 代入，抛物线
2
y
ax
bx
，
可得3
9
3
a
a
b
，解得
2
b
a
；此时该抛物线为
2
2
y
ax
ax
，
∴该抛物线的对称轴为直线
2
1
2
2
b
a
x
a
a
；
68 / 98
学科网（北京）股份有限公司
（2）解：∵PM
x
⊥轴，
,0
P t
，
∴
M
N
x
x
t
，
将x
t
代入
2
2
y
ax
ax
，可得
2
2
y
at
at
，即
2
,
2
M t at
at
，
设直线OA的表达式为
0
y
kx k
，代入
3,3
A
a ，
那么3
3
a
k
，
∴k
a
，
∴直线OA为y
ax
，
将x
t
代入y
ax
，可得y
at
，即
,
N t at ，
∵抛物线位于直线下方，
∴
2
2
2
3
MN
at
at
at
at
at
，其中0
3
t
，
对于
2
3
MN
at
at
，
0
a
，则其图象开口向下，对称轴为直线
3
2
t
，
∵MN 的长随OP 的长的增大而增大，即MN 的长随t 的增大而增大，
∴t 的取值范围为
3
0
2
t
．
51．（2026·福建福州·模拟预测）如图，二次函数
2
y
ax
bx
c
的图象交x 轴于点A，点B，交y 轴于点
3
0, 2
C
．且a，b，c 满足
0
a
b
c
和9
3
0
a
b
c
，连接BC ．点P 是抛物线上一动点，且在直线BC 的
上方（不与B，C 重合）：
(1)求二次函数解析式；
69 / 98
学科网（北京）股份有限公司
(2)连接BP ，CP ，若
OCB
，
PBC
，求
cos
的取值范围．
【答案】(1)
2
1
3
2
2
y
x
x
(2)
5
2 5
cos
5
5
【分析】（1）根据待定系数法求解即可；
（2）待定系数法求出直线BC 的表达式为
1
3
2
2
y
x
，过点P 作PR
x
轴于点R ，交BC 于点Q ，设点P 的
坐标为
2
1
3
,
2
2
m
m
m
，则点Q 的坐标为
1
3
,
2
2
m
m
，根据PR
x
轴，PR
y
∥
轴，推出
BQR
PBC
BPR
，在Rt
BRP
△
中，由
tan
tan
BR
BPR
PR
，求
tan
的取值范围，
然后根据三角函数的定义求出
cos
的取值范围即可．
【详解】（1）解：依题意，得
3
2
c
．二次函数的图象经过点
1,0
A
和点
3,0
B
，
∴二次函数的表达式可写为
1
3
0
y
a x
x
a
．
∵点
3
0, 2
C
在抛物线上，
3
0 1 0
3
2
a
，
解得
1
2
a
，
∴二次函数的表达式为
2
1
1
3
1
3
2
2
2
y
x
x
x
x
．
（2）解：设直线BC 的表达式为
0
y
kx
n k
，把点
3,0
B
和点
3
0, 2
C
代入，得：
3
0
3
2
k
n
n
，
解得：
1
2
3
2
k
n
，
∴直线BC 的表达式为
1
3
2
2
y
x
；
过点P 作PR
x
轴于点R ，交BC 于点Q ，
70 / 98
学科网（北京）股份有限公司
设点P 的坐标为
2
1
3
,
2
2
m
m
m
，则点Q 的坐标为
1
3
,
2
2
m
m
，
PR
x
轴，
OCB
，
PBC
，
PR
y
∥轴，
,0
R m
，
BQR
OCB
．
BQR
PBC
BPR
．
3,0
B
，
,0
R m
，
2
1
3
,
2
2
P m
m
m
，
3
BR
m
，
2
1
3
2
2
PR
m
m
，
在Rt BRP 中，
2
3
2
tan
tan
1
3
1
2
2
BR
m
BPR
PR
m
m
m
．
0
3
m
，
1
2
2
2
1
m
，
1
tan
2
2
．
当
1
tan
2
时，
1
2
BR
PR
，
2
PR
BR
，
2
2
5
BP
BR
PR
BR
，
2 5
cos
5
PR
BP
，
同理当
tan
2
时，
5
cos
5
，
5
2 5
cos
5
5
．
52．（2026·福建泉州·模拟预测）综合与实践
为了落实阳光体育运动，学校计划开展跳绳比赛，某数学项目组决定协助跳绳比赛筹备组对多人跳绳的站
队方式进行了相关研究．
【数学模型】
71 / 98
学科网（北京）股份有限公司
如图1 是甲，乙两人甩绳子的示意图，当绳子甩到最高处时，其形状可近似看作一条抛物线（如图2 所示）．
【实践操作】
第一步：选两名身高基本相同的男同学为持绳手，量得两人拿绳子的手离地面的高度都为1米，并且两人相
距6 米；
第二步：当绳子甩到最高点时，最高点距地面的垂直距离为2 米；
第三步：现以两人的站立点所在的直线为x 轴，过甲拿绳子的手作x 轴的垂线为y 轴，建立如图2 所示的平
面直角坐标系．
【问题解决】：
(1)求绳子甩到最高处时所对应的抛物线的函数表达式；
(2)当绳子甩到最高处时，试通过计算说明身高1.50米的小明，从乙的左侧距离乙1.5米处进入跳绳游戏，能
否顺利通过？
(3)现有5 位同学身高如下（单位：米）：1.78，1.68，1.59 ，1.76 ，1.80，并按如图1将这5 位同学与两位摇
绳人并排一列方式同时起跳，为了确保安全，要求相邻两人的间距至少为0.5米．当这5 位同学同时落地时，
绳子能否顺利甩过所有队员的头顶？若能，请写出一种队列方案；若不能，请说明理由．
【答案】(1)
2
1
2
1
9
3
y
x
x
(2)解：小明能顺利通过，理由如下：
由条件可知，小明同学进入跳绳位置的横坐标为6 1.5
4.5
，
当
4.5
x
时，
2
1 4.5
3
2
1.75
9
y
，
1.75
1.50
，
∴小明能顺利通过．
(3)绳子能顺利甩过所有队员的头顶，方案：这5 位同学相邻两人的间距都为0.5米，且身高1.80的同学排在
抛物线对称轴的位置，身高1.78和1.76两位同学排在身高1.80同学的前后，身高1.68和1.59两位同学排在两
端（除最高同学外的四位同学的位置不唯一），如：可按1.59，1.76，1.80，1.78，1.68的顺序排成一列
【分析】（1）绳子甩到最高处时所对应的抛物线表达式为
2
3
2
y
a x
，用待定系数法求解即可；
（2）由
4.5
x
时求出其相应的函数值，进一步与1.5进行比较即可确定结论；
（3）由自变量的值求出函数值，再逐一比较便可得出结论．
【详解】（1）解：由已知条件可知该抛物线过点
0,1 ，顶点坐标为
3,2 ，
∴设该抛物线的表达式为
2
3
2
y
a x
，
72 / 98
学科网（北京）股份有限公司
将
0,1 代入，得9
2
1
a
，解得
1
9
a
，
∴绳子甩到最高处时所对应的抛物线表达式为
2
1
3
2
9
y
x
，
即
2
1
2
1
9
3
y
x
x
．
（2）略
（3）解：绳子能顺利甩过所有队员的头顶，方案如下：
这5 位同学相邻两人的间距都为0.5米，且身高1.80的同学排在抛物线对称轴的位置，身高1.78和1.76两位
同学排在身高1.80同学的前后，身高1.68和1.59 两位同学排在两端（除最高同学外的四位同学的位置不唯一），
如：可按1.59 ，1.76 ，1.80，1.78，1.68的顺序排成一列．
∵将
3
x
代入
2
1
2
1
9
3
y
x
x
得
2
1.80
y
，
∴绳子能顺利甩过身高1.80同学的头顶．
∵将
5
2
x
代入
2
1
2
1
9
3
y
x
x
得
71
1.97
1.78
1.76
36
y
，
∴绳子能顺利甩过身高1.78和1.76两位同学的头顶，
∵将
2
x
代入
2
1
2
1
9
3
y
x
x
得
17
1.89
1.68
1.59
9
y
，
∴绳子能顺利甩过1.68和1.59两位同学的头顶，
∴按这种队列方案能使绳子顺利甩过所有队员的头顶．
53．（2026·福建三明·三模）已知二次函数
2
5
3
0
y
ax
a
x
a
．
(1)求证：该二次函数的图象与x 轴总有两个交点；
(2)若该二次函数图象的对称轴是直线
2
x
，且此对称轴与该二次函数图象交于点A ．
①求该二次函数的解析式；
②直线
2
3
y
kx
k
与该二次函数图象交于点M 、N ，当AMN 的面积为10时，求此直线的解析式．
【答案】(1)证明：令
0
y
得：
2
5
3
0
ax
a
x
，
判别式为
2
5
4
3
a
a
2
10
25 12
a
a
a
2
2
1
24
a
a
2
1
24
a
，
2
1
0
a
，
73 / 98
学科网（北京）股份有限公司
2
1
24
24
a
，
该二次函数的图象与x 轴总有两个交点；
(2)①
2
4
3
y
x
x
；②
3
9
y
x
或
3
3
y
x
【分析】本题考查二次函数与一次函数的综合、一元二次方程根与系数关系，熟练掌握二次函数的性质是
解题的关键．
（1）令
0
y
得到一元二次方程，求出其判别式，利用完全平方公式进行证明即可；
（2）①利用二次函数的对称轴列出方程，求出a 的值，从而求出二次函数解析式；
②求出A 点的坐标，根据题意可知，直线
2
3
y
kx
k
恒过定点
2, 3
P
，求出AP 长，设
1
1
,
M x y 、
2
2
,
N x y
，则
1
2
1
2
AMN
S
AP x
x
，进而求出
1
2
5
x
x
，联立直线和二次函数解析式，利用根与系数关
系求出
1
2
x
x
的表达式，从而求出k 的值．
【详解】（1）略；
（2）解：①二次函数
2
5
3
y
ax
a
x
的对称轴为
5
2
a
x
a
5
2
2
a
a
解得：
1
a
二次函数表达式为
2
2
1 5
3
4
3
y
x
x
x
x
；
②当
2
x
时，
2
2
4
2
3
7
y
，
2, 7
A
，
由题意得：直线
2
3
2
3
y
kx
k
k x
，
直线
2
3
y
kx
k
恒过定点
2, 3
P
，
定点P 在对称轴
2
x
上，
3
7
4
AP
，
设
1
1
,
M x y 、
2
2
,
N x y
，
1
2
1
2
AMN
APM
APN
S
S
S
AP x
x
，
1
2
1 4
10
2
x
x
，
1
2
5
x
x
，
74 / 98
学科网（北京）股份有限公司
联立
2
4
3
2
3
y
x
x
y
kx
k
，
整理得：
2
4
2
0
x
k
x
k
，
由根与系数关系得：
1
2
4
4
x
x
k
k
，
1
2
2
x x
k
，
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
4
x
x
x
x
x x
x
x
x x
，
2
2
4
4
2
5
k
k
，
整理得：
2
16
25
k
，
解得：
3
k
或
3
k ，
此直线的解析式为
3
2 3 3
3
9
y
x
x
或
3
2
3
3
3
3
y
x
x
．
54．（2026·福建莆田·模拟预测）某数学兴趣小组进行数学活动，如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标
是
0,2 ．在x 轴上任取一点M，完成下列作图步骤：
步骤一：连接AM ，作线段AM 的垂直平分线1l ，过M 作x 轴的垂线2l ，记1
2
,
l l 的交点为P．
步骤二：在x 轴上多次取点
1
2
,
,
M M M
的位置，按步骤一操作得到相应的点
1
2
,
,
P P P
，把点
1
2
,
,
P P
用
平滑的曲线连接起来，得到曲线L．
(1)小组成员小明取点
1
2
3
4
,
,
,
,
M
M
O M
M ，且利用网格作出点
1
M 所对应的点
1P ，请你作出点
2
3
4
,
,
,
M
O M
M 分
别所对应的点
2
5
3
4
,
,
,
P P P P ，并把这些点用平滑的曲线连接起来，猜想：曲线L 是一条____________________；
(2)设
,
P x y ，求y 关于x 的函数解析式；
(3)该兴趣小组进一步研究发现：
,
2
C c kc
，
,
2
D d kd
是曲线L 上不同的两点
0,
k
c
d
，直线
2
3
,
P C P D
75 / 98
学科网（北京）股份有限公司
相交于点Q，无论C，D 在曲线L 上如何运动，
5
3
5
2
3
,
,
AQP
PQP
P PQ 中必存在面积为定值的三角形．请指
出面积为定值的三角形，并求该定值．
【答案】(1)如图所示，点
2P ，
5P ，
3P ，
4P 和曲线L 为所求：
猜想：曲线L 是一条抛物线
(2)
2
1
1
4
y
x
(3)
2
3
P PQ 是面积为定值的三角形，定值为4
【分析】（1）根据图象的基本特征，有最低点，有对称性，不是直线，也不是双曲线，由此特点可以猜想
其图像是抛物线；
（2）设
,
P x y ，根据垂直平分线性质，得
2
2
2
0
2
x
y
y
，化简即可得到关于x 的函数解析式；
（3）根据已知条件得出c，d 为关于x 的方程
2
4
4
0
x
kx
的两根，利用韦达定理得出
4
c
d
k
，
4
cd ，
分别求出直线
2PC 和
3P D 的解析式，联立两个解析式求得点Q 的坐标，从而得出
2 3
2
2 3
1
1
2 4
4
2
2
P P Q
P
S
y
P P
△
为定值．
【详解】（1）略
（2）解：根据线段垂直平分线的性质，得PA
PM
，
∵
,
P x y ，
0,2
A
，
∴
2
2
2
0
2
x
y
y
，
整理，得
2
4
4
x
y
，
∴
2
1
1
4
y
x
．
（3）解：∵点C，D 在曲线L 上，
76 / 98
学科网（北京）股份有限公司
∴
2
1
,
1
4
C c
c
，
2
1
,
1
4
D d
d
，
∴
2
2
1
1
2
4
1
1
2
4
c
kc
d
kd
，
∴
2
2
4
4
0
4
4
0
c
kc
d
kd
，
∴c，d 为关于x 的方程
2
4
4
0
x
kx
的两根，
由韦达定理可知，
4
c
d
k
，
4
cd ，
设
2PC 的解析式为y
mx
n
，
将点
2 2,2
P
，
2
1
,
1
4
C c
c
代入得：
2
1
1
4
2
2
c
mc
n
m
n
，
解得：
1
2
4
1
1
2
m
c
n
c
，
∴
2PC 的解析式为
1
1
1
2
1
2
2
2
4
2
4
y
c
x
c
c
x
，
设
3P D 的解析式为y
sx
t
，
将点
3
2,2
P
，
2
1
,
1
4
D d
d
代入得：
2
1
1
4
2
2
d
ds
t
s
t
，
解得：
1
2
4
1
1
2
s
d
t
d
，
∴
3P D 的解析式为
1
1
1
2
1
2
2
2
4
2
4
y
d
x
d
d
x
，
联立
1
2
2
2
4
1
2
2
2
4
y
c
x
y
d
x
，
整理得：
2
2
2
2
c
x
d
x
，
∴
2
2
4
Q
c
d
x
c
d
，
1
2
2
2
2
2
0
4
4
Q
c
d
y
c
c
d
，
∴
2 3
2
2 3
1
1
2 4
4
2
2
P P Q
P
S
y
P P
△
为定值．
77 / 98
学科网（北京）股份有限公司
55．（2026·福建三明·模拟预测）已知二次函数
2
y
ax
bx
c
（
0
a
）的图象与x 轴交于
1,0
A
、B 两
点，与y 轴交于点C ，其对称轴为直线
1
x ．
(1)当
1
a 时，求该二次函数的表达式；
(2)求证：5
<0
a
c
；
(3)若点C 的坐标为
0,3 ，且点P 为直线BC 上方的抛物线上的一点，过点P 作PD
y 轴，交直线BC 于点D ．
①若以C ，P ，D 为顶点的三角形与BOC 相似，请求出所有满足条件的点P 的坐标；
②是否存在点P ，使得
45
PBC
ACO
？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
2
2
3
y
x
x
(2)证明：∵该二次函数图象经过
1,0
A
，
0
a
b
c
．
∵该二次函数图象的对称轴为直线
1
x ，
1
2
b
a
，即
2
b
a
．
2
0
a
a
c
，即3
0
a
c
．
5
3
2
2
a
c
a
c
a
a
又
0
a
Q
，
5
3
2
2
0
a
c
a
c
a
a
．
(3)①
1,4
P
或
2,3
P
；②P 的坐标为
2,3
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据抛物线的对称性，结合已知，化简证明即可；
78 / 98
学科网（北京）股份有限公司
（3）①设
2
,
2
3
P m
m
m
，
,
3
D m
m
，根据三角形的相似，分类求解即可；
②过点C 作CE
PB
∥
交OB 于点E ．利用解方程组的方法求解即可；
【详解】（1）解：当
1
a 时，
2
y
x
bx
c
．
∵该二次函数图象与x 轴交于
1,0
A
、B 两点，且对称轴为直线
1
x ，
1
1
2
B
x
，解得：
3
B
x
，即
3,0
B
．
将
1,0
A
和
3,0
B
代入
2
y
x
bx
c
得：
0
1
0
9
3
b
c
b
c
，
解得：
2
3
b
c
．
∴当
1
a 时，该二次函数的表达式为
2
2
3
y
x
x
．
（2）略
（3）①解：∵该二次函数图象经过
1,0
A
，
3,0
B
，
0,3
C
，
∴二次函数表达式为
2
2
3
y
x
x
，
设直线BC 的解析式为y
kx
p
，
将
3,0
B
，
0,3
C
代入直线BC 的解析式得：
3
0
3
k
p
p
，
解得
1
3
k
p
，
直线BC 表达式为
3
y
x
．
又
PD
y 轴，
设
2
,
2
3
P m
m
m
，
,
3
D m
m
，
2
2
0
3 3
2
CD
m
m
m
，
2
3
P
D
PD
y
y
m
m
．
当DCP
BOC
∽
时，有PD
CD
BC
OB
，即
2
3
2
3
3 2
m
m
m
．
解得：
0
m
（不符合题意，舍去）或
1
m ．
79 / 98
学科网（北京）股份有限公司
1,4
P
．
当CPD
BOC
∽
时，有CD
PD
BC
OC
，即
2
2
3
3
3 2
m
m
m
．
解得：
0
m
（不符合题意，舍去）或
2
m
．
2,3
P
．
②过点C 作CE
PB
∥
交OB 于点E ．
CE
PB
∥
Q
，
ECB
PBC
．
45
PBC
ACO
Q
，
45
ECB
ACO
，
0,3
C
，
3,0
B
，
OB
OC
，
45
BCO
CBO
，
45
ECB
ECO
ACO
ECO
．
又
90
AOC
EOC
，OC
OC
，
AOC
EOC
△
≌△
（ASA ）．
1
OA
OE
．
1,0
E
．
设直线CE 的解析式为y
mx
n
，由点
0,3
C
，
1,0
E
可得：
0
3
k
b
b
，解得：
3
3
k
b
，
∴直线CE 表达式为
3
3
y
x
．
CE
PB
∥
Q
，且
3,0
B
∴同理可得：直线PB 表达式为
3
9
y
x
．
80 / 98
学科网（北京）股份有限公司
∵点P 在
2
2
3
y
x
x
和
3
9
y
x
上，
2
2
3
3
9
y
x
x
y
x
．
解得
2
3
x
y
或
3
0
x
y
（不符合题意，舍去）．
∴存在点P ，使得
45
PBC
ACO
．P 的坐标为
2,3 ．
56．（2026·福建漳州·模拟预测）阅读、综合与应用．
【阅读材料】在初中数学的学习中，我们已经知道一元二次方程
2
0
0
ax
bx
c
a
的根与系数的关系（韦
达定理）：若一元二次方程
2
0
0
ax
bx
c
a
的两根为
1x ，
2x ，则
1
2
b
x
x
a
，
1
2
c
x
x
a
．这一结论可
以帮助我们在不解方程的情况下，快速得到根与系数的关系，为解决复杂的数学问题提供了有力的工具．当
我们将研究范围从二次方程拓展到更高次的方程时，会发现类似的规律依然存在．下面，我们就来进一步
探究，感受数学知识的连贯性与拓展性．对于一般的一元三次函数
3
2
0
ax
bx
d a
f x
cx
，当
0
f x
时，我们得到一个一元三次方程
3
2
0
0
ax
bx
cx
d
a
．这个方程总有三个根（重根按重数计
算），记为
1x ，
2x ，
3x ，这三个根与系数a，b，c，d 之间存在着必然的联系．
推广1：若一元三次方程
3
2
0
0
ax
bx
cx
d
a
的三个根分别为
1x ，2x ，3x ，则三次多项式
3
2
ax
bx
cx
d
可以因式分解为
1
2
3
a x
x
x
x
x
x
，即
3
2
1
2
3
ax
bx
cx
d
a x
x
x
x
x
x
．
推广2：一般地，对于一元三次方程
3
2
0
0
ax
bx
cx
d
a
，如果它的三个根分别为
1x ，
2x ，
3x ，那么
1
2
3
1
2
1
3
2
3
1
2
3
,
,
b
c
d
x
x
x
x x
x x
x x
x x x
a
a
a
．
拓展1：图象的对称性我们知道，二次函数的图象是一条抛物线，具有轴对称性．三次函数的图象是一条连
续的曲线，它具有中心对称性．也就是说，在平面直角坐标系中，总能找到一个点，使得整个三次函数的
图象关于这个点对称，这个点叫做三次函数的对称中心．经过数学研究发现，对于一个三次函数
3
2
0
ax
bx
d a
f x
cx
，其对称中心的坐标为
,
3
3
b
b
f
a
a
．
拓展2：超级韦达定理对于任意实数p，我们可以构造一个表达式
1
2
3
p
x
p
x
p
x
，通过展开和代换，
可以发现它与原三次函数
f
p 有着直接的联系，即
1
2
3
f
p
p
x
p
x
p
x
a
，这个公式在处理与根
的差相关的乘积问题时，能起到化繁为简的神奇作用．
81 / 98
学科网（北京）股份有限公司
【问题解决】请根据以上阅读材料，解答下列问题：
(1)已知方程
3
2
6
11
6
0
x
x
x
的三个根分别为
1x ，
2x ，
3x ．
①求三次函数
3
2
6
11
6
f x
x
x
x
的图象的对称中心的坐标；
②不解方程，求
1
2
3
2
2
2
x
x
x
的值．
(2)已知三次函数
3
2
0
ax
bx
d a
f x
cx
的图象关于点
2,3 中心对称，且
0
1
f
，求d 的值，并分
别用含a 的式子表示b，c．
(3)证明推广2 的结论．
【答案】(1)(2,0) ，0 ；
(2)
1
d ，
6
b
a
，
8
1
c
a
；
(3)见解析
【分析】（1）①根据拓展1 的结论计算即可；
②根据拓展2 的结论计算即可；
（2）根据拓展1 的结论进行反推得到
6
b
a
，
2
8
4
2
3
f
a
b
c
d
，根据
0
1
f
求出
1
d ，即可得
到
8
1
c
a
；
（3）先计算
1
2
3
a x
x
x
x
x
x
，由
3
2
1
2
3
ax
bx
cx
d
a x
x
x
x
x
x
可知左右多项式对应同
类项系数相等，进而列等式计算即可．
【详解】（1）解：①根据材料给出的结论：三次函数
3
2
0
f x
ax
bx
cx
d a
的对称中心为
,
3
3
b
b
f
a
a
，
∴三次函数
3
2
6
11
6
f x
x
x
x
的图象的对称中心的横坐标为
6
2
3
3 1
b
a
，纵坐标为
3
2
2
2
6 2
11 2
6
0
f
，
即对称中心坐标为(2,0) ；
②∵
1
2
3
f
p
p
x
p
x
p
x
a
，
∴
1
2
3
2
0
2
2
2
0
1
1
f
x
x
x
；
（2）解：∵对称中心为(2,3) ，
82 / 98
学科网（北京）股份有限公司
∴
2,
3
3
3
b
b
f
a
a
，
∴
6
b
a
，
2
8
4
2
3
f
a
b
c
d
，
∵
0
1
f
d
，
∴
8
4
6
2
1
3
a
a
c
，
即
8
1
c
a
；
（3）证明：
1
2
3
a x
x
x
x
x
x
3
2
1
2
3
1
2
1
3
2
3
1
2
3
a x
x
x
x
x
x x
x x
x x
x
x x x
3
2
1
2
3
1
2
1
3
2
3
1
2
3
ax
a x
x
x
x
a x x
x x
x x
x
ax x x
由推广1 可知，对任意实数x ，恒有等式
3
2
1
2
3
ax
bx
cx
d
a x
x
x
x
x
x
，
则
1
2
3
b
a x
x
x
，
1
2
1
3
2
3
c
a x x
x x
x x
，
1
2
3
d
ax x x
解得：
1
2
3
b
x
x
x
a
，
1
2
1
3
2
3
c
x x
x x
x x
a
，
1
2
3
d
x x x
a
．
57．（2026·福建泉州·三模）【提出问题】
全民参与文体活动日渐流行，某小区开发商打算在售楼处原址新建一栋多层文体活动中心．为了保障居民
的生活质量，开发商与居民达成一致：规划建筑时，保证全部居民全年采光．
【分析问题】
工作人员通过查阅资料、实地测量，获得如下的信息：
材料一：根据《建筑设计防火规范GB50016 — 2014（2018）》规定，小区围栏与活动中心之间还要留出至
少9 m 的距离作为消防疏散通道；
材料二：小区围栏与住宅楼之间的距离
45m
AB
，小区围栏
40m
BC
，活动中心就建在这个矩形ABCD区
域内，其中建筑面积长宽层数，如图1所示；
材料三：为了保证后排建筑物在冬季能获得足够的光照，楼间距的设计需要以当地冬至日正午太阳高度角
（太阳高度角是指太阳光线与地平面的夹角）为依据，冬至日是北半球太阳高度角最小的时候，如果此时
前排建筑物的阴影不会遮挡后排建筑物的底层窗户（距离地面0.9 m ），那么在其他季节就更能保证采光，
每个地区的冬至日正午太阳高度受到所在纬度的影响，若该地冬至日正午太阳高度角为，如图2 所示．
83 / 98
学科网（北京）股份有限公司
【解决问题】
(1)经实地测量，在冬至日正午测得该小区一棵高度为1.8 m 的小树影长为3 m，则tan________；（请以
该太阳高度角为依据解决以下问题）
(2)若给定文体活动中心建筑方案如下，请填表并判断该方案是否合理．
层数
单层楼高/m
楼长/m
楼宽/m
建筑面积
2
/m
楼间距/m
2
4
40
28
(3)在文体活动中心建筑单层楼高为4 m 且保证居民全年采光的前提下，将该建筑面积尽可能建大一点，请
给出方案（结果精确到0.1m ）．
(4)在保证居民全年采光，建筑面积尽可能建大一点的前提下，若记文体活动中心的建筑面积为S ，单层楼
高为h ，层数为n ，直接写出等式表示S ，h ，n 之间的数量关系．
【答案】(1) 3
5 ；
(2)
层数
单层楼高/m
楼长/m
楼宽/m
建筑面积
2
/m
楼间距/m
2
4
40
28
2240
8
该方案不合理；
(3)
层数
单层楼高/m
楼长/m
楼宽/m
建筑面积
2
/m
楼间距/m
3
4
40
17 5.
2100
18.5
84 / 98
学科网（北京）股份有限公司
(4)
2
200
1500
3
S
hn
n
．
【分析】1 由tan
树高
小树影长即可求解；
2 根据题意可得建筑面积40 28 2
，楼高为2 4
，通过乘法法则即可求解，由题意得
8m
FI
、
0.9m
GI
、
7.1
FG
m
，，再通过三角函数求出
11.8
8
EG
，从而求解；
3 设层数为n ，则楼间距4
0.9
20
3
tan
3
2
n
n
，楼宽
20
3
20
45
9
37.5
3
2
3
n
n
，则
2
800
1500
3
S
n
n
，
然后通过二次函数的性质即可求解；
4 由单层楼高为h ，层数为n ，则楼间距5
3
3
2
hn
m
，楼宽
5
37.5
3 hn
m
，所以
2
200
1500
3
S
hn
n
．
【详解】（1）解：
1.8
3
tan
3
5
树高
小树影长
，
故答案为：3
5 ；
（2）解：该方案不合理，理由如下：
∵建筑面积长宽层数，
∴建筑面积
2
40
28 2
2240 m
，楼高为
2 4
8 m
，楼间距为
45
9
28
8 m
填表略，
如图，
8m
FI
，
0.9m
GI
，
∴
8
0.9
7.1
FG
m
，
在Rt
ABC
△
中，tan
tan
FG
FEG
EG
，
∴3
7.1
5
EG
，
∴
11.8
8
EG
，
∴该方案不合理；
85 / 98
学科网（北京）股份有限公司
（3）解：设层数为n ，则楼间距
4
0.9
4
0.9
20
3
3
tan
3
2
5
n
n
n
，楼宽
20
3
20
45
9
37.5
3
2
3
n
n
，
∴
2
20
800
40
37.5
1500
3
3
S
n
n
n
n
，
∵
800
0
3
，
∴当
1500
45
800
16
2
3
n
时，S 最大，
∵n 是正整数，
∴当
3
n
时，
∴楼间距
20
3
3
18.5
3
2
m
，楼宽
20
3
37.5
17.5
3
m
，建筑面积
2
40 17.5 3
2100 m
，
方案略；
（4）解：∵单层楼高为h ，层数为n ，
∴楼间距
0.9
0.9
5
3
3
tan
3
2
5
hn
hn
hn
m
，楼宽
5
3
5
45
9
37.5
3
2
3
hn
hn
m
，
∴
2
2
5
200
40
37.5
1500
3
3
S
hn
n
hn
n m
．
58．（2026·福建漳州·模拟预测）【数学文化阅读】
我国南宋时期著名数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，其实质是根据三角形的三边长来求三
角形的面积．古希腊数学家海伦也有类似的公式，因此这个公式常被称为海伦— 秦九韶公式．它是解决“已
知三角形三边长求面积”问题的经典公式，具体形式为：若一个三角形的三边长分别为a ，b ，c ，记
2
a
b
c
p
（p 为三角形周长的一半，即半周长），则三角形的面积
S
p p
a
p
b
p
c
．
(1)【数学理解】已知一个三角形的三边长分别为5 ，6 ，7 ，请求出该三角形的面积．
(2)【数学应用】小明在研究该公式时发现，当三角形三边长为连续整数时，面积公式可简化．设三角形三
边长分别为
1
n ，n ，
1
n （
2
n
且n 为整数）．
①试用含n 的代数式表示该三角形的面积S ，并化简；
②若该三角形的面积为整数，求n 的最小值．
(3)【拓展探究】某公园计划借助一面围墙，用一段长20 米的篱笆围一个三角形花圃．测得所用围墙的长度
8
c
米，用篱笆围成的两边长分别为a ，b ，且
20
a
b
米．设该三角形花圃的面积为S ，请求出S 的最大
值，并判断此时围成的三角形花圃是否为特殊三角形．
【答案】(1)6 6 ；
小学
初中
86 / 98
学科网（北京）股份有限公司
(2)①
2
3
4
4
n
n
S
；②n 的最小值为4 ；
(3)S 的最大值为8 21平方米，此时围成的三角形花圃是等腰三角形．
【分析】（1）直接代入公式计算即可；
（2 ）①代入公式化简得到面积表达式；
②根据整数要求验证得到最小的n ；
（3 ）先整理得到S 关于ab 的表达式，再利用二次函数性质得到ab 的最大值，进而求出S 的最大值，最后
判断三角形形状．
【详解】（1）解：已知三角形三边长
5
a
，
6
b
，
7
c
，
根据公式得
5
6
7
9
2
p
，
∴
9
9
5
9
6
9
7
216
6 6
S
p p
a
p
b
p
c
；
（2）解：①三角形三边长为
1
n ，n ，
1
n ，则
(
1)
(
1)
3
2
2
n
n
n
n
p
，
∴
3
2
1
1
2
2
n
n
p
n
n
，
3
2
2
n
n
p
n
n
，
3
2
1
1
2
2
n
n
p
n
n
，
∴
2
2
2
3
4
3
4
3
2
2
2
2
2
2
16
4
n
n
n
n
n n
n n
S
p p
a
p
b
p
c
；
②∵
2
n
且n 为整数，要使
2
3
4
4
n
n
S
为整数，
∴当
3
n
时，
3 15
4
S
，不是整数，
当
4
n
时，
4 3
16
4
36
6
4
S
，是整数，
∴n 的最小值为4 ；
（3）解：∵
8
c
，
20
a
b
，
∴
20
8
14
2
2
a
b
c
p
，
∴
14
8
6
p
c
，
14
14
196 14
196
280
84
a
b
a
b
ab
ab
ab
，
∴
14 6
84
84
84
S
ab
ab
，
又
20
a
b
，则
20
b
a
，
∴
2
2
20
20
(
10)
100
ab
a
a
a
a
a
，
87 / 98
学科网（北京）股份有限公司
∴当
10
a
时，ab 的最大值为100，此时
10
b
，
将
100
ab
代入得
84
100
84
8 21
S
（平方米），
此时
10
a
b
，
∴该三角形是等腰三角形，
答：S 的最大值为8 21平方米，此时围成的三角形花圃是等腰三角形．
59．（2026·福建厦门·一模）已知二次函数：
2
y
ax
bx
c
部分自变量x 的值与y 的值如下表．
x
1
2
3
y
0
m
0
(1)直接写出该二次函数的对称轴；
(2)若
3
d ，当x
d
时，
1
y
，求a 的取值范围；
(3)点A ，B 是该二次函数与x 轴的交点，点M 在该二次函数的对称轴上，当
3
c
时，试问该二次函数上
是否存在点N ，使得以A ，B ，M ，N 四点为顶点的四边形为菱形，若存在求出所有N 的坐标，若不存在，
请说明理由．
【答案】(1)直线
2
x
(2)
0
a
(3)存在，点N 的坐标为
0,
3 ，
4, 3 ，
3
2,
3
【分析】（1）根据二次函数图像对称性，纵坐标相等的两个点关于对称轴对称，可直接计算对称轴
（2）先写出二次函数交点式，代入点坐标，根据
3
d 判断乘积符号，进而得到a 的取值范围；
（3）先根据c 的值求出二次函数解析式，再分AB 为菱形的边和AB 为菱形的对角线两种情况，结合菱形的
性质计算点N 坐标，验证是否在抛物线上得到结果
【详解】（1）解：由表格可知，二次函数图像经过点(1,0) 和(3 0)
, ，两点纵坐标相同，
因此两点关于对称轴对称.因此对称轴为直线
1 3
2
2
x
.
（2）解：设二次函数解析式为
1
3
y
a x
x
，
将x
d
，
1
y
代入得
1
3
1
a d
d
88 / 98
学科网（北京）股份有限公司
3
d
1
0
d
，
3
0
d
，
因此
1
3
0
d
d
1
0
1
3
a
d
d
，即a 的取值范围是
0
a
.
（3）解：将
1
3
y
a x
x
展开得
2
4
3
y
ax
ax
a
，因此
3
c
a
3
c
3
3
a
，
解得
3
3
a
因此二次函数解析式为
3
1
3
3
y
x
x
，
当
0
y
时，
3
1
3
0
3
x
x
，
解得：
1
2
1,
3
x
x
∴点
(1,0)
A
，
3,0
B
，
2
AB
，
∵点M 在对称轴
2
x
上，设
2,
M
t ，
,
N x y ，
分情况讨论：情况1：AB 为菱形的边
AB
MN ，
2
AB
MN
N
与M 纵坐标相等，且
2
2
x
，
解得
0
x
或
4
x .
将
0
x
代入解析式，得
3
1
3
3
3
y
，得
0, 3
N
.
将
4
x 代入解析式，得
3
3 1
3
3
y
，得
4, 3
N
.
根据对称性，若
3
y
，代入解析式得
3
1
3
3
3
x
x
，
整理得
2
4
6
0
x
x
，
判别式Δ
16
24
8
0
，无实根，此情况不存在符合条件的点N .
情况2：AB 为菱形的对角线时，
菱形对角线互相平分，
MN
中点与AB 中点重合，AB 中点为(2,0) ，
89 / 98
学科网（北京）股份有限公司
因此
2
2
2
0
2
x
y
t
解得
2
x
，y
t
.
将
2
x
代入解析式，得
3
3
1
1
3
3
y
，
因此
3
2,
3
N
，验证可得四边边长相等，满足菱形条件.
综上，存在符合条件的点N ，坐标为
0, 3 ，
4, 3 ，
3
2,
3
.
60．（2026·福建三明·二模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线
2
y
ax
bx
c
与x 轴交于点A，B，与y 轴
正半轴交于点C，且ABC 是等腰直角三角形．
(1)求证：
0
b
；
(2)已知
2,0
A
，
O 过抛物线位于第一象限的点
0
0
,
P x
y
，且抛物线上的点均不在
O 内．
①求抛物线的函数表达式及点P 的坐标；
②若直线l ：y
kx
m
过点P，且抛物线在0
2
x
的部分与l 有公共点，求实数m 的取值范围．
【答案】(1)
证明：∵ABC 是直角三角形，
∴
90
BAC
，或
90
ABC
，或
90
ACB
，
如果
90
BAC
，则AC
AB
，
此时
A
C
x
x
，但
0
C
y
，
0
A
y
，
A
C
y
y
，与函数的定义不符，
∴
90
BAC
，
同理，
90
ABC
，
∴
90
ACB
，
90 / 98
学科网（北京）股份有限公司
∵ABC 是直角三角形，
∴AC
BC
，
又∵OC
AB
，所以OA
OB
，即抛物线的对称轴为y 轴，
∴
0
b
；
(2)①
2
1
2
2
y
x
，
2,1
P
；②2
3
m
【分析】（1）先得到
90
BAC
，
90
ABC
，则只能
90
ACB
，由等腰直角三角形得到AC
BC
，
结合OC
AB
，得到OA
OB
，即抛物线的对称轴为y 轴，
0
b
；
（2）①由（1）知，
90
ACB
，OA
OB
，得到
2
OC
OA
，
0,2
C
，代入
2
y
ax
bx
c
解方程即可
求出解析式；设
2
1
,
2
2
M
x
x
为抛物线上一点．
依题意，OM 的最小值为OP ．根据勾股定理，
2
2
2
1
2
3
4
OM
x
，得到当
2
2
x
，即
2
x
时，OM 取
得最小值
3 ．结合点P 位于第一象限，得到
2,1
P
．
②
2,1
P
代入y
kx
m
得到
2
1
k
m
，与抛物线联立得到
2
2 1
2
4
0
x
m x
m
．根据
2 是方
程
2
2(1
)
2
4
0
x
m x
m
的一个根，求得
1
2(
2)
x
m
．再根据
1
0
2
x
列不等式计算即可；
【详解】（1）略
（2）解：①由（1）知，
90
ACB
，OA
OB
，
所以
1
2 AB
OA
OB
OC
．
因为
2,0
A
，所以
2
OC
OA
，
因为C 在y 轴正半轴上，所以
0,2
C
．
又因为
0
b
，所以
4
0,
2.
a
c
c
解得
1 ,
2
2.
a
c
所以抛物线的函数表达式为
2
1
2
2
y
x
．
91 / 98
学科网（北京）股份有限公司
设
2
1
,
2
2
M
x
x
为抛物线第一象限图象上一点．
∵
O 过抛物线位于第一象限的点
0
0
,
P x
y
，且抛物线上的点均不在
O 内，
∴OM 的最小值为OP ．
根据勾股定理，
2
2
2
2
2
4
2
2
1
1
1
2
4
2
3
2
4
4
OM
x
x
x
x
x
．
当
2
2
x
，即
2
x
时，OM 取得最小值
3 ．
因为点P 位于第一象限，所以
0
0
x
，所以
2,1
P
．
②因为直线y
kx
m
过点
2,1
P
，
所以
2
1
k
m
，所以
2
1
k
m
．
由（2）知，抛物线的函数表达式为
2
1
2
2
y
x
．
由y
kx
m
，
2
1
2
2
y
x
，得
2
1
2
2 x
kx
m
，
整理得
2
2
2
4
0
x
kx
m
，
将
2
1
k
m
代入方程得
2
2 1
2
4
0
x
m x
m
．
因为直线y
kx
m
过点
2,1
P
，且
2,1
P
在抛物线
2
1
2
2
y
x
上，
所以
2 是方程
2
2(1
)
2
4
0
x
m x
m
的一个根．
设方程的另一个根为
1x ．
因为函数
2
2(1
)
2
4
y
x
m x
m
的图象关于直线
2(1
)
2
m
x
对称，
所以
1
2
2(1
)
x
m
，
所以
1
2(
2)
x
m
．
依题意，
1
0
2
x
，即0
2(
2)
2
m
．
92 / 98
学科网（北京）股份有限公司
解得2
3
m
．
即实数m 的取值范围是2
3
m
．
61．（2026·福建泉州·三模）已知二次函数
2
0
y
a x
h
a
过点
0,1
A
，
1,1
B
．
(1)求二次函数解析式；
(2)已知
1,
M x m ，
2,
N x m 是二次函数图象上不同的两个点．
（ⅰ）若
1
m ，求证：
1
2
1
x
x
；
（ⅱ）存在实数
0
t
，使得
1
2
2
1
2
1
x
x
tm
x
x
，求t 的取值范围．
【答案】(1)
2
1
4
2
y
x
(2)
（ⅰ）由（1）得二次函数的解析式为
2
1
4
2
y
x
，则对称轴为直线
1
2
x
，
∵
4
0
a
，
∴二次函数的图象开口向上，
∴离对称轴越近，函数值越小，
∵
1,
M x m ，
2,
N x m 是二次函数图象上不同的两个点，
∴点
1,
M x m 和点
2,
N x m 关于对称轴对称，
∴
1
2
1
2
1
2
x
x
，
∴
2
1
1
x
x
，
∵
1
m ，
∴
1
1
1
1
2
2
x
，
∴
1
1
1
2
2
x
，
∴
1
2
1
1
1
1
1
1
2
1
2
1
2
x
x
x
x
x
x
；
（ⅱ）
0
t
或
9
t
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
93 / 98
学科网（北京）股份有限公司
（2）（ⅰ）根据（1）所求可得对称轴为直线
1
2
x
，且二次函数的图象开口向上，则离对称轴越近，函数
值越小，根据对称性可推出
2
1
1
x
x
，根据
1
m 得到
1
1
1
1
2
2
x
，据此可证明结论；（ⅱ）当y
m
时，
2
1
4
2
m
x
，则
2
4
4
1
0
x
x
m
，可得
1
2
1
2
1
1
4
m
x
x
x x
，
，
2
1
1
1
4
m
x
x
；根据
1
2
2
1
2
1
x
x
tm
x
x
，
可推出3
1
1
m
tm
m
，则
2
3
1
0
tm
t
m
，可证明
0
m
，则关于m 的方程
2
3
1
0
tm
t
m
必须有一个
正实数根，根据判别式求出t 的取值范围，再根据关于m 的方程
2
3
1
0
tm
t
m
必须有一个正实数根讨
论求解即可．
【详解】（1）解：∵二次函数
2
0
y
a x
h
a
过点
0,1
A
，
1,1
B
，
∴
2
2
1
0
1
1
a
h
a
h
，
∴
4
1
2
a
h
，
∴二次函数的解析式为
2
1
4
2
y
x
；
（2）解：（ⅰ）略
（ⅱ）在
2
1
4
2
y
x
中，当y
m
时，
2
1
4
2
m
x
，
∴
2
4
4
1
0
x
x
m
，
∴
1
2
1
2
4
1
1
4
4
m
x
x
x x
，
，
2
1
1
4
4
1
0
x
x
m
，
∴
2
1
1
1
4
m
x
x
；
∵
1
2
2
1
2
1
x
x
tm
x
x
，
∴
2
2
1
1
2
1
2
2x
x
x
tm
x x
，
∴
2
2
1
2
1
2
1
1
1
2
2
x
x
x x
x
x
tm
x x
，
94 / 98
学科网（北京）股份有限公司
∴
2
1
1
1
2
4
4
1
4
m
m
tm
m
，
∴3
1
1
m
tm
m
，
∴
2
3
1
0
tm
t
m
，
∵
2
1
1
4
0
2
m
x
，且
1,
M x m ，
2,
N x m 是二次函数图象上不同的两个点，
∴
0
m
，
∴关于m 的方程
2
3
1
0
tm
t
m
必须有一个正实数根，
∴
2
Δ
3
4
0
t
t
，
∴
2
6
9
4
0
t
t
t
，
∴
1
9
0
t
t
，
∴
9
t
或
1
t ；
当
9
t
时，
3
1
0
0
t
t
t
，
，
∴此时关于m 的方程
2
3
1
0
tm
t
m
的两个实数根都是正数，符合题意；
当0
1
t
时，
3
1
0
0
t
t
t
，
，
∴此时关于m 的方程
2
3
1
0
tm
t
m
的两个实数根都是负数，不符合题意；
当
0
t
时，
3
1 0
0
t
t
t
，
，
∴此时关于m 的方程
2
3
1
0
tm
t
m
的两个实数根一正一负，符合题意；
综上所述，
0
t
或
9
t
．
62．（2026·福建泉州·模拟预测）规定：如果某函数的图象关于直线
1
x
m
（
1
m 为常数）对称，则称该函数
为“长榆函数”，直线
1
x
m
叫做“振万直线”．
(1)下列函数，是否为“长榆函数”？若是，请在横线上填写“是”，若不是，请在横线上填写“否”．
①y
x
______；②
2026
x
y
______；③
2
2026
2026
y
x
x
______．
(2)函数
2
1
1
1
y
x
b x
c
和
2
2
2
2
y
x
b x
c
（其中
1b 、
2b 、1c 、
2c 为常数，1
2
c
c
）均为“长榆函数”，且其“振
95 / 98
学科网（北京）股份有限公司
万直线”为同一直线．若直线y
kx
m
与
2
1
1
1
y
x
b x
c
、
2
2
2
2
y
x
b x
c
的图象相交于
1
1
,
E x y
、
2
2
,
F x
y
、
3
3
,
G x y
、
4
4
,
H x
y
，其中
1
2
3
4
x
x
x
x
．求证：EF
GH
．
(3)若关于x 的“长榆函数”
2
1
3
0
y
ax
bx
a a
的“振万直线”为
2
x
，其函数图象与x 轴交于点A 、B（点
A 在点B 的右边），其顶点为M ；函数
2
2
3
y
ax
bx
a
的图象与x 轴交于点C 、D（点C 在点D 的右边），
其顶点为N ，以A 、D 、M 、N 为顶点的四边形能否为矩形或菱形，若能请求出a 的值，若不能请说明理
由．
【答案】(1)是，否，是；
(2)
证明：①当
0
k
时，y
m
，如图：
依题意，函数
2
1
1
1
y
x
b x
c
和
2
2
2
2
y
x
b x
c
（其中
1b 、2b 、1c 、2c 为常数，1
2
c
c
）均为“长榆函数”，且
其“振万直线”为同一直线，
根据抛物线的对称性可得EF
GH
，
②当
0
k
时，
∵
1
2
,
y y 的“振万直线”为同一直线，
1
2
b
b
，
设
1
2
b
b
b
，
如图所示，过E，G 分别作x 轴的平行线，过点F，H 分别作y 轴的平行线，交于点P，Q，则
P
90
Q
，
PE
GQ
∥
，
96 / 98
学科网（北京）股份有限公司
FEP
HGQ
，
联立
2
1
1
1
y
x
b x
c
y
kx
m
，
2
1
0
x
b
k x
c
m
，
1
4
x
x
k
b
，同理可得
2
3
x
x
k
b
，
1
4
2
3
x
x
x
x
，
即
2
1
4
3
x
x
x
x
，
即EP
GQ
，
ASA
FEP
HGQ
≌
，
EF
GH
，
综上所述，EF
GH
；
(3)四边形ADMN 为矩形，
5
a
．
【分析】（1）根据反比例函数以及一次函数，二次函数的性质结合新定义，即可求解；
（2）分情况讨论，①当
0
k
时，②当
0
k
时，分别画出图形，根据二次函数与一元二次方程的解的关系，
得出EF
GH
；
（3）根据解析式得出A，B，C，D 的坐标，进而根据图形，结合矩形的性质即可求解．
【详解】（1）解：①y
x
关于直线
0
x
对称，是“长榆函数”；
②
2026
x
y
其函数图象不关于直线
1
x
m
对称，不是“长榆函数”；
③
2
2026
2026
y
x
x
，对称轴为直线
1013
x
，是“长榆函数”；
（2）略
（3）解：如图：
97 / 98
学科网（北京）股份有限公司
∵关于x 的“长榆函数”，
2
1
3
0
y
ax
bx
a a
的“振万直线”为
2
x
，与x 轴交于点A、B（点A 在点B
的右边），
当
2
2
b
a
，即
4
b
a
，
2
1
4
3
y
ax
ax
a
，
令
0
y
，即
2
4
3
0
ax
ax
a
，
解得：
1
1
x ，
2
3
x
，
∴
3,0 ,
1,0
A
B
，
当
2
x
时，y
a
，则y
a
，
2,
M
a
，
函数
2
2
3
y
ax
bx
a
的图象与x 轴交于点C、D（点C 在点D 的右边），其顶点为N，
2
2
4
3
y
ax
ax
a
，
令
0
y
，即
2
4
3
0
ax
ax
a
，
解得：
1
1
x ，
2
3
x ，则对称轴为直线
1 3
2
2
x
，
1,0
C
，
3,0
D
，
当
2
x 时，y
a
，则
2,
N
a
，
OM
ON
，OA
OD
，
∴四边形AMDN 是平行四边形，
∵AD 在x 轴上，
∴MN 不可能垂直于AD ，
∴四边形AMDN 不可能是菱形，
当四边形AMDN 为矩形时，
98 / 98
学科网（北京）股份有限公司
1
2
OM
AD
，
即
2
4
3
a
，
解得：
5
a
．
