文档内容
专题 9.5 平面直角坐标系全章专项复习【2 大考点 8 种题型】
【人教版2024】
【考点1 平面直角坐标系】......................................................................................................................................1
【题型1 定位法的应用】..........................................................................................................................................3
【题型2 坐标平面内点的坐标特征】......................................................................................................................7
【题型3 根据已知点的坐标在平面直角坐标系中作图】...................................................................................10
【考点2 图形在坐标系中的平移】........................................................................................................................14
【题型4 坐标系中的平移】....................................................................................................................................15
【题型5 关于坐标轴对称的点的坐标特点】.......................................................................................................18
【题型6 在平面直角坐标系中作图】....................................................................................................................20
【题型7 在平面直角坐标系中求图形的面积】...................................................................................................25
【题型8 坐标中的规律探究】................................................................................................................................32
【考点1 平面直角坐标系】
1.有序数对
有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对.
2.坐标
数轴上的点与实数（包括有理数与无理数）一一对应，数轴上的每一个点都对应一个实数，这个实数叫做
这个点在数轴上的坐标.
3.平面直角坐标系
①在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系.
②水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴为 y轴或纵轴，取向上方向为正方
向；
③两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点(坐标轴上的点不属于任何象限，原点既在x轴上，又在y轴
上).
4.点的坐标
有了平面直角坐标系，平面内的点就可以用一个有序数对来表示，a点对应x轴的数值为横坐标，b点对应
y轴的数值为纵坐标，有序数对就叫做点A的坐标，记作（a,b）. 书写时先横后纵再括号，中间隔开用逗
号.
5.坐标平面图
1
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司坐标平面图是由两条坐标轴和四个象限构成的，也可以说坐标平面内的点可以分为六个区域：x轴上，y轴
上，第一象限，第二象限，第三象限，第四象限.在这六个区域中，除x轴与y轴的一个公共点（原点）之
外，其他区域之间都没有公共点.
6.坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的
对于坐标平面内任意一点M，都有唯一的一对有序实数（x，y）（即点M的坐标）的坐标和它对应；反过
来，对于任意一对有序实数（x，y）在坐标平面内都有唯一的一点M，即坐标为(x，y)的点和它对应，也
就是说，坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的.
7.象限
平面直角坐标系把坐标平面分成四个象限，从右上部分开始，按逆时针方向分别叫第一象限
(或第Ⅰ象限)、第二象限（或第Ⅱ象限）、第三象限（第Ⅲ象限）和第四象限（或第Ⅳ象限）.
注：ⅰ、坐标轴（x轴、y轴）上的点不属于任何一个象限.
ⅱ、平面直角坐标系的原点发生改变，则点的坐标相应发生改变；坐标轴的单位长度发生
改变，点的坐标也相应发生改变.
8.坐标平面内点的位置特点
①坐标原点的坐标为（0，0）；
②第一象限内的点，x、y同号，均为正；
③第二象限内的点，x、y异号，x为负，y为正；
④第三象限内的点，x、y同号，均为负；
⑤第四象限内的点，x、y异号，x为正，y为负；
⑥横轴（x轴）上的点，纵坐标为0，即（x，0），所以，横轴也可写作：y=0 （表示一条直线）
⑦纵轴（y轴）上的点，横坐标为0，即（0，y）,所以，纵横也可写作：x=0 （表示一条直线）
9.点到坐标轴的距离
坐标平面内的点的横坐标的绝对值表示这点到纵轴（y轴）的距离，而纵坐标的绝对值表示这点到横轴（x
轴）的距离.
注: ①已知点的坐标求距离，只有一个结果，但已知距离求坐标，则因为点的坐标有正有负，
可能有多个解的情况，应注意不要丢解.
②坐标平面内任意两点A（x₁，y₁）、B(x₂，y₂)之间的距离公式为：d =
10.坐标平面内对称点坐标的特点
①一个点A（a,b）关于x轴对称的点的坐标为A＇（a,-b）,特点为：x不变，y相反；
②一个点A（a,b）关于y轴对称的点的坐标为A＇（-a,b）,特点为：y不变，x相反；
③一个点A（a,b）关于原点对称的点的坐标为A＇（-a,-b），特点为：x、y均相反.
11.平行于坐标轴的直线的表示
①平行于横轴（x轴）的直线上的任意一点，其横坐标不同，纵坐标均相等，所以，可表示为：y=a（a为
纵坐标）的形式，a的绝对值表示这条直线到x轴的距离，直线上两点之间的距离等于这两点横坐标之差
2
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司的绝对值；
②平行于纵轴（y轴）的直线上的任意一点，其纵坐标不同，横坐标均相等，所以，可表示为：x=b（b为
横坐标）的形式，b的绝对值表示这条直线到y轴的距离，直线上两点之间的距离等于这两点纵坐标之差
的绝对值.
12.象限角平分线的特点
①第一、三象限的角平分线可表示为y=x的形式，即角平分线上的点的纵坐标与横坐标相等（同号）
②第二、四象限的角平分线可表示为y=-x的形式，即角平分线的点的纵坐标与横坐标互为相反数(异号)
【题型1 定位法的应用】
【例1】（24-25七年级·全国·单元测试）阅读与理解：
如图，一只甲虫在5×5的方格（每个方格边长均为1）上沿着网格线爬行．若我们规定：在如图网格中，
向上（或向右）爬行记为“+”，向下（或向左）爬行记为“－”，并且第一个数表示左右方向，第二个数
表示上下方向．
例如：从A到B记为：A→B(+1,+4)，
从D到C记为：D→C(−1,+2)．
思考与应用：
(1)图中A→C（ ， ）；
B→C（ ， ）；
D→A（ ， ）．
(2)若甲虫从A到P的行走路线依次为：(+3,+2)→(+1,+3)→(+1,−2)，请在图中标出P的位置．
(3)若甲虫的行走路线为A→(+1,+4)→(+2,0)→(+1,−2)→(−4,−2)，请计算该甲虫走过的总路程．
【答案】(1)+3，+4；+2，0；−4，−2
(2)见解析
(3)16
【分析】此题考查正负数的意义和有理数的加减混合运算，注意在方格内对于运动方向规定的正负．
（1）根据向上（或向右）爬行记为“+”，向下（或向左）爬行记为“－”解答即可．
3
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司（2）由(+3,+2)→(+1,+3)→(+1,−2)可知从A处右移3格，上移2格，再右移1格，上移3格，右移1
格，下移2格即是甲虫P处的位置；
（3）由A→(+1,+4)→(+2,0)→(+1,−2)→(−4,−2)知：先向右移动1格，向上移动4格，向右移动2
格，再向右移动1格，向下移动2格，最后向左移动4格，向下移动2格，把移动的距离相加即可．
【详解】（1）解：由图可知，A→C(+3,+4)，B→C(+2,0)，D→A(−4,−2)．
故答案为：+3，+4；+2，0；−4，−2；
（2）解：若甲虫从A到P的行走路线依次为：A→E→F→P，图中P的即为所求．
（3）解：∵甲虫的行走路线为A→(+1,+4)→(+2,0)→(+1,−2)→(−4,−2)，
∴甲虫走过的总路程=1+4+2+0+1+2+4+2=16．
【变式1-1】（24-25七年级·新疆乌鲁木齐·期末）两个小伙伴拿着如下密码表玩听声音猜动物的游戏，若
听到“咚咚﹣咚咚，咚﹣咚，咚咚咚﹣咚”表示的动物是“狗”，则听到“咚咚﹣咚，咚咚咚﹣咚咚，咚
﹣咚咚咚”时，表示的动物是 ．（写汉字）
4 Q R S U V X
3 T B E I N P
2 W D A H L M Y
1 O C G F J K Z
1 2 3 4 5 6 7
【答案】猫
【分析】本题考查了有序数对的应用．根据题意确定所对应的字母位置是解题的关键．
由咚咚﹣咚咚，咚﹣咚，咚咚咚﹣咚”表示的动物是“狗”，即表示(2，2)，(1，1)，(3，1)对应的字
母为“DOG”，可知“咚咚﹣咚，咚咚咚﹣咚咚，咚﹣咚咚咚”表示(2，1)，(1，3)，(3，2)对应的
字母为“CAT”，然后作答即可．
【详解】解：∵咚咚﹣咚咚，咚﹣咚，咚咚咚﹣咚”表示的动物是“狗”，即表示
(2，2)，(1，1)，(3，1)对应的字母为“DOG”，
4
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司∴“咚咚﹣咚，咚咚咚﹣咚咚，咚﹣咚咚咚”表示(2，1)，(1，3)，(3，2)对应的字母为“CAT”．
故答案为：猫．
【变式1-2】（24-25七年级·广东广州·期中）如图，若点A(2,1)表示放置2个胡萝卜，1棵青菜；点
B(4,2)表示放置4个胡萝卜，2棵青菜．
(1)请写出其他各点C，D，E，F所表示的意义；
(2)若一只小兔子从A到达B（顺着方格线走）有以下几种路径可选择：
①A→C→D→B；②A→E→D→B；③A→E→F→B．
问：走哪条路径吃到的胡萝卜最多？走哪条路径吃到的青菜最多？
【答案】(1)点C(2,2)表示放置2个胡萝卜，2棵青菜；点D(3,2)表示放置3个胡萝卜，2棵青菜；点
E(3,1)表示放置3个胡萝卜，1棵青菜；点F(4,1)表示放置4个胡萝卜，1棵青菜
(2)走③吃到的胡萝卜最多，走①吃的青菜最多
【分析】（1）由题可知，数对中第一个数表示胡萝卜的个数，第二个数表示青菜的棵数，由此可解；
（22）根据第（1）问中求出的结果计算即可
【详解】（1）解：点C(2,2)表示放置2个胡萝卜，2棵青菜；点D(3,2)表示放置3个胡萝卜，2棵青
菜；点E(3,1)表示放置3个胡萝卜，1棵青菜；点F(4,1)表示放置4个胡萝卜，1棵青菜；
（2）解：走①A→C→D→B可以吃到2+2+3+4=11个胡萝卜，1+2+2+2=7棵青菜；
走②A→E→D→B可以吃到2+3+3+4=12个胡萝卜，1+1+2+2=6棵青菜；
走③A→E→F→B吃到2+3+4+4=13个胡萝卜，1+1+1+2=5棵青菜；
因此走③吃到的胡萝卜最多，走①吃的青菜最多．
【点睛】本题考查有序数对，明白第一个数表示胡萝卜的个数，第二个数表示青菜的棵数是关键．
【变式1-3】（24-25七年级·贵州安顺·期中）如图，雷达探测器测得六个目标A，B，C，D，E，F出现，
按照规定的目标表示方法，目标C，F的位置表示为C(6,120°)，F(5,210°)．
5
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司(1)按照此方法表示目标A，B，D，E的位置．A：_______；B：_______；D：_______；E：_______；
(2)若目标C的实际位置是北偏西30°距观测站1800m，目标F的实际位置是南偏西60°距观测站1500m，
写出目标A，B，D，E的实际位置；
(3)若另有目标G在东南方向距观测站750m处，目标H在南偏东20°距观测站900m处，写出G，H的位置
表示．
【答案】(1)(5,30°)，(2,90°)，(4,240°)，(3,300°)
(2)目标A的实际位置为北偏东60°距观测站1500m，目标B的实际位置为正北方向距观测站600m，目标
D的实际位置为南偏西30°距观测站1200m，目标E的实际位置为南偏东30°距观测站900m
(3)G(2.5,315°)，H(3,290°)
【分析】本题考查了用有序数对表示位置、用方向角和距离确定物体的位置，理解题意、熟练掌握用有序
数对表示位置、用方向角和距离确定物体的位置是解题的关键．
（1）根据“目标C，F的位置表示为C(6,120°)，F(5,210°)”， 表示目标A，B，D，E的位置即可；
（2）根据“目标C的实际位置是北偏西30°距观测站1800m，目标F的实际位置是南偏西60°距观测站
1500m”，求出每一圈表示300m，观察图形，根据用方向角和距离确定物体的位置，写出目标A，B，
D，E的实际位置即可；
（3）根据“目标G在东南方向距观测站750m处，目标H在南偏东20°距观测站900m处”，观察图形并
计算，写出G，H的位置表示即可．
【详解】（1）解：∵目标C，F的位置表示为C(6,120°)，F(5,210°)，
∴按照此方法表示：A(5,30°)，B(2,90°)，D(4,240°)，E(3,300°)，
故答案为：(5,30°)，(2,90°)，(4,240°)，(3,300°)；
（2）解：∵C(6,120°)，F(5,210°)，目标C的实际位置是北偏西30°距观测站1800m，目标F的实际位
置是南偏西60°距观测站1500m，
1800 1500
∴ = =300m，
6 5
又∵A(5,30°)，B(2,90°)，D(4,240°)，E(3,300°)，
6
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司∴300×5=1500m，300×2=600m，300×4=1200m，300×3=900m，
∴目标A的实际位置为北偏东60°距观测站1500m，目标B的实际位置为正北方向距观测站600m，目标D
的实际位置为南偏西30°距观测站1200m，目标E的实际位置为南偏东30°距观测站900m；
（3）解：∵目标G在东南方向距观测站750m处，目标H在南偏东20°距观测站900m处，
300°+330° 750m 900m
∴ =315°， =2.5，270°+20°=290°， =3，
2 300m 300m
∴G(2.5,315°)，H(3,290°)．
【题型2 坐标平面内点的坐标特征】
【例2】（24-25七年级·新疆乌鲁木齐·期中）已知点P(2a−2,a+5)，解答下列各题．
(1)点P在y轴上，求出点P的坐标；
(2)点Q的坐标为(4,5)，直线PQ∥y轴；求出点P的坐标；
(3)若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求a的值．
【答案】(1)(0,6)；
(2)(4,8)；
(3)−1．
【分析】（1）根据题意得：点P在y轴上，得到2a−2=0，解出a的值，由此得到答案．
（2）根据直线PQ∥y轴，得到2a−2=4，解出a的值，由此得到答案．
（3）根据点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，得到2a−2<0，a+5>0，故2−2a=a+5，解
出a的值，由此得到答案．
本题考查了坐标与图形性质及立方根，熟知坐标轴上的点及平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征，是解
答本题的关键．
【详解】（1）解：根据题意得：
∵点P在y轴上，
∴2a−2=0，
解得：a=1，
则a+5=1+5=6，
∴点P的坐标为：(0,6)；
（2）解：∵直线PQ∥y轴，
∴直线PQ上所有点的横坐标都相等，
∴2a−2=4，
7
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司解得：a=3，
则a+5=8，
即点P的坐标为(4,8)；
（3）解：∵点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，
∴2a−2<0，a+5>0，
|2a−2|=|a+5|，
即2−2a=a+5，
解得：a=−1．
【变式2-1】（24-25七年级·河南许昌·期中）在平面直角坐标系中，已知点M(m，2m+3)．
1
(1)当m=− 时，点m在第______象限；
2
(2)若点M在x轴上，求m的值；
(3)若点M在第一、三象限的角平分线上，求m的值．
【答案】(1)二
3
(2)m=−
2
(3)m=−3
【分析】此题考查了点与坐标的对应关系，坐标轴上的点的特征，第一、三象限的角平分线上的点的特
征．
1
（1）将m=− 代入计算得出点坐标即可；
2
（2）根据点在x轴上纵坐标为0求解；
（3）根据第一、三象限的角平分线上的横坐标，纵坐标相等求解．
1 1
【详解】（1）当m=− 时，M(m，2m+3)为M(− ,2)，此时M在第二象限
2 2
（2）∵点M在x轴上，
∴2m+3=0
3
解得：m=− ；
2
（3）∵点M在第一、三象限的角平分线上，
∴m=2m+3，
解得：m=−3．
8
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司【变式2-2】（24-25七年级·陕西渭南·期末）已知，点P(2m−6,m+2)为平面直角坐标系内一点．
(1)若点P在y轴上，则m的值为______；
(2)若点P的纵坐标比横坐标大6，则点P在第几象限？
【答案】(1)3
(2)第二象限
【分析】本题主要考查了y轴上坐标的特点，根据点的坐标判断点所在的象限，解题的关键在于能够熟练
掌握相关知识进行求解．
（1）根据在y轴上的坐标，横坐标为0，计算出m，即可得到P的坐标；
（2）根据P的纵坐标比横坐标大6，列出等式，求出m，然后根据四个象限点的符号特点进行判断即可．
【详解】（1）解：∵点P(2m−6,m+2)在y轴上，
∴2m−6=0，
解得：m=3；
故答案为：3
（2）解：∵点P(2m−6,m+2)的纵坐标比横坐标大6，
∴(m+2)−(2m−6)=6，
解得：m=2，
∴点P的坐标为(−2,4)，
∴点P在第二象限．
【变式2-3】（24-25七年级·四川宜宾·期末）点P(a+3,2a−2)在第二，四象限角平分线上，则a=
．
1
【答案】−
3
【分析】此题考查象限角平分线上点坐标特点，一、三象限角平分线上点的纵横坐标相等；二，四象限角
平分线上点的纵横坐标互为相反数．第二、四象限角平分线上点的坐标互为相反数，据此列出关于a的方
程求解．
【详解】解：∵点P(a+3,2a−2)在第二，四象限角平分线上，
∴a+3+2a−2=0，
∴3a+1=0
1
∴a=− ．
3
9
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司1
故答案为：− ．
3
【题型3 根据已知点的坐标在平面直角坐标系中作图】
【例3】（24-25七年级·贵州黔东南·期中）如图是某学校的平面示意图，已知旗杆的位置是(−2,2)，实验
室的位置是(1,3)．
(1)根据所给条件在图中建立适当的平面直角坐标系；
(2)用坐标表示位置：食堂是______，图书馆是______；
(3)已知办公楼的位置是(0,2)，教学楼的位置是(2,1)，在图中标出办公楼和教学楼的位置；
(4)如果1个单位长度表示30m，那么宿舍楼到教学楼的实际距离为______m．
【答案】(1)作图见详解
(2)(−5,4)，(2,4)
(3)作图见详解
(4)240
【分析】本题主要考查坐标表示地理位置，平面直角坐标系的特点，
（1）根据旗杆的位置是(−2,2)，实验室的位置是(1,3)即可确定平面直角坐标系；
（2）根据平面直角坐标系即可求解；
（3）根据坐标表示地理位置的方法即可求解；
（4）根据平面直角坐标系的特点，确定宿舍楼与教学楼之间有几个单位长度，由此即可求解．
【详解】（1）解：已知旗杆的位置是(−2,2)，实验室的位置是(1,3)，
∴建立平面直角坐标系如图所示，
10
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司即大门为坐标原点；
（2）解：根据（1）中的平面直角坐标系可得，食堂(−5,4)，图书馆(2,4)，
故答案为：(−5,4)，(2,4)；
（3）解：办公楼的位置是(0,2)，教学楼的位置是(2,1)，如图所示，
（4）解：1个单位长度表示30m，那么宿舍楼到教学楼的实际距离为30×8=240(m)，
故答案为：240．
【变式3-1】（24-25七年级·全国·课后作业）如图，建立平面直角坐标系，使点B、C的坐标分别为(0,0)
和(4,0)，写出点A、D、E、F、G的坐标，并指出它们所在的象限．
【答案】见解析
【分析】本题考查了直角坐标系，解题的关键是掌握直角坐标系中点的坐标特征，根据点B、C的坐标分
别为(0,0)和(4,0)，建立直角坐标系即可求解．
【详解】解：建立直角坐标系如图：
A(−2,3)在第二象限，D(6,1)在第一象限，E(5,3)在第一象限，F(3,2)在第一象限，G(1,5)在第一象限．
11
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司【变式3-2】（24-25七年级·河南商丘·期末）在平面直角坐标系中，点A(3a−1,1)的横坐标与点
B(2a−4,1)的横坐标互为相反数．
(1)求点A，B的坐标；
(2)点C(−a−1,m)在第三象限，且到x轴的距离为1，请在正方形网格图中建立适当的平面直角坐标系，
画出三角形ABC，并求出三角形ABC的面积．
【答案】(1)(2,1)；(−2,1)
(2)图见解析；4
【分析】本题主要考查了坐标与图形，相反数的定义，三角形面积的计算，解题的关键是数形结合，根据
相反数的定义，建立方程，求出a的值．
（1）先根据点A(3a−1,1)的横坐标与点B(2a−4,1)的横坐标互为相反数，得出3a−1+2a−4=0，求出
a=1，然后得出答案即可；
（2）先求出点C的坐标为(−2,−1)，然后根据A、B的坐标建立平面直角坐标系，画出△ABC，利用三角
形的面积公式求出△ABC的面积即可．
【详解】（1）解：∵点A(3a−1,1)的横坐标与点B(2a−4,1)的横坐标互为相反数，
∴3a−1+2a−4=0，
解得a=1，
∴3a−1=2，2a−4=−2，
∴点A，B的坐标分别为(2,1)，(−2,1).
（2）解：∵点C(−a−1,m)在第三象限，且到x轴的距离为1，
∴m=−1，
由（1）得，a=1，
∴−a−1=−2，
∴点C的坐标为(−2,−1)，
12
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司建立平面直角坐标系并画出的三角形ABC，如图所示.（画法不唯一）
1 1
∴三角形ABC的面积为： BC⋅AB= ×2×4=4
2 2
【变式3-3】（24-25七年级·广东阳江·期末）广东省广州市的长隆野生动物世界是国内最大的野生动物保
护基地之一，拥有超过500种、逾2万只陆生动物，是游客们了解广州必到的胜地．如图是长隆野生动物
世界部分景点的分布示意图，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，并且
“五彩广场”和“考拉园”的坐标分别是(−3,1)和(−1,−1)．
(1)根据题意，画出正确的平面直角坐标系．
(2)“百虎山”的坐标为______；“熊猫乐园”的坐标为______．
(3)小明现在在“熊猫乐园”，想要前往“百虎山”（只能走网格，每个网格为一个单位长度），可以先向
上走______个单位长度，再向______走______个单位长度．
【答案】(1)详见解析
(2)(0,3)，(1,−2)
(3)5，左，1
13
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查坐标与图形性质，能根据题意建立平面直角坐标系是解题的关键．
（1）根据“五彩广场”和“考拉园”的坐标，建立平面直角坐标系即可．
（2）根据（1）中所建坐标系即可解决问题．
（3）根据“熊猫乐园”和“百虎山”的坐标即可确定；
【详解】（1）解：因为“五彩广场”和“考拉园”的坐标分别是(−3,1)和(−1,−1)，
所以平面直角坐标系如图所示．
（2）解：由（1）中所建平面直角坐标系可知，
“百虎山”的坐标为(0,3)，“熊猫乐园”的坐标为(1,−2)．
故答案为：(0,3)，(1,−2)．
（3）解：根据“熊猫乐园”的坐标为(1,−2)， “百虎山”的坐标为(0,3)，可以得出从“熊猫乐园”前往
“百虎山”可以先向上走5个单位长度，再向左走1个单位长度，
故答案为：5 ； 左 ； 1．
【考点2 图形在坐标系中的平移】
1.点的平移
在平面直角坐标系中，
将点（x,y）向右平移a个单位长度，可以得到对应点（x＋a ，y）；
将点（x,y）向左平移a个单位长度，可以得到对应点（x－a，y）；“左减右加”
将点（x,y）向上平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y＋b）；
将点（x,y）向下平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y－b）.“下减上加”
2.图形的平移
在平面直角坐标系内如果把一个图形各个点的横坐标都加（或减去）一个正数 a，相应的新图形就是把原
图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个正数 a，相应的新
图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度.
3.关于坐标轴对称的点的坐标关系
14
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司4.坐标方法的简单应用
①已知三角形的顶点坐标求三角形的面积
将坐标平面上的三角形的面积转化为几个图形的面积的组合（相加）或分解（相减），即将要求的三角形
面积转化为一个大的多边形（例如矩形或梯形）与一个或几个较小的三角形面积之差；
②已知多边形各顶点坐标求多边形的面积
将坐标平面上的多边形的面积分割成几个规则的图形组合的面积之和，或转化为一个更大的多边形（例如
矩形或梯形）与一个或几个较小的三角形面积之差.
【题型4 坐标系中的平移】
【例4】（24-25七年级·吉林长春·期末）如图：A(1,0)，B(0,2)，若将线段AB平移至A B ，则2a−b的
1 1
值为 ．
【答案】2
【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，掌握平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上
移加，下移减是解决问题的关键．
根据点A和A 的坐标确定出横向平移规律，点B和B 的坐标确定出纵向平移规律，即可求出a、b的值，
1 1
然后代数求解即可．
【详解】解：∵A(1,0)，A (3,b)，B(0,2)，B (a,4)，
1 1
∴平移规律为向右3−1=2个单位，向上4−2=2个单位，
∴a=0+2=2，b=0+2=2
15
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司∴2a−b=2×2−2=2．
故答案为：2．
【变式4-1】（24-25七年级·山西朔州·期末）在平面直角坐标系内，将M(5,2)先向左平移3个单位长度，
再向下平移2个单位长度，移动后的点的坐标是（ ）
A．(8,4) B．(3,5) C．(2,0) D．(2,3)
【答案】C
【分析】此题主要考查了坐标与图形的变化．根据平移变换与坐标变化规律：横坐标，右移加，左移减；
纵坐标，上移加，下移减，可得答案．
【详解】解：∵点M(5,2)，
∴先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后得到的点的坐标是(5−3,2−2)，
即(2,0)，
故选：C．
【变式4-2】（24-25七年级·安徽·期末）在平面直角坐标系中，若点A(a,b)先向上平移2个单位长度，再
向右平移1个单位长度后位于原点处，则点A的坐标为 ．
【答案】(−1,−2)
【分析】本题考查了坐标与图形变化﹣平移：在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上
（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点
的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．利
用点平移的坐标规律，把A点的横坐标加2，纵坐标加上1，得到原点坐标，则a+1=0,b+2=0，求出
a=−1,b=−2,即可得到点A的坐标．
【详解】解：∵点A(a,b)先向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后位于原点处，，
∴a+1=0,b+2=0．
∴a=−1,b=−2
∴点A的坐标为点(−1,−2)
故答案为：(−1,−2)．
【变式4-3】（24-25七年级·四川南充·期末）如图，第二象限有两点A(m+3,n),B(m,n−2)，将线段AB
平移，使点A，B分别落在两条坐标轴上，则平移后点B的对应点的坐标是（ ）
16
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司A．(3,0)或(0,2) B．(−3,0)或(0,2)
C．(−3,0)或(0,−2) D．(3,0)或(0,−2)
【答案】C
【分析】设平移后点A、B的对应点分别是A′、B′．分两种情况进行讨论：①A′在y轴上，B′在x轴上；
②A′在x轴上，B′在y轴上．
【详解】解：设平移后点A、B的对应点分别是A′、B′．
分两种情况：
①A′在y轴上，B′在x轴上，
则A′横坐标为0，B′纵坐标为0，
∵点A′与点A的横坐标的差为：0−(m+3)=−m−3，
∴m+(−m−3)=−3，
∴点B平移后的对应点的坐标是(−3,0)；
②A′在x轴上，B′在y轴上，
则A′纵坐标为0，B′横坐标为0，
∵0−n=−n，
∴n−2+(−n)=−2，
∴点B平移后的对应点的坐标是(0,−2)；
综上可知，点B平移后的对应点的坐标是(−3,0)或(0,−2)．
故选C．
【点睛】本题考查平面直角坐标系内图形的平移，掌握平移的性质是解题的关键．在平面直角坐标系中，
图形的平移与图形上某点的平移规律相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移
加，下移减．
【题型5 关于坐标轴对称的点的坐标特点】
【例5】（24-25七年级·湖南永州·期末）任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标
17
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司(x +x y + y )
系中，任意两点P(x，y)，Q (x，y)的对称中心的坐标为 1 2, 1 2 ，如图．
1 1 2 2 2 2
（1）在平面直角坐标系中，若点P(0，-1)，P(2，3)的对称中心是点A，则点A的坐标为 ；
1 2
（2）另取两点B(−1,2)，C(−1，0)．有一电子青蛙从点P 处开始依次作关于点A，B，C的循环对称
1
跳动，即第一次跳到点P 关于点A的对称点P 处，接着跳到点P 关于点B的对称点P 处，第三次再跳到
1 2 2 3
点P 关于点C的对称点P 处，第四次再跳到点P 关于点A的对称点P 处，…，则点P 的坐标为
3 4 4 5 2019
．
【答案】 (1,1) (−4,1)
【分析】（1）根据对称中心的坐标公式代入计算即可
（2）利用中心对称的性质依次计算出，然后找到规律，利用规律即可解题．
【详解】（1）∵点P(0，-1)，P(2，3)
1 2
0+2 −1+3
∴A的坐标为( , )=(1,1)
2 2
（2）由题意可知P (0,−1),P (2,3)
1 2
∵点P ，P 关于点B对称
2 3
∴P (−4,1)
3
∵点P，P 关于点C对称
3 4
∴P (−2,1)
4
同理可求P (0,3),P (−2,1),P (0,−1)⋯
5 6 7
所以六次一个循环
∵2019÷6=336⋯3
∴P (−4,1)
2019
18
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司故答案为：(1,1)；(−4,1)．
【点睛】本题主要考查点的坐标规律的探索，找到规律是解题的关键．
【变式5-1】（24-25七年级·天津河东·期末）在平面直角坐标系中点P（－2，3）关于x轴的对称点在第
象限
【答案】三
【分析】先根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得对称点的坐标，再根据
坐标符号判断所在象限即可．
【详解】解：点P（-2，3）关于x轴的对称点为（-2，-3），
（-2，-3）在第三象限．
故答案为：三
【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中各象限内点的坐标的符号，以及关于x轴的对称点横坐标相同，
纵坐标互为相反数．
【变式5-2】（24-25七年级·广东清远·期末）四盏灯笼的位置如图．已知A，B，C，D的坐标分别是（﹣
1，b），（1，b），（2，b），（3.5，b），移动y轴右侧的一盏灯笼，使得y轴两侧的灯笼对称，则移动
的方法可以是（ ）
A．将B移到（－2，b） B．将B移到（－3.5，b）
C．将C移到（－2，b） D．将D移到（－2，b）
【答案】D
【分析】注意到A，B关于y轴对称，只需要C，D关于y轴对称即可，可以将点C（2，b）向左平移到
（－3.5，b），平移5.5个单位，或可以将D（3.5，b）向左平移到（－2，b），平移5.5个单位．
【详解】解：∵A，B，C，D这四个点的纵坐标都是b，
∴这四个点在一条直线上，这条直线平行于x轴，
∵A（－1，b），B（1，b），
∴A，B关于y轴对称，只需要C，D关于y轴对称即可，
∵C（2，b），D（3.5，b），
∴可以将点C（2，b）向左平移到（－3.5，b），平移5.5个单位，
19
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司或可以将D（3.5，b）向左平移到（－2，b），平移5.5个单位，
故选D．
【点睛】本题考查了生活中的平移和关于坐标轴对称的点的坐标关系，注意关于y轴对称的两个点的坐标
的关系：横坐标互为相反数，纵坐标不变．
【变式5-3】（24-25七年级·全国·假期作业）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现
了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，点E的坐标为
(−2,−n)，其关于y轴对称的点F的坐标(2,−m+1)，则(n−m) 2023= ．
【答案】−1
【分析】本题考查点的坐标规律、代数式求值，利用关于y轴对称的点纵坐标相同，可得n−m=−1，即
可求出答案．
【详解】解：∵点E的坐标为(−2,−n)，其关于y轴对称的点F的坐标(2,−m+1)，
∴−n=−m+1，
∴n−m=−1，
∴(n−m) 2023=(−1) 2023=−1．
故答案为：−1．
【题型6 在平面直角坐标系中作图】
【例6】（24-25七年级·河北沧州·期中）如图，将三角形ABC平移后，三角形ABC内任意一点P（x，
0
y）的对应点为P（x+5，y﹣3）．
0 1 0 0
（1）三角形ABC的面积为 ；
（2）将三角形ABC平移后，顶点A，B，C的对应点分别为A，B，C ，在图中画出三角形ABC ；
1 1 1 1 1 1
（3）若三角形ABC外有一点M经过同样的平移后得到点M（5，3），则点M的坐标为 ；若连接线
1
段MM，PP，则这两条线段之间的关系是 ．
1 1
20
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）8.5；（2）见解析；（3）(0,6)，平行且相等
【分析】（1）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积得到 ABC的面积；
（2）利用点P和P 的特征确定平移的方向与距离，再利用此平移规律△作图即可；
1
（3）把点M 先向左平移5个单位，再向上平移3个单位得到M，从而得到M点的坐标，然后根据平移的
1
性质判断线段MM，PP 之间的关系．
1 1
1 1 1
【详解】解：（1） ABC的面积＝4×5− ×4×1− ×4×1− ×5×3=8.5；
2 2 2
△
（2）如图， ABC 为所作；
1 1 1
△
（3）把点M 先向左平移5个单位，再向上平移3个单位得到M点的坐标为(0,6)，
1
由平移的性质知，MM 与PP 平行且相等．
1 1
故答案为：8.5，(0,6)；平行且相等．
【点睛】本题考查作图-平移变换，平移的性质，解题的关键是掌握由点的坐标确定平移的方向与平移距
离．
【变式6-1】（24-25七年级·广西北海·期末）如图，在边长为1的小正方形网格中，△AOB的顶点均在格
点上.
21
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司（1）B点关于y轴的对称点的坐标为 ；
（2）将△AOB向左平移3个单位长度得到△AOB ，请画出△AOB ；
1 1 1 1 1 1
（3）在（2）平移过程中，线段OA所扫过的面积为 .
【答案】（1）（-3,1）；（2）作图见解析；（3）9
【详解】（1）根据关于y轴对称的点的坐标特点即可得出结论；
（2）根据图形平移的性质画出△AOB 即可；
1 1 1
（3）利用平行四边形的面积公式即可得出结论.
解：（1）∵B（3，1），
∴B点关于y轴的对称点的坐标为（-3，1）.
故答案为（-3，1）；
（2）如图△AOB 即为所求；
1 1 1
（3）线段OA所扫过的面积=3×3=9.
故答案为9.
【变式6-2】（24-25七年级·江苏南京·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC
三个顶点在格点上．已知点A(1,1)，点C(2,3)．
22
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司(1)画出平面直角坐标系（要求：画出坐标轴，标注坐标原点O）．
(2)现将△ABC先向下平移4个单位长度，再沿y轴翻折得到△A B C ，在图中画出△A B C ，连接CC
1 1 1 1 1 1 1
，则线段CC 的中点坐标为______．
1
(3)若△ABC内有一点P(a,b)，则点P经过（2）中的平移、对称后得到的点P 的坐标是______．
1
【答案】(1)见详解
(2)(0,1)
(3)(−a,b−4)
【分析】本题考查作图−轴对称变换、平移变换，
（1）根据点A，C的坐标建立平面直角坐标系即可．
（2）根据平移和轴对称的性质画图即可；由图可得线段CC 的中点坐标．
1
（3）由平移和轴对称可知，点P(a,b)经过（2）中的平移后得到的点的坐标为(a,b−4)，再沿y轴翻折
得到点P 的坐标为(−a,b−4)．
1
【详解】（1）解：建立平面直角坐标系如图所示．
（2）如图， △A B C 即为所求．
1 1 1
23
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司由图可知，线段CC 的中点坐标为(0,1)．
1
故答案为：(0,1)．
（3）点P(a,b)先向下平移4个单位长度得到的点的坐标为(a,b−4)，
再沿y轴翻折得到点P 的坐标为(−a,b−4)．
1
故答案为：(−a,b−4)．
【变式6-3】（24-25七年级·河南洛阳·期末）如图， 在平面直角坐标系中，三角形ABC中，点A的坐标
是 (−4,2)，点B的标是 (−2,0)，点C的坐标是(−1,4)． 将三角形ABC平移后得到三角形A′B′C′， 其中
点A的对应点A′的坐标为(1,−1)．
(1)分别写出点B′和点C′的坐标： B′ ， C′ ；
(2)在坐标系中画出三角形A'B'C'；
(3)若点P(m,4−n)是三角形ABC内的一点，点P′(2m−1,n−5)是三角形A′B′C′内点P的对应点，求m和
n的值．
【答案】(1)(3,−3)，(4,1)
(2)见解析
(3)m=6，n=3
【分析】本题主要考查平移作图和点的坐标，解题的关键是掌握平移的性质和变化规律．
（1）根据点的平移变化规律即可求解；
（2）根据（1）得到的B′、C′坐标，描出坐标点，再依次连接即可；
（3）根据点的平移变化规律，列出方程即可求解．
【详解】（1）解：∵ A(−4,2)的对应点A′的坐标为 (1,−1)，
∴点A向右平移5个单位，再向下平移3个单位得到A′，
∵点B的标是(−2,0)，点C的坐标是(−1,4)，
∴ B′(3,−3)，C′(4,1)，
24
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司故答案为：(3,−3)，(4,1)；
（2）如图，三角形A′B′C′即为所求；
（3）∵点P(m,4−n)是三角形ABC内的一点，点P′(2m−1,n−5)是三角形A′B′C′内点P的对应点，
∴点P向右平移5个单位，再向下平移3个单位得到P′，
根据题意可得：m+5=2m−1，4−n−3=n−5，
解得：m=6，n=3，
∴ m=6，n=3．
【题型7 在平面直角坐标系中求图形的面积】
【例7】（24-25七年级·湖北咸宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1,−2)，点B的坐标
为(3,0)．
(1)如图1，平移线段AB到线段DC，使点A的对应点为D，点B的对应点为C，若点C的坐标为(−2,4)，
则点D的坐标为 ；
(2)如图2，平移线段AB到线段DC，使点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限内．
①此时点D的横坐标为 ，设点D的纵坐标为y，点C的纵坐标用y的代数式表示为 ；
②连接BC，BD，若△BCD的面积为7，求点C，D的坐标；
(3)在（2）的条件下，在y轴上是否存在一点P，使△PBD与△BCD的面积之比为12:7？若存在，求出点
P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)D(−4,2)
25
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司(2)①−2；2+ y；②C(0,4)，D(−2,2)
( 18)
(3)存在点P，其坐标为(0，6)或 0,−
5
【分析】本题主要考查平面直角坐标系中几何图形的变换，掌握图形平移的规律，几何图形的面积的计算
方法是解题的关键．
（1）根据点B，点C的坐标可得平移规律，再根据平移规律即可求解；
（2）①根据点C可得平移规律，即可作答；②连接OD，根据S =S +S −S =7可求点的
△BCD △BOC △COD △BOD
平移，再求出点C、D的坐标；
（3）根据题意，先计算出S =12，再根据题意，分类讨论：①当P在x轴上方时；②当P在x轴下方
△PBD
时；根据几何图形面积的计算即可求解．
【详解】（1）解：已知点A的坐标为(1,−2)，点B的坐标为(3,0)，平移后点B的对应点为C的坐标为
(−2，4)，
∵B(3,0)平移后的对应点C(−2,4)，
∴设3+a=−2，0+b=4，
∴a=−5，b=4，
即：点B向左平移5个单位，再向上平移4个单位得到点C(−2,4)，
∴1−5=−4，−2+4=2，
∴A点平移后的对应点D(−4,2)；
（2）①∵点C在y轴上，点D在第二象限，A(1,−2)，B(3,0)，
∴点B向左平移3个单位，
∴点A向左平移3个单位，横坐标为：1−3=−2，
即点D的横坐标为−2，
∵对应点D在第二象限，点D的纵坐标为y，
∴设点A向上平移了(2+ y)个单位，
∴线段AB向左平移3个单位，再向上平移(2+ y)个单位，符合题意，
∴C(0,2+ y)，D(−2,y)，
∴OB=3，OC=2+ y，即点C的纵坐标用y的代数式表示为2+ y，
故答案为：−2，2+ y；
②如图所示，连接OD，
26
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司∴S =S +S −S =7，
△BCD △BOC △COD △BOD
1 1 1
∴ OB×OC+ OC×2− OB×(2+ y)=7，
2 2 2
1 1 1
×3×(2+ y)+ ×2×(2+ y)− ×3 y=7，
2 2 2
∴y=2，
∴C(0,4)，D(−2,2)；
（3）由（2）得D(−2,2)，
S 12
∵S =7， △PBD = ，
△BCD S 7
△BCD
∴S =12，
△PBD
①当P在x轴上方时，如图1，
1 1 1
×OP×2+ ×3×OP − ×3×2=12
2 2 2
，
OP=6，
∴P(0，6)；
②当P在x轴下方时，如图2，
27
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司1 1 1
×OP×2+ ×3×OP− ×3×2=12
2 2 2
，
18
OP= ，
5
( 18)
∴P 0,− ，
5
( 18)
∴存在点P，其坐标为(0,6)或 0,− ．
5
【变式7-1】（24-25七年级·江西南昌·期中）在平面直角坐标系中，有点A(a,−1)，点B(2,b)．
（1）当A，B两点关于直线x=−1对称时，求△AOB的面积；
（2）当线段AB// y轴，且AB=3时，求a−b的值．
【答案】（1）3；（2）0或6
【分析】（1）根据A，B两点关于直线x=−1对称求出a、b的值，再画出图象求出△AOB的面积；
（2）根据AB// y轴得到A、B两点横坐标相等，由AB=3得到|−1−b)=3，求出a、b的值，得到a−b
的值．
【详解】解：（1）∵A，B两点关于直线x=−1对称，
a+2
∴ =−1，解得a=−4，
2
∴b=−1，
则A(−4,−1)，B(2,−1)，
如图所示，
1
S = ×6×1=3；
△AOB 2
28
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司（2）∵AB// y轴，
∴a=2，
∵AB=3，
∴|−1−b)=3，解得b=2或−4，
∴a−b=2−2=0或a−b=2+4=6．
【点睛】本题考查点坐标的求解，解题的关键是掌握平面直角坐标系中点坐标的对称关系，三角形的面积
求解方法．
【变式7-2】（24-25七年级·广西河池·期末）如图，在平面直角坐标系中，A，B是x轴上两点，A(−1,0)
，B(3,0)，现同时将点A，B分别向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到A，B两点的对
应点C，D，连接AC,BD,CD．
(1)直接写出点C，D的坐标．
(2)若平移后得到的四边形ABDC为平行四边形，求出四边形ABDC的面积．
(3)在x轴上是否存在点F，使△DFC的面积是△DFB的面积的2倍？若存在，求出点F的坐标；若不存
在，请说明理由．
【答案】(1)C(0,2)，D(4,2)
(2)8
(3)存在，(1,0)或(5,0)
【分析】本题考查了平移、坐标与图形的性质、点的坐标，解题的关键是熟练掌握平移的性质．
（1）直接根据变化情况，写出两点坐标即可；
（2）根据平行四边形的面积公式求解即可；
（3）根据△DFC的面积是△DFB的面积的2倍求出BF的长，进而可求出点F的坐标．
【详解】（1）∵A(−1,0)，B(3,0)，现同时将点A，B分别向上平移2个单位长度，再向右平移1个单
位长度，得到A，B两点的对应点C，D，
∴C(0,2)，D(4,2)；
故答案为：C(0,2)，D(4,2)；
29
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司（2）S =AB⋅OC
▱ABCD
=|3−(−1)|×2
=8；
（3）存在，
∵C(0,2)，D(4,2)，
∴CD=4，
∵△DFC的面积是△DFB的面积的2倍
1 1
∴ CD⋅OC=2× BF⋅OC
2 2
∴CD=2BF
1
∴BF= CD=2．
2
∵B(3，0)，
∴点F的坐标为(1,0)或(5,0)．
【变式7-3】（24-25七年级·湖北襄阳·期末）如图1，在平面直角坐标系内，O为坐标原点，线段AB两端
点在坐标轴上，点A(−4,0)，点B(0,3)，将AB向右平移4个单位长度至OC的位置．
(1)点C的坐标是 ；
(2)如图2，过点C作CD⊥x轴于点D，在y轴上有一动点P，求三角形PCD的面积；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接AC，是否存在点P，使得三角形ACP的面积为22，若存在，求出点P
的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)C(4,3)
30
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司(2)6
(3)点P的坐标为(0,7)或(0,−4)．
【分析】本题考查了点的平移，在平面直角坐标系中动点产生三角形的面积；
（1）由点的平移即可求解；
1
（2）由S = CD⋅OD即可求解；
△PCD 2
（3）分情况讨论：当P在AC的上方时，将△PAC补成直角梯形ACFE；当P在AC的下方时，将△PAC补
成直角梯形ACMN，根据割补法求解．
【详解】（1）解：由平移得：C(0+4,3)即C(4,3)；
（2）解：∵CD=3，OD=4，动点P在y轴上，
1
∴S = CD⋅OD
△PCD 2
1
= ×3×4
2
=6；
（3）解：当P在AC的上方时，
如图，将△PAC补成直角梯形ACFE，
设点P的坐标为(0,m)，则点E的坐标为(−4,m)，点F的坐标为(4,m)，
S =S −S −S
△APC 梯形ACFE △APE △EPC
1 1 1
= (m+m−3)×(4+4)− ×4m− (m−3)×4
2 2 2
=4(2m−3)−2m−2(m−3)
=4m−6
31
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司当4m−6=22，则m=7，
此时点P的坐标为(0,7)，
当P在AC的下方时，
如图，将△PAC补成直角梯形ACMN，
设点P的坐标为(0,m)，则点M的坐标为(4,m)，点M的坐标为(−4,m)，
S =S −S −S
△APC 梯形ACMN △APN △MPC
1 1 1
= (−m−m+3)×(4+4)− ×4×(−m)− (−m+3)×4
2 2 2
=4(−2m+3)+2m−2(−m+3)
=6−4m
当6−4m=22，则m=−4，
此时点P的坐标为(0,−4)，
综上所述：点P的坐标为(0,7)或(0,−4)．
【题型8 坐标中的规律探究】
【例8】（24-25七年级·黑龙江鸡西·期末）小颖同学观看台球比赛，从中受到启发，把它抽象成数学问
题：如图，小球起始时位于(3,0)处，沿所示的方向击球，若不考虑阻力，小球运动的轨迹如图所示，小球
第一次碰到球桌边时，小球的位置是(0,3)，那么小球第2024次碰到球桌边时，小球所在的位置用坐标表
示是 ．
32
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司【答案】(1,4)
【分析】本题考查坐标规律探究，根据图象可知，每6次一个循环，进行求解即可．
【详解】解：由图象，可知，第1次到达(0,3)，
第2次到达(1,4)，
第3次到达(5,0)，
第4次到达(8,3)，
第5次到达(7,4)，
第6次到达(3,0)，
第7次到达(0,3)，⋯；
∴小球每6次一个循环，
∵2024÷6=337⋯2，
∴小球第2024次碰到球桌边时，小球所在的位置：(1,4)．
【变式8-1】（24-25七年级·湖北宜昌·期末）在平面直角坐标系中，点A从原点O出发，沿x轴正方向按
半圆形弧线不断向前运动，其移动路线如图所示，其中半圆的半径为1个单位长度，这时点
A ，A ，A ，A 的坐标分别为A (0，0)，A (1，1)，A (2，0)，A (3，−1)，则点A 的坐
1 2 3 4 1 2 3 4 2024
标为 ．
【答案】(2023,−1)
【分析】本题主要考查找点的坐标规律，根据图形可知点的位置每4个数一个循环，横坐标为脚标数减
1，2024÷4=506，进而判断A 与A 的纵坐标相同，即可求解．
2024 4
【详解】解：∵A (0，0)，A (1，1)，A (2，0)，A (3，−1)，
1 2 3 4
∴根据图形可知点的位置每4个数一个循环，横坐标为脚标数减1，2024÷4=506，
∴A 与A 的纵坐标相同，
2024 4
∴A (2023,−1)，
2024
故答案为：(2023,−1)．
【变式8-2】（24-25七年级·湖北省直辖县级单位·期末）在平面直角坐标系xOy中，对于点P(x,y)，我们
把点P′(−y+1,x+1)叫做点P的伴随点．已知点A 的伴随点为A ，点A 的伴随点为A ，点A 的伴随点为
1 2 2 3 3
A ，⋯，这样依次得到点A ，A ，A ，⋯，A ，⋯．若点A 的坐标为(3,1)，则点A 的坐标为
4 1 2 3 n 1 2024
33
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司．
【答案】(0,−2)
【分析】此题考查点的坐标规律，理解伴随点的定义并求出每4个点为一个循环组依次循环是解题的关
键．根据伴随点的定义依次求出各点的坐标，每4个点为一个循环组依次循环，用2024除以4，根据商和
余数的情况确定点的坐标即可．
【详解】解：∵点A 的坐标为(3,1)，根据伴随点的定义得，
1
∴ A (0,4)，A (−3,1)，A (0,−2)，A (3,1)，
2 3 4 5
依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，
∴对于m≥1，m为正整数，有A (3,1)，A (0,4)，A (−3,1)，A (0,−2)，
4m−3 4m−2 4m−1 4m
∵ 2024=4×506，即当m=506时，有A (0,−2)
4×506
∴ 点A 的坐标为为(0,−2)．
2024
故答案为：(0,−2)．
【变式8-3】（24-25七年级·广东汕头·期末）如图，如图，在平面直角坐标系中，一动点从A(0,1)出发，
按一定规律移动，依次得到A (−2,0)，A (−4,2)，A (−6,1)，A (−8,3)，A (−10,2)，A (−12,4)…
1 2 3 4 5 6
点A 的坐标为 ．
240
【答案】(−480,121)
【分析】本题考查了点坐标的规律，解题的关键是分类讨论奇数点与偶数点的坐标递变规律．
分类讨论奇数点与偶数点的坐标变化规律即可得到结论．
【详解】解：观察图形可得，奇数点坐标A (−2, 0),A (−6,1),A (−10,2),A (−14,3),⋯,可得奇数
1 3 5 7
n−1
点坐标的规律为A (−2n, )（n为奇数）；
n 2
观察图形可得，偶数点坐标A (−4,2),A (−8, 3),A (−12,4),A (−16,5),⋯,可得偶数点坐标的规律
2 4 6 8
n+2
为A (−2n, )（n为偶数），
n 2
34
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司240+2
∵240为偶数，点A 的坐标为(−2×240, )，即(−480,121)，
240 2
故答案为：(−480,121)．
35
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司
