[22004423]专题5不等式与不等式组题型归类（含答案）2024-2025学年数学人教版七年级下册_初中数学人教版_7下-初中数学人教版_7下-初中数学人教版（2025春季新版）持续更新_05习题试卷

专题 5 不等式与不等式组
题型归类 举一反三
题型一 不等式的概念和性质
例1 下列不等式的变形不正确的是（ ）
A．若a>b,则a+3>b+3 B．若a<b,则−a>−b
1 1
C．若− x<y,则x>−2y D．若−2x>a,则x>− a
2 2
变式跟进
1．下列各式中,不是不等式的是（ ）
A．2x≠1 B．3x2−2x+1
C．−3<0 D．3x−2≥1
1 1
2．设a>b>0,c为常数,给出下列不等式:①a−b>0;②ac>bc;③− a<− b;④b2>ab.其中正确的不等
3 3
式有 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型二 一元一次不等式的解法
例2 解下列不等式,并把解集在数轴上表示出来.
（1） 2(5x+1)≤x−5(1−2x);
x x−2
（2） 1+ >5− .
3 2
变式跟进
3．解下列不等式,并把它们的解集在数轴上表示出来.
（1） 5x−1>2x+5;
x 2x
（2） −2≥ −1;
2 3
题型三 一元一次不等式组的解法
{3−2(x−1)≤2x+9,①
例3 解不等式组 1−3x 并在如图所示的数轴上表示出它的解集.
5−3x> ,②
2
变式跟进
{
x+5≤0,
4．解不等式组 3x−1 并写出它的最大负整数解.
≥2x+1,
2
题型四 确定不等式（组）参数的取值范围
例4 [2024长沙模拟]对于x,y定义一种新运算T,规定:T(x,y)=ax+2by−1（其中a,b均为非零常数）,
这里等式右边是通常的四则运算,例如:T(2,1)=2a+2b−1.（1） 已知T(1,1)=3,T(2,−1)=1,求a,b的值;
{T(3m,2−m)<4,
（2） 在（1）的条件下,关于m的不等式组 恰好有三个整数解,求实数k的取值范围;
T(m,m+2)>k
（3） 若T(x,y)=T(y,x)对于任意不相等的实数x,y都成立,求a与b满足的关系式.
变式跟进
5．对于任意实数m,n,定义一种新运算:m※n=mn−m−n+3,等式的右边是通常的加减和乘法运算.例
如:2※6=2×6−2−6+3=7.请根据上述定义解决问题:若a<4※x<8,且解集中有2个整数解,则a的
取值范围是（ ）
A．−1<a≤2 B．−1≤a<2
C．−4≤a<−1 D．−4<a≤−1
题型五 一元一次不等式（组）的应用
例5 某礼品店准备从厂家选购甲、乙两种毛绒玩具.若购进甲种毛绒玩具3个和乙种毛绒玩具2个
共需310元;若购进甲种毛绒玩具5个和乙种毛绒玩具6个共需730元.
（1） 购进每个甲种、乙种毛绒玩具的价钱分别为多少元？
（2） 若该礼品店每销售1个甲种毛绒玩具可获利15元,每销售1个乙种毛绒玩具可获利20元,且
该礼品店将购进甲、乙两种毛绒玩具共50个全部售出后,要获得的利润不少于800元.问甲种毛绒玩
具最多购进多少个？
变式跟进
6．[2024株洲模拟]为庆祝“六一”儿童节,某校七年级学生举行趣味运动会,需要购买适合学生使
用的跳绳和毽子.经调查,已知2根跳绳和5个毽子共需90元,5根跳绳和8个毽子共需189元.
（1） 求每根跳绳和每个毽子的价格各是多少元.
（2） 学校预购买跳绳与毽子共50件,其中跳绳不能少于10根,若学校预算经费不能超过600元,请
通过计算策划购买方案.
（3） 商场在“六一”期间开展促销活动,优惠方案如下表:
优惠活动一:（打折促销） 跳绳九折优惠,毽子八五折优惠
优惠活动二:（买一赠一） 买一根跳绳 赠送一个毽子
根据（2）中的购买方案,选用哪一种优惠活动更合适？
过关训练 现复活用
A组·基础达标 逐点击破
1．[2022杭州]已知a,b,c,d是实数,若a>b,c=d,则下列不等式一定正确的是（ ）
A．a+c>b+d B．a+b>c+d
C．a+c>b−d D．a+b>c−d
{ x−2<0,
2．不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
−2x−1≤1A． B．
C． D．
3．小明网购了一本《好玩的数学》,同学们想知道书的价格,小明让他们猜.甲说:“至少15元.”乙说
“至多12元.”丙说“至多10元.”小明说:“你们三个人都说错了.”则这本书的价格x（元）所在的范
围为（ ）
A．10<x<12 B．12<x<15
C．10<x<15 D．11<x<14
4．[2024岳阳模拟]若关于x的不等式3−x>a的解集为x<4,则关于m的不等式2m+3a<1的解集为（
）
A．m<2 B．m>1 C．m>−2 D．m<−1
5．[2022十堰]关于x的不等式组中的两个不等式的解集如图所示,则该不等式组的解集为
____________.
{3−2x≥5,
6．[2022宜宾]不等式组 x+2 的解集为______________.
>−1
2
7．
x−2 2+x
（1） 求不等式1− ≥ 的非负整数解;
2 3
{1+x x−1
− ≤1,
（2） 解不等式组 2 3 并把解集在数轴上表示出来.
3(x−1)<2x+1
B组·能力提升 强化突破
{2x−1>4x+7,
8．若关于x的不等式组 无解,则实数a的取值范围是__________.
x>a
9．[2024长沙模拟]为了加强校内外的安全监控,创建“平安校园”,某学校计划增加15台监控摄像
设备,现有甲,乙两种型号的设备可供选择,其中每台价格、有效监控半径如表所示.经调查,购买1台
甲型设备比购买1台乙型设备少160元,购买3台甲型设备比购买2台乙型设备多120元.
型号 甲型 乙型
价格/（元/台） x y
有效监控半径/（m/台） 100 120
（1） 求x,y的值;
（2） 若购买这批设备的资金不超过7 600元,则至少应该购买甲型设备多少台？（3） 在（2）的条件下,若要求有效监控半径覆盖范围不低于1600m,为了节约资金,请你设计一种
最省钱的购买方案.
10．[2023长沙模拟]我们约定:给定两个不等式组P和Q,若不等式组P的任意一个解,都是不等式组Q
的一个解,则称不等式组P为不等式组Q的“子集”.
{x>2, {x>−2,
例如:不等式组M: 是不等式组N: 的“子集”.
x>1 x>−1
{x+1>5, {2x−1>1,
（1） 若已知不等式组A: B: 则其中不等式组______（填A或B）是不等式组
x−3<6, x+3>0,
{x>3,
M: 的“子集”;
x>1
{x>a, {x>3,
（2） 若关于x的不等式组 不是不等式组 的“子集”,则a的取值范围是________;
x>−1 x>1
{x+5
>2a, {x>3,
（3） 若关于x的不等式组 2 有解且是不等式组 的“子集”,求a的取值范围;
x>1
x−3<a+1
{2x−1≥m,
（4） 若关于x的不等式组M: 是不等式组N:−2≤x≤7的“子集”,且不等式组M的所有
3x<n−1
整数解的和为15,请求出m,n的取值范围.专题 5 不等式与不等式组
题型归类 举一反三
题型一 不等式的概念和性质
【点悟】（1）不等式的性质:不等式两边加（或减）同一个数（或式子）,不等号的方向不变;
不等式两边乘（或除以）同一个正数,不等号的方向不变;不等式两边乘（或除以）同一个负数,不等
号的方向改变.
（2） “0”是一个很特殊的数,解答不等式的问题时,应密切关注“0”存在与否,以防掉进“0”的
陷阱.
例1 D
变式跟进
1．B 2．B
题型二 一元一次不等式的解法
【点悟】 解一元一次不等式与解一元一次方程类似,不同的是在将未知数的系数化为1时,如果都乘
（或除以）的数是负数,不等号要改变方向.在数轴上表示不等式的解集时,要确定边界和方向.边界:
有等号的是实心圆点,无等号的是空心圆圈.方向:大于向右,小于向左.
例2 （1） 解:x≥7,图略.
（2） x>6,图略.
变式跟进
3．（1） 解:x>2,图略.
（2） x≤−6,图略.
题型三 一元一次不等式组的解法
例3 解:解不等式①,得x≥−1.
解不等式②,得x<3.
∴ 不等式组的解集为−1≤x<3.
将解集表示在数轴上如答图.
例3答图
【点悟】（1）确定不等式组的解集有两种方法:①口诀法:同大取大,同小取小,大小小大中间找,
大大小小解不了（即无解）;②数轴法:将各个不等式的解集在数轴上表示出来,借助数轴确定各不等
式解集的公共部分.
（2）求不等式组的特殊解（整数解、负整数解、非负整数解等）,先要求出不等式组的解集,再求
解集中满足条件的解.变式跟进
{
x+5≤0,①
4．解: 3x−1
≥2x+1.②
2
解不等式①,得x≤−5.
解不等式②,得x≤−3.
∴ 不等式组的解集为x≤−5.
∴ 不等式组的最大负整数解为−5.
题型四 确定不等式（组）参数的取值范围
例4 （1） 解:由题意,得T(1,1)=a+2b−1=3,T(2,−1)=2a−2b−1=1,
解得a=2,b=1.
{T(3m,2−m)=4m+3<4,①
（2） 由题意,得
T(m,m+2)=4m+3>k.②
1
由①,得m< .
4
k−3
由②,得m> .
4
k−3 1
∴ 不等式组的解集为 <m< .
4 4
∵ 不等式组恰好有3个整数解,即m=0,−1,−2,
k−3
∴−3≤ <−2,解得−9≤k<−5.
4
（3） 由T(x,y)=T(y,x),得到ax+2by−1=ay+2bx−1,
整理,得(a−2b)(x−y)=0.
∵T(x,y)=T(y,x)对任意实数x,y都成立,
∴a−2b=0,即a=2b.
变式跟进
5．B
题型五 一元一次不等式（组）的应用
例5 （1） 解:设甲种毛绒玩具每个x元,乙种毛绒玩具每个y元.
{3x+2y=310, {x=50,
由题意,得 解得
5x+6 y=730, y=80.
答:甲种毛绒玩具每个50元,乙种毛绒玩具每个80元.
（2） 设甲种毛绒玩具购进m个,则乙种毛绒玩具购进(50−m)个.
由题意,得15m+20(50−m)≥800,
解得m≤40.
答:甲种毛绒玩具最多购进40个.变式跟进
6．（1） 解:设每根跳绳x元,每个毽子y元.
{2x+5 y=90, {x=25,
由题意,得 解得
5x+8 y=189. y=8.
答:每根跳绳25元,每个毽子8元.
（2） 设学校购买跳绳m根,则购买毽子(50−m)个.
由题意,得25m+8(50−m)≤600,
13
解得m≤11 .
17
∵m≥10,且m为正整数,
∴m可取10或11,购买方案是:购买跳绳10根,毽子40个或跳绳11根,毽子39个.
（3） 活动一:25×0.9×m+8×0.85⋅(50−m)=15.7m+340,
活动二:25m+8(50−m−m)=9m+320,
若15.7m+340>9m+400,
60
解得m> ,
67
∵m取10或11,
∴ 选择优惠活动二更合适.
过关训练 现复活用
A组·基础达标 逐点击破
1．A 2．A 3．B 4．A
5．0≤x<1
6．−4<x≤−1
x−2 2+x
7．（1） 解:1− ≥ ,
2 3
去分母,得6−3(x−2)≥2(2+x),
去括号,得6−3x+6≥4+2x,
移项、合并同类项,得−5x≥−8,
8
系数化为1,得x≤ .
5
∴ 不等式的非负整数解为0,1.
{1+x x−1
− ≤1,①
（2） 2 3
3(x−1)<2x+1.②
解不等式①,得x≤1.
解不等式②,得x<4.∴ 不等式组的解集为x≤1,
其解集在数轴上表示如答图所示:
第7题答图
B组·能力提升 强化突破
8．a≥−4
{ y−x=160,
9．（1） 解:由题意,得
3x−2y=120,
{x=440,
解得
y=600.
答:x的值为440,y的值为600.
（2） 设购买m台甲型设备,则购买(15−m)台乙型设备.
由题意,得440m+600(15−m)≤7600,
35
解得m≥ .
4
又∵m为正整数,
∴m的最小值为9.
答:至少应该购买甲型设备9台.
（3） 设购买a台甲型设备,则购买(15−a)台乙型设备.
由题意,得100a+120(15−a)≥1600,
解得a≤10,
35
∵a≥ ,且a为正整数,
4
∴a可以为9,10.
∴ 共有2种购买方案,
方案1:购买9台甲型设备,6台乙型设备,所需资金为440×9+600×6=7560（元）;
方案2:购买10台甲型设备,5台乙型设备,所需资金为440×10+600×5=7400（元）.
∵7400<7560,
∴ 最省钱的购买方案为购买10台甲型设备,5台乙型设备.
10．（1） A
（2） a≤3
{x+5
>2a,
（3） 解:∵ 不等式组 2 有解,
x−3<a+1
∴ 解集为4a−5<x<a+4,且4a−5<a+4,∴a<3.
{x>3,
∵ 不等式组 的解集为x>3,
x>1
{x+5
>2a, {x>3,
不等式组 2 有解且是不等式组 的“子集”,
x>1
x−3<a+1
∴4a−5≥3,解得a≥2.
∴a的取值范围是2≤a<3.
{2x−1≥m, m+1 n−1 m+1 n−1
（4） 关于x的不等式组M: 的解集是 ≤x< ,且 < .
3x<n−1 2 3 2 3
{2x−1≥m,
∵ 关于x的不等式组M: 是不等式组N:−2≤x≤7的“子集”,
3x<n−1
m+1 n−1
∴ >−2, <7,
2 3
解得m>−5,n<22.
∵ 不等式组M的所有整数解的和为15,
∴ 其整数解是4,5,6或1,2,3,4,5两种情况:
当整数解是4,5,6时,
m+1 n−1
∴ >3, <7,
2 3
解得m>5,n<22;
当整数解是1,2,3,4,5时,
m+1 n−1
>0, <6,
2 3
解得m>−1,n<19.
∴m,n的取值范围是m>5,n<22或m>−1,n<19.