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专题09 一元二次方程及其应用（5 大考点36 题）
考点分类
2026 年中考命题解读
创新考法
考点01 方程相关
概念
基础必考，以根的代入求值、参数求
解为主，结合函数图象、坐标几何情
境命题，侧重概念理解与基础运算辨
析。
数形创新：结合函数图象估算根的范
围；
逆向考法：由根的特征反求参数，强
化逻辑辨析能力。
考点02 方程实际
应用
核心高频考点，覆盖增长率、比赛场
次、销售利润等场景，考查建模列方
程、求解取舍，兼顾实际意义验证。
情境创新：结合文创销售、体育赛事、
科技产品生产；
考法升级：融合二次函数求最值，综
合考查建模与最值分析。
考点03 方程解法
侧重因式分解、配方法、公式法规范
求解，常结合菱形、赵爽弦图等几何
图形综合计算，注重转化数学思想。
融合创新：方程解联动几何边长、面
积计算；
思想考查：显性考查转化、配方思想，
弱化机械解方程。
考点04 根与系数
关系
重难点考点，依托韦达定理进行整体
代入求值、参数范围判定，多结合抛
物线与坐标轴交点问题综合设问。
综合升级：联动二次函数、不等式取
值；
创新设问：已知根的数量关系、倍数
关系逆向求参，灵活性更强。
考点05 根的判别
式
高频基础考点，考查判别式判断根的
情况、根据根的个数求参数范围，覆
盖选择填空与简单解答题。
定义创新：结合新定义运算、一次函
数背景命题；
综合考法：判别式与方程、函数、参
数取值多层结合考查。
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考点01 一元二次方程的相关概念
1．（2026·江西·中考真题）如图，观察函数
2
3
3
y
x
x
=
+
−的图象，可以发现方程
2
3
3
0
x
x
+
−
=
在0，1 之间
有根．取0，1 的平均数0.5，当
0.5
x =
时，
0
y
，进一步可知这个根在0.5 和1 之间，则与方程
2
3
3
0
x
x
+
−
=
另一根更接近的是（ ）
A．4.5
−
B．4
−
C．3.5
−
D．3
−
【答案】B
【分析】由一元二次方程根与系数关系可知两根之和为3
−，结合已知根在0.5 与1之间，可推知另一根在4
−
与3.5
−
之间．再取中点缩小范围，确定另一根更接近4
−．
【详解】解：设方程
2
3
3
0
x
x
+
−
=
的两个根为
1x ，
2x ，
1
a = ，
3
b =
，
3
c = −，
由一元二次方程根与系数关系可知
1
2
3
b
x
x
a
−
−
+
=
=
，
已知
1x 在0.5 与1之间，
2
1
3
x
x
−
=
−
，
当x 在0.5 和1 之间时，
另一根
2x 在4
−与3.5
−
之间，
取
3.75
x
−
=
，
2
( 3.75)
3 ( 3.75)
3
14.0625 11.25 3
0.1875
0
y
−
= −
+ −
−=
−
−=
，
当
4
x = −时，
2
( 4)
3 ( 4)
3
16 12
3
1
0
y = −
+ −
−=
−
−=
，
2x
在4
−与3.75
−
之间，
2x
到4
−的距离
2
( 4)
3.75
( 4)
0.25
x
−
=
−−
−−
=
，
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2x 到3.5
−
的距离
2
( 3.5)
( 3.5)
( 3.75)
0.25
x
= −
−
−
−−
=
，
2x
到4
−的距离小于
2x 到3.5
−
的距离，
与另一根更接近的是4
−．
2．（2026·河南·中考真题）已知
2
x =
是关于x 的方程
2
6
x
mx
−
=
的一个根，则m 的值为（ ）
A．5
B．5
−
C．1
D．1
−
【答案】D
【分析】将已知根代入原方程，即可得到关于参数m 的一元一次方程，解出m 即可．
【详解】解：∵
2
x =
是方程
2
6
x
mx
−
=
的一个根，
∴将
2
x =
代入原方程，得
2
2
2
6
m
−
=
，
整理得4
2
6
m
−
=
，
移项得2
2
m
−
=
，
两边同除以2
−，得
1
m = −．
3．
（2026·江西·中考真题）如图，点P 在直线
(
)
0
y
x
b b
−
=
+
上，过P 作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为A ，
B ，矩形OAPB的面积为1（O 为坐标原点）．若满足条件的点P 有且仅有三个，则点P 的横坐标为
______________．
【答案】1 或1
2
−
或1
2
+
【分析】设(
)
,
P x
x
b
−+
，依题意，(
)
1
x
x
b
−+
= ，得出
2
1
x
bx
−
= 或
2
1
x
bx
−
−
=
，根据满足条件的点P 有且
仅有三个，确定b 的值，进而解一元二次方程，即可求解．
【详解】解：设(
)
,
P x
x
b
−+
，依题意，
(
)
1
x
x
b
−+
=
∴
2
1
x
bx
−
= 或
2
1
x
bx
−
−
=
∵
2
1
x
bx
−
= 中，
2
Δ
4
0
b
=
+
，方程有两个不等实数解，
依题意，满足条件的点P 有且仅有三个
∴方程
2
1
x
bx
−
−
=
有且只有一个解，
∴
2
Δ
4
0
b
=
−
=
4 / 24
∵
0
b
∴
2
b =
所以方程
2
2
1
x
x
−
= ，
∴
2
2
1
2
x
x
−
+ =
∴(
)
2
1
2
x−
=
∴
1
2
x −=
解得：
1
2
1
2,
1
2
x
x
= −
= +
解方程
2
2
1
x
x
−
= −
∴(
)
2
1
0
x −
=
解得：
1
x =
综上所述，点P 的横坐标为1 或1
2
−
或1
2
+
4．（2026·广东·中考真题）已知方程
2
3
0
x
x
c
+
+
=
的一个根是1，则c = _____．
【答案】4
−
【分析】根据一元二次方程根的定义，将已知根代入原方程，得到关于c 的一元一次方程，求解即可得到c
的值．
【详解】解: 因为1是方程
2
3
0
x
x
c
+
+
=
的根，
将
1
x = 代入方程得：
21
3 1
0
c
+ +
=
，
整理得4
0
c
+ =
，
移项得
4
c = −．
5．（2026·甘肃天水·中考真题）已知m 是一元二次方程
2
2
3
0
x
x
+
−
=
的一个根，则代数式
2
2
4
m
m
+
的值是
________________．
【答案】6
【分析】根据一元二次方程根的定义得到
2
2
3
m
m
+
=
，再变形所求代数式代入计算即可．
【详解】解：∵m 是一元二次方程
2
2
3
0
x
x
+
−
=
的一个根，
∴
2
2
3
0
m
m
+
−
=
，
∴
2
2
3
m
m
+
=
，
∴
(
)
2
2
2
4
2
2
2 3
6
m
m
m
m
+
=
+
=
=
．
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考点02 一元二次方程的实际问题
1．（2026·山西·中考真题）某公司自主研发并生产的仿生蝴蝶飞行器，能高度还原蝴蝶飞行动作．今年3 月
份此款飞行器产量为1200 台，5 月份的产量为1600 台．若设该公司此款飞行器这两个月产量的月平均增长
率为x ，则下列方程正确的是（ ）
A．
(
)
1200 1
1600
x
+
=
B．
(
)
1200 1 2
1600
x
+
=
C．
(
)
2
1200 1
1600
x
+
=
D．
(
)
2
1600 1
1200
x
−
=
【答案】C
【分析】根据月平均增长率依次表示出各月产量，结合5 月份实际产量列出等式即可．
【详解】解：∵3 月份产量为1200台，月平均增长率为x ，
∴4 月份产量为
(
)
1200 1 x
+
台 ，
∴5 月份产量为
(
) (
)
2
1200 1
1
1200(1
)
x
x
x
+
+
=
+
台 ，
又∵5 月份实际产量为1600台 ，
∴可列方程为
(
)
2
1200 1
1600
x
+
=
．
2．（2026·四川凉山·中考真题）四川省城市足球联赛决赛阶段每两队之间都进行两场比赛，有x 支球队进入
决赛阶段，共比赛72 场，根据题意可列关于x 的方程为（ ）
A．
(
)
1
1
72
2 x x−
=
B．(
)1
72
x x−
=
C．(
)1
72
x x +
=
D．
(
)
1
1
72
2 x x +
=
【答案】B
【详解】解：∵共有x 支球队，每支球队需要和除自身外的(
)1
x −
支球队比赛，
又∵每两队之间进行两场比赛，不需要去掉重复计数，
∴总比赛场数为(
)1
x x −
，已知总比赛场数为72 场，
∴可列方程(
)1
72
x x −
=
．
3．（2026·湖北·中考真题）2026 年湖北省城市足球联赛（简称“楚超”）是省内最大的群众足球赛事．楚超有
n支代表队参赛，常规赛采取单循环形式（每两支球队之间比赛1 场），共需进行136 场比赛，则可列方程
（ ）
6 / 24
A．1 (
1)
136
2 n n −
=
B．(
1)
136
n n −
=
C．1 (
1)
136
2 n n +
=
D．(
1)
136
n n +
=
【答案】A
【分析】根据单循环赛制的比赛规则计算总场数，即可列出对应方程．
【详解】解：∵共有n支球队参赛，单循环赛制要求每两支球队之间比赛1场，
∴每支球队需要和除自身外的(
)1
n−
支球队各比赛1场，
又∵每一场比赛会被两支球队重复计算1次，需要去掉重复计数，
∴总比赛场数为
(
)
1
1
2 n n −
，
已知总比赛场数为136场，
∴可列方程
(
)
1
1
136
2 n n −
=
．
4．（2026·山东烟台·中考真题）为庆祝长征胜利90 周年，文旅公司推出多款长征主题的文创产品．已知某
款文创产品的成本价是每件20 元，日销售量y （件）与每件售价x （元）的函数关系如图所示．
(1)求y 与x 的函数表达式；
(2)文旅公司在销售这款文创产品时，若每天盈利525 元，且尽可能的让利于顾客，求该款文创产品每件的
售价为多少元？
【答案】(1)
70
y
x
−
=
+
(2)该款文创产品每件的售价为35 元．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意列一元二次方程，取较小解即可．
【详解】（1）解：设y 与x 的函数表达式为y
kx
b
=
+
，
将点(
)
30,40 和点(
)
40,30 的代入得：
30
40
40
30
k
b
k
b
+
=
+
=
，
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解得：
1
70
k
b
−
=
=
，
y 与x 的函数表达式为
70
y
x
−
=
+
；
（2）解：根据题意得：(
)(
)
20
70
525
x
x
−
−+
=
，
整理得：
2
90
1925
0
x
x
−
+
=
，
解得：
1
35
x =
，
2
55
x =
，
尽可能的让利于顾客，
35
x
=
，
即该款文创产品每件的售价为35 元．
5．（2026·四川眉山·中考真题）2025 年，在四川省城市足球联赛（简称“川超”）比赛期间，为促进体育经济
发展，眉山市文旅局联合餐饮住宿企业、土特产生产企业推出各种优惠活动．
(1)某食品厂原计划每月生产芝麻糕2000 件，为响应文旅局号召，连续两月提高产量后，月产量达到2880
件，若每月产量的增长率相同，求每月产量的增长率；
(2)该食品厂原来每天可销售60 件芝麻糕，每件盈利30 元．参与优惠活动后，该食品厂每降价1 元，就可
多售出5 件．问该食品厂应降价多少元，才能使利润最大？最大利润为多少？
【答案】(1)每月产量的增长率为20% .
(2)应降价9元，最大利润为2205 元.
【分析】（1）设每月产量的增长率为x ，根据原产量和增长两次后的产量关系列方程，舍去不符合实际的负
根即可得到结果；
（2）设降价x 元，每天总利润为y 元，根据总利润=每件利润销售量列出二次函数解析式，配方后根据
二次函数的性质即可求出最大利润和对应的降价金额．
【详解】（1）解：设每月产量的增长率为x ，
根据题意列方程得:
2
2000(1
)
2880
x
+
=
，
解得
1
0.2
20%
x =
=
,
2
2.2
x = −
，增长率不能为负，不符合实际，舍去，
答: 每月产量的增长率为20%；
（2）解：设降价x 元，每天总利润为y 元，
根据题意，每件盈利为(
)
30
x
−
元，每天销售量为(
)
60
5x
+
件，
∴
(
)(
)
2
2
30
60 5
5
90
1800
5(
9)
2205
y
x
x
x
x
x
−
−
−
−
=
+
=
+
+
=
+
，
8 / 24
5
0
−
，
当
9
x =
时，y 取得最大值，最大值为2205 ，
答: 该食品厂应降价9元，才能使利润最大，最大利润为2205 元．
考点03 一元二次方程的解法
1．（2026·四川宜宾·中考真题）已知方程
2
9
14
0
x
x
−
+
=
的两根恰好是某菱形的对角线长，则这个菱形的面
积是（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】D
【分析】利用因式分解法解方程求出方程的两个根，则可得到菱形的两条对角线的长，再根据菱形的面积
等于其对角线乘积的一半计算面积即可．
【详解】解：∵
2
9
14
0
x
x
−
+
=
，
∴(
)(
)
2
7
0
x
x
−
−
=
，
∴
2
0
x−
=
或
7
0
x −
=
，
解得
2
x =
或
7
x =
，
∵方程
2
9
14
0
x
x
−
+
=
的两根恰好是某菱形的对角线长，
∴该菱形的两条对角线的长分别为2 和7，
∴该菱形的面积为1
2 7
7
2
=
．
2．（2026·四川泸州·中考真题）在平面直角坐标系中，若一个点的横坐标和纵坐标互为倒数，则定义该点为
“倒数点”．如：
1
(2, )
2
A
，
1
3,
3
B
−
−
都是“倒数点”．给出下列结论：
①函数
3
y
x
=
的图象上存在2 个“倒数点”；
②函数
1
y
x
=
−的图象上不存在“倒数点”；
③函数
2
2
1
y
x
=
+ 的图象上存在1 个“倒数点”；
④若函数
2
y
kx
=
+ 的图象上存在“倒数点”，则
1
k −．
其中正确的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
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【分析】根据“倒数点”定义，若(
)
,x y 为倒数点，则满足
(
)
1
0
xy
x
=
，即
1
y
x
=
，联立各函数与
1
y
x
=
，判
断方程解的个数，逐个验证结论即可.
【详解】解：由定义得，倒数点满足
1
xy = ，
0
x
，即
1
y
x
=
，
① 联立
1
3
xy
y
x
=
=
，则
1
3x
x
=
，
整理得
2
3
1
x = ，
解得
3
3
x =
，
∴方程有2 个不同解，故存在2 个倒数点，故①正确；
② 联立
1
1
xy
y
x
=
=
−
，
1
0
y
x
=
−
，
0
x
，
当
1
x 时，
1
1
x
x
−=
，整理得
2
1
0
x
x
−
−=
，
2
Δ
( 1)
4 1 ( 1)
5
0
= −
−−
=
，
解得
1
1
5
2
x
+
=
，
2
1
5
2
x
−
=
，
正根
1
5
1
2
x
+
=
，存在解，
∴图象上存在倒数点，故②错误；
③ 联立
2
1
2
1
xy
y
x
=
=
+
，
∴
2
1
2
1
x
x =
+ ，
画出函数
1
y
x
=
和
2
2
1
y
x
=
+ 图象的草图如图所示：
10 /
由图象知：函数
1
y
x
=
和
2
2
1
y
x
=
+ 图象有唯一的交点，
∴
2
1
2
1
x
x =
+ 有唯一的解，
∴存在1 个倒数点，故③正确；
④ 联立
1
2
xy
y
kx
=
=
+
，
整理得
2
2
1
0
kx
x
+
−=
，
当
0
k =
时，方程为2
1
0
x−=
，解得
1
2
x =
，
2
y =
，满足1
2
1
2
= ，是倒数点，
此时
0
1
k =
−，故④错误；
综上，正确的结论共2 个.
3．（2026·四川达州·中考真题）“转化”是一种重要的数学思想，下列选项中用到转化思想的是（ ）
①
锐角三角形
三角形直角三角形
钝角三角形
②
③
2
4
3
0
x
x
−
+
= 一元二
④
(
)(
)
3
2
a
b
a
b
+
−
多项式多项式
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11 /
次方程
↓
3
0
x−=
或
1
0
x −= 一
元一次方程
(
)
(
)
3
3
2
2
a
a
b
b
a
b
=
−
+
−
单项式多项式
3
2
2
2
a
a
a b
b
a
b b
=
−
+
−单项式单项式
A．①②③
B．①②④
C．②③④
D．①③④
【答案】C
【分析】转化思想是指在研究和解决有关数学问题时，将未知的、陌生的、复杂的问题通过演绎归纳转化
为已知的、熟悉的、简单的问题．①属于分类讨论思想；②将平行四边形转化为长方形；③将一元二次方
程转化为一元一次方程；④将多项式乘多项式转化为单项式乘多项式．
【详解】解：①将三角形分为锐角、直角、钝角三角形，这是分类讨论思想，不是转化思想；
②利用割补法将平行四边形转化为长方形，从而推导面积公式，用到了转化思想；
③解一元二次方程时，通过因式分解将其转化为两个一元一次方程，用到了转化思想；
④多项式乘多项式通过分配律转化为单项式乘多项式，再转化为单项式乘单项式，用到了转化思想．
综上所述，用到转化思想的是②③④．
4．
（2026·山东·中考真题）若关于x 的一元二次方程(
2)(
)
0
x
x
m
−
−
=
的一个根是10，则另一个根是________．
【答案】
2
【分析】利用因式分解法解一元二次方程，先得到方程的两个根，再结合已知一个根为10，即可求出另一
个根 ．
【详解】解：已知方程为(
2)(
)
0
x
x
m
−
−
=
得
2
0
x−
=
或
0
x
m
−
=
，
解得
1
2
x =
，
2x
m
=
，
方程的一个根是10，
10
m
=
，
因此方程的另一个根为2．
5．（2026·江苏连云港·中考真题）若a、b、c 是三个不为零的实数，且
2
a
bc
=
，则
2
2
2
c
a
b
−
的最小值为____．
【答案】
1
4
−
/ 0.25
−
【分析】利用已知条件
2
a
bc
=
对所求式子进行换元，将原式转化为关于新变量的代数式，再用配方法最小
值即可．
【详解】解：
2
a
bc
=
，且, ,
a b c 都不为0 ，
12 /
0
bc
，
2
2
2
2
2
2
2
2
2
c
a
c
bc
c
bc
c
c
b
b
b
b
b
b
−
−
=
=
−
=
−
，
设
c
t
b
=
则
0
t
，原式
2t
t
−
=
2
1
1
2
4
t
=
−
−
，
2
1
0
2
t
−
，
2
1
1
1
2
4
4
t
−
−
−
，当
1
2
t =
时，原式取得最小值
1
4
−
，
即
2
2
2
c
a
b
−
的最小值为
1
4
−
．
6．（2026·山东德州·中考真题）探究小组发现了日历中的数学奥秘．规定如下：在日历中选取某月，任意框
出3 3
的方格即“九宫格”，九宫格中心位置的数称为“中心数”，请完成以下探究任务．
星期日
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
A
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
n
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
C
D
28
29
30
(1)如图，若九宫格的中心数为n ，四个角的数字分别是A 、B 、C 、D ．
①用含n的式子表示A ；
②探究B C
A D
−
是否为定值，请证明：
(2)若框选出的九宫格的中心数是方程
2
13
22
0
x
x
−
+
=
的根，求九宫格中最大的数．
【答案】(1)①
8
n−；
②B C
A D
−
为定值28 ，理由如下：
由题意可得：
6
B
n−
=
，
6
C
n
=
+ ，
8
D
n
=
+ ，
∴
(
)(
) (
)(
)
2
2
6
6
8
8
36
64
28
B C
A D
n
n
n
n
n
n
−
−
−
=
+
−
+
=
−
−
+
=
．
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13 /
(2)19
【分析】
（1）①根据中心数的特点可得
8
A
n−
=
；②根据中心数的特点分别表示
6
B
n−
=
，
6
C
n
=
+ ，
8
D
n
=
+ ，
再进一步求解即可；
（2）先解方程
2
13
22
0
x
x
−
+
=
，再结合中心数的特点可得答案．
【详解】（1）解：①由题意可得：
8
A
n−
=
；
②略
（2）解：∵
2
13
22
0
x
x
−
+
=
，
∴(
)(
)
2
11
0
x
x
−
−
=
，
∴
2
0
x−
=
或
11
0
x−
=
，
解得：
1
2
x =
，
2
11
x =
，
∵x 为九宫格的中心数，
∴
2
x =
不符合题意，
∴中心数为11，
∴九宫格中最大的数为11 8 19
+ =
．
7．（2026·新疆·中考真题）解决问题：
(1)解方程：3
2
2
3
x
x
=
+
；
(2)被誉为“东方数学瑰宝”的赵爽弦图，是我国古代证明勾股定理的经典方法之一．如图，已知正方形ABCD
的面积为100，正方形EFGH 的面积为4，求BF 的长．
【答案】(1)
9
x =
(2)6
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程
的解；
（2）根据正方形的面积求出边长，设BF
x
=
，在Rt ABF 中，利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】（1）解：3
2
2
3
x
x
=
+
，
14 /
去分母得，(
)
3
3
2 2
x
x
+
=
，
去括号得，3
9
4
x
x
+
=
，
移项合并得，
9
x =
，
经检验，当
9
x =
时，
(
)
2
3
0
x x+
，
分式方程的解为
9
x =
；
（2）解：
正方形ABCD的面积为100，正方形EFGH 的面积为4，
10
AB
=
，
2
EF
FG
=
=
，
设BF
x
=
，则
2
AF
BG
x
=
=
+ ，
在Rt ABF 中，
2
2
2
AF
BF
AB
+
=
，
(
)
2
2
2
2
10
x
x
+
+
=
，
解得：
6
x =
或
8
x = −（舍），
即BF 的长为6．
8．（2026·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）解方程：
2
6
5
x
x
−
=
．
【答案】
1
6
x =
，
2
1
x = −
【详解】解：
2
6
5
x
x
−
=
2
5
6
0
x
x−
−
=
0
(
)(
6
)1
x
x
−
+
=
6
0
x −
=
或
1
0
x + =
1
6
x =
，
2
1
x = −．
9．（2026·江苏连云港·中考真题）解方程(
)1
8
8
x x
x
−
=
−．
【答案】
1
8
x = ，
2
1
x =
【分析】方程移项后运用因式分解法解答即可．
【详解】解：(
)1
8
8
x x
x
−
=
−，
(
)
(
)
1
8
1
0
x x
x
−
−
−
=
，
(
)(
)
8
1
0
x
x
−
−
=
，
8
0
x−=
或
1
0
x −= ，
1
8
x
=
，
2
1
x = ．
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15 /
考点04 一元二次方程的根与系数的关系
1．（2026·黑龙江绥化·中考真题）已知
1x ，
2x 是一元二次方程
2
2
9
0
x
x
+
−
=
的两个根，则
1
2
1
2
2
x
x
x x
+
−
的值
为（ ）
A．16
B．16
−
C．20
D．20
−
【答案】A
【分析】对于一元二次方程
(
)
2
0
0
ax
bx
c
a
+
+
=
，若两根为
1
2
,
x x ，则
1
2
b
x
x
a
+
= −
，1 2
c
x x
a
=
，据此求出两根
和与两根积，再代入所求代数式计算即可．
【详解】解：∵
1x ，
2x 是一元二次方程
2
2
9
0
x
x
+
−
=
的两个根，且
1
a = ，
2
b =
，
9
c = −
∴
1
2
2
2
1
+
= −
= −
x
x
，
1
2
9
9
1
x x
−
=
= −
∴
(
)
1
2
1 2
2
2
2
9
16
x
x
x x
+
−
= −−−
=
．
2．（2026·四川巴中·中考真题）已知
1x ，2x 是关于x 的一元二次方程
2
0
x
x
t
−
+ =
的两个实数根，则
2
2
1
2
x
x
+
的
最小值是______________．
【答案】1
2
【分析】先根据一元二次方程根的判别式确定参数t 的取值范围，再利用根与系数的关系将
2
2
1
2
x
x
+
变形为关
于t 的一次式，结合一次函数的增减性求出最小值．
【详解】解：
1x ，
2x 是关于x 的一元二次方程
2
0
x
x
t
−
+ =
的两个实数根，
2
2
Δ
4
( 1)
4 1
0
b
ac
t
=
−
= −
−
，
解得
1
4
t
，
由根与系数的关系得：
1
2
1
x
x
+
= ，
1
2
x x
t
= ，
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
(
)
2
1
2
1
2
x
x
x
x
x x
t
t
+
=
+
−
=
−
= −
，
2
0
−
，
2
2
1
2
1 2
x
x
t
+
= −
随t 的增大而减小，
当t 取最大值1
4 时，
2
2
1
2
x
x
+
取得最小值，
代入得，最小值为
1
1
1 2
4
2
−
=
．
16 /
3．（2026·四川眉山·中考真题）若方程
2
4
3
0
x
x
−
−
=
的两个根是
1x ，
2x ，则
2
2
1
2
1
2
x x
x x
+
的值为________．
【答案】12
−
【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系，得到两根之和与两根之积，再将所求代数式因式分解，最
后整体代入求值即可．
【详解】解：对于一元二次方程
2
4
3
0
x
x
−
−
=
，两个根为
1x ，
2x
根据根与系数的关系可得：
1
2
4
b
x
x
a
+
= −
=
，
1
2
3
c
x x
a
=
= −
∵
(
)
2
2
1
2
1 2
1 2
1
2
x x
x x
x x
x
x
+
=
+
∴将
1
2
4
x
x
+
=
，
1
2
3
x x = −代入得：原式(
)
3
4
12
= −
= −
．
4．（2026·四川南充·中考真题）抛物线
2
2
y
x
mx
m
=
+
+
−
与x 轴交于A，B 两点，且
5
AB =
，则m 的值为
_______．
【答案】1或3
【分析】设(
)
1,0
A x
，(
)
2,0
B x
，可得
1
2
,
x x 是一元二次方程
2
2
0
x
mx
m
+
+
−
=
的两个根，利用根与系数的关
系表示
1
2
x
x
+
与
1
2
x x ，结合
5
AB =
的条件，建立关于m 的一元二次方程，求解即可得到m 的值．
【详解】解：设(
)
1,0
A x
，(
)
2,0
B x
，
令
0
y =
，得
2
2
0
x
mx
m
+
+
−
=
，
由根与系数的关系得
1
2
x
x
m
+
= −
，
1
2
2
x x
m
=
−
，
(
)
(
)
(
)
2
2
2
1
2
1
2
1 2
|
|
4
4
2
4
8
AB
x
x
x
x
x x
m
m
m
m
=
−
=
+
−
=
−
−
−
=
−
+
，
∵
5
AB =
，
∴
2
4
8
5
m
m
−
+
=
，
两边平方得
2
4
8
5
m
m
−
+
=
，
整理得
2
4
3
0
m
m
−
+
=
，
因式分解得(
)(
)
1
3
0
m
m
−
−
=
，
解得
1
m = 或
3
m =
．
5．（2026·四川凉山·中考真题）已知一元二次方程
2
4
3
0
x
x
+
−
=
的两根是
1x ，2x ，则
2
2
1
2
x
x
+
的值为_______．
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17 /
【答案】
22
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，先求出两根之和与两根之积，再将所求代数式变形后代入计
算即可．
【详解】解：∵一元二次方程
2
4
3
0
x
x−
+
=
的两根为
1x ，
2x ，其中
1
a = ，
4
b =
，
3
c
−
=
，
∴
1
2
4
b
x
x
a
−
−
+
=
=
，
1
2
3
c
x x
a
−
=
=
，
∴
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
(
)
2
(
4)
2 ( 3)
16
6
22
x
x
x
x
x x
+
=
+
−
= −
−−
=
+
=
．
6．（2026·四川乐山·中考真题）已知方程
2
4
3
0
x
x
−
+
= 的两个根是
1x 和
2x ，则
1
2
x x =_________．
【答案】3
【分析】对于一元二次方程
(
)
2
0
0
ax
bx
c
a
+
+ =
，若方程的两个实数根是
1
2
,
x x ，则
1
2
c
x x
a
=
，据此可得答
案．
【详解】解：∵方程
2
4
3
0
x
x
−
+
= 的两个根是
1x 和
2x ，
∴
1
2
3
3
1
x x =
= ．
7．（2026·四川广安·中考真题）已知
1x ，
2x 是关于x 的一元二次方程
2
2
0
x
x
k
−
+
=
的两个实数根，且
1
2
1
2
3
2
x
x
x x
+
−
，则k 的取值范围是_____．
【答案】
1
2
k
【分析】先根据一元二次方程有两个实数根，利用根的判别式得到k 的初步范围，再利用根与系数的关系得
到两根之和与两根之积，代入已知不等式求解k 的范围，最后取交集得到最终结果．
【详解】解：
1x ，
2x 是关于x 的一元二次方程
2
2
0
x
x
k
−
+
=
的两根
方程的根的判别式
0
即
2
Δ
( 2)
4 1
4
4
0
k
k
= −
−
=
−
解得
1
k ，
由根与系数的关系可得：
1
2
2
x
x
+
=
，
1
2
x x
k
=
1
2
1
2
3
2
x
x
x x
+
−
代入得：2
3 2k
−
18 /
移项，系数化为1 得：
1
2
k
1
1
2 ，两个不等式解集的交集为
1
2
k
．
8．（2026·河北·中考真题）已知关于x 的一元二次方程
2
1
0
4
x
x
m
+
+
=
有两个实数根，其中一个根是另一个
根的平方，则m=_________．
【答案】
1
8
−
【分析】设方程的两根分别为t 和
2t ，利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积的表达式，先求解t 的
值，再计算m ，最后验证原方程满足有两个实数根的条件即可．
【详解】解：设一元二次方程
2
1
0
4
x
x
m
+
+
=
的两根分别为t ，
2t ．
根据根与系数的关系可得
2
1
4
t
t
+
= −
，
2
t t
m
=
．
整理
2
1
4
t
t
+
= −
得
2
1
0
4
t
t
+ +
=
．变形得
2
1
0
2
t
+
=
．
解得1
2
1
2
t
t
=
= −
．
将
1
2
t
−
=
代入
3
m
t
=
得
3
1
1
2
8
m
= −
= −
．
验证判别式：
2
1
1
1
9
4
4
0
4
16
8
16
m
=
−
=
−−
=
，符合题意．
9．（2026·四川南充·中考真题）关于x 的一元二次方程
(
)
2
2
2
1
2
0
x
k
x
k
k
−
+
+
+
−
=
．
(1)求证：方程有两个不相等的实数根．
(2)已知方程的两个实数根分别为
1x ，
2x ，且
1
2
2
x
x
=
，求k 的值．
【答案】(1)
证明：∵原方程为
(
)
2
2
2
1
2
0
x
k
x
k
k−
−
+
+
+
=
，
∴
(
)
2
2
Δ
(2
1)
4 1
2
k
k
k
−
−
=
+
−
+
2
2
4
4
1 4
4
8
k
k
k
k
=
+
+ −
−
+
9
0
=
，
∴方程有两个不相等的实数根．
(2)
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k 的值为4 或5
−
【分析】（1）计算方程的根的判别式，判断判别式的符号即可证明结论；
（2）根据根与系数的关系得到两根和与两根积，结合
1
2
2
x
x
=
的条件，得到关于k 的一元二次方程，求解即
可得到k 的值．
【详解】（1）略
（2）解：∵方程的两个实数根为
1
2
,
x x ，
∴
1
2
2
1
x
x
k
+
=
+ ，
2
1
2
2
x x
k
k −
=
+
，
∵
1
2
2
x
x
=
，
∴
2
2
2
2
1
x
x
k
+
=
+ ，
∴
2
2
1
3
k
x
+
=
，
∴
1
2(2
1)
3
k
x
+
=
，
代入
2
1
2
2
x x
k
k −
=
+
得：
2
2
2(2
1)
2
9
k
k
k −
+
=
+
，
整理得
2
20
0
k
k −
+
=
，
解得
4
k =
或
5
k
−
=
．
考点05 一元二次方程根的判别式
1．（2026·安徽·中考真题）已知关于x 的一元二次方程
(
)
2
0
0
ax
bx
b
a
a
−
−
+
=
有两个相等的实数根，则b
a =
（ ）
A．2
−
B．
1
2
−
C．1
2
D．2
【答案】D
【分析】利用一元二次方程根的判别式性质，方程有两个相等实数根时判别式Δ
0
=
，整理等式即可求出b
a
的值．
【详解】解：∵一元二次方程
(
)
2
0
0
ax
bx
b
a
a
−
−
+
=
有两个相等的实数根，
∴根的判别式
(
)
(
)
2
Δ
4
0
b
a b
a
−
−
=
−
=
，
展开整理得
2
2
4
4
0
b
ab
a
−
+
=
，
20 /
即
2
2
)
0
( a
b
−
=
，
∴2
0
a
b
−
= ，得
2
b
a
=
，
∵
0
a
，
等式两边同除以a得
2
b
a =
．
2．（2026·上海·中考真题）下列方程中，没有实数根的是（ ）
A．
2
2
0
x
x
−
=
B．
2
2
0
x −
=
C．
2
2
0
x
x
+
=
D．
2
2
0
x +
=
【答案】D
【分析】对于一元二次方程
(
)
2
0
0
ax
bx
c
a
+
+
=
，当判别式
2
Δ
4
0
b
ac
=
−
时，方程没有实数根，计算各
选项的判别式即可判断．
【详解】解：对于一元二次方程
(
)
2
0
0
ax
bx
c
a
+
+
=
，判别式为
2
Δ
4
b
ac
=
−
．
选项A：方程为
2
2
0
x
x
−
=
，
1,
2,
0
a
b
c
=
= −
=
，
2
Δ
( 2)
4 1 0
4
0
= −
−
=
，方程有两个不相等的实数根．
选项B：方程为
2
2
0
x −
=
，
1,
0,
2
a
b
c
−
=
=
=
，
(
)
2
Δ
0
4 1
2
8
0
=
−−
=
，方程有两个不相等的实数根．
选项C：方程为
2
2
0
x
x
+
=
，
1,
2,
0
a
b
c
=
=
=
，
2
Δ
2
4 1 0
4
0
=
−
=
，方程有两个不相等的实数根．
选项D：方程为
2
2
0
x +
=
，
1,
0,
2
a
b
c
=
=
=
，
2
Δ
0
4 1 2
8
0
−
=
−
=
，方程没有实数根．
3．
（2026·四川广元·中考真题）若关于x 的一元二次方程
2
3
0
x
bx
+
+
=
有两个相等的实数根，则b 的值为（ ）
A．2 3
B．2 3
C．3
D．
3
±
【答案】B
【分析】当一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式Δ
0
=
，代入方程系数计算即可得到b 的值．
【详解】解：
关于x 的一元二次方程
2
3
0
x
bx
+
+
=
有两个相等的实数根，
根的判别式满足
2
Δ
4
0
b
ac
=
−
=
，其中二次项系数
1
a = ，常数项
3
c = ，
代入得，
2
4 1 3
0
b −
=
，
整理得，
2
12
b =
，
解得，
2 3
b =
．
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21 /
4．（2026·江苏扬州·中考真题）关于x 的一元二次方程
2
1
0
x
kx−
+
=
根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法判断根的情况
【答案】A
【分析】计算根的判别式，根据判别式的符号即可判断根的情况．
【详解】解：对于一元二次方程
2
1
0
x
kx
+
−=
，可得
1
a = ，b
k
=
，
1
c = −，
(
)
2
2
2
Δ
4
4 1
1
4
b
ac
k
k
=
−
=
−−
=
+
，
又
无论k 取任意实数，都有
2
0
k
，
2
4
0
k
+
，即Δ
0
，
该方程有两个不相等的实数根．
5．（2026·四川遂宁·中考真题）关于x 的一元二次方程
2
1
0
x
mx
+
−=
的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
【答案】A
【分析】利用根的判别式的符号即可得出结论.
【详解】解：∵对于一元二次方程
2
1
0
x
mx
+
−=
，
1
a = ，b
m
=
，
1
c = −
∴判别式
(
)
2
2
2
Δ
4
4 1
1
4
b
ac
m
m
=
−
=
−−
=
+ ，
又∵任意实数的平方非负，即
2
0
m
，
∴
2
Δ
4
4
0
m
=
+
，
∴ 原方程有两个不相等的实数根.
6．（2026·四川内江·中考真题）对于实数a 、b ，定义运算“☆”如下：
2
a
b
ab
ab
−
=
☆
，例如：
2
3
2
3 2
3 2
6
=
−
=
☆
，则方程2
3
x =
☆
的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
【答案】A
【分析】根据题目给出的新定义，将方程2
3
x =
☆
转化为一元二次方程的一般形式，再利用根的判别式判断
根的情况即可．
【详解】解：∵
2
a
b
ab
ab
−
=
☆
，
∴
2
2
2
3
x
x
−
=
，
22 /
∴
2
2
2
3
0
x
x
−
−
=
，
∴
(
)
(
)
2
Δ
2
4 2
3
4
24
28
0
= −
−−
=
+
=
，
∴原方程有两个不相等的实数根．
7．（2026·四川甘孜·中考真题）若关于x 的方程
2
4
0
x
x
a
−
+
=
有两个不相等
．．．的实数根，则a 的取值范围为
______．
【答案】
4
a
【分析】当方程有两个不相等的实数根时，根的判别式大于0，据此列不等式求解即可．
【详解】解：∵关于x 的方程
2
4
0
x
x
a
−
+
=
是一元二次方程，且有两个不相等的实数根，
∴
(
)
2
4
4 1
0
a
= −
−
，
∴16
4
0
a
−
，
∴
4
a
．
8．（2026·广西·中考真题）关于x 的一次函数
(
)
2
1
0
2
y
k x
k k
=
+
的图象与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，O
是坐标原点．
【性质初探】
(1) y 随x 的增大而 （填“增大”或“减小”）；
(2)求证：AOB 的面积为1；
【归纳提炼】我们把形如
(
)
2
1
0
2
y
k x
k k
=
+
的一次函数称为“正向积1”函数．
【深入探究】
(3)图象经过点(
)
2,2 的“正向积1”函数是否存在？若存在，求出该函数解析式；若不存在，请说明理由；
(4)已知点(
)
,
P m n 不在坐标轴上，若图象过点P 的“正向积1”函数有且只有一个．
①求n关于m 的函数解析式；
②选取一个符合条件的点P ，并验证该点是线段AB 的中点．
【答案】(1)增大
(2)证明：
函数与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，
令
0
x =
，得y
k
=
，
(0, )
B
k
，
|
|
OB
k
=
，
令
0
y =
，得
2
1
0
2 k x
k
=
+
，
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0
k
，两边除以k 得1
1
0
2 kx + =
，
解得
2
x
k
= −
，
2 ,0
A
k
−
，
2
|
|
OA
k
=
，
1
1
2
|
| 1
2
2
|
|
AOB
S
OA OB
k
k
=
=
=
(3)存在，函数解析式为
1
1
2
y
x
=
+ 和
2
2
y
x
=
−
(4)①
(
)
1
0
2
n
m
m
= −
；② 示例：点
1
1,
2
P
−
符合条件，验证见解析（答案不唯一）
【分析】（1）根据一次函数增减性的判定，由
0
k
得一次项系数
2
1
0
2 k
，可直接判断增减性；
（2）先求出函数与两坐标轴的交点坐标，得到直角三角形两条直角边的长度，代入三角形面积公式计算即
可证明结论；
（3）将点坐标代入函数解析式，得到关于k 的一元二次方程，求解得到非零的k ，即可得到对应函数解析
式；
（4） ① 将点
( , )
P m n 代入函数，整理得到关于k 的一元二次方程，由函数有且只有一个可知方程有两个相
等实根，利用判别式为0 整理即可得到n 关于m 的解析式；
② 任意取符合条件的点，求出对应函数和
,
A B 坐标，计算中点验证即可．
【详解】（1）一次函数为
(
)
2
1
0
2
y
k x
k k
=
+
，
0
k
，
2
0
k
，即
2
1
0
2 k
，
y
随x 的增大而增大.
（2）略
（3）解： 将(2,2) 代入
2
1
2
y
k x
k
=
+
得：
2
1
2
2
2 k
k
=
+
，
整理得
2
2
0
k
k
+
−
=
，
解得
1
1
k = ，
2
2
k = −，均满足
0
k
， 因此存在符合要求的函数，
当
1
k = 时，解析式为
1
1
2
y
x
=
+ ，
当
2
k
−
=
时，解析式为
2
2
y
x
=
−
.
（4）① 解： 将
( , )
P m n 代入
2
1
2
y
k x
k
=
+
得：
2
1
2
n
k m
k
=
+
，
整理得
2
2
2
0
mk
k
n
+
−
=
，
函数有且只有一个，即关于k 的一元二次方程有两个相等的实数根， 判别式
2
Δ
2
4
( 2 )
4
8
m
n
mn
=
−
−
=
+
，
24 /
令Δ
0
= 得4 8
0
mn
+
= ，
P 不在坐标轴上，
0
m
，
整理得
1 (
0)
2
n
m
m
= −
.
② 验证： 取
1
m = ，得
1
1
2 1
2
n = −
= −
，即
1
1,
2
P
−
，
代入
2
1
2
y
k x
k
=
+
得
2
2
1
0
k
k
+
+ =
，
解得
1
k = −，满足
0
k
， 函数解析式为
1
1
2
y
x
=
−，
令
0
y =
得
2
x =
，
(2,0)
A
，
令
0
x =
得
1
y
−
=
，
(0, 1)
B
−
，
AB 中点坐标为2
0 0
( 1)
1
,
1,
2
2
2
+
+ −
=
−
，与P 坐标一致，因此P 是AB 的中点.
