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专题08 一元二次方程的解法—直接开方法、配方法的十三类
综合题型
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、直接开方法中的程序问题
题型二、直接开方法中的参数取值范围问题
题型三、直接开方法中的等腰三角形
题型四、直接开方法中的新定义运算
题型五、配方变形
题型六、配方法比较大小
题型七、完全平方式
题型八、配方法中的阴影部分
题型九、换元法的应用
题型十、与反比例函数的结合应用
题型十一、解一元二次方程—直接开方法
题型十二、解一元二次方程—配方法
题型十三、配方法的应用
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移
类
别
具体内
容
知识点概括
易错点提示
直
接
开
方
法
适用形
式
形如x²=p（p≥0）或(x+n)²=p（p≥0）的一元二次方程
忽略p<0 的情况，直接
开平方导致出现无实根
的错误结论
理论依
据
平方根的定义：若x²=a，则x 是a 的平方根，即x=±√a
（a≥0）
漏写负根，只保留正根
导致方程解不完整
解题步
1. 将方程整理为左边是完全平方式、右边是非负常
整理方程时符号错误，
目 录
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骤
数的形式；2. 两边直接开平方得到两个一元一次方
程；3. 解一元一次方程得到原方程的根
开平方后漏写正负号
特殊情
况结论
当p=0 时，方程有两个相等的实数根x₁=x₂=0；当p<0
时，方程无实数根
误将p<0 时的情况判定
为“方程无解”，未明确是
“无实数根”，概念混淆
配
方
法
核心原
理
通过配方将一元二次方程转化为(x+n)²=p 的形式，再
用直接开方法求解，本质是降次
不理解配方的本质，盲
目配方导致步骤错误
一般解
题步骤
1. 化二次项系数为1：方程两边同时除以二次项系
数；2. 移项：把常数项移到方程右边；3. 配方：方
程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成
完全平方式；4. 开方求解
第一步忘记将二次项系
数化为1，直接加一次项
系数一半的平方，导致
配方错误
配方公
式
𝑥² + 𝑏𝑥= (𝑥+
𝑏
2)² −(
𝑏
2)²，配方时需要加上(
𝑏
2)²
配方时只在左边加一次
项系数一半的平方，右
边忘记加，破坏方程的
等价性
二次项
系数不
为1 的
处理
先提取二次项系数，将二次项和一次项放在括号内，
再对括号内配方
提取系数后，添加的常
数项忘记乘系数移到等
号右侧，导致常数项计
算错误
配方法
的应用
证明代数式恒正/恒负；求代数式的最值；解决与完
全平方式相关的参数问题
求最值时混淆最大、最
小值，配方后判断符号
错误
共
通
易
错
点
符号运
算
开平方、移项、配方过程中的符号处理
一次项系数为负数时，
计算一半的平方后符号
出错，配方结果错误
根的完
整性
一元二次方程在有实根的情况下必有两个根（相等
或不等）
得到两个相同根时只写
一个，丢失重根，不符
合一元二次方程根的要
求
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题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、直接开方法中的程序问题
典例1 如图是一个简单的数值运算程序，则输入的x 的值为（ ）
A．2 或−2
B．3 或−3
C．3 或−1
D．−3 或1
变式1-1 某数值转换器的程序如图所示，当输出的值为4 时，则输入的x 值是（ ）
A．
2
B．2 或
2
−
C．2 或
2
D．2
变式1-2 如图是一个简单的数值运算程序，若输出的值为27
−
，则输入的x 的值为________．
变式1-3 小瑞同学设计了一种运算程序：输入正整数m ，则输出另一个正整数n ．具体程序如下：①若m 为
偶数，则输出
2
m
n =
；②若m 为奇数，则输出
1
n
m
=
+ ．对正整数m 进行一次输入和输出称为对m 的一次变
换，对第一次输出的n 再次输入和输出则称为对m 的二次变换，依此类推．例如，输入正整数
6
m =
，根据
6 是偶数，对6 进行一次变换输出的数为6
3
2 =
；将3 再次输入，根据3 是奇数，对6 进行二次变换后输出
的数为3 1
4
+ =
．
（1）若输入正奇数m 进行二次变换后输出的数为15，则满足条件的m 的值为______，
（2）已知输入正整数k ，若对k 进行两次变换，这两次变换分别输出的两个数之积为18，则正整数k 的值
为______．
类型二、直接开方法中的参数取值范围问题
典例2 如果关于x 的方程(
)
2
9
3
x
m
−
=
+ 可以用直接开平方法求解，那么m 的取值范围是（ ）
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A．
0
m
B．
0
m
C．
3
m
−
D．
3
m −
变式2-1 若关于x 的方程(
)
2
4
3
x
m
−
=
+ 有实数根，则m 的取值范围是（ ）
A．
0
m
B．
3
m
−
C．
3
m
D．
3
m −
变式2-2 若关于x 的一元二次方程(
)
2
5
2
x
m
+
=
−
有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是______．
变式2-3 若方程(
)
2
2
1
x
m
+
=
−有解，则m 的取值范围是_______．
题型三、直接开方法中的等腰三角形
典例3 已知一元二次方程
2
(
3)
1
x −
= 的两个解恰好分别是等腰三角形ABC 的底边长和腰长，则ABC
的周
长为（ ）
A．10
B．10 或8
C．9
D．8
变式3-1 已知等腰三角形ABC 的底边长为4，腰长恰好是关于x 的一元二次方程(
)
2
2
6
16
x −
=
的一个根，则
ABC
的周长为（ ）
A．6
B．10
C．14
D．6 或14
变式3-2 已知一元二次方程(
)
2
3
1
x −
= ．
（1）若方程的两个根恰好是等腰三角形ABC 的底边长和腰长，则ABC
的周长为_________．
（2）若方程的两个根恰好是Rt DEF
的两边长，则Rt DEF
的面积为_________．
变式3-3 如图，在矩形ABCD中，
10cm
AB =
，
4cm
BC =
，M，N 两点分别从A，B 两点以2cm/s和1cm/s 的
速度在矩形ABCD边上沿逆时针方向运动，其中有一点运动到点D 停止，当运动时间为________秒时，
MBN
△
为等腰三角形．
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题型四、直接开方法中的新定义运算
典例4 对于实数,a b ，定义运算“※”如下：
2
a
b
a
ab
=
−
※
，例如，5※
2
3
5
5 3
10
=
−
=
．若(
)
1
2
6
x
x
+
= −
※
，
则x 的值为（ ）
A．7
B．7
−
C．
5
D．
7
变式4-1 定义新运算：
(
)
(
)
2
0
0
a
b a
a
b
a
b a
−
= −+
，例如：
2
2
4
( 2)
4
0
−
= −
−
=
，2
3
2
3
1
= −+ = ．若
3
1
4
x= −
，
则x 的值为（ ）
A．
1
2
B．1
2 或7
4
C．
1
2
−
D．
1
2
−
或7
4
变式4-2 在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为
2
2
*
=
−
a b
a
b ，根据这个规则，方程(
)
1 *5
0
x +
=
的解为
____________．
变式4-3 定义一种新运算，规定：
2
2
a
b
a
a
b
=
−
+
，例如
2
2
3
2
2 2
3
3
=
−+
=
，若
1
9
x =
，则x 的值
是_______．
题型五、配方变形
典例5 方程
2
6
7
0
x
x
+
−
=
经过配方可变形为（ ）
A．
2
(
3)
16
x +
=
B．
2
(
3)
16
x −
=
C．
2
(
6)
16
x +
=
D．
2
(
6)
16
x −
=
变式5-1 若一元二次方程
2
6
0
x
x
n
−
+
=
配方得到
2
(
)
2
x
m
−
=
，则m ，n 的值分别为（ ）
A．
3
m =
，
7
n =
B．
3
m =
，
11
n =
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C．
3
m
−
=
，
10
n =
D．
2
m =
，
11
n =
变式5-2 用配方法解方程
2
4
3
0
x
x
−
−
=
时，若将方程变形为(
)
2
2
x
m
−
=
，则m = _____ ．
变式5-3 把方程
2
4
1
0
x
x
−
+ = 化成(
)
2
2
x
m
−
=
的形式，则m 的值是________．
题型六、配方法比较大小
典例6 已知
2
2
2
4
P
x
x
Q
x
=
−
=
−
，
，则比较P，Q 的大小关系为（ ）
A．P
Q
＜
B．P
Q
＞
C．P
Q
D．P
Q
变式6-1 已知
2
2
P
x
x
=
−
，
2
5
Q
x
=
−
（x 为任意实数），则关于P，Q 的大小关系判断正确的是（ ）
A．P
Q
B．P
Q
=
C．P
Q
D．无法确定
变式6-2 若m 为实数，
2
1
P
m
m
= −
−
+ ，
2
5
4
Q
m
m
=
−
+
，则比较P，Q 的大小可得：______．
变式6-3 已知
2
A
x
m
=
+
，
2
4
B
x
m
=
+
+
，则比较代数式A 与B 的值：A________B．（请用“”、“”、“ = ”
表示）
题型七、完全平方式
典例7 用配方法解方程
2
6
1
x
x
+
= 时，要使等号左边变成一个完全平方式，等号两边应同时加上（ ）
A．12
B．9
C．6
D．3
变式7-1 将一元二次方程
2
2 2
1
0
+
+ =
x
x
的左边配方成完全平方式之后，右边的常数应该是（ ）
A．2
B．1
C．2
D．3
变式7-2 将
2
4
2
0
x
x
+
+
=
左边配成完全平方式后，得方程______.
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变式7-3 已知关于x 的二次三项式
2
8
x
mx
m
+
+
+ 是一个完全平方式，则m = ________．
题型八、配方法中的阴影部分
典例8 《代数学》中记载，形如
2
10
39
x
x
+
=
的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为
2
x 的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为5
2 x 的矩形，得到大正方形的面积为39
25
64
+
=
，
则该方程的正数解为8 5
3
−= ．”小聪按此方法解关于x 的方程
2
6
0
x
x
m
+
+
=
时，构造出如图2 所示的图形，
已知阴影部分的面积为36，则该方程的正数解为（ ）
A．6
B．3 5
3
−
C．3 5
2
−
D．
3
3 5
2
−
变式8-1《代数学》中记载，形如
2
8
33
x
x
+
=
的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积
为
2
x 的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为2x 的矩形，得到大正方形的面积为
33 16
49
+
=
，则该方程的正数解为7
4
3
−
= ．”小聪按此方法解关于x 的方程
2
10
0
x
x
m
+
+
=
时，构造出如图
2 所示的图形，已知阴影部分的面积为50，则该方程的正数解为（ ）．
A．6
B．
3
5 3
2
−
C．5 3
2
−
D．5 3
5
−
变式8-2 将4 张长为a，宽为b（a
b
）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为(
)
a
b
+
的正方形，图
中空白部分的面积为m，阴影部分的面积为n．若
3
m
n
=
，则a、b 满足关系式为__________．
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变式8-3 如图①所示是一个长为2m 、宽为2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按
图②的方式拼成一个正方形．
（1）图②中的阴影部分的正方形的边长等于______．（用m 、n 表示）请用两种不同的方法表示图②中阴
影部分的面积．
方法①______；方法②______．
观察图②，请写出(
)
2
m
n
+
、(
)
2
m
n
−
、mn 这三个代数式之间的等量关系：______．
（2）若
6
a
b
+
=
，
5
ab = ，则求a
b
−
的值．
【类比探究】利用面积关系，研究方程
提出问题：怎样图解一元二次方程
2
2
35
0
x
x
+
−
=
（
0
x
）？
几何建模：
1．将原方程变形为：(
)
2
35
x x +
=
．
2．如图，画四个长为
2
x+
，宽为x 的长方形．
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3．分析：图中的大正方形面积可以有两种不同的表达方式，(
)
2
2
x
x
+
+
或四个长
2
x+
，宽x 的长方形面积
之和，加上中间边长为2 的小正方形面积．
即(
)
(
)
2
2
2
4
2
2
x
x
x x
+
+
=
+
+
(
)
2
35
x x +
=
(
)
2
2
2
4 35
2
x
x
+
+
=
+
(
)
2
2
2
144
x
+
=
0
x
5
x
=
（3）求关于x 的一元一次方程(
)
x x
b
c
+
=
（
0
x
，
0
b
，
0
c
）的解．要求参照上述研究方法，画出示
意图，并写出几何建模步骤．（用0.5mm 黑色签字笔画图，并注明相关线段的长）
题型九、换元法的应用
典例9 已知实数a，b 满足(
)(
)
2
2
2
2
2
2
3
10
a
b
a
b
+
+
−
=
，则
2
2
2
a
b
+
的值为（ ）
A．5 或2
−
B．5
−或2
C．5
D．2
变式9-1 若(
)(
)
1
1
4
0
a
b
a
b
+
−
+
+
−
=
，则a
b
+
的值为（ ）
A．2
B．2
C．5
D．
5
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变式9-2 若(
)(
)
2
2
2
2
2
15
a
b
a
b
+
+
+
=
，则
2
2
a
b
+
= _____．
变式9-3 解方程(
)
(
)
2
1
5
1
4
0
x
x
−
−
−
+
=
时，我们可以将
1
x−看成一个整体，设
1
x
y
−=
，则原方程可化为
2
5
4
0
y
y
−
+
=
，解得
1
1
y = ，
2
4
y =
．当
1
y = ，即
1 1
x −= ，解得
2
x =
；当
4
y =
，即
1
4
x −=
，解得
5
x = ．所
以原方程的解
1
2
x =
，
2
5
x =
．
(1)请你利用这种方法解方程：(
)
(
)
2
2
1
4 2
1
3
0
x
x
−
−
−
+
=
；
(2)已知ABC
三条边的长度分别为a ，b ，c ，若满足(
)
(
)
2
2
2
2
2
3
4
0
a
b
a
b
+
−
+
−
=
，且
2
c =
，请判断ABC
的形状，并说明理由．
题型十、与反比例函数的结合应用
典例10 如图，在平面直角坐标系中，点A，B 在第一象限，点C 在x 轴正半轴上，且AC 与OB 互相垂直
平分，D 为垂足，连接OA，AB ，BC ．反比例函数
(
)
0
k
y
x
x
=
的图象经过点D ，与OA相交于E ．若点B
的坐标为(
)
8,4 ，则点E 的坐标是( )
A．
4
2,
2
3
B．1
3
3,
3
4
4
C．1
3
5,
5
4
4
D．
4
6,
6
3
变式10-1 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，反比例函数
(
)
2
0
y
x
x
=
与正比例函数
(
)
0
y
kx k
=
的图象交于点A．将正比例函数
(
)
0
y
kx k
=
的图象向上平移3
2 个单位后得到的图象与y 轴交于点B，与反
比例函数
(
)
2
0
y
x
x
=
的图象交于点C．过点C 作x 轴的垂线，与x 轴交于点D．线段CD与OA交于点E，
点E 为OA中点，则k 的值为（ ）
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A．1
3
B．1
C．1
2
D．2
变式10-2 如图，在平面直角坐标系中，
(
)
(
)
12,4 ,
8,0
B
C
，四边形OABC是平行四边形，过点A 作反比例函
数
(
)
0
k
y
x
x
=
，图象交BC 于点D，连结OD ，则OCD
的面积是 ____________________ ．
变式10-3 如图，一次函数y
x
b
−
=
+ 与反比例函数
(
)
0
k
y
x
x
=
的图象交于点
(
)
,3
A m
和
(
)
3,1
B
．
(1)求一次函数的解析式和m 值；
(2)当
0
x
时，请根据图象，直接写出关于x 的不等式k
x
b
x −+ 的解集；
(3)点P 是线段AB 上一点，过点P 作PD
x
⊥
轴于点D，交反比例函数
(
)
0
k
y
x
x
=
的图象于点Q，连接
,
OP OQ ，
若POQ
的面积为1
2 ，求点P 的坐标．
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题型十一、解一元二次方程—直接开方法
典例11 利用直接开平方法解下列方程：
(1)
2
6
x =
；
(2)
2
900
0
x −
=
．
变式11-1 解方程：(
)
2
1
1
8
x +
−=
．
变式11-2 解下列方程：
(1)(
)
2
1
49
x -
=
(2)(
)
2
2
3
16
y −
=
变式11-3 求下列各式中的x 的值：
(1)
64
4
2 =
x
；
(2) (
)
2
2
2
18
x +
=
题型十二、解一元二次方程—配方法
典例12 解方程：
(1)
2
2
1
0
x
x
−
−=
（用配方法）
(2)(
)(
)
5
1
12
x
x
+
+
=
（用配方法）
变式12-1 解方程：
(1)(
)
2
2
3
64
0
x −
−
=
；
(2)
2
2
4
5
0
x
x
−
−
=
（用配方法解方程）．
变式12-2 解方程：
(1)
2
64
0
x −
= ；
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(2)
2
4
3
0
x
x
−
+
= ．
变式12-3 用配方法解下列方程
(1)
2
15
8
x
x
+
=
(2)
2
3
1
2 3
x
x
+ =
题型十三、配方法的应用
典例13 【阅读材料】配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分
解因式，还能解决一些求代数式的最大值、最小值的问题．
例如：分解因式
(
)
(
)
(
)(
)
(
)(
)
2
2
2
2
2
3
2
1
4
1
2
1
2
1 2
3
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
+
−
=
+
+
−
=
+
−
=
+ +
+ −
=
+
−
．又如，求代数
式
2
2
4
6
x
x
+
−
的最小值，我们可以通过配方得到：
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
4
6
2
2
3
2
2
1
4
2
1
8
x
x
x
x
x
x
x
+
−
=
+
−
=
+
+
−
=
+
−
．因为(
)
2
1
0
x +
，所以(
)
2
2
1
0
x +
，则
(
)
2
2
1
8
8
x +
−
−，当
1
x = −时，
2
2
4
6
x
x
+
−
有最小值，最小值是8
−．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
(1)分解因式：
2
8
7
x
x
−
+
；
(2)当x 为何值时，多项式
2
2
4
5
x
x
−
−
+
有最大值？并求出这个最大值．
(3)若多项式
2
4
x +
与一个单项式的和能通过配方法因式分解，请直接写出满足条件的所有单项式．
变式13-1 配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方
式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问
题．先阅读理解下面的例题，再按要求解答问题．
例：求代数式
2
4
6
y
y
+
+
的最小值．
解：
(
)
2
2
2
4
6
4
4
2
2
2
y
y
y
y
y
+
+
=
+
+
+
=
+
+
．
因为(
)
2
2
0
y +
，所以(
)
2
2
2
2
y +
+
，所以
2
4
6
y
y
+
+
的最小值是2 ．
(1)代数式
2
4
3
x
x
−
+ 的最小值为 ．
(2)关于x 的二次多项式
2
2
4
2
6
x
ax
a
a
−
+
+
−（a 为常数）有最小值为9
−，求常数a 的值．
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(3)已知实数x ，y 满足
2
7
3
0
2
x
x
y
−
+
+
−=
，求
2
x
y
−
的最大值．
变式13-2 配方法是数学中重要的一种思想方法，这种方法是根据完全平方公式的特征进行代数式的变形，
并结合非负数的意义来解决一些问题．我们规定：一个整数能表示成
2
2
a
b
+
（a ，b 是整数）的形式，则称
这个数为“和谐数”．例如，10是“和谐数”，理由：因为
2
2
10
3
1
=
+
，所以10是“和谐数”．
【解决问题】
(1)判断40 是否为“和谐数”________．（填“是”或“否”）
【探究问题】
(2)若
2
8
25
a
a
−
+
可配方成(
)
2
2
a
m
n
−
+
（m ，n 为常数），则mn 的值________．
(3)已知
2
2
4
5
6
M
a
ab
b
b
k
=
+
+
−
+
（a ，b 是整数，k 是常数），要使M 为“和谐数”，试求出符合条件的一个
k 值，并说明理由．
【拓展应用】
(4)已知实数x ，y 满足
2
5
10
y
x
x
=
−
+
，当x 为多少时，y
x
−能取得最小值，并求出最小值．
变式13-3 配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等
变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的
意义来解决问题．定义：若一个整数能表示成
2
2
a
b
+
(a，b 为整数)的形式，则称这个数为“完美数”．例如，
13 是“完美数”，理由：因为
2
2
13
2
3
=
+
， 所以 13 是“完美数”．
解决问题：
(1)已知41是“完美数”，请将它写成
2
2
a
b
+
(a，b 为整数)的形式；
(2)若
2
6
1
x
x
−
−可配方成 (
)
2
x
m
n
−
+
(m，n 为常数)， 求 mn 的值；
(3)已知
2
2
4
4
12
S
x
y
x
y
k
=
+
+
−
+
(x，y 是整数，k 是常数)，要使S 为“完美数”，试求出k 值．
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
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1．已知关于x 的一元二次方程
(
)
2
0
m x
h
k
−
−
=
（m，h，k 均为常数且
0
m
）的解是
1
2
x =
，
2
5
x =
，则关
于x 的一元二次方程
(
)
2
1
m x
h
k
+
+
=
的解是（ ）
A．
1
2
2
5
x
x
= −
= −
，
B．
1
2
4
1
x
x
−
−
=
=
，
C．
1
2
1
4
x
x
=
=
，
D．
1
2
3
6
x
x
= −
= −
，
2．王老师设计了接力游戏：每人只能看到前一人的方程，并继续进行变形，将结果传递给下一人，最终求
出方程的解，过程如图所示．
上述求解过程中，错误的是（ ）
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
3．一元二次方程
2
2
3
1
0
x
x
+
+ =
用配方法解方程，配方结果是（ ）
A．
2
3
1
2
0
4
8
x
−
−
=
B．
2
3
1
2
0
4
8
x
+
+
=
C．
2
3
1
0
4
8
x
−
−
=
D．
2
0
6
3
4
1
1
x
+
−
=
4．定义：关于x 的一元二次方程
(
)
2
1
0
a
x
h
k
−
+
=
与
(
)
2
2
0
a
x
h
k
−
+
=
称为“同形二次方程”（
1
2
0
a a
）．现
有关于x 的方程(
)
2
3
2
5
0
x +
−
=
与方程(
)
(
)
2
2
1
4
3
0
a
x
b
x
+
+
+
+
=
是“同形二次方程”．则代数式
2
2
2026
ax
bx
−
+
−
的最大值是（ ）
A．2022
−
B．2024
−
C．2026
−
D．2028
−
5．在欧几里得的《几何原本》中，形如
2
2
x
ax
b
+
=
（
0
a
，
0
b
）的方程的图解法是：如图1，以2
a 和b
为两直角边作Rt
ABC
△
，再在斜边上截取
2
a
BD =
，则AD的长就是所求方程的正根．若关于x 的一元二次
方程
2
2
36
x
kx
+
=
，按照图1 的图解法构造图2，在Rt
ABC
△
中，
90
ACB
=
，连接CD，若
1
2
BCD
ACD
S
S
=
△
△
，
则k 的值是（ ）
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A．1
B．2
C．3
D．3 2
2
6．若
2
2
3
1
x
x
y
−
+
= ，当x =________时，x
y
+
的最大值是________．
7．设方程
2
2
6
0
x
x
+
−
=
的正根介于整数m 与
1
m+ 之间，则m = ____．
8．小鹿利用欧几里得的一元二次方程图解法，解方程
(
)
2
2
8
9
0
x
ax
a
a
+
=
的过程如下：将方程配方得
(
)
(
)
(
)
2
2
2
4
3
4
x
a
a
a
+
=
+
，以3a 和4a 为两直角边作ABC
（如图），再在斜边AB 及其延长线上截取
BD
BE
BC
=
=
，发现方程的解
1x
AD
=
，
2x
AE
= −
，若
2
x
AD
=
=
，则
2x 的值为______．
9．新定义：关于x 的一元二次方程
(
)
2
1
0
a
x
h
k
−
+
=
与
(
)
2
2
0
a
x
h
k
−
+
=
称为“同族二次方程”．如
(
)
2
2
3
2
0
x −
+
=
与(
)
2
3
3
2
0
x −
+
=
是“同族二次方程”．现有关于x 的一元二次方程(
)
2
2
1
1
0
x −
+ =
与
(
)
(
)
2
2
4
8
0
a
x
b
x
+
+
−
+
=
是“同族二次方程”，那么代数式a
b
−
的值是________________．
10．若
2
2
2
4
3
2
4
6
W
x
xy
y
y
x
=
−
+
−
+
+ （x、y 为实数），则W 的最小值为________．
11．解方程：
2
8
1
0
x
x
−
+ =
12．在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单．
例如，在计算(
)(
)
3
3
x
y
x
y
−
−
−
+
时就可以将x
y
−
看成一个整体，式子转化为：(
)
2
2
2
2
3
2
9
x
y
x
xy
y
−
−
=
−
+
−．
请借助整体思想完成：
(1)计算(
)(
)
3
3
x
y
x
y
+
−
−
+
．
(2)(
)(
)
2
2
2
2
2
2
77
x
y
x
y
+
+
+
−
=
，求
2
2
x
y
+
的值．
13．【阅读理解】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性增加问题的条件，
这种解题方法叫作配方法．配方法不仅在代数式求值、解方程、求最值问题等有着广泛的应用，也在几何、
经济等领域常用来分析最值，求解未知量．
应用一
应用二
用配方法分解因式：
2
6
8
a
a
+
+ ．
用配方法求代数式
2
2
12
22
x
x
+
+
的最小值．
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解：
2
6
8
a
a
+
+
2
6
9 1
a
a
=
+
+
−
2
(
3)
1
a
=
+
−
(
)(
)
3 1
3 1
a
a
=
+ −
+ +
(
)(
)
2
4
a
a
=
+
+
．
解：
2
2
12
22
x
x
+
+
(
)
2
2
6
9
2
x
x
=
+
+ +
2
2(
3)
4
x
=
+
+
2
(
3)
0
x +
2
2(
3)
4
4
x
+
+
2
2
12
22
x
x
+
+
的最小值为4
请根据上述阅读材料，解决下列问题：
(1)因式分解：
2
4
12
a
a
−
−
= ________；
(2)若
2
2
8
M
x
x
=
−
，运用配方法可求出M 的最小值为________；
(3)如图，在ABC
中，
90
BAC
=
，
8
AB =
，
6
AC =
，点D 为AB 边上一点（不与点A、点B 重合），连接CD，
以CD为边在CD上方构造正方形CDFE，连接BF ．则BDF
面积的最大值为________．
14．我国古代数学家赵爽（公元3~4 世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程的几何解
法，用“拼”的方法完成了配方，例如：
2
2
24
0
x
x
+
−
=
，可以变形为(
)
2
24
x x +
=
，用四个长为
2
x+
、宽为
x、面积为24 的矩形，拼成如图所示的大正方形，利用大正方形的面积等于四个矩形的面积加中间小正方
形的面积可以得到(
)
2
2
2
4 24
2
x
x
+
+
=
+
．
【模仿实践】（1）用“拼”的方法解方程
2
5
14
0
x
x
+
−
=
，先变形为________，每个小长方形的长为________，
宽为________，小正方形的面积为________；
【深入探究】（2）用“拼”的方法解方程
2
2
5
3
x
x
+
=
，写出解题过程．
15．配方法是数学中重要的一种思想方法，它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或
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几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．
我们定义：一个整数能表示成
2
2
a
b
+
（,a b 都是整数）的形式，则称这个数为“和美数”例如，5是一个“和美
数”，理由是：因为
2
2
5
2
1
=
+
，所以5是“和美数”．
(1)在29,54,117 三个数中，是“和美数”的有_______；
(2)已知
2
2
9
4
12
S
x
y
x
y
k
=
+
+
−
+ （,x y是整数，k 是常数），要使S为“和美数”，试写出符合条件的一个k 值，
并说明理由；
(3)已知实数,x y满足
2
7
5
0
3
x
x
y
−
+
+
−=
，求
3
x
y
−
的最大值．
