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专题04 判别式、根与系数的关系及含参数问题
常考题型·精准突破
题型1 根据判别式判断一元二次方程根的情况（重）
题型2 根据一元二次方程根的情况求参数（高频）
题型3 利用根与系数的关系求代数式的值（高频）
题型4 判别式和根与系数的关系的综合问题（难）
题型5 判别式和根与系数的关系的新定义型问题（难）
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
◆题型1 根据判别式判断一元二次方程根的情况
1．（25-26 八年级下·山西大同·期末）关于x 的一元二次方程
2
2
3
1
0
x
x
+
−=
的根的情况（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法判断
【答案】A
【详解】解：对于一元二次方程
2
2
3
1
0
x
x
+
−=
，
可得
2
a =
，
3
b =
，
1
c = −，
∵
(
)
2
2
Δ
4
( 3)
4 2
1
3 8
11
0
b
ac
=
−
=
−−
= + =
，
∴方程有两个不相等的实数根.
2．（25-26 八年级下·浙江绍兴·期末）关于x 的一元二次方程
2
1
0
x
x
k
−
+
+ =
中，
0
k ，则该方程的根的情
况是（ ）
A．两实数根之和为1
B．两实数根之积为1
C．没有实数根
D．有两个不相等的实数根
【答案】C
【分析】先计算根的判别式，结合
0
k 判断判别式的符号，即可确定方程根的情况，即可得出答案．
【详解】解：对于一元二次方程
2
1
0
x
x
k
−
+
+ =
，可得
1
a = ，
1
b = −，
1
c
k
=
+ ，
∴
(
)
2
2
4
( 1)
4 1
1
4
3
b
ac
k
k
=
−
= −
−
+
= −
−，
0
k
，
4
3
0
k
−
−
，即Δ
0
，
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该方程没有实数根．
3．（2026·四川内江·中考真题）对于实数a 、b ，定义运算“☆”如下：
2
a
b
ab
ab
−
=
☆
，例如：
2
3
2
3 2
3 2
6
=
−
=
☆
，则方程2
3
x =
☆
的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
【答案】A
【分析】根据题目给出的新定义，将方程2
3
x =
☆
转化为一元二次方程的一般形式，再利用根的判别式判断
根的情况即可．
【详解】解：∵
2
a
b
ab
ab
−
=
☆
，
∴
2
2
2
3
x
x
−
= ，
∴
2
2
2
3
0
x
x
−
−
=
，
∴
(
)
(
)
2
Δ
2
4 2
3
4
24
28
0
= −
−−
=
+
=
，
∴原方程有两个不相等的实数根．
◆题型2 根据一元二次方程根的情况求参数
4．
（25-26 八年级下·浙江台州·期末）已知关于x 的一元二次方程
2
2
1
0
kx
kx
−
+ =
有两个相等的实数根，则k =
________________．
【答案】1
【分析】根据一元二次方程的定义，结合一元二次方程根的判别式求解参数k 的值．
【详解】解：方程
2
2
1
0
kx
kx
−
+ =
是关于x 的一元二次方程，
0
k
．
方程有两个相等的实数根，
2
2
2
4
( 2 )
4
1
4
4
0
b
ac
k
k
k
k
=
−
= −
−=
−
=
，
变形得
(
)
4
1
0
k k −
=
，
解得
0
k =
或
1
k = ，
又
0
k
，
1
k
= ．
5．（25-26 八年级下·吉林·期末）已知关于x 的一元二次方程
2
2
4
0
x
x
a
−
+
=
有两个不相等的实数根，则a 的
取值范围是__________．
【答案】
2
a
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，题目已明确方程为一元二次方程，二次项系数不为0，根据方
程有两个不相等的实数根，可得根的判别式大于0，解不等式即可得到a 的取值范围．
【详解】解： 关于x 的一元二次方程
2
2
4
0
x
x
a
−
+
=
有两个不相等的实数根，
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2
( 4)
4 2
0
a
= −
−
，
整理得16 8
0
a
−
，
解得
2
a
．
6．
（25-26 八年级下·山东泰安·期末）若关于x 的一元二次方程
(
)
2
2
1
0
kx
k
x
k
−
+
+
=
有两个不相等的实数根，
则k 的取值范围为____________________．
【答案】
1
4
k −
且
0
k
【详解】解：∵方程
(
)
2
2
1
0
kx
k
x
k
−
+
+
=
是关于x 的一元二次方程
∴
0
k
．
∵方程有两个不相等的实数根，
∴
2
Δ
4
0
b
ac
=
−
．其中a
k
=
，
(
)
2
1
b
k
= −
+
，c
k
=
，
代入得：
(
)
2
2
1
4
0
k
k k
−
+
−
，
展开得
2
2
4
4
1
4
0
k
k
k
+
+ −
，
化简得4
1
0
k +
，
解得
1
4
k −
．
综上，k 的取值范围为
1
4
k −
且
0
k
．
◆题型3 利用根与系数的关系求代数式的值
7．（25-26 八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）设
1x ，
2x 是关于x 的一元二次方程
2
20
0
x
x
−
−
=
的两个实数根，
则
2
2
1
2
1
2
x x
x x
+
的值为___________．
【答案】20
−
【分析】根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，将所求代数式因式分解后整体代入计算即可．
【详解】解：
1
2
,
x x
是一元二次方程
2
20
0
x
x
−
−
=
的两个实数根，
由根与系数的关系可得
1
2
1
b
x
x
a
+
= −
= ，
1 2
20
c
x x
a
=
= −
，
(
)
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
20 1
20
x x
x x
x x
x
x
+
=
+
= −
= −
．
8．（25-26 八年级下·北京·阶段检测）已知m、n 是方程
2
2
5
0
x
x
−
−
=
的两个根，代数式
3 (
1)
(
3)(
3)
m m
m
m
m
−
−
−
+
−
的值为________；
2
2
m
n
+
的值为________．
【答案】 19 14
【分析】对于第一空 ，根据单项式乘以多项式的运算法则和平方差公式去括号，然后合并同类项化简，根
据方程的解的定义推出
2
2
5
m
m
−
=
，再由
(
)
2
2
2
4
9
2
2
9
m
m
m
m
−
+
=
−
+
可得答案；对于第二空，由根与系数
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的关系得到
2
5
m
n
mn
+
=
= −
，
，再根据完全平方公式的变形求解即可．
【详解】解：3 (
1)
(
3)(
3)
m m
m
m
m
−
−
−
+
−
(
)
2
2
3
3
9
m
m
m
m
=
−
−
−
−
2
2
3
3
9
m
m
m
m
=
−
−
+
−
2
2
4
9
m
m
=
−
+
，
∵m 是方程
2
2
5
0
x
x
−
−
=
的一个根，
∴
2
2
5
0
m
m
−
−
=
，
∴
2
2
5
m
m
−
=
，
∴
(
)
2
2
2
4
9
2
2
9
2 5
9
19
m
m
m
m
−
+
=
−
+
=
+
=
；
∵m、n 是方程
2
2
5
0
x
x
−
−
=
的两个根，
∴
2
5
m
n
mn
+
=
= −
，
，
∴
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
5
4 10
14
m
n
m
n
mn
+
=
+
−
=
−−
=
+
=
．
9．（25-26 八年级下·浙江金华·阶段检测）设
1x ，
2x 为方程
2
2
7
2
0
x
x
−
+
=
的两根，试求下列各式的值；
(1)
1
2
1
1
x
x
+
(2)
2
1
1
2
x
x
x
x
+
(3)
2
1
1
2
x
x
x
x
+
【答案】(1) 7
2
(2) 41
4
(3) 7
2
【分析】（1）先根据一元二次方程根与系数的关系，得到两根之和与两根之积的值，再将所求代数式通分
后代值计算即可．
（2）将所求代数式通分后代值计算即可．
（3）先对所求式子平方，结合第二问结果计算后再开方得到最终结果．
【详解】（1）解：∵
1
2
,
x x 是方程
2
2
7
2
0
x
x
−
+
=
的两根，
∴
1
2
1 2
7
2
,
1
2
2
x
x
x x
+
=
=
= ，
∴
1
2
1
2
1
2
7
1
1
7
2
1
2
x
x
x
x
x x
+
+
=
=
=
．
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（2）解：
2
1
1
2
x
x
x
x
+
2
2
1
2
1
2
x
x
x x
+
=
(
)
2
1
2
1
2
1
2
2
x
x
x x
x x
+
−
=
2
7
2 1
49
41
2
2
1
4
4
−
=
=
−
=
．
（3）解：∵
1 2
1
2
7
1
0,
0
2
x x
x
x
=
+
=
，
1
2
0,
0
x
x
，
∴
2
2
1
1
2
x
x
x
x
+
2
2
1
1
1
1
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
=
+
+
2
1
1
2
2
x
x
x
x
=
+
+
41
49
2
4
4
=
+
=
，
2
1
1
2
49
7
4
2
x
x
x
x
+
=
=
．
◆题型4 判别式和根与系数的关系的综合问题
10．（25-26 八年级下·江苏苏州·期末）已知关于x 的一元二次方程
2
6
0
x
x
m
−
+
= ．
(1)若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；
(2)若方程的两根为
1x ，
2x ，且
1
2
2
x
x
=
，求m 的值．
【答案】(1)
9
m
(2)
8
m =
【分析】（1）根据“方程有两个不相等的实数根”可知判别式Δ
0
,列不等式即可求出m 的取值范围；
（2）利用根与系数的关系得到两根之和，结合已知
1
2
2
x
x
=
，求出两根的值，再通过两根之积求出m 的值．
【详解】（1）解：已知一元二次方程为
2
6
0
x
x
m
−
+
= ,方程有两个不相等的实数根，
∴
2
Δ
( 6)
4 1
36
4
0
m
m
= −
−
=
−
，
解得
9
m
；
（2）解：对于一元二次方程
2
6
0
x
x
m
−
+
= ，
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由根与系数的关系可得
1
2
6
x
x
+
=
，
1
2
x x
m
=
，
∵
1
2
2
x
x
=
，
∴
2
2
2
6
x
x
+
=
，
解得
2
2
x =
，
∴
1
2 2
4
x =
=
，
∴
4 2
8
m = = ．
11．
（25-26 八年级下·北京·期末）已知关于x 的一元二次方程
(
)
2
2
2
1
1
0
x
k
x
k
+
−
+
−=
的两个实数根分别为
1x ，
2x ．
(1)求k 的取值范围；
(2)若
1x ，
2x 满足
1
2
1 2
3
x
x
x x
+
= −
，求实数k 的值．
【答案】(1)
5
4
k
(2)
1
k = −
【分析】（1）根据方程有两个实数根，得判别式Δ
0
，解不等式即可得到k 的取值范围；
（2）先根据根与系数的关系用k 表示
1
2
x
x
+
和
1
2
x x ，再代入已知等式得到关于k 的方程，结合（1）中k 的
范围筛选出符合条件的k 值即可；
【详解】（1）解：关于x 的一元二次方程
(
)
2
2
2
1
1
0
x
k
x
k
+
−
+
−=
有两个实数根，
Δ
0
，
即
(
)
2
2
(2
1)
4 1
1
0
k
k
=
−
−
−
，
展开整理得4
5
0
k
−
+
，
解得
5
4
k
；
（2）解：由一元二次方程根与系数的关系可得
1
2
(2
1)
1 2
x
x
k
k
+
= −
−
= −
，
2
1
2
1
x x
k
=
−，
1
2
1
2
3
x
x
x x
+
= −
，
代入得
2
1 2
3 (
1)
k
k
−
= −
−
，
整理得
2
2
3
0
k
k
−
−
=
，
解得
1
2
3,
1
k
k
=
= −，
5
4
k
，
5
3
4
，
3
k
=
不符合题意，舍去，
1
k
= −．
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12．（25-26 八年级下·安徽六安·期末）已知关于x 的一元二次方程
(
)
2
3
0
x
k
x
k
+
+
+
=
．
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)若
1x 、
2x 是方程的两根，且
1
2
1 2
3
13
x
x
x x
+
−
=
，求k 的值．
【答案】(1)证明：
(
)
2
Δ
3
4
k
k
=
+
−
2
6
9
4
k
k
k
=
+
+
−
2
2
9
k
k
=
+
+
(
)
2
1
8
k
=
+
+ ，
∵(
)
2
1
0
k +
，
∴
(
)
2
Δ
1
8
0
k
=
+
+
，
∴方程总有两个不相等的实数根．
(2)
4
k = −
【分析】（1）计算出根的判别式，再利用完全平方公式变形可得
(
)
2
1
8
0
k
=
+
+
，因此方程总有两个
不相等的实数根；
（2）由根与系数的关系，用k 表示
1
2
x
x
+
和
1
2
x x ，代入解方程即可．
【详解】（1）略
（2）解：
(
)
2
3
0
x
k
x
k
+
+
+
=
，
由根与系数的关系可得，
1
2
3
3
1
k
x
x
k
+
+
= −
= −
−
，
1 2
x x
k
=
，
∵
1
2
1 2
3
13
x
x
x x
+
−
=
，
∴
3
3
13
k
k
−
−
−
=
，
解得
4
k = −．
◆题型5 判别式和根与系数的关系的新定义型问题
13．（25-26 八年级下·江苏苏州·期末）定义：如果关于x 的一元二次方程
2
0
ax
bx
c
+
+
=
（a ，b ，c 均为常
数，
0
a
）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，则称这样的方程为“美丽方程”．
(1)下列方程中，是“美丽方程”的是__________（填序号）．
①
2
2
0
x
x
+
=
；②
2
4
4
0
x
x
−
+
=
；③
2
4
3
0
x
x
+
+
=
．
(2)若(
)(
)
2
0
x
x
n
+
+
=
是“美丽方程”，求n 的值．
(3)若一元二次方程
2
4
0
ax
ax
c
+
+
= （a ，c 均为常数，
0
a
）为“美丽方程”，请写出a 、c 满足的数量关系，
并说明理由．
【答案】(1)①③
(2)
0
n =
或
4
n =
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(3)
3
c
a
=
，理由：
设方程
2
4
0
ax
ax
c
+
+
=
（
0
a
）的两个根为
1x ，
2x ，
方程为“美丽方程”，
1
2
2
x
x
−
=
，
两边平方得(
)
2
1
2
4
x
x
−
=
．
由一元二次方程根与系数的关系得：
1
2
4
4
a
x
x
a
+
= −
= −，
1 2
c
x x
a
=
．
(
)
(
)
2
2
1
2
1
2
1
2
4
x
x
x
x
x x
−
=
+
−
，
(
)
2
4
4
4
c
a
−
−
=
，
整理得
4
16
4
c
a
−
=
，
化简得
3
c
a
=
，即a ，c 满足的数量关系为
3
c
a
=
．
【分析】（1）分别求得①②③中方程的两个根，再根据“美丽方程”的定义判断即可；
（2）先求出方程的两个根，再根据“美丽方程”的定义列方程求解n ；
（3）设方程
2
4
0
ax
ax
c
+
+
=
（
0
a
）的两个根为
1x ，
2x ，利用两根差的条件结合根与系数的关系推导a 和
c 的数量关系．
【详解】（1）解：①解方程
2
2
0
x
x
+
=
得
1
0
x =
，
2
2
x = −．
(
)
0
2
2
−−
=
，符合“美丽方程”定义，
①是“美丽方程”；
②解方程
2
4
4
0
x
x
−
+
=
得
1
2
2
x
x
=
=
．
2
2
0
2
−
=
，不符合定义，
②不是“美丽方程”；
③解方程
2
4
3
0
x
x
+
+
=
得
1
1
x = −，
2
3
x = −．
(
) (
)
1
3
2
−
−−
=
，符合定义，
③是“美丽方程”．
综上可知，是“美丽方程”的是①③．
（2）解：解方程(
)(
)
2
0
x
x
n
+
+
=
得
1
2
x = −，
2x
n
= −．
该方程是“美丽方程”，
(
) (
)
2
2
n
−
−−
=
，即
2
2
n −
=
，
∴
2
2
n−
=
或
2
2
n−
= −，
解得
4
n =
或
0
n =
．
（3）略．
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14．
（25-26 九年级上·安徽芜湖·期中）若
1x ，2x 是一元二次方程
(
)
2
0
0
ax
bx
c
a
+
+
=
的两根，则有
1
2
b
x
x
a
+
= −
，
1
2
c
x
x
a
=
，由上式可知，一元二次方程的两根和、两根积是由方程的系数确定的，我们把这个关系称为一
元二次方程根与系数的关系．
(1)已知关于x 的一元二次方程
(
)
2
2
2
1
1
0
x
k
x
k
−
−
+
−=
的两个不相等的实数根分别为
1x ，
2x ，且满足：
1
2
1
2
x
x
x x
+
=
，求k 的值；
(2)若，是方程
2
1
0
x
x
−
−=
的两根，记
1S
=
+
，
2
2
2
S
=
+
，…，
n
n
n
S
=
+
，
①当n 为不小于3的整数时，证明：
2
1
n
n
n
S
S
S
−
−
+
=
；
②计算
2
S ，
7
S 的值．
【答案】(1) 3
−
(2)①证明：
，是方程的根，
∴
2
1
=
+ ，
2
1
=
+ ，
∴
2
2
1
1
2
2
2
1
(1
)
(1
)
n
n
n
n
n
n
n
n
S
S
−
−
−
−
−
−
−
−
+
=
+
+
+
=
+
+
+
，
因为
2
1
=
+ ，
2
1
=
+ ，
所以原式
2
2
2
2
n
n
n
n
n
S
−
−
=
+
=
+
=
②3；29
【分析】（1）先计算根的判别式，根据原方程有两个不相等的实数根，得出不等式，解不等式，得出
1
k ，
根据一元二次方程根与系数的关系，结合已知
1
2
1
2
x
x
x x
+
=
可得
2
2
1
0
k
k
−
+ =
或
2
2
3
0
k
k
+
−
=
，解一元
二次方程，即可求解．
（2）①由，是方程的根得到
2
1
=
+ ，
2
1
=
+ ，结合
n
S 的定义进行证明；
②根据根与系数的关系写出
+
、的值，运用完全平方公式变形求得
2
S 的值，利用①中的结论求得
7
S 的值．
【详解】（1）解：
(
)
(
)
2
2
2
2
Δ
2
1
4
1
4
8
4
4
4
8
8
k
k
k
k
k
k
= −
−
−
−
=
−
+ −
+
= −
+
．
原方程有两个不相等的实数根，
8
8
0
k
−
+
，解得
1
k ，
由根与系数的关系，
1
2
2(
)1
x
x
k
+
=
−
，
2
1
2
1
x x
k
=
−，
1
2
1
2
x
x
x x
+
=
，
2
1
|
)
2
1
(
|
k
k
−
=
−，化简得
2
2
1
0
k
k
−
+ =
，或
2
2
3
0
k
k
+
−
=
，
1
k
= 或
3
k = −，
又
1
k
，
3
k
= −；
（2）①略
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②，是方程
2
1
0
x
x
−
−=
的两根，
1
+
= ，
1
= −，
2
2
2
2
(
2
1 2
)
3
S
=
+
=
+
−
= +
=
；
由①知：
7
6
5
S
S
S
=
+
5
4
4
3
S
S
S
S
=
+
+
+
4
3
4
3
2
S
S
S
S
=
+
+
+
4
3
3
2
S
S
=
+
(
)
3
2
3
3
2
S
S
S
=
+
+
3
2
5
3
S
S
=
+
(
)
2
1
2
5
3
S
S
S
=
+
+
1
2
5
8
S
S
=
+
(
)
(
)
2
2
5
8
=
+
+
+
29
=
．
15．（25-26 八年级下·广东深圳·期末）已知关于x 的一元二次方程
2
0
ax
bx
c
+
+
=
有两个实数根
1x ，
2x ，若
满足
1
2
1
x
x
−
= ，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题：
(1)下列是“差根方程”的是________；（填写序号）
①
2
0
x
x
−
=
；②
2
4
5
0
x
x−
−
=
(2)已知关于x 的方程
2
2
0
x
ax
+
=
是“差根方程”，求a 的值．
(3)已知ABC
是直角三角形，斜边BC 的长为7 ，若ABC
的两边AB 、AC 的长是一个二次项系数为1 的
“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”．
【答案】(1)①
(2)
1
2
a =
(3)
2
13
3
0
x
x
−
+ =
【分析】本题考查新定义“差根方程”，一元二次方程的求解、完全平方公式和勾股定理的应用，熟练掌握相
关知识，正确理解新的定义是解题的关键．
（1）先求解两个方程，再根据“差根方程”定义判断即可；
（2）先求解方程得到两个根，根据“差根方程”定义列方程求解即可；
（3）利用勾股定理和“差根方程”的定义，结合完全平方公式求出两根之和与两根之积，再写出二次项系数
为1 的方程即可．
【详解】（1）解：①
2
0
x
x
−
=
解得：
1
1
x = 或
2
0
x =
，
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1
2
1 0
1
x
x
−
=
−
= ，
①是“差根方程”；
②
2
4
5
0
x
x−
−
=
解得：
1
5
x = ，
2
1
x = −，
(
)
1
2
5
1
6
1
x
x
−
=
−−
=
，
②不是“差根方程”；
（2）解：方程
2
2
0
x
ax
+
=
因式分解得：(
)
2
0
x x
a
+
=
，
解得：
1
0
x =
，
2
2
x
a
= −
，
方程
2
2
0
x
ax
+
=
是“差根方程”，
(
)
0
2
1
a
−−
= ，
2
1
a
= ，
2
1
=
a
或2
1
a = −，
解得：
1
2
a =
或
1
2
a
−
=
；
（3）解： 设
1
AB
x
=
、
2
AC
x
=
，
ABC
是直角三角形，斜边BC 的长为7 ，
2
2
2
AB
AC
BC
+
=
，
2
2
1
2
7
x
x
+
=
，
1x
、
2x 是“差根方程”的两个实数根，
1
2
1
x
x
−
= ，
(
)
2
1
2
1
x
x
−
= ，
2
2
1
2
1
2
2
1
x
x
x x
+
−
= ，
1 2
7
2
1
x x
−
= ，
1
2
3
x x
=
，
(
)
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
7
2 3
13
x
x
x
x
x x
+
=
+
+
=
+ =
，
1x
、
2x 是三角形的边长，均为正数，
1
2
13
x
x
+
=
，
方程二次项系数为1，
所求差根方程为
2
13
3
0
x
x
−
+ =
．
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综合攻坚·知能拔高
一、单选题
1．（2026·内蒙古通辽·模拟预测）关于x 的一元二次方程
2
2
2
6
6
0
x
x
k
−
+
+
= 根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．无实数根
D．只有一个实数根
【答案】C
【分析】通过计算判别式并判断其符号即可确定方程根的情况即可
【详解】解：对于一元二次方程
2
2
2
6
6
0
x
x
k
−
+
+
=
，
其中
2
a =
，
6
b = −，
2
6
c
k
=
+
，
2
2
2
2
2
Δ
4
(
6)
4 2 (
6)
36 8
48
8
12
b
ac
k
k
k
=
−
= −
−
+
=
−
−
= −
−
∵
2
0
k
，
∴
2
8
0
k
−
，
∴
2
Δ
8
12
12
0
k
= −
−
−
，
因此方程无实数根
2．（25-26 八年级下·浙江杭州·期末）已知
1x ，
2x 是一元二次方程
2
5
8
0
x
x
−
−
=
的两个根，则
1
2
1 2
x
x
x x
+
−
的
值为（ ）
A．13
B．13
−
C．3
D．3
−
【答案】A
【分析】若一元二次方程
(
)
2
0
0
ax
bx
c
a
+
+
=
的两根为
1x ，
2x ，则有
1
2
b
x
x
a
+
= −
，
1 2
c
x x
a
=
，再代入所求代
数式计算即可．
【详解】解：∵
1x ，
2x 是一元二次方程
2
5
8
0
x
x
−
−
=
的两个根，
∴
1
2
5
5
1
x
x
−
+
= −
= ，
1 2
8
8
1
x x
−
=
= −，
∴
(
)
1
2
1
2
5
8
13
x
x
x x
+
−
=
−−
=
．
3．（2026·河南商丘·模拟预测）已知关于x 的一元二次方程
(
)
2
2
1
1
0
4 x
m
x
m
−
+
+
=
有两个相等的实数根，则
m 的值是（ ）
A．1
2
B．1
4
C．
1
2
−
D．2
【答案】A
【详解】解：根据题意，得
(
)
2
2
2
1
Δ
4
1
4
2
1
4
b
ac
m
m
m
−
−
=
−
=
−
=
+ ，
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∵关于x 的一元二次方程
(
)
2
2
1
1
0
4 x
m
x
m
−
+
+
=
有两个相等的实数根，
∴2
1
0
m
−
+ =
，
解得
1
2
m =
，
故选：A．
二、填空题
4．（25-26 九年级上·甘肃张掖·阶段检测）定义新运算，对于任意实数m、n 有m
n
mn
m
n
=
−
−
☆
，则方程
2
(
1)
0
x
x+
=
☆
的根的判别式的值为__________．
【答案】9
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，熟练根的判别式
2
4
b
ac
=
−
是解题关键．根据题意
得出方程2
(
1)
0
x
x+
=
☆
是
2
2
1
0
x
x
−
−=
，再根据根的判别式公式求解即可．
【详解】解：根据题意
2
2
(
1)
2 (
1)
2
(
1)
2
1
0
x
x
x x
x
x
x
x
+
=
+
−
−
+
=
−−=
☆
，
则
(
)
(
)
2
1
4 2
1
9
= −
−−
=
，
故答案为：9．
5．（25-26 九年级下·北京西城·开学考试）若关于x 的一元二次方程
2
2
1
0
ax
x
+
+ =
有两个不相等的实数根，
则实数a 的取值范围是______．
【答案】
1
a 且
0
a
【分析】先根据一元二次方程的定义确定二次项系数不为0，再利用根的判别式Δ
0
建立不等式，联立求
解即可得到a 的取值范围；
【详解】解：∵关于x 的方程
2
2
1
0
ax
x
+
+ =
是一元二次方程，
∴
0
a
，
∵该方程有两个不相等的实数根，
∴根据一元二次方程根的判别式
2
4
0
b
ac
=
−
，
即：
2
2
4
0
a
−
，
解得：
1
a ，
实数a 的取值范围是
1
a 且
0
a
．
6．（25-26 九年级下·山东淄博·期末）已知m ，n 是方程
2
2026
1
0
x
x
−
+ =
的两个实数根，则
(
)(
)
2
2
2025
2
2025
2
m
m
n
n
−
+
−
+
的值为________．
【答案】2028
【分析】根据一元二次方程根的定义和根与系数的关系得到
2
2026
1
0
m
m
−
+ =
，
2
2026
1
0
n
n −
+ =
，
1,
2026
mn
m
n
=
+
=
，代入所求代数式进行解答即可．
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【详解】解：∵m ，n 是方程
2
2026
1
0
x
x
−
+ =
的两个实数根，
∴
2
2026
1
0
m
m
−
+ =
，
2
2026
1
0
n
n −
+ =
，
1,
2026
mn
m
n
=
+
=
，
∴
2
2025
1
m
m
m
−
=
−，
2
2025
1
n
n
n
−
=
−，
∴(
)(
)
2
2
2025
2
2025
2
m
m
n
n
−
+
−
+
(
)(
)
1
2
1
2
m
n
=
−+
−+
(
)(
)
1
1
m
n
=
+
+
(
)
1
mn
m
n
=
+
+
+
1 2026 1
= +
+
2028
=
三、解答题
7．（25-26 八年级下·安徽马鞍山·期末）已知关于x 的一元二次方程
2
2
1
0
ax
x
−
−=
有两个不相等的实数根．
(1)求a 的取值范围．
(2)若方程的一个根是另一个根的两倍，求a 的值．
【答案】(1)
1
a
−
且
0
a
(2)
8
9
a = −
【分析】（1）根据一元二次方程的定义及根的判别式列出不等式，求解即可；
（2）设方程的两个不相等的实数根为
1x ，
2x ，则
1
2
2
x
x
=
，
1
2
2
2
x
x
a
a
−
+
= −
=
，可求出
2
2
3
x
a
=
，
1
4
3
x
a
=
，
根据
1
2
1
x
x
a
= −
列出关于a 的方程，求解即可．
【详解】（1）解：∵关于x 的一元二次方程
2
2
1
0
ax
x
−
−=
有两个不相等的实数根，
∴
(
)
(
)
2
2
4
1
4
4
0
a
a
= −
−
−
=
+
且
0
a
，
1
a
−且
0
a
．
（2）解：设方程的两个不相等的实数根为
1x ，
2x ，
∵方程的一个根是另一个根的两倍，
∴不妨设
1
2
2
x
x
=
，
1
2
2
2
x
x
a
a
−
+
= −
=
，
∴
2
2
2
2x
x
a
+
=
，
2
2
3
x
a
=
，
∴
1
2
4
2
3
x
x
a
=
=
，
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1
2
1
x x
a
= −
，
2
8
1
9a
a
= −
，
解得
8
9
a = −
，
经检验，
8
9
a = −
是该分式方程的解．
8．（25-26 八年级下·北京·阶段检测）已知关于x 的一元二次方程(
)
(
)
2
3
2
1
0
a
x
a
x
−
−
−
+ =
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程的两个根均为整数，求整数a 的值．
【答案】(1)证明：方程为一元二次方程，故
3
0
a −
即
3
a
，
判别式
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
Δ
2
4
3
1
4
4
4
12
8
16
4
0
a
a
a
a
a
a
a
a
−
−
−
=
−
=
−
+
−
+
=
−
+
=
，
方程总有两个实数根．
(2)
4
a =
或
2
a =
【分析】（1）证明
0
即可；
（2）根据求根公式，表示出两个根，利用整数的性质，求解即可；
【详解】（1）略
（2）解：由求根公式得
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
(
4)
2
4
2
3
2
3
a
a
a
a
x
a
a
−
−
−
−
=
=
−
−
计算得
(
)
(
)
1
2
3
1
2
3
a
x
a
−
=
=
−
，
2
1
3
x
a
=
−，
两根均为整数，
1
3
a
−为整数，
3
1
a
−= ，
解得
4
a =
或
2
a =
．
9．
（25-26 八年级下·安徽亳州·期末）已知a ，b 是关于x 的一元二次方程(
)
2
1
2
1
0
m
x
x
−
−
+ =
的两个实数根．
(1)求m 的取值范围；
(2)当
2
m = −时，
①求
2
2
a
b
+
的值；
②求
2
3a
a
b
−
−
+
的值．
【答案】(1)
2
m
且
1
m
(2)①10
9 ；②
5
3
−
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【分析】（1）由一元二次方程定义及根与判别式关系求解即可；
（2）由一元二次方程根与系数关系及根的定义得到相关等式，对所求代数式恒等变形后整体代入计算即可．
【详解】（1）解：(
)
2
1
2
1
0
m
x
x
−
−
+ =
是关于x 的一元二次方程，
1
0
m−
，则
1
m ，
关于x 的一元二次方程(
)
2
1
2
1
0
m
x
x
−
−
+ =
有两个实数根，
(
)
(
)
2
Δ
2
4
1
0
m
= −
−
−
，解得
2
m
，
综上所述，m 的取值范围是
2
m
且
1
m ；
（2）解：当
2
m = −时，
2
3
2
1
0
x
x
−
−
+ =
，整理得
2
3
2
1
0
x
x
+
−=
，
a ，b 是一元二次方程
2
3
2
1
0
x
x
+
−=
的两个实数根，
2
2
1
,
,3
2
1
0
3
3
a
b
ab
a
a
+
= −
= −
+
−=
，
①
(
)
2
2
2
2
2
1
4
2
4
6
10
2
2
3
3
9
3
9
9
9
a
b
a
b
ab
+
=
+
−
= −
−−
=
+
=
+
=
；
②
(
) (
)
2
2
2
5
3
3
2
1
3
3
a
a
b
a
a
a
b
−
−
+
= −
+
+
+
= −+ −
= −
．
10．（25-26 九年级上·广东江门·期中）设
1
2
x
x
、
是关于x 的方程
2
5
2
1
0
x
x
k
−
+
−=
的两个实数根．
(1)求k 的取值范围；
(2)若
2
2
1
2
17
x
x
+
=
，求k 的值．
【答案】(1)
29
8
k
(2)
5
2
k =
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及一元二次方程根与系数的关系．
（1）根据题意可知，方程
2
5
2
1
0
x
x
k
−
+
−=
有两个实数根，则有
(
)
(
)
2
Δ
5
4 2
1
0
k
= −
−
−
，从而求出k 的取
值范围；（2）因为
1
2
x
x
、
是关于x 的方程
2
5
2
1
0
x
x
k
−
+
−=
的两个实数根，所以
1
2
5
x
x
+
=
，1
2
2
1
x x
k
=
−，再
由
(
)
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
17
x
x
x
x
x x
+
=
+
−
=
，可得
(
)
2
5
2 2
1
17
k
−
−
=
，从而求得k 的值．
【详解】（1）解：∵方程
2
5
2
1
0
x
x
k
−
+
−=
有两个实数根，
∴
(
)
(
)
2
Δ
5
4 2
1
0
k
= −
−
−
，
∴25 8
4
0
k
−
+
，
∴
29
8
k
；
（2）解：∵
1
2
x
x
、
是关于x 的方程
2
5
2
1
0
x
x
k
−
+
−=
的两个实数根，
∴
1
2
5
x
x
+
= ，
1
2
2
1
x x
k
=
−，
∵
2
2
1
2
17
x
x
+
=
，
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∴
(
)
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
17
x
x
x
x
x x
+
=
+
−
=
，
∴
(
)
2
5
2 2
1
17
k
−
−
=
，
∴2
1
4
k −=
，
即
5
2
k =
．
11．（25-26 九年级上·江西新余·阶段检测）已知关于x 的一元二次方程
(
)
2
3
0
x
m
x
m
+
+
+
=
．
(1)求证：无论m 取何值时，原方程总有两个不相等的实数根．
(2)若
1x ，
2x 是原方程的两根，且
1
2
1
2
17
x
x
x x
+
−
=
．求m 的值．
【答案】(1)见解析
(2)
10
m
−
=
【分析】本题考查一元二次方程的解、根与系数的关系，熟练掌握利用判别式判断方程解的情况、根与系
数的关系是解题的关键．
（1）通过计算判别式
0
，方程总有两个不相等的实数根进行证明即可；
（2）由韦达定理得
1
2
3
x
x
m
+
= −
−，
1
2
x x
m
=
，代入
1
2
1
2
17
x
x
x x
+
−
=
，求出m 的值即可．
【详解】（1）证明：判别式为
(
)
(
)
2
2
2
2
Δ
3
4
6
9
4
2
9
1
8
0
m
m
m
m
m
m
m
m
=
+
−
=
+
+ −
=
+
+
=
+
+
，
则无论m 取何值时，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由韦达定理得
1
2
3
x
x
m
+
= −
−，
1
2
x x
m
=
，
由于
1
2
1
2
17
x
x
x x
+
−
=
，
则
3
17
m
m
−
−−
=
，
解得
10
m
−
=
，
因此m 的值为10
−
．
12．（25-26 八年级下·湖南长沙·期末）定义：方程
2
0
ax
bx
c
+
+
= （
0
ac
）与方程
2
0
cx
bx
a
+
+
=
互为“换位
方程”．如一元二次方程
2
2
3
1
0
x
x
−
−=
的“换位方程”是
2
3
2
0
x
x
−
−
+
=
．已知关于x 的一元二次方程①：
(
)
2
2
1
2
0
x
m
x
m
+
+
+
−
=
，其中
2
m
．
(1)写出方程①的“换位方程”；
(2)求证：当
2
m
时，方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根；
(3)若方程①与其“换位方程”有且仅有一个公共根
0x ，求这个公共根及m 的值．
【答案】(1)(
)
(
)
2
2
2
1
1
0
m
x
m
x
−
+
+
+ =
(2)当
2
m
时，对于方程①及其“换位方程”均有
(
)
(
)
2
2
2
1
4
2
4
9
0
m
m
m
=
+
−
−
=
+
，
∴方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根．
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(3)
0
1
x
−
=
或
0
1
x = ，
2
m = −或
0
m =
【分析】（1）根据“换位方程”的定义解答即可；
（2）根据一元二次方程根的判别式得出
2
4
9
0
m
=
+
，即可得出结论；
（3）把
0x 分别代入方程①及其“换位方程”可得(
)(
)
2
0
3
1
0
m
x
−
−
=
，根据
3
m =
时两方程相同得出
2
0
1
0
x
−=
，
解方程得出
0
1
x
−
=
或
0
1
x = ，分别代入方程①求出m 的值即可得出答案．
【详解】（1）解：在方程
(
)
2
2
1
2
0
x
m
x
m
+
+
+
−
=
中，
1
a = ，
2
c
m
=
−，
∴方程①的“换位方程”为(
)
(
)
2
2
2
1
1
0
m
x
m
x
−
+
+
+ =
．
（2）解：略
（3）解：∵方程①与其“换位方程”有且仅有一个公共根
0x ，
∴
(
)
2
0
0
2
1
2
0
x
m
x
m
+
+
+
−
=
，(
)
(
)
2
0
0
2
2
1
1
0
m
x
m
x
−
+
+
+ =
，
(
)
2
0
3
3
0
m
x
m
−
+ −
=
，
∴(
)(
)
2
0
3
1
0
m
x
−
−
=
，
当
3
m =
时，方程①与其“换位方程”相同，不符合题意，
∴
2
0
1
0
x
−=
解得：
0
1
x
−
=
或
0
1
x = ，
当
0
1
x
−
=
时，代入方程①得，
(
)
2
( 1)
2
1
2
0
m
m
−
−
+
+
−
=
，
解得：
2
m = −；
当
0
1
x = 时，代入方程①得，
(
)
21
2
1
2
0
m
m
+
+
+
−
=
，
解得：
0
m =
．
13．（25-26 九年级上·广东韶关·期末）【阅读材料】若关于x 的一元二次方程
2
0
ax
bx
c
+
+
= （
0
a
）的两根
为
1x ，
2x ，则
1
2
b
x
x
a
+
= −
，
1
2
c
x
x
a
=
．这就是一元二次方程根与系数的关系．根据上述材料，结合你所学
的知识，完成下列问题：
(1)【材料理解】一元二次方程
2
2
5
1
0
x
x
−
−=
的两根为
1x ，
2x ，则
1
2
x
x
+
= _______，
1
2
x x
= _______；
(2)【类比运用】已知关于x 的一元二次方程
(
)
2
2
1
2
1
2
0
2
x
k
x
k
−
+
+
−
=
．若方程的两个实数根为
1x ，
2x ，满
足
1
2
1
2
2
5
x
x
x x
+
=
+ ，求k 的值．
【答案】(1)
5
2 ，
1
2
−
(2)
0
k =
或
2
k =
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，关键是熟练应用知识点解题；
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（1）根据根与系数的关系求解即可；
（2）根据根与系数的关系求解即可．
【详解】（1）解：∵
2,
5,
1
a
b
c
=
= −
= −，
∴
1
2
1 2
5
1
,
2
2
x
x
x x
+
=
= −
，
故答案为：5
1
,
2
2
−
；
（2）解：∵方程的两个实数根为
1x ，
2x ，
∴
2
1
2
1 2
1
2
1,
2
2
x
x
k
x x
k
+
=
+
=
−，
∵
1
2
1
2
2
5
x
x
x x
+
=
+ ，
∴
2
1
2
1
2
2
5
2
k
k
+ =
−
+
，
即：
2
2
0
k
k
−
=
，
(
)
2
0
k k −
=
，
解得：
0
k =
或
2
k =
，
∵
(
)
2
2
2
1
2
1
4
2
2
4
9
0
2
k
k
k
k
= −
+
−
−
=
+
+
，
∴所求k 值均符合题意．
14．（25-26 八年级上·上海普陀·期末）【阅读理解】如果三个实数中有两个数乘积的算术平方根等于第三个
数，那么我们把这三个实数称为“组合平方数”．
（1）3、6、12_____“组合平方数”；（填“是”或“不是”）
（2）如果2
−、n、4 是“组合平方数”，那么n =_____；
【问题探究】在学习一元二次方程时，我们知道一元二次方程
(
)
2
0
0
ax
bx
c
a
+
+
=
的根的情况是由系数
a
b
c
、、确定的．
已知关于x 的一元二次方程
2
0
ax
bx
c
+
+
=
（
0
a
）有实数根，请回答下列问题．
（3）设
(
p p 为有理数，且
0
p
）为该方程的两根之和，
1
p
−
为该方程的两根之积．求证：a
b
c
、、是“组合
平方数”；
（4）当
1
a = 时，
(
)
1
a
b
c b c
、、
是“组合平方数”，且
2
2
2
15
b
c
+
=
．求b 和c 的值．
【答案】（1）是
（2）8
−
（3）证明过程见详解
（4）
3,
3
b
c
=
=
或
10
5
,
2
2
b
c
=
=
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【分析】本题主要考查算术平方根的运用，理解题意，正确列式计算是关键．
（1）根据“组合平方数”的定义，分类计算即可求解；
（2）根据“组合平方数”的定义，结合算术平方根中被开方数的特点，算术平方根的结果，分类计算即可求
解；
（3）分别用含, ,
a b c 的式子表示出
1
,p
p
−
，结合“组合平方数”的定义计算即可；
（4）根据“组合平方数”的定义，分类讨论即可．
【详解】解：（1）∵3 6
18, 18
3 2
12
=
=
，3 12
36, 36
6
=
=
，6 12
72
72
6 2
3
=
=
，
，
∴3、6、12 是“组合平方数”；
故答案为：是；
（2）如果2
−、n、4 是“组合平方数”，
∴当
2
4
n
−
=
时，
解得，
8
n = −；
当
2 4
8
−
=
−时，被开方数小于0，不符合题意，舍去；
当
4
2
n = −时，由算术平方根是大于等于0 的数得到不符合题意，舍去；
故答案为：8
−；
（3）证明：已知关于x 的一元二次方程
2
0
ax
bx
c
+
+
=
（
0
a
）有实数根，
∵设
(
p p 为有理数，且
0
p
）为该方程的两根之和，1
p
−
为该方程的两根之积，方程的两个根分别用
1
2
,
x x 表
示，
∴
1
2
1
2
1
,
?
b
c
x
x
p x x
a
a
p
+
= −
=
=
= −
，
∴b
p
a = −
，则
1
a
b
p
= −
，
∴a
c
b
a
=
，
∴
2
bc
a
=
，
∵
2
0,
0
a
a
，
∴
0
bc
，
∴bc
a
=
，
∴a
b
c
、、是“组合平方数”；
（4）当
1
a = 时，
(
)
1
a
b
c b c
、、
是“组合平方数”，即
(
)
1
?
1
b
c b c
、、
是“组合平方数”，
∴当1?b
c
=
时，
0
b
，
2
b
c
=
，
0
c
，
∴
2
2
15
b
b
+
=
，
小学
初中
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整理得，
2
2
15
0
b
b
+
−
=
，则(
)(
)
5
3
0
b
b
+
−
=
，
解得，
1
5
b = −（不符合题意，舍去），
3
b =
，
∴
2
3
c
=
，
∴
3
c =
（负值舍去），即
3
c =
，
∴1 3
3
、、是“组合平方数”；
当1?c
b
=
时，
2
0,
c
c
b
=
，
0
b
，
∴
2
2
15
c
c
+
=
，
整理得，
2
2
15
0
c
c
+ −
=
，则(
)(
)
3
2
5
0
c
c
+
−
=
，
解得，
1
3
c = −（不符合题意，舍去），
2
5
2
c =
，
∴
2
5
2
b
=
，
∴
10
2
b =
（负值舍去），即
10
2
b =
，
∴
10 5
1
2
2
、
、是“组合平方数”；
∵· 1
bc ，
∴
·
1
bc = 不符合题意；
综上所述，
3,
3
b
c
=
=
或
10
5
,
2
2
b
c
=
=
．
