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专题17 平面直角坐标系中的平行四边形
1．在平面直角坐标系中，以 为顶点构成平行四边形，下列各点不能作为平
行四边形顶点的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分别以AC、AB、BC为对角线画平行四边形，再分别写出个点的坐标，即可选出答案．
【详解】解：如图所示：
①以AC为对角线，可以画出▱AFCB，F（-3，1）；
②以AB为对角线，可以画出▱ACBE，E（5，1）；
③以BC为对角线，可以画出▱ACDB，D（1，-1）；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，坐标与图形，关键是分类讨论，正确画出图形．
2．已知坐标系中有 四个点，其中点 ，若以 为顶点的四边形是
平行四边形，则C的符合条件的一个坐标是_______．
【答案】（4，1）
【分析】由平行四边形的判定，结合图形，直接写出答案即可．
【详解】解：如图所示：分三种情况：①AB为对角线时，点C的坐标为（4，1）；
②OB为对角线时，点C的坐标为（−2，1）；
③OA为对角线时，点C的坐标为（2，−1）；
综上所述，点C的坐标为（4，1）或（−2，1）或（2，−1），
故答案为：（4，1）．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理，画出图形是解题
的关键．
3．在平面直角坐标系中， 三点的坐标分别为 ，以这三点为平行四边形
的三个顶点，则第四个顶点不可能在第__________象限．
【答案】一
【分析】分别以每条边为对角线得到第四个点所在的象限，即可得到答案.
【详解】如图，
以AB为对角线时，第四个顶点（2，-3）在第四象限，
以AC为对角线时，第四个顶点在（-2，3）第二象限，
以BC为对角线时，第四个顶点（-2，-7）在第三象限，
故第四个顶点不可能在第一象限，
故答案为：一.
【点睛】此题考查平行四边形的性质，根据点坐标确定所在的象限，正确理解平行四边形的对边
平行且相等的性质是解题的关键.
4．在平面直角坐标系中，A（﹣1，1），B（2，3），C（m，2m＋1），D在x轴上，若以A，
B，C，D四点为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为_____．
【答案】（﹣ ，0）或（ ，0）
【分析】先确定模型，设点A坐标为（a，b），点B坐标为（c，d），则中点E坐标为．分四边形ABCD为平行四边形，四边形ADBC为平行四边形，四边形ABDC为平
行四边形三种情况分类讨论，舍去不合题意结论，问题得解．
【详解】解：模型：如图，设点A坐标为（a，b），点B坐标为（c，d），点E为AB中点，作
BC∥x轴，AC∥y轴，过点E作EF∥AC交BC于点F．
∵点A坐标为（a，b），点B坐标为（c，d）
∴点C坐标为（a，d），
∴BC=a-c，AC=b-d，
∵EF∥AC，
∴△BEF∽BAC，
∴ ，
∴中点E坐标为 ．
问题解答：设D（n，0），
∵A（﹣1，1），B（2，3），C（m，2m+1），
∴以A，B，C，D四点为顶点的四边形是平行四边形可得：
①若四边形ABCD为平行四边形，
对角线中点坐标为：（ ， ）或（ ， ），
∴ ，
解得： ，∴D（﹣ ，0），
∵D，A，B三点共线，
∴此种情况不满足；
②若四边形ADBC为平行四边形，
对角线中点坐标为：（ ， ）或（ ， ），
∴ ，
解得： ，
∴D（﹣ ，0），
③若四边形ABDC为平行四边形，
对角线中点坐标为：（ ， ）或（ ， ），
∴ ，
解得： ，
∴D（﹣ ，0），
故答案为：（﹣ ，0）或（ ，0）．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平面直角坐标系中线段中点的坐标公式等知识，综合性
较强，熟知平行四边形的对角线互相平分，平面直角坐标系中线段中点的坐标公式是解题关键．
5．在平面直角坐标系中， ， ， ，点 在直线 上，若以 ， ，
， 四点为顶点的四边形是平行四边形，则点 的坐标为________．
【答案】 ， ，
【分析】需要以已知线段AB为边和对角线分类讨论，利用平行四边形的对角线交点也是对角线的中点和两点坐标求中点坐标的知识点，从而求出点D坐标．
【详解】解：∵点 在直线 上，
∴设D（n，-1），
∵ ， ， ，
∴以A，B，C，D四点为顶点的四边形是平行四边形可得：
①若四边形ABCD为平行四边形，
对角线中点坐标为： 或 ，
∴ ，
解得： ，
∴D（- ，-1），
②若四边形ADBC为平行四边形，
对角线中点坐标为： 或 ，
∴ ，
解得： ，
∴D（0，-1），
③若四边形ABDC为平行四边形，
对角线中点坐标为： 或 ，，
∴ ，
解得： ，
∴D（2，-1），故答案为： 或 或 ．
【点睛】本题考查了数形结合的数学思想以及平行四边形的性质应用，以AB为边和对角线进行分
类是本题的关键点所在．
6．如图， 顶点的坐标分别为 ， ， ，若存在点D，使得以A，B，C，D
为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标是________．
【答案】 ， ，
【分析】先设出点D的坐标，然后分三种情况进行讨论并设出每种情况对角线的中点，根据中点
坐标公式列出等式，求解方程即可得出答案．
【详解】设点
①当AB为对角线时：设AB中点为Q
∴ ，即
∴
解得：
∴点 ；
②当AC为对角线时：设AC中点为G
∴ ，即∴
解得：
∴点 ；
③当AD为对角线时：设AD中点为P
∴
∴
解得：
∴点 ；
故答案为 ， ， ．
【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，熟练掌握分类讨论思想和中点坐标公式是解决本题的
关键．
7．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A( ，0)，B(1，1)．若平移点B到点D，使四边形
OADB是平行四边形，则点D的坐标是_____．
【答案】( +1，1)
【分析】先确定OA的长，再根据四边形OADB是平行四边形得出BD的长，且BD∥OA，从而根
据点B的坐标可得出点D的坐标．【详解】解：∵A( ，0)，
∴OA＝ ，
∵四边形OADB是平行四边形，
∴BD＝OA＝ ，BD∥OA，
∵B(1，1)，
∴D( +1，1)，
故答案为：( +1，1)．
【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
8．如图，分别以△ABC的两条边为边做平行四边形，所做的平行四边形有____个；平行四边形第
四个顶点的坐标是______________.
【答案】 3 （0，-4）、（-6，4），（6，4）
【分析】以三边中的两边为边作平行四边形，所以共有三种情况，共有三个第四顶点的坐标．
【详解】解：以三角形两边为边，另一边则为对角线，则共有三种情况，即可作出三个平行四边
形．
①以AB、AC为边可作一平行四边形，第四个顶点的坐标为（0，-4）；
②以CA、CB为边可作一平行四边形，第四个顶点的坐标为（-6，4）；
③以BA、BC为边也可作一平行四边形，则第四顶点的坐标为（6，4）．
故答案为3；（0，-4）、（-6，4），（6，4）．
【点睛】本题主要考查平行四边形判定的问题，并与坐标相结合，能够熟练求解此类问题．
三、解答题(共0分)
9．如图，平行四边形ABCD中，AB=4，AD=2 ，∠DAB=45°，请建立直角坐标系，并求出A，
B，C，D四点的坐标．【答案】见解析，A(-2，0)，B(2，0)，C(4，2)，D(0，2)
【分析】过D作DO⊥AB于O，以直线AB为x轴，直线OD为y轴，O为原点建立平面直角坐标
系，在Rt△ADO中求出AO、DO，继而可得出其它点的坐标．
【详解】解：如图，过D作DO⊥AB于O，以直线AB为x轴，直线OD为y轴，O为原点建立平
面直角坐标系，
∵∠AOD=90°，∠DAB=45°，
∴AO=OD，由勾股定理得AD= ，
∵AD=2 ，
∴AO=OD=2，
∴A(-2，0)，D(0，2)，
∵AB=4，
∴OB=2，
∴B(2，0)，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC=AB=4，
∴C(4，2)．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系、平行四边形的性质及勾股定理的知识，属于基础题，注意
掌握平行四边形的对边平行且相等．
10．如图在平面直角坐标系中，点A（-2，0），B（2，3），C（0，4）．（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）点D为平面直角坐标系中的点，以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，写出所有满
足条件的点D的坐标．
【答案】（1）△ACB是直角三角形，理由见解析；（2）D（0，-1），D（-4，1），D（4，
1 2 3
7）．
【分析】（1）根据勾股定理的判定即可确定△ABC的形状；
（2）根据平行四边的性质与判定定理，结合图形，即可得出答案．
【详解】解：（1）∵ ， ，
∴
∴△ACB是直角三角形；
（2） D(0，-1)，D（-4，1），D（4，7）
1 2 3
【点睛】本题考查了直角三角形的判定，平行四边形的性质和判定，平面直角坐标系中点的坐标，
解题的关键结合平行四边形的性质写出点的坐标．
11．【探究】：（1）在图1中，已知线段 、 ，其两条线段的中点分别为 、 ，请填写下面空格．
①若 ， ，则 点坐标为______．
②若 ， ，则 点坐标为______．
（2）请回答下列问题
①在图2中，已知线段 的端点坐标为 ， ，求出图中线段 的中点 的坐标
（用含 ， ， ， 的代数式表示），并给出求解过程．
②【归纳】：无论线段 处于直角坐标系中的哪个位置，当其端点坐标为 ， ，
线段 的中点为 时， =______， =______．（直接填写，不必证明）
③【运用】：在图3中，在平面直角坐标系中 的三个顶点 ， ， ，若以
， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形，请利用上面的结论直接写出顶点 的坐标（不需
写出解答过程）
【答案】（1）① ；② ；（2）①点 坐标为 ；② ，
；③ 或 或 ．
【分析】（1）①根据线段中点的几何意义解题；
②根据线段中点的几何意义解题．
（2）①设点 坐标为 ，过 、 两点分别作 轴、 轴的平行线交于点 ，
再分别取 、 的中点 、 ，连接 、 ，可判定四边形 是矩形
，得到 ，继而证明 ，得到 ，可证， ，最后根据线段的和差解题即可；
②由①种归纳得到答案；
（3）分两种情况讨论:以 为对角线或以 为边，作出相应的平行四边形，再利用平行四边形
对角线互相平分的性质及中点公式，先解得平行四边形对角线交点坐标，最后根据中点公式解题
即可．
【详解】（1）① ， ，
是 的中点，
线段
故答案为： ；
② ， ，
是 的中点，
线段
故答案为： ；
（2）①设点 坐标为 ，过 、 两点分别作 轴、 轴的平行线交于点 ，
再分别取 、 的中点 、 ，连接 、 ，
轴， 轴，
四边形 是平行四边形
四边形 是矩形在 与 中
， ，
点 坐标为 ，点 坐标为 ，
点 坐标为 ，点 坐标为 ，点 坐标为 ，
， ， ，
， ，
， ，
点 坐标为 ；
② ， ；
③分两种情况讨论:
当以 为对角线时， 的中点
在 中，
是 的中点，
设；
当以 为边时，
① 的中点
在 中，
是 的中点，
设
;
当以 为边时，
② 的中点
在 中，
是 的中点，
设综上所述，满足条件的点 有三个，坐标分别是 或 或 ．
【点睛】本题考查坐标与图形，涉及平行四边形的性质、中点公式、矩形的判定与性质、全等三
角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
12．如图，在平面直角坐标系中， 的顶点A，C的坐标分别为（10，0），（2，4）．点
D是OA的中点，点P在BC上由点B向点C运动（到达C点后停止），速度为2cm/s，设运动时
间为t（s）．
(1)PB＝_______，PC＝_______．（用含t的代数式表示）；
(2)当点P运动在什么位置时，四边形PCDA是平行四边形？并求运动时间t；
(3)当 是等腰三角形时，点P的坐标为______________．
【答案】(1)2tcm，(10-2t)cm
(2)点P运动到BC的中点时，四边形PCDA是平行四边形；t=2.5s
(3)(2,4)或 (2.5,4) 或 (3,4) 或(8,4)
【分析】（1）由点P的运动速度及时间即可求得PB，从而可得PC；
（2）由AD∥BC，当PC=AD=5cm时，此时点P位于BC的中点，四边形PCDA是平行四边形，由
PB=5cm可求得此时的运动时间；（3）分三种情况：OD=PD；OP=OD；OP=DP，即可求得点P的坐标．
（1）
∵四边形OABC是平行四边形
∴BC∥OA，BC=OA
∵A(10，0)
∴BC=OA=10cm
∵点P的运动速度为2cm/s，运动时间为t（s）
∴PB=2t(cm)
∴PC=BC−PB=(10-2t)cm
故答案为：2tcm，(10-2t)cm
（2）
∵D是OA的中点
∴
∵AD∥BC
∴当PC=AD=5cm时，四边形PCDA是平行四边形
则点P是BC的中点
∴
∴此时点P运动的时间为
（3）
①当OD=PD=5cm时，如图，过点D作DE⊥BC于点E
∵BC∥OA，且C(2, 4)
∴DE=4cm，点E(5，4)
由勾股定理得：
当点P在E点左边时，点P与点C重合；当点P在点E右边时，点P坐标为(8,4)②当OP=OD=5cm时，如图，过点P作PF⊥OA于点F
∵PF=4cm
∴由勾股定理得：
则点P的坐标为(3,4)
③当OP=DP时，则点P是线段OD的垂直平分线与BC的交点
∵线段OD的中点坐标为(2.5，0)
∴点P的坐标为(2.5，4)
综上所述，满足条件的点P的坐标为(2,4)或 (2.5,4) 或 (3,4) 或(8,4)
故答案为：(2,4)或 (2.5,4) 或 (3,4) 或(8,4)
【点睛】本题是动点问题，考查了坐标与图形，平行四边形的判定与性质，勾股定理，等腰三角
形的性质等知识，注意分类讨论．
13．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴相交于 、 两点，动点C在
线段OA上（不与O、A重合），将线段CB绕着点C顺时针旋转 得到CD，当点D恰好落在直
线AB上时，过点D作 轴于点E.
（1）求证： ；
（2）如图2，将 沿x轴正方向平移得 ，当直线 经过点D时，求点D的坐标及
平移的距离；（3）若点P在y轴上，点Q在直线AB上，是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边
形？若存在，直接写出所有满足条件的Q点坐标，若不存在，请说明理由.
【答案】（1） ，见解析；（2）D（3，1）， 平移的距离是 个单位，见解
析；（3）存在满足条件的点Q，其坐标为 或 或 ，见解析.
【分析】（1）根据AAS或ASA即可证明；
（2）首先求直线AB的解析式，再求出出点D的坐标，再求出直线B′C′的解析式，求出点C′的坐
标即可解决问题；
（3）如图3中，作CP∥AB交y轴于P，作PQ∥CD交AB于Q，则四边形PCDQ是平行四边形，
求出直线PC的解析式，可得点P坐标，点C向左平移1个单位，向上平移 个单位得到P，推出
点D向左平移1个单位，向上平移 个单位得到Q，再根据对称性可得Q′、Q″的坐标.
【详解】（1）∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴
（2）∵直线AB与x轴，y轴交于 、 两点
∴直线AB的解析式为
∵ ，
∴ ，设 ，则把 代入 得到 ，
∴
∵ ，
∴直线BC的解析式为 ，
设直线 的解析式为 ，把 代入得到
∴直线 的解析式为 ，
∴ ，
∴
∴ 平移的距离是 个单位.
（3）如图3中，作CP∥AB交y轴于P，作PQ∥CD交AB于Q，则四边形PCDQ是平行四边形，
易知直线PC的解析式为y=- x+ ，
∴P（0， ），
∵点C向左平移1个单位，向上平移 个单位得到P，
∴点D向左平移1个单位，向上平移 个单位得到Q，
∴Q（2， ），
当CD为对角线时，四边形PCQ″D是平行四边形，可得Q″ ，当四边形CDP′Q′为平行四边形时，可得Q′ ，
综上所述， 存在满足条件的点Q，其坐标为 或 或
【点睛】本题考查一次函数综合题、平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、待定
系数法等知识，解题的关键是灵活运用待定系数法解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，
学会用平移、对称等性质解决问题，属于中考压轴题．
14．如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，点B在x轴的正半轴上，且OA，OB的
长满足式子 ，AE平分 ，将 沿AE所在直线翻折，使点O落在
边AB上的点D处．
(1)求A，B两点的坐标及AB的长；
(2)点E到直线AB的距离为______；
(3)在坐标平面内是否存在一点P，使以A，E，B，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直
接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)点 ， ，10
(2)3
(3)存在， 或 或 ．
【分析】（1）根据算术平方根和绝对值的非负性可得 ， ．再由勾股定理求出AB，
即可求解；
（2）过点E作EF⊥AB于点F，根据角平分线的性质定理可得EF=OE，可证得 ，
从而得到BF=4，设OE=EF=x，则BE=8-x，由勾股定理，即可求解；（3）分三种情况讨论：若以AB和AE为一组邻边；若以AB和BE为为一组邻边；若以BE为对角
线，即可求解．
（1）
解：∵ ， ， ，
∴ ， ．
∴ ， ．
∴点 ， ．
在 中， ．
（2）
解∶如图，过点E作EF⊥AB于点F，
∵AE平分∠OAB，∠AOE=90°，
∴EF=OE，
∵AE=AE，
∴ ，
∴AF=OA=6，
∴BF=4，
设OE=EF=x，则BE=8-x，
∵ ，即 ，
解得：x=3，
∴点E到直线AB的距离为3；
故答案为：3（3）
解：存在，
设点P的坐标为（m，n），
由（2）得：BE=5，
若以AE和BE为一组邻边，则AP∥BE，且AP=BE=5，
1 1
此时点P（5，6）；
1
若以AB和BE为为一组邻边，则AP∥BE，且AP=BE=5，
2 2
此时点P（-5，6）；
2
若以BE为对角线，则BE与AP 的中点重合，
3
由（2）得：OE=3，
∴点E（3，0），
，解得： ，
此时P（11，-6）；
3
综上所述点P的坐标为 或 或 ．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，角平分线的性质定理，坐标与图形，二次根式和算
术平方根的非负性，熟练掌握平行四边形的性质，角平分线的性质定理，坐标与图形，二次根式
和算术平方根的非负性是解题的关键．
15．如图，在 的正方形网格中，横、纵坐标均为整数的点叫格点.已知 ， ， 均在格点上.
（1）请建立平面直角坐标系，并直接写出 点坐标；
（2）直接写出的 长为；
（3）在图中仅用无刻度的直尺找出 的中点 ：
第一步：找一个格点 ；
第二步：连接 ，交 于点 ， 即为 的中点；
请按步骤完成作图，并写出 点的坐标.
【答案】（1）图见解析， ；（2） ；（3）图见解析，
【分析】（1）根据 ， 建立如图平面直角坐标系即可；
（2）利用勾股定理即可解决问题；
（3）构造平行四边形即可解决问题．
【详解】解：（1）∵ ，
∴建立如图平面直角坐标系，
∴ ；
（2）AC= = ；
（3）如图,
∵AB=CD= ,AD=BC= ,
∴四边形ABCD是平行四边形，∴点D即为所求，D（3，-1）．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，平面直角坐标系，平行四边形都是性质和判定等知识，了解题
的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型
16．如图，矩形OABC的边OC、OA分别在x轴、y轴上，且AO、OC的长满足
(1)求B，C两点的坐标；
(2)把 沿AC翻折，点B落在 处，线段AB与x轴交于点D，求CD的长；
(3)在平面内是否存在点P，使以A，D，C，P为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写
出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)C点的坐标为 ，点B的坐标为
(2)
(3)存在，P的坐标为 或 或
【分析】（1）利用非负数的性质求出OA，OC即可解决问题．
（2）证明 ADO≌△CDB′（AAS），推出AD=CD，设AD=CD=m,则OD=4-m,在Rt AOD中，根据
△ ，构建方程即可解决问题； △
（3）由（2）知，CD= ，根据平行四边形的性质，分两种情况，求解，即可求出答案．
（1）
∴ ，
∴ ， ．
∵四边形OABC是矩形
∴ ，C点的坐标为 ，点B的坐标为
（2）
四边形OABC是矩形，
∴ ，
由折叠可知， ，
∴ ，
∵
∴
∴
设 ，则 ，
在 中
∵
∴
解得
即CD=
（3）
如图，
由（1）知，OA=2，
∴A（0，2），
由（1）知，OC=4，
由（2）知，CD= ，
∴OD=OC-CD= ，∵以A，D，C，P为顶点的四边形是平行四边形，
∴①当CD为边时，AP=CD= ，
∵CD AB，A（0，2），
∴点P（- ，2）或（ ，2）；
②当AD为边时，AD=CP，
∵点D是点A向右平移 个单位，再向下平移2个得到，
∴点P是由点C（4，0）向右平移 个单位，再向下平移2个得到，
∴P（ ，-2），
∴存在由P的坐标为 或 或
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了非负数的性质，折叠的性质，勾股定理，平行四边形
的性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
17．如图，
(1)四边形OACB的四个顶点的坐标分别为（0，0）、（0，6）、（4，6）、（4，0），对角线
OC、AB交点D坐标为
(2)已知四边形ABCD的四个顶点A 、B、C、 D的坐标分别为（1，b），（m，0），（m+1，
b+2），（m-2，m），其中m>0且b>0，若对角线AC，BD互相平分，求∠ABD的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由顶点坐标证明四边形OACB为平行四边形，再利用中点坐标公式即可得到答案；
（2）由四边形ABCD的对角线AC，BD互相平分知四边形ABCD为平行四边形，即可得解之可得 ，得出四点的坐标，即可判断出△ABD是等腰直角三角形，
得出答案．
(1)
解： 四边形OACB的四个顶点的坐标分别为（0，0）、（0，6）、（4，6）、（4，0），
四边形OACB为平行四边形，
(2)
解：∵四边形ABCD的对角线AC，BD互相平分，
∴四边形ABCD为平行四边形，
则 解得： ，
则A（1，1）、B（4，0）、C（5，3）、D（2，4），
如图，
AB2+AD2=BD2，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴∠ABD=45°．
【点睛】本题考查的是坐标与图形，平行四边形的判定与性质，勾股定理的应用，等腰直角三角
形的判定与性质，二次根式的化简，熟练的运用中点坐标公式建立方程是解本题的关键．
18．如图，等边△ABC的边长为8cm，动点M从点B出发，沿B→A→C→B的方向以acm/s的速度运动，动点N从点C出发，沿C→A→B→C方向以bcm/s的速度运动，并且a，b满足（a﹣3）2＋
＝0
(1)直接写出a，b的值．
(2)若动点M、N同时出发，经过几秒钟两点第一次相遇？
(3)若动点M、N同时出发，且其中一点到达终点时，另一点即停止运动．那么运动到第几秒钟时，
点A、M、N以及△ABC的边上一点D恰能构成一个平行四边形？求出时间t并请写出此时点M的
坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)运动了 秒，点M的坐标为（ ， ）或运动了 秒，点M的坐标为（ ， ）时，
A、M、N、D四点能够成平行四边形
【分析】（1）利用非负数的性质求解即可；
（2）设经过t秒钟两点第一次相遇，然后根据点M运动的路程+点N运动的路程=AB+CA列方程求
解即可；
（3）首先根据题意画出图形：当0≤t≤ 时，DM+DN=AN+CN=8；当 ＜t≤4时，此时A、M、N三
点在同一直线上，不能构成平行四边形；4＜t≤ 时，MB+NC=AN+CN=8；当 ＜t≤8时，△BNM
为等边三角形，由BN=BM可求得t的值即可得到答案．
(1)解：∵ ，
∴ ，
∴ ；
(2)
解：设经过t秒钟两点第一次相遇，
由题意得 ，
解得 ，
∴经过 秒钟两点第一次相遇；
(3)
解：①当0≤t≤ 时，点M、N、D的位置如图1所示：
∵四边形ANDM为平行四边形，
∴DM=AN，DM∥AN．DN∥AB，
∴∠MDB=∠C=60°，∠NDC=∠B=60°，
∴∠NDC=∠C，△BMD是等边三角形，
∴ND=NC，DM=BM，
∴DM+DN=AN+NC=AC=8，即：3t+2t=8，
解得t= ，
∴ ，
过点M作ME⊥BC，则∠BME=30°，∴ ，
∵△ABC是等边三角形，AO⊥BC，
∴OB=OC=4，
∴ , ，
∴点M的坐标为（ ， ）；
②当 ＜t≤4时，此时A、M、N三点在同一直线上，不能构成平行四边形；
③4＜t≤ 时，点M、N、D的位置如图2所示：
∵四边形ANDM为平行四边形，
∴DN=AM，AM∥DN．
∴∠NDB=∠ACB=60°
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=60°．
∴∠NDB=∠B．
∴NB=ND．
∴NB+MC=AM+MC=8，16-3t+16-2t=8，解得：t= ，
∴ ，同理求得 ， ，
∴ ，
∴点M的坐标为（ ， ）；
④当 ＜t≤8时，点M、N、D的位置如图3所示：
则BN=16-2t，BM=24-3t，
由题意可知：△BNM为等边三角形，
∴BN=BM，即：16-2t=24-3t，解得t=8，此时M、N重合，不能构成平行四边形．
综上所述，运动了 秒，点M的坐标为（ ， ）或运动了 秒，点M的坐标为（ ，
）时，A、M、N、D四点能够成平行四边形
【点睛】本题主要考查的是平行四边形的性质和等边三角形的性质与判定，坐标与图形，含30度
角的直角三角形的性质等等，利用平行四边形的性质和等边三角形的性质求得相关线段的长度，
然后列方程求解是解题的关键．
19．在平面直角坐标系中，O为坐标原点．已知两点 ， 且a、b满足
；若四边形ABCD为平行四边形， 且 ，点 在y轴上．(1)如图①，动点P从C点出发，以每秒2个单位长度沿y轴向下运动，当时间t为何值时，三角形
ABP的面积等于平行四边形ABCD面积的四分之一；
(2)如图②，当P从O点出发，沿y轴向上运动，连接PD、PA，则 、 、 存在
的数量关系是______（排除点P在点O和点C两点的特殊情况）．
【答案】(1)t=1或3
(2)当点P在线段OC上时， ；当点P在CD的上面时，
【分析】（1）根据非负数的性质得到a= -4，b= 3，得到AB = 7，根据平行四边形的判定定理得到
四边形ABCD是平行四边形，根据三角形和平行四边形的面积公式列方程即可得到答案；
（2）如图②，当点P在线段OC上时，过P作 ，如图③，当点P在CD的上面时，过P
作 ，根据平行线的性质即可得到结论．
（1）
解： ，
，
，
，
，
，
点 ，
，
，
四边形ABCD是平行四边形，
三角形ABP的面积等于平行四边形ABCD面积的四分之一，，
解得 或3．
当时间t为1或3时，三角形ABP的面积等于平行四边形ABCD面积的四分之一．
（2）
解：如图②，当点P在线段OC上时， ，理由如下：
过P作 ，
，
，
，
，
，
；
如图③，当点P在CD的上面时， ，理由如下：
过P作 ，
，
，
，
，，
．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质、非负数的性质、平面直角坐标系中两点之间的距
离、三角形的面积、平行四边形的面积、平行线的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
20．平行四边形可以看成是线段平移得到的图形，如图1，将线段AD沿AB的方向平移AB个单位
至BC处，就可以得到平行四边形ABCD，或者将线段AB沿AD的方向平移AD个单位至DC处，也
可以得到平行四边形ABCD．
（1）在图2，图3，图4中，给出平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标，写出图2，图3，图4
中的顶点C的坐标，它们分别是_____，_______，_______；
（2）通过对图2，3，4的观察和顶点C的坐标的探究，你会发现：无论平行四边形ABCD处于直
角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为A（a，b），B（c，d），C（m，n），D（e，f）（如图
5）时，则四个顶点的横坐标a，c，m，e之间的等量关系为______；纵坐标b，d，n，f之间的等
量关系为_______（不必证明）；
（3）如图6，在平面直角坐标系中，已知A（﹣3，0），B（3，0），C（2，4），则以A，B，C
三个点为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标为______．
【答案】（1）（5，2），（e+c，d），（c+e﹣a，d）；（2）m＝c+e﹣a；n＝d+f﹣b；（3）
（8，4）或（﹣2，﹣4）或（﹣4，4）．
【分析】（1）根据平行四边形的性质：对边平行且相等，求解即可；
（2）如图作辅助线，证明 BEA≌△CFD（AAS），推出AE＝DF＝c﹣a，BE＝CF＝d﹣b，又已知C点
的坐标为（m，n），可得△m＝e＋c﹣a，n＝d﹣b＋f；
（3）由（2）的结论即可得出答案．【详解】解：（1）由平行四边形的性质和平移的性质得：图1、图2，3中顶点C的坐标分别是：
（5，2）、（e+c，d），（c+e﹣a，d），
故答案为：（5，2）、（e+c，d），（c+e﹣a，d）；
（2）分别过点A，B，C，D作x轴的垂线，垂足分别为A'，B'，C'，D'，
分别过A，D作AE⊥BB'于E，DF⊥CC'于点F．
在平行四边形ABCD中，CD＝BA，CD∥BA，
∴ ，
在 BEA和 CFD中， ，
△ △
∴△BEA≌△CFD（AAS），
则AE＝DF＝c﹣a，BE＝CF＝d﹣b，
∵C点的坐标为（m，n），
∴m＝e＋c﹣a，n＝d﹣b＋f，即m＝c+e﹣a；n＝d+f﹣b
故答案为：m＝c+e﹣a；n＝d+f﹣b；
（3）∵四边形ABCD是平行四边形，A（﹣3，0），B（3，0），C（2，4），
由（2）得：m＝c+e﹣a；n＝d+f﹣b，
∴点D的坐标为（3+2+3，0+4﹣0）或（﹣3+3﹣2，0+0﹣4）或（﹣3+2﹣3，0+4-0）；
即点D坐标为（8，4）或（﹣2，﹣4）或（﹣4，4）．
故答案为：（8，4）或（﹣2，﹣4）或（﹣4，4）．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，平移的性质，坐标与图形性质，全等三角形的判定
与性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决本题的关键．
