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专题 01 根的判别式的四种考法
类型一：利用根的判别式判断不含字母的方程的根的情况
类型二：利用根的判别式判断含字母的方程的根的情况
类型三：根据方程的根的情况确定参数的值或范围
类型四：利用根的判别式判断三角形的形状
类型一：利用根的判别式判断不含字母的方程的根的情况
1．一元二次方程x2+x＝3的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无法判断
D．无实数根
【分析】利用根的判别式的值判断即可．
【解答】解：一元二次方程x2+x＝3，
x2+x﹣3＝0，
Δ＝1﹣4×1×（﹣3）＝13＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
2．一元二次方程2x2﹣3x+1＝0根的情况是（ ）
A．没有实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．无法确定
【分析】根据方程找出对应的a、b、c，再代入到根的判别式中即可求出答案．
【解答】解：∵a＝2，b＝﹣3，c＝1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×1＝1，
∴Δ＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根，
故选：C．
3．已知关于x的一元二次方程x2﹣5x+5＝0的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
【分析】当Δ＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，一元二次方程有两个相等的实
数根；当Δ＜0时，一元二次方程没有实数根．【解答】解：∵x2﹣5x+5＝0，
∴Δ＝（﹣5）2﹣4×1×5＝5＞0，
∴方程两个不相等的实数根．
故选：A．
4．下列关于方程x2﹣5x+7＝0的结论正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．有一个实数根
D．无实数根
【分析】根据判别式的符号进行判断即可．
【解答】解：由题意得：Δ＝b2﹣4ac＝25﹣28＝﹣3＜0；
∴方程没有实数根；
故选：D．
5．一元二次方程x2＝1解的情况，下列说法正确的是（ ）
A．方程有两个相等的实数根
B．方程有两个不相等的实数根
C．方程无实数根
D．方程有一个实数根
【分析】先计算根的判别式的值，然后根据根的判别式的值判断根的情况．
【解答】解：由x2＝1得：x2﹣1＝0，
a＝1，b＝0，c＝﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝02﹣4×1×（﹣1）＝4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：B．
6．一元二次方程x2+x+2＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
【分析】先求出根的判别式Δ的值，再判断出其符号即可得到结论．
【解答】解：∵x2+x+2＝0，
∴Δ＝12﹣4×1×2＝﹣7＜0，
∴方程没有实数根．
故选：D．
7．一元二次方程x2+6＝3x的根的情况是（ ）
A．没有实数根B．有一个实数根
C．有两个相等的实数根
D．有两个不相等的实数根
【分析】利用一元二次方程根的判别式判断即可求解．
【解答】解：原方程化为x2﹣3x+6＝0，
∵Δ＝（﹣3）2﹣4×6＝﹣15＜0，
∴原方程没有实数根，
故选：A．
8．一元二次方程x2﹣20x+100＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．没有实数根
C．有两个相等的实数根
D．只有一个实数根
【分析】利用一元二次方程根的判别式（Δ＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
【解答】解：Δ＝b2﹣4ac＝（﹣20）2﹣4×1×100＝0，
∴方程有两个相等的实数根．
故选：C．
9．对于实数a，b定义运算“☆”为a☆b＝a2﹣a+b，例如：4☆5＝42﹣4+5＝17，则关于x的方程（x﹣
2）☆2＝x﹣1的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
【分析】准确理解题意，再利用根的判别式即可得答案．
【解答】解：∵（x﹣2）☆2＝x﹣1，
∴方程为（x﹣2）2﹣（x﹣2）+2＝x﹣1，
即x2﹣6x+9＝0，
Δ＝b2﹣4ac＝36﹣36＝0，
∴有两个相等的实数根，
故选：B．
类型二：利用根的判别式判断含字母的方程的根的情况
10．关于x的一元次方程kx2﹣4x﹣4k＝0，其根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根
B．无实根
C．无法判断
D．有两个不相等的实数根【分析】计算出方程的根的判别式，只要得到根的判别式的符号，即可作出判断．
【解答】解：∵a＝k，b＝﹣4，c＝﹣4k，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2+4k2＝16+16k2＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：D．
11．已知不等式组 有且仅有4个整数解，则关于x的方程ax2+（2a﹣1）x+a＝0的根的情况为
（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．无法判断
【分析】先解一元一次不等式，再根据方程组解的情况得到3≤a＜4，再结合一元二次方程的判别式，
由不等式的性质确定Δ＜0即可得到答案．
【解答】解： ，
由①得x＞a；
由②得x＜8；
∵不等式组 有且仅有4个整数解，
∴3≤a＜4；
∵关于x的方程ax2+（2a﹣1）x+a＝0中，Δ＝（2a﹣1）2﹣4a2＝﹣4a+1，
∴﹣15＜Δ≤﹣11，即Δ＜0，
∴关于x的方程ax2+（2a﹣1）x+a＝0无实数根，
故选：C．
12．关于x的一元二次方程x2+mx﹣m2﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．实数根的个数由m的值确定
【分析】根据Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0，分别对应的是有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、没有
实数根，据此列式计算，即可作答．
【解答】解：∵x2+mx﹣m2﹣1＝0，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（m）2﹣4×1×（﹣m2﹣1）＝5m2+4＞0，∴有两个不相等的实数根，
故选：A．
13．已知关于x的一元二次方程x2﹣（8+k）x+8k＝0根的情况是（ ）
A．必有两个相等的实数根
B．必有两个不相等的实数根
C．必有实数根
D．没有实数根
【分析】先求出Δ的值，进而可得出结论．
【解答】解：关于x的一元二次方程x2﹣（8+k）x+8k＝0中，
∵Δ＝[﹣（8+k）]2﹣32k
＝64+k2+16k﹣32k
＝64+k2﹣16k
＝（8﹣k）2≥0，
∴方程必有实数根．
故选：C．
14．已知a，b，c为常数，点A（a，c）在第二象限，点B（0，b）在y轴的正半轴上，则关于x的方程
ax2+（b﹣1）x+c＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法判断
【分析】利用第二象限和y轴上点的坐标特征得到a＜0，c＞0，b＞0，所以ac＜0，从而可判断Δ＝（b
﹣1）2﹣4ac＞0，然后根据根的判别式的意义对各选项进行判断．
【解答】解：∵点A（a，c）在第二象限，点B（0，b）在y轴的正半轴上，
∴a＜0，c＞0，b＞0，
∴ac＜0，
∴Δ＝（b﹣1）2﹣4ac＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
15．已知关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p，则下列分析正确的是（ ）
A．当p＝0时，方程有两个相等的实数根
B．当p＞0时，方程有两个不相等的实数根
C．当p＜0时，方程没有实数根
D．方程的根的情况与p的值无关
【分析】先将该方程整理成一般式，再求得其根的判别式为4p+9，再判断各选项的正确与否即可．
【解答】解：方程（x﹣1）（x+2）＝p可整理为x2+x﹣2﹣p＝0，∴Δ＝12﹣4×1×（﹣2﹣p）＝1+8+4p＝4p+9．
当p＝0时，Δ＝4p+9＝9＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选项A不符合题意；
当p＞0时，Δ＝4p+9＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选项B符合题意；
当p＜0时，Δ的正负无法确定，
∴无法判断该方程实数根的情况，
故选项C不符合题意；
∵方程的根的情况和p的值有关，
故选项D不符合题意．
故选B．
16．若实数b，c满足c﹣b+2＝0，则关于x的方程x2+bx+c＝0根的情况是（ ）
A．有两个相等实数根
B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
【分析】根据条件得到c＝b﹣2，根据判别式求根的情况即可判断．
【解答】解：∵实数b，c满足c﹣b+2＝0，
∴c＝b﹣2，
∴Δ＝b2﹣4c
＝b2﹣4（b﹣2）
＝（b﹣2）2+4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：B．
17．已知a、b、c分别是三角形的三边，则方程（a+b）x2+2cx+a+b＝0的根的情况是（ ）
A．没有实数根
B．有且只有一个实数根
C．有两个相等的实数根
D．有两个不相等的实数根
【分析】求出Δ＝（2c）2﹣4（a+b）（a+b）＝4c2﹣4（a+b）2，只要说明这个式子的值的符号，问题
可求解．根据三角形的三边关系即可判断．
【解答】解：∵Δ＝（2c）2﹣4（a+b）2＝4[c2﹣（a+b）2]＝4（a+b+c）（c﹣a﹣b），
根据三角形三边关系，得a+b+c＞0，c﹣a﹣b＜0，
∴Δ＜0，∴该方程没有实数根．
故选：A．
18．已知关于x的一元二次方程x2﹣3mx+2m2+m﹣1＝0．
（1）当m＝2时，解这个方程；
（2）试判断方程根的情况，并说明理由．
【分析】（1）把m＝2，代入方程，解方程即可；
（2）证明Δ≥0，可得结论．
【解答】解：（1）m＝2时，方程为x2﹣6x+9＝0，
∴（x﹣3）2＝0，
∴x ＝x ＝3；
1 2
（2）Δ＝（3m）2﹣4（2m2+m﹣1）
＝9m2﹣8m2﹣4m+4
＝m2﹣4m+4
＝（m﹣2）2≥0，
∴方程有实数根．
19．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+1＝0．
（1）求证方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根为x＝4，求k的值，并求出此时方程的另一根．
【分析】（1）表示出方程根的判别式，判断其值大于0即可得证；
（2）把x＝4代入方程求出k的值，确定出方程，即可求出另一根．
【解答】（1）证明：这里a＝1，b＝﹣（k+3），c＝2k+1，
∵Δ＝（k+3）2﹣4（2k+1）＝k2﹣2k+5＝（k﹣1）2+4≥4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：把x＝4代入方程得：16﹣4（k+3）+2k+1＝0，
解得：k＝2.5，即方程为x2﹣5.5x+6＝0，
设另一根为m，根据题意得：4m＝6，
解得：m＝1.5．
20．已知关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+2k+2＝0．
（1）求证：方程有两个实数根；
（2）若方程的两个根都是负根，求k的取值范围．
【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式（Δ＝b2﹣4ac）来解答．
（2）用求根公式表示出两个根，再根据两个根都是负根来解答．
【解答】解：（1）b2﹣4ac
＝（k+3）2﹣4×1×（2k+2）
＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2，
∵不论k为何值，（k﹣1）2≥0，
∴方程有两个实数根．
（2）x＝ ，
x ＝ ＝﹣2，
1
x ＝ ＝﹣k﹣1，
2
∵方程的两个根都是负根，
∴﹣k﹣1＜0，
∴k＞﹣1．
类型三：根据方程的根的情况确定参数的值或范围
21．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根，则实数c的值为（ ）
A．﹣16 B．﹣4 C．4 D．16
【分析】根据一元二次方程根的判别式即可解决问题．
【解答】解：因为关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根，
所以Δ＝（﹣4）2﹣4c＝0，
解得c＝4．
故选：C．
22．关于x的一元二次方程kx2+6x﹣2＝0有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B．
C． 且k≠0 D． 且k≠0
【分析】根据方程有两个实数根，得到判别式大于等于0，结合一元二次方程的二次项的系数不等于
0，进行求解即可．
【解答】解：由题意，得：Δ＝62﹣4k•（﹣2）≥0且k≠0，
解得： 且k≠0，
故选：C．
23．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1＝0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m≥5 B．m≤5 C．m＞5 D．m＜5
【分析】利用一元二次方程根的判别式列式求解即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1＝0有实数根，∴Δ≥0，即（﹣4）2﹣4×1×（m﹣1）≥0，
解得m≤5．
故选：B．
24．如果关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≤2 B．k≤2且k≠0 C．k＜2且k≠0 D．k≥2且k≠0
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且Δ＝42﹣4k×2≥0，然后求出两个不等式
的公共部分即可．
【解答】解：根据题意知，Δ＝（﹣4）2﹣4×k×2≥0，
解得：k≤2，
∵方程kx2﹣4x+2＝0是一元二次方程，
∴k≠0，
∴k的取值范围是k≤2且k≠0，
故选：B．
25．若关于x的方程 有两个相等的实数根，则6n2﹣9n+2024的值为（ ）
A．2015 B．2033 C．2024 D．2027
【分析】先根据根的判别式的意义得到 Δ＝（﹣ n）2﹣4× （n﹣1）＝0，则变形得到2n2﹣3n＝﹣
3，再把6n2﹣9n+2024变形为3（2n2﹣3n）+2024，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣ n）2﹣4× （n﹣1）＝0，
整理得2n2﹣3n+3＝0，
所以2n2﹣3n＝﹣3，
所以6n2﹣9n+2024＝3（2n2﹣3n）+2024＝3×（﹣3）+2024＝2015．
故选：A．
26．关于x的一元二次方程 有实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． 且m≠0 D． 且m≠0
【分析】根据一元二次方程有实数根，即Δ≥0，得出关于m的一元一次不等式，进行求解即可．
【解答】解：∵一元二次方程 有实数根，
∴解得 ．
故选：B．
27．已知关于x的方程x2﹣（a+1）x+a＝0．
（1）证明：不论a为何值时，方程总有实数根；
（2）若方程有两个不相等的正实数根，求a的取值范围．
【分析】（1）根据方程的系数，可得出根的判别式Δ＝（a﹣1）2，由偶次方的非负性，可得出（a﹣
1）2≥0，即Δ≥0，进而可证出不论a为何值时，方程总有实数根；
（2）利用因式分解法解一元二次方程，可得出原方程的解为x ＝1，x ＝a，结合方程有两个不相等的
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正实数根，即可得出a的取值范围．
【解答】（1）证明：Δ＝[﹣（a+1）]2﹣4×1×a＝a2﹣2a+1＝（a﹣1）2，
∵（a﹣1）2≥0，即Δ≥0，
∴不论a为何值时，方程总有实数根；
（2）解：∵x2﹣（a+1）x+a＝0，
∴（x﹣1）（x﹣a）＝0，
解得：x ＝1，x ＝a，
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∵方程有两个不相等的正实数根，
∴a＞0且a≠1．
28．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（k+1）x+k2+2＝0．
（1）若方程的一个根为2，求k的值；
（2）若方程有实数根，求k的取值范围．
【分析】（1）由于x＝2是方程的一个根，直接把它代入方程即可求出k的值．
（2）根据根的判别式公式，令Δ≥0，得到关于k的一元一次不等式，解之即可．
【解答】解：（1）把x＝2代入x2﹣2（k+1）x+k2+2＝0得k2﹣4k+2＝0，
解得 ；
（2）∵方程有实数根，
∴Δ＝[2（k+1）]2﹣4×1×（k2+2）≥0，
∴ ．
∴k的取值范围为 ．
类型四：利用根的判别式判断三角形的形状
29．关于x的方程x2﹣2cx+a2+b2＝0有两个相等的实数根，若a，b，c是△ABC的三边长，则这个三角形
一定是（ ）A．等边三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
【分析】由关于x的方程x2﹣2cx+a2+b2＝0有两个相等的实数根，可得Δ＝（﹣2c）2﹣4（a2+b2）＝0，
整理得c2＝a2+b2，根据勾股定理逆定理判断△ABC的形状即可．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2cx+a2+b2＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣2c）2﹣4（a2+b2）＝0，整理得c2＝a2+b2，
∴△ABC是直角三角形，
故选：B．
30．已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且关于x的一元二次方程（c+b）x2﹣2ax+c﹣b＝0有两个相等
的实数根，若|a﹣5|+（b﹣5）2＝0，则△ABC的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【分析】先根据根的判别式以及勾股定理的逆定理求得△ABC为直角三角形；由|a﹣5|+（b﹣5）2＝0得
a＝5，b＝5，从而可得△ABC为等腰直角三角形．
【解答】解：∵一元二次方程（c+b）x2﹣2ax+c﹣b＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣2a）2﹣4（c+b）（c﹣b）＝0，即a2+b2＝c2，
∴△ABC为直角三角形，
又|a﹣5|+（b﹣5）2＝0，
∴a＝5，b＝5，
∴△ABC为等腰直角三角形，
故选：D．
31．已知a、b、c是△ABC的三边，并且关于x的方程 x2﹣（a+b）x+2ab+c2＝0有两个相等的实数根，
判断△ABC的形状，正确的结论是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
【分析】根据根的判别式得出Δ＝[﹣（a+b）]2﹣4× （2ab+c2）＝0，化简后得出a2+b2＝c2，根据勾股
定理的逆定理得出即可．
【解答】解：∵a、b、c是△ABC三边，并且关于x的方程 x2﹣（a+b）x+2ab+c2＝0有两个相等的实
数根，
∴Δ＝[﹣（a+b）]2﹣4× （2ab+c2）＝0，
∴a2+b2＝c2，
∴∠C＝90°，即△ABC是直角三角形，
故选：B．
32．已知a、b、c为ABC的三边，且关于x的一元二次方程（c﹣b）x2+2（b﹣a）x+（a﹣b）＝0有两个
相等的实根，则这个三角形是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．不等边三角形
【分析】由方程有两个相等的实数根推知Δ＝b2﹣4ac＝0，从而解得a、b、c的数量关系，据此可以推
知该三角形是等腰三角形．
【解答】（2）∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝4（b﹣a）2﹣4（c﹣b）（a﹣b）
＝4a2﹣4ab﹣4ac+4bc
＝4（a﹣b）（a﹣c）
＝0，
∴a﹣b＝0或a﹣c＝0，
解得a＝b或a＝c；
又∵（c﹣b）x2+2（b﹣a）x+（a﹣b）＝0是关于x的一元二次方程，
∴c﹣b≠0，即c≠b，
∴该三角形是等腰三角形．
故选：C．
33．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣4bx+4（c﹣a）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．
（1）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
【分析】（1）利用根的判别式进而得出关于a，b，c的等式，进而判断△ABC的形状；
（2）利用△ABC是等边三角形，则a＝b＝c，进而代入方程求出即可．
【解答】解：（1）△ABC为直角三角形，理由如下：
∵方程有两个相等的实数根，
∴（﹣4b）2﹣4（a+c）⋅4（c﹣a）＝0，
∴b2+a2＝c2，
∴△ABC为直角三角形；
（2）∵△ABC是等边三角形
∴a＝b＝c
∴原方程可化为2ax2﹣4ax＝0
∵a≠0
∴2x2﹣4x＝0
∴x ＝0，x ＝2
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34．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
【分析】（1）把x＝﹣1代入方程得a+c﹣2b+a﹣c＝0，整理得a＝b，从而可判断三角形的形状；
（2）根据判别式的意义得Δ＝（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，即b2+c2＝a2，然后根据勾股定理可判
断三角形的形状；
（3）利用等边三角形的性质得a＝b＝c，方程化为x2+x＝0，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形；
理由：把x＝﹣1代入方程得a+c﹣2b+a﹣c＝0，则a＝b，所以△ABC为等腰三角形；
（2）△ABC为直角三角形；
理由：根据题意得Δ＝（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，即b2+c2＝a2，所以△ABC为直角三角形；
（3）∵△ABC为等边三角形，
∴a＝b＝c，
∴方程化为x2+x＝0，解得x ＝0，x ＝﹣1．
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35．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+a﹣c＝0其中a，b，c分别是△ABC三边的长．
（1）若该方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）若△ABC是等边三角形，请求出该方程的实数根．
【分析】（1）先根据根的判别式的意义得到Δ＝4b2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，整理得b2+c2＝a2，然后
根据勾股定理的逆定理可判断△ABC为直角三角形；
（2）先利用等边三角形的性质得到a＝b＝c，则方程可化为2x2+2x＝0，然后利用因式分解法解方程即
可．
【解答】解：（1）△ABC为直角三角形．
理由如下：
根据题意得Δ＝4b2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，
∴b2+c2＝a2，
∴△ABC为直角三角形；
（2）∵△ABC是等边三角形，
∴a＝b＝c，
∴方程化为2x2+2x＝0，
2x（x+1）＝0，
2x＝0或x+1＝0，
解得x ＝0，x ＝﹣1．
1 2
