文档内容
第九章 平面直角坐标系
01 思维导图
02 知识速记
知识点一、平面直角坐标系
在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系，如下图：
特别说明：（1）坐标平面内的点可以划分为六个区域：x轴，y轴、第一象限、第二象限、第三象限、第
四象限，这六个区域中，除了x轴与y轴有一个公共点（原点）外，其他区域之间均没有公共点.
（2）在平面上建立平面直角坐标系后，坐标平面上的点与有序数对（x，y）之间建立了一一对应关系，这
样就将‘形’与‘数’联系起来，从而实现了代数问题与几何问题的转化.
（3）要熟记坐标系中一些特殊点的坐标及特征：
① x轴上的点纵坐标为零；y轴上的点横坐标为零．
② 平行于x轴直线上的点横坐标不相等，纵坐标相等；
平行于y轴直线上的点横坐标相等，纵坐标不相等．
1
学科网（北京）股份有限公司③ 关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数；
关于y轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数；
关于原点对称的点横、纵坐标分别互为相反数．
④ 象限角平分线上的点的坐标特征：
一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等；
二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数．
注：反之亦成立．
（4）理解坐标系中用坐标表示距离的方法和结论：
① 坐标平面内点P(x，y)到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|．
② x轴上两点A(x，0)、B(x，0)的距离为AB=|x - x|；
1 2 1 2
y轴上两点C(0，y)、D(0，y)的距离为CD=|y - y|．
1 2 1 2
③ 平行于x轴的直线上两点A(x，y)、B(x，y)的距离为AB=|x - x|；
1 2 1 2
平行于y轴的直线上两点C(x，y)、D(x，y)的距离为CD=|y - y|．
1 2 1 2
（5）利用坐标系求一些知道关键点坐标的几何图形的面积：切割、拼补.
知识点二、坐标方法的简单应用
1．用坐标表示地理位置
(1)建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向；
(2)根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度；
(3)在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称．
特别说明：(1)我们习惯选取向东、向北分别为x轴、y轴的正方向，建立坐标系的关键是确定原点的位置．
(2)确定比例尺是画平面示意图的重要环节，要结合比例尺来确定坐标轴上的单位长度．
2．用坐标表示平移
（1）点的平移
点的平移引起坐标的变化规律：在平面直角坐标中，将点(x，y)向右(或左)平移a个单位长度，可以得到
对应点(x+a，y)(或(x-a，y))；将点(x，y)向上(或下)平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y+b)(或
(x，y-b))．
特别说明：上述结论反之亦成立，即点的坐标的上述变化引起的点的平移变换．
（2）图形的平移
在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原
图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形
就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度．
2
学科网（北京）股份有限公司特别说明：平移是图形的整体运动，某一个点的坐标发生变化，其他点的坐标也进行了相应的变化，反过
来点的坐标发生了相应的变化，也就意味着点的位置也发生了变化，其变化规律遵循：“右加左减，纵不
变；上加下减，横不变”．
03 题型归纳
题型一 定位法的应用
例题：（23-24八年级上·河南郑州·期末）根据下列表述，能确定具体位置的是（ ）
A．电影城 号厅 排 B．贵州省遵义市
C．北纬 ，东经 D．南偏西
【答案】C
【知识点】用有序数对表示位置、用方向角和距离确定物体的位置
【分析】本题主要考查了用有序数对表示位置、用方向角和距离确定物体的位置，逐项判断即可，熟练掌
握用有序数对表示位置、用方向角和距离确定物体的位置是解题的关键．
【详解】解：A、电影城 号厅 排，不能确定具体位置，故本选项不合题意；
B、贵州省遵义市，不能确定具体位置，故本选项不合题意；
C、北纬 ，东经 ，能确定具体位置，故本选项符合题意；
D、南偏西 ，不能确定具体位置，故本选项不合题意．
故选：C．
巩固训练
1.（23-24七年级下·河南驻马店·期末）如图所示，雷达探测器测得六个目标A，B，C，D，E，F，按照规
定的目标表示方法，目标C，F的位置表示为 ，按照此方法在表示目标A，B，D，E
的位置时，其中表示不正确的是（ ）．
3
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】用有序数对表示位置
【分析】本题考查了坐标位置的确定，读懂题目信息，理解有序数对的两个数表示的实际意义是解题的关
键．根据横坐标是自内向外的环数，纵坐标是所在列的度数，可得答案．
【详解】解：按已知可得，表示一个点，横坐标是自内向外的环数，纵坐标是所在列的度数，
解：A． ，原A位置表示错误，故该选项符合题意；
B． ，B点位置表示正确，故该选项不符合题意；
C． ，D点位置表示正确，故该选项不符合题意；
D． ，E点位置表示正确，故该选项不符合题意；
故选：A．
2.（23-24七年级下·吉林·期末）下图是游乐园一角的平面示意图，图中1个单位长度表示100m．
(1)如果用有序数对 表示跳跳床的位置，填写下列游乐设施的位置：跷跷板______，摩天轮____，碰碰
车_____；
(2)秋千的位置是 ，请在图中标出来；
(3)旋转木马在大门以东 ，再往北 处，请在图中标出来．
【答案】(1) ， ，
(2)见解析
(3)见解析
【知识点】用有序数对表示位置
4
学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查了用有序数对表示位置；
（1）根据题意找到跷跷板、摩天轮、碰碰车的位置即可；
（2）根据位置标出坐标即可；
（3）根据位置标出坐标即可求解．
【详解】（1）解：根据题意，得跷跷板 ，摩天轮 ，碰碰车 ，
故答案为： ， ， ；
（2）解：如图所示，秋千的位置是 ，
（3）解：如图所示，旋转木马的位置是 ，
题型二 点所在的象限
例题：（24-25八年级上·全国·期末）点 在第（ ）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】B
【知识点】判断点所在的象限
【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，四个象限的符号特点分别是：第一象限 ；第二
5
学科网（北京）股份有限公司象限 ；第三象限 ；第四象限 ．根据各象限内点的坐标特征解答．
【详解】解：∵ ， ，
点 在第二象限．
故选：B．
巩固训练
1.（24-25八年级上·全国·期末）在平面直角坐标系中，点 所在象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】判断点所在的象限
【分析】本题考查了平面直角坐标系与点的坐标，根据点 横坐标和纵坐标特点判定即可，解
题的关键是熟练掌握平面直角坐标系中点的坐标特征，第一象限 ，第二象限 ，第三象限 ，
第四象限 ．
【详解】解：∵ ，
∴ 横坐标为负和纵坐标为正，
根据平面直角坐标系特点，点 在第二象限，
故选： ．
2.（23-24七年级下·陕西延安·期末）若点 在第四象限，则a的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】求不等式组的解集、已知点所在的象限求参数
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组和坐标系内点的坐标特征，根据题意准确列出不等式组，求出
每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解
答此题的关键．根据点在坐标系中位置得关于的不等式组，解不等式组求得a的范围即可．
6
学科网（北京）股份有限公司【详解】解：∵点 在第四象限，
∴ ，
解得： ．
故答案为：
3.（23-24七年级下·吉林白城·期末）点 在第二、四象限的角平分线上，则
．
【答案】
【知识点】已知点所在的象限求参数
【分析】本题主要考查了第二、四象限平分线上的点．解决本题的关键是熟练掌握各个象限角平分线上的
点的特点：第一，三角平分线上的点的横纵坐标相等，二四象限角平分线上的点横纵坐标互为相反数．
根据二四象限角平分线上的点横纵坐标互为相反数，建立方程解方程，即可得解．
【详解】∵点 在第二，四象限夹角平分线上，
∴ ，
解得： ．
故答案为： ．
4.（23-24八年级下·河北承德·期末）在平面直角坐标系中，若点 在第一象限，则m的取值范围
是 ；若点P在y轴上，则m值为 ．
【答案】 / 2
【知识点】已知点所在的象限求参数
【分析】本题考查点的坐标，一元一次不等式，掌握各个象限内的点的坐标特征是解决问题的前提．
根据点所在平面直角坐标系的象限，确定纵横坐标的符号，建立不等式求解即可．
【详解】解： 点 在第一象限，
，
7
学科网（北京）股份有限公司即 ，
∵点P在y轴上，
∴m值为2．
故答案为： ，2．
题型三 点到坐标轴的距离
例题：（23-24八年级上·浙江温州·期末）若 ，则点P到y轴的距离为 ．
【答案】3
【知识点】求点到坐标轴的距离
【分析】本题考查了点的坐标．根据平面直角坐标系中点到y轴的距离等于其横坐标的绝对值即可求出答
案．
【详解】解：∵点P的坐标为 ，
∴点P到x轴的距离为 ，到y轴的距离为 ．
故答案为：3．
巩固训练
1.（23-24七年级下·云南红河·期末）在平面直角坐标系中，点 到x轴的距离是 ．
【答案】
【知识点】求点到坐标轴的距离
【分析】本题考查了点的坐标．解题的关键是明确点的纵坐标的绝对值是点到x轴的距离，横坐标的绝对
值是点到y轴的距离．根据点的纵坐标的绝对值是点到x轴的距离，可得答案．
【详解】解：在平面直角坐标系中，点 到x轴距离是2024．
故答案为：
2.（23-24七年级下·全国·期末）已知点 的横坐标x．纵坐标y满足等式： ，则点
P到y轴的距离是 ．
【答案】3
【知识点】求点到坐标轴的距离、利用算术平方根的非负性解题
【分析】本题主要考查了非负数的性质，点到坐标轴的距离，正确得出x，y的值是解题的关键．先根据非
8
学科网（北京）股份有限公司负数的性质得出 ， ，再根据点到y轴的距离为横坐标的绝对值，求出结果即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
解得： ， ，
∴点P的坐标为 ，
∴点P到y轴的距离是 ，
故答案为：3．
3.（22-23七年级下·贵州六盘水·期末）已知平面直角坐标系第四象限内的点 到两坐标轴的
距离相等，则点P的坐标为 ．
【答案】
【知识点】求不等式组的解集、求点到坐标轴的距离、已知点所在的象限求参数
【分析】本题主要考查了点到坐标轴的距离，第四象限内的点的坐标特点，解一元一次不等式组，先根据
点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，点到y轴的距离为横坐标的绝对值得到 ，解方程得到
或 ，再根据第四象限内的点横坐标为正，纵坐标为负求出m的值即可得到答案．
【详解】解：∵点 到两坐标轴的距离相等，
∴ ，
∴ 或 ，
解得 或 ，
∵点P在第四象限，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
9
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
故答案为： ．
4.（23-24七年级下·山东滨州·期末）已知平面直角坐标系中，点 在第二象限，且它到x轴的
距离是它到y轴距离的2倍，则a的值为 ．
【答案】4
【知识点】求点到坐标轴的距离
【分析】本题考查平面直角坐标系、点到坐标轴的距离，第二象限内的点到x轴的距离等于它的纵坐标，
到y轴距离等于横坐标的相反数．由此列方程即可．
【详解】解： 点 在第二象限，
它到x轴的距离是 ，到y轴距离是 ，
，
解得 ，
故答案为：4．
题型四 点在平面直角坐标系中的特征
例题：（24-25八年级上·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，点 ．
(1)若点M在y轴上，求m的值；
(2)若点M到x轴的距离为8，求点M的坐标．
【答案】(1)
(2) 或
【知识点】求点到坐标轴的距离、已知点所在的象限求参数
【分析】本题考查的知识点是象限及点坐标的特点，掌握上述知识点是解题的关键．
（1）若点在 轴上，则 的横坐标为0，即 ；
（2）若点M到x轴的距离为8，则 的纵坐标为 ，列方程，即可解答．
【详解】（1）解： 在 轴上，
，解得 ．
10
学科网（北京）股份有限公司（2）解： 点 到 轴的距离为8，
或 ，解得 或 ．
当 时， ；
当 时， ．
点 的标为 或 ．
巩固训练
1．（24-25八年级上·全国·期末）已知点 ，解答下列各题．
(1)点P在x轴上，求点P的坐标；
(2)点Q的坐标为 ，直线 轴，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)
【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、已知点所在的象限求参数
【分析】本题考查坐标轴上点的坐标特征，与坐标轴平行的直线上点的坐标特征，掌握x轴上点的坐标特
征是纵坐标为0，与x轴平行的直线上的点的纵坐标相同，与y轴平行的直线上的点的横坐标相同是解题关
键．
（1）根据x轴上点的纵坐标为0求出a的值，再计算出横坐标即可；
（2）根据与y轴平行的直线上的点的横坐标相同求出a的值，再计算出纵坐标即可．
【详解】（1）解：点 在x轴上，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴点P的坐标是 ；
（2）解：∵ ，点Q的坐标为 ，直线 轴，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
11
学科网（北京）股份有限公司∴点P的坐标为 ．
2．（24-25八年级上·河南郑州·期中）在平面直角坐标系中，已知点 ，点 ．
(1)若M在x轴上，求M点的坐标；
(2)若点N到y轴的距离等于5，求N的坐标；
(3)若 轴，且 ，则n的值为 ．
【答案】(1)
(2)点N的坐标为 或
(3)5或1
【知识点】坐标系中的平移、已知点所在的象限求参数、求点到坐标轴的距离
【分析】本题主要考查了坐标与图形性质．
（1）根据x轴上点的坐标纵坐标为0，列方程求解即可解决问题；
（2）根据点到y轴的距离是其横坐标的绝对值即可解决问题；
（3）根据平行于y轴的直线上点的横坐标相等求解即可．
【详解】（1）解：∵点M在x轴上，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴点M的坐标为 ；
（2）解：∵点N到y轴的距离等于5，则 ，
∴ ，
∴点N的坐标为 或 ；
（3）解：∵ 轴，
∴ ，
12
学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ，
解得 或3，
当 时， ；
当 时， ．
综上所述，n的值为5或1．
故答案为：5或1．
3．（24-25八年级上·广东茂名·期中）在平面直角坐标系中，已知点 ．根据下列条件回答
问题：
(1)当点M在x轴或y轴上时，分别求出点M的坐标；
(2)当点M在第四象限的角平分线上，求a的值；
(3)若经过点M， 的直线与x轴平行，且 ，求点M，N的坐标．
【答案】(1) 在 轴上， 的坐标是 ； 在 轴上， 的坐标是 ；
(2)1
(3) 或 ．
【知识点】已知点所在的象限求参数、写出直角坐标系中点的坐标
【分析】（1）根据 轴， 轴上点坐标特征，分别列出关于 的方程，求得 的值，即可得答案；
（2）根据第四象限的角平分线上点坐标的特征列出关于 的方程，即可解得答案；
（3）根据直角坐标系中平行于 轴的直线上的点坐标特征，列出关于 的方程可得 的坐标，由
可得 的坐标．
本题考查直角坐标系中的点的坐标，解题的关键是掌握直角坐标系中点坐标的特征．
【详解】（1）解：若 在 轴上，则 ，
，
，
若 在 轴上，则 ，
，
，
在 轴上， 的坐标是 ； 在 轴上， 的坐标是 ；
13
学科网（北京）股份有限公司（2）解： 在第四象限的角平分线上，
，
解得 ，
的值为1；
（3）解： 经过点 ， 的直线与 轴平行，
，
解得 ，
，
，
，
解得 或 ，
或 ．
题型五 根据已知点的坐标在平面直角坐标系中作图
例题：（23-24七年级下·四川广安·期末）如图是广安市部分市、区（县）所在地的示意图，图中每个小正
方形的边长代表1个单位长度．若岳池县的坐标为 ，华蓥市的坐标为 ．
(1)请建立平面直角坐标系，并写出广安区和邻水县的坐标；
(2)顺次连接武胜县、岳池县、广安区所对应的点，将所得的三角形先向下平移5个单位长度，再向右平移
3个单位长度，画出平移后的三角形．
【答案】(1)图见解析，广安区的坐标为 ，邻水县的坐标为
(2)见解析
【知识点】实际问题中用坐标表示位置、平移(作图)
14
学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查作图-平移变换，坐标确定位置，解决本题的关键是掌握平移的性质．
（1）根据给出的两地坐标建立直角坐标系，即可得出结果；
（2）顺次连接武胜县、岳池县、广安区所对应的点，根据题目要求进行平移作图即可．
【详解】（1）解：建立直角坐标系，如下图：
由坐标系可知：广安区的坐标为 ，邻水县的坐标为 ；
（2）如图：三角形即为所求．
巩固训练
1.（23-24七年级下·广东肇庆·期末）如图是一所学校的平面示意图，图中小方格都是边长为1个单位长度
的正方形，每个主要位置恰好落在整格点．若实验楼的坐标为 ，图书馆的坐标为 ．
15
学科网（北京）股份有限公司(1)请在图中画出平面直角坐标系，并写出校门的坐标：
(2)若食堂的坐标为 ，请在坐标系中标出食堂的位置．
【答案】(1)画图见解析，
(2)画图见解析
【知识点】实际问题中用坐标表示位置
【分析】此题考查了坐标确定位置，正确找到原点坐标是解答本题的关键．
（1）将实验楼的坐标向上平移三个单位即可得到原点坐标，据此即可作出坐标轴，再根据坐标轴即可找
到校门的坐标；
（2）根据食堂的坐标，在坐标系中标明即可．
【详解】（1）作图如下：
根据坐标系可知校门的坐标为 ；
（2）食堂为位置如图所示：
16
学科网（北京）股份有限公司2.（23-24七年级下·浙江台州·期末）周末到了，小华和小军相约去九龙湖游玩．小华和小军对着如图所示
的部分景区示意图分别描述玖珑花海的位置（图中小正方形的边长代表300米长，所有景点都在格点上）．
小华说：“玖珑花海在听雨轩古宅的东北方向约420米处．”
小军说：“玖珑花海的坐标是 ．”
(1)小华是用________和________描述玖珑花海的位置；
(2)小军同学是如何在景区示意图上建立坐标系的？请在图上做出平面直角坐标系；
(3)在（2）的基础上，请写出以下景点的坐标：生态湿地________，音乐喷泉广场________．
【答案】(1)方向，距离
(2)见解析
(3) ，
【知识点】实际问题中用坐标表示位置、用方向角和距离确定物体的位置
【分析】本题主要考查了用坐标表示位置，确定位置等等：
（1）根据题意可知，小华是用方向和距离描述玖珑花海的位置；
17
学科网（北京）股份有限公司（2）根据玖珑花海的坐标画出对应的坐标系即可；
（3）根据（2）所求写出对应位置的坐标即可．
【详解】（1）解：根据题意可知，小华是用方向和距离描述玖珑花海的位置；
（2）解：如图所示，即为所求；
（3）解：由（2）可知生态湿地的坐标为 ，音乐喷泉广场的坐标为 ．
3.（23-24七年级下·广东阳江·期末）广东省广州市的长隆野生动物世界是国内最大的野生动物保护基地之
一，拥有超过500种、逾2万只陆生动物，是游客们了解广州必到的胜地．如图是长隆野生动物世界部分
景点的分布示意图，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，并且“五彩广
场”和“考拉园”的坐标分别是 和 ．
(1)根据题意，画出正确的平面直角坐标系．
(2)“百虎山”的坐标为______；“熊猫乐园”的坐标为______．
18
学科网（北京）股份有限公司(3)小明现在在“熊猫乐园”，想要前往“百虎山”（只能走网格，每个网格为一个单位长度），可以先向
上走______个单位长度，再向______走______个单位长度．
【答案】(1)详见解析
(2) ，
(3)5，左，1
【知识点】坐标与图形、写出直角坐标系中点的坐标、实际问题中用坐标表示位置
【分析】本题考查坐标与图形性质，能根据题意建立平面直角坐标系是解题的关键．
（1）根据“五彩广场”和“考拉园”的坐标，建立平面直角坐标系即可．
（2）根据（1）中所建坐标系即可解决问题．
（3）根据“熊猫乐园”和“百虎山”的坐标即可确定；
【详解】（1）解：因为“五彩广场”和“考拉园”的坐标分别是 和 ，
所以平面直角坐标系如图所示．
（2）解：由（1）中所建平面直角坐标系可知，
“百虎山”的坐标为(0,3)，“熊猫乐园”的坐标为 ．
故答案为：(0,3)， ．
（3）解：根据“熊猫乐园”的坐标为 ， “百虎山”的坐标为(0,3)，可以得出从“熊猫乐园”前往
“百虎山”可以先向上走5个单位长度，再向左走1个单位长度，
故答案为：5 ； 左 ； 1．
19
学科网（北京）股份有限公司题型六 点在平面直角坐标系中的平移
例题：（23-24七年级下·天津河东·期末）点 向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的点
的坐标为 ．
【答案】
【知识点】求点沿x轴、y轴平移后的坐标
【分析】本题考查了坐标与图形变化—平移；根据点坐标“右加左减、上加下减”的平移规律可得答案．
【详解】解：点 向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的点 的横坐标为 ，纵
坐标为 ，即 ，
故答案为： ．
【变式训练】
1.（23-24九年级上·福建福州·期末）如图，点 的坐标分别为 ，若将线段 平移至 ，
则 的值为 ．
【答案】2
【知识点】已知点平移前后的坐标，判断平移方式、由平移方式确定点的坐标
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，根据平移前后对应点的坐标可知平移方式为向右平移1
个单位长度，向上平移1个单位长度，再由“上加下减，左减右加”的平移规律求解即可．
【详解】解：∵将线段 平移至 ， ， ，
∴平移方式为向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，
∴ ，
∴ ，
20
学科网（北京）股份有限公司故答案为：2．
2.（23-24七年级下·全国·期末）已知线段AB两个端点的坐标分别为 ， ，将线段AB的一个
端点平移到坐标原点处，则另一个端点的坐标是 ．
【答案】 或
【知识点】已知点平移前后的坐标，判断平移方式、由平移方式确定点的坐标
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，分将点 移至原点处，将点 移至原点处，
两种情况判断出平移方式，再根据“上加下减，左减右加”的平移规律求解即可．
【详解】解：若将点 移至原点处，则平移方式为向右平移2个单位长度，向下平移3个单位长度，
∴平移后 的对应点坐标为 ，即 ，
若将点 移至原点处，则平移方式为向右平移3个单位长度，向下平移1个单位长度，
∴平移后 的对应点坐标为 ，即 ；
综上所述，另一个端点的坐标是 或 ，
故答案为： 或 ．
3.（23-24七年级下·河北保定·期末）在平面直角坐标系中，已知线段 的两个端点分别是 ，
将线段 平移后得到线段 ，其中，点A的对应点为点C，若 ，则 的值为 ．
【答案】
【知识点】已知点平移前后的坐标，判断平移方式、已知图形的平移，求点的坐标
【分析】本题考查了坐标与图形变化 平移，熟记平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐
标上移加，下移减是解题的关键．根据坐标判断出平移方式，即可得到结论．
【详解】解：由题意得，线段 向右平移2个单位，向上平移1个单位得到线段 ，
， ，
． ，
，
21
学科网（北京）股份有限公司故答案为： ．
4．（2024·辽宁抚顺·模拟预测）如图， 的顶点坐标分别为 ，B(−2,1)， ，将
平移后，点 的对应点 的坐标是 ，则点 的对应点 的坐标是 ．
【答案】
【知识点】由平移方式确定点的坐标、已知点平移前后的坐标，判断平移方式
【分析】本题主要考查了平移的性质、图形与坐标等知识点．根据点A和点D的是平移后的对应点，计算
出平移的方向和单位长度，由于图形平移所有点的平移方向和单位长度一致，即可确定点E的坐标．
【详解】解：由题可知 平移后得到点 ；
∴平移方式是先向右平移3个单位长度，在向上平移1个单位长度；
∴点B(−2,1)先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，
∴点 ．
故答案为： ．
题型七 平面直角坐标系中的平移作图
例题：（23-24七年级上·浙江金华·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A在x轴上且坐标可表示为
，点B的坐标为 ．
22
学科网（北京）股份有限公司(1) ．
(2)将点A向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到点 ，求点 的坐标．
(3)请在图中画出 ，并求出 的面积．
【答案】(1)2
(2)
(3)见详解，10
【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、平移(作图)、求点沿x轴、y轴平移后的坐标
【分析】本题主要考查坐标轴的特点和点的平移，
根据在x轴上 得特点列出 求解即可；
根据平移得性质即可求得；
在平面直角坐标系中找到对应点，再将三角形分割为两部分求解即可．
【详解】（1）解：∵点A在x轴上且坐标可表示为 ，
∴ ，解得 ．
故答案为：2；
（2）由 得 ，
根据点A向上平移3个单位，得 ，
再向左平移2个单位得到点 ，
23
学科网（北京）股份有限公司故 ；
（3）如图，
．
【变式训练】
1.（23-24七年级下·湖北随州·期末）如图，已知 ， ， 把 向上平移4个单位
长度，再向右平移2个单位得到 ，解答下列各题：
(1)在图上画出 ；
(2)写出点 ， 的坐标；
(3)求出 的面积．
【答案】(1)见解析
24
学科网（北京）股份有限公司(2) ，
(3)12
【知识点】利用网格求三角形面积、已知图形的平移，求点的坐标、平移(作图)
【分析】本题考查了坐标平面内图形的平移作图，求格点三角形的面积，熟练掌握坐标平面内图形的平移
作图是解题的关键．
（1）根据平移的性质，找出点A，点B，点C经过平移后的对应点 ， ， ，连结 ， ， ，
即得所求图形；
（2）由（1）画出的图形可知点 ， 的坐标；
（3）根据三角形的面积公式计算，即得答案．
【详解】（1）解：如图所示， 即为所求；
（2）解：由图可知 ， ；
（3）解： 的面积为： ．
2.（23-24七年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系 中，三角形 三个顶点的坐标分别是
，三角形 中任意一点P(x ,y )，经平移后对应点为 ，将三角
0 0
形 作同样的平移得到三角形 ，点A，B，C的对应点分别为 ．
25
学科网（北京）股份有限公司(1)点 的坐标为 ；点 的坐标为 ．
(2)①画出三角形 ；
②求出三角形 的面积．
【答案】(1)
(2)①见解析②8.5
【知识点】已知点平移前后的坐标，判断平移方式、由平移方式确定点的坐标、平移(作图)、坐标与图形
【分析】本题考查坐标与平移：
（1）根据题意，确定点的平移规则，进而求出点 ， 的坐标即可；
（2）①根据平移规则，画出图形即可；②分割法求出三角你的面积即可．
【详解】（1）解：∵P(x ,y )，经平移后对应点为 ，
0 0
∴平移规则为：先向左平移6个单位，再向上平移2个单位，
∵ ，
∴ ，即： ；
故答案为：
（2）①如图，三角形 为所作；
26
学科网（北京）股份有限公司② 的面积 ．
题型八 在平面直角坐标系中求图形的面积
例题：（24-25八年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，图中的网格是由边长相等的小正方形组
成，点 的坐标分别为 ， ， ．
(1)请写出点 的坐标；
(2)求图中阴影部分的面积．
【答案】(1) ， ， ，
(2)
【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、坐标与图形
【分析】本题主要考查了坐标与图形的性质，明确三角形和四边形的面积计算，并数形结合是解题的关键．
（1）观察图象可得出点 的坐标．
27
学科网（北京）股份有限公司（2）用一个长方形的面积减去四个空白三角形的面积即可．
【详解】（1）解：由图象可得，点 的坐标分别为 ， ， ， ．
（2）解：如图：连接 ，过点 作 垂直于 的延长线于点 ．
阴影部分的面积为：
．
∴图中阴影部分的面积为 ．
【变式训练】
1.（22-23七年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系 中，点A的坐标为(0,4)，点B的坐标为
，过点 作直线 轴，垂足为C，交线段 于点D，过点A作 ，垂足为E，连接
．
(1)求 的面积；
28
学科网（北京）股份有限公司(2)点P为直线 上一动点，当 时，求点P的坐标．
【答案】(1)6
(2) 或
【知识点】坐标与图形
【分析】本题主要考查了坐标与图形：
（1）先证明 轴， 再由点A和点B的坐标得到 ， ，据此根据三角形面积计
算公式求解即可；
（2）先求出 ， ，则 ， ，设 ， 再分点P在x轴上方
和x轴下方两种情况，画出对应的图形求解即可．
【详解】（1）解： 轴， ，
轴，
点A的坐标为(0,4)，点B的坐标为
， ，
；
（2）解： 点 坐标为 ，
， ，
，
∴ ，
设 ，如图所示：
29
学科网（北京）股份有限公司当点 在 轴上方时，则点P一定在点E上方，
∴
，
，
，
点 的坐标为 ；
当点 在 轴下方时，
过点 作 轴于N，
∴
30
学科网（北京）股份有限公司，
，
或 （舍去），
点 的坐标为： ；
点 的坐标为： 或 ．
2.（23-24七年级下·山东菏泽·期末）如图，平面直角坐标系 中，点 ， ， ．
(1)点C到y轴的距离为______；
(2)求 的面积；
(3)若点P的坐标为 ，
①直接写出线段 的长为______；（用含m的式子表示）
②当 时，求点P的坐标．
【答案】(1)1
(2)
(3)① ；② 或
【知识点】坐标与图形、求点到坐标轴的距离
【分析】本题考查图形与坐标，结合图形，理解题意是解决问题的关键．
（1）根据点 的坐标即可求解；
31
学科网（北京）股份有限公司（2）利用长方形减去周围三个小直角三角形的面积即可求解；
（3）①根据 ， 两点坐标即可求解；
②根据 ， ， ，列出方程即可求解．
【详解】（1）解：∵点 的坐标为 ，
∴点 到 轴的距离为1，
故答案为：1；
（2） 的面积为 ；
（3）①∵ ， ，
∴ ，
故答案为： ；
②∵ ， ， ，
∴ ，即 ，
∴ 或 ，
∴点 的坐标为 或 ．
题型九 平面直角坐标系中的平移及几何变换问题
例题：（23-24七年级下·重庆江津·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标 ，点B的坐标是
(0,4)，将线段 向右平移得到线段 ，点D的坐标为 ，过点D作 轴，垂足为E，动点P以
每秒2个单位长度的速度匀速从点A出发，沿着A→E→D的方向向终点D运动，设运动时间为t秒.
32
学科网（北京）股份有限公司(1)点C的坐标是______，当点P出发5秒时，则点P的坐标是______；
(2)当点P运动时，用含t的式子表示出点P的坐标；
(3)当点P在线段 上运动时，是否存在点P使得三角形 的面积是四边形 面积的 ，若存在，
求出此时点P的坐标；若不存在，试说明理由.
【答案】(1) ； ；
(2)点 在 上运动时， ，点P在 上运动时，
(3)存在， 或 .
【知识点】列代数式、平移综合题(几何变换)、由平移方式确定点的坐标
【分析】本题是平移综合题，考查了三角形的面积，动点问题，解题的关键是分类讨论思想的应用．
（1）根据题意， ，进而求出点 的坐标；由题意得， ， ，点 在 上，且
，进而表示出点 的坐标；
（2）当点 在 上运动时，当点 在 上运动时，分别表示出点 的坐标即可作答；
（3）先求出四边形 的面积,点 在 上运动时列方程求解即可．
【详解】（1）解： 点 的坐标是 ，点 的坐标为 ，
由平移的性质得 ，
点 的坐标 ，
；
由题意得， ， ，
点 的运动速度为每秒2个单位长度，
出发5秒时，运动的距离为10个单位长度，
此时点 在 上，且 ，
33
学科网（北京）股份有限公司点 的坐标为 ，
故答案为： ， ；
（2）解：当点 在 上运动时，
，
点 的坐标为 ；
当点 在 上运动时，
，
点 的坐标为 ，
点 的坐标为 ；
（3）解： 四边形 的面积为 ，
，
当点 在 上运动时， 边上的高为4，
即 ，
解得 ，
点 的坐标为 或 ，
1．（23-24七年级下·广东汕头·期中）如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，点 的坐标为
．
(1)如图1所示，平移线段 到线段 ，使点 的对应点为 ，点 的对应点为 ，若点 的坐标为
，则点 的坐标为______；
(2)平移线段 到线段 ，使点 在 轴的正半轴上，点 在第二象限内，连接 ，如图2所示，
若 的面积为 ，求点 的坐标；
34
学科网（北京）股份有限公司(3)在（2）的条件下，在 轴上是否存在一点 ，使 与 的面积之比为 ？若存在，求出点
的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2) ，
(3)存在点 ，其坐标为 或
【知识点】已知图形的平移，求点的坐标、平移综合题(几何变换)、坐标与图形、由平移方式确定点的坐
标
【分析】本题主要考查平面直角坐标系中几何图形的变换，掌握图形平移的规律，几何图形的面积的计算
方法是解题的关键．
（1）根据点 ，点 的坐标可得平移规律，再根据平移规律即可求解；
（2）根据点 可得平移规律，连接 ，根据 可求点的平移，再求出点
的坐标；
（3）根据题意，先计算出 ，再根据题意，分类讨论：①当P在x轴上方时；②当 在 轴下方时；
根据几何图形面积的计算即可求解．
【详解】（1）解：已知点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，平移后点 的对应点为 ，若点 的
坐标为 ，
平移后的对应点 ，
设 ， ，
， ，
即：点 向左平移 个单位，再向上平移 个单位得到点 ，
∴ ， ，
点平移后的对应点 ；
（2）解： 点 在 轴上，点 在第二象限， ， ，
∴点 向左平移 个单位，
∴点 向左平移 个单位，横坐标为： ，即点 的横坐标为 ，
35
学科网（北京）股份有限公司∵对应点 在第二象限，
∴设点 向上平移了 个单位，
线段 向左平移 个单位，再向上平移 个单位，符合题意，
， ，
∴ ， ，
如图所示，连接 ，
∴ ，
∴ ，
，
，
， ；
（3）解：由（2）得 ，
∵ ， ，
∴ ，
①当P在x轴上方时，如图1，
，
，
∴ ；
36
学科网（北京）股份有限公司②当 在 轴下方时，如图2，
，
，
∴ ，
存在点 ，其坐标为 或 ．
2．（23-24七年级下·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系 中，已知点 ，点 ，将线段
平移至 ，点 在 轴的正半轴上移动（不与点 重合），连接 ，且
．
(1)直接写出点 的坐标；
(2)点 在运动过程中，是否存在点 ，满足 ，如果存在，请求出点 的坐标；如果不存在，
请说明理由；
(3)点 在运动过程中，请直接写出 三者之间存在的数量关系．
【答案】(1)
(2)存在点 满足 ，点 的坐标为 或
(3)点 在运动过程中， 或 ．
【知识点】坐标与图形、写出直角坐标系中点的坐标、平移综合题(几何变换)、根据平行线判定与性质求
37
学科网（北京）股份有限公司角度
【分析】本题主要考查平面直角坐标系中图象的变换，掌握图形的平移规律，几何图形面积的计算方法，
平行线的判定和性质等知识是解题的关键．
（1）根据平移的性质可得点 向左边平移了6个单位，由此即可求解；
（2）根据题意，设点 ，则 ，用含 的式子表示 ，根据绝对值的
性质即可求解；
（3）根据题意，图形结合，分类讨论，当点 在 上时；当点 在点 的右边时；根据平行线的判定和
性质即可求解．
【详解】（1）解：已知点 ，点 ，将线段 平移至 ，
∴点 的纵坐标为 ，横坐标为 ，
∴ ；
（2）解：存在，理由如下，
设点 ，则 ，且 ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，整理得， ，
当 时， ，
解得， ，则 ；
当 时， ，
解得， ，则 ；
综上所述，存在点 满足 ，点 的坐标为 或 ；
（3）解：已知点 在 轴的正半轴上移动（不与点 重合），
38
学科网（北京）股份有限公司第一种情况，当点 在 上时，如图所示，作 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
第二种情况，当点 在点 的右边时，如图所示，作 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
综上所述，点 在运动过程中， 或 ．
3．（23-24七年级下·福建龙岩·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为 ， ．
将线段 向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段 ，连接 ， ．
(1)直接写出坐标：点C（ ），点D（ ）．
(2)M，N分别是线段 ， 上的动点，点M从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度，点N从
点D出发向点C运动，速度为每秒 个单位长度，若两点同时出发，求几秒后 轴？
39
学科网（北京）股份有限公司(3)若 ，设点P是x轴上一动点（不与点B重合），问 与 存在怎样的数量关系？请
直接写出结论．
【答案】(1) ，3； ，
(2) 秒
(3)见解析
【知识点】平移综合题(几何变换)
【分析】
（1）利用平移变换的性质求解；
（2）设 秒后 轴，构建方程求解；
（3）分三种情形：①如图1中，当点 在直线 的左侧时，②如图2中，当点 在直线 的左侧或直
线 上且在直线 的右侧时，③如图3中，当点 在直线 的右侧时，分别求解即可．
【详解】（1）
解：将线段 向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，
可得： ， ，
故答案为： ，3； ， ；
（2）
设 秒后 轴，则有 ，
解得 ， 时， 轴；
（3）
①如图1中，当点 在直线 的左侧或 上时， ，
．
②如图2中，当点 在直线 的右侧且在直线 的右侧时， ，
40
学科网（北京）股份有限公司③如图3中，当点 在直线 的右侧时， ，
．
综上所述， 与 的关系为： 或 或 ．
【点睛】本题考查坐标与图形变化 平移，解题的关键是掌握平移变换的性质，学会用分类讨论的思想思
考问题，属于中考常考题型．
41
学科网（北京）股份有限公司
