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文档内容
专题 5 不等式与不等式组
题型归类 举一反三
题型一 不等式的概念和性质
例1 下列不等式的变形不正确的是（ ）
A．若a>b,则a+3>b+3 B．若a−b
1 1
C．若− x−2y D．若−2x>a,则x>− a
2 2
变式跟进
1．下列各式中,不是不等式的是（ ）
A．2x≠1 B．3x2−2x+1
C．−3<0 D．3x−2≥1
1 1
2．设a>b>0,c为常数,给出下列不等式:①a−b>0;②ac>bc;③− a<− b;④b2>ab.其中正确的不等
3 3
式有 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型二 一元一次不等式的解法
例2 解下列不等式,并把解集在数轴上表示出来.
（1） 2(5x+1)≤x−5(1−2x);
x x−2
（2） 1+ >5− .
3 2
变式跟进
3．解下列不等式,并把它们的解集在数轴上表示出来.
（1） 5x−1>2x+5;
x 2x
（2） −2≥ −1;
2 3
题型三 一元一次不等式组的解法
{3−2(x−1)≤2x+9,①
例3 解不等式组 1−3x 并在如图所示的数轴上表示出它的解集.
5−3x> ,②
2
变式跟进
{
x+5≤0,
4．解不等式组 3x−1 并写出它的最大负整数解.
≥2x+1,
2
题型四 确定不等式（组）参数的取值范围
例4 [2024长沙模拟]对于x,y定义一种新运算T,规定:T(x,y)=ax+2by−1（其中a,b均为非零常数）,
这里等式右边是通常的四则运算,例如:T(2,1)=2a+2b−1.（1） 已知T(1,1)=3,T(2,−1)=1,求a,b的值;
{T(3m,2−m)<4,
（2） 在（1）的条件下,关于m的不等式组 恰好有三个整数解,求实数k的取值范围;
T(m,m+2)>k
（3） 若T(x,y)=T(y,x)对于任意不相等的实数x,y都成立,求a与b满足的关系式.
变式跟进
5．对于任意实数m,n,定义一种新运算:m※n=mn−m−n+3,等式的右边是通常的加减和乘法运算.例
如:2※6=2×6−2−6+3=7.请根据上述定义解决问题:若a<4※x<8,且解集中有2个整数解,则a的
取值范围是（ ）
A．−1b,c=d,则下列不等式一定正确的是（ ）
A．a+c>b+d B．a+b>c+d
C．a+c>b−d D．a+b>c−d
{ x−2<0,
2．不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
−2x−1≤1A． B．
C． D．
3．小明网购了一本《好玩的数学》,同学们想知道书的价格,小明让他们猜.甲说:“至少15元.”乙说
“至多12元.”丙说“至多10元.”小明说:“你们三个人都说错了.”则这本书的价格x（元）所在的范
围为（ ）
A．10a的解集为x<4,则关于m的不等式2m+3a<1的解集为（
）
A．m<2 B．m>1 C．m>−2 D．m<−1
5．[2022十堰]关于x的不等式组中的两个不等式的解集如图所示,则该不等式组的解集为
____________.
{3−2x≥5,
6．[2022宜宾]不等式组 x+2 的解集为______________.
>−1
2
7．
x−2 2+x
（1） 求不等式1− ≥ 的非负整数解;
2 3
{1+x x−1
− ≤1,
（2） 解不等式组 2 3 并把解集在数轴上表示出来.
3(x−1)<2x+1
B组·能力提升 强化突破
{2x−1>4x+7,
8．若关于x的不等式组 无解,则实数a的取值范围是__________.
x>a
9．[2024长沙模拟]为了加强校内外的安全监控,创建“平安校园”,某学校计划增加15台监控摄像
设备,现有甲,乙两种型号的设备可供选择,其中每台价格、有效监控半径如表所示.经调查,购买1台
甲型设备比购买1台乙型设备少160元,购买3台甲型设备比购买2台乙型设备多120元.
型号 甲型 乙型
价格/（元/台） x y
有效监控半径/（m/台） 100 120
（1） 求x,y的值;
（2） 若购买这批设备的资金不超过7 600元,则至少应该购买甲型设备多少台？（3） 在（2）的条件下,若要求有效监控半径覆盖范围不低于1600m,为了节约资金,请你设计一种
最省钱的购买方案.
10．[2023长沙模拟]我们约定:给定两个不等式组P和Q,若不等式组P的任意一个解,都是不等式组Q
的一个解,则称不等式组P为不等式组Q的“子集”.
{x>2, {x>−2,
例如:不等式组M: 是不等式组N: 的“子集”.
x>1 x>−1
{x+1>5, {2x−1>1,
（1） 若已知不等式组A: B: 则其中不等式组______（填A或B）是不等式组
x−3<6, x+3>0,
{x>3,
M: 的“子集”;
x>1
{x>a, {x>3,
（2） 若关于x的不等式组 不是不等式组 的“子集”,则a的取值范围是________;
x>−1 x>1
{x+5
>2a, {x>3,
（3） 若关于x的不等式组 2 有解且是不等式组 的“子集”,求a的取值范围;
x>1
x−36,图略.
变式跟进
3．（1） 解:x>2,图略.
（2） x≤−6,图略.
题型三 一元一次不等式组的解法
例3 解:解不等式①,得x≥−1.
解不等式②,得x<3.
∴ 不等式组的解集为−1≤x<3.
将解集表示在数轴上如答图.
例3答图
【点悟】（1）确定不等式组的解集有两种方法:①口诀法:同大取大,同小取小,大小小大中间找,
大大小小解不了（即无解）;②数轴法:将各个不等式的解集在数轴上表示出来,借助数轴确定各不等
式解集的公共部分.
（2）求不等式组的特殊解（整数解、负整数解、非负整数解等）,先要求出不等式组的解集,再求
解集中满足条件的解.变式跟进
{
x+5≤0,①
4．解: 3x−1
≥2x+1.②
2
解不等式①,得x≤−5.
解不等式②,得x≤−3.
∴ 不等式组的解集为x≤−5.
∴ 不等式组的最大负整数解为−5.
题型四 确定不等式（组）参数的取值范围
例4 （1） 解:由题意,得T(1,1)=a+2b−1=3,T(2,−1)=2a−2b−1=1,
解得a=2,b=1.
{T(3m,2−m)=4m+3<4,①
（2） 由题意,得
T(m,m+2)=4m+3>k.②
1
由①,得m< .
4
k−3
由②,得m> .
4
k−3 1
∴ 不等式组的解集为 9m+400,
60
解得m> ,
67
∵m取10或11,
∴ 选择优惠活动二更合适.
过关训练 现复活用
A组·基础达标 逐点击破
1．A 2．A 3．B 4．A
5．0≤x<1
6．−42a,
（3） 解:∵ 不等式组 2 有解,
x−33,
∵ 不等式组 的解集为x>3,
x>1
{x+5
>2a, {x>3,
不等式组 2 有解且是不等式组 的“子集”,
x>1
x−3−2, <7,
2 3
解得m>−5,n<22.
∵ 不等式组M的所有整数解的和为15,
∴ 其整数解是4,5,6或1,2,3,4,5两种情况:
当整数解是4,5,6时,
m+1 n−1
∴ >3, <7,
2 3
解得m>5,n<22;
当整数解是1,2,3,4,5时,
m+1 n−1
>0, <6,
2 3
解得m>−1,n<19.
∴m,n的取值范围是m>5,n<22或m>−1,n<19.
