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专题 9.3 平面直角坐标系中点的坐标规律探究【八大题型】
【人教版2024】
【题型1 沿平行于坐标轴方向运动的点的规律探究】.........................................................................................1
【题型2 沿斜线运动的点的规律探究】..................................................................................................................4
【题型3 沿曲线运动的点的规律探究】..................................................................................................................7
【题型4 沿坐标系翻折运动的点的规律探究】...................................................................................................10
【题型5 绕原点呈“回”字形运动的点的规律探究】.......................................................................................13
【题型6 平面直角坐标系中图形的变换规律探究】...........................................................................................16
【题型7 平面直角坐标系中坐标的变换规律探究】...........................................................................................20
【题型8 新定义问题中点的规律探究】................................................................................................................22
【题型1 沿平行于坐标轴方向运动的点的规律探究】
【例1】（24-25七年级·江西新余·期末）如图，在平面直角坐标系中，一巡查机器人接到指令，从原点O
出发，沿着路线O→A →A →A →A →A →A →A →A ⋅⋅⋅⋅⋅⋅移动，每次移动1个单位长
1 2 3 4 5 6 7 8
度，依次得到A (0,1)，A (1,1)，A (1,0)，⋅⋅⋅根据这个规律，点A 的坐标为（ ）
1 2 3 2024
A．(1011,−1) B．(1011,0) C．(1012,−1) D．(1012,0)
【答案】D
【分析】本题考查了点的坐标规律，找到规律是解题的关键．
先根据图中点的排列，找出规律，再计算求解．
【详解】解：根据图形发现，点的运动呈规律排列，8个点为一个周期，一周期横坐标增加4，
∴2024÷8=253，
1
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学科网（北京）股份有限公司∴所以点A 的横坐标为253×4=1012，
2024
则点A 的纵坐标与A 的纵坐标是相同的，
2024 8
由图易知，点A 的纵坐标为0，即点A 的纵坐标为0，
8 2024
点A 的坐标为(1012，0)，
2024
故选：D．
【变式1-1】（24-25七年级·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，
A(1,1),B(−1,1),C(−1,−2),D(1,−2)．把一条长为2012个单位长度且没有弹性的细线(线的粗
细忽略不计)的一端固定在点A处，并按A−B−C−D−A−…的规律紧绕在四边形ABCD的边上，则细
线另一端所在位置的点的坐标是( )
A．(1，−1) B．(−1，1) C．(−1，−2) D．(1，−2)
【答案】B
【分析】本题利用点的坐标考查了数字变化规律，根据点的坐标求出四边形ABCD的周长，然后求出另一
端是绕第几圈后的第几个单位长度，从而确定答案．
【详解】解：∵A(1,1),B(−1,1),C(−1,−2),D(1,−2)，
∴AB=1−(−1)=2，BC=1−(−2)=3，CD=1−(−1)=2，DA=1−(−2)=3，
∴绕四边形ABCD一周的细线长度为2+3+2+3=10，
2012÷10=201⋯⋯2，
∴细线另一端在绕四边形第202圈的第2个单位长度的位置，
即点B的位置，点的坐标为(−1，1)．
故选：B．
【变式1-2】（24-25七年级·全国·专题练习）如图，一个质点在第一象限及x轴、y轴上运动，在第一秒
钟，它从原点(0,0)运动到(0,1)，然后接着按图中箭头所示方向运动，即(0,0)−(0,1)−(1,1)−(1,0)，且每
秒移动一个单位长度，那么第99秒时质点所在位置的坐标是（ ）
2
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学科网（北京）股份有限公司A．(9,0) B．(0,9) C．(8,0) D．(0,8)
【答案】A
【分析】本题考查了点的规律探究，根据已知点的坐标，以及点的移动速度，得到点移动到(n.n)时，用的
时间为n(n+1)秒，且当点移动到(0,n)时，n为奇数时，先向右移动n秒，得到(n.n)，再向下移动n秒，得
到(n,0)，n为偶数时，向上移动一个单位，得到(0,n+1)，进行求解即可，根据题意找到点的坐标变化规
律是解题的关键．
【详解】解：由图和题意可知：
当点移动到(1,1)时，用时2秒，
当点移动到(2,2)时，用时6秒，
当点移动到(3,3)时，用时12秒，
⋯，
∴点移动到(n.n)时，用的时间为n(n+1)秒，
当点移动到(0,1)时，先向右移动1秒，得到(1,1)，再向下移动1秒得到(1,0)，
当点移动到(0,2)时，向上移动1秒，得到(0,3)，
当点移动到(0,3)时，先向右移动3秒，得到(3,3)，再向下移动3秒得到(3,0)，
⋯，
∴当点移动到(0,n)时，n为奇数时，先向右移动n秒，得到(n.n)，再向下移动n秒，得到(n.0)，n为偶数
时，向上移动1秒，得到(0,n+1)，
∴当点移动到(9,9)时，用时9×10=90秒，再向下移动9秒，得到(9,0)，
即第99秒时质点所在位置的坐标是为(9,0)，
故选：A．
【变式1-3】（24-25七年级·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点P(1,0)．点P第1
次向上跳动1个单位长度至点P (1,1)，紧接着第2次向左跳动2个单位长度至点P (−1,1)，第3次向上跳动
1 2
1个单位长度至点P ，第4次向右跳动3个单位长度至点P ，第5次又向上跳动1个单位长度至点P ，第6次
3 4 5
向左跳动4个单位长度至点P ……照此规律，点P第2024次跳动至点P ，则点P 的坐标是（ ）
6 2024 2024
3
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学科网（北京）股份有限公司A．(−506,1010) B．(−505,1010)
C．(507,1012) D．(506,1011)
【答案】C
【分析】本题考查了点坐标的规律探索，解题的关键是准确找出点的坐标变化规律．设第n次跳动至点P
n
，根据部分点P 坐标的变化确定变化的规律，结合2024=506×4，即可求解．
n
【详解】解：设第n次跳动至点P ，
n
观察发现：P(1,0)，P (1,1)，P (−1,1)，P (−1,2)，P (2,2)，P (2,3)，P (−2,3)，P (−2,4)，
1 2 3 4 5 6 7
P (3,4)，P (3,5)，..．
8 9
∴P (n+1,2n)，P (n+1,2n+1)，P (−n−1,2n+1)，P (−n−1,2n+2)，（n为自然数），
4n 4n+1 4n+2 4n+3
∵2024=506×4，
∴P (506+1,2×506)，
2024
即P (507,1012)．
2024
故选：C．
【题型2 沿斜线运动的点的规律探究】
【例2】（24-25七年级·河南周口·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整点，按图中→方向
排列，即(0,0)→(0,1)→(1,1)→(2,2)→ (2,3)→(3,3)→(4,4)，…，则按此规律排列下去第2024个点的
坐标为（ ）
4
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学科网（北京）股份有限公司A．(1347,1348) B．(1348,1348) C．(1348,1349) D．(1349,1349)
【答案】C
【分析】本题考查的是坐标规律的探究，解题的关键是仔细观察坐标变化规律，掌握从具体到一般的探究
方法．
先由题意写出前几个点的坐标，观察发现并归纳：横坐标与纵坐标相等且为偶数的点的坐标特点，从而可
得答案．
【详解】∵(0,0)→(0,1)→(1,1)→(2,2)→(2,3)→(3,3)→(4,4)
→(4,5)→(5,5)→(6,6)→(6,7)→(7,7)→(8,8)…，
∴观察发现：每三个点为一组，每组第一个点坐标为(2n−2,2n−2)，2024÷3=674⋅⋅⋅⋅⋅⋅2，
∴第2024个点在第675组的第二个，
∵第675组的第一个点坐标为(1348,1348)，
∴第2024个点的坐标为(1348,1349)，
故选：C．
【变式2-1】（24-25七年级·重庆铜梁·期末）如图，在平面直角坐标系中，动点P从原点出发，第1次运
动到点P (1,1)，第2次运动到点P (2,0)，第3次运动到点P (2,−1)，第4次运动到点P (3,−1)，第5
1 2 3 4
次运动到点P (3,0)……，按这样的运动规律．点P 的坐标是（ ）
5 28
A．(16,1) B．(17,0) C．(17,−1) D．(18,−1)
【答案】C
【分析】本题考查了点坐标的规律探究．根据题意推导一般性规律是解题的关键．
由题意知，每5个点循环一次，由28=5×5+3，可知P 与P 具有相同的特征，由P (2,−1)，
28 3 3
P (5,−1)，P (8,−1)，可推导一般性规律为P (3n−1,−1)，由5n−2=28，可求n=6，则
8 13 5n−2
P (3×6−1,−1)，求解作答即可．
28
【详解】解：由题意知，每5个点循环一次，
∵28=5×5+3，
∴P 与P 具有相同的特征，
28 3
∵P (2,−1)，P (5,−1)，P (8,−1)，
3 8 13
5
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学科网（北京）股份有限公司∴可推导一般性规律为P (3n−1,−1)，
5n−2
∵5n−2=28，
∴n=6，
∴P (3×6−1,−1)，即P (17,−1)，
28 28
故选：C．
【变式2-2】（24-25七年级·江西南昌·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，动点P按图中箭头所示方
向依次运动，第1次从点(−1,0)运动到点(0,1)，第2次运动到点(1,0)，第3次运动到点(2,−2)，…按
这样的运动规律，动点P第2024次运动到点（ ）
A．(2023,−2) B．(2023,0) C．(2024,−2) D．(2024,0)
【答案】B
【分析】本题考查了点的坐标规律，由题意出规律每四次运动，点P的纵坐标相同，横坐标每运动一次就
加1，结合2024÷4=506，即可得出动点P第2024次运动到点的横坐标为−1+2024=2023，纵坐标与第
4次运动后的点的纵坐标相同，为0，从而得解．
【详解】解：∵第1次从点(−1,0)运动到点(0,1)，
第2次运动到点(1,0)，
第3次运动到点(2,−2)，
…
∴由此可以得到规律，每四次运动，点P的纵坐标相同，横坐标每运动一次就加1，
∵2024÷4=506，
∴动点P第2024次运动到点的横坐标为−1+2024=2023，纵坐标与第4次运动后的点的纵坐标相同，为0
，
∴动点P第2024次运动到点(2023,0)，
故选：B．
【变式2-3】（24-25七年级·广东汕尾·期末）如图，在平面直角坐标系上，点A(1,0)第1次跳动至点
6
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学科网（北京）股份有限公司，第2次向右跳动3个单位长度至点 ，第3次跳动至点 ，第4次向右跳动5个
A (−1,1) A (2,1) A (−2,2)
1 2 3
单位长度至点 ……，依此规律跳动下去，点 第2024次跳动至点 的坐标是
A (3,2) A A
4 2024
．
【答案】(1013,1012)
【分析】本题考查点的坐标规律探究，根据题意，找到前几个坐标变化规律，然后求解即可．
【详解】解：由题意，A (−1,1)，A (2,1)，A (−2,2)，A (3,2)，A (−3,3)，A (4,3)，……，
1 2 3 4 5 6
依次类推，发现A (−n,n)，A (n+1,n)
2n−1 2n
∴A (1013,1012)，
2024
故答案为：(1013,1012)．
【题型3 沿曲线运动的点的规律探究】
【例3】（24-25七年级·山东德州·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆
π
O ，O ，O ，…组成一条平滑的曲线．若点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒 个单
1 2 3 2
位长度，则经过2024秒时，点P的坐标是( )
7
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学科网（北京）股份有限公司A．(2021,1) B．(2022,0) C．(2023,−1) D．(2024,0)
【答案】D
【分析】此题考查了点的规律变化，求出移动4次纵坐标完成一个循环，从而可得出点P的坐标．
1
【详解】解：半径为1个单位长度的半圆的弧长为 ×2π×1=π，
2
π
∵点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒 个单位长度，
2
1
∴点P每秒走 个半圆，
2
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为1秒时，点P的坐标为(1,1)，
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为2秒时，点P的坐标为(2,0)，
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为3秒时，点P的坐标为(3,−1)，
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为4秒时，点P的坐标为(4,0)，
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为5秒时，点P的坐标为(5,1)，
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为6秒时，点P的坐标为(6,0)，
…，
∴点P的横坐标和运动的秒数相同，纵坐标以1、0、−1、0为一个周期依次循环，
∵2024÷4=506，
∴P的坐标是(2024,0)，
故选：D．
【变式3-1】（24-25七年级·广东惠州·期中）如图，在直角坐标系中，四边形ABCD是正方形，A(1,−1)
，B(−1,−1)，C(−1,1)，D(1,1)．曲线A A 、A A 、A A …叫做“正方形的渐开线”，其中弧
1 1 2 2 3
A A 、弧A A 、弧A A 、弧A A 、…的圆心依次是点B、C、D、A循环，则点A 的坐标是
1 1 2 2 3 3 4 2024
．
8
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学科网（北京）股份有限公司【答案】(4049,−1)
【分析】本题主要考查了点的坐标的变化规律和对“正方形的渐开线”的理解．先分别求出A 的坐标是
1
(−1,−3)，A 的坐标是(−5,1)，A 的坐标是(1,7)，A 的坐标是(9,−1)，从中找出规律，依规律计算
2 3 4
即可．
【详解】解：从图中可以看出A 的坐标是(−1,−3)，A 的坐标是(−5,1)，A 的坐标是(1,7)，A 的坐标
1 2 3 4
是(9,−1)；
由题意可知，∵2024÷4=506，
∴点A 的坐标是A 的坐标循环后的点．
2024 4
依次循环则A 的纵坐标是−1，A，A ，A ……，横坐标是可以用y=2n+1(n为自然数）表示．
2024 4 8
当n=2024时，
∴x=2×2024+1=4049．
∴A 的坐标是(4049,−1)；
2024
故答案为：(4049,−1)．
【变式3-2】（24-25七年级·山东临沂·期中）如图，在平面直角坐标系中，放置一个半径为1的圆，与两
坐标轴相切，若该圆沿x轴正方向滚动2020圈后（滚动时在x轴上不滑动），则该圆的圆心坐标为（ ）
A．(4040π+1,0) B．(4040π+1,1) C．(4040π−1,0) D．(4040π−1,1)
【答案】B
【分析】先求出圆的周长，在根据滚动的圈数求出求出滚动总距离即可．
【详解】解：∵圆的半径为1，
∴圆的周长为2π×1=2π．
9
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学科网（北京）股份有限公司∵题图中圆的圆心坐标为(1,1)，
∴该圆向x轴正方向滚动2020圈后（滚动时在x轴上不滑动），此时该圆的圆心横坐标为
2020×2π+1=4040π+1，纵坐标为1，即(4040π+1,1)，
故选：B．
【点睛】本题考查平面直角坐标系，熟记圆的周长公式及并掌握平面直角坐标系点坐标的规律是解题的关
键．
【变式3-3】（24-25·湖北恩施·七年级期末）我们把1，1，2，3，5，8，13，21，…组数称为斐波那契数
列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作90°圆弧，弧PP，弧PP，弧PP，…得到斐波那契螺旋
1 2 2 3 3 4
线，然后依次连接PP，PP，PP 得到螺旋折线（如图），已知点P（0，1），P（﹣1，0），P（0，
1 2 2 3 3 4 1 2 3
﹣1），则该折线上P 的点的坐标为 ．
10
【答案】（﹣40，﹣9）．
【分析】我们把1，1，2，3，5，8，13，21，34，…组数称为斐波那契数列，观察图象，推出P 的位
10
置，即可解决问题．
【详解】由题意，P 在P 的正上方，推出P 在P 的正上方，P 在P 的正左方，
5 2 9 6 10 7
且P 的横坐标为：﹣34﹣6＝﹣40，P 的纵坐标与P 的纵坐标相等是﹣9，
10 10 7
所以P 的坐标为（﹣40，﹣9），
10
故答案为（﹣40，﹣9）．
【点睛】此题考查规律型：点的坐标，解题的关键是理解题意，确定P 的位置．
10
【题型4 沿坐标系翻折运动的点的规律探究】
【例4】（24-25七年级·湖南永州·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，A，B，C，D是边长为1个单
位长度的小正方形的顶点，开始时，顶点A，B依次放在点(1,0)，(2,0)的位置，然后向右滚动，第1次滚
动使点C落在点(3,0)的位置，第2次滚动使点D落在点(4,0)的位置，…，按此规律滚动下去，则第2025次
10
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学科网（北京）股份有限公司滚动后，顶点A的坐标是（ ）
A．(2024,1) B．(2026,1) C．(2025,0) D．(2026,0)
【答案】B
【分析】本题主要考查了点的坐标变化规律，解题关键是找到点A随滚动次数的变化规律．列举几次滚动
后的A点坐标，找到滚动次数与点A坐标之间的规律，进而求出第2023次滚动后顶点A的坐标．
【详解】解：第1次滚动点A 的坐标为(2,1)，
1
第2次滚动点A 的坐标为(4,1)，
2
第3次滚动点A 的坐标为(5,0)，
3
第4次滚动点A 的坐标为(5,0)，
4
第5次滚动点A 的坐标为(5,1)，
5
…，
每滚动4次一个循环，
∴A (4n+2,1)，A (4n+4,1)，A (4n+5,0)，A (4n+5,0)，
4n+1 4n+2 4n+3 4n+4
∵2025÷4=506⋯1，
∴A (4×506+2,1)，
2025
即A (2026,1)，
2025
故选：B．
【变式4-1】（24-25·广东梅州·七年级期末）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO沿x 轴向右无滑动的
滚动到△AB C 的位置，再到△A B C 的位置…依次进行下去， 若已知点A(3,0),B(0,4)，AB=5，则
1 1 1 1 2
点A 的坐标为______．
199
【答案】(1200,3)
【详解】解：OA+AB +B C =3+5+4=12，
1 1 2
所以点B (12，4),A (12，3)；
2 1
11
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学科网（北京）股份有限公司继续旋转得，
B (2×12，4),A (24，3)；
4 3
B (3×12，4),A (36，3)…
6 5
发现规律：
B (100×12，4),A (1200,3)．
200 199
所以点A 的坐标为(1200,3)．
199
故答案为：(1200,3)．
【变式4-2】（24-25湖南长沙·七年级期末）如图，正方形ABCD的顶点A(1,1),B(3,1)，规定把正方形
ABCD先沿x轴翻折，再向左平移1个单位为一次变换，这样连续经过2024次变换后，正方形ABCD的顶
点C的坐标为（ ）
A．(−2023,3) B．(−2023,−3)C．(−2021,3) D．(−2021,−3)
【答案】C
【分析】此题考查了对称与平移的性质，属于规律性题目，首先由正方形ABCD的顶点A(1,1),B(3,1)，
C(3,3)，然后根据题意求得第1次、2次、3次变换后的点C的对应点的坐标，即可得规律，进而求解．
【详解】∵正方形ABCD的顶点A(1,1),B(3,1)，
∴C(3,3)
根据题意得：第1次变换后的点C的对应点的坐标为(2,−3)
第2次变换后的点C的对应点的坐标为(1,3)
第3次变换后的点C的对应点的坐标为(0,−3)
……
第n次变换后的点C的对应点的坐标为，当n为奇数时为(3−n,−3)；当n为偶数时为(3−n,3)
∴连续经过2024次变换后，正方形ABCD的顶点C的坐标为(−2021,3)
故选：C．
【变式4-3】（24-25·河北·七年级期末）平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标
之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所
得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1
12
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学科网（北京）股份有限公司个单位长度．
例 ： “ 和 点 ” P(2,1)按 上 述 规 则 连 续 平 移 3 次 后 ， 到 达 点 P (2,2)， 其 平 移 过 程 如 下 ：
3
若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点Q (−1,9)，则点Q的坐标为（ ）
16
A．(6,1)或(7,1) B．(15,−7)或(8,0) C．(6,0)或(8,0) D．(5,1)或(7,1)
【答案】D
【分析】本题考查了坐标内点的平移运动，熟练掌握知识点，利用反向运动理解是解决本题的关键．
先找出规律若“和点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为0时，先向右平移1个单位，之后按照向上、
向左，向上、向左不断重复的规律平移，按照Q 的反向运动理解去分类讨论：①Q 先向右1个单位，不
16 16
符合题意；②Q 先向下1个单位，再向右平移，当平移到第15次时，共计向下平移了8次，向右平移了
16
7次，此时坐标为(6,1)，那么最后一次若向右平移则为(7,1)，若向左平移则为(5,1)．
【详解】解：由点P (2,2)可知横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，继而向上平移1个单位得到P (2,3)
3 4
，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为2，继而向左平移1个单位得到P (1,3)，此时横、纵坐标之和
4
除以3所得的余数为1，又要向上平移1个单位⋯⋯，因此发现规律为若“和点”横、纵坐标之和除以3
所得的余数为0时，先向右平移1个单位，之后按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移，
若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点Q (−1,9)，则按照“和点”Q 反向运动16次求点
16 16
Q坐标理解，可以分为两种情况：
①Q 先向右1个单位得到Q (0,9)，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为0，应该是Q 向右平移1
16 15 15
个单位得到Q ，故矛盾，不成立；
16
②Q 先向下1个单位得到Q (−1,8)，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，则应该向上平移1个
16 15
单位得到Q ，故符合题意，那么点Q 先向下平移，再向右平移，当平移到第15次时，共计向下平移了8
16 16
次，向右平移了7次，此时坐标为(−1+7,9−8)，即(6,1)，那么最后一次若向右平移则为(7,1)，若向左平
移则为(5,1)，
故选：D．
【题型5 绕原点呈“回”字形运动的点的规律探究】
【例5】（24-25七年级·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，从点P (−1,0)，P (−1,−1)，
1 2
P (1,−1)，P (1,1)，P (−2,1)，P (−2,−2)，…，依次进行下去，则P 的坐标为（ ）
3 4 5 6 2023
13
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学科网（北京）股份有限公司A．(506,−506) B．(506,506) C．(−506,505) D．(−506,−506)
【答案】A
【分析】本题考查了带周期的点的坐标规律．这些点分布在四个象限，可以分为四类，
2023÷4=505⋅⋅⋅⋅⋅⋅3，P 在第四象限，考虑P (1,−1)，P (2,−2)，P (3,−3)…这些点的坐
2023 3 7 11
标规律．
【详解】解：根据点的运动特征，把这些点分为四类，每一象限一类，周期为4，
∵2023÷4=505⋅⋅⋅⋅⋅⋅3，
∴P 在第四象限，考虑P (1,−1)，P (2,−2)，P (3,−3)…
2023 3 7 11
这些点的横坐标都是下标与1的和除以4得到的，纵坐标与横坐标互为相反数，
∵(2023+1)÷4=506，
∴P 的坐标为(506,−506)．
2023
故答案为：A．
【变式5-1】（24-25·宁夏银川·七年级期末）如图，在平面直角坐标系中，各坐标分别为A (0,0)，
1
A (1,1)，A (2,0)，A (0,−2)，A (−2,0)，A (1,3)，A (4,0)，A (0,−4)，A (−4,0)，A (1,5)，
2 3 4 5 6 7 8 9 10
A (6,0)，则依图中所示规律，A 的坐标为（ ）
11 2023
A．(1012,0) B．(−1010,0) C．(0,−2020) D．(1010,0)
【答案】A
14
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查了点坐标规律探索问题，旨在考查学生的抽象概括能力，由题意可得A (n≥1)在横
4n−1
轴的正方向，且坐标为(2n,0)，A (n≥1)在横轴的正方向，且坐标为(−2n,0)，结合
4n+1
2023=506×4−1即可．
【详解】解：由图可知：每一个图形都是等腰直角三角形，
A (0,0)，A (2,0),A (−2,0),A (4,0)，A (−4,0),A (6,0)．．．
1 3 5 7 9 11
A (n≥1)在横轴的正方向，且坐标为(2n,0)，A (n≥1)在横轴的正方向，且坐标为(−2n,0)，
4n−1 4n+1
∴2023=506×4−1，
∵点A 的坐标为(1012,0)．
2023
∴故选：A．
【变式5-2】（24-25七年级·河南驻马店·阶段练习）如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x轴
或y轴平行，从内到外，各正方形的边长依次为2，4,6,8,10,⋯，顶点A ,A ,A ,A ,A ,A ⋯的坐标分
1 2 3 4 5 6
别为A (1,1),A (−1,1),A (−1,−1),A (1,−1)，A (2,2),A (−2,2),⋯，则顶点A 的坐标是
1 2 3 4 5 6 2024
．
【答案】(506,−506)
【分析】本题考查了坐标与图形的规律探索，能根据已知找出规律是解题的关键．
根据题意发现规律：从开始，每4个点在同一个正方形的顶点上，按“一、二、三、四”象限的顺序排
序，且点的坐标绝对值都等于所在正方形的序数，故计算2024÷4=506，知道是第506个正方形的顶
点，且在第四象限，据此得出的坐标即可．
【详解】解：根据题意发现规律：从开始，每4个点在同一个正方形的顶点上，按“一、二、三、四”象
限的顺序排序，且点的坐标绝对值都等于所在正方形的序数，
∵2024÷4=506，
∴顶点A 是第506个正方形的顶点，且在第四象限，
2024
∴顶点A 的坐标：横坐标是506，纵坐标是−506，
2024
∴A (506,−506)．
2024
故答案为：(506,−506)．
15
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学科网（北京）股份有限公司【变式5-3】（24-25七年级·辽宁大连·期中）如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个
单位长度，以点P为顶点作正方形PA A A ，正方形PA A A ，⋯此规律作下去，所作正方形的顶点
1 2 3 4 5 6
均在格点上，其中正方形的顶点坐标分别为P(−3,0)，A (−2,1)，A (−1,0)，A (−1,−1)，A (−1,2)
1 2 3 4
，A (1,0)⋯则顶点A 的坐标为 ．
5 100
【答案】(31,34)
【分析】本题考查了点坐标的规律探究．根据题意推导一般性规律是解题的关键．
由图象可知，每三个点一组，根据100÷3=33⋅⋅⋅1，得出A 是第34个正方形中的第一个点，根据
100
A (−2,1)，A (−1,2)，A (0,3)，A (1,4)……得出第n个正方形中点A (n−3,n)，最后把n=34代入
1 4 7 11 3n−2
求出结果即可．
【详解】解：由图象可知，每三个点一组，
∵100÷3=33⋅⋅⋅1，
∴A 是第34个正方形中的第一个点，
100
∵A (−2,1)，A (−1,2)，A (0,3)，A (1,4)……
1 4 7 11
∴第n个正方形中点A (n−3,n)，
3n−2
当n=34时，34−3=31，
∴A (31,34)．
100
故答案为：(31,34)．
【题型6 平面直角坐标系中图形的变换规律探究】
【例6】（24-25七年级·全国·专题练习）如图，在直角坐标系中，第一次将△AOB变换成△OA B ，第二
1 1
次将△OA B 变换成△OA B ，第三次将△OA B 变换成△OA B ，已知A(1,4)，A (2,4)，A (4,4)
1 1 2 2 2 2 3 3 1 2
，A (8,4)；B(2,0)，B (4,0)，B (8,0)，B (16,0)．
3 1 2 3
16
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学科网（北京）股份有限公司(1)观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变化规律再将△OA B 变换成△OA B ，则A
3 3 4 4 4
的坐标是 ，B 的坐标是 ．
4
(2)若按（1）找到的规律将△OAB进行了n次变换，得到△OA B ，比较每次变换中三角形顶点有何变
n n
化，找出规律，推测A 的坐标是 ，B 的坐标是 ．
n n
【答案】(1)(16,4),(32,0)
(2)(2n,4),(2n+1,0)
【分析】考查了坐标与图形性质，坐标规律，仔细观察图形中点的横坐标的变化并熟悉2的指数次幂是解
题的关键．
（1）根据规律直接写出结论；
（2）由题可得，A点的规律为：可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是2n，纵坐标都是4；B点坐标规
律为：可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是2n+1，纵坐标都是0，再写出A ，B 的坐标即可．
n n
【详解】（1）解：∵A(1,4)，A (2,4)，A (4,4)，A (8,4)，
1 2 3
∴A 的横坐标为：24=16，纵坐标为：4，
4
∴点A 的坐标为：(16,4)．
4
又∵B(2,0)，B (4,0)，B (8,0)，B (16,0)，
1 2 3
∴B 的横坐标为：25=32，纵坐标为：0，
4
∴点B 的坐标为：(32,0)．
4
故答案为：(16,4),(32,0)；
（2）解：由A(1,4)，A (2,4)，A (4,4)，A (8,4)，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是2n，纵坐标
1 2 3
都是4．
故A 的坐标为：(2n,4)．
n
由B(2,0)，B (4,0)，B (8,0)，B (16,0)，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是2n+1，纵坐标都是0．
1 2 3
故B 的坐标为：(2n+1,0)．
n
17
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学科网（北京）股份有限公司故答案为：(2n,4),(2n+1,0)．
【变式6-1】（24-25·广东珠海·七年级期末）如图，在平面直角坐标系xOy内，动点M第1次从点
M (−3,−2)运动到M (−2,0)，第2次运动到M (−1,1)，第3次运动到M (0,3)，第4次运动到M (1,2)
0 1 2 3 4
，第5次运动到M (2,−1)，第6次运动到M (3,−2)，第7次运动到M (4,0)……依此规律，第2024次
5 6 7
运动到M 的坐标是 ．
2024
【答案】(2021,1)
【分析】此题主要考查了点的坐标规律，培养学生观察和归纳能力，从所给的数据和图形中寻求规律进行
解题是解答本题的关键．根据图象可得出：本题考查了点坐标规律探索，旨在考查学生的抽象概括能力．
根据题意得动点横坐标为对应的运动次数减3，纵坐标依次为：−2,0,1,3,2,−1，每6次一个循环，据此
即可求解．
【详解】解：由题意得：动点M (−3,−2)在平面直角坐标系中的运动为：
0
M (−2,0)，M (−1,1) ， M (0,3)，M (1,2)，M (2,−1)，M (3,−2)，M (4,0)，．．．．
1 2 3 4 5 6 7
∴横坐标为对应的运动次数减3，
则第2024 次运动到点M 的横坐标为：2024−3=2021；
2024
纵坐标依次为：−2,0,1,3,2,−1，每6次一个循环，
∵(2024+1)÷6=337...3，
∴第2024次运动到点M 的纵坐标为：1．
2024
故答案为：(2021，1)．
【变式6-2】（24-25七年级·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对
称变换，若点C坐标是(6，2)，则经过第2022次变换后，点C的对应点的坐标为（ ）
18
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学科网（北京）股份有限公司A．(−6，−2) B．(6，−2) C．(−6，2) D．(6，2)
【答案】A
【分析】观察图形可知每四次对称为一个循环组依次循环，用2022除以4，然后根据商和余数的情况确定
出变换后的点C所在的象限，然后解答即可．
【详解】解：∵点C第一次关于y轴对称后在第二象限，坐标为(−6，2)，
点C第二次关于x轴对称后在第三象限，坐标为(−6，−2)，
点C第三次关于y轴对称后在第四象限，坐标为(6，−2)，
点C第四次关于x轴对称后在第一象限，坐标为(6，2)，即点C回到原始位置，
∴每四次对称为一个循环组依次循环，
∵2022÷4=505…2，
∴经过第2022次变换后所得的C点与第二次变换的位置相同，在第三象限，坐标为(−6，−2)，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了点的坐标规律探索，观察图形得出每四次对称为一个循环组依次循环是解题的关
键．
【变式6-3】（24-25七年级·全国·专题练习）如图，在直角坐标系中第一次将△OAB变换成△OA B ，第
1 1
二次将△OA B 变换△OA B ，第三次将△OA B 变换成△OA B ，已知：
1 1 2 2 2 2 3 3
A(1,3),A (−2,−3),A (4,3),A (−8,−3),B(2,0),B (−4,0),B (8,0),B (−16,0)；
1 2 3 1 2 3
(1)观察每次变化前后的三角形有何变化，找出其中的规律，按此变化规律将△OA B 变换成△OA B 则
3 3 4 4
点A 的坐标为 ___________，点B 的坐标为 ___________．
4 4
19
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学科网（北京）股份有限公司(2)若按第（1）题中找到的规律将△OAB进行了n次变换，得到的△OA B 推测点A 坐标为
n n n
___________，点B 坐标为 ___________．
n
【答案】(1)(16,3)，(32,0)
(2)((−1) n ⋅2n,(−1) n ⋅3)，((−1) n ⋅2n+1,0)
【分析】本题考查了规律型中的坐标问题，解题的关键是根据给定点的坐标结合图形找出变化规律．
（1）根据图形变化规律写出图形变换后点的坐标即可；
（2）根据点A的坐标每变化一次，纵坐标的长度不变，但奇数次变化为负数，偶数次变化为正数，横坐
标的长度变为上一次的2倍，奇数次变化是负数，偶数次变化是正数；点B的坐标的长度每变化一次横坐
标就变为上一次的2倍，奇数次变化为负数，偶数次变化为正数，纵坐标都是0，然后写出即可．
【详解】（1）解：根据图形变换的规律：
∵A(1,3),A (−2,−3),A (4,3),A (−8,−3)；
1 2 3
∴点A 的坐标为(16,3)；
4
∵B(2,0),B (−4,0),B (8,0),B (−16,0)；
1 2 3
∴点B 的坐标为 (32,0)；
4
（2）解：由图形变换的规律可得：
点A 坐标为：((−1) n ⋅2n,(−1) n ⋅3)；
n
点B 的坐标为：((−1) n ⋅2n+1,0)．
n
【题型7 平面直角坐标系中坐标的变换规律探究】
【例7】（24-25七年级·黑龙江绥化·期中）在平面直角坐标系中，对于平面内任意一点(x，y)，若规定以
下两种变换：
①f (x，y)=(x+2，y)．②g(x，y)=(−x，−y)，
例如按照以上变换有：f (1，1)=(3，1)；g(f (1，1))=g(3，1)=(−3，−1)．
如果有数a、b，使得f (g(a，b))=(b，−a)，则g(f (a+b，a−b))= ．
【答案】(−4，0)
{a=1)
【分析】先根据f (g(a，b))=(b，a)，推出(−a+2，−b)=(b，−a)，进而求出 ，据此求解即
b=1
20
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学科网（北京）股份有限公司可．
【详解】解：∵f (g(a，b))=(b，a)，
∴f (−a，−b)=(b，a)，
∴(−a+2，−b)=(b，−a)，
{−a+2=b)
∴ ，
−b=−a
{a=1)
解得 ，
b=1
∴g(f (a+b，a−b))
=g(f (1+1，1−1))
=g(f (2，0))
=g(2+2，0)
=(−4，0)，
故答案为：(−4，0)
【点睛】本题主要考查了新定义，解决的关键是理解相关定义，难点是确定运算顺序．
【变式7-1】（24-25七年级·北京西城·期中）在平面直角坐标系中，对于平面内任一点（a，b），若规定
以下三种变换：
①f（a，b）＝（﹣b，﹣a），如f（1，3）＝（﹣3，﹣1）；
②g（a，b）＝（b，a），如g（1，3）＝（3，1）；
③h（a，b）＝（﹣a，b），如h（1，3）＝（﹣1，3）．
且规定了运算顺序是“由内到外”，例如按照以上规定有：f（g（2，﹣3））＝f（﹣3，2）＝（﹣2，
3），那么f（g（h（5，﹣3）））＝ ．
【答案】（5，3）
【分析】根据题意找到运算法则f、g、h，然后运用相应的运算法则解答．
【详解】解：由题意知，f（g（h（5，﹣3）））＝f（g（﹣5，﹣3））＝f（﹣3，﹣5）＝（5，3）．
故答案是：（5，3）．
【点睛】考查了关于原点对称的点的坐标，关于x轴、y轴对称的点的坐标．解题的关键是弄清楚f、g、h
所对应的运算法则．
21
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学科网（北京）股份有限公司【变式7-2】（24-25七年级·安徽六安·期末）对一组数(x,y)的一次操作变换记为P (x ,y )，定义其变换
1 1 1
法则如下：P (x ,y )=(x+ y,x−y)，
1 1 1
P (x ,y )=(x + y ,x −y )⋯P (x ,y )=(x + y ,x −y )（n为大于1的整数），如这组数为
2 2 2 1 1 1 1 n n n n−1 n−1 n−1 n−1
(1,2)，则P =(3,−1)，P =(2,4)，P =(6,−2)…当这组数为(1,−1)时，P =（ ）
1 2 3 2024
A．(21012,−21012) B．(0,−21012) C．(0,21011) D．(21011,−21011)
【答案】A
【分析】本题考查了新定义点的坐标，根据操作方法依次求出前几次变换的结果，然后根据规律解答，读
懂题目信息，理解操作方法并观察出点的纵坐标的指数的变化规律是解题的关键．
【详解】解：当这组数为(1,−1)时，
P (1,−1)=(0,2)，
1
P (1,−1)=(2,−2)，
2
P (1,−1)=(0,4)=(0,22)，
3
P (1,−1)=(4,−4)=(22,−22)，
4
P (1,−1)=(0,8)=(0,23)，
5
∴P (1,−1)=(21012,−21012)，
2024
故选：A．
【变式7-3】（24-25七年级·河北沧州·期末）在平面直角坐标系中，对于平面内任意一点(x,y)，若规定以
下两种变换：
①f (x,y)=(y,x)．如f (2,3)=(3,2)；
②g(x,y)=(−x,−y)，如g(2,3)=(−2,−3)．
按照以上变换有：f (g(2,3))=f (−2,−3)=(−3,−2)，那么g(f (−6,7))= ．
【答案】（-7，6）
【分析】先根据题意求出f (−6，7)=(7，−6)，即可求出g(f (−6，7))=(−7，6)．
22
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：由题意得f (−6，7)=(7，−6)，
∴g(f (−6，7))=g(7，−6)=(−7，6)，
故答案为：（-7，6）．
【点睛】本题主要考查了点的坐标规律探索，正确理解题意是解题的关键．
【题型8 新定义问题中点的规律探究】
( 1 )
【例8】（24-25七年级·湖南邵阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，对于点P(x,y)，把点P y,
1 1−x
叫做点P的友好点．已知点A 的友好点为点A ，点A 的友好点为点A ⋯这样依次得到点
1 2 2 3
(1 )
A ,A ,A ,A ⋯A ，若点A 的坐标为 ,2 ，则根据友好点的定义，点A 的坐标为（ ）
1 2 3 4 x 1 2 2023
(1 ) ( 1)
A． ,2 B．(2,−1) C．(−1,−1) D． −1,
2 2
【答案】A
【分析】本题考查了点的规律，图形与坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先分别算出A (2,2)
2
( 1) (1 1)
A (2,−1)， A (−1,−1),A −1, ,A , ，找到规律后，得点A 的坐标与A 的坐标相同，
3 4 5 2 6 2 2 2023 1
即可作答．
( 1 ) (1 )
【详解】解：∵对于点P(x,y)，把点P y, 叫做点P的友好点．且A 的坐标为 ,2 ,
1 1−x 1 2
1 1
= =2
则1−x 1
1−
2
∴A (2,2)，
2
1 1
则 = =−1
1−2 −1
∴A (2,−1)，
3
( 1) (1 1) (1 )
同理得A (−1,−1),A −1, ,A , ，A ,2 ……
4 5 2 6 2 2 7 2
观察发现，每6个点为一个循环组依次循环．
∵2023÷6=337⋯⋯1
(1 )
∴点A 的坐标与A 的坐标相同，为 ,2 ．
2023 1 2
23
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学科网（北京）股份有限公司故选：A
【变式8-1】（24-25七年级·全国·课后作业）定义：平面内的直线l 与l 相交于点O，对于该平面内任意一
1 2
点M，点M到直线l ，l 的距离分别为a，b，则称有序非负实数对(a,b)是点M的“距离坐标”根据上述
1 2
定义，“距离坐标”为(2,1)的点的个数是 .
【答案】4
【分析】首先根据题中定义，可得，“距离坐标”为(2,1)的点是到l 的距离为2，到l 的距离为1的点；
1 2
然后根据到l 的距离为2的点是两条平行直线，到l 的距离为1的点也是两条平行直线，发现所求的点是
1 2
以上两组直线的交点，一共有4个．
【详解】解：如图，到l 的距离为2的点在两条平行直线l , l 上，
1 3 4
到l 的距离为1的点在两条平行直线l , l 上.
2 5 6
因为两组直线的交点一共有4个，
即A，B，C，D，所以“距离坐标”为(2,1)的点有4个.
【点睛】此题主要考查了点的坐标，解答此题的关键是对“距离坐标”的含义的理解和掌握．
【变式8-2】（24-25七年级·黑龙江齐齐哈尔·期中）新定义：在平面直角坐标系中xOy中的点P(a,b)，若
点P的坐标为(a+kb,ka+b)（其中k为常数，k≠0），则称点P′为点P的“k属派生点”．例如：点
P(1,2)的“3属派生点”为P′(1+3×2,3×1+2)，即P′(7,5)．
(1)点P(−2,3)的“2属派生点”P′的坐标为________；
(2)若点P在y轴的正半轴上，点P的“k属派生点”为点P′，且线段PP′的长为线段OP长的3倍，求k的
值．
【答案】(1)(4,−1)
(2)k=3或k=−3
【分析】（1）根据“k属派生点”的定义，进行求解即可；
（2）分k>0和k<0，两种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：由题意，得：P′(−2+3×2,−2×2+3)，
即：P′(4,−1)，
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学科网（北京）股份有限公司故答案为：(4,−1)．
（2）解：设点P(0,m)(m>0)
点P的“k属派生点”为点P′，
∴P′(km,m)，
∵P(0,m)(m>0)，P′ (km,m)的纵坐标相同，
∴PP′∥x轴，
如图，分两种情况：
①当k>0时，PP′=km，
∵PP′=3OP，
∴km=3m，
∴k=3；
②当k<0时，PP′=−km
∵PP′=3OP，
∴−km=3m，
∴k=−3；
综上：k=3或k=−3．
【点睛】本题考查点的坐标规律．解题的关键是理解并掌握“k属派生点”的定义．
【变式8-3】（24-25七年级·北京·期中）在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P (x ,y )与P (x ,y )
1 1 1 2 2 2
，我们重新定义这两点的“距离”：
①当|y −y )≤|x −x )时，|x −x )为点P 与点P 的“远距离”D ，即D (P ,P )=|x −x )；
1 2 1 2 1 2 1 2 远 远 1 2 1 2
当|x −x )≤|y −y )时，|y −y )为点P 与点P 的“远距离”D ，即D (P ,P )=|y −y )．
1 2 1 2 1 2 1 2 远 远 1 2 1 2
②点P 与点P 的“总距离”D 为|x −x )与|y −y )的和，即D (P ,P )=|x −x )+|y −y )．
1 2 总 1 2 1 2 总 1 2 1 2 1 2
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学科网（北京）股份有限公司根据以上材料，解决下列问题：
(1)已知点A(5,3)，则D (A,O)=______．
总
(2)若点B(x,7−x)在第一象限，且D (B,O)=5．求点B的坐标．
远
(3)若点C(x,y)(x≥0,y≥0)，且D (C,O)=4，所有满足条件的点C组成了图形G，请在图中画出图形G
总
．
【答案】(1)8
(2)(5,2)或(2,5)
(3)见解析
【分析】本题考查平面直角坐标系，新定义运算：
（1）根据D (P ,P )=|x −x )+|y −y )求解；
总 1 2 1 2 1 2
（2）分|x−0)>|7−x−0)和|x−0)<|7−x−0)两种情况，根据D 的定义分别求解；
远
（3）根据D (C,O)=4可得x+ y=4，由此作图即可．
总
【详解】（1）解：D (A,O)=|5−0)+|3−0)=5+3=8，
总
故答案为：8；
（2）解：∵点B(x,7−x)在第一象限，
∴ x>0，7−x>0，
当|x−0)>|7−x−0)时，D (B,O)=|x−0)=x=5，
远
7−x=7−5=2，
此时点B的坐标为(5,2)；
当|x−0)<|7−x−0)时，D (B,O)=|7−x−0)=7−x=5，
远
∴ x=2，7−x=7−2=5，
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学科网（北京）股份有限公司此时点B的坐标为(2,5)；
综上可知，点B的坐标为(5,2)或(2,5)．
（3）解：∵ C(x,y)(x≥0,y≥0)，D (C,O)=4，
总
∴ |x−0)+|y−0)=x+ y=4，图形G如下图所示．
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