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专题 1 根的判别式的四种考法
类型一：利用根的判别式判断不含字母的方程的根的情况
类型二：利用根的判别式判断含字母的方程的根的情况
类型三：根据方程的根的情况确定参数的值或范围
类型四：利用根的判别式判断三角形的形状
类型一：利用根的判别式判断不含字母的方程的根的情况
1．一元二次方程x2﹣2x＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
【答案】A
【解答】解：由条件可得Δ＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
2．一元二次方程x2+2x+3＝0的根的情况是（ ）
A．没有实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．无法确定
【答案】A
【解答】解：由题意可知Δ＝22﹣4×1×3＝﹣8＜0，
当Δ＜0时，方程没有实数根，
∴方程x2+2x+3＝0没有实数根．
故选：A．
1
3．关于一元二次方程
x2−2x+2=0的根的情况，下列说法正确的是（
）
2
A．只有一个实数根
B．没有实数根
C．有两个相等的实数根
D．有两个不相等的实数根【答案】C
1 1
【解答】解：∵一元二次方程 x2−2x+2=0的根的判别式Δ＝b2﹣4ac＝4﹣4× ×2＝0，
2 2
∴方程有两个相等的实数根，
故选：C．
4．关于一元二次方程x2﹣4x﹣4＝0的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．只有一个实数根
B．没有实数根
C．有两个相等的实数根
D．有两个不相等的实数根
【答案】D
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣4x﹣4＝0判别式Δ＝b2﹣4ac＝32＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：D．
5．方程3x2﹣4x﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．有一个实数根
B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根
D．无实数根
【答案】B
【解答】解：∵Δ＝（﹣4）2﹣4×3×（﹣1）＝28＞0，
∴方程3x2﹣4x﹣1＝0有两个不相等的实数根．
故选：B．
6．关于一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根的情况，下列结论正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法判断根的情况
【答案】A
【解答】解：∵Δ＝（﹣3）2﹣4×1×1＝5＞0，
∴方程x2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根．
故选：A．
7．一元二次方程（x+3）（x﹣3）＝5（x+3）的根的情况是（ ）
A．只有一个实数根
B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根D．没有实数根
【答案】B
【解答】解：由条件可得x2﹣9＝5x+15，
即x2﹣5x﹣24＝0，
∴根的判别式Δ＝b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×（﹣24）＝121＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：B．
8．你能找到三个连续整数，使得前两个数的平方和等于第三个数的平方吗？如果将这三个连续整数中最
小的数设为x，那么可得方程x2+（x+1）2＝（x+2）2，则该方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
【答案】A
【解答】解：原方程可化为：x2﹣2x﹣3＝0，
则a＝1，b＝﹣2，c＝3，
所以b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3）＝16＞0，
故原方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
类型二：利用根的判别式判断含字母的方程的根的情况
1．若k＜0，关于x的一元二次方程kx2﹣x+1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根
D．无法判断
【答案】B
【解答】解：kx2﹣x+1＝0，
Δ＝b2﹣4ac＝1﹣4k，
∵k＜0
∴1﹣4k＞1，
∴该一元二次方程有两个不相等的根．
故选：B．
2．k为实数，则关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+k＝0的根的情况是（ ）
A．有两个实数根
B．有两个不相等的实数根C．无实数根
D．不能确定根的情况
【答案】A
【解答】解：Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（k+1）]2﹣4×1×k＝（k+1）2﹣4k＝（k﹣1）2≥0．
∴方程有两个实数根．
故选：A．
3．关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+k﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
【答案】A
【解答】解：∵x2﹣（k+1）x+k﹣1＝0，
Δ＝[﹣（k+1）]2﹣4（k﹣1）＝k2﹣2k+5）＝k2+2k+1﹣4k+4＝k2﹣2k+1+4＝（k﹣1）2+4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
4．一元二次方程﹣2（2x+1）2+a2＝0（a是常数，a≠0）的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定有没有实数根
【答案】A
【解答】解：一元二次方程﹣2（2x+1）2+a2＝0可化为﹣8x2﹣8x+a2﹣2＝0，
∵a＝﹣8，b＝﹣8，c＝a2﹣2，a≠0，
∴Δ＝（﹣8）2﹣4×（﹣8）×（a2﹣2）＝64+32a2﹣64＝32a2＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
5．已知关于x的一元二次方程2x2﹣bx+c＝0，其中b，c在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的
情况是（ ）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．无实数根
D．只有一个实数根
【答案】B
【解答】解：∵b＞0，c＜0，∴Δ＝b2﹣4ac＝b2﹣4×2×c＞0，
∴有两个不相等的实数根．
故选：B．
1
6．已知关于x的一元二次方程x2−2ax+ab= b2+1，其中a，b满足2a﹣b＝1，关于该方程根的情况，
4
下列判断正确的是（ ）
A．无实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．无法确定
【答案】C
【解答】解：由题知，
1
因为一元二次方程为x2−2ax+ab= b2+1，
4
1
整理得，x2﹣2ax+ab− b2−1= 0，
4
1
则Δ＝（﹣2a）2﹣4（ab− b2−1）＝4a2﹣4ab+b2+4＝（2a﹣b）2+4．
4
又因为2a﹣b＝1，
则Δ＝12+4＝5＞0，
所以方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
7．已知互不相等的实数a，b，c满足ab+a2＝c2，ab+b2＝c2，ab≠0，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝
0根的情况为（ ）
A．没有实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．无法确定根的存在情况
【答案】C
【解答】解：ab+a2＝c2①，ab+b2＝c2②，
①﹣②，得a2﹣b2＝0，
∴（a+b）（a﹣b）＝0，
∵a，b互不相等，
∴a+b＝0，
∴b＝﹣a③，
把③代入①，得﹣a2+a2＝c2，
∴c2＝0，∴c＝0，
∵ax2+bx+c＝0，ab≠0，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣a）2﹣4a×0＝a2，
∵ab≠0，
∴a≠0，
∴Δ＞0，
∴原方程有两个不相等的实数根，
故选：C．
8．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0（m＜0）．
（1）判断方程根的情况，并说明理由；
（2）若方程一个根为﹣1，求m的值．
【答案】（1）方程有两个不相等的实数根；
（2）﹣3．
【解答】解：（1）方程有两个不相等的实数根．
理由如下：Δ＝（﹣2）2﹣4m＝4﹣4m，
∵m＜0，
∴﹣4m＞0，
∴4﹣4m＞0，即Δ＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）把x＝﹣1代入方程x2﹣2x+m＝0得1+2+m＝0，
解得m＝﹣3．
9．已知：关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣1＝0．
（1）判断方程的根的情况；
（2）若△ABC为等腰三角形，AB＝5cm，另外两条边长是该方程的根，求△ABC的周长．
【答案】（1）方程有两个不相等的实数根；
（2）13或17．
【解答】解：（1）∵Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣1）＝4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
2m±2
（2）x= =m±1，
2
∴x ＝m+1，x ＝m﹣1，
1 2
当m+1＝5时，解得m＝4，此时等腰三角形三边分别为5，5，3，△ABC的周长为5+5+3＝13；
当m﹣1＝5时，解得m＝6，此时等腰三角形三边分别为5，5，7，△ABC的周长为5+5+7＝17；
综上所述，△ABC的周长为13或17．
类型三：根据方程的根的情况确定参数的值或范围1．若关于x的一元二次方程x2+x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
1 1 1 1
A．k＞ B．k≥ C．k＜ D．k≤
4 4 4 4
【答案】C
【解答】解：已知x2+x+k＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝1﹣4×1×k＝1﹣4k＞0，
1
∴k＜ ．
4
故选：C．
2．已知关于x的方程mx2﹣3x+1＝0有两个实数根，则m的取值范围是（ ）
9 9 9 9
A．m≤ 且m≠0 B．m＜ 且m≠0 C．m＞ D．m≥
4 4 4 4
【答案】A
【解答】解：∵关于x的方程mx2﹣3x+1＝0有两个实数根，
{ m≠0 )
∴ ．
9−4m≥0
9
解得m≤ 且m≠0．
4
故选：A．
3．若关于x的一元二次方程（k+2）x2﹣2x﹣1＝0有实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．k＞3 B．k≥﹣3
C．k＞﹣3且k≠﹣2 D．k≥﹣3且k≠﹣2
【答案】D
【解答】解：由题意可知：Δ＝4+4（k+2）≥0，
∴解得：k≥﹣3，
∵k+2≠0，
∴k≥﹣3且k≠﹣2，
故选：D．
4．若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k＝0有实数根，则k的取值范围为（ ）
3 3
A．k≥0 B．k≥0且k≠2 C．k≥ D．k≥ 且k≠2
2 2
【答案】B
【解答】解：根据题意得k﹣2≠0且Δ＝（﹣2k）2﹣4（k﹣2）k≥0，
解得k≥0且k≠2．
故选：B．
5．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有实数根，则k的取值范围为（ ）3 3
A．k≥ B．k≥ 且k≠1 C．k≥0 D．k≥0且k≠1
4 4
【答案】B
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有实数根，
∴k﹣1≠0且Δ＝（﹣2k）2﹣4（k﹣1）（k﹣3）≥0，
3
解得：k≥ 且k≠1，
4
故选：B．
6．一元二次方程a2x2+2（a+1）x+1＝0有实数根，则a的取值范围是（ ）
1 1
A．a≤− B．a≥− ，且a≠0
2 2
1 1
C．a≥− D．a≤ 且a≠0
2 2
【答案】B
【解答】解：
因为一元二次方程a2x2+2（a+1）x+1＝0有实数根，
{△≥0) {4(a+1) 2−4a2≥0) 1
所以有 ，即 ，解得a≥− ，且a≠0，
a2≠0 a2≠0 2
故选：B．
m2−3
7．已知关于x的一元二次方程x2+（m﹣1）x+ =0有两个不相等的实数根．
4
（1）求m的取值范围；
（2）若m为非负整数，且该方程的根都是无理数，求m的值．
【答案】（1）m＜2；
（2）m＝1．
m2−3
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（m﹣1）x+ =0有两个不相等的实数根，
4
m2−3
∴Δ＝（m﹣1）2﹣4×1× =−2m+4＞0，
4
解得：m＜2，
∴m的取值范围为m＜2；
（2）∵m为非负整数，且m＜2，
∴m可以为0或1．
当m＝0时，Δ＝﹣2m+4＝﹣2×0+4＝4，此时方程的根都是有理数，不符合题意，舍去；
当m＝1时，Δ＝﹣2m+4＝﹣2×1+4＝2，此时方程的根都是无理数，符合题意．
∴m的值为1．
8．已知：关于x的一元二次方程mx2﹣3（m﹣1）x+2m﹣3＝0（m为实数）（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）求证：无论m为何值，方程总有一个固定的根．
【答案】（1）m≠3且m≠0；
（2）见解析．
【解答】解：（1）Δ＝b2﹣4ac＝[﹣3（m﹣1）]2﹣4m（2m﹣3）＝（m﹣3）2，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴（m﹣3）2＞0且m≠0，
∴m≠3且m≠0，
∴m的取值范围是m≠3且m≠0；
（2）由求根公式得：
−b±❑√b2−4ac 3(m−1)±(m−3)
x= = ，
2a 2m
3m−3+m−3 2m−3 3
∴x = = =2− ，
1 2m m m
3m−3−m+3
x = =1，
2 2m
∴无论m为何值，方程总有一个固定的根是1．
9．定义新运算“ ”：对于实数m，n，p，q．有[m，p] [q，n]＝mn+pq，其中等式的右边是通常的加法
和乘法运算．例如：[4，5] [2，6]＝4×6+5×2＝34．
⊕ ⊕
（1）求关于x的方程[x2，x﹣1] [3，2]＝0的根；
⊕
（2）若关于x的方程[x2+1，x] ⊕[1﹣2k，k]＝0有两个实数根，求k的取值范围．
−3+❑√33 −3−❑√33
【答案】（1）x = ， ⊕ x = ；
1 4 2 4
1
（2）k≤ 且k≠0．
4
【解答】解：（1）∵[x2，x﹣1] [3，2]＝0，
∴2x2+3（x﹣1）＝0，
⊕
∴2x2+3x﹣3＝0，
∴Δ＝32﹣4×2×（﹣3）＝33＞0，
−3±❑√33
∴x= ，
4
−3+❑√33 −3−❑√33
∴x = ，x = ；
1 4 2 4
（2）∵[x2+1，x] [1﹣2k，k]＝0，
∴（x2+1）k+x（1⊕ ﹣2k）＝0，
整理得：kx2+（1﹣2k）x+k＝0，
∵方程有两个实数根，∴Δ＝（1﹣2k）2﹣4k•k≥0，k≠0，
1
解得：k≤ 且k≠0．
4
类型四：利用根的判别式判断三角形的形状
1．△ABC的三边长分别为a，b，c，关于x的一元二次方程（b﹣c）x2﹣4ax+4（b+c）＝0有两个相等的
实数根，则△ABC的形状一定为（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（b﹣c）x2﹣4ax+4（b+c）＝0有两个相等的实数根，
∴（﹣4a）2﹣4（b﹣c）•4（b+c）＝0，
∴a2+c2＝b2，
∴△ABC为直角三角形．
故选：A．
2．已知关于x的一元二次方程a（1+x2）+2bx＝c（1﹣x2），其中a、b、c分别为△ABC三边的长，如果
方程有两个相等的实数根，则△ABC的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C
【解答】解：原方程可化为：（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，
∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，
∴4b2﹣4a2+4c2＝0，
∴a2＝b2+c2，
∴△ABC是直角三角形．
故选：C．
3．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0有两个相等的实数根，则以a，b，c为边长的
三角形说法正确的是（ ）
A．三角形是锐角三角形 B．三角形是钝角三角形
C．边长c所对的角是90° D．边长a所对的角是90°
【答案】D
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0有两个相等的实数根，
{ a+c≠0 )
∴ ，
Δ=(2b) 2−4(a+c)(a−c)=0
∴a2＝b2+c2，∴以a，b，c为边长的三角形是直角三角形，且边长a所对的角是90°．
故选：D．
1
4．已知a、b、c是△ABC的三边，并且关于x的方程 x2﹣（a+b）x+2ab+c2＝0有两个相等的实数根，判
4
断△ABC的形状，正确的结论是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
【答案】B
1
【解答】解：∵a、b、c是△ABC三边，并且关于x的方程 x2﹣（a+b）x+2ab+c2＝0有两个相等的实
4
数根，
1
∴Δ＝[﹣（a+b）]2﹣4× （2ab+c2）＝0，
4
∴a2+b2＝c2，
∴∠C＝90°，
即△ABC是直角三角形，
故选：B．
1
5．已知关于x的方程 x2+bx+a2+c2＝0有两个相等的实数根，则以a、b、c为三边长的三角形的形状一定
4
是
直角三角形 三角形．
【答案】直角三角形．
1
【解答】解：∵关于x的方程 x2+bx+a2+c2＝0有两个相等的实数根，
4
1
∴b2﹣4× （a2+c2）＝0，
4
解得：b2＝a2+c2，
∴以a、b、c为三边长的三角形为直角三角形．
故答案为：直角三角形．
6．已知a、b、c是△ABC的三边，关于x的方程c（x2+m）+b（x2﹣m）＝2a❑√mx＝0，当m＞0时有两个
相等的实数根，则△ABC的形状是 直角 三角形．
【答案】直角．
【解答】解：方程化为一般式为（b+c）x2﹣2a❑√mx﹣bm+cm＝0，
∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣2a❑√m）2﹣4（b+c）（﹣bm+cm）＝0，
∴4ma2﹣4m（b+c）（b﹣c）＝0，
∴a2﹣（b2﹣c2）＝0，∴a2+c2＝b2，
∴△ABC为直角三角形．
故答案为：直角．
7．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形．理由如下：
∵x＝﹣1是方程的根，
∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）＝0，
∴a+c﹣2b+a﹣c＝0，
∴a﹣b＝0，
∴a＝b，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）△ABC是直角三角形．理由如下：
∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，
∴4b2﹣4a2+4c2＝0，
∴a2＝b2+c2，
∴△ABC是直角三角形．
