[22004421]专题3平面直角坐标系题型归类（含答案）2024-2025学年数学人教版七年级下册_初中数学人教版_7下-初中数学人教版_7下-初中数学人教版（2025春季新版）持续更新_05习题试卷_第1套

专题 3 平面直角坐标系 题型归类 举一反三 题型一 平面直角坐标系内点的坐标特征 例1 点A(n+2,1−n)不可能在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 变式跟进 1．[2022广安]若点P(m+1,m)在第四象限,则点Q(−3,m+2)在第__象限. 2．已知在平面直角坐标系中,点A的坐标为(a−3,2a+1). （1） 若点A在y轴上,求出点A的坐标; （2） 若点A到x轴的距离为5,求出点A的坐标. 题型二 平面直角坐标系中的平移 例2 若将点A(1,3)向左平移2个单位长度,再向下平移4个单位长度得到点B,则点B的坐标为 ________________. 变式跟进 3．如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为(3,0),(0,2),将线段AB平移至A B ,则a+b的值为 1 1 ____. 题型三 位置的确定 例3 [2024长沙模拟]如图是一片枫叶标本,其形状呈“掌状五裂型”,裂片具有少数突出的齿.将其放 在平面直角坐标系中,表示叶片“顶部”A,B两点的坐标分别为(−1,2),(−2,0),则叶杆“底部”点C 的坐标为____________. 变式跟进 4．如图所示的围棋盘放置在某个平面直角坐标系中,白棋②的坐标为(−3,−1),白棋④的坐标为 (−2,−5),则黑棋①的坐标为（ ）A．(−1,−4) B．(1,−4) C．(3,1) D．(−3,−1) 题型四 平面直角坐标系中的变换作图 例4 [2023长沙模拟]如图,在平面直角坐标系中,点A,B,C的坐标分别为A(2,−1),B(4,3),C(1,2).将 三角形ABC先向左平移4个单位长度,再向下平移2个单位长度得到三角形A B C . 1 1 1 （1） 请在图中画出三角形A B C ; 1 1 1 （2） 写出平移后的三角形A B C 三个顶点的坐标: 1 1 1 A （________,________）, 1 B （____,____）, 1 C （________,____）; 1 （3） 求三角形ABC的面积. 变式跟进 5．已知:如图,把三角形ABC向上平移3个单位长度,再向右平移2个单位长度,得到三角形A'B'C'. （1） 请在图中画出三角形A'B'C',并写出三角形A'B'C'三个顶点的坐标:A'（____）,B' （____）,C'（____）; （2） △ABC的面积为____; （3） 点P在y轴上,且三角形BCP的面积是三角形ABC的面积的2倍,求点P的坐标. 题型五 平面直角坐标系中的规律探究例5 如图,在平面直角坐标系中,从点P (−1,0),P (−1,−1),P (1,−1),P (1,1),P (−2,1),P (−2,−2), 1 2 3 4 5 6 ⋯⋯ 依次扩展下去,则点P 的坐标为（ ） 2026 A．(−507,507) B．(504,504) C．(−506,−506) D．(−505,−505) 变式跟进 6．[2024长沙模拟]在一单位为1的方格纸上,有一列点A ,A ,A ,⋯ ,A ,⋯ （其中n为正整数）均为 1 2 3 n 网格上的格点,按如图所示规律排列,点A (2,0),A (1,−1),A (0,0),A (2,2),⋯ ,则A 的坐标为 1 2 3 4 2024 （ ） A．(−1010,0) B．(2,1012) C．(1012,2) D．(1014,0) 过关训练 现复活用 A组·基础达标 逐点击破 1．在平面直角坐标系中,点P(−2,x2+1)所在的象限是（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知点P(x,y)位于第四象限,且x≤ y+（x,y为整数）,写出一个符合上述条件的点P的坐标: ____________________________. 3．若点A(a,3)在y轴上,则点B(a−3,a+2)在第__象限. 4．[2024岳阳模拟]在平面直角坐标系中,已知点P(2a−7,3−a). （1） 若点P在x轴上,求点P的坐标; （2） 若点P的纵坐标比横坐标大4,求点P的坐标; （3） 若点Q(5,4),且PQ与坐标轴平行,求点P的坐标. B组·能力提升 强化突破 5．[2023长沙模拟]对a,b定义一种新运算Τ,规定:Τ(a,b)=(2a−b)(ax−by)（其中x,y均为非零实 数）.例如:Τ(1,1)=x−y.{T(1,3)=a+3, （1） 已知关于x,y的方程组 若a≤−1,求2x−y的取值范围; T(2,0)=8a, （2） 在（1）的条件下,已知平面直角坐标系上的点A(x,y)落在坐标轴上,将线段OA沿x轴向右平 移2个单位长度,得线段O' A',坐标轴上有一点B满足三角形BOA'的面积为15,请直接写出点B的坐 标. n+2 6．已知当m,n都是实数,且满足2m=8+n时,称p(m−1, )为“好点”. 2 3 1 （1） 判断点A( ,− ),B(4,10)是否为“好点”,并说明理由. 2 2 （2） 若点M(a,2a−1)是“好点”,请判断点M在第几象限？并说明理由. 7．[2024长沙模拟]如图,在平面直角坐标系中,过点A(0,4)的直线a⊥y轴,M(9,4)为直线a上一点. 点P从点M出发,以每秒2个单位长度的速度沿直线a向左移动;同时,点Q从原点出发,以每秒1个单位 长度的速度沿x轴向右移动. （1） 当点P在线段AM上移动时,几秒后AP=OQ？ （2） 若以A,O,Q,P为顶点的四边形的面积是10,求点P的坐标.专题 3 平面直角坐标系 题型归类 举一反三 题型一 平面直角坐标系内点的坐标特征 【点悟】 解此类问题的一般方法是根据点在坐标系内的符号特征,建立不等式（组）或方程（组）, 把点的问题转化为不等式（组）或方程（组）来解决. 例1 C 变式跟进 1．二 2．（1） 解:∵ 点A的坐标为(a−3,2a+1),点A在y轴上, ∴a−3=0, ∴a=3, ∴2a+1=6+1=7, ∴ 点A的坐标为(0,7). （2） ∵ 点A到x轴的距离为5, ∴|2a+1|=5, 解得a=2或−3. 当a=2时,a−3=−1,即点A的坐标为(−1,5); 当a=−3时,a−3=−6,即点A的坐标为(−6,−5). 综上所述,点A的坐标为(−1,5)或(−6,−5). 题型二 平面直角坐标系中的平移 【点悟】 左右平移只改变点的横坐标,左减右加;上下平移只改变点的纵坐标,上加下减. 例2 (−1,−1) 变式跟进 3．2 题型三 位置的确定 例3 (3,−3) 变式跟进 4．B 题型四 平面直角坐标系中的变换作图 例4 （1） 解:如答图所示,三角形A B C 即为所求作. 1 1 1例4答图 （2） −2； −3； 0； 1； −3； 0 （3） 由答图可得: S =S −S −S −S 三 角 形ABC长 方 形EFGB三 角 形BEC三 角 形CFA 三 角 形AGB 1 1 1 =BE⋅EF− EB⋅CE− CF⋅FA− AG⋅BG 2 2 2 1 1 1 =3×4− ×3×1− ×3×1− ×2×4 2 2 2 =5. 变式跟进 5．（1） 0,4； -1,1； 3,1； 解:如答图所示,三角形A'B'C'即为所求作. 变式跟进5答图 （2） 6 （3） 设点P的坐标为(0,y). 由题意,得BC=4,点P到BC的距离为|y+2|. ∵ 三角形BCP的面积是三角形ABC的面积的2倍, 1 ∴S = ×4×|y+2|=12, 三 角 形BC2P 解得y=4或y=−8, ∴ 点P的坐标为(0,4)或(0,−8). 题型五 平面直角坐标系中的规律探究 [解析]由规律可得,2026÷4=506⋯⋯2,∴ 点P 在第三象限.∵P (−1,−1),P (−2,−2),P (−3,−3), 2026 2 6 10 ⋯ ,∴P (−507,−507).故选A. 2026【点悟】 本题是以循环为特征的规律探索型问题,解决此类问题应先观察图形的变化趋势,然后从 第一个图形进行分析,运用从特殊到一般的探索方式,如果以m次为一个循环,那么第n次的情形与 n÷m的余数次是相同的,整除时与最后一次的情形相同. 例5 A 变式跟进 6．B [解析]观察发现:A (2,0),A (2,2),A (2,4),⋯ , 1 4 8 ∴A (2,2n)（n为自然数）. 4n ∵2024=506×4, ∴A 的坐标为(2,1012). 2024 过关训练 现复活用 A组·基础达标 逐点击破 1．B 2．(1,−1)（答案不唯一） 3．二 4．（1） 解:∵ 点P在x轴上, ∴ 点P的纵坐标为零,即3−a=0, 解得a=3, ∴2a−7=−1, ∴ 点P的坐标为(−1,0). （2） ∵(3−a)−(2a−7)=4, 解得a=2, ∴2a−7=−3,3−a=1, ∴ 点P的坐标为(−3,1). （3） 当PQ// y轴时, ∴ 点P和点Q的横坐标相等, 即2a−7=5, 解得a=6, ∴3−a=−3, ∴ 点P的坐标为(5,−3); 当PQ//x轴时, ∴ 点P和点Q的纵坐标相等,即3−a=4, 解得a=−1, ∴2a−7=2×(−1)−7=−9,∴ 点P的坐标为(−9,4). 综上所述,点P的坐标为(5,−3)或(−9,4). B组·能力提升 强化突破 {−(x−3 y)=a+3, 5．（1） 解:由题意,得 8x=8a, { x=a, 解得 2 y= a+1. 3 2 4 ∴2x−y=2a−( a+1)= a−1. 3 3 4 4 ∵a≤−1,∴ a≤− , 3 3 4 7 ∴ a−1≤− , 3 3 7 ∴2x−y≤− . 3 { x=a, （2） 由（1）知 2 y= a+1, 3 2 ∴A(a, a+1). 3 ∵ 将线段OA沿x轴向右平移2个单位长度,得线段O' A', 2 ∴A'(a+2, a+1). 3 2 ∵ 点A(a, a+1)落在坐标轴上,且a≤−1, 3 2 ∴ a+1=0, 3 3 解得a=− , 2 3 1 ∴A(− ,0),A'( ,0). 2 2 若点B在x轴上,则三角形BOA'不存在; 当点B在y轴上, 1 1 则S = × OB=15, 三 角 形B'OA2 2 ∴OB=60, ∴B(0,60)或(0,−60). 综上所述,点B的坐标为(0,60)或(0,−60).3 1 6．（1） 解:点A( ,− )为“好点”,理由如下: 2 2 3 1 3 n+2 1 当A( ,− )时,m−1= , =− , 2 2 2 2 2 5 解得m= ,n=−3, 2 则2m=5,8+n=5, ∴2m=8+n, 3 1 ∴A( ,− )是“好点”; 2 2 点B(4,10)不是“好点”,理由如下: n+2 当B(4,10)时,m−1=4, =10, 2 解得m=5,n=18, 则2m=10,8+n=26, ∴2m≠8+n, ∴ 点B(4,10)不是“好点”. （2） 点M在第三象限,理由如下: ∵ 点M(a,2a−1)是“好点”, n+2 ∴m−1=a, =2a−1, 2 ∴m=a+1,n=4a−4. 代入2m=8+n,得2a+2=8+4a−4, 解得a=−1,2a−1=−3, ∴M(−1,−3), ∴ 点M在第三象限. 7．（1） 解:∵ 过点A(0,4)的直线a垂直于y轴,点P在直线a上,点Q在x轴上, ∴ 点P的纵坐标为4,点Q的纵坐标为0. ∵ 点M的坐标为(9,4), ∴AM=9. ∵ 点P从点M出发,以每秒2个单位的速度沿直线a向左移动,点Q从原点出发,以每秒1个单位的速度 沿x轴向右移动,设运动时间为t, 则PM=2t,OQ=t. ∵ 当点P在线段AM上移动时,AP=9−2t. ∵AP=OQ, ∴9−2t=t, 解得t=3;∴ 当点P在线段AM上移动时,3s后AP=OQ. （2） ∵ 点A的坐标为(0,4), ∴OA=4. 当点P在y轴右侧时,AP=9−2t, 1 1 ∴S = (OQ+AP)⋅OA= (t+9−2t)×4=10, 四 边 形AO2QP 2 解得t=4. 当t=4时,9−2t=1, ∴ 点P的坐标为(1,4); 当点P在y轴左侧时,AP=2t−9, 1 1 ∴S = (OQ+AP)⋅OA= (t+2t−9)×4=10, 四 边 形APO2Q 2 14 解得t= . 3 14 1 当t= 时,9−2t=− , 3 3 1 ∴ 点P的坐标为(− ,4). 3 1 综上所述,点P的坐标为(1,4)或(− ,4). 3