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专题 08 三角恒等变换与三角函数应用
（4 种经典基础练+4 种优选提升练）
两角和与差（共7题）
1．（23-24高一上·浙江嘉兴·期末）已知 都是锐角， ，则
（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一上·北京东城·期末）若 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高一上·福建南平·期末）已知角 的顶点与坐标原点 重合，始边与 轴的非负半轴重
合，它的终边过点 ．
(1)求 的值；
(2)求 的值．
学科网（北京）股份有限公司4．（23-24高一上·福建漳州·期末）在平面直角坐标系 中，角 的顶点为坐标原点，始边
为 轴的非负半轴，终边与单位圆交于点 .
(1)求 的值；
(2)求 的值.
5．（23-24高一上·安徽宿州·期末）（1）已知 ，求 的值.
（2）已知角 的终边过点 ， ， ，求 的值．
6．（23-24高一上·浙江丽水·期末）已知 为锐角， ．
(1)求 的值；
学科网（北京）股份有限公司(2)若 ，求 的值．
7．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知函数 .
(1)求 在区间 上的对称轴；
(2)求函数 在区间 上的取值范围.
二倍角公式（共5题）
1．（23-24高一上·广西贺州·期末）设 ， ， ，
则有（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一上·湖南益阳·期末）已知 ，则 （ ）
A．3 B．6 C．8 D．9
3．（多选）（23-24高一上·湖南长沙·期末）下列各式中值为1的是（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B．
C． D．
4．（23-24高一上·安徽安庆·期末）已知 ，且 ．
(1)求 的值；
(2)求 的值．
5．（23-24高一上·福建·期末）在平面直角坐标系中，角 与 的顶点均与直角坐标系的原点重合，
始边均与x轴的非负半轴重合.已知角 的终边与单位圆交于点 ，若将 绕原点O按逆
时针方向旋转 后与角 的终边 重合.
(1)求 的值；
(2)求 的值.
学科网（北京）股份有限公司简单的三角恒等变换（共10题）
一、单选题
1．（23-24高一上·河北唐山·期末）若函数 ，则 可以化简为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
2．（22-23高一上·河北唐山·期末）设函数 ，若函数 为偶
函数，则 的值可以是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
3．（23-24高一上·湖北荆州·期末）若函数 的最小值为1，则实数
．
4．（20-21高一上·安徽安庆·期末）“无字证明”就是将数学命题用简单、有创意而且易于理解的
几何图形来呈现.请观察图，根据半圆中所给出的量，补全三角恒等式 ，第一
个括号为 ，第二个括号为 .
四、解答题
5．（22-23高一上·湖北襄阳·期末）（1）若 ，化简：
学科网（北京）股份有限公司；
（2）若 ，求 的值．
6．（23-24高一上·河南商丘·期末）已知 ，且 ．
(1)求 的值；
(2)求 的值．
7．（21-22高一上·广东湛江·期末）证明下列等式：
(1)
(2) .
学科网（北京）股份有限公司8．（22-23高一上·宁夏中卫·期末）已知 ．求：
(1) 的值；
(2)若 ，求角 ．
9．（22-23高一上·河南郑州·期末）计算
(1)已知 .求 的值.
(2)已知 ，且 ， ，求角 的值；
10．（23-24高一上·天津河北·期末）已知 ．
(1)求 的值；
(2)求 的值．
三角函数的应用（共10题）
一、单选题
1．筒车亦称“水转筒车”，一种以水流作动力，取水灌田的工具，如图是某公园的筒车，假设在
学科网（北京）股份有限公司水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针方向匀速圆周运动．现有一半径为2米的筒
车，在匀速转动过程中，筒车上一盛水筒 距离水面的高度 （单位：米，记水筒 在水面上方
时高度为正值，在水面下方时高度为负值）与转动时间 （单位：秒）满足函数关系式
， ，且 时，盛水筒 位于水面上方 米处，当筒车转动到
第 秒时，盛水筒 距离水面的高度为（ ）米．
A． B． C． D．
二、多选题
2．如图，一个半径为 的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为
．设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位： ）（在水面下则d为负数），若以盛
水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间：（单位：s）之间的关系为
下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
3．一个单摆作简谐振动位移-时间图象如图所示，S表示离开O的位移（单位：cm），t表示振动
的时间（单位：s），则该简谐振动的振幅为 cm，振动的最小正周期为 s．
学科网（北京）股份有限公司4．已知某段电路中电流 （单位：A）随时间 （单位： ）变化的函数解析式是
，若 时的电流为 ，则 时的电流为
.
四、解答题
5．已知函数 .
(1)写出函数的振幅、周期、初相；
(2)求函数的最大值和最小值并写出当函数取得最大值和最小值时x的相应取值．
6．如图，有一块半径为R的扇形草地OMN， ，现要在其中圈出一块矩形场地ABCD
作为儿童乐园使用，其中点A，B在弧MN上，且线段AB平行于线段MN．
(1)设 ，用 分别表示AB和AD；
(2)当 为何值时，矩形场地ABCD的面积S最大？最大值为多少？
学科网（北京）股份有限公司7．深圳别称“鹏城”，“深圳之光”摩天轮是中国之眼．游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，
可以从高处俯瞰四周景色，摩天轮最高点距离地面高度为120米，转盘直径为110米，当游客坐上
“深圳之光”摩天轮的座舱开始计时．开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最
近的位置进舱，转一周大约需要30分钟．开始转动t分钟后距离地面的高度为 米．
(1)经过t分钟后游客距离地面的高度为H米，已知H关于t的函数关系式满足
（其中 ， ， ），求摩天轮转动一周的解析式 ；
(2)若游客在距离地面至少92.5米的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮在运行一周的过程中，
游客能有多长时间有最佳视觉效果？
学科网（北京）股份有限公司8．风力发电的原理是利用风力带动风机叶片旋转，当风吹向叶片时驱动风轮转动，风能转化成动
能，进而来推动发电机发电．如图，风机由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为
，现有一座风机，叶片旋转轴离地面100米，叶片长40米．叶片按照逆时针方向匀速转动，并
且每5秒旋转一圈．风机叶片端点P从离地面最低位置开始，转动t秒后离地面的距离为h米，在
转动一周的过程中，h关于t的函数解析式为 （ ， ， ）．
(1)求函数 的解析式；
(2)当风机叶片端点P从离地面最低位置开始，在转动一周的过程中，求点P离地面的高度不低于
80米的时长．
9．如图，一个大风车的半径为 旋转一周，它的最低点 离地面 ，它的右侧有一点
且距离地面 .风车翼片的一个端点 从 开始计时，按逆时针方向旋转.
学科网（北京）股份有限公司(1)试写出点 距离地面的高度 关于时刻 （min）的函数关系式 ；
(2)在点 旋转一周的时间内，有多长时间点 距离地面超过 ？
10．如图，在扇形 中，半径 ，圆心角 . 是扇形圆弧上的动点，矩形
内接于扇形，记 .
(1)将矩形 的面积 表示成关于 的函数 的形式；
(2)求 的最大值，及此时的角 .
辅助角应用（共14题）
一、多选题
1．（23-24高一上·湖北武汉·期末）下列各式中值为 的是（ ）
A． B．
C． D．
学科网（北京）股份有限公司2．（23-24高一上·浙江杭州·期末）关于函数 ，下列结论正确
的是（ ）
A．函数 的最大值是2
B．函数 在 单调递减
C．函数 的图像可以由函数y＝2sin2x+1的图像向右平移 个单位得到
D．若方程 在区间 有两个实根，则
3．（23-24高一上·河北保定·期末）已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 的图象关于直线 对称
B． 的图象关于点 对称
C．
D．
二、填空题
4．（23-24高一上·广东广州·期末）如图，要在一块半径为6．圆心角为 的扇形铁皮POQ中截
取两块矩形铁皮ABCD和EFGC，使点A在弧PQ上，点B在半径OQ上，边CD与边GC在半径
OP上，且点F为线段OB的中点．设 ，两块矩形铁皮的面积之和为S，则S的最大值为
，此时 ．
学科网（北京）股份有限公司5．（23-24高一上·四川宜宾·期末）已知函数 满足： ．若函数
在区间 上单调，且 ，则当 取得最小值时，
．
6．（23-24高一上·江苏无锡·期末）已知函数 ，若对任意的 ，
，当 时， 恒成立，则实数 的取值范围是 ．
三、解答题
7．（23-24高一上·福建·期末）如图所示，某市政府计划在该扇形地域内建设图书馆，为了充分利
用这块土地，并考虑与周边环境协调，要求该图书馆底面矩形 的四个顶点都落在边界上.经
过测量，扇形的半径为 ， ， .记弧 的中点为G，连接 ，分别与
， 交于点M，N，连接 ，设 .
(1)求矩形 的面积关于 的函数 ；
(2)求矩形 的最大面积.
8．（23-24高一上·陕西宝鸡·期末）已知函数 ，其相邻两个对称
中心之间的距离为
学科网（北京）股份有限公司(1)求实数 的值及函数 的单调递增区间；
(2)求函数 在 上的最大值和最小值；
(3)设 ，若函数 在 上有两个不同零点，求实数m的取值范围.
9．（23-24高一上·安徽阜阳·期末）为了丰富市民业余生活，推进美丽阜阳建设，市政府计划将一
圆心角为 ，半径为 米的扇形 空地 如图 改造为市民休闲中心，休闲中心由活动场地和
绿地两部分组成，其中活动场地是扇形的内接矩形，其余部分作为绿地，城建部门给出以下两种方
案：
方案 让矩形的一个端点位于 上，其余端点位于 ， 上．
方案 让矩形的两个端点位于 上，其余端点位于 ， 上．
请你先选择一种方案，并根据此方案求出活动场地面积的最大值．
学科网（北京）股份有限公司10．（23-24高一上·贵州黔东南·期末）已知函数 .
(1)求 的单调递减区间；
(2)将 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 ，得到函数 的图象，若存在
，使得不等式 有解，求 的取值范围.
11．（23-24高一上·重庆·期末）如图所示， 是一块边长为8米的荒地，小花想在其中开圼出
一块地来种植玫瑰花.已知一半径为6米的扇形区域TAN已被小明提前撒下了蔬菜种子，扇形区域
外能供小花随意种植玫瑰花.最后小花决定在能种植玫瑰的区域选定一块矩形PQCR区域进行种植，
学科网（北京）股份有限公司其中 在 边上， 在 边上， 是弧 上一点.设 ，矩形 的面积为 平方米.
(1)求 关于 的函数解析式；
(2)求 的取值范围
12．（23-24高一上·福建宁德·期末）如图为某市拟建的一块运动场地的平面图，其中有一条运动
赛道由三部分构成：赛道的前一部分为曲线段 ，该曲线段为函数
在 的图象，且图象的最高点为 ）；赛
道的中间部分为长度是 的水平跑道 ；赛道的后一部分是以 为圆心的一段圆弧 .
(1)求 ， 和 的值；
(2)若要在圆弧赛道所对应的扇形区域内建一个矩形草坪 ，如图所示，记 ，求矩
形草坪 面积的最大值及此时 的值.
学科网（北京）股份有限公司13．（23-24高一上·福建宁德·期末）固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链
线.1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程 ，其中 为参数.当 时，就是双曲余
弦函数 ，类似地我们可以定义双曲正弦函数 .它们与正、余弦函数有许
多类似的性质.
(1)类比正弦函数的二倍角公式，请写出双曲正弦函数的一个正确的结论: _____________.
（只写出即可，不要求证明）；
(2) ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围；
(3)若 ，试比较 与 的大小关系，并证明你的结论.
14．（23-24高一上·福建福州·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图，假定在水流
量稳定的情况下，一个半径为 的筒车开启后按逆时针方向做匀速圆周运动，每分钟转1圈、筒
车的轴心 距离水面的高度为 .设筒车上的某个盛水筒 到水面的距离为 （单位： ）（在
水面下则 为负数）.若以盛水筒 刚浮出水面时开始计算时间，则 与时间 （单位：s）之间的关
系为 .
(1)求 ， ， ， 的值；
(2)若盛水筒 在不同时刻 ， 距离水面的高度相等，求 的最小值；
学科网（北京）股份有限公司(3)若筒车上均匀分布了12个盛水筒，在筒车运行一周的过程中，求相邻两个盛水筒距离水面的高
度差的最大值.
给值求值（共12题）
一、多选题
1．（23-24高一上·广东广州·期末）已知函数 ，下列命题正确的是（ ）
A．若 ，则
B．不等式 的解集是
C．函数 ， 的最小值为
D．若 ，且 ，则
2．（23-24高一上·山西朔州·期末）已知 ，其中 为锐角，则
（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
3．（23-24高一上·江苏南通·期末）已知 ， ，则 的一个取
值为 .
4．（23-24高一上·福建厦门·期末）水星是离太阳最近的行星，在地球上较难观测到.当地球和水星
学科网（北京）股份有限公司连线与地球和太阳连线的夹角达到最大时，称水星东（西）大距，这是观测水星的最佳时机（如图
1）.将行星的公转视为匀速圆周运动，则研究水星大距类似如下问题：在平面直角坐标系中，点
A， 分别在以坐标原点 为圆心，半径分别为1，3的圆上沿逆时针方向做匀速圆周运动，角速度
分别为 ， .当 达到最大时，称A位于 的“大距点”.如图2，初始
时刻A位于 ， 位于以 为始边的角 的终边上.
（1）若 ，当A第一次位于 的“大距点”时，A的坐标为 ；
（2）在 内，A位于 的“大距点”的次数最多有 次
三、解答题
5．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知函数 的一段图象
过点 ，如图所示．
(1)求函数 的表达式；
(2)将函数 的图象向右平移 个单位，得函数 的图象，求 在区间 上
的值域；
学科网（北京）股份有限公司(3)若 ，求 的值.
6．（23-24高一上·内蒙古·期末）已知函数 .
(1)求 的单调递增区间；
(2)若 ，求 的值.
7．（23-24高一上·广东广州·期末）已知角 是第二象限角，它的终边与单位圆交于点 ．
(1)若 ，求 的值：
(2)若 ，求 的值．
学科网（北京）股份有限公司8．（23-24高一上·河南新乡·期末）已知函数 .
(1)将 化为 的形式；
(2)若 ，求 的值.
9．（23-24高一上·河北邯郸·期末）已知函数 （ ）的
最小正周期为 ．
(1)求 ；
(2)已知 ， ，求 ．
10．（23-24高一上·河南三门峡·期末）已知函数 ．
(1)求 在 上的单调递减区间；
(2)若 ， ，求 的值．
学科网（北京）股份有限公司11．（23-24高一上·浙江金华·期末）已知函数 ．
(1)求函数 的最小正周期与对称轴方程；
(2)当 且 时，求 的值．
12．（23-24高一上·安徽六安·期末）已知函数 .
(1)求函数 的单调递增区间；
(2)若 ，且 ，求 的值.
三角变换的实际应用（共6题）
学科网（北京）股份有限公司1．（21-22高一上·山东菏泽·期末）如图，扇形 半径为1，圆心角为 ，过扇形弧上点 分别
向 ， 作垂线，垂足为 ， ，得到 ，当点 （与 ， 不重合）在扇形弧上从 到
运动时．
(1) 的面积是如何变化的？
(2)求 面积的最大值．
2．（21-22高一上·山西晋中·期末）如图，已知面积为 的扇形 ，半径为 ， 是弧 上任
意一点，作矩形 内接于该扇形．
(1)求扇形圆心角 的大小；
(2)点 在什么位置时，矩形 的面积最大？并说明理由．
3．（22-23高一上·广东东莞·期末）如图，已知一块足球场地的球门 宽 米，底线 上有一
学科网（北京）股份有限公司点 ，且 长 米．现有球员带球沿垂直于底线的线路 向底线 直线运球，假设球员射门时
足球运动线路均为直线．
(1)当球员运动到距离点 为 米的点 时，求该球员射门角度 的正切值；
(2)若该球员将球直接带到点 ，然后选择沿其左后 方向（即 ）的线路 将球回传
给点 处的队友．已知 长 米，若该队友沿着线路 向点 直线运球，并计划在线路 上
选择某个位置 进行射门，求 的长度多大时，射门角度 最大．
4．（22-23高一上·河北唐山·期末）如图，长方形ABCD， ， ， 的直角
顶点P为AD中点，点M、N分别在边AB，CD上，令 ．
(1)当 时，求梯形BCNM的面积S；
(2)求 的周长l的最小值，并求此时角 的值．
学科网（北京）股份有限公司5．（23-24高一上·浙江宁波·期末）函数 ，最大值为 ，
最小值为 .
(1)设 ，求 ；
(2)设 ，若 对 恒成立，求 的取值范围.
6．（23-24高一上·广东惠州·期末）某养殖公司有一处矩形养殖池ABCD，如图所示，AB=50米，
BC= 米.为了便于冬天给养殖池内的水加温，该公司计划在养殖池内铺设三条加温带OE，EF
和OF，考虑到整体规划，要求O是边AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且∠EOF=
.
(1)设∠BOE= ，试将△OEF的周长 表示为 的函数，并求出此函数的定义域；
(2)在（1）的条件下，为增加夜间水下照明亮度，决定在两条加温带OE和OF上安装智能照明装
置，经核算，在两条加温带增加智能照明装置的费用均为每米400元，问：如何设计才能使安装智
能照明装置的费用最低？说明理由，并求出最低费用.
学科网（北京）股份有限公司三角函数的应用（共16题）
一、多选题
1．（23-24高一上·陕西西安·期末）如图，天津永乐摩天轮有着“天津之眼”的美誉，也是世界上
唯一一座建在桥上的摩天轮.以摩天轮某座舱 距离地面高度的最小值处为初始位置，摩天轮（匀
速转动）的转动时间 （单位：分钟）与座舱 距离地面的高度 （单位：米）的函数关系式为
， ， ，且开始转动5分钟后，座舱 距离地面的高度为37.5米，
转动10分钟后，座舱 距离地面的高度为92.5米，则（ ）
A．
B．该摩天轮转动一圈所用的时间为30分钟
C．
D．该摩天轮座舱 距离地面的最大高度为120米
2．（23-24高一上·吉林·期末）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮．一般地，
早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海
洋．已知某港口水深 （单位： ）与时间 （单位： ）从 时的关系可近似地用函数
学科网（北京）股份有限公司来表示，函数 的图象如图所示，则（ ）
A．
B．函数 的图象关于点 对称
C．当 时，水深度达到
D．已知函数 的定义域为 ， 有 个零点 ，则
二、填空题
3．（23-24高一上·广东广州·期末）立德学校为了表彰在体育运动会上表现优秀的班级，特制作了
一批奖杯，奖杯的剖面图形如图所示，其中扇形 的半径为10，
， ，则 ．（用 表示），
据调研发现，当 最长时，该奖杯比较美观，此时 的值为 ．
4．（23-24高一上·湖南衡阳·期末）如图，某学校有一块扇形空地，半径为10m，圆心角为 ，现
学校欲在其中修建一个矩形劳动基地，矩形的一边AB在扇形的一条半径上，另一边的两个端点
C，D分别在弧和另一条半径上，则劳动基地的最大面积是 ．
学科网（北京）股份有限公司5．（23-24高一上·河北邯郸·期末）某市规划局计划对一个扇形公园进行改造，经过对公园AOB区
域（如图所示）测量得知，其半径为2km，圆心角为 ，规划局工作人员在 上取一点C，作
CD∥OA，交线段OB于点D，作CE⊥OA，垂足为E，形成三角形CDE健步跑道，则跑道CD长度
的最大值为 km．
三、解答题
6．（23-24高一下·内蒙古赤峰·期末）如图，已知 是半径为2，圆心角为 的扇形， 是扇形
弧上的动点， 是扇形的内接矩形.记 .
(1)用 分别表示 的长度：
(2)当 为何值时，矩形 的面积最大？并求出这个最大面积.
学科网（北京）股份有限公司7．（23-24高一上·浙江杭州·期末）如图所示，有一条“ ”形河道，其中上方河道宽 ，右侧
河道宽 ，河道均足够长.现过点 修建一条栈道 ，开辟出直角三角形区域（图中 ）
养殖观赏鱼，且 .点 在线段 上，且 .线段 将养殖区域分为两
部分，其中 上方养殖金鱼， 下方养殖锦鲤.
(1)养殖区域面积最小时，求 值，并求出最小面积；
(2)若游客可以在栈道 上投喂金鱼，在河岸 与栈道 上投喂锦鲤，且希望投喂锦鲤的道路
长度不小于投喂金鱼的道路长度，求 的取值范围.
8．（23-24高一上·浙江温州·期末）下表是 地一天从 时的 部分时刻与温度变化的关系的预
报，现选用一个函数 来近似描述温度与时刻的关系．
时刻/h 2 6 10 14 18
温度/℃ 20 10 20 30 20
(1)写出函数 的解析式：
(2)若另一个 地区这一天的气温变化曲线也近似满足函数 且气温变化也是从 到 ，
只不过最高气温都比 地区早2个小时，求同一时刻， 地与 地的温差的最大值．
学科网（北京）股份有限公司9．（23-24高一上·重庆渝中·期末）已知函数
（ ）有最大值为2，且相邻的两条对称轴的距离为
(1)求函数 的解析式，并求其对称轴方程；
(2)将 向右平移 个单位，再将横坐标伸长为原来的 倍，再将纵坐标扩大为原来的25倍，
再将其向上平移60个单位，得到 ，则可以用函数 模型来模拟某摩
天轮的座舱距离地面高度H随时间t（单位：分钟）变化的情况．已知该摩天轮有24个座舱，游客
在座舱转到离地面最近的位置进仓，若甲、乙已经坐在a，b两个座舱里，且a，b中间隔了3个座
舱，如图所示，在运行一周的过程中，求两人距离地面高度差h关于时间t的函数解析式，并求最
大值．
10．（21-22高一上·云南昆明·期末）如图，已知直线 ，A是 之间的一定点，并且点A到
，的距离分别为 和2.B，C分别是直线 上的动点，且 ，设 ，
学科网（北京）股份有限公司.
(1)写出关于x的函数解析式 ；
(2)求函数 的最小值及相对应的x的值.
11．（23-24高一上·甘肃白银·期末）主动降噪耳机工作的原理：先通过微型麦克风采集周围的噪
声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同､相位相反的声波来抵消噪声（如图所示）.已知某噪声的声
波曲线 ，其中振幅为 ，且经过点 .
(1)求该噪声声波曲线 的解析式以及降噪芯片生成的降噪声波曲线 的解析式；
(2)求函数 的单调递减区间与图象的对称中心.
学科网（北京）股份有限公司12．（23-24高一上·浙江湖州·期末）2023年12月1日，“民族魂·中国梦——阳光下成长”2023
年浙江省中小学生艺术节闭幕式暨颁奖晚会在湖州大剧院举行．为迎接艺术节闭幕式的到来，承办
方计划将场地内一处扇形荒地进行改造．已知该扇形荒地 的半径为20米，圆心角 ，
承办方初步计划将其中的 （如下左图，点 位于弧 上， ， 分别位于半径 ，
）区域改造为花卉区，扇形荒地 内其余区域改造为草坪区．
(1)承办方进一步计划将 ， 设计为观光步道，其宽度忽略不计．若观光步道造价为
元/米，请你设计观光步道的造价预算，确保观光步道最长时仍有资金保障；
(2)因某种原因，承办方修改了最初的改造计划，将花卉区设计为矩形 （如下右图，其中 ，
位于半径 上， 位于半径 上）．为美观起见，承办方最后决定将四边形 设计为正方
形．求此时花卉区 的面积．
学科网（北京）股份有限公司13．（23-24高一上·吉林延边·期末）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮
的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周的景色（如图1）.某摩天轮的最高点距离地面的高度
为90米，最低点距离地面10米，摩天轮上均匀设置了36个座舱（如图2）.开启后摩天轮按逆时
针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开
座舱.摩天轮转一周需要30分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时.
(1)经过 分钟后游客甲距离地面的高度为 米，已知 关于 的函数关系式满足
（其中 ），求摩天轮转动一周的解析式 ；
(2)若游客甲乘坐摩天轮转动一周，求经过多长时间，游客距离地面的高度恰好为30米？
14．（23-24高一上·山东济南·期末）如图所示，在等腰直角 中， 为
线段 的中点，点 分别在线段 上运动，且 ，设 .
(1)设 ，求 的取值范围及 ；
学科网（北京）股份有限公司(2)求 面积的最小值.
15．（23-24高一上·山东青岛·期末）如图，正方形 的边长为 ，点W，E，F，M分别
在边 ， ， ， 上， ， ， 与 交于点 ， ，记
．
(1)记四边形 的面积为 的函数 ，周长为 的函数 ，
（i）证明： ；
（ii）求 的最大值；
(2)求四边形 面积的最小值．
16．（23-24高一上·福建莆田·期末）在地球公转过程中，太阳直射点的纬度随时间周而复始不断
变化．如图，设地球表面某地正午太阳高度角为 ， 为此时太阳直射点的纬度， 为当地的纬度
值，约定北纬为正值，南纬为负值，那么这三个量满足 ．某科技小组以某年春分
（太阳直射赤道且随后太阳直射点逐渐北移的时间）为初始时间，则第x天的太阳直射点的纬度y
近似满足 ，初始时间为 ，定义从某年春分到次年春分为一个回归年，一个回归
学科网（北京）股份有限公司年以365天计算．
(1)求 的值；
(2)已知莆田某小区的纬度为 ，该小区内有A，B两幢楼房，A在B的正南方向，国家工程建设
标准用楼间距保障采光权，其中楼间距 前楼高 两楼距，已知A，B间的楼间距 1.34，求一个回
归年中B楼底层能被正午太阳光照射到的天数．参考数据
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