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1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题07 一元二次方程的概念的十类综合题型 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、一元二次方程的定义及求参 题型二、一元二次方程的一般形式 题型三、列一元二次方程 题型四、已知一元二次方程的根求参 题型五、一元二次方程中不含某项 题型六、已知一元二次方程的解整体代入求值 题型七、赋值一元二次方程的根 题型八、降次法求值 题型九、一元二次方程的整体换根 题型十、一元二次方程的估算 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 类别 具体内容 知识 点 1. 定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的整式方程叫做一元二次方 程 2. 一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0），其中ax²是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项， b 是一次项系数；c 是常数项 3. 判定三要素：①是整式方程；②只含1 个未知数；③未知数最高次数为2，三个 条件缺一不可 4. 方程的根：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的根，也 叫做一元二次方程的解 目 录 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 易错 点 1. 忽略“整式方程”前提：将分母含未知数的分式方程（如 x 1 +x²=3）误判定为一元二次 方程 2. 忘记验证二次项系数不为0：判定形如(m-1)x²+3x-2=0 的方程时，未考虑m=1 时方 程退化为一元一次方程，直接判定为一元二次方程 3. 确定系数时遗漏符号：将一般形式如2x²-3x+1=0 的一次项系数错写为3，实际应为 -3 4. 整理方程时出错：未将方程化为一般形式就直接确定次数和系数，如将x(x+2)=4x²-3 错整理，误判最高次数 5. 根的验证误区：代入求值时只计算一边，忽略验证方程左右两边是否相等，或者将 只满足一边的未知数错认为根 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、一元二次方程的定义及求参 典例1 下列关于x 的方程中是一元二次方程的是（ ） A． 2 5 2 0 x x + − = B．3 1 0 x+ = C． 2 1 3 x x + = D． 5 6 x y − = 变式1-1 若方程( ) 1 1 1 0 m m x mx − + + + = 是关于x 的一元二次方程，则m 的值是（ ） A． 1 m = B． 1 m = − C． 3 m = D． 1 m = −或 3 m = 变式1-2 已知一元二次方程的一个根是1，请写出这个一元二次方程____． 变式1-3 关于x 的方程( ) 2 7 3 1 0 m m x x − + + −= 是一元二次方程，则m 为__________． 3 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 类型二、一元二次方程的一般形式 典例2 一元二次方程 2 2 5 x x − = 的二次项系数和一次项系数分别是（ ）． A．2 ，5 − B．2 ，1 C．2 −，1 D．2 ，0 变式2-1 一元二次方程 ( ) ( ) 2 2 1 1 1 x m x x x − + + = − 化成一般形式后二次项的系数为1，一次项的系数为1 −， 则m 的值为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 变式2-2 把方程( )( ) 3 2 2 3 0 x x + − = 化为一般形式是__________． 变式2-3 一元二次方程 2 2 4 5 x x − = 化为一般式 2 0 ax bx c + + = 后，a，b，c 的值分别为________． 题型三、列一元二次方程 典例3 某工厂因生产技术落后等因素，造成去年的利润比前年减少了10% ．该工厂今年年初开展了技术革 新，计划今年的利润比去年增长30%，设该工厂按计划完成任务后今年和去年这两年平均增长的百分数为 x ．则下列方程正确的是（ ） A．( )( ) 1 10% 1 30% 2x − + = B．( )( ) 2 1 10% 1 30% 2x − + = C．( ) ( ) 2 1 10% 30% 1 x − + = + D．( )( ) ( ) 2 1 10% 1 30% 1 x − + = + 变式3-1 如图，某学校有一块长30m，宽10m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，两块绿 地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若两块矩形绿地的面积共 2 216m ，设人行通道的宽度为x 米，根据 题意列出方程（ ） A．( )( ) 30 3 10 2 216 x x − − = B．( )( ) 30 2 10 2 216 x x − − = 4 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 C．( )( ) 30 2 10 2 432 x x − − = D．( )( ) 30 3 10 2 432 x x − − = 变式3-2 某班级组织活动，每天需要两名志愿者参与活动，该班级学生积极参与，考虑到所有的不同组合， 共有45 种组队可能．如果设该班级参加活动的学生有x 人，根据题意列方程并化为一般形式：___________． 变式3-3 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出10 件，每件盈利40 元，为了扩大销售，增加盈利， 商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1 元，商场平均每天可多售出1 件．若商 场平均每天盈利600 元，每件衬衫应降价多少元？若设每件衬衫应降价x 元，则可列方程为________． 题型四、已知一元二次方程的根求参 典例4 已知方程 2 6 0 x kx + − = 的一个根是2，则k 的值为（ ） A．2 B．1 C．3 D．−3 变式4-1 已知 1 x = 是一元二次方程( ) 2 2 1 3 0 − + − = m x x m 的一个根，则m 的值为（ ） A．1 −或2 B．1 − C．2 D．0 变式4-2 若 1 x = 是一元二次方程 2 3 1 0 x kx + −= 的解，则k 的值为____________． 变式4-3 已知方程 2 3 0 x x c + + = 的一个根是1，则c = _____． 题型五、一元二次方程中不含某项 典例5 关于x 的一元二次方程 2 3 5 x mx x + = + 化为一般形式后不含一次项，则m 的值为（ ） A．0 B．3 ± C．3 D．3 − 变式5-1 若关于x 的方程2x2＋mx＝4x＋2 中不含x 的一次项，则m 等于（ ） A．0 B．4 C．－4 D．±4 5 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 变式5-2 若方程 2 2 4 2 x mx x + = + 中不含x 的一次项，则m = ________． 变式5-3关于x的一元二次方程( ) 2 2 1 5 m x m x x − + = + 化为一般形式后不含一次项，则m的值为__________． 题型六、已知一元二次方程的解整体代入求值 典例6 若关于x 的一元二次方程 ( ) 2 3 0 0 ax bx a + + = 的一个根是 2 x = ，则2026 4 2 a b − − = （ ） A．2029 B．2023 C．2029 − D．2025 变式6-1 若a 是关于x 的方程 2 3 1 0 x x − −= 的一个根，则 2 2026 6 2 a a − + 的值是（ ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 变式6-2 若 1 x = 是关于x 的方程 2 2 2 2 x ax a + + = 的一个根，代数式( ) 2 1 3 9 5 a a a a − + + −的值为__________． 变式6-3 若关于x 的一元二次方程 ( ) 2 1 0 0 ax bx a + + = 的一个解是 1 x = −，则2026 a b − + 的值是__________． 题型七、赋值一元二次方程的根 典例7 关于x 的方程 ( ) 2 0 0 ax bx c a + + = 中，若, , a b c 满足4 2 0 a b c + + = 和4 2 0 a b c − + = ，则该方程的根 是（ ） A． 1 2 2, 0 x x = = B． 1 2 4, 4 x x = − = C． 1 2 2, 2 x x = = − D．无法确定 变式7-1 若一元二次方程 2 2 0 x bx c + + = 满足2 0 b c + + = ，则这个方程必有一个根是（ ） A． 1 x = − B． 0 x = C． 1 2 x = D． 1 x = 变式7-2 在一元二次方程 ( ) 2 0 0 ax bx c a + + = 的研究中小明发现4 2 0 a b c − + = ，小红发现9 3 0 a b c + + = ， 6 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 而小刚听完他们的发现后直接说出了方程的两个解，则这个方程的根为__________． 变式7-3 对于一元二次方程 ( ) 2 0 0 ax bx c a + + = ，若9 3 0 a b c − + = ，则该方程的一个根是_____． 题型八、降次法求值 典例8 将关于x 的一元二次方程 2 0 x bx c + + = 变形为 2x bx c = − −，就可将 2 x 表示为关于x 的一次多项式，从 而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”．已知 2 1 0 x x − −= 可用“降次法”求 4 3 2019 x x − + 的值是 （ ） A．2019 B．2020 C．2021 D．2022 变式8-1 将关于x 的一元二次方程 2 0 x px q − + = 变形为 2x px q = − ，就可以将 2 x 表示为关于x 的一次多项 式，也可以将 3x 表示为 ( ) 2 x x x px q = − = …，从而达到“降次”的目的，我们将这种方法称为“降次法”，通过 这种方法可以化简次数较高的代数式．若 2 1 0 x x− + = ，则 3 2 2 2023 x x + + 的值为（ ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 变式8-2 将关于x 的一元二次方程 2 0 x px q + + = 变形为 2x px q = − − ，就可将 2 x 表示为关于的一次多项式， 从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”，已知 2 1 0 x x − −= ，可用“降次法”求得 4 3 2018 x x − + 的 值是_______． 变式8-3 将关于x 的一元二次方程 2 0 x bx c + + = 变形为 2x bx c = − −，就可得 2 x 表示为关于x 的一次多项式， 从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”．已知 2 1 0 x x − −= ，可用“降次法”求得 4 3 2016 x x − + 的值是______ ． 题型九、一元二次方程的整体换根 典例9 若关于x 的一元二次方程 2 2 2 0 ax bx + − = 的一个根是 2022 x = ，则一元二次方程 ( ) 2 2 2 1 2 a x bx b + + + = 必有一根为（ ）． A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 7 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 变式9-1 已知关于x 的方程( ) 2 0 a x m b + + = 的解 1 2 2, 1 x x = − = 是（a m b ，，均为常数， 0 a ），则方程 ( ) 2 3 1 0 a x m b + + + = 的解是（ ） A． 1 2 5, 4 x x = − = B． 1 2 1, 0 x x = − = C． 1 2 2, 1 x x = − = D．无法求解 变式9-2 已知一元二次方程 2 ( ) a x m n + = （ 0 a ）的两根分别为3 −、1，则一元二次方程 2 ( 2) 0 a x m n + − − = （ 0 a ）的两根分别为________． 变式9-3 关于x 的方程 2 ( ) 0 a x m b + − = 的解是 1 2 x = ，2 3 x = （a，m，b 均为常数， 0 a ），则方程 2 ( 2) a x m b + − = 的解是______． 题型十、一元二次方程的估算 典例10 根据表格中的信息，估计一元二次方程 2 0.2 ax bx c + + = （a 、b 、c 为常数， 0 a ）的一个解x 的 范围为（ ） x 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 2 ax bx c + + 0.44 − 0.25 − 0.04 − 0.19 0.44 A．0.4 0.5 x B．0.5 0.6 x C．0.6 0.7 x D．0.7 0.8 x 变式10-1 根据下表： x 3 − 2 − 1 − … 4 5 6 2 3 5 x x − − 13 5 1 − … 1 − 5 13 确定方程 2 3 5 0 x x − − = 的解的取值范围是（ ） A．3 2 x − −或4 5 x B．2 1 x − − 或5 6 x C．3 2 x − −或5 6 x D．2 1 x − − 或4 5 x 8 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 变式10-2 小刚在探索一元二次方程 2 12 15 0 x x + − = 的近似解时做了如下表的计算．观察表中对应的数据， 可知该方程的其中一个解的整数部分是______． x 0 0.5 1 1.5 2 2 12 15 x x + − 15 − 8.75 − 2 − 5.25 13 变式10-3 探索一元二次方程 2 3 5 0 x x + − = 的一个正数解的过程如下表： x 1 − 0 1 2 3 4 2 3 5 0 x x + − = 7 − 5 − 1 − 5 13 23 从表中可以看出方程 2 3 5 0 x x + − = 的一个正数解在相邻整数a 和b 之间，则整数a，b 分别是____． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．下列方程是一元二次方程的是（ ） A． 2 0 ax bx c + + = B．( ) ( ) 2 2 3 9 1 1 x x − − + = C． 2 1 x x = D． 1 1 x x + = − 2．若方程( ) 1 3 3 3 0 m m x x − − + −= 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为（ ） A．3 − B．1 − C．1 D．3 3．若关于x 的一元二次方程( ) 2 2 2 3 4 0 k x x k + + + − = 的一个根为0 ，则k 的值为（ ）． A．2 − B．2 C．2 或2 − D．1 −或2 4．已知实数p ，q 满足 2 3 2 0 p p + − = ， 2 2 3 1 0 q q − −= （ 1 pq ），则 2 1 pq p q + + 的值是（ ） A．1 − B．4 − C．5 − D．7 − 5．如表是某同学求代数式 2 ax bx + （a，b 为常数）的值的情况．根据表格中数据，可知关于x 的方程 2 2 ax bx + = 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 的实数根是（ ） x … 2 − 1 − 0 1 2 … 2 ax bx + … 6 2 0 0 2 … A． 1 1 x = −， 2 2 x = B． 1 2 x = ， 2 3 x = − C． 1 0 x = ， 2 1 x = D． 1 2 x = −， 2 3 x = 6．已知m 是一元二次方程 2 2 2 0 x x + − = 的一个根，则代数式 2 2 4 m m + 的值是______． 7．已知a 是关于x 的一元二次方程 2 2012 1 0 x x − + = 的一个根，则 2 2 2012 2011 1 a a a − + + 的值为__________． 8．若实数x 满足 2 1 0 x x − −= ，则 3 2 2 2027 x x − + = ______． 9．设α 是方程 2 4 1 0 x x + −= 的一个根，则 4 3 2 8 14 8 15 + + − − 的值为__________． 10．已知a 是方程 2 2021 1 0 x x − + = 的一个根，则 3 2 2 2021 2021 1 a a a − − = + ____． 11．已知a 是方程 2 2026 1 0 x x − + = 的一个根，试求 2 2 1 2025 2026 a a a + − − 的值． 12．已知a 是一元二次方程 2 1 0 x x− + = 的一个根： (1)求 2 2 2 a a + 的值 (2)求 3 2 2026 a a − + 的值． 13．定义：方程 2 0 cx bx a + + = 是一元二次方程 2 0 ax bx c + + = 的倒方程，其中a，b，c 为常数（且a ， 0 c ）．根 据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程 2 4 3 1 0 x x − + + = 的“倒方程”是______； (2)若 1 x = −是一元二次方程 2 2 0 x x c − + = 的“倒方程”的解，求出c 的值； (3)若m 是一元二次方程 2 6 1 0 x x − + + = 的“倒方程”的一个实数根，则 3 2 6 2025 m m m + − + 的值为_____． 14．关于x 的一元二次方程 2 0 x bx c + + = 经过适当变形，可以写成( )( ) ( ) x m x n p m n − − = 的形式．现列表 探究 2 6 7 0 x x − − = 的变形： 变形 m n p ( )( ) 1 7 0 x x + − = 1 − 7 0 ( ) 6 7 x x − = 0 6 7 10 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ( )( ) 1 12 x x t − − = 1 t 12 ( ) 2 3 16 x − = 3 3 16 回答下列问题： (1)表格中t 的值为______； (2)观察上述探究过程，表格中m 与n 满足的等量关系为______； (3)记 2 0 x bx c + + = 的两个变形为( )( ) 1 1 2 x m x n − − = 和( )( ) 2 2 3 x m x n − − = ，求( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 2 2 m n m n + − + 的值． 15．定义：如果关于x 的一元二次方程 ( ) 2 0 0 ax bx c a + + = 满足 0 a b c −+ = ，那么我们称这个方程为“黄金 方程”． (1)下列方程中：① 2 1 x = ；②( )( ) 1 2 0 x x − + = ；③ 2 2 3 0 x x − − = ，是黄金方程的为 （填序号）． (2)已知关于x 的一元二次方程 2 2 0( 0 x bx c c + + = ）是“黄金方程”，求代数式 2 2 1 b c − + 的最小值．
