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第 1 节 坐标系与参数方程
第一课时 坐标系
考试要求 1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图
形的变化情况；2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位
置，能进行极坐标和直角坐标的互化；3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极
坐标方程.
1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换
设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)
对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换.
2.极坐标系与点的极坐标
(1)极坐标系：如图所示，在平面内取一个定点 O(极点)，自极点O引一条射线
Ox(极轴)；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取
逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系.
(2)极坐标
①极径：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ.
②极角：以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角∠xOM叫做点M的极角，记为
θ.
③极坐标：有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ).
3.极坐标与直角坐标的互化
点M 直角坐标(x，y) 极坐标(ρ，θ)
ρ2＝ x 2 ＋ y 2 ，
互化公式
tan θ＝ ( x ≠ 0)
4.常见曲线的极坐标方程曲线 图形 极坐标方程
圆心在极点，半径为r的圆 ρ ＝ r (0 ≤ θ ＜ 2π)
圆心为(r，0)，半径为r的
ρ ＝ 2 r cos __θ
圆
圆心为，半径为r的圆 ρ ＝ 2 r sin __ θ (0 ≤ θ ＜ π)
①θ＝α(ρ∈R)或 θ＝π＋
α(ρ∈R)
过极点，倾斜角为α的直线
②θ＝α(ρ≥0)和
θ＝π＋α(ρ≥0)
过点(a，0)，与极轴垂直的
ρ cos __ θ ＝ a
直线
过点，与极轴平行的直线 ρ sin __ θ ＝ a (0 ＜ θ ＜ π)
1.极坐标的四要素：(1)极点；(2)极轴；(3)长度单位；(4)角度单位和它的正方向，
四者缺一不可.
2.由极径的意义知ρ≥0，当极角θ的取值范围是[0，2π)时，平面上的点(除去极
点)与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应关系，约定极点的极坐标是极径 ρ＝0，极
角可取任意角.
3.曲线的极坐标方程与直角坐标方程互化：对于简单的可以直接代入公式 ρcos θ
＝x，ρsin θ＝y，ρ2＝x2＋y2，但有时需要作适当的变化，如将式子的两边同时平
方，两边同乘以ρ等.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标
也是一一对应关系.( )
(2)若点P的直角坐标为(1，－)，则点P的一个极坐标是.( )(3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的.( )
(4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线.( )
答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×
解析 (1)一般认为ρ≥0，当θ∈[0，2π)时，平面上的点(除去极点)才与极坐标建
立一一对应关系；(4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条射线.
2.(易错题)在极坐标系中，已知点P，则过点P且平行于极轴的直线方程是( )
A.ρsin θ＝1 B.ρsin θ＝
C.ρcos θ＝1 D.ρcos θ＝
答案 A
解析 先将极坐标化成直角坐标表示，P转化为直角坐标为x＝ρcos θ＝
2cos ＝，y＝ρsin θ＝2sin ＝1，
即(，1)，过点(，1)且平行于x轴的直线为y＝1，
再化为极坐标为ρsin θ＝1.
3.若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段
y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为( )
A.ρ＝，0≤θ≤
B.ρ＝，0≤θ≤
C.ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤
D.ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤
答案 A
解析 ∵y＝1－x(0≤x≤1)，
∴ρsin θ＝1－ρcos θ(0≤ρcos θ≤1)，
∴ρ＝.
4.在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( )
A. B.
C.(1，0) D.(1，π)
答案 B
解析 由ρ＝－2sin θ得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x2＋y2＝－2y，
即x2＋(y＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为.
5.(易错题)在直角坐标系 xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线 C 的极坐标方程为 ρ＝2sin θ，则曲线 C 的直角坐标方程为
________.
答案 x2＋(y－1)2＝1
解析 由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，
所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，即x2＋(y－1)2＝1.
6.(2018·北京卷)在极坐标系中，直线 ρcos θ＋ρsin θ＝a(a>0)与圆ρ＝2cos θ相切，
则a＝________.
答案 1＋
解析 直线的方程为x＋y－a＝0，圆的方程为(x－1)2＋y2＝1，
所以圆心(1，0)，半径r＝1，
由于直线与圆相切，
故圆心到直线的距离等于半径，即＝1，
又a>0，所以a＝1＋.
考点一 平面直角坐标系中的伸缩变换
1.曲线C：x2＋y2＝1经过伸缩变换得到曲线C′，则曲线C′的方程为________.
答案 ＋y′2＝1
解析 因为所以
代入曲线C的方程得C′：＋y′2＝1.
2.曲线 C 经过伸缩变换后所得曲线的方程为 x′2＋y′2＝1，则曲线 C 的方程为
________.
答案 4x2＋9y2＝1
解析 根据题意，曲线C经过伸缩变换后所得曲线的方程为x′2＋y′2＝1，则(2x)2
＋(3y)2＝1，即4x2＋9y2＝1，所以曲线C的方程为4x2＋9y2＝1.
3.在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：则点A经过变换后所得的点A′的
坐标为________.
答案 (1，－1)
解析 设A′(x′，y′)，由伸缩变换φ：
得到由于点A的坐标为，
于是x′＝3×＝1，y′＝×(－2)＝－1，
所以点A′的坐标为(1，－1).
4.双曲线C：x2－＝1经过伸缩变换φ：后所得曲线C′的焦点坐标为________.
答案 (－5，0)，(5，0)
解析 设曲线C′上任意一点P′(x′，y′)，
将代入x2－＝1，得－＝1，
化简得－＝1，即为曲线C′的方程，知C′仍是双曲线，其焦点坐标分别为(－5，
0)，(5，0).
感悟提升 1.平面上的曲线y＝f(x)在变换φ：的作用下的变换方程的求法是将代
入y＝f(x)，得＝f，整理之后得到y′＝h(x′)，即为所求变换之后的方程.
2.解答该类问题应明确两点：一是明确平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义
与作用；二是明确变换前的点 P(x，y)与变换后的点P′(x′，y′)的坐标关系，用方
程思想求解.
考点二 极坐标与直角坐标的互化
例1 (1)极坐标方程ρ2cos θ－ρ＝0转化成直角坐标方程为( )
A.x2＋y2＝0或y＝1
B.x＝1
C.x2＋y2＝0或x＝1
D.y＝1
(2)点M的直角坐标是(－1，)，则点M的极坐标为( )
A.
B.
C.
D.(k∈Z)
答案 (1)C (2)C
解析 (1)ρ2cos θ－ρ＝0 ρ＝＝0，或ρcos θ＝1，即x＝1.
(2)∵ρ＝＝2，
⇒
tan θ＝＝－.
又点M在第二象限，∴θ＝，∴点M的极坐标为.
感悟提升 1.进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式；x＝
ρcos θ，y＝ρsin θ，ρ2＝x2＋y2，tan θ＝(x≠0).
2.进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，要注意 ρ，θ的取值范围及其影响；
要善于对方程进行合理变形，并重视公式的逆向与变形使用；要灵活运用代入法
和平方法等技巧.
训练1 在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线
C的极坐标方程为ρcos＝1，M，N分别为C与x轴，y轴的交点.
(1)求C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；
(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程.
解 (1)由ρcos＝1得，
ρ＝1.
从而C的直角坐标方程为x＋y＝1，
即x＋y＝2.
当θ＝0时，ρ＝2，所以M(2，0).
当θ＝时，ρ＝，所以N.
(2)由(1)知M点的直角坐标为(2，0)，N点的直角坐标为.
所以点P的直角坐标为，
则点P的极坐标为，
所以直线OP的极坐标方程为θ＝(ρ∈R).
考点三 求曲线的极坐标方程
例2 (2022·西安五校联考)在直角坐标系xOy中，曲线C ：(x－1)2＋y2＝1(y≥0)，
1
如图，将C 分别绕原点O逆时针旋转，π，得到曲线C ，C ，C ，以坐标原点为
1 2 3 4
极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)分别写出曲线C ，C ，C ，C 的极坐标方程；
1 2 3 4
(2)直线l：θ＝(ρ∈R)交曲线C ，C 分别于A，C两点，直线l′：θ＝(ρ∈R)交曲线
1 3
C ，C 分别于B，D两点，求四边形ABCD的面积.
2 4
解 (1)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C ，得C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，
1 1
设C 上的点(ρ ，θ )旋转得到曲线C 上的点(ρ，θ)，则ρ ＝ρ，θ ＝θ－，
1 0 0 2 0 0
代入C 的方程得ρ＝2cos＝2sin θ，
1
所以C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，
2
同理，C 的极坐标方程为ρ＝－2cos θ，
3
C 的极坐标方程为ρ＝－2sin θ.
4
(2)结合图形的对称性可知S ＝4S ，
四边形ABCD △AOB
将θ＝代入C 得|OA|＝ρ ＝1，
1 A
将θ＝代入C 得|OB|＝ρ ＝，
2 B
所以S ＝4S ＝4×·|OA|·|OB|·sin ＝3.
四边形ABCD △AOB
感悟提升 求曲线的极坐标方程的步骤
(1)建立适当的极坐标系，设P(ρ，θ)是曲线上任意一点.
(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径 ρ和极角θ之间的关
系式.
(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程.
训练2 在极坐标系中，O为极点，点M(ρ ，θ )(ρ >0)在曲线C：ρ＝4sin θ上，直
0 0 0
线l过点A(4，0)且与OM垂直，垂足为P.
(1)当θ ＝时，求ρ 及l的极坐标方程；
0 0
(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.
解 (1)因为M(ρ ，θ )在曲线C上，
0 0当θ ＝时，ρ ＝4sin ＝2.
0 0
由已知得|OP|＝|OA|cos ＝2.
设Q(ρ，θ)为l上除P外的任意一点.
在Rt△OPQ中，ρcos＝|OP|＝2.
经检验，点P在曲线ρcos＝2上，
所以，l的极坐标方程为ρcos＝2.
(2)设P(ρ，θ)，在Rt△OAP中，|OP|＝|OA|cos θ＝4cos θ，即ρ＝4cos θ.
因为P在线段OM上，且AP⊥OM，
所以θ的取值范围是.
所以，P点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cos θ，θ∈.
考点四 极坐标方程的应用
例3 已知曲线C：(α为参数)，设曲线C经过伸缩变换得到曲线C′，以直角坐标
中的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线C′的极坐标方程；
(2)若A，B是曲线C′上的两个动点，且OA⊥OB，求|OA|2＋|OB|2的最小值.
解 (1)曲线C：(α为参数)，转换为普通方程为x2＋y2＝4，曲线C经过伸缩变换
得到曲线C′：＋y2＝1，极坐标方程为ρ＝.
(2)设A(ρ ，θ)，B，
1
所以|OA|2＋|OB|2＝ρ＋ρ
＝＋
＝
＝
＝
＝≥.
当sin 2θ＝±1时，|OA|2＋|OB|2取得最小值.
感悟提升 1.若把直角坐标化为极坐标求极角 θ时，应注意判断点P所在的象限
(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ.利用两种坐标的互化，可以把不熟
悉的问题转化为熟悉的问题.
2.在极坐标系中，如果P (ρ ，θ )，P (ρ ，θ )，那么两点间的距离公式
1 1 1 2 2 2
|P P |＝.
1 2两种特殊情况：(1)当θ ＝θ ＋2kπ，k∈Z时，|P P |＝|ρ －ρ |；
1 2 1 2 1 2
(2)当θ ＝θ ＋π＋2kπ，k∈Z，|P P |＝|ρ ＋ρ |.
1 2 1 2 1 2
3.由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，
可先转化为直角坐标方程，然后求解.
训练3 (2021·昆明诊断)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数).以
坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C的极坐标方程为ρ2
＝.
(1)求C和l的直角坐标方程；
(2)已知P为曲线C上的一个动点，求线段OP的中点M到直线l的最大距离.
解 (1)由ρ2＝，
得ρ2＋3ρ2sin2θ＝16，
则曲线C的直角坐标方程为x2＋4y2＝16，
即＋＝1.
直线l的直角坐标方程为x－y－9＝0.
(2)可知曲线C的参数方程为(α为参数)，
设P(4cos α，2sin α)，α∈[0，2π)，
则M(2cos α，sin α)到直线l：x－y－9＝0的距离为
d＝
＝≤，
所以线段OP的中点M到直线l的最大距离为.
1.将直角坐标方程与极坐标方程互化：
(1)y2＝4x；
(2)y2＋x2－2x－1＝0；
(3)θ＝(ρ∈R)；
(4)ρcos2 ＝1；
(5)ρ2cos 2θ＝4；
(6)ρ＝.解 (1)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入y2＝4x，得(ρsin θ)2＝4ρcos θ.化简得ρsin2θ＝
4cos θ.
(2)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入y2＋x2－2x－1＝0，得(ρsin θ)2＋(ρcos θ)2－2ρcos θ
－1＝0，化简得ρ2－2ρcos θ－1＝0.
(3)当x≠0时，由于tan θ＝，故tan ＝＝，化简得y＝x(x≠0)；
当x＝0时，y＝0.显然(0，0)在y＝x上，故θ＝(ρ∈R)的直角坐标方程为
y＝x.
(4)因为ρcos2＝1，所以ρ·＝1，而ρ＋ρcos θ＝2，所以＋x＝2.化简得y2＝－4(x－
1).
(5)因为ρ2cos 2θ＝4，
所以ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝4，即x2－y2＝4.
(6)因为ρ＝，所以2ρ－ρcos θ＝1，
因此2－x＝1，化简得3x2＋4y2－2x－1＝0.
2.在极坐标系中，已知两点A，B，直线l的方程为ρsin＝3.
(1)求A，B两点间的距离；
(2)求点B到直线l的距离.
解 (1)设极点为O.在△OAB中，A，B，
由余弦定理，得
|AB|＝
＝.
(2)因为直线l的方程为ρsin＝3，
所以直线l过点，倾斜角为.
又B，
所以点B到直线l的距离为(3－)×sin＝2.
3.以直角坐标系中的原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，已知曲线
的极坐标方程为ρ＝.
(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)过极点O作直线l交曲线于点P，Q，若|OP|＝3|OQ|，求直线l的极坐标方程.
解 (1)因为ρ＝，ρsin θ＝y，
所以ρ＝化为ρ－ρsin θ＝2，所以曲线的直角坐标方程为x2＝4y＋4.
(2)设直线l的极坐标方程为θ＝θ (ρ∈R)，
0
根据题意＝3·，
解得θ ＝或θ ＝，
0 0
所以直线l的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)或θ＝(ρ∈R).
4.(2022·南宁调研)在直角坐标系xOy中，圆C ：(x－1)2＋y2＝1，圆C ：(x＋2)2
1 2
＋y2＝4.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求圆C ，C 的极坐标方程；
1 2
(2)设A，B分别为C ，C 上的点，若△OAB为等边三角形，求|AB|.
1 2
解 (1)因为圆C ：(x－1)2＋y2＝1，
1
圆C ：(x＋2)2＋y2＝4，
2
所以C ：x2＋y2＝2x，C ：x2＋y2＝－4x，
1 2
因为x2＋y2＝ρ2，x＝ρcos θ，
所以C ：ρ＝2cos θ，C ：ρ＝－4cos θ.
1 2
(2)因为C ，C 都关于x轴对称，△OAB为等边三角形，
1 2
所以不妨设A(ρ ，θ)，B，0＜θ＜.
A
依题意可得，ρ ＝2cos θ，ρ ＝－4cos.
A B
从而2cos θ＝－4cos，
整理得，2cos θ＝sin θ，所以tan θ＝，
又因为0＜θ＜，所以cos θ＝，
|AB|＝|OA|＝ρ ＝.
A
5.(2021·成都诊断)在直角坐标系xOy中，已知曲线C的方程为(x－1)2＋y2＝1，直
线l的方程为x＋y－6＝0.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标
系.
(1)求曲线C和直线l的极坐标方程；
(2)若点P(x，y)在直线l上且y>0，射线OP与曲线C相交于异于点O的点Q，求
的最小值.
解 (1)由极坐标与直角坐标的互化公式x＝ρcos θ，y＝ρsin θ得
曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.由题意得直线l的极坐标方程为
ρcos θ＋ρsin θ－6＝0，即ρsin＝3.
(2)设点P的极坐标为(ρ ，θ)，点Q的极坐标为(ρ ，θ)，其中0<θ<.
1 2
由(1)知|OP|＝ρ ＝，
1
|OQ|＝ρ ＝2cos θ.
2
∴＝＝
＝＝.
∵0<θ<，∴<2θ＋<，
∴－
