27.3 位似(第二课时) 导学案
学习目标
1 巩固位似图形及其有关概念.
2 会用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换，掌握把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，点的坐
标变化的规律.
3 了解四种变换（平移、轴对称、旋转和位似）的异同，并能在复杂图形中找出这些变换.
重点难点突破
★知识点1：把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律：
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比（新图与原图的相似比）为 k，那
么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k，则图象上的对应点的坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky）.
核心知识
一、把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律：
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比（新图与原图的相似比）为k，那
么位似图形对应点的坐标的比等于______________，则图象上的对应点的坐标
__________________________.
复习巩固
【提问一】简述位似图形的概念？
【提问二】简述位似图形的性质？
【提问三】简述一个点关于x轴、y轴、原点对称的点的坐标特点？
新知探究【问题一】在直角坐标系中，有两点 A(2,1),B(2,0)，以O为位
似中心，相似比为 3，将线段AB扩大，观察对应点之间坐标的变化，
你发现了什么？
【问题二】△ABC 三个顶点坐标分别为 A (2，3)，B (2，1)， C (5，2)，以点 O 为位似中心，相
似比为 2，将△ABC 放大，观察对应顶点坐标的变化，你发现了什么？
【问题三】在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一个图形的位似图形可以作几个？
【问题四】所作位似图形与原图形在原点的同侧，那么对应顶点的坐标的比与其相似比是何关系？如
果所作位似图形与原图形在原点的异侧呢？
【问题五】在直角坐标系中，做位似图形时，若相似比 k大于1时，图形如何变化呢？若0<k<1时，
图形如何变化呢？
【问题六】至此，我们已经学习了四种变换：平移、轴对称、旋转和位似，你能说出它们之间的异同
吗？典例分析
例1 在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为O(0，0)，A(6，0),B(3，6),C(-3，3).以原点
O为位似中心，画出四边形OABC的位似图形，使它与四边形OABC的相似是2:3.
【针对训练】
1
1.如图，在直角坐标系中，有两点A(6，3)、B(6，0)．以原点O为位似中心，相似比为 ，在第一象限内
3
把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为（ ）
A．(2，1) B．(2，0) C．(3，3) D．(3，1)
2. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6）、B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为
1
，把△ABO缩小，则点B的对应点B′的坐标是（ ）
3
A．（﹣3，﹣1） B．（﹣1，2）
C．（﹣9，1）或（9，﹣1） D．（﹣3，﹣1）或（3，1）3.在平面直角坐标系中，已知点A(−4,2)，B(−6,−4)，以原点O为位似中心，相似比为2，把△ABO放
大，则点B的对应点B'的坐标（ ）
A．(−3,−2) B．(−3,−2)或(3,2) C．(−12,−8) D．(−12,−8)或(12,8)
4．如图，在平面直角坐标系中，已知A（1.5，0），D（4.5，0），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中
心．若DE＝7.5，则AB＝_____．
5. 如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为
1
，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为（ ）
3
A．（3，2） B．（3，1） C．（2，2） D．（4，2）
感受中考
1．（2023·浙江·统考中考真题）如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为
A(1,2),B(2,1),C(3,2)，现以原点O为位似中心，在第一象限内作与△ABC的位似比为2的位似图形
，则顶点 的坐标是（ ）
△A'B'C' C'A．(2,4) B．(4,2) C．(6,4) D．(5,4)
2．（2023·四川遂宁·统考中考真题）在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如
图所示的平面直角坐标系中，格点△ABC、△DEF成位似关系，则位似中心的坐标为（ ）
A．(−1,0) B．(0,0) C．(0,1) D．(1,0)
3．（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，△ABO的顶点坐标是A(2,6)，B(3,1)，O(0,0)，以点
1
O为位似中心，将△ABO缩小为原来的 ，得到△A'B'O，则点A'的坐标为 ．
3
4．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△AB'C'的相似比
为1∶2，点A是位似中心，已知点A(2,0)，点C(a,b)，∠C=90°．则点C'的坐标为 ．（结果
用含a，b的式子表示）
课堂小结
1.通过本节课的学习,你学会了哪些知识？2. 简述坐标系中位似变换点的坐标规律？
【参考答案】
新知探究
【问题一】在直角坐标系中，有两点 A(2,1),B(2,0)，以O为位似中
心，相似比为3，将线段AB扩大，观察对应点之间坐标的变化，你发现
了什么？
对应点横、纵坐标是原坐标横、纵坐标的±3倍
【问题二】△ABC 三个顶点坐标分别为 A (2，3)，B (2，1)， C (5，2)，以点 O 为位似中心，相
似比为 2，将△ABC 放大，观察对应顶点坐标的变化，你发现了什么？
把 △ABC 放大后 A，B，C 的对应点为A’(4，6)， B ’ (4，2)， C’ (10，4)；
A" (-4，-6)，B" (-4，-2)，C" (-10，-4).
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比（新图与原图的相似比）为 k，那
么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k，则图象上的对应点的坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky）.【问题三】在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一个图形的位似图形可以作几个？
两个
【问题四】所作位似图形与原图形在原点的同侧，那么对应顶点的坐标的比与其相似比是何关系？如
果所作位似图形与原图形在原点的异侧呢？
当位似图形在原点同侧时，相似比为 k，与它对应的点的坐标为 (kx，ky) ；
当位似图形在原点亦异侧时，相似比为-k，与它对应的点的坐标为 (-kx，-ky).
【问题五】在直角坐标系中，做位似图形时，若相似比 k大于1时，图形如何变化呢？若0<k<1时，
图形如何变化呢？
1）当k＞1时，图形扩大为原来的k倍；
2）当0＜k＜1时，图形缩小为原来的k倍.
【问题六】至此，我们已经学习了四种变换：平移、轴对称、旋转和位似，你能说出它们之间的异同
吗？
平移、轴对称、旋转和位似都是图形变换的基本形式，
它们的本质区别在于：平移、轴对称、旋转三种图形变换是全等变换，
而位似是相似变换.
典例分析
例1 在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为O(0，0)，A(6，0),B(3，6),C(-3，3).以原点
O为位似中心，画出四边形OABC的位似图形，使它与四边形OABC的相似是2:3.
【针对训练】1
1.如图，在直角坐标系中，有两点A(6，3)、B(6，0)．以原点O为位似中心，相似比为 ，在第一象限内
3
把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为（ A ）
A．(2，1) B．(2，0) C．(3，3) D．(3，1)
2. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6）、B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为
1
，把△ABO缩小，则点B的对应点B′的坐标是（ D ）
3
A．（﹣3，﹣1） B．（﹣1，2）
C．（﹣9，1）或（9，﹣1） D．（﹣3，﹣1）或（3，1）
3.在平面直角坐标系中，已知点A(−4,2)，B(−6,−4)，以原点O为位似中心，相似比为2，把△ABO放
大，则点B的对应点B'的坐标（ D ）
A．(−3,−2) B．(−3,−2)或(3,2) C．(−12,−8) D．(−12,−8)或(12,8)
4．如图，在平面直角坐标系中，已知A（1.5，0），D（4.5，0），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中
心．若DE＝7.5，则AB＝___2.5__．
5. 如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为1
，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为（A ）
3
A．（3，2） B．（3，1） C．（2，2） D．（4，2）
感受中考
1．（2023·浙江·统考中考真题）如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为
A(1,2),B(2,1),C(3,2)，现以原点O为位似中心，在第一象限内作与△ABC的位似比为2的位似图形
，则顶点 的坐标是（ C ）
△A'B'C' C'
A．(2,4) B．(4,2) C．(6,4) D．(5,4)
2．（2023·四川遂宁·统考中考真题）在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如
图所示的平面直角坐标系中，格点△ABC、△DEF成位似关系，则位似中心的坐标为（ A ）
A．(−1,0) B．(0,0) C．(0,1) D．(1,0)
3．（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，△ABO的顶点坐标是A(2,6)，B(3,1)，O(0,0)，以点O为位似中心，将 缩小为原来的1，得到 ，则点 的坐标为 (2 )或( 2 ) ．
△ABO △A'B'O A' ,2 − ,−2
3 3 3
4．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△AB'C'的相似比
为1∶2，点A是位似中心，已知点A(2,0)，点C(a,b)，∠C=90°．则点C'的坐标为 ．（结果
用含a，b的式子表示）
解：如图所示，过点C,C'分别作x轴的垂线CD,C'D'垂足分别为D,D'，
∵ △ABC与△AB'C'的相似比为1∶2，点A是位似中心，A(2,0)
∴AD'=2AD
∵C(a,b)， ∴AD=a−2,CD=b,
∴A'D=2a−4,C'D'=2b，
∴
D'(2−2a+4,0)
∴
C' (6−2a,−2b)
