文档内容
27.3 位似
基础篇
一、单选题：
1．如图四个图中， 均与 相似，且对应点交于一点，则 与 成位似图形的有
（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】直接利用位似图形的性质分析判断得出答案．
【详解】解：图1中， 与 成位似图形；
图2中，∵ 与 不平行， 与 不平行，∴ 与 不成位似图形；
图3中， 与 成位似图形；
图4中， 与 成位似图形；
综上， 与 成位似图形的有图1、图3、图4，共有3个．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了位似变换，位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形，且对应点连线相交
于一点，对应线段相互平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，位似图形对应点所在直线的交点是位似
中心．
2．如图，在直角坐标系中， 与 是位似图形，则位似中心为（ ）A．点M B．点N C．点O D．点P
【答案】D
【分析】连接 ，交 于点P，根据位似中心的概念解答即可．
【详解】解：连接 ，交 于点P，
则点P为位似中心，
故选：D．
【点睛】本题考查的是位似变换，两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互
相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
3．在如图所示的正方形网格图中，已知点 ， ，若以点 为位似中心，把 放大到原
来的2倍，则点 的对应点的坐标为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据点A、B的坐标确定出平面直角坐标系的位置，然后根据位似图形的性质作出点A的对应点
，根据平面直角坐标系可得答案．
【详解】解：∵ ， ，
∴平面直角坐标系如图所示，以点 为位似中心，把 放大到原来的2倍，点A的对应点为 ，
则点 的坐标为 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了坐标与图形，作位似图形，正确确定平面直角坐标系的位置是解题的关键．
4．如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC与等腰Rt△CDE关于原点O成位似关系，相似比为1：
3，∠ACB＝∠CED＝90°，A、C、E是x轴正半轴上的点，B、D是第一象限的点，BC＝2，则点D的坐
标是（ ）A．（9，6） B．（8，6） C．（6，9） D．（6，8）
【答案】A
【分析】根据位似变换的定义得到△ACB∽△CED，根据相似三角形的性质求出DE，根据等腰直角三角
形的性质求出CE，根据△OCB∽△OED，列出比例式，代入计算即可得到答案．
【详解】解：∵等腰Rt△ABC与等腰Rt△CDE关于原点O成位似关系，
∴△ACB∽△CED，
∵相似比为1：3，
∴ ，即 ，
解得，DE＝6，
∵△CED为等腰直角三角形，
∴CE＝DE＝6，
∵BC∥DE，
∴△OCB∽△OED，
∴ ，即 ，
解得OC＝3，
∴OE＝OC+CE＝3+6＝9，
∴点D的坐标为（9，6），
故选：A．
【点睛】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质、坐标与图形性质、等腰直角三角形的性质，掌握位
似变换的两个图形是相似图形是解题的关键．
5．如图，四边形 和 是以点O为位似中心的位似图形，若 ，则四边形
与 的周长比是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据位似性质：位似比等于相似比，根据相似的性质：相似多边形的周长比等于相似比，结合这
两个性质即可得到结论．
【详解】解：∵四边形 和 是以点O为位似中心的位似图形， ，
∴ ，
∴四边形 和 的周长之比等于相似比，即 ，
故选A．
【点睛】本题考查位似图形的性质以及相似图形的性质，理解位似比等于相似比，相似多边形的周长比等
于相似比是解决问题的关键．
6．如图，在平面直角坐标系中， 与 位似，位似中心为原点O，位似比为1：2，若点
，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据位似图形的性质解答即可．
【详解】∵点 ， 与C关于原点对称，且位似比为 ，∴ 的坐标为
即
故选：A．
【点睛】本题考查了位似图形，熟练掌握位似图形的有关知识是解题的关键．
7．如图，在 外任取一点O，连接 ，并取它们的中点D，E，F，连接 ，
得 ，则下列说法错误的是（ ）．
A． 与 是位似图形 B． 与 是相似图形
C． 与 的周长比为1∶2 D． 与 的面积比为4∶1
【答案】C
【分析】根据位似图形的性质，得出 与 是位似图形进而根据位似图形一定是相似图形得出
与 是相似图形，再根据周长比等于位似比，以及根据面积比等于相似比的平方，即可得出答
案．
【详解】解：根据位似性质可得：
A、 与 是位似图形，故A选项正确，不符合题意；
B、 与 是相似图形，故B选项正确，不符合题意；
∵点D，E，F，为 中点，
∴将 的三边缩小到原来的 得到 ，
∴ 与 的周长之比为2：1，故C选项不正确，符合题意；
∵面积比等于相似比的平方，
∴ 与 的面积之比为4：1，故D选项正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了位似图形的性质，正确的记忆位似图形性质是解决问题的关键．
二、填空题：8．如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为O，且△ABC的面积与△DEF的面积之比是16：9，则
AO：OD＝_____．
【答案】 ##
【分析】根据位似图形具有相似三角形的性质即可得出结果．
【详解】解：∵△ABC与△DEF位似，位似中心为O，且△ABC的面积与△DEF的面积之比是16：9，
∴AO：OD=4：3，
故答案为：4：3．
【点睛】本题考查了位似变换，正确掌握位似变换的性质是解题的关键．
9．如图， 与 位似，点O为位似中心，位似比为 ．若 的周长为4，则 的周长
是___________．
【答案】6
【分析】根据周长之比等于位似比计算即可．
【详解】设 的周长是x，
∵ 与 位似，相似比为 ， 的周长为4，
∴ ，
解得： ，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了位似的性质，熟练掌握位似图形的周长之比等于位似比是解题的关键．
10．如图，在直角坐标系中，矩形 的顶点 在坐标原点，边 在 轴上， 在 轴上，如果矩形
与矩形 关于点 位似，且矩形 的面积等于矩形 面积的 ，那么点 的坐标是
______．【答案】 或 ## 或
【分析】根据位似图形的概念得到矩形 矩形 ，根据相似多边形的性质求出相似比，根据位
似图形与坐标的关系计算，得到答案．
【详解】解：∵矩形 与矩形 关于点 位似，
∴矩形 ∽矩形 ，
∵矩形 的面积等于矩形 面积的 ，
∴矩形 与矩形 的相似比为 ，
∵点B的坐标为 ，
∴点 的坐标为 或 ，即 或 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了位似变换的性质，掌握位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方是解题
的关键，注意在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应
点的坐标比等于 ．
11．如图，正方形 与正方形 是位似图形，点O为位似中心，相似比为 ，点D的坐标为
，则点B的坐标为______．【答案】
【分析】直接利用正方形的性质结合位似比得出正方形 的边长即可得出答案．
【详解】解：∵正方形 与正方形 是位似图形，点O是位似中心，相似比为 ，点D的坐
标为 ，
∴ ，则 ，
∴点B的坐标是： ．
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出正方形 的边长是解题关键．
12．如图，已知A（3，0），B（2，3），将△OAB以点O为位似中心，相似比为2：1，放大得到
，则顶点B的对应点 的坐标为________．
【答案】 或 ## 或
【分析】利用位似图形坐标变化特征解答即可．
【详解】解：由位似图形坐标变化的特征可知：
或 ．
故答案为： 或
【点睛】本题考查位似图形坐标变化特征：一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出
一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点 对应的位似图形上的点的坐标为 或 .
三、解答题：
13．如图，在平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别为 、 、 ．
(1)画出将 向左平移 个单位，再向上平移 个单位后的 ；
(2)以原点 为位似中心，位似比为 ，在 轴的左侧，画出将 放大后的 ；
(3)判断 与 ，能否是关于某一点 为位似中心的位似图形，若是，请在图中标出位似中心 ，
并写出点 的坐标．
【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析
(3)能，作图见解析， 点的坐标为
【分析】（1）根据点平移的坐标变换特征得到 、 、 的坐标，然后描点即可；
（2）根据关于以原点为位似中心的对应点的特征得到 、 、 的坐标，然后描点即可；
（3）延长 、 、 ，它们的交点为位似中心点 ，从而得到点 的坐标．
【详解】（1）解：如图所示：为所作；
（2）解：如图所示：为所作；
（3）解： 与 关于点 为位似中心的位似图形，如图所示：
点 为所作， 点的坐标为 ．
【点睛】本题考查了作图-位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为
，那么位似图形对应点的坐标的比等于 或 ，涉及平移变换，按照题目中的变换描点作图是解决问题
的关键．
14．如图，在直角坐标系中， 的顶点坐标分别为 ．(1)请在图中标出 外接圆的圆心C，并写出点C的坐标．
(2)在直角坐标系的第三象限，画出以点O为位似中心，与 位似的图形，使它与 的相似比为
，并写出点A，B对应点的坐标．
【答案】(1)图见解析，
(2)图见解析， ，
【分析】（1）根据题意找到线段 和 的垂直平分线的交点即为 外接圆的圆心C；
（2）根据位似图形的性质画出 ，进而写出点A，B对应点的坐标．
【详解】（1）解：如图所示，找到线段 和 的垂直平分线的交点
∴
∴点C即为 外接圆的圆心；∴ ；
（2）如图所示， 即为所要求作的三角形，
∴ ， ．
【点睛】本题主要考查了画位似图形，三角形外接圆的性质，解题的关键在于能够熟练掌握画位似图形的
方法，三角形外接圆的性质．
15．如图，在平面直角坐标系中， ABC的三个顶点的坐标分别为点A（1，0） B（3，0）、C（0，
1）． △
(1)①以点M（2，2）为位似中心，在网格区域内画出 ，使得 与 位似，且点D与点A对
应，位似比为2：1；
②点D坐标为___________；
(2) 的面积为___________个平方单位．
【答案】(1)①图见解析，②点D的坐标是（4，6）
(2)4【分析】（1）①根据位似图形的性质画图即可；②由位似图形的性质即可求得点D坐标；
（2）利用（1）中①题的图形，根据三角形的面积公式求解即可.
【详解】（1）解：① 如图所示，
②点D的坐标是（4，6）；
（2） 的面积= 个平方单位．
【点睛】本题考查了坐标系中位似图形的作图和三角形的面积等知识，属于常考题型，熟练掌握基本知识
是解题关键．
16．己知 在平面直角坐标系中的位置如图所示：
(1)在图中画出 沿x轴翻折后的 ；
(2)以点 为位似中心，作出 按 放大后的位似图形 ；(3)点 的坐标___________； 与 的周长比是___________， 与 的面积比是
___________．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3) ； ；
【分析】（1）利用关于 轴对称的点的坐标特征得到 的坐标，然后描点即可；
（2）延长 到 使 ，延长 到 使 ，延长 到 使 ，从而得到
；
（3）先利用轴对称的性质得到 ，再根据位似的性质得到 与 的相似比为
，所以 与 的相似比为 ，然后根据相似三角形的性质解决问题．
【详解】（1）解：如图， 为所作；
（2）解：如图， 为所作；
（3）解：点 的坐标为 ，∵ 沿x轴翻折后的 ，
∴ ，
∵ 按 放大后的位似图形 ，
∴ 与 的相似比为 ，
∴ 与 的相似比为 ，
∴ 与 的周长的比为 ， 与 的面积的比为 ．
故答案为： ； ；
【点睛】本题考查了作图−位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比
为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或 ．也考查了轴对称变换．
17．已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为 ．
(1)画出 绕点O顺时针旋转 后得到的 ；
(2)在y轴的左侧以O为位似中心作 的位似图形 ，使新图与原图相似比为 ；
(3)若点 在线段 上，直接写出变化（2）后点D的对应点 的坐标为 ．
(4)分别求出 的周长和 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)(4)周长 ，面积10
【分析】（1）直接利用旋转变换的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；
（3）根据位似图形的性质，即可求解；
（4）根据勾股定理可得 的三边长，可得到 的周长；再由勾股定理逆定理可得 是直角
三角形，即可求解．
【详解】（1）解∶ 如图所示： 即为所求；
（2）解∶ 如图所示： 即为所求；
（3）解∶ ∵作 的位似图形 ，新图与原图相似比为 ，且 ，
∴点D的对应点 的坐标为 ；
故答案为：
（4）解∶ 根据题意得： ，
∴ 的周长
∵ ，
∴ ，∴ 是直角三角形，
∴ 的面积 ．
【点睛】此题主要考查了位似变换以及旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键．
提升篇
1．如图，在平面直角坐标系中，以原点 为位似中心，将 扩大到原来的2倍，得到 ．若点
A的坐标为 ，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】C
【分析】根据以原点O为位似中心，将 扩大到原来的2倍，即可得出对应点的坐标应乘以 ，即可
得出点 的坐标．
【详解】根据以原点O为位似中心的图形的坐标特点得出，对应点的坐标应乘以 ，
∵点A的坐标是 ，
∴点 的坐标为 或 ．
故选C．
【点睛】本题考查利用位似求坐标．掌握位似比与相似比的关系以及位似图形对应点的坐标与位似比的关
系是解决问题的关键．
2．在平面直角坐标系 中，以原点 为位似中心，把 缩小为原来的 ，得到 ，则点
的对应点 的坐标是（ ）A． B． 或
C． D． 或
【答案】B
【分析】以原点 为位似中心，把 缩小为原来的 ，即位似比是 ，根据位似的性质即可求解．
【详解】解：根据题意得，位似比是 ，且位似比是 的三角形有两个， ，
∴① 乘以 得， ；② 乘以 得， ，
故选： ．
【点睛】本题主要考查位似的性质，理解和掌握位似的性质是解题的关键．
3．在平面直角坐标系中，已知点 ， .若 与 关于点O位似，且
，则点 的坐标为（ ）
A． 或 B． 或
C． D．
【答案】A
【分析】由 与 关于点O位似，且 ，得到 与 的相似比为1：
2，由点E的坐标为 ，即可得到答案．
【详解】解：∵ 与 关于点O位似，且 ，∴ 与 的相似比为1：2，
∵点E的坐标为 ，
∴点 的坐标为 或 ，
即 或 ，
故选：A
【点睛】此题考查了位似，根据位似得到 与 的相似比为1：2，是解题的关键．
4．如图，在平面直角坐标系中，等边 与等边 是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为
，点A、B、D在x轴上，若等边 的边长为12，则点C的坐标为_________．
【答案】
【分析】作CF⊥AB于F，根据位似图形的性质得到BC∥DE，根据相似三角形的性质求出OA、AB，根据
等边三角形的性质计算，得到答案．
【详解】解：作CF⊥AB于F，∵等边△ABC与等边△BDE是以原点为位似中心的位似图形，
∴BC∥DE，
∴△OBC∽△ODE，
∴ ，
∵△ABC与△BDE的相似比为 ，等边△BDE边长为12，
∴
解得，BC=4，OB=6，
∴OA=2，AB=BC=4，
∵CA=CB，CF⊥AB，
∴AF=2，
由勾股定理得，
∴OF=OA+AF=2+2=4，
∴点C的坐标为
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质、等边三角形的性质、掌握位似变换的概念、相似三角形的
性质是解题的关键．
5．如图，在直角坐标系中，矩形 与矩形 位似，矩形 的边 在y轴上，点B的坐标为
，矩形 的两边都在坐标轴上，且点F的坐标为 ，则矩形 与 的位似中心的坐
标是___________．【答案】 或
【分析】根据题意得到点P为位似中心，根据相似三角形的性质，然后分两种情况进行分析，进而得到答
案．
【详解】解：连接 交y轴于点P，
∵B和F是对应点，
∴点P为位似中心，
由题意得， ， ， ，
∵ ，
∴ ∽ ，
∴ ，即 ，
解得： ，
∴ ，
∴位似中心的坐标是 ；
连接 ， ，并延长，交点为点P，如图所示：则点P为位似中心，
由题意得： ， ，
∵ ，
∴ ∽ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∵点C为： ，点E为： ，
∴点P的坐标为： ；
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查的是位似图形的概念和性质，掌握位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键．
6．如图，在平面直角坐标系中，正方形 与正方形 是以 为位似中心的位似图形，且位
似比为 ，点 ， ， 在x轴上，延长 交射线 与点 ，以 为边作正方形 ；延长
，交射线 与点 ，以 为边作正方形 ；…按照这样的规律继续作下去，若 ，
则正方形 的面积为_______．【答案】
【分析】已知正方形 与正方形 是以 为位似中心的位似图形，AB⊥x轴，A B⊥x轴，
1 1 2 2
可先证明△OAB∽△OAB，求出正方形A BC A 的边长1= 20，正方形A BC A 的边长为21=2；同理可
1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 2 3
证明△OAB∽△OAB，求出正方形ABC A 的边长为4=22......由此可归纳出规律：正方形AnBnCn Dn 的
2 2 3 3 3 3 3 4 +1
边长为2n－1．在正方形A B C A 中，n =2021，将n的值代入2n－1即可求出该正方形的边长，根
2021 2021 2021 2022
据正方形面积公式，即可求出该正方形的面积．
【详解】解：∵正方形 与正方形 是以 为位似中心的位似图形，且位似比为 ，
∴ ，
∵AB⊥x轴，A B⊥x轴，
1 1 2 2
∴ ，
∴△OAB∽△OAB，
1 1 2 2
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴正方形A BC A 的边长1= 20，
1 1 1 2
∵△OAB∽△OAB，
1 1 2 2∴ ，
∴ ，
∴正方形A BC A 的边长为21=2；
2 2 2 3
同理可证△OAB∽△OAB，
2 2 3 3
∴ ，
∵四边形A BC A 是正方形，
2 2 2 3
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴正方形ABC A 的边长为4=22，
3 3 3 4
综上，可归纳出规律：正方形AnBnCn Dn 的边长为2n－1．
+1
∴正方形A B C A 的边长为： ，
2021 2021 2021 2022
∴正方形A B C A 的面积为： ．
2021 2021 2021 2022
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了位似变换、相似三角形的判定与性质、正方形的性质和面积以及图形类找规律，
正确找出规律是解题的关键．
7．（1）问题发现
如图1，四边形ABCD为矩形，AB=a，BC=b，点P在矩形ABCD的对角线AC上，Rt△PEF的两条直角
边PE，PF分别交BC，DC于点M，N，当PM⊥BC，PN⊥CD时， = （用含a，b的代数式
表示）．
（2）拓展探究
在（1）中，固定点P，使△PEF绕点P旋转，如图2， 的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．（3）问题解决
如图3，四边形ABCD为正方形，AB=BC=a，点P在对角线AC上，M，N分别在BC，CD上，
PM⊥PN，当AP=nPC时，（n是正实数），直接写出四边形PMCN的面积是 （用含n，a的代数
式表示）
【答案】(1) ;(2)见解析;(3)
【详解】分析：（1）先判断出△PMC∽△ABC，得出 ，再判断出四边形CNPM是矩形，即
可得出结论；
（2）先过P作PG⊥BC于G，作PH⊥CD于H，判定△PGM∽△PHN，再根据相似三角形的性质以及平
行线分线段成比例定理进行推导计算即可；
（3）先判定△PMC∽△ABC，再根据相似三角形的对应边成比例进行求解，再计算其面积；
详解：
（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB⊥BC，
∵PM⊥BC，
∴△PMC∽△ABC
∴
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD=90°，
∵PM⊥BC，PN⊥CD，
∴∠PMC=∠PNC=90°=∠BCD，
∴四边形CNPM是矩形，
∴CM=PN，
∴ ，故答案为 ；
（2）如图3，过P作PG⊥BC于G，作PH⊥CD于H，则∠PGM=∠PHN=90°，∠GPH=90°
∵Rt△PEF中，∠FPE=90°
∴∠GPM=∠HPN
∴△PGM∽△PHN
∴
由PG∥AB，PH∥AD可得， ,
∵AB=a，BC=b
∴ ，即 ,
∴ ，
故答案为 ；
（3）∵PM⊥BC，AB⊥BC
∴△PMC∽△ABC
∴
当AP=nPC时（n是正实数），
∴PM= a
∴四边形PMCN的面积= ，
故答案为 ．
点睛：相似形综合题，主要考查了相似三角形的应用以及平行线分线段成比例定理，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形，并根据两角对应相等判定两个三角形相似．解题时注意，平行于三角形的一边，
并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
