专题17平面直角坐标系中的旋转变换（解析版）_初中数学人教版_9上-初中数学人教版_06习题试卷_5专项练习

专题17 平面直角坐标系中的旋转变换 1．如图， 是 经过某种变换得到的图形，点 与点 ，点 与点 ， 点 与点 分别是对应点，观察点与点的坐标之间的关系，解答下列问题： （1）分别写出点 与点 ，点 与点 ，点 与点 的坐标，并说说对应点的坐标有哪些特征； （2）若点 与点 也是通过上述变换得到的对应点，求 ， 的值． （3）求图中 的面积． 【解答】解：（1） 与 ； 与 ； 与 ． 对应点的坐标的特征：横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数； （2）由（1）可得 ， ．解得 ， ； （3）三角形 的面积 ． 2． 与△ 在平面直角坐标系中的位置如图． （1）分别写出△ 各点的坐标： ； ； （2）若点 是△ 内部一点，则其图形变换后的对应点 的坐标为 ； （3）说明△ 是由 经过怎样的图形变换得到的？ ； （4） 的面积 ．【解答】解：（1）观察图象可知 ， ， ， 故答案为 ， ， ． （2）点 向左平移4个单位向下平移2个单位得到 ， ． 故答案为 ． （3） 向左平移4个单位向下平移2个单位得到△ ， 故答案为： 向左平移4个单位向下平移2个单位得到△ ． （4） ． 故答案为2． 3．如图，在平面直角坐标系 中，点 的坐标为 ，等边三角形 经过平移或轴对称 或旋转都可以得到 ． （1） 沿 轴向右平移可得到 ，则平移的距离是 2 个单位长度； 与 关于某直线对称，则对称轴是 ； 绕原点 顺时针旋转可得到 ，则旋转角至少是 ． （2）连接 ，交 于点 ，求 的度数．【解答】解：（1） 点 的坐标为 ， 沿 轴向右平移2个单位得到 ； 与 关于 轴对称； 为等边三角形， ， ， 绕原点 顺时针旋转 得到 ． （2）如图， 等边 绕原点 顺时针旋转 得到 ， ， ， ， 即 为等腰 的顶角的平分线， 垂直平分 ， ． 故答案为；2； 轴；120． 4．如图，三角形 是三角形 经过某种变换得到的图形，点 与点 ，点 与点 ，点 与点 分别是对应点，观察点与点的坐标之间的关系，解答下列问题： （1）分别写出点 与点 ，点 与点 ，点 与点 的坐标，并说说对应点的坐标有哪些特征；（2）若点 与点 也是通过上述变换得到的对应点，求 ， 的值． 【解答】解：（1）点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 的坐 标为 ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，对应点的横、纵坐标分别互为相反数； （2）由（1）得， ， 解得， ， 答： ， ． 5．如图，在直角坐标系 中，边长为2的等边三角形 的顶点 、 都在 轴上，顶点 在第二象限内， 经过平移或轴对称或旋转都可以得到 ． （1） 沿 轴向右平移得到 ，则平移的距离是 2 个长度单位； 与 关 于直线对称，则对称轴是 ； 绕原点 顺时针方向旋转得到 ，则旋转角度可 以是 度． （2）连接 ，交 于点 ，求 的度数． 【解答】解：（1） 沿数轴向右平移得到 ，则平移的距离是2个单位长度； 与关于直线对称，则对称轴是 轴； 绕原点 顺时针旋转得到 ，则旋转角度 至少是 度， 故答案为：2； 轴；120； （2） 和 是能够重合的等边三角形， ， ， ， ． 6．如图所示，在平面直角坐标系中，如图①，将线段 平移至线段 ，点 在 轴的负半轴， 点 在 轴的正半轴上，连接 、 ． （1）若 、 ， ，直接写出点 的坐标； （2）如图②，在平面直角坐标系中，已知一定点 ，两个动点 、 ． 请你探索是否存在以两个动点 、 为端点的线段 平行于线段 且等于线段 ，若存在， 求点 、 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图③，在直线 上有两点 、 ，分别引两条射线 、 ． ， ，射线 、 分别绕 点， 点以1度 秒和3度 秒的速度同时顺时针转动，设 时间为 ，在射线 转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得 与 平行？若存在，求出所 有满足条件的时间 ． 【解答】解：（1）设 ， 将线段 平移至线段 ， 、 ， ， ， ， ， ，； （2）存在，理由： ， ， ， ， ， 点 与 的纵坐标相等，横坐标的差的绝对值为2，四边形 是平行四边形， 即 ， ， 解得： ， 或 ， ， 点 的坐标为 ， ， 的坐标为 ， 或点 的坐标为 ， ， 的坐标为 ， ， 当 ， ， ， 时， 、 、 、 四点均在 轴上，不能构成平行四边形，舍去； ， ， ， ； （3）存在． 分三种情况： ， 如图①， 与 在 的两侧时， ， ， ， ，要使 ，则 ，即 ， 解得 ， 此时 ， ， ② 旋转到与 都在 的右侧时， ， ， ， ， 要使 ，则 ，即 ， 解得 ， 此时 ， ； ③ 旋转到与 都在 的左侧时， ， ， ， ， 要使 ，则 ， 即 ， 解得 ， 此时 ， ， 此情况不存在． 综上所述， 为5秒或95秒时， 与 平行． 7．如图， 是 经过某种变换得到的图形，点 与点 ，点 与点 ，点 与点 分 别是对应点，观察点与点的坐标之间的关系，解答下列问题： （1）分别写出点 与点 ，点 与点 ，点 与点 的坐标，并说说对应点的坐标有哪些特征； （2）若点 与点 也是通过上述变换得到的对应点，求 、 的值．【解答】解：（1）由图象可知，点 ，点 ，点 ，点 ，点 ， 点 ； 对应点的坐标特征为：横坐标、纵坐标都互为相反数； （2）由（1）可知， ， ，解得 ， ． 8．如图，点 为平面直角坐标系的原点，点 在 轴上， 是边长为2的等边三角形． （1）写出 各顶点的坐标； （2）以点 为旋转中心，将 按顺时针方向旋转 ，得到△ ，写出 ， 的坐标． 【解答】解：（1）如图1，过 作 于 ， 是等边三角形，且 ， ， 由勾股定理得： ， ， ， ； （2）如图2， ， ， 与 重合，， 由旋转得： ， ， ， ， ， ， ， ． 9．如图，在平面直角坐标系中，有 ， ， ，点 、 均在 轴上， 边 与 轴交于点 ，连接 ，且 是 的角平分线，若点 的坐标为 ， ． （1）如图1，求点 的横坐标； （2）如图2，将 绕点 逆时针旋转一个角度 得到 △ ，直线 交直线 于点 ，直线 交 轴于点 ，是否存在点 、 ，使 为等腰三角形？若存在， 直接写出 的度数；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）如图1中，过点 作 于 ． ， ， ， 平分 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． （2）如图2，连接 ， 是等腰三角形， ， 当 时， ， 当 时， ， 当 时， ， 当点 在 轴的负半轴上时，等腰三角形的顶角为 ，此时 ， 综上所述，满足条件的 的值为 或 或 或 ． 10．在平面直角坐标系 中，已知 、 ，直线 是绕着 的顶点 旋转，与 轴 相交于点 ，探究解决下列问题： （1）如图1所示，当直线 旋转到与边 相交时，试用无刻度的直尺和圆规确定点 的位置， 使顶点 、 到直线 的距离之和最大（保留作图痕迹）； （2）当直线 旋转到与 轴的负半轴相交时，使顶点 、 到直线 的距离之和最大，请直接写出点 的坐标是 ．（可在图2中分析） 【解答】解：（1）如图1，过 点作直线 于点 ， 与 轴的交点即为所确定的 点位置． 理由如下：如图2所示，过点 作 于 ，过点 作 于 ． 为定值． 要使点 、 到直线 的距离之和最大，即 最大，只要使 最小， 过 点作直线 于点 ，此时 即为最小值（此时，点 、 、 重合）． 与 轴的交点即为所确定的 点位置； （2）由（1）的解题过程知，如图 2 所示，延长 到 点，使 ，连接 ，则 ， 旋转直线 至 于点 ，与 轴的交点即为所确定的 点，过点 作 于点 ， ， ， ， 过点 作 轴于点 ， ， ， ， ， 又 直线 于点 ， ， ，， ， ， ， 故答案为： ． 11．如图①，将边长为2的正方形 如图①放置， 为原点． （Ⅰ）若将正方形 绕点 逆时针旋转 时，如图②，求点 的坐标； （Ⅱ）如图③，若将图①中的正方形 绕点 逆时针旋转 时，求点 的坐标． 【解答】解：（1）过点 作 轴的垂线，垂足为 ， ， 旋转角为 ，， ， ， ， ； （2）连接 ，过 作 轴于 ， 旋转角为 ， ， ， ， ， ， 中， ， ， ， ． 12．阅读理解：我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中， 任意两点 ， 、 ， 的对称中心的坐标为 ， ． 观察应用： （1）如图，在平面直角坐标系中，若点 、 的对称中心是点 ，则点 的坐标为； （2）另取两点 、 ．有一电子青蛙从点 处开始依次关于点 、 、 作循环 对称跳动，即第一次跳到点 关于点 的对称点 处，接着跳到点 关于点 的对称点 处， 第三次再跳到点 关于点 的对称点 处，第四次再跳到点 关于点 的对称点 处， 则 点 、 的坐标分别为 、 ． 拓展延伸： （3）求出点 的坐标，并直接写出在 轴上与点 ，点 构成等腰三角形的点的坐标． 【解答】解：（1）点 的坐标为 ； （2） 、 的坐标分别为 ， ； （ 3 ） ， ， ， ， ， ， ， ； 的坐标和 的坐标相同， 的坐标和 的坐标相同，即坐标以6为周期循环． ．的坐标与 的坐标相同，为 ； 在 轴上与点 、点 构成等腰三角形的点的坐标为 ， ， ， ， ， ． 故答案为： ； ， ． 13．在平面直角坐标系中， 为原点，点 ，点 ，把 绕点 逆时针旋转，得△ ，点 、 旋转后的对应点为 、 ，记旋转角为 ． （1）如图1，若 ，求 的长； （2）如图2，若 ，求点 的坐标． 【解答】解：（1） 点 ，点 ， ， ． 在 中，由勾股定理得 ． 根据题意，△ 是 绕点 逆时针旋转 得到的， 由旋转是性质可得： ， ， ． （2）如图，根据题意，由旋转是性质可得： ， 过点 作 轴，垂足为 ，则 ． 在 △ 中，由 ， ． ． 由勾股定理 ， ． 点 的坐标为 ， ． 14．（1）如图，在方格纸中先通过 向上平移 4 个单位长 ，由图形 得到图形 ，再由图形 先 （怎样平移），再 （怎样旋转）得到图形 （对于平移变换要求回答出平移的方 向和平移的距离；对于旋转变换要求回答出旋转中心、旋转方向和旋转角度）； （2）如图，如果点 、 的坐标分别为 、 ，写出点 的坐标是 ； （3）图形 能绕某点 顺时针旋转 得到图形 ，则点 的坐标是 ； （4）图形 能绕某点 顺时针旋转 得到图形 ，则点 的坐标是 ； 注：方格纸中的小正方形的边长为1个单位长度． 【解答】解：（1）根据题意可知，向上平移4个单位长度图形 得到图形 ，图形 向右平移4 个单位长度，再绕点 顺时针旋转 得到图形 ．故答案为向上平移4个单位长，向右平移4个单位长度，绕点 顺时针旋转 ． （2）根据题意建立如图坐标系，根据图象可知 ． 故答案为 ． （3）观察图形可知旋转中心 ． 故答案为 ． （4）观察图形可知旋转中心 ． 故答案为 ． 15．如图，在平面直角坐标系 中，点 的坐标为 等边 经过平移或轴对称或旋转 都可以得到 ． （1） 沿 轴向右平移得到 ，则平移的距离是 3 个单位长度； 与 关 于直线对称，则对称轴是 ； 绕点 顺时针旋转得到 ，则旋转角度可以是 度． （2）连接 ，交 于点 ，求 的度数． 【解答】解：（1） 沿 轴向右平移得到 ，则平移的距离是3个单位长度；与 关于直线对称，则对称轴是 轴； 绕点 顺时针旋转得到 ，则旋转角度可以是120度； 故答案为：3， 轴，120； （2）连接 ，交 于点 ， 由（1）得： ， ， ， 故 ， 则 ． 16．在平面直角坐标系中， ， ， （1）将 绕 点顺时针旋转 ，得△ ，则点 的坐标为 ． （2）将△ 向右平移6个单位得△ ，则点 的坐标为 ． （3）从 到△ 能否看作是绕某一点作旋转变换？若能，则旋转中心坐标为 在旋转 变换中 所扫过的面积为 ． 【解答】解：（1）取点 ，可知 ， ， 三点同一直线上，所以 为直角三角形 ， 绕 点旋转，易知 与 轴重合， 轴，即 横坐标的数值等于 的长度加上 的长度，纵坐标等于 的长度，又 位于第二象限，故 的坐标为 ． ； （2）由（1）可知， 的坐标为 ， 向右平移6个单位得△ ， 的横坐标向右平移6个单位，即 的横坐标为 ，即点 的坐标为 ． ； （3）连接 ， ，易知 的斜率为 ，其中点 的坐标为 ， ，所以其中垂线的方 程为 ， 的中垂线为 ，与 联立，解得交点 坐标为 ． 扫过的面积 ． 17．如图，三角形 是由三角形 经过某种变换后得到的图形． ①分别写出点 与点 ，点 与点 ，点 与点 的坐标，从中你发现了什么特征？请你用文 字语言表达出来． ②根据你发现的特征，解答下列问题：若三角形 内有一点 经过变换后，在三 角形 内的对称坐标为 ，求关于 的方程 的解．【解答】解：① ； ； ； ； ； ； 对应点的连线的垂直平分线为一条直线，那么这两个图形关于某条直线对称； ②由①得 ； ； 解得： ； ； 代入方程可得： ， 解得： ． 18．今后你将大量遇到用坐标的方法研究图形的运动变换． 如图1，在已建立直角坐标系的方格纸中，图形 的顶点为 ， ， ，要将它平移旋转到 图 （变换过程中图形的顶点必须在格点上，且不能超出方格纸的边界）． 例如：将图形 做如下变换（见图 ． 第一步：平移，使顶点 移至点 ，得 图； 第二步：绕着点 旋转 ，得 图； 第三步：平移，使点 移至点 ，得 图． （1）写出 ， 两点的坐标； （2）从 ， ， 三点中选取你要的点，仿照例题格式描述出另一种与上例不同的路线的图形变 换． 【解答】解：（1）根据 的坐标变化可得到点的坐标变化规律为： ， ， 关于点 中心对称 平移后的坐标．根据此规律或结合坐标系可求得： ， ； （2）平移，使顶点 移至点 绕着点 旋转 得到点 ．