专题05平面直角坐标系与图形变换（5年汇编）（浙江专用）（解析版）_2026秋初中教辅合集_2027学科网&_2027新好题汇编

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专题05 平面直角坐标系与图形变换
5 年真题1 年模拟
考点分类
浙江考情（2022-2026）
命题规律
考点01 平面直角坐
标系中的点与坐标
特征
2023·浙江衢州·中考
2023·浙江台州·中考
2023·浙江嘉兴·中考
2022·浙江金华·中考
2022·浙江台州·中考
2022-2023 年浙江中考在本考点共收录5 道真题，
2024-2026 年未单独收录。命题主要考查根据已知点确
定坐标系、读取点的坐标、判断点所在象限、利用坐标
求点到原点的距离以及轴对称点的坐标特征。题目多采
用棋盘、城市位置、飞行队形等直观情境，强调坐标与
实际位置之间的对应关系。整体难度以基础为主，但需
要准确判断横、纵坐标的符号和坐标轴方向。复习时应
掌握四个象限内点的符号特征、坐标轴上点的特点、关
于坐标轴及原点对称的坐标规律，并训练根据图形反向
确定原点和单位长度。
考点02 平移、轴对
称与旋转
2026·浙江·中考
2023·浙江杭州·中考
2023·浙江金华·中考
2023·浙江金华·中考
2023·浙江宁波·中考
2023·浙江温州·中考
2022·浙江嘉兴·中考
2022·浙江衢州·中考
2022·浙江丽水·中考
2022·浙江台州·中考
2022·浙江金华·中考
2022·浙江温州·中考
2022·浙江丽水·中考
2022-2026 年浙江中考在本考点共收录13 道真题，是专
题05 的主要考点。命题内容包括平移后点的坐标、关
于坐标轴或原点的对称、绕原点旋转后的坐标、中心对
称图形识别以及网格中的平移、轴对称和旋转作图。
2022-2023 年地市卷常采用网格作图和图形计算，既考
查变换性质，也与长度、面积和周长结合；2026 年省级
命题将平移与关于原点中心对称结合，体现出多种变换
复合的趋势。复习时应掌握平移方向与坐标增减的关
系、对称点坐标规律、旋转前后对应线段和角的关系，
并重视复合变换与网格作图。
考点03 位似变换及
其坐标表示
2025·浙江·中考
2024·浙江·中考
2023·浙江·中考
2023-2025 年浙江中考在本考点连续收录3 道真题，均
为选择题。题目主要考查以原点为位似中心时对应点的
坐标变化、位似比的确定以及对应线段长度比。2023 年
考查由位似比直接求对应点坐标，2024 年通过一组对应
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点确定位似比后求另一点坐标，2025 年进一步考查对应
线段长度，呈现由直接应用向多步骤推理发展的趋势。
该考点题量不大但连续性较强。复习时应理解位似图形
必相似、对应点与位似中心共线以及坐标按位似比成比
例等性质，同时注意位似比为负时对应点可能位于位似
中心两侧。
考点01
平面直角坐标系中的点与坐标特征
1．（2023·浙江衢州·中考真题）在如图所示的方格纸上建立适当的平面直角坐标系，若点A 的坐标为Ͳ灈ф ，
点B 的坐标为ʹ灈ʹ ，则点C 的坐标为_________．
【答案】
建立平面直角坐标系如图所示：
点C 的坐标为ф灈标．
【分析】根据点A、B 的坐标可确定原点的位置，再作平面直角坐标系即可，从而可确定点C 的坐标．
【详解】略
2．（2023·浙江台州·中考真题）如图是中国象棋棋盘的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，已知“车”
所在位置的坐标为െʹ灈ʹ ，则“炮”所在位置的坐标为（
）．
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A．标灈ф
B．ф灈标
C．Ͷ灈ф
D．标灈ʹ
【答案】A
【分析】根据已知条件，确定平面直角坐标系原点，最后即可求出答案．
【详解】解：׶“车”所在位置的坐标为െʹ灈ʹ ，
׵确定点ܱ
即是平面直角坐标系的原点，且每一格的单位长度是1，
׵“炮”所在位置的坐标为标灈ф ．
故选：A．
3．（2023·浙江·中考真题）在平面直角坐标系中，点ܲ
െф灈݉
ʹ ൅ф 位于（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】B
【分析】根据ܲ
点坐标分别判断出横坐标和纵坐标的符号，从而就可以判断改点所在的象限．
【详解】解：׶ܲ
െф灈݉
ʹ ൅ф ，
׵െф t Ͳ，݉
ʹ ൅ф ൒ф，
׵满足第二象限的条件．
故选：B．
4．（2022·浙江金华·中考真题）如图是城市某区域的示意图，建立平面直角坐标系后，学校和体育场的坐
标分别是ሺ标灈фሻ灈ሺͶ灈െʹሻ，下列各地点中，离原点最近的是（
）
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A．超市
B．医院
C．体育场
D．学校
【答案】A
【分析】根据学校和体育场的坐标建立直角坐标系，利用勾股定理求出各点到原点的距离，由此得到
答案．
【详解】解：根据学校和体育场的坐标建立直角坐标系，
超市到原点的距离为ʹʹ ൅фʹ ൌ
ͷ，
医院到原点的距离为标ʹ ൅фʹ ൌ
фͲ，
学校到原点的距离为标ʹ ൅фʹ ൌ
фͲ，
体育场到原点的距离为Ͷʹ ൅ʹʹ ൌʹ ͷ，
故选：A．
5．（2022·浙江台州·中考真题）如图是战机在空中展示的轴对称队形．以飞机B，C 所在直线为x 轴、队形
的对称轴为y 轴，建立平面直角坐标系．若飞机E 的坐标为(40，a)，则飞机D 的坐标为（
）
A．ሺͶͲ灈െܽ
ሻ
B．ሺെͶͲ灈ܽሻ
C．ሺെͶͲ灈െܽ
ሻ
D．ሺܽ灈െͶͲሻ
【答案】B
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【分析】直接利用关于y 轴对称，纵坐标相同，横坐标互为相反数，进而得出答案．
【详解】解：根据题意，点E 与点D 关于y 轴对称，
∵飞机E 的坐标为(40，a)，
∴飞机D 的坐标为(-40，a)，故选：B．
考点02
平移、轴对称与旋转
1．（2026·浙江·中考真题）已知ᇞܣ香䁨三个顶点的坐标分别为ܣെ标灈Ͷ ，香ʹ灈െф ，䁨െʹ灈െʹ ．将ᇞܣ香䁨
平移，使点ܣ的对应点ܣԢ恰好与点䁨关于原点ܱ
成中心对称，则平移后点香的对应点香Ԣ的坐标是（
）
A．͹灈െ标
B．ͷ灈െʹ
C．标灈െͶ
D．ʹ灈ʹ
【答案】A
【分析】先根据中心对称性质求出ܣԢ坐标，再确定平移方式，然后利用平移方式求解即可．
【详解】解：∵点ܣ的对应点ܣԢ恰好与点䁨െʹ灈െʹ 关于原点ܱ
成中心对称，
∴点ܣԢ的坐标为ʹ灈ʹ ，
∵点ܣെ标灈Ͷ 平移后的对应点为ܣԢ ʹ灈ʹ
，
∴平移方式为向右平移5 个单位长度，向下平移2 个单位长度，
∵点B 的坐标为香ʹ灈െф
，
∴点香Ԣ 的坐标为
ʹ ൅ͷ灈െф െʹ ，即
͹灈െ标．
2．（2023·浙江杭州·中考真题）在直角坐标系中，把点ܣ݉
灈ʹ 先向右平移1 个单位，再向上平移3 个单
位得到点香．若点香的横坐标和纵坐标相等，则݉
ൌ（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】C
【分析】先根据平移方式确定点B 的坐标，再根据点香的横坐标和纵坐标相等列方程，解方程即可．
【详解】解：׶点ܣ݉
灈ʹ 先向右平移1 个单位，再向上平移3 个单位得到点香，
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׵ 香݉
൅ф灈ʹ ൅标，即香݉
൅ф灈ͷ ，
׶点香的横坐标和纵坐标相等，
׵݉
൅ф ൌͷ，
׵݉
ൌͶ，
故选C．
3．（2023·浙江金华·中考真题）如图，两个灯笼的位置ܣ灈香的坐标分别是െ标灈标灈ф灈ʹ ，将点香向右平移2
个单位，再向上平移1 个单位得到点香Ԣ，则关于点ܣ灈香Ԣ的位置描述正确是（
）
A．关于ݔ轴对称
B．关于ݕ轴对称
C．关于原点ܱ
对称
D．关于直线ݕൌݔ对称
【答案】B
【分析】先根据平移方式求出香Ԣ 标，标，再根据关于y 轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同进行
求解即可．
【详解】解：∵将香ф灈ʹ 向右平移2 个单位，再向上平移1 个单位得到点香Ԣ，
∴香Ԣ 标，标，
∵ܣെ标灈标，
∴点ܣ灈香Ԣ关于y 轴对称，
故选B．
4．（2023·浙江金华·中考真题）在直角坐标系中，点Ͷ灈ͷ 绕原点ܱ
逆时针方向旋转ͻͲι，得到的点的坐标
是__________．
【答案】െͷ灈Ͷ
【分析】把点绕原点旋转的问题转化为直角三角形旋转的问题，画出图形可解决问题．
【详解】解：过A 点作ܣܦ٣ ݔ轴，过B 点作香ܧ٣ ݕ轴，
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∵点A 的坐标为Ͷ，ͷ ，
∴ܣܦൌͷ灈ܱܦൌͶ，
∵סܣܱ香ൌͻͲι，
∴ס香ܱܧ൅סܣܱܧൌͻͲι，
∵סܣܱܦ൅סܣܱܧൌͻͲι，
∴סܣܱܦൌס香ܱܧ，
∵ܱܣൌܱ
香，
在ᇞܣܱܦ和ᇞ香ܱܧ中，
סܣܦܱൌס香ܧܱ
סܣܱܦൌס香ܱܧܱ
ܣൌܱ香
，
∴ᇞܣܱܦ؆ᇞ香ܱܧAAS ，
∴ܱܧൌܱ
ܦൌͶ，香ܧൌܣܦൌͷ,
∴点B 的坐标为െͷ，Ͷ ，
故答案为：െͷ，Ͷ ．
5．（2023·浙江宁波·中考真题）在4×4 的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形（顶点均在格点上）．
(1)在图1 中先画出一个以格点P 为顶点的等腰三角形ܲܣ香，再画出该三角形向右平移2 个单位后的ᇞܲ
ԢܣԢ香Ԣ．
(2)将图2 中的格点ᇞܣ香䁨绕点C 按顺时针方向旋转ͻͲι，画出经旋转后的ᇞܣԢ香Ԣ䁨．
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【答案】(1)
如图，ᇞܲܣ香，ᇞܲ
ԢܣԢ香Ԣ即为所求作的三角形；
(2)
如图，ᇞܣԢ香Ԣ䁨即为所求作的三角形，
【分析】（1）先画等腰三角形ܲ
ܣ香，ܲܣൌܲ
香，再确定平移后的对应点，再顺次连接即可；
（2）确定A，B 旋转后的对应点，而C 的对应点是其本身，再顺次连接即可．
【详解】（1）略
（2）略
6．（2023·浙江温州·中考真题）如图，在ʹ ൈͶ 的方格纸ܣ香䁨ܦ中，每个小方格的边长为1．已知格点P，
请按要求画格点三角形（顶点均在格点上）．
(1)在图中画一个等腰三角形ܲ
ܧܨ，使底边长为ʹ，点E 在香䁨上，点F 在ܣܦ上，再画出该三角形绕矩形
ܣ香䁨ܦ的中心旋转180°后的图形．
(2)在图中画一个Rt ᇞܲ
香䁨，使סܲ
ൌͶͷι，点Q 在香䁨上，点R 在ܣܦ上，再画出该三角形向右平移1 个单
位后的图形．
【答案】(1)
画法不唯一，如图1（ܲ
ܨൌ
ʹ，ܲܧൌܧܨൌ
ͷ），或图2（ܲܧൌ
ʹܲ
ܨൌܧܨൌ
ͷ）．
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(2)
画法不唯一，如图3 或图4．
【分析】（1）底边长为ʹ即底边为小方格的对角线，根据要求画出底边，再在其底边的垂直平分线找
到在格点上的顶点即可得到等腰ᇞܲ
ܧܨ，然后根据中心旋转性质作出绕矩形ܣ香䁨ܦ的中心旋转180°后的图
形．
（2）根据网格特点，按要求构造等腰直角三角形，然后按平移的规律作出平移后图形即可．
【详解】（1）略
（2）略
7．（2022·浙江嘉兴·中考真题）“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，
寓意是同心吉祥．如图，将边长为2cm 的正方形ABCD 沿对角线BD 方向平移1cm 得到正方形ܣԢ香Ԣ䁨ԢܦԢ，
形成一个“方胜”图案，则点D，香Ԣ之间的距离为（
）
A．1cm
B．2cm
C．( ʹ－1)cm
D．(2 ʹ－1)cm
【答案】D
【分析】先求出BD，再根据平移性质求得香香Ԣ=1cm，然后由香ܦെ香香Ԣ求解即可．
【详解】解：由题意，BD=ʹ ʹcm，
由平移性质得香香Ԣ=1cm，
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∴点D，香Ԣ之间的距离为ܦ香Ԣ=香ܦെ香香Ԣ=（ʹ ʹ െф）cm，
故选：D．
8．（2022·浙江衢州·中考真题）下列图形是中心对称图形的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据中心对称图形的定义（在平面内，把一个图形绕某点旋转фRͲι，如果旋转后的图形与另
一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形）逐项判断即可得．
【详解】解：A、不是中心对称图形，此项不符合题意；
B、是中心对称图形，此项符合题意；
C、不是中心对称图形，此项不符合题意；
D、不是中心对称图形，此项不符合题意；
故选：B．
9．（2022·浙江丽水·中考真题）三个能够重合的正六边形的位置如图．已知B 点的坐标是ሺെ
标灈标ሻ，则A
点的坐标是___________．
【答案】ሺ标灈െ标ሻ
【分析】如图，延长正六边形的边BM 与x 轴交于点E，过A 作ܣܰ
٣ ݔ轴于N，连接AO，BO，证明ס香ܱܧൌ
סܣܱܰ
灈可得ܣ灈ܱ灈香三点共线，可得ܣ灈香关于O 对称，从而可得答案．
【详解】解：如图，延长正六边形的边BM 与x 轴交于点E，过A 作ܣܰ
٣ ݔ轴于N，连接AO，BO，
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׵ 三个正六边形，O 为原点，
׵ 香ܱܯൌܯ
ൌܱܱ
ܱܣൌ灈ס香ܱܯ
ൌסܱܱ
ܣൌфʹͲι灈
׵ᇞ香ܯܱ، ᇞܱܱ
ܣ灈
׵ܱ
香ൌܱ
ܣ灈
׵ סൌܧܱܯфʹͲι െͻͲι ൌ标Ͳι灈סܯ香ܱ
ൌסܯܱ香ൌф
ʹ ሺфRͲι െфʹͲιሻൌ标Ͳι灈
׵ ס香ܱܧൌ耀Ͳι灈ס香ܧܱ
ൌͻͲι灈
同理：סܣܱܰ
ൌфʹͲι െ标Ͳι െ标Ͳι ൌ耀Ͳι灈סܱܣܰ
ൌͻͲι െ耀Ͳι ൌ标Ͳι灈
׵ ס香ܱܧൌסܣܱܰ
灈
׵ ܣ灈ܱ灈香三点共线，
׵ ܣ灈香关于O 对称，
׵ ܣሺ标灈െ标ሻ䁩
故答案为：ሺ标灈െ标ሻ䁩
10．
（2022·浙江台州·中考真题）如图，ᇞABC 的边BC 长为4cm．将ᇞABC 平移2cm 得到ᇞA′B′C′，且BB′⊥BC，
则阴影部分的面积为______cmʹ．
【答案】8
【分析】根据平移的性质即可求解．
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【详解】解：由平移的性质SᇞA′B′C′=SᇞABC，BC=B′C′，BC∥B′C′，
∴四边形B′C′CB 为平行四边形，
∵BB′⊥BC，
∴四边形B′C′CB 为矩形，
∵阴影部分的面积=SᇞA′B′C′+S 矩形B′C′CB-SᇞABC
=S 矩形B′C′CB
=4×2
=8(cm2)．
故答案为：8．
11．（2022·浙江金华·中考真题）如图，在䁨ݐᇞܣ香䁨中，סܣ䁨香ൌͻͲι灈סܣൌ标Ͳι灈香䁨ൌʹcm．把ᇞܣ香䁨沿ܣ香
方向平移фcm，得到ᇞܣԢ香Ԣ䁨Ԣ，连结䁨䁨Ԣ，则四边形ܣ香Ԣ䁨Ԣ䁨的周长为_____cm．
【答案】R ൅ʹ 标
【分析】通过勾股定理，平移的特性，特殊角的三角函数，分别计算出四边形的四条边长，再计算出
周长即可．
【详解】解：∵סܣ䁨香ൌͻͲι灈סܣൌ标Ͳι灈香䁨ൌʹcm，
∴AB=2BC=4，
∴AC= ܣ香ʹ െ香䁨ʹ ൌ
ф耀െͶ ൌʹ 标，
∵把ᇞܣ香䁨沿ܣ香方向平移фcm，得到ᇞܣԢ香Ԣ䁨Ԣ，
∴䁨䁨Ԣ ൌф，ܣ香ԢൌͶ൅фൌͷ，香Ԣ䁨Ԣൌ香䁨ൌʹ，
∴四边形的周长为：ʹ 标൅ф ൅ͷ ൅ʹ ൌR ൅ʹ 标，
故答案为：R ൅ʹ 标．
12．（2022·浙江温州·中考真题）如图，在ʹ ൈ耀的方格纸中，已知格点P，请按要求画格点图形（顶点均
在格点上）．
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(1)在图1 中画一个锐角三角形，使P 为其中一边的中点，再画出该三角形向右平移2 个单位后的图形．
(2)在图2 中画一个以P 为一个顶点的钝角三角形，使三边长都不相等，再画出该三角形绕点P 旋转фRͲι
后的图形．
【答案】(1)
画法不唯一，如图1 或图2 等．
(2)
画法不唯一，如图3 或图4 等．
【分析】（1）根据题意画出合适的图形即可，注意本题答案不唯一，主要作出的图形符合题意即可；
（2）根据题意画出合适的图形即可，注意本题答案不唯一，主要作出的图形符合题意即可．
【详解】（1）略
（2）略
13．（2022·浙江丽水·中考真题）如图，在耀ൈ耀的方格纸中，点A，B，C 均在格点上，试按要求画出相应
格点图形．
(1)如图1，作一条线段，使它是ܣ香向右平移一格后的图形；
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(2)如图2，作一个轴对称图形，使ܣ香和ܣ䁨是它的两条边；
(3)如图3，作一个与ᇞܣ香䁨相似的三角形，相似比不等于1．
【答案】(1)
解：如图，线段CD 即为所求作的线段，
(2)
如图，四边形ABDC 是所求作的轴对称图形，
(3)
如图，如图，ᇞܦܧܨ即为所求作的三角形，
【分析】（1）分别确定A，B 平移后的对应点C，D，从而可得答案；
（2）确定线段AB，AC 关于直线BC 对称的线段即可；
（3）分别计算ᇞܣ香䁨的三边长度，再利用相似三角形的对应边成比例确定ᇞܦܧܨ的三边长度，再画出
ᇞܦܧܨ即可．
【详解】（1）略
（2）略
（3）图略
由勾股定理可得：ܣ香ൌ
фʹ ൅标ʹ ൌ
фͲ灈ܣ䁨ൌ
ʹ灈而香䁨ൌʹ灈
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同理：ܦܨൌ
ʹʹ ൅耀ʹ ൌʹ фͲ灈ܦܧൌʹ ʹ灈而ܧܨൌͶ灈
׵
ܣ香
ܦܨൌ
ܣ䁨
ܦܧൌ
香䁨
ܧܨൌ
ф
ʹ 灈
׵ᇞܣ香䁨׾ᇞܦܨܧ䁩
考点03
位似变换及其坐标表示
1．（2025·浙江·中考真题）如图，五边形ܣ香䁨ܦܧ灈ܣԢ香Ԣ䁨ԢܦԢܧԢ是以坐标原点O 为位似中心的位似图形，已
知点ܣ灈ܣԢ的坐标分别为ሺʹ灈Ͳሻ灈ሺ标灈Ͳሻ．若ܦܧ的长为3，则ܦԢܧԢ的长为（
）
A．
͹
ʹ
B．4
C．
ͻ
ʹ
D．5
【答案】C
【分析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握位似图形的性质，相似三
角形的判定与性质是解题的关键．
根据位似图形的性质得到ܱ
ܣܱ
ܣԢ ൌܱ
ܧܱ
ܧԢ ൌܱ
ܦܱ
ܦԢ ൌ
ʹ
标，证明ᇞܦܱܧ׾ᇞܦԢܱܧԢ，即可求解．
【详解】解：∵五边形ܣ香䁨ܦܧ灈ܣԢ香Ԣ䁨ԢܦԢܧԢ是以坐标原点O 为位似中心的位似图形，点ܣ灈ܣԢ的坐标分别
为ሺʹ灈Ͳሻ灈ሺ标灈Ͳሻ
∴ܱ
ܣܱ
ܣԢ ൌܱ
ܧܱ
ܧԢ ൌܱ
ܦܱ
ܦԢ ൌ
ʹ
标，
∵סܦܱܧൌסܦܱܧ，
∴ᇞܦܱܧ׾ᇞܦԢܱܧԢ，
∴
ܦܧ
ܦԢܧԢ ൌܱ
ܧܱ
ܧԢ ൌ
ʹ
标，
∵ܦܧൌ标，
∴ܦԢܧԢ ൌ
ͻ
ʹ，
故选：C．
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2．（2024·浙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，ᇞܣ香䁨与ᇞܣԢ香Ԣ䁨Ԣ是位似图形，位似中心为点ܱ
．若
点ܣሺെ标灈фሻ的对应点为ܣԢሺെ耀灈ʹሻ，则点香ሺെʹ灈Ͷሻ的对应点香Ԣ的坐标为（
）
A．ሺെͶ灈Rሻ
B．ሺR灈െͶሻ
C．ሺെR灈Ͷሻ
D．ሺͶ灈െRሻ
【答案】A
【分析】本题考查了位似变换，根据点ܣ、ܣ̵的坐标可得到位似比，再根据位似比即可求解，掌握位似
变换的性质是解题的关键．
【详解】解：∵ᇞܣ香䁨与ᇞܣԢ香Ԣ䁨Ԣ是位似图形，点ܣሺെ标灈фሻ的对应点为ܣԢሺെ耀灈ʹሻ，
∴ᇞܣ̵ 香̵ 䁨̵ 与ᇞܣ香䁨的位似比为ʹ，
∴点香ሺെʹ灈Ͷሻ的对应点香Ԣ的坐标为െʹ ൈʹ灈Ͷ ൈʹ ，即െͶ灈R ，
故选：A．
3．（2023·浙江·中考真题）如图，在直角坐标系中，ᇞܣ香䁨的三个顶点分别为ܣф灈ʹ 灈香ʹ灈ф 灈䁨标灈ʹ ，现
以原点O 为位似中心，在第一象限内作与ᇞܣ香䁨的位似比为2 的位似图形ᇞܣԢ香Ԣ䁨Ԣ，则顶点䁨Ԣ的坐标是（
）
A．ʹ灈Ͷ
B．Ͷ灈ʹ
C．耀灈Ͷ
D．ͷ灈Ͷ
【答案】C
【分析】直接根据位似图形的性质即可得．
【详解】解：∵ᇞܣ香䁨的位似比为2 的位似图形是ᇞܣԢ香Ԣ䁨Ԣ，且䁨标灈ʹ ，
׵ 䁨Ԣ ʹ ൈ标灈ʹ ൈʹ ，即䁨Ԣ 耀灈Ͷ ，
故选：C．
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1．（2026·浙江金华·三模）如图，在平面直角坐标系中，ᇞܣܲ香与ᇞ䁨ܲܦ是位似图形，位似中心为ܲ
െф灈Ͳ ，
若ܣ、香、䁨的坐标分别为ܣф灈ʹ 、香ʹ灈ф 、䁨标灈Ͷ ，则ܦ的坐标为（
）
A．R灈标
B．Ͷ灈标
C．耀灈标
D．ͷ灈ʹ
【答案】D
【分析】先利用两点间距离公式求出两个三角形的位似比，过点D 作ܦܧ٣ ݔ轴于点E，过点B 作香ܨ٣ ݔ
轴于点F，易证明ᇞ香ܨܲ
׾ᇞܦܧܲ，则ܲ
ܨܲ
ܧൌ
香ܨ
ܦܧൌܲ
香ܲ
ܦ，据此求出ܲ
ܧ、ܦܧ长，从而求出点ܦ的坐标．
【详解】解：׶ܲ
െф灈Ͳ 、ܣф灈ʹ 、䁨标灈Ͷ ，
׵ܲ
ܣൌ
െф െф ʹ ൅Ͳ െʹ ʹ ൌʹ ʹ、ܲ䁨ൌ
െф െ标ʹ ൅Ͳ െͶ ʹ ൌͶ ʹ，
׵ܲ
香ܲ
ܦൌܲ
ܣܲ
䁨ൌ
ʹ ʹ
Ͷ ʹ ൌ
ф
ʹ，
即ᇞܣܲ香与ᇞ䁨ܲܦ的位似比为
ф
ʹ，
过点D 作ܦܧ٣ ݔ轴于点E，过点B 作香ܨ٣ ݔ轴于点F，
׵ ס香ܨܲ
ൌסܦܧܲ
ൌͻͲι，
׶ ס香ܲܨൌסܦܲܧ，
׵ᇞ香ܨܲ
׾ᇞܦܧܲ，
׵ܲ
ܨܲ
ܧൌ
香ܨ
ܦܧൌܲ
香ܲ
ܦൌ
ф
ʹ，
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׶ܲ
െф灈Ͳ 、香ʹ灈ф ，
׵ܲ
ܨൌʹ െെф ൌ标、香ܨൌф，
׵
标ܲ
ܧൌ
ф
ܦܧൌ
ф
ʹ，
解得：ܲܧൌ耀、ܦܧൌʹ，
׵ܱ
ܦൌ耀െെф ൌͷ，
׵点D 的坐标为ͷ灈ʹ ．
2．（2026·浙江宁波·三模）如图，在平面直角坐标系ݔܱݕ中，ᇞܣ香䁨绕某个点顺时针旋转ͻͲι后得到ᇞܦܧܨ，
则旋转中心的坐标是（
）
A．െф灈Ͳ
B．Ͳ灈െʹ
C．Ͳ灈െф
D．ф灈െʹ
【答案】C
【分析】根据旋转中心一定在对应点连线的垂直平分线上，结合对称点解答即可．本题考查了旋转的
性质，旋转中心的判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
【详解】解：旋转中心一定在对应点连线的垂直平分线上，连接ܣܦ、香ܧ，分别作ܣܦ、香ܧ的垂直平
分线，相交于点G，如下图
在坐标系中描下选项中的点，判断到对应点的距离，到两组对应点距离分别相等的点，就是旋转中心，
本题旋转中心是图中的点G，坐标为Ͳ灈െф ．
3．（2026·浙江温州·二模）如图，在平面直角坐标系中，点ܣ灈香灈䁨的坐标分别为标灈Ͷ 灈Ͳ灈标灈ф灈ф ．若将ᇞܣ香䁨
绕点ܣ逆时针旋转，使得点䁨与点䁨Ԣ 耀灈ʹ 重合，则点香旋转后的对应点香Ԣ的坐标为（
）
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A．ͷ灈ф
B．Ͷ灈ф
C．标灈ф
D．ф灈Ͷ
【答案】B
【分析】根据点䁨与点䁨Ԣ的坐标与表格的特点，可证得ᇞܣ香䁨绕点ܣ逆时针旋转ͻͲι，然后将点香绕
点ܣ逆时针旋转ͻͲι可直接根据图像得出答案．
【详解】解：如图所示，连接ܣ䁨Ԣ，
，
由图可知，在ᇞܣ䁨ܨ和ᇞܣ䁨̵ ܧ中，
ܣܨൌ䁨Ԣܧ
סܣܨܧൌס䁨Ԣܧܣ
ܨ䁨ൌܣܧ
，
∴ᇞܣ䁨ܨ، ᇞܣ䁨̵ ܧܵ
ܣܵ
，סܨ䁨ܣൌסܧܣ䁨Ԣ，
∵סܨܣ䁨൅סܨ䁨ܣൌͻͲι，
∴סܨܣ䁨൅סܧܣ䁨Ԣ ൌͻͲι灈ס䁨ܣ䁨Ԣ ൌͻͲι，
∴ᇞܣ香䁨绕点ܣ逆时针旋转ͻͲι，
∴点香绕点ܣ逆时针旋转ͻͲι的对应点香Ԣ如图所示，
∴点香Ԣ Ͷ灈ф ．
4．（2026·浙江温州·三模）如图，ᇞܣ香䁨与ᇞܦܧܨ是位似图形，香䁨，ܧܨ都与x 轴平行，点A，D 与位似中
心点P 都在x 轴上，点C，E 在y 轴上．若点B 的坐标是ʹ灈标，点F 的横坐标为െф，则点P 的坐标为（
）
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A．െʹ灈Ͳ
B．െ
ͷ
标灈Ͳ
C．െ
Ͷ
标灈Ͳ
D．െ
标
ʹ 灈Ͳ
【答案】A
【分析】如图作香ܯ٣ ݔ轴，ܨܰ
٣ ݔ轴，根据点坐标可得香ܱൌܯ䁨ൌ标，香䁨ൌܧܨൌܱܰ
ൌф，
ܧܨ
香䁨ൌܲ
ܨܲ
䁨ൌ
ф
ʹ，
根据相似三角形的判定可得ܱܲܰܲ
ൌ
ф
ʹ，由此可得ܱܲ
ൌʹ，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，过点香作香ܯ٣ ݔ轴于点ܯ，过点ܨ作ܨܰ
٣ ݔ轴于点ܰ
，
∵香ʹ灈标，ܨ的横坐标为െф，香䁨灈ܧܨ平行于ݔ轴，
∴香䁨ൌʹ灈香ܱൌܯ䁨ൌ标灈ܧܨൌܱܰ
ൌф，
∵ᇞܣ香䁨与ᇞܦܧܨ是位似图形，
∴
ܧܨ
香䁨ൌܲ
ܨܲ
䁨ൌ
ф
ʹ，即相似比等于位似比，
∴点ܨ是ܲ
䁨的中点，
∵ܱ䁨٣ ݔ轴，ܨܰ
٣ ݔ轴，
∴ܨܰ∥ܱ䁨，而ܱ
䁨ൌ香ൌܯ标，
∴ᇞܲ
ܨܰ
׾ᇞܲ
䁨ܱ，
∴ܲ
ܨܲ
䁨ൌ
ܨܱܰ
䁨ൌܱܲܰܲ
ൌ
ф
ʹ，且ܱܰ
ൌܧܨൌф，ܱܲ
ൌܲܰ
൅ܱܰ
ൌܲܰ
൅ф，
∴ܲܰܲܰ
൅ф ൌ
ф
ʹ，
∴ܲܰ
ൌф，则ܱܲ
ൌʹ，
∴ܲ
െʹ灈Ͳ ．
5．（2026·浙江宁波·二模）如图，以点䁨െф灈Ͳ 为位似中心，作ᇞܣ香䁨的位似图形ᇞܣԢ香Ԣ䁨，若点香的横坐
标是െ标，点香的对应点香Ԣ的横坐标是3，则ᇞܣ香䁨与ᇞܣԢ香Ԣ䁨的周长之比为（
）
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A．ф㈠ʹ
B．ф㈠标
C．ʹ㈠标
D．ʹ㈠ф
【答案】A
【分析】根据对应点到位似中心的距离之比等于位似比，位似图形的周长比等于位似比，即可得出结
果．
【详解】解：∵点䁨െф灈Ͳ 为位似中心，点香的横坐标是െ标，点香的对应点香Ԣ的横坐标是3，
∴点香到位似中心点䁨的水平距离为െ标െെф
ൌʹ，点香Ԣ到位似中心点䁨的水平距离为标െ
െф
ൌͶ，
∴ᇞܣ香䁨与ᇞܣԢ香Ԣ䁨的位似比为ʹ㈠Ͷ ൌф㈠ʹ，
∴ᇞܣ香䁨与ᇞܣԢ香Ԣ䁨的周长之比为ф㈠ʹ．
6．（2026·浙江衢州·一模）如图，ᇞܣ香䁨在直角坐标系中，סܣ香䁨ൌͻͲι，点B 的坐标是ሺʹ灈фሻ．若反比例函
数ݕൌ
Ͷ
ݔ的图象经过点A，C，且点A 的横坐标是1，则点C 的坐标为（
）
A．标灈
Ͷ
标
B．ф灈
ф
标
C．
R
标灈
标
ʹ
D．Ͷ灈
Ͷ
标
【答案】A
【分析】先求出点A 的坐标，进而求出直线ܣ香的关系式，可得点D，E 的坐标，再根据特殊角的三角
函数值求出点F 的坐标，然后求出直线香ܨ的关系式，最后将两个函数关系式联立求出答案即可．
【详解】解：∵点A 在双曲线ݕൌ
Ͷ
ݔ的图象上，且横坐标为1，
∴ݕൌͶ，
∴点ܣሺф灈Ͷሻ．
设直线ܣ香的关系式为ݕൌ݇
фݔ൅ܾ
ф，且经过点ܣሺф灈Ͷሻ，香ሺʹ灈фሻ，
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得݇
ф ൅ܾ
ф ൌͶ
ʹ݇ф ൅ܾ
ф ൌф ，解得݇
ф ൌെ标ܾ
ф ൌ͹ ，
∴直线ܣ香的关系式为ݕൌെ标ݔ൅͹，
当ݔൌͲ 时，ݕൌ͹，当ݕൌͲ 时，ݔൌ
͹
标，
∴点ܦሺͲ灈͹ሻ灈ܧሺ
͹
标灈Ͳሻ，
∴ܱܦൌ͹灈ܱܧൌ
͹
标，
∴香ܧൌ
ሺʹ െ
͹
标ሻʹ ൅ሺф െͲሻʹ ൌ
фͲ
标，ܦܧൌ
͹ʹ ൅ሺ
͹
标ሻʹ ൌ
͹ фͲ
标．
在Rt ᇞܱ
ܦܧ中，cosסܱܧܦൌܱ
ܧ
ܦܧൌ
͹
标
͹ фͲ
标
ൌ
фͲ
фͲ ，
在Rt ᇞ香ܧܨ中，cosסܱܧܦൌcosס香ܧܨൌ
香ܧ
ܧܨൌ
фͲ
标
ܧܨൌ
фͲ
фͲ ，
解得ܧܨൌ
фͲ
标，
∴ܱܨൌ
фͲ
标െ
͹
标ൌф，
∴点ܨሺെф灈Ͳሻ．
设直线香ܨ的关系式为ݕൌ݇
ʹݔ൅ܾ
ʹ，且经过点ܨሺെф灈Ͳሻ，香ሺʹ灈фሻ，
得െ݇
ф ൅ܾ
ф ൌͲ
ʹ݇ʹ ൅ܾ
ʹ ൌф ，解得݇
ʹ ൌ
ф
标ܾ
ʹ ൌ
ф
标
，
∴直线香ܨ的关系式为ݕൌ
ф
标ݔ൅
ф
标，
将两个函数关系式联立，得
ݕൌ
Ͷ
ݔ
ݕൌ
ф
标ݔ൅
ф
标
，
解得ݔф ൌെͶ（舍去）或ݔʹ ൌ标，
当ݔൌ标时，ݕൌ
Ͷ
标，
∴点䁨ሺ标灈
Ͷ
标ሻ．
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7．（2026·浙江绍兴·二模）如图，已知固定点ܣͲ灈െ耀，动点香െфʹ ൅ݐ灈Ͳ ，动点䁨െфʹ ൅标ݐ灈耀（t 为实
数），则ܣ香൅ܣ䁨൅
ф
ʹ 香䁨的最小值是（
）
A．24
B．26
C．28
D．以上答案都不正确
【答案】D
【分析】此题考查一定点两动点最小值问题，需要构建模型作香ൌܯ
ф
ʹ 香ܦ把
ф
ʹ 香䁨转化为
ф
ʹ 香䁨ൌ香ܰ，从
而ܣ香൅
ф
ʹ 香䁨的值是ܣ香൅香ܰ，则根据两点之间，线段最短，当A、B、N 三点共线时，ܣ香൅香ܰ
最短，因
为动点䁨是沿ݕൌ耀运动，经过计算当A、B、N 三点共线时，此时ܣ䁨正好垂直于ݔ轴，ܣ䁨最短，所以ܣ香൅
ܣ䁨൅
ф
ʹ 香䁨的最小值就是当A、B、N 三点共线时．
【详解】
设定点ሺܯെфʹ灈Ͳሻ，动点香ሺെфʹ ൅ݐ灈Ͳሻ可看作由ܯ沿x 轴向右平移t 个单位得到，因此香ݐൌܯ；
作䁨ܦ٣ ݔ轴于点ܦ，则垂足ܦሺെфʹ ൅标ݐ灈Ͳሻ，
即点ܦ由ሺܯെфʹ灈Ͳሻ沿x 轴向右平移标ݐ个单位得到，
由此可得香ܦൌܦܯെ香ൌܯ标ݐെݐൌʹݐ，
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香ൌܯ
ф
ʹ 香ܦ．
在x 轴上方构造Rt ᇞ香ܯܰ׾ Rt ᇞ香ܦ䁨（相似比为ф㈠ʹ），且保证ܯܰ٣ ݔ轴．
由相似三角形的性质可得：
ܯܰ
䁨ܦൌ
香ܯ
香ܦൌ
ф
ʹ，
已知䁨ܦൌ耀，得ܯܰ
ൌ标，
因此点ܰ
为ሺെфʹ灈标ሻ定点．且
ф
ʹ 香䁨ൌ香ܰ．
原式可转化为：ܣ香൅
ф
ʹ 香䁨൅ܣ䁨ൌܣ香൅香ܰ
൅ܣ䁨
当A、B、N 三点共线时，ܣ香൅香ܰ
取得最小值，最小值为线段ܣܰ
的长度．
由䁨ሺെфʹ ൅标ݐ灈耀ሻ可知，点䁨纵坐标恒为6，其轨迹为平行于x 轴的定直线ݕൌ耀；
根据直线外一点到直线的连线中，垂线段最短，
当ܣ䁨٣ ݕൌ耀时，ܣ䁨最小，此时䁨ሺͲ灈耀ሻ．
将䁨ሺͲ灈耀ሻ代入坐标解析式，得ݐൌͶ，对应动点香ሺെR灈Ͳሻ，该位置恰好满足A、B、N 三点共线，且ܣ䁨
值最小．
将ݐൌͶ 代入，则计算各段线段长度：
ܣ香ൌ
ሺെR െͲሻʹ ൅ሺͲ ൅耀ሻʹ ൌ
耀Ͷ ൅标耀ൌфͲ，
香䁨ൌ
ሺͲ ൅Rሻʹ ൅ሺ耀െͲሻʹ ൌ
耀Ͷ ൅标耀ൌфͲ，
则
ф
ʹ 香䁨ൌͷ，
ܣ䁨ൌ
ሺͲ െͲሻʹ ൅ሺ耀൅耀ሻʹ ൌфʹ，
因此，ܣ香൅
ф
ʹ 香䁨൅ܣ䁨的最小值为：фͲ ൅ͷ ൅фʹ ൌʹ͹．
8．（2026·浙江嘉兴·二模）已知平面直角坐标系内的三点ܣ，香，䁨，其中ܣ，香两点的坐标分别为െʹ灈Ͳ ，ܽ
灈耀െܽ
，点䁨满足סܣ䁨ܱ
ൌͶͷι（ܱ
为坐标原点），则香䁨的最小值是（
）
A．标ʹ
B．ʹ ʹ
C．фͲ
D．ʹ 标
【答案】B
【分析】先确定点B 的轨迹为直线，再得到点C 的轨迹为圆，确定݉
ൌф，݉
ൌെф，然后分两种情况
分析：当ܦሺെф灈фሻ时，得出圆半径ݎൌܦܣൌ
ф ൅фʹ ൌ
ʹ，ܦܱ
ൌܣܱ
ൌܱܱ
ൌф，过点D 作ܩܱ
٣ ݔ轴，
过点E 作ܩܧ∥ݔ轴，交ܩܱ
于点G，连接ܦܧ、ܦܨ，确定ܩܧൌܱܱ
ൌф灈ܩܱ
ൌܱ
ܧൌ耀，ܩܦൌ耀െф ൌͷ灈ܨܱ
ൌ耀൅
ф ൌ͹，结合图形得出ܵᇞܨܦܧൌܵ
梯形ܩܧܨܱെܵ
ᇞܩܦܧെܵ
ᇞܨܦܱ
ൌфR，过点D 作ܦ香٣ ܧܨ交圆于点C，此时ܦ香
取得最小值，利用等面积法求解即可；然后利用同样的方法得出ܦԢ香Ԣ ൐ܦ香ൌ标ʹ，即可求解
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【详解】解：∵点香坐标为ܽ
灈耀െܽ
，
设香ݔ灈ݕ，则ݔൌܽ
，ݕൌ耀െܽ，
∴ݔ൅ݕൌ耀，即点香在直线݈㈠ݕൌ耀െݔ上，
当ݔൌͲ 时，ݕൌ耀，当ݕൌͲ 时，ݔൌ耀，
∴ܧሺͲ灈耀ሻ灈ܨሺ耀灈Ͳሻ，
∴ܱܧൌܱ
ܨൌ耀，
∴ܧܨൌ耀ʹ，
∵ܣെʹ灈Ͳ ，ܱ
Ͳ灈Ͳ ，סܣ䁨ܱ
ൌͶͷι，
∴点䁨在以ܣܱ
为弦，圆心角为ͻͲι的圆上，
∴ܣܱ
中点为െф灈Ͳ ，ܣܱ
的垂直平分线为ݔൌെф，
设圆心为ܦെф灈݉
，
∵סܣܦܱ
ൌʹסܣ䁨ܱ
ൌͻͲι ，ܦܣൌܦܱ，ܣܱ
ൌʹ，
∴ܦܣʹ ൅ܦܱ
ʹ ൌܣܱ
ʹ，即ʹሺф ൅݉
ʹሻൌͶ ，
解得݉
ൌф，݉
ൌെф，
当݉
ൌф 时，ܦሺെф灈фሻ，
∴圆半径ݎൌܦܣൌ
ф ൅фʹ ൌ
ʹ，ܦܱ
ൌܣܱ
ൌܱܱ
ൌф，
过点D 作ܩܱ
٣ ݔ轴，过点E 作ܩܧ∥ݔ轴，交ܩܱ
于点G，连接ܦܧ、ܦܨ，如图所示：
∴四边形ܩܧܱܱ
为矩形，
∴ܩܧൌܱܱ
ൌф灈ܩܱ
ൌܱ
ܧൌ耀，
∴ܩܦൌ耀െф ൌͷ灈ܨܱ
ൌ耀൅ф ൌ͹，
∴ܵᇞܨܦܧൌܵ
梯形ܩܧܨܱെܵ
ᇞܩܦܧെܵ
ᇞܨܦܱ
ൌሺф ൅͹ሻ
ʹ
ൈ耀െф
ʹ ൈф ൈͷ െф
ʹ ൈф ൈ͹
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ൌ
ሺф൅͹ሻ
ʹ
ൈ耀െ
ф
ʹ ൈф ൈͷ െ
ф
ʹ ൈф ൈ͹ ൌфR，
过点D 作ܦ香٣ ܧܨ交圆于点C，任取一点䁨Ԣ，连接ܦ䁨Ԣ、香䁨Ԣ，
∵香䁨Ԣ ൅ܦ䁨Ԣ ൒香ܦ，
∴当点C 位于图中位置时，ܦ香取得最小值，
∴
ф
ʹ ൈ耀ʹ ൈܦ香ൌфR，
解得：ܦ香ൌ标ʹ
∴香䁨的最小值是：ܦ香െݎൌ标ʹ െ
ʹ ൌʹ ʹ；
同理：当݉
ൌെф 时，ܦԢሺെф灈െфሻ，
如图所示：ܦԢ香Ԣ ൐ܦ香ൌ标ʹ，
∴不符题意，舍去，
综上可得：香䁨的最小值是：ʹ ʹ
9．（2026·浙江台州·二模）如图，在平面直角坐标系中，ܣെʹ灈െ标，香标灈͹ ，点ܲ
是线段ܣ香上（含端点）
的一点，将点香绕着点ܲ
逆时针旋转ͻͲι得到点ܯ，若点ܯ在反比例函数ݕൌ݇ݔ的图像上，则݇
的最小值
为（
）
A．െʹͶ
B．െʹ͹
C．െʹR
D．െ标Ͳ
【答案】B
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【分析】先求出ܣ香所在直线的表达式ݕൌʹݔ൅ф，设ܲ
݌灈ʹ݌൅ф ，其中െʹ ൑݌൑标，过点P 作线段
ܧܨ∥ݔ轴，过点M 作ܧܯ٣ ܧܨ，垂足为E，过点B 作香ܨ٣ ܧܨ，垂足为F，证明ᇞܲ
ܧܯ، ᇞ香ܨܲ，进而得
到点M 坐标为标݌െ耀灈݌൅Ͷ ，又因为点ܯ在反比例函数ݕൌ݇ݔ上，所以݇
ൌ标݌െ耀
݌൅Ͷ ൌ标݌ʹ ൅耀݌െʹͶ，
结合െʹ ൑݌൑标，求关于p 的二次函数的最小值，得到݇
的最小值．
【详解】解：设过ܣ香的直线表达式为：ݕൌ݇
фݔ൅ܾ
ф，将点A、B 坐标代入表达式，联立得方程组
െʹ݇ф ൅ܾ
ф ൌെ标
标݇ф ൅ܾ
ф ൌ͹
，
解得݇ф ൌʹ灈ܾф ൌф，即ݕൌʹݔ൅ф，
׶点ܲ
是线段ܣ香上的点，设ܲ
݌灈ʹ݌൅ф ，其中െʹ ൑݌൑标，
过点P 作线段ܧܨ∥ݔ轴，过点M 作ܧܯ٣ ܧܨ，垂足为E，过点B 作香ܨ٣ ܧܨ，垂足为F，如下图
׶ 香ܨ٣ ܧܨ灈ܧܯ٣ ܧܨ，
׵ ס香ܨܲ
ൌסܲܧͲͻൌܯι，
׵ ס香ܲܨ൅סܨ香ܲ
ൌͻͲι，
׶ 香ܲ
逆时针旋转ͻͲι得到ܲܯ，
׵ ס香ܲͲͻൌܯι，且香ܲ
ൌܲܯ，
׵ סܧܲ൅ܯס香ܲܨൌͻͲι，
׵ סܧܲൌܯסܨ香ܲ，
又׶ 香ܲ
ൌܲܯ灈ס香ܨܲ
ൌסܲܧͲͻൌܯι，
׵ᇞ香ܨܲ، ᇞܲ
ܧܯ，
׵ 香ܨൌܲ
ܧ灈ܲܨൌܧܯ，
点B 相对于点P 的坐标为Δݔ灈Δݕൌ标െ݌灈͹ െʹ݌൅ф
ൌ标െ݌灈耀െʹ݌，
点M 相对于点P 的坐标为െΔݕ灈Δݔൌʹ݌െ耀灈标െ݌，
׵点M 的坐标为݌൅ʹ݌െ耀灈ʹ݌൅ф ൅标െ݌
ൌ标݌െ耀灈݌൅Ͷ ，
׶点M 在反比例函数ݕൌ݇ݔ上，
׵݇
ൌ标݌െ耀
݌൅Ͷ ൌ标݌ʹ ൅耀݌െʹͶ ൌ标݌൅ф ʹ െʹ͹，
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׵k 的取值为关于p 的二次函数，开口向上，对称轴݌ൌെф，െʹ ൑݌൑标，在区间内，顶点处取得最小
值，最小值为െʹ͹；
׵݇
的最小值为െʹ͹．
10．（2026·浙江·模拟预测）七巧板是我国古代著名的益智玩具，由一个正方形分割成七块几何图形组成，
现把正方形边长为Ͷ 的图1 七巧板拼成“小天鹅”形状，并放置在图2 所示的直角坐标系中，则最高点ܣ的
坐标为_________．
【答案】െф灈ͷ
【分析】根据七巧板图形性质即可求解．
【详解】解：由图可知，正方形边长为Ͷ，
所以最小三角形最长边为2，高为ф，平行四边形长边长为2，小正方形可由两个最小三角形拼成，
且点ܣ在ݔ负半轴，
则点ܣ的坐标为െф灈ͷ ．
11．（2026·浙江嘉兴·二模）如图1，将小正方形ܧܨܩܱ
放在大正方形ܣ香䁨ܦ的内部，剩余部分恰好可以分
割成四个长为݉
，宽为݊
的矩形，且݉݊
ൌ标．现将小正方形ܧܨܩܱ
平移至两边与大正方形ܣ香䁨ܦ两边重合
（如图2 所示），连接香ܩ，䁨ܩ，ܦܩ，则阴影部分的面积是________．
【答案】6
【分析】结合图形以及正方形的特征可得出大正方形ܣ香䁨ܦ的边长为݉
൅݊
，小正方形ܧܨܩܱ
的边长
为݉
െ݊
，则点G 到䁨ܦ的距离为ʹ݊，香ܨൌʹ݊，然后根据ܵ阴影ൌܵ
ᇞ䁨ܦܩ൅ܵ
ᇞ香ܨܩ求解即可．
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【详解】解：根据题意，得大正方形ܣ香䁨ܦ的边长为݉
൅݊
，小正方形ܧܨܩܱ
的边长为݉
െ݊
，
则在图2 中，
点G 到䁨ܦ的距离为݉
൅݊
െ݉
െ݊
ൌʹ݊，香ܨൌ݉
൅݊
െ݉
െ݊
ൌʹ݊，
∴ܵ阴影ൌܵ
ᇞ䁨ܦܩ൅ܵ
ᇞ香ܨܩ，
ൌф
ʹ݉
൅݊
ڄ ʹ݊൅ф
ʹ݉
െ݊
ʹ݊
ൌ݉݊
൅݊
ʹ ൅݉݊
െ݊
ʹ
ൌʹ݉݊
ൌʹ ൈ标
ൌ耀．
12．（2026·浙江宁波·模拟预测）已知：在ᇞܣ香䁨中，香䁨ൌͷ灈ܣ䁨ൌ标ͷ灈tanס香䁨ܣൌʹ．
(1)如图1，求ᇞܣ香䁨的面积．
(2)如图2，点ܦ在边ܣ䁨上，将ᇞܣ香䁨沿射线香ܦ方向平移至ᇞܣфܦ䁨ф，使得点香与点ܦ重合．
①连接ܣܣф灈䁨ܣф．求ᇞܣܣф䁨的面积．
②如图3，将ᇞܣфܦ䁨ф绕点ܦ旋转至ᇞܣʹܦ䁨ʹ，边ܣʹ䁨ʹ与线段香ܦ的延长线交于点ܧ，连接䁨ܧ．当䁨ܦൌʹܣܦ
时，求䁨ܧʹ െ香ܦʹ的最小值．
【答案】(1)фͷ
(2)①15；②фͷ ൅R ͷ
【分析】
（1）过点香作香ܨ٣ ܣ䁨于点ܨ，则：设䁨ܨൌݔݔ൐Ͳ ，则香ܨൌʹݔ，结合勾股定理可得：ݔൌ
ͷ，
进一步求解即可．
（2）①如图2，连结䁨䁨ф，证明四边形ܣ䁨䁨фܣф是平行四边形，求解ᇞܣфܦ䁨ф的面积ൌᇞܣ香䁨的面积ൌфͷ，
可得ᇞܣܣф䁨的面积ൌфͷ．
②如图3，过点香作香ܨ٣ ܣ䁨于点ܨ，求解香ܦൌ香䁨ൌͷ，过点䁨作䁨ܩ٣ 香ܦ于点ܩ，则ᇞ香䁨ܦ的面
积为：求解䁨ܩൌͶ，结合只需ܦܧ最小，则䁨ܧʹ െ香ܦʹ最小，再进一步求解即可．
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【详解】（1）解：过点香作香ܨ٣ ܣ䁨于点ܨ，则：
䁨ܨʹ ൅香ܨʹ ൌ香䁨ʹ，tanס香䁨ܣൌ
香ܨ
䁨ܨൌʹ，
设䁨ܨൌݔݔ൐Ͳ ，则香ܨൌʹݔ，
∵香䁨ൌͷ，
∴ݔʹ ൅ʹݔʹ ൌͷʹ，解得：ݔൌ
ͷ，
∴䁨ܨൌ
ͷ灈香ܨൌʹ ͷ，
∴ᇞܣ香䁨的面积为：
ф
ʹ ܣ䁨ൈ香ܨൌ
ф
ʹ ൈ标ͷ ൈʹ ͷ ൌфͷ．
（2）解：①如图2，连接䁨䁨ф，
∵ᇞܣ香䁨沿射线香ܦ方向平移至ᇞܣфܦ䁨ф，
∴ᇞܣфܦ䁨ф، ᇞܣ香䁨，ܣф䁨ф∥ܣ䁨，ܣфܦ∥ܣ香，
∴ܣф䁨ф ൌܣ䁨，
∵ܣф䁨ф∥ܣ䁨且ܣф䁨ф ൌܣ䁨，
∴四边形ܣ䁨䁨фܣф是平行四边形，
∴ᇞܣܣф䁨的面积ൌᇞ䁨ܣф䁨ф的面积ൌᇞܣфܦ䁨ф的面积，
∵ᇞܣфܦ䁨ф، ᇞܣ香䁨，
∴ᇞܣфܦ䁨ф的面积ൌᇞܣ香䁨的面积ൌфͷ，
∴ᇞܣܣф䁨的面积ൌфͷ．
②如图3，过点香作香ܨ٣ ܣ䁨于点ܨ，
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由（1）得：䁨ܨൌ
ͷ灈香ܨൌʹ ͷ，
当䁨ܦൌʹܣܦ时，ܣܦൌ
ͷ灈䁨ܦൌʹ ͷ，
∴ܦܨൌ
ͷ，
∴香ܦൌ香䁨ൌͷ，
过点䁨作䁨ܩ٣ 香ܦ于点ܩ，则ᇞ香䁨ܦ的面积为：
ф
ʹ 香ܦൈ䁨ܩൌ
ͷ
ʹ 䁨ܩ，
∵ᇞ香䁨ܦ的面积为：
ф
ʹ 䁨ܦൈ香ܨൌ
ф
ʹ ൈʹ ͷ ൈʹ ͷ ൌфͲ，
∴
ͷ
ʹ 䁨ܩൌфͲ，解得䁨ܩൌͶ，
∴香ܩൌ标灈ܦܩൌʹ，
∵䁨ܧʹ െ香ܦʹ ൌ䁨ܧʹ െ香䁨ʹ ൌܧܩʹ ൅䁨ܩʹ െ香ܩʹ ൅䁨ܩʹ ൌܧܩʹ െ香ܩʹ ൌܦܧ൅ʹ ʹ െͻ，
∴只需ܦܧ最小，则䁨ܧʹ െ香ܦʹ最小，
∵ᇞܣфܦ䁨ф绕点ܦ旋转至ᇞܣʹܦ䁨ʹ，
∴ᇞܣʹܦ䁨ʹ، ᇞܣфܦ䁨ф، ᇞܣ香䁨，
∴ܦܧ的最小值ൌ香ܨൌʹ ͷ，
∴䁨ܧʹ െ香ܦʹ的最小值为：ʹ ͷ ൅ʹ
ʹ െͻ ൌфͷ ൅R ͷ．