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专题 27.3 位似
1.了解图形的位似,知道利用位似可以将一个图形放大或缩小;
2.在直角坐标系中,探索并了解将一个多边形的顶点坐标(有一个顶点为原点、有一个边在横坐标轴上)分别
扩大或缩小相同倍数时所对应的图形与原图形是位似的
一、位似图形的概念
如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位
似图形，这个点叫做位似中心．
二、位似图形的性质
（1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；
（2）位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；
（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.
注意：
（1）位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未
必能构成位似图形.
（2）位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似
比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.
三、平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同
图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而位似变换之后图形是放大或缩小的，是相似的
四、作位似图形的步骤
第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；
第二步：作位似中心与各关键点连线；
第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；
第四步：顺次连接各对应点.
注意：位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画
法.
C
C
D
D
C B
D C D
O
C
A
D
A A
B A O
A O D
A C
B B B
考点01位似图形概念的辨析
例1．下列说法中正确的有（ ）
①位似图形都相似；②所有的菱形都相似；③两个相似多边形的面积比为 ，则周长的比为 ；④
边数相同的正多边形一定相似；⑤矩形都相似；⑥所有的圆都相似．
A．3个 B．4个 C．1个 D．2个
【答案】A
【分析】本题主要考查了位似图形的定义，相似多边形的性质与判定，对应边成比例，对应角相等的两个
图形相似，位似图形一定是相似图形，据此对各小题分析判断后即可得出答案．
【详解】解：①位似图形都相似，原说法正确，符合题意；
②所有的菱形不一定相似，例如正方形是菱形，但是跟其他内角不是90度的菱形不相似，原说法错误，不
符合题意；
③两个相似多边形的面积比为 ，则两个相似多边形的相似比为 ，则周长的比为 ，原说法错误，
不符合题意；
④边数相同的正多边形一定相似，原说法正确，符合题意；
⑤所有的矩形不一定相似，例如正方形是矩形，但是跟其他邻边不相等的矩形不相似，原说法错误，不符
合题意；
⑥所有的圆都相似，原说法正确，符合题意；∴正确的有3个，
故选A．
变式1-1．下列关于位似图形的表述：①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图
形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，这两
个图形是位似图形；④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于相似比；⑤位似多边形的对应边平
行．其中正确命题的序号是（ ）
A．②③ B．③④ C．②③⑤ D．②③④
【答案】A
【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质，位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且对
应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
注意：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行．根据位似变换的概念和
性质对各个选项进行判断即可．
【详解】解：相似图形不一定是位似图形，位似图形一定是相似图形，①错误，不符合题意；
位似图形一定有位似中心，②正确，符合题意；
如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，这两个图形是位似图形，③
正确，符合题意；
位似图形上对应两点与位似中心的距离之比等于位似比，④错误，不符合题意．
位似多边形的对应边平行，⑤错误，不符合题意．
故选：A．
变式1-2．下列说法正确的是（ ）
A．两个大小不同的正三角形一定是位似图形
B．相似的两个五边形一定是位似图形
C．所有的正方形都是位似图形
D．两个位似图形一定是相似图形
【答案】D
【详解】解：A．错误．两个大小不同的正三角形不一定是位似图形；
B．错误．相似的两个五边形不一定是位似图形；
C．错误．所有的正方形不一定是位似图形；
D．正确．两个位似图形一定是相似图
故选D．．
变式1-3．下列说法中正确的是（ ）A．位似图形可以通过平移而相互得到
B．位似图形的对应边平行且相等
C．位似图形的位似中心不只有一个
D．位似中心到对应点的距离之比都相等
【答案】D
【详解】试题分析：∵位似是相似的特殊形式，
∴位似图形的对应边平行但不一定相等，
位似图形的位似中心只有一个，
平移图形是全等图形，也没有位似中心．
位似中心到对应点的距离之比都相等
∴正确答案为D．
故选D．
考点：位似变换．
考点02位似图形的识别
例2．如图为用杭州亚运会吉祥物莲莲所作的图形改变，这种图形改变属于（ ）
A．平移 B．位似 C．旋转 D．轴对称
【答案】B
【分析】本题考查了位似变换，理解图形的形状相同，大小不相同，属于位似变换，是解答本题的关键．
【详解】解：这种图形改变属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于位似变换．
故选B．
变式2-1．视力表用来测试一个人的视力，如图是视力表的一部分，图中的“ ”均是相似图形，其中
不是位似图形的是（ ）A．①和② B．②和③ C．①和④ D．②和④
【答案】B
【分析】位似图形必须同时满足两个条件：（1）两个图形是相似图形；（2）两个相似图形每组对应点连
线所在的直线都经过同一个点，对应边互相平行（或共线），据此逐项判断即可得．
【详解】解：A、①和②是位似图形，则此项不符合题意；
B、②和③对应点的连线不在同一个点，不是位似图形，则此项符合题意；
C、①和④是位似图形，则此项不符合题意；
D、②和④是位似图形，则此项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了位似图形，熟记定义是解题关键．
变式2-2．如图，下面三组图形中，位似图形有（ ）
A．0组 B．1组 C．2组 D．3组
【答案】C
【分析】根据位似图形的性质逐一进行判断即可得到答案．
【详解】解： 三组图形都是相似图形，第一组和第三组图形的对应点连线所在的直线经过同一点，第二
组图形的对应点连线所在的直线不经过同一点，
第一组和第三组图形是位似图形，第二组不是位似图形，
故选：C．【点睛】本题考查了位似图形，熟练掌握位似图形必须同时满足两个条件：①两个图形是相似图形；②两
个相似图形每组对应点连线所在的直线都经过同一个点，二者缺一不可．
变式2-3．下图所示的四种画法中，能使得 是 位似图形的有（ ）
A．①② B．③④ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
【分析】根据每组对应点所在的直线都经过同一个点，且对应边互相平行，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：∵每组对应点所在的直线都经过同一个点，且对应边互相平行
∴①②③④能使得 是 位似图形，
故选：D．
【点睛】本题考查了位图图形的性质与画法，掌握位似图形的性质是解题的关键．
考点03画已知图象放大（缩小）后的位似图形
例3．如图，在正方形网格中， 的顶点都在格点（小正方形的顶点）上，请仅用无刻度的直尺按要
求完成以下作图．（保留作图痕迹）
(1)如图1，以点C为位似中心作 ，使得 与 位似，且相似比为 ，点D，E分别在边
上．
(2)如图2，在边 上找一点F，使得 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了画位似图形，相似三角形的判定，全等三角形判定与性质，灵活运用所学知识是解题的关键．
（1）取格点M、N并连接 交 于点E，可证点E 为 中点， 与格点交于点D，连接 ，即可
得 ， 即为所求；
（2）取格点H，连接 交 于点F，可证 ，点F即为所求．
【详解】（1）解：取格点M、N并连接 交 于点E， 与格点交于点D，连接 ， 即为
所求；
由题意得： ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
与 位似，且相似比为 ，
（2）解：取格点H，连接 交 于点F，点F即为所求，
由图知： ，
，
，
，
，，
，
，
，
，
．
变式3-1．如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1， 的顶点均为格点．请按要
求在网格中画图，所化图形的顶点均需在格点上．
(1)将 绕点 顺时针旋转 得到 ，请画出 ；
(2)以点 为位似中心，将 在点 异侧按位似比 进行放大得到 ，请画出 ．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】本题主要考查旋转性质和位似比，
（1）根据旋转的性质找到旋转后的点，顺次连接即可；
（2）根据位似比和异侧的要求找到对应的点，顺次连接即可；
【详解】（1）解：以O为原点，根据旋转得到 ；如下图，（2）以O为原点，根据题意得到 ，如图，
变式3-2．如图，在平面直角坐标系中， 各顶点的坐标分别是 ， ， ，
与 关于原点O位似，点A，B，C的对应点分别为点 ， ， ，其中点 的坐标是 ．
(1) 与 的相似比是______；
(2)请在图中画出 ；
(3)若边 上有一点 ，则在边 上与点M对应的点的坐标是______．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】本题主要考查了位似变换：
（1）直接利用点对应点坐标，即可得出相似比；
（2）利用相似比即可得出对应点位置，进而确定答案；（3）直接利用位似图形的性质得出点坐标即可．
【详解】（1）解： 与 的相似比是 ；
故答案为： ；
（2）解：如图所示， 即为所求；
（3）解： 边上有一点 ，在 边上与M点对应点的坐标是 ；
故答案为： ．
变式3-3．连线（画图）题
(1)画出图①对应图形的另一半，使它成为一个轴对称图形．
(2)面出将图②对应图形绕 点顺时针旋转 后的图形．
(3)面出将下图中的圆先向右平移7格再向上平移3格后的图形．
(4)画出图形：将第（3）小题平移后的图形按 的比放大后的图形．
【答案】(1)见详解；
(2)见详解；
(3)见详解；(4)见详解；
【分析】（1）依据轴对称图形的概念及特征，即在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的
部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，以及对称点到对称轴的距离相等；找出对称点，即可作
出对称图形的另一半；
（2）根据图形旋转的方法，先把与点 相连的两条边绕点 顺时针旋转 后，再把第三条边连接起来，
即可得出旋转后的图形；
（3）根据用数对表示位置的方法，第一个数字表示列，第二个数字表示行即可用数对表示出圆心的位置，
再根据平移的特点：将圆先向右平移7格再向上平移3格后的图形，作图即可；
（4）将图形按 放大后，根据圆相似可知圆的半径为3；
【详解】（1）画出图①对应图形的另一半，如下图所示：
（2）将图②对应图形绕 点顺时针旋转 后的图形，如下图所示：
（3）将图中的圆先向右平移7格再向上平移3格后的图形，如下图所示：（4）将第（3）小题平移后的图形按 的比放大后的图形，如下图所示：
【点睛】本题考查的知识点有：作轴对称图形作旋转后的图形、用数对表示点的位置、图形的放大与缩小
的意义等；作对称对称图形、旋转后的图形关键是确定对称点(对应点)的位置：图形的放大与缩小的倍数
是把对应边放大或缩小的倍数．
考点04判断位似中心
例4．如图，点 是等边三角形 的中心， 、 、 分别是 、 、 的中点，则 与
是位似三角形，此时 与 的位似比、位似中心分别是（ ）
A．2、点 B． 、点 C．2、点 D． 、点
【答案】D
【分析】根据三角形中位线定理得到 ，根据位似三角形的定义、位似中心的定义解答．【详解】 点 是等边三角形 的中心， 、 、 分别是 、 、 的中点，
各对应点的连线交于点 ，
位似中心是点 ，
∵ 与 是位似三角形，位似中心到两个对应点的距离之比叫做位似比，
∴ 与 位似比是
故选：D．
【点睛】本题考查的是位似变换，掌握位似中心的定义、相似三角形的性质是解题的关键．
变式4-1．如图， 与 是位似图形，则位似中心为（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】D
【分析】根据位似中心是位似点连线的交点判断即可．
【详解】如图，根据位似中心是位似点连线的交点，可知点P为位似中心，
故选D．
【点睛】本题考查了三角形的位似，清楚位似中心是位似点连线的交点是解题的关键．
变式4-2．图中的两个三角板是位似图形，则位似中心可能是（ ）A．点A B．点 C．点 D．点
【答案】A
【分析】根据位似图形的性质即可判断；
【详解】解：根据位似图形的位似中心在对应点的连接线的交点处；
故选：A．
【点睛】本题主要考查位似图形的位似中心判断，掌握位似图形的性质是解题的关键．
变式4-3．下列图形中位似中心在图形上的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接利用位似图形的性质分别得出位似中心位置即可．
【详解】A、 ，位似中点在图形内部，不合题意；
B、 ，位似中点在图形上，符合题意；
C、 ，位似中点在图形外部，不合题意；
D、 ，位似中点在图形外部，不合题意；故选：B．
【点睛】本题考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．
考点05画相似中心
例5．如图，已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若
与 是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是 ．
【答案】
【分析】用到的知识点为：位似中心为位似图形上任意两对对应点连线的交点．连接任意两对对应点，看
连线的交点为那一点即为位似中心．
【详解】解：连接 ， ，易得交点为 ．
故答案为： ．
变式5-1．如图，已知图中的每个小方格都是边长为工的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点，若与 是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标为 ； 的外心在这个三角形
（内、外、三角形边上），外心坐标是
【答案】 ；外；
【分析】本题考查了求位似中心以及三角形的外心位置；连接任意两对对应点，看连线的交点为那一点即
为位似中心，外心坐标为 的垂直平分线的交点．
【详解】解：连接 ， ，交点即位似中心的坐标是 ， 的外心在这个三角形外，外心坐
标为 的垂直平分线的交点，坐标为
故答案为： ；外； ．
变式5-2．已知图中的每个小方格都是边长为 的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若 与
是位似图形，且顶点都在格点上．(1)画出位似中心 ，并写出它的坐标________
(2) 与 的面积之比是________．
【答案】(1)图见解析；
(2)
【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线所在
直线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
（1）连接 、 ，两线相交于点 ，根据位似中心的概念、结合图形解答即可；
（2）根据 ， ，即可得出相似比和面积比．
【详解】（1）解：如图，位似中心的坐标为： ．（2）解：∵ ， ，
∴ 与 的位似比为： ，
与 的面积比为： ．
故答案为： ．
变式5-3．如图，已知 ， ， ．
(1)求线段 的长；
(2)把A、 、 三点的横坐标，纵坐标都乘2，得到 ， ， 的坐标，画出 ，并求 的长；
(3) 与 是位似图形吗？若是，请写出位似中心的坐标，并求出位似比．
【答案】(1)
(2)见解析，
(3) 与 是位似图形，位似中心 ，位似比为
【分析】（1）根据两点间距离公式求解即可；
（2）先确定点到 ， ， 的坐标，再画出图形，然后运用两点间距离公式求解即可；
（3）先根据题意画出 ，再根据位似、位似中心、位似比的概念解答即可．
【详解】（1）解： ．
（2）解：由题意得： ， ，故 如图所示：
由题意得： ， ，
．
（3）解： 把 、 、 三点的横坐标，纵坐标都乘2，得到 ， ， 的坐标
与 是位似图形，位似中心 ．
位似比为： ．
【点睛】本题主要考查了两点间距离公式、位似作图、位似中心、位似的定义等知识点，掌握位似的相关
概念是解答本题的关键．
考点06求位似图形的相似比、周长比或面积比
例6．如图， 与 位似，点O为位似中心，若 ， 的周长为4，则 的周长为
．
【答案】2
【分析】本题考查了相似三角形的性质，位似三角形的性质，解题关键是“相似三角形周长之比等相似比”． 由 与 位似可得出 与 相似，又已知位似比，相似比就等于位似比就等于相
似三角形周长比．
【详解】 与 位似，
，
，
，
的周长为4，
的周长为2．
故答案为：2．
变式6-1．如图，以点A为位似中心，把 按相似比 放大得到 ，若 的面积为6，则
的面积为 ．
【答案】36
【分析】本题考查了位似变换的性质，三角形面积计算；由位似变化的得 和 ，再由
即可求解；掌握位似变换的性质“面积比等于相似比的平方”，将所求三角形
的面积化为 是解题的关键．
【详解】解： 按相似比 放大得到 ，
，
，，
，
；
故答案为： ．
变式6-2．已知正方形 的边长为4，点P是该正方形边上一点，以P为位似中心，作正方形
正方形ABCD，相似比为 ，则点 与点B的最大距离为 ；连接 ，若 的
周长为 ，则 的面积为 ．
【答案】 /0.5
【分析】本题考查了位似，正确作出位似图形，理解位似相似性质是解题的关键，
①根据对角线最长，当位似中心P与点C重合时，点 最远，此时与点B的距离也是最大的，根据勾股定
理计算即可．
②根据正方形 的边长为4，点P是该正方形边上一点，以P为位似中心，作正方形 正方
A B C D
形ABCD，相似比为 ，得到正方形 1 1 1 1得边长为2，得到 ，设 ，则 ，根
据 ，列式计算即可．
【详解】如图，位似中心P与点C重合时，点 最远，此时与点B的距离也是最大的，∵正方形 的边长为4，点P是该正方形边上一点，以P为位似中心，作正方形 正方形
ABCD，相似比为 ，
A B C D
1 1 1 1
∴正方形 的边长为2，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
∵正方形 的边长为4，点P是该正方形边上一点，以P为位似中心，作正方形 正方形
ABCD，相似比为 ，
A B C D
1 1 1 1
∴正方形 的边长为2，
∴ ，
设 ，则 ，
∵ 的周长为 ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
解得 ，
∴ 的面积为 ．
故答案为： ．
变式6-3．如图，在平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别是 ， ， ．
(1)以原点 为位似中心，在第四象限画一个 ，使 与 的相似比为 ；点 的坐标为
_______；
(2)若 的周长是 ，则 的周长为______ ．
【答案】(1)画图见解析，
(2)
【分析】本题主要考查了在坐标系中画位似图形，求位似图形对应点坐标，位似图形的性质，正确找到对
应点位置从而画出对应的位似图形是解题的关键．
（1）把A、B、C的横纵坐标都分别乘以 得到 的横纵坐标，再描出 ，并顺次连接
即可；
（2）根据位似图形的周长之比等于位似比进行求解即可．【详解】（1）解：如图所示， 即为所求，
∴点 的坐标为
（2）解：∵ 与 关于原点位似，且相似比为 ， 的周长是 ，
∴ 的周长为 ，
故答案为： ．
考点07求位似图形的对应坐标
例7．在平面直角坐标系中，已知点 ， ，以原点O为位似中心，相似比为 ，把
缩小，则点A的对应点 的坐标是（ ）
A． B． 或
C． D． 或
【答案】D
【分析】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，
那么位似图形对应点的坐标的比等于k或 根据关于以原点为位似中心的点的坐标特征，把点A的横纵坐
标乘以 或 得到其对应点 的坐标．
【详解】解：∵以原点O为位似中心，相似比为 ，把 缩小，而点A坐标为 ，
∴点A的对应点 的坐标是 或 ．
故选：D．
变式7-1．如图，在 中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是 ．以点C为位似中心，
在x轴的下方作 的位似图形 ，并把 的边长扩大到原来的2倍，设点B的对应点 的横
坐标是b，则点B的横坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似
比为 ，那么位似图形对应点的坐标的比等于 或 ．
以点 为坐标原点建立新的坐标系，表示出点 的横坐标，根据位似变换的性质计算，得到答案．
【详解】解：以点 为坐标原点建立新的坐标系，
点 的坐标是 ，
点 的横坐标为： ，
以点 为位似中心，在 轴的下方作 的位似图形 ，
则点 在以 为坐标原点的坐标系中的横坐标为： ，
点 在原坐标系中的横坐标为： ，
故选：D．
变式7-2．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角 是等腰直角 以原点 为位似中心的位似图
形，且位似比为 ： ，点 ， ， 在 ，则 点坐标为 ．【答案】
【分析】先把 点和 点的横纵坐标都乘以 得到 ， ，则 ，接着证明 ，
所以 ，然后把 点的横纵坐标都乘以 得到点 的坐标．
【详解】解： 等腰直角 是等腰直角 以原点 为位似中心的位似图形，且位似比为 ： ，
而点 ， ，
， ，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为 ，
那么位似图形对应点的坐标的比等于 或 也考查了等腰直角三角形的性质．
变式7-3．如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点的坐标分别为 ， ， ．(1)画出与 关于 轴对称的 ；
(2)以原点 为位似中心，在第三象限内画一个 ，使它与 的相似比为 ，并写出点 的坐
标．
【答案】(1)作图见解析；
(2)作图见解析，点 的坐标为 ．
【分析】（ ）根据关于 轴对称的点的坐标得到的坐标 ， ， ，然后描点，连接即
可；
（ ）把 、 、 的坐标都乘以 得到的坐标 ， ， ，然后描点，连接即可；
本题主要考查了位似变换、轴对称变换，解题的关键是注意位似中心及相似比、对称轴．
【详解】（1）如图， ， ， 关于 轴对称的点的坐标得到的坐标 ， ，
，然后描点，连接∴ 即为所求；
（2） ， ， 的坐标都乘以 得到的坐标 ， ， ，然后描点，
连接，
∴ 即为所求， ．
基础过关练1．如图所示，在 中， 、 两个顶点在 轴的上方，点 的坐标是 ．以点 为位似中心，在
轴的下方作 的位似图形 ，并把 的边长放大到原来的 倍，设点 的对应点 的横坐
标是 ，则点 的横坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了位似变换，坐标与图形的性质，根据位似比的定义，利用两点间的横坐标的距离等于
对应边的比，列出方程是解题的关键．设点 的横坐标为 ，然后表示出 、 的横坐标的距离，再根
据位似比列式计算即可得解．
【详解】设点 的横坐标为 ，则 、 间的横坐标的长度为 ， 、 间的横坐标的长度为 ．
放大到原来的 倍得到 ，
，
解得： ．
故选：B．
2．如图，以点O为位似中心，将 缩小后得到 ，若 ，则 与 面积的比
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】本题主要考查相似三角形的性质及位似，熟练掌握相似三角形的性质及位似是解题的关键．根据
位似的性质可知 ，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可求解．
【详解】解：由点O为位似中心，将 缩小后得到 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 与 的面积比为 ；
故选：A．
3．如图， 和 是以 为位似中心的位似图形，若 ，则 的长度为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了位似图形的性质，由 和 是以 为位似中心的位似图形，得到
，利用对应线段成比例即可求解，掌握位似图形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵ 和 是以 为位似中心的位似图形，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，故选： ．
4．2020年是紫禁城建成600年暨故宫博物院成立95周年，在此之前有多个国家曾发行过紫禁城元素的邮
品．图1所示的为摩纳哥发行的小型张中的图案，以敞开的紫禁城大门和大门内的石狮和太和殿作为邮票
和小型张的边饰，如果标记出图1中大门的门框并画出相关的几何图形（图2），我们发现设计师巧妙地
使用了数学元素（忽略误差），图2中的四边形 与四边形 是位似图形，点O是位似中心，
点 是线段 的中点，那么以下结论正确的是）
图1 图2
A．四边形 与四边形 的相似比为
B．四边形 与四边形 的相似比为
C．四边形 与四边形 的周长比为
D．四边形 与四边形 的面积比为
【答案】B
【分析】本题考查了位似变换，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边
互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．两个位似图形必须是相似形；对应
点的连线都经过同一点，对应边平行或共线，先利用位似的性质得到 然后根据相似的性质进
行判断．
【详解】解：∵四边形 与四边形 是位似图形，点O是位似中心，点A是线段 的中点，
∴ ,
∴ ，
∴四边形 与四边形 的相似比为 ，周长的比为 ，面积比为 ．
故选∶B．
5．线段 两个端点坐标分别为 ， ，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段 缩小为
原来的 后得线段 （A与C对应），则点D的坐标为 ．
【答案】【分析】本题考查了位似，根据位似比计算，把坐标都缩小 即可．
【详解】如图，线段 的对应线段为 ，位似比为 ，且 ，
故 ．
故答案为 ．
6．如图，四边形 与四边形 位似，位似中心点是点 ， ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查位似变换，解题的关键掌握相似多边形的周长比等于相似比，据此解答即可．
【详解】解：∵四边形 与四边形 位似， ，
∴四边形 四边形 相似，
∴ ．故答案为： ．
7．如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O是位似中心，若OA：OD=1：3，△ABC的面积为3，则
△DEF的面积为 ．
【答案】27
【详解】∵△ABC与△DEF是位似图形，∴△ABC∽△DEF，AB∥DE，
∴△OAB∽△ODE，∴ ，∴ = 2= ．
∵△ABC的面积为3，
∴△DEF的面积为27．
8．（XDRzkgssxzw952）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△AB'C'的相似比为1：2，点A是位似中
心．已知点A（2，0），点C（a，b），∠C=90°，则点C'的坐标为 （结果用含a，b的式子表示）．
【答案】（6-2a，-2b）
【详解】如图，过点C作CM⊥AB于点M，过点C'N⊥AB'于点N，
则∠ANC'=∠AMC=90°．
∵△ABC与△AB'C'的相似比为1∶2，∴ ．
∵∠NAC'=∠CAM，∴△ACM∽△AC'N，∴ ．
∵点A（2，0），点C（a，b），∴OA=2，OM=a，CM=b，∴AM=a-2，∴ ，∴AN=2a-4，C'N=2b，
∴ON=AN-OA=2a-6，
∴点C'的坐标为（6-2a，-2b）．
9．如图，图中小方格都是边长为1的正方形， 与 是关于点O为位似中心的位似图形，它们
的顶点都在小正方形顶点上．
(1)画出位似中心点O；
(2) 与 的位似比为______；
(3)以点O为位似中心，再画一个 使它与 的位似比等于 ．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)见解析
【分析】本题考查了作图--位似变换，画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位
似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，
得到放大或缩小的图形．
（1）连接对应点，交点即为位似中心；
（2）求出对应线段长的比即为位似比；
（3）对应线段长为 作图即可．
【详解】（1）解：如图，连接 ，并延长交于点O，点O为所求；
（2）解： 与 的位似比为 ．
故答案为 ．
（3）解：由题意得： ，，
，
同理，找到 ，
如图所示： 为所求．
10．在 的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点 均在格点上．请按要求在网格中画
图，所画图形的顶点均需在格点上．
(1)在下图中画出 ．使得 与 关于点 位似，相似比为2；
(2)在下图中画出 ，使得 ，且 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析【分析】本题主要考查了作图-相似变换，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）根据位似图形的性质即可画出 ；
（2）根据相似三角形的判定与性质画出 ，满足 ，使 ， 即可．
【详解】（1）解： 如图所示，
；
（2）解： 如图所示，
．
11．如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，五边形 的五个顶点坐标分别为 ，
， ， ， ．
(1)以原点O为位似中心，在原点O的同侧作五边形 的位似图形 ，使它与五边形
的相似比为 ．
(2)写出 的坐标______．(3)已知五边形 的面积为 ，则五边形 的面积为______．
【答案】(1)图见解析
(2)
(3)54
【分析】本题主要考查了画位似图形，位似图形的性质，求位似图形对应点坐标，熟知位似图形的性质是
解题的关键；
（1）根据位似比为 ，把A、B、C、D的横纵坐标都乘以2得到 的坐标，再顺次连接
即可；
（2）根据（1）所求，写出 的坐标即可；
（3）根据位似图形面积之比等于位似比的平方进行求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，五边形 即为所求；
（2）解：由题意得，点 的坐标为 ，
故答案为：
（3）解：∵五边形 与五边形 关于原点位似，且位似比为 ，五边形 的面积为
，∴五边形 的面积为 ，
故答案为： ．
12．如图，在正方形网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和 的顶点均为小正方形的顶点．
(1)以O为位似中心，在网格图中作 ，使 和 位似，且位似比为1：3．
(2)证明 和 相似．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据位似图形的特点作图即可；
（2）利用勾股定理求出 和 的各边长，问题即可得解．
【详解】（1）解：如图 即为所求．
（2）证明：小正方形边长为1，
∴ ， ， ， ， ，
，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查作图−位似变换、相似三角形的判定，勾股定理等知识点，理解题意、灵活运用所学知
识是解答本题的关键．
能力提升练1．如图，在平面直角坐标系中，已知 ， 与 位似，原点O是位似中心，且 ，则
点E的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了坐标与位似图形，根据题意确定位似图形的相似比是解题的关键．根据位似图形的概
念易得 与 的相似比为 ，根据位似变换的性质计算，即可得到答案．
【详解】解：根据题意， 与 位似，原点O是位似中心，且 ，
即 与 的相似比为 ，
又∵ ，
∴ 点的坐标为 ，即 点的坐标为 ．
故选：D．
2．如图，正方形 和正方形 是位似图形（其中点 ， ， ， 的对应点分别是点 ， ，
， ），点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，则这两个正方形的位似中心的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查位似变换，坐标与图形性质，相似三角形的判定与性质，连接 并延长与 轴交于点 ，根据位似变换的性质，点 即为位似中心，然后设 ，表示出 、 ，再根据 和 相似，
利用相似三角形对应边成比例列式求出 ，再根据点 在 轴负半轴上写出坐标即可．根据对应点的连线
所在的直线经过位似中心是解题的关键．
【详解】解：如图，连接 并延长与 轴交于点 ，则点 即为位似中心，设 ，
∵点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
又∵正方形 和正方形 的边 、 都与 轴垂直，
∴ ， ， ， ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解且符合题意，
∵点 在 轴负半轴上，
∴点 ．
故选：A．
3．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、O、D都在网格的格点上，点O是 和
的位似中心， 平分 交 于点E， 平分 交 于点F，则下列说法正确的是
（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边
互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．位似图形必须是相似形，对应点的
连线都经过同一点；对应边平行或共线．先利用位似的性质得到 ，再证 ，然后
根据相似三角形的性质求解．
【详解】解： 点 是 和 的位似中心，
，
， ，
∴ ，选项B错误；
∵ 平分 交 于点E， 平分 交 于点F，
，
，
∵ ，
，
， ，
∴ ， ，选项A正确，选项C、D错误．
故选：A．
4．如图， 中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是 ，以点C为位似中心，在x轴的下
方作 的位似图形 位似比为 ，设点B的坐标是 ，则点B的对应点 的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是位似图形的性质，相似三角形的判定与性质，先证明 ，再利用相似
三角形的性质求解坐标即可，熟记位似图形的性质是解本题的关键．【详解】解：过点B作 轴于点D， 轴于点E，
则 ，
∴ ，
∴ ，
∵点C的坐标是 ，
∴ ，
∵点B的坐标是 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴点 的 ．
故答案为： ．
5．如图是标示了 、 、 顶点坐标的某三角形广场，现要将该广场进行扩建，以点 为位似中心，使得
扩建前的 与扩建后的 位似．若已知点 的对应点 的坐标为 ，则
（1） 与 的相似比为 ；（2）点 的对应点 的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查位似变换，坐标与图形的性质，
（1）先分别确定点 与点 、点 与点 横坐标的距离，即可得出结论；
（2）设点 ，然后分别表示出 、 的横坐标、纵坐标的距离，再根据位似变换的概念列式计
算；
根据位似变换的定义，利用两点间的横（纵）坐标的距离之比等于对应边的比列出方程是解题的关键．
【详解】解：（1）∵以点 为位似中心，使得扩建前的 与扩建后的 位似，且 、
、 、
∴点 与点 横坐标的距离为： ，
点 与点 横坐标的距离为： ，
，
∴ 与 的相似比为 ，
故答案为： ；
（2）设点 ，
∴点 与点 横坐标的距离为： ，点 与点 横坐标的距离为： ，
点 与点 纵坐标的距离为： ，点 与点 横坐标的距离为： ，
∵ 与 的相似比为 ，
∴ ， ，
解得： ， ，
经检验： ， 是原方程的解且符合题意，
∴ ，
故答案为： ．6．如图，在平面直角坐标系中，正方形 与正方形 是以原点O为位似中心的位似图形，且位似
比为 ，点A，B，E在x轴上，若A，B的横坐标分别为1， ，则 的长为 ．
【答案】 /
【分析】先根据A，B的横坐标求得 的长，进而求得 的长，再根据位似变换的性质得到
且 ，根据相似三角形的性质求出 即可．
【详解】解：∵A，B的横坐标分别为1，
∴ ，
∵正方形 ，正方形
∴ ，
∵正方形 与正方形 是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为1∶3，
∴ ，且 ，
∴ ，即 ，解得 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是位似变换、坐标与图形性质等知识点，掌握如果两个图形不仅是相似图形，而且对
应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形是解题的关键．7．如图，已知 的三个顶点的坐标分别为 、 、 ．
(1)点A关于x轴对称的点 的坐标为______；
(2)以C为位似中心，在x轴下方作 的位似图形 ，使它与 的相似比为2：1，请画出图形，
并直接写出 的面积为______；
(3)在y轴上找一点M，使 的值最小，此时点M的坐标为______．
【答案】(1)
(2)见解析，12
(3)M的坐标是
【分析】本题主要考查作图-位似变换，轴对称变换，一次函数解析式等知识：
（1）根据关于x轴对称点的坐标，横坐标不变，纵坐标改变符号得出答案即可；
（2）延长 到 ，使 ，延长 到 ，使 ，点 的对应点为C，然后连接
即可， 的面积 底边×高．
（3）作出点A关于y轴的对称点，连接 交y轴于点M，则点M即为所求作的点，求直线 的一次函数解析式，M在y轴上，则代入 ，求出点M的坐标．
【详解】（1）∵点A的坐标为 ，
∴点A关于x轴对称的点 的横坐标为 ，纵坐标为 ，
∴点A关于x轴对称的点 的坐标为 ，
故答案为： ；
（2）如图所示： 为所求，
∵ 、 ，
∴ ,
∴ ,
∴ 的面积 ,
故答案为：12；
（3）∵
∴点A关于y轴的对称点 的为 ，
连接 ，交y轴于点M，则点M即为所求作的点，设直线 的解析式为 ，
将 ， 代入解析式中，得：
，
解得 ，
则一次函数解析式为 ，．
当 时， ，
∴点M的坐标为 ．
故答案为： ．
8．如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点的坐标分别为 ．
(1)以原点O为位似中心，在y轴左侧画一个 ，使它与 位似，且相似比为 ；
(2)请写出点A的对应点 的坐标__________；
(3)若以点A，B，O，P为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出满足条件的点P的坐标．【答案】(1)见解析
(2)
(3) 或 或
【分析】本题考查了位似图形的坐标系中的作图，平移法，平行四边形的判定和性质，
（1）根据位似比，结合位置要求画图形即可．
（2）根据位似比，结合位置，确定位似点的坐标为 或 ，计算即可．
（3）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，利用平移法求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，似比为 ， ，
故位似点的坐标为 ，画图如下：
，
则 即为所求．
（2）解：根据(1)得 ，
故答案为： ．
（3）解：根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，求解如下：
∵ ，
当点O平移得到点B时，即实现了向右平移1个单位，再向下平移2个单位的平移变换，
∴ 向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到点P，此时四边形是平行四边形，
且 ，故坐标为 ；
当点B平移得到点O时，即实现了向左平移1个单位，再向上平移2个单位的平移变换，
∴ 向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到点P，此时四边形是平行四边形，
且 ，
故坐标为 ；
当点A平移得到点B时，即实现了向左平移1个单位，再向下平移3个单位的平移变换，
∴ 向左平移1个单位，再向下平移3个单位得到点P，此时四边形是平行四边形，
且 ，
故坐标为 ；
当点B平移得到点A时，即实现了向右平移1个单位，再向上平移3个单位的平移变换，
∴ 向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点P，此时四边形是平行四边形，
且 ，
故坐标为 ；
综上所述，点P的坐标为 或 或 ．
