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专题17 平面直角坐标系中的旋转变换
1．如图， 是 经过某种变换得到的图形，点 与点 ，点 与点 ，
点 与点 分别是对应点，观察点与点的坐标之间的关系，解答下列问题：
（1）分别写出点 与点 ，点 与点 ，点 与点 的坐标，并说说对应点的坐标有哪些特征；
（2）若点 与点 也是通过上述变换得到的对应点，求 ， 的值．
（3）求图中 的面积．
2． 与△ 在平面直角坐标系中的位置如图．
（1）分别写出△ 各点的坐标： ； ；
（2）若点 是△ 内部一点，则其图形变换后的对应点 的坐标为 ；
（3）说明△ 是由 经过怎样的图形变换得到的？ ；
（4） 的面积 ．
3．如图，在平面直角坐标系 中，点 的坐标为 ，等边三角形 经过平移或轴对称
或旋转都可以得到 ．
（1） 沿 轴向右平移可得到 ，则平移的距离是 个单位长度； 与关于某直线对称，则对称轴是 ；
绕原点 顺时针旋转可得到 ，则旋转角至少是 ．
（2）连接 ，交 于点 ，求 的度数．
4．如图，三角形 是三角形 经过某种变换得到的图形，点 与点 ，点 与点 ，点
与点 分别是对应点，观察点与点的坐标之间的关系，解答下列问题：
（1）分别写出点 与点 ，点 与点 ，点 与点 的坐标，并说说对应点的坐标有哪些特征；
（2）若点 与点 也是通过上述变换得到的对应点，求 ， 的值．
5．如图，在直角坐标系 中，边长为2的等边三角形 的顶点 、 都在 轴上，顶点
在第二象限内， 经过平移或轴对称或旋转都可以得到 ．
（1） 沿 轴向右平移得到 ，则平移的距离是 个长度单位； 与 关
于直线对称，则对称轴是 ； 绕原点 顺时针方向旋转得到 ，则旋转角度可
以是 度．
（2）连接 ，交 于点 ，求 的度数．6．如图所示，在平面直角坐标系中，如图①，将线段 平移至线段 ，点 在 轴的负半轴，
点 在 轴的正半轴上，连接 、 ．
（1）若 、 ， ，直接写出点 的坐标；
（2）如图②，在平面直角坐标系中，已知一定点 ，两个动点 、 ．
请你探索是否存在以两个动点 、 为端点的线段 平行于线段 且等于线段 ，若存在，
求点 、 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图③，在直线 上有两点 、 ，分别引两条射线 、 ． ，
，射线 、 分别绕 点， 点以1度 秒和3度 秒的速度同时顺时针转动，设
时间为 ，在射线 转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得 与 平行？若存在，求出所
有满足条件的时间 ．
7．如图， 是 经过某种变换得到的图形，点 与点 ，点 与点 ，点 与点 分
别是对应点，观察点与点的坐标之间的关系，解答下列问题：
（1）分别写出点 与点 ，点 与点 ，点 与点 的坐标，并说说对应点的坐标有哪些特征；
（2）若点 与点 也是通过上述变换得到的对应点，求 、 的值．8．如图，点 为平面直角坐标系的原点，点 在 轴上， 是边长为2的等边三角形．
（1）写出 各顶点的坐标；
（2）以点 为旋转中心，将 按顺时针方向旋转 ，得到△ ，写出 ， 的坐标．
9．如图，在平面直角坐标系中，有 ， ， ，点 、 均在 轴上，
边 与 轴交于点 ，连接 ，且 是 的角平分线，若点 的坐标为 ， ．
（1）如图1，求点 的横坐标；
（2）如图2，将 绕点 逆时针旋转一个角度 得到 △ ，直线
交直线 于点 ，直线 交 轴于点 ，是否存在点 、 ，使 为等腰三角形？若存在，
直接写出 的度数；若不存在，请说明理由．10．在平面直角坐标系 中，已知 、 ，直线 是绕着 的顶点 旋转，与 轴
相交于点 ，探究解决下列问题：
（1）如图1所示，当直线 旋转到与边 相交时，试用无刻度的直尺和圆规确定点 的位置，
使顶点 、 到直线 的距离之和最大（保留作图痕迹）；
（2）当直线 旋转到与 轴的负半轴相交时，使顶点 、 到直线 的距离之和最大，请直接写
出点 的坐标是 ．（可在图2中分析）
11．如图①，将边长为2的正方形 如图①放置， 为原点．
（Ⅰ）若将正方形 绕点 逆时针旋转 时，如图②，求点 的坐标；
（Ⅱ）如图③，若将图①中的正方形 绕点 逆时针旋转 时，求点 的坐标．
12．阅读理解：我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中，
任意两点 ， 、 ， 的对称中心的坐标为 ， ．观察应用：
（1）如图，在平面直角坐标系中，若点 、 的对称中心是点 ，则点 的坐标为
；
（2）另取两点 、 ．有一电子青蛙从点 处开始依次关于点 、 、 作循环
对称跳动，即第一次跳到点 关于点 的对称点 处，接着跳到点 关于点 的对称点 处，
第三次再跳到点 关于点 的对称点 处，第四次再跳到点 关于点 的对称点 处， 则
点 、 的坐标分别为 、 ．
拓展延伸：
（3）求出点 的坐标，并直接写出在 轴上与点 ，点 构成等腰三角形的点的坐标．
13．在平面直角坐标系中， 为原点，点 ，点 ，把 绕点 逆时针旋转，得△
，点 、 旋转后的对应点为 、 ，记旋转角为 ．
（1）如图1，若 ，求 的长；
（2）如图2，若 ，求点 的坐标．14．（1）如图，在方格纸中先通过 ，由图形 得到图形 ，再由图形 先 （怎样平
移），再 （怎样旋转）得到图形 （对于平移变换要求回答出平移的方向和平移的距离
对于旋转变换要求回答出旋转中心、旋转方向和旋转角度）；
（2）如图，如果点 、 的坐标分别为 、 ，写出点 的坐标是 ；
（3）图形 能绕某点 顺时针旋转 得到图形 ，则点 的坐标是 ；
（4）图形 能绕某点 顺时针旋转 得到图形 ，则点 的坐标是 ；
注：方格纸中的小正方形的边长为1个单位长度．
15．如图，在平面直角坐标系 中，点 的坐标为 等边 经过平移或轴对称或旋转
都可以得到 ．
（1） 沿 轴向右平移得到 ，则平移的距离是 个单位长度； 与 关
于直线对称，则对称轴是 ； 绕点 顺时针旋转得到 ，则旋转角度可以是
度．
（2）连接 ，交 于点 ，求 的度数．16．在平面直角坐标系中， ， ，
（1）将 绕 点顺时针旋转 ，得△ ，则点 的坐标为 ．
（2）将△ 向右平移6个单位得△ ，则点 的坐标为 ．
（3）从 到△ 能否看作是绕某一点作旋转变换？若能，则旋转中心坐标为 在旋转
变换中 所扫过的面积为 ．
17．如图，三角形 是由三角形 经过某种变换后得到的图形．
①分别写出点 与点 ，点 与点 ，点 与点 的坐标，从中你发现了什么特征？请你用文
字语言表达出来．
②根据你发现的特征，解答下列问题：若三角形 内有一点 经过变换后，在三
角形 内的对称坐标为 ，求关于 的方程 的解．
18．今后你将大量遇到用坐标的方法研究图形的运动变换．
如图1，在已建立直角坐标系的方格纸中，图形 的顶点为 ， ， ，要将它平移旋转到 图
（变换过程中图形的顶点必须在格点上，且不能超出方格纸的边界）．
例如：将图形 做如下变换（见图 ．第一步：平移，使顶点 移至点 ，得 图；
第二步：绕着点 旋转 ，得 图；
第三步：平移，使点 移至点 ，得 图．
（1）写出 ， 两点的坐标；
（2）从 ， ， 三点中选取你要的点，仿照例题格式描述出另一种与上例不同的路线的图形变
换．
