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专题05 实际问题与一元二次方程
常考题型·精准突破
题型1 传播问题（重）
题型2 增长率问题（重）
题型3 与图形有关的问题（高频）
题型4 数字问题
题型5 营销问题（高频）
题型6 动态几何（难）
题型7 握手、循环赛问题
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
◆题型1 传播问题
1．（25-26 九年级上·北京·阶段检测）有5 个人患了流感，经过两轮传染后共有245 个人患了流感，则每轮
传染中平均一个人传染多少人？
【答案】6
【分析】根据题意列一元二次方程解答即可．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x 人，初始有5 个人患流感，第一轮传染后，总患病人数为5(1
)
x
+
，
第二轮传染后，总患病人数为
2
5(1
)x
+
，
根据题意列方程得：
2
5(1
)
245
x
+
=
，
解得
1
6
x =
，
2
8
x = −（舍去），
答：每轮传染中平均一个人传染6 人．
2．（24-25 九年级上·广东江门·阶段检测）春季流感爆发，有一人患了流感，经过两轮传染后共有81 人患了
流感．
(1)每轮传播中平均一人传染几个人？
(2)经过三轮传染后会超过700 人患流感吗？请说明理由．
【答案】(1)8 个人
(2)会，理由见解析
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，
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（1）设每轮传播中平均一人传染x 个人，则第一轮传染中有x 人被感染，第二轮传染中有(
1)
x x +
人被感染，
根据“有一人患了流感，经过两轮传染后共有81 人患了流感”，可列出关于x 的一元二次方程，解之取其符
合题意的值，即可得出结论；
（2）利用经过三轮传染后患流感的人数等于经过两轮传染后患流感的人数(1 8)
+
，即可求出结论．
【详解】
（1）解：设每轮传播中平均一人传染x 个人，则第一轮传染中有x 人被感染，第二轮传染中有(
1)
x x +
人被感染，根据题意得，
1
(
1)
81
x
x x
+
+
+
=
，
解得：
1
2
8,
10
x
x
=
= −
（不符合题意，舍去）.
答：每轮传播中平均一人传染8 个人；
（2）经过三轮传染后会超过700 人患流感，理由如下：
根据题意得：81 (1 8)
81 9
729
+
=
=
（人），
∵729
700
，
∴经过三轮传染后会超过700 人患流感．
3．（25-26 九年级上·河南焦作·阶段检测）某学校机房有150 台学生电脑和1 台教师电脑，现在教师电脑被
某种电脑病毒感染，且该电脑病毒传播非常快，如果1 台电脑被感染，经过两轮感染后就会有25 台电脑被
感染．
(1)每轮感染中平均1 台电脑会感染几台电脑？
(2)若病毒得不到有效控制，多少轮感染后机房内所有电脑都被感染？
【答案】(1)每轮感染中平均1 台电脑会感染4 台电脑
(2)四轮感染后机房内所有电脑都被感染
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设每轮感染中平均一台电脑会感染x 台电脑，根据“如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有25
台电脑被感染”，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）分别求出三轮及四轮感染后感染病毒电脑的数量，结合机房共(150
1)
+
台电脑，即可得出结论．
【详解】（1）解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x 台电脑，
依题意得：
2
(1
)
25
x
+
=
，
解得：
1
4
x =
，
2
6
x = −（不合题意，舍去）．
答：每轮感染中平均一台电脑会感染4 台电脑．
（2）解：经过三轮感染后感染病毒的电脑数量为
(
)
25
1
4
125
+
=
（台) ，
经过四轮感染后感染病毒的电脑数量为
(
)
125
1
4
625
+
=
（台) ，
625
150 1
+
，
四轮感染后机房内所有电脑都被感染．
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◆题型2 增长率问题
4．（25-26 八年级下·吉林松原·期末）松原市查干湖是具有湿地草原、蒙古族渔猎文化风貌特点的国家级5A
旅游景区，现在已成为网红打卡地．据统计，2026 年5 月1 日当天查干湖景区累计客流量为1.6 万人次，
第三天客流量达到2.5 万人次．
(1)求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率；
(2)若保持（1）中的平均日增长率，第四天的客流量能达到多少万人次？
【答案】(1)25%；
(2)3.125万人次．
【分析】（1）设游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率为x，根据题意列方程，解方程，再根据实
际意义取舍即可；
（2）根据增长率列式计算即可．
【详解】（1）解：设游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率为x，
根据题意得：
(
)
2
1.6 1
2.5
x
+
=
，
解得：
1
2
0.25
25%,
2.25
x
x
=
=
= −
（不符合题意，舍去）．
答：游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率为25%．
（2）解：
(
)
2.5
1
25%
3.125
+
=
（万人次）；
答：第四天的客流量能达到3.125万人次．
5．（25-26 八年级下·浙江金华·期末）为了增强体质，王大伯决定每天坚持快走锻炼．已知王大伯第一周行
走的总路程为10000 米，从第一周起的前四周，他每周行走的总路程按相同的平均增长率增长．经统计，
第三周时，单周路程达到了12100 米．
(1)求每周路程的平均增长率；
(2)按照这个增长速度，预测第五周王大伯行走的总路程是多少米？
【答案】(1)10%
(2)14641米
【分析】（1）设每周路程的平均增长率为x ，根据题意建立方程，解方程即可；
（2）结合（1）的结论，在第三周的基础上，列式计算即可．
【详解】（1）解：设每周路程的平均增长率为x ，
由题意得：
(
)
2
10000 1
12100
x
+
=
，
解得
0.1 10%
x =
=
或
2.1
0
x = −
（不符合题意，舍去），
答：每周路程的平均增长率为10% ．
（2）解：
(
) (
)
12100
1 10%
1 10%
+
+
12100 1.1 1.1
=
14641
=
（米），
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答：预测第五周王大伯行走的总路程是14641米．
6．（25-26 八年级下·浙江绍兴·期末）随着“浙BA ”篮球赛事的持续升温，越来越多的球迷前往现场观赛，感
受篮球魅力．某篮球馆，今年3 月份共计接待观众1 万人，5 月份接待观众增加到了1.44万人．
(1)求该篮球馆这两个月接待观众的月平均增长率；
(2)若6 月份继续保持相同的增长率，则该篮球馆6 月份预计接待观众多少万人？
【答案】(1)月平均增长率为20%
(2)6 月份预计接待观众1.728万人
【分析】（1）设该篮球馆这两个月接待观众的月平均增长率为x ，根据今年3 月份共计接待观众1 万人，5
月份接待观众增加到了1.44万人，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可；
（2）根据6 月份继续保持相同的增长率，列式计算即可．
【详解】（1）解：设该篮球馆这两个月接待观众的月平均增长率为x ，
依题意，得：
(
)
2
1
1
1.44
x
+
=
，
解得：
1
0.2
20%
x =
=
，
2
2.2
x = −
（不符合题意，舍去）；
故该篮球馆这两个月接待观众的月平均增长率为20%．
（2）解：6 月份接待观众人数：
(
)
1.44
1
20%
1.728
+
=
（万人），
答：该篮球馆6 月份预计接待观众1.728万人．
◆题型3 与图形有关的问题
7．（2026·江苏南京·三模）如图，四边形ABCD和EFCG 均为矩形，
9m,
6m,
m
AD
AB
BG
DF
x
=
=
=
=
，休
闲区的储水量为3
2
L/m ．
(1)种菜区的面积为
2
m ,休闲区能接的雨水量为 L（用含有x 的代数式表示）；
(2)若种菜区每平方米需要6L水，休闲区接的水恰好够灌溉种菜区，求x 的值．
【答案】(1)
2
15
54
x
x
−
+
；
2
3
45
x
x
−
+
(2)3
【分析】（1）根据矩形的面积公式求出种菜区的面积，用总面积减去种菜区的面积求出休闲区的面积，再
乘以休闲区每平米的储水量，求出接水量；
（2）根据题意，列出方程进行求解即可.
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【详解】（1）解：由题意，种菜区的面积为(
)(
)
(
)
2
2
9
6
15
54 m
x
x
x
x
−
−
=
−
+
；
休闲区能接的雨水量为(
)
( )
2
2
3 6 9
15
54
3
45
L
x
x
x
x
−
+
−
= −
+
；
（2）解：由题意，(
)
2
2
6
15
54
3
45
x
x
x
x
−
+
= −
+
，
解得
1
3
x = ，
2
12
x =
（不合题意，舍去）；
故x 的值为3.
8．（25-26 八年级下·浙江杭州·期末）某农场有一块空地，空地上有一面长为10米的围墙MN ，现利用围墙
和木栏围出一块矩形菜地ABCD，菜地左右两边各开一扇宽为1米的门．已知木栏总长为30米，左右两边的
门均不消耗木栏．
(1)如图1，当AD
MN
时，设AB 长为x 米．
①请用含x 的代数式表示BC 的长，并写出x 的取值范围．
②若围成的菜地面积为96平方米，求AB 的长．
(2)如图2 ，当
AD
MN 时，围成的菜地面积是否可以达到121平方米？说明理由．
【答案】(1)①
32 2
BC
x
=
−
，11
16
x
；②12；
(2)解：不可以，理由如下，
设AB 长为x 米，
当
AD
MN 时，
(
)
30 10
2
1
21
2
x
BC
AD
x
+
−
−
=
=
=
−
，
则围成的菜地面积
(
)
2
21
21
x
x
x
x
=
−
= −
+
，
2
21
121
x
x
−
+
=
2
21
121
0
x
x
−
+
=
(
)
2
Δ
21
4 1 121
43
0
= −
−
= −
，
∴方程
2
21
121
0
x
x
−
+
=
无实数根，
∴围成的菜地面积不可以达到121平方米．
【分析】( )
1 ①根据图形和条件确定边长表达式；
②根据面积公式列出方程求解即可；
( )
2 根据面积公式列出方程，再根据一元二次方程根的判别式求解即可．
【详解】（1）解：①
(
)
30
2
1
32
2
BC
x
x
=
−
−
=
−
，
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由题意得
32
2
10
32
2
0
x
x
−
−
，解得11
16
x
；
②∵围成的菜地面积为96平方米，
∴(
)
32
2
96
x x
−
=
，整理得
2
16
48
0
x
x
−
+
=
，
解得
1
12
x =
，
2
4
x =
（舍去），
∴AB 的长为12米；
（2）略．
9．（25-26 八年级下·浙江杭州·期末）小西家有一块空地，空地上有一面长为10米的围墙MN ，小西打算利
用围墙和木栏围一块长方形养蜂场ABCD，已知木栏总长为20 米，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为2 米
的门，门不消耗木栏，设AB 长为x 米．
(1)如图①，当AD
MN
时，
①AD =___________米（用含x 的代数式表示）．
②若围成的养蜂场面积为56平方米，求AB 的长．
(2)如图②，当
AD
MN 时，养蜂场的面积是否可以达到70 平方米？请说明理由．
【答案】(1)①(
)
22
2x
−
；②7 米
(2)养蜂场的面积不能达到70 平方米．理由如下：
假设养蜂场的面积可以达到70 平方米，
∵AB 长为x 米，
∴
20
2 10
2
16
2
x
BC
x
+ +
−
=
=
−，
依题意，得：(
)
16
70
x x
−
=
，
整理得：
2
16
70
0
x
x
−
+
=
，
∵
(
)
2
16
4 1 70
24
0
= −
−
= −
，
∴原方程没有实数根，
∴假设不正确，即养蜂场的面积不能达到70 平方米．
【分析】（1）①利用“ AD的长= BC 的长= 木栏总长+ 门的宽度2 AB
−
的长”，可用含x 的代数式表示出AD
的长；
②根据“围成的养蜂场面积为56平方米”可列出关于x 的一元二次方程，解之可得出x 的值，再结合AD
MN
，
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即可确定结论；
（2）假设养蜂场的面积可以达到70 平方米，由AB 长为x 米，可得出BC 长为(
)
16
x
−
米，根据“围成的养蜂
场面积为70 平方米”可列出关于x 的一元二次方程，由根的判别式
24
0
= −
，可得出原方程没有实数根，
进而可得出假设不正确．
【详解】（1）解：①依题意，得：
(
)
20
2
2
22
2
AD
BC
x
x
=
=
+
−
=
−
（米）；
②依题意，得：(
)
22
2
56
x x
−
=
，
解得：
1
4
x =
，
2
7
x =
，
当
4
x = 时，22 2
22 2 4
14
10
x
−
=
−=
，不符合题意，舍去；
当
7
x =
时，22
2
22
2 7
8 10
x
−
=
−=
，符合题意，
∴AB 的长为7 米；
（2）略．
◆题型4 数字问题
10．（25-26 九年级上·山西大同·阶段检测）有一个两位数，其个位和十位上的数字之和为7 ．将该数的十位
数字与个位数字调换，所得到的新的两位数与原来的两位数的积为1300．求原来的两位数．
【答案】原来的两位数为25 或52．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设原来的两位数十位上的数字为x ，则个位上的数字为7
x
−，
根据题意，得(
)
(
)
10
7
10 7
1300
x
x
x
x
+
−
−
+
=
，然后解方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是
解题的关键．
【详解】解：设原来的两位数十位上的数字为x ，则个位上的数字为7
x
−，
根据题意，得(
)
(
)
10
7
10 7
1300
x
x
x
x
+
−
−
+
=
，
整理，得
2
7
10
0
x
x
−
+
=
，
解得
1
2
x =
，
2
5
x =
，
当
2
x =
时，7
5
x
−
=
，原来的两位数为25 ；
当
5
x = 时，7
2
x
−
=
，原来的两位数为52；
答：原来的两位数为25 或52．
11．（25-26 九年级上·河北廊坊·阶段检测）已知整数a 与b 的平方和可以表示为
2
2
a
b
+
，现有两个连续的正
整数．
【尝试】（1）若这两个连续的正整数中，较小的数是3，计算它们的平方和；
【建模】（2）若这两个连续的正整数的平方和是145，求这两个正整数．
【答案】（1）它们的平方和是25（2）这两个正整数分别是8 和9
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）由较小的数是3，可得出较大的数是4，将两个数的平方相加，即可求出结论；
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（2）设较小的正整数是x ，则较大的正整数是
1
x + ，根据这两个连续正整数的平方和是145，可列出关于x
的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：（1）较小的数是3，
较大的数是4，
它们的平方和是
2
2
3
4
25
+
=
．
答：它们的平方和是25；
（2）设较小的正整数是x ，则较大的正整数是
1
x + ，
根据题意得：
(
)
2
2
1
145
x
x
+
+
=
，
整理得：
2
72
0
x
x
+
−
=
，
解得：
1
8
x = ，
2
9
x = −（不符合题意，舍去），
1
8 1
9
x
+ = + = ．
答：这两个正整数分别是8 和9．
12．（25-26 八年级下·福建福州·期末）月历中的奥秘（九年级版）：如图是2025年10月的月历表，在此月历
表上用一个矩形圈出三行三列的9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．试解决以下的问题：
(1)用矩形任意圈出的三行三列9个数中，若最小的数设为x ，那么最中间的数可用x 表示为________，最大
的数可用x 表示为________；
(2)若矩形圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，这9个数的和是多少？（请列方程解决）
【答案】(1)
8
x + ；
16
x+
(2)144
【分析】（1）根据图中每行和每列数的关系，即可得到答案．
（2）设最小数为x ，最大数为
16
x+
，根据题意列方程求解即可．
【详解】（1）解：∵每行的后一个数比前一个数大1，每列的下一个数比上一个数大7 ，
∴中间的数可用x 表示为
1 7
8
x
x
+ +
=
+ ，
最大的数可用x 表示为
2 14
16
x
x
+ +
=
+
；
（2）解：设最小数为x ，最大数为
16
x+
，根据题意可列方程：(
)
16
192
x x +
=
，
2
16
192
0
x
x
+
−
=
，
解得
8
x = 或
24
x = −
（舍去），
最小数为8，最大数为8 16
24
+
=
，
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9
个数为8 9 10 15 16 17 22 23 24
、、、、、、、、，
其和为8
9 10 15 16 17
22
23
24
144
+
+
+
+
+
+
+
+
=
．
◆题型5 营销问题
13．（25-26 八年级下·吉林长春·期末）长春市某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80 元，销
售价为120 元时，每天可售出20 件．为了迎接“十一”国庆节，商店决定在销售价120 元的基础上，采取适
当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1 元，那么平均可多售出2
件．设每件童装降价x 元．
(1)采取降价措施后，每天可销售______件，每件盈利______元；（用x 的代数式表示，并化为最简形式）
(2)该童装专卖店希望平均每天盈利1200 元，且优惠力度最大，则每件童装应该降价多少元？
【答案】(1)(
)
20
2x
+
，(
)
40
x
−
(2)每件童装应该降价20 元
【分析】（1）根据“每件童装降价1 元，那么平均可多售出2 件”列出代数式即可；
（2）根据总利润= 销售量单件利润，列出关于x 的一元二次方程，解方程即可得出结果．
【详解】（1）解：∵如果每件童装降价1 元，那么平均可多售出2 件．设每件童装降价x 元，
∴采取降价措施后，每天可销售(
)
20
2x
+
件，每件盈利(
)
(
)
120
80
40
x
x
−
−
=
−
元
（2）解：由题意得(
)(
)
20
2
40
1200
x
x
+
−
=
，
整理得
2
30
200
0
x
x
−
+
=
，
解得
1
10
x =
，
2
20
x =
，
∵要使优惠力度最大，
∴
20
x =
，
∴每件童装应该降价20 元．
14．（25-26 八年级下·浙江台州·期末）一纸侨批，半生守望，作为一部以世界记忆遗产“侨批”文化为底色的
方言电影，《给阿嬷的情书》自国内上映以来，凭借细腻的情感刻画与真挚的故事内核，唤起了广泛而深刻
的社会共鸣．截至6 月初，《给阿嬷的情书》票房已超16亿元．
(1)已知5月12日至5月14日这三天的日票房增长率相同，第一天日票房为2100 万，第三天日票房为3024万，
那么这三天日票房的平均增长率是多少？
(2)随着电影的热映，取景地广东揭阳也吸引了众多游客前来“打卡”，片中信差落水的石板桥成了火爆的打
卡地之一，游客可以沉浸式体验“扛标旗、骑单车、写桥批”等同款打卡活动，据统计，当扛标旗单价定为8
元时，每天约有300名游客参与，当扛标旗单价每上涨一元时，参与的游客数量减少20 人，经涨价后发现
每天营收增加了200 元，则扛标旗单价上涨了多少元？
【答案】(1)这三天票房的平均增长率为20%；
(2)扛标旗单价上涨了2 元或5 元．
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【分析】（1）设这三天票房的平均增长率为x ，根据题意列方程解答即可；
（2）设单价上涨了a 元，根据题意列方程解答即可．
【详解】（1）解：设这三天票房的平均增长率为x
2
2100(1
)
3024
x
+
=
解得：
1
0.2
x =
，
2
2.2
x = −
（舍去）
答：这三天票房的平均增长率为20%．
（2）解：设单价上涨了a 元，
(
)(
)
8
300
20
8 300
200
a
a
+
−
=
+
解得：
1
2
2,
5
a
a
=
=
，
答：扛标旗单价上涨了2 元或5 元．
15．（25-26 八年级下·浙江台州·期末）综合与实践
【项目背景】研究玩偶的销售利润与售价之间的关系．
【素材呈现】
素材1：世界杯期间，某商店以每个30 元的成本价新进一批玩偶．
素材2：在销售过程中发现，该玩偶的售价定为50 元时，每天可卖出100 个，在此基础上，售价每降低1
元，该玩偶每天可多卖出10 个．
素材3：商店准备采用降价销售的方式尽快清空库存，获取合理的利润．
【问题解决】
(1)若该玩偶的售价定为40 元，商店每天卖出该玩偶的数量是 个，每天的利润为 元；
(2)已知商店每天销售该玩偶的利润是2240 元，求该玩偶的售价；
(3)商店每天销售该玩偶的利润能否达到2500 元？若能，求出该玩偶的售价；若不能，请说明理由．
【答案】(1)200，2000
(2)该玩偶的售价为44 元
(3)商店每天销售该玩偶的利润不能达到2500 元；理由：
设该玩偶的售价为x(
)
30
50
x
元，此时利润能达到2500 元，
由题意可得：(
)
(
)
30
10 50
100
2500
x
x
−
−
+
=
，
整理得：
2
90
2050
0
x
x
−
+
=
，
∵
(
)
2
Δ
90
4 1 2050
100
0
= −
−
= −
，
∴该一元二次方程没有实数根，∴
商店每天销售该玩偶的利润不能达到2500 元．
【分析】（1）先计算降价后增加的销量，再计算总利润即可；
（2）设出售价，根据利润关系列一元二次方程求解即可；
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（3）设利润能达到2500 元，列方程后利用判别式判断方程是否有实根即可解答．
【详解】（1）解： ∵当售价定为50 元时，每天卖出100 个，售价每降1 元多卖10 个．
∴当售价为40 元时，降价金额为50
40
10
−
=
元，增加玩偶的数量为：10 10 100
=
个，商店每天卖出该玩偶
的数量是100 100
200
+
=
个，
∴每天的利润为(
)(
)
100 100
40
30
2000
+
−
=
元．
（2）解：设该玩偶的售价为x(
)
30
50
x
元，
由题意可得：(
)
(
)
30
10 50
100
2240
x
x
−
−
+
=
，
整理得：
2
90
2024
0
x
x
−
+
=
，解得：
2
1
44,
46
x
x
=
=
，均符合30
50
x
．
所以在利润相同的情况下，售价越低销量越高，越有利于尽快清空库存，故舍去售价较高的46 元.
答：该玩偶的售价为44 元．
（3）解：略．
◆题型6 动态几何问题
16．（25-26 八年级下·安徽亳州·期中）在Rt
ABC
△
中，
90
C
=
，
18cm
AC =
，
16cm
BC =
，点P，Q 都从
点C 出发，点P 以1cm / s 的速度沿CA 向A 运动，点Q 从点C 出发，以2cm / s的速度沿CB 向B 运动，两点
同时出发，设运动时间为st (
)
0
8
t
．
(1)当
1s
t =
时，求PQ 长．
(2)当PCQ
的面积为
2
6cm 时，求t 的值．
(3)当
3 5cm
PQ =
时，求t 的值．
【答案】(1)
5cm
PQ =
(2)
6s
t =
(3)
3s
t =
【分析】（1）当
1s
t =
时，
1cm
CP =
，
2cm
CQ =
，根据勾股定理求解即可；
（2）根据题意CP
tcm
=
，
2 cm
CQ
t
=
，由
2
6cm
PCQ
S
=
△
列方程求解即可；
（3）根据勾股定理列方程求解即可．
【详解】（1）解：当
1s
t =
时，
1cm
CP =
，
2cm
CQ =
，
90
C
=
，
(
)
2
2
2
2
1
2
5 cm
PQ
CP
CQ
=
+
=
+
=
；
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（2）解：
cm
CP
t
=
，
2 cm
CQ
t
=
，
2
6cm
PCQ
S
=
△
，
1
2
6
2 t
t
=
1
6
t
=
，2
6
t = −
，
0
t
，
6s
t
=
；
（3）解：由勾股定理，可得
(
)
(
)
2
2
2
2
3 5
t
t
+
=
，
解得
3
t =
或
3
t
−
=
，
0
t
，
3s
t
=
．
17．（25-26 九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在矩形ABCD中，
6cm
AB =
，
12cm
BC =
，点P 从点A出
发沿AB 以1cm/s的速度向点B 移动；同时，点Q 从点B 出发沿BC 以2cm/s的速度向点C 移动．设运动时间
为t 秒．
(1)当
2
t =
时，
DPQ
△
的面积为__________
2
cm ；
(2)在运动过程中
DPQ
△
的面积能否为
2
26cm ？如果能，求出t 的值，若不能，请说明理由；
【答案】(1)28
(2)
DPQ
△
的面积不能为
2
26cm ，理由见解析
【分析】本题考查了有理数混合运算的实际应用，一元二次方程的实际应用，理解题意是解题的关键．
（1）根据
DPQ
APD
BPQ
DCQ
ABCD
S
S
S
S
S
=
−
−
−
矩形
计算即可；
（2 ）由题意得
cm
AP
t
=
，
2 cm
BQ
t
=
，即得
(
)
6
cm
BP
t
=
−
，
(
)
12
2
cm
CQ
t
=
−
，进而得到
2
6
36
DPQ
APD
BPQ
DCQ
ABCD
S
S
S
S
S
t
t
=
−
−
−
=
−
+
矩形
，再根据根的判别式判断方程
2
6
36
26
t
t
−
+
=
的解的情况
即可求解．
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【详解】（1）解：当
2
t =
时，由题意得
1 2
2cm
AP = =
，
2 2
4cm
BQ =
=
，
∴
6
2
4cm
BP =
−
=
，
12
4
8cm
CQ =
−
=
，
∴
DPQ
APD
BPQ
DCQ
ABCD
S
S
S
S
S
=
−
−
−
矩形
1
1
1
6 12
2 12
4 4
8 6
2
2
2
=
−
−
−
72 12 8 24
=
−
−−
2
28cm
=
，
故答案为：28 ；
（2）解：
DPQ
△
的面积不能为
2
26cm ，理由如下：
由题意得，
cm
AP
t
=
，
2 cm
BQ
t
=
，
∴
(
)
6
cm
BP
t
=
−
，
(
)
12
2
cm
CQ
t
=
−
，
∴
DPQ
APD
BPQ
DCQ
ABCD
S
S
S
S
S
=
−
−
−
矩形
(
)
(
)
1
1
1
6 12
12
6
2
12
2
6
2
2
2
t
t
t
t
=
−
−
−
−
−
2
6
36
t
t
=
−
+
，
当
DPQ
△
的面积为
2
26cm 时，则
2
6
36
26
t
t
−
+
=
，
即
2
6
10
0
t
t
−
+
=
，
∵
(
)
2
Δ
6
4 1 10
4
0
= −
−
= −
，
∴方程无实数解，
∴
DPQ
△
的面积不能为
2
26cm ．
18．（25-26 九年级下·山东淄博·期末）如图，矩形ABCD中，
6cm
AB =
，
8cm
BC =
，点P 从A开始沿AB 边
向点B 以1cm / s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm/ s 的速度移动，P ，Q 两点分别从A，
B 同时出发．
(1)若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动．
①经过几秒，PBQ
的面积等于
2
8cm ？
②PBQ
的面积能否等于
2
10cm ？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由．
(2)若点P 到达B 后不停止，立即以原速沿BA返回；点Q 到达C 后不停止，继续以原速沿射线BC 方向运动，
直到点P 第一次回到A时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒PBQ
的面积等于
2
6cm ？
【答案】(1)①经过2 秒或4 秒后，PBQ
的面积等于
2
8cm ；②PBQ
的面积不能等于
2
10cm ；
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(2)当t 为(
)
3
3
秒或(
)
3
15
+
秒，PBQ
的面积等于
2
6cm ．
【分析】（1）①设运动时间为x 秒，根据三角形面积公式构建方程求解即可；
②设运动时间为x 秒，PBQ
的面积等于
2
10cm ，根据三角形面积公式构建方程，解方程即可判断；
（2）分两种情况讨论，用面积公式列方程即可得到答案．
【详解】（1）解：①设运动时间为x 秒，则
cm
AP
x
=
，
2 cm
BQ
x
=
，
又
6cm
AB =
，
∴
(
)
6
cm
BP
x
=
−
，
根据题意，得(
)
1 6
2
8
2
x
x
−
= ，
解得
1
2
x =
，
2
4
x =
．
∴经过2 秒或4 秒后，PBQ
的面积等于
2
8cm ；
②设运动时间为x 秒，PBQ
的面积等于
2
10cm ，
根据题意，得(
)
1 6
2
10
2
x
x
−
=
，
整理得
2
6
10
0
x
x +
=
−
，
∴
(
)
2
Δ
6
4 10
4
0
= −
−
= −
，
∴方程无解，
∴PBQ
的面积不能等于
2
10cm ；
（2）解：设运动的时间为t 秒，
①当0
6
t
时，
6
,
2
PB
t BQ
t
=
−
=
，
由题意，得(
)
1 6
2
6
2
t
t
−
=
，
解得：1
3
3
t =
+
，2
3
3
t =
−
；
②当6
12
t
时，
6,
2
PB
t
BQ
t
= −
=
，
由题意，得
(
)
1
2
6
6
2
t
t
−
=
，
解得：1
3
15
t =
+
，2
3
15
t =
−
（舍去），
综上所述，当t 为(
)
3
3
秒或(
)
3
15
+
秒时，PBQ
的面积等于
2
6cm ．
◆题型7 握手、循环赛问题
19．（25-26 九年级上·云南昭通·期中）为了增强学生体质，开展体育娱乐教学，某校举行了“趣味运动会”，
其中一个项目是“单脚拔河”，赛制为单循环形式（每两队之间都比赛一场），共进行了15 场比赛，问共有多
少个队参加“单脚拔河”比赛？
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【答案】共有6 个队参赛．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，熟练掌握单循环赛制的比赛场数公式是解题的关键．设
参赛队伍数量为x ，根据单循环赛制的比赛场数公式，建立方程求解．
【详解】解：设共有x 个队参赛，
由题意可得，1 x( x
1)
15
2
−
=
，
解得：
1
2
6,
5
x
x
=
= −（不符合题意舍去），
答：共有6 个队参赛.
20．（25-26 九年级上·天津河西·阶段检测）列方程解决下列问题．
2023 年7 月6 日～8 日，机器人足球世界杯中国赛（上海分赛场）暨张江智能机器人科创展示在“世界人工
智能大会”张江分会场正式举行．假设参赛的每两个队之间都要比赛一场，赛程安排3 天，每天安排145 场
比赛，求共有多少支队伍参赛？
【答案】共有30 支队伍参赛
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用．
设共有m 支队伍参赛，根据赛程安排3 天，每天安排145 场比赛，建立一元二次方程求解即可．
【详解】解：设共有m 支队伍参赛，
由题意得：
(
)1
3 145
2
m m −
=
，
整理得：
2
870
0
m
m
−
−
=
，
解得：
29
m = −
（舍去）或
30
m =
．
答：共有30 支队伍参赛．
21．（25-26 九年级上·江西南昌·阶段检测）行知中学举办九年级篮球赛，比赛采用单循环赛制（即每个队伍
与其它参赛队伍各比赛1 场），以下是小锦和小江对比赛总场数的统计：
(1)若有6 个参赛队伍，按赛制共进行了几场比赛？
(2)小江的说法有道理吗？请通过计算说明；
【答案】(1)有6 个参赛队伍，按赛制共进行了15 场比赛
(2)小江说的有道理，理由见解析
【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意是解答的关键．
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（1）由题意，得6 个队伍需比赛的局数为
(
)
6
6 1
15
2
−
=
；
（2）设有x 个队伍报名参赛，根据题意列方程
(
)1
40
2
x
x
−
=
，然后解方程，根据方程根的情况可得结论．
【详解】（1）解：由题意，得6 个队伍需比赛的局数为
(
)
6
6 1
15
2
−
=
，
答：有6 个参赛队伍，按赛制共进行了15 场比赛；
（2）解：小江说的有道理，理由如下：
设有x 个队伍报名参赛，根据题意得
(
)1
40
2
x
x
−
=
，
整理，得：
2
80
0
x
x
−
−
=
，
解得：
1
321
2
x
=
（不是整数，不合题意），
∴方程的解不符合实际，故小江的说法有道理．
综合攻坚·知能拔高
一、单选题
1．（25-26 八年级下·湖南长沙·期末）某商品原价289 元，经连续两次降价后售价为256 元，设平均每次降
价的百分率为x ，则下面所列方程正确的是（ ）
A．
(
)
2
289 1
256
x
−
=
B．
(
)
2
256 1
289
x
−
=
C．
(
)
2
289 1
256
x
−
=
D．
(
)
2
256 1
289
x
−
=
【答案】A
【分析】以每次降价前的价格为计算基数，结合最终售价列方程即可．
【详解】解：∵商品原价为289 元，平均每次降价的百分率为x ，
∴第一次降价后的售价为
(
)
289 1
x
−
元，
∵第二次降价以第一次降价后的售价为基数，
∴两次降价后的售价为
(
)
2
289 1
x
−
元，
∵ 两次降价后售价为256 元，
∴可列方程
2
289(1
)
256
x
−
=
．
2．（25-26 八年级下·安徽阜阳·期末）秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口
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罩、保持室内通风等．若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81 个人患了流感，每轮传染中平均一个
人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，根据题意，列方程为（ ）
A．
(
)
1
81
x
x
+
+
=
B．
2
1
81
x
x
+
+
=
C．
(
)
1
1
81
x
x
x
+
+
+
=
D．
(
)
1
81
x
x
x
+
+
=
【答案】C
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x 个人．
∵初始有1人患流感，
∴第一轮传染后，总患病人数为1
x
+
，
∵第二轮传染中，有(
)
1
x
+
个患者，每人传染x 人，
∴新增患病人数为(
)
1
x
x
+
，
∴
(
)
1
1
81
x
x
x
+
+
+
=
．
3．（25-26 八年级下·浙江台州·期末）在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问
题：直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问阔长各几步？也就是说，一块长方形田地的面积为864平
方步，长和宽共60 步，问：这块长方形田地的长宽各多少步？针对这类问题，杨辉提供了巧妙的几何解法，
如图：用四个完全相同的面积为864平方步的矩形拼成一个大正方形，若设矩形田地的宽为x ，则可列方程
为（ ）
A．
2
2
(60
2 )
60
4 864
x
−
=
−
B．(
)
60
864
x
x
+
=
C．
2
2
(60
2 )
60
4 864
x
+
=
−
D．(
)
60
2
864
x
x
−
=
【答案】A
【分析】设矩形田地的宽为x，表示出长为(
)
60
x
−
和小正方形的边长为(
)
60
2x
−
，根据小正方形面积的两
种求法可列方程．
【详解】解：设矩形田地的宽为x，则长为(
)
60
x
−
，小正方形的边长为(
)
60
2x
−
，
根据小正方形面积的两种求法可列方程为
2
2
(60
2 )
60
4 864
x
−
=
−
．
二、填空题
4．（25-26 八年级上·上海·阶段检测）某小组同学毕业前，每位同学都向小组内其他所有同学各送一件礼物，
礼物数共计72 件，那么该小组有_____人．
【答案】9
【分析】设该小组共有x 人，每人向其余同学赠送一件礼物，可得每人赠送(
)
1
x −
件礼物，根据总礼物数为
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72件建立一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根即可得到结果．
【详解】解：设该小组有x 人，根据题意，得：
(
)
1
72
x x−
=
，
整理得
2
72
0
x
x
−
−
= ，
因式分解得(
)(
)
0
8
9
x
x
−
+
=
，
解得
1
9
x =
，
2
8
x = −，
因为人数为正整数，所以舍去
8
x = −，
即该小组有9 人．
5．（25-26 八年级下·江苏扬州·期末）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出10 件，每件盈利40 元，
为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1 元，商场平
均每天可多售出1 件．若商场平均每天盈利600 元，每件衬衫应降价多少元？若设每件衬衫应降价x 元，则
可列方程为________．
【答案】(
)(
)
40
10
600
x
x
−
+
=
【分析】本题根据总利润= 每件衬衫的利润每天的销售量列方程，先分别表示出降价后每件衬衫的利润与
每天的销售量，再代入等量关系即可得到方程．
【详解】解：设每件衬衫应降价x 元，根据题意，降价后每件衬衫的利润为(
)
40
x
−
元，每件降价x 元后，
每天多售出x 件，
因此每天的销售量为(
)
10
x
+
件，
已知商场平均每天盈利600元，结合总利润公式可得方程(
)(
)
40
10
600
x
x
−
+
=
．
6．（25-26 八年级下·浙江湖州·期末）“积幻方”由传统的和幻方衍生而来，在3 3
积幻方中，9个小方格中的
正整数互不相等，且每行、每列、每条对角线上的三个数的乘积相等．如图，已知一个“3 3
积幻方”只呈现
了4 个小方格中的数，则其中x 的值是_________．
【答案】16
【分析】根据题意，得到(
)
(
)
14
16
1
x x
x
−
=
+
，整理得
2
15
16
0
x
x
−
−
=
，再根据解一元二次方程的方法解
方程，即可求出x 的值．
【详解】解：根据题意，可得(
)
(
)
14
16
1
x x
x
−
=
+
，
去括号，得
2
14
16
x
x
x
−
=
+
，
移项，得
2
14
16
0
x
x
x
−
−
−
=
，
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合并同类项，得
2
15
16
0
x
x
−
−
=
，
因式分解，得(
)(
)
16
1
0
x
x
−
+
=
，
解得
1
16
x =
，
2
1
x = −，
∵9个小方格中的正整数互不相等，
∴
16
x =
，即x 的值是16．
三、解答题
7．（2026·吉林松原·模拟预测）某学校校园文化节期间，委托文具店定制一批校园纪念笔记本．文具店4 月
15 日定制出2000 本，16 日、17 日定制量持续增加，到4 月17 日当天的定制量达到3380 本，若16 日、17
日这两日定制量的日平均增长率相同，求这两日定制量的日平均增长率．
【答案】这两日定制量的日平均增长率是30%
【详解】解：设这两日定制量的日平均增长率是x．由题意得：
2
2000(1
)
3380
x
+
=
解得：
1
0.3
30%
x =
=
，
2
2.3
x = −
（不合题意舍去）
答：这两日定制量的日平均增长率是30%．
8．（25-26 八年级下·山东潍坊·期末）某物流园区的货运停车场为矩形，其面积为
2
1320m ，停车场内共设计
了如图所示的40 个停车位，每个停车位的尺寸都一样，其长比宽的2 倍还多1m．停车场内所有横、纵向的
通车道的宽度均相等．设每个停车位的宽为m
x
．
(1)请用含x 的代数式表示横向通车道的长；
(2)求该停车场的每个停车位的宽．
【答案】(1)8
2
x +
(2)3m
【分析】（1）先根据长比宽的2 倍多1m 表示出停车位的长，再结合图形中横向停车位的排列数量，加上通
车道宽度相关的部分，得到横向通车道的长的表达式；
（2）结合图形分别表示出整个停车场的长和宽，利用停车场面积为
2
1320m 建立方程，并解方程，结合实际
意义对根进行取舍，得到停车位的宽即可．
【详解】（1）解：∵每个停车位的宽为m
x
，且长比宽的2 倍多1m ，
∴停车位的长为(
)
2
1 m
x +
，
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观察图形可得横向通车道的长为4 个停车位的宽与两个停车位长的和，
∴横向通车道的长为
(
)
2 2
2 2
1
8
2
x
x
x
+
+
=
+
；
（2）解：由题意得：
(
)
11
8
2
2 2
1
1320
x
x
x
+
+
+
=
整理得：
2
3
30
0
x
x−
+
=
解得：
1
3
x = ，
2
10
3
x = −
（舍去）
答：货运停车场的每个停车位的宽为3m ．
9．（25-26 八年级下·江苏南通·期末）某网店销售一批同款护眼台灯，在销售过程中发现，这款护眼台灯销
售单价为60 元时，每星期卖出100个．如果调整销售单价，每降价1元，每星期就可以多卖出2 个．现网店
决定降价销售，设销售单价为x 元，每星期的销售量为y 个．
(1) y 关于x 的函数解析式为 ；
(2)若销售单价不低于50元时，求最大销售量；
(3)若这款护眼台灯进价为每个40 元，该网店能否达到2600元的利润？
【答案】(1)
2
220(0
60)
y
x
x
= −
+
(2)
120个
(3)
不能达到
【分析】（1）根据降价金额与销量增加的关系，推导y 与x 的函数解析式；
（2）利用一次函数的增减性，结合自变量的取值范围，求出最大销售量；
（3）根据总利润= 单个利润销售量列方程，通过判断方程是否存在实数解，得到能否达到目标利润的结
论.
【详解】（1）解： 由题意可得，销售单价为x 元时，降价金额为(60
)
x
−
元，
每降价1 元多卖出2 个，因此多卖出的销量为2(60
)
x
−
个，
总销量
100
2(60
)
y
x
=
+
−
，
整理得
2
220(0
60)
y
x
x
= −
+
；
（2）解：由题意得
50
x
，结合(1)可得50
60
x
，
函数
2
220
y
x
= −
+
中，2
0
−
，
∴y 随x 的增大而减小，
当x 取最小值50时，y 取得最大值，
将
50
x =
代入得
2 50
220
120
y = −
+
=
；
答：最大销售量为120（个）.
（3）解：由题意， (
40)( 2
220)
2600
x
x
−
−
+
=
，
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展开整理得
2
150
5700
0
x
x
−
+
=
，
∵
2
Δ
150
4 1 5700
22500
22800
300
0
=
−
=
−
= −
，
∴该方程没有实数根，
∴不存在满足条件的销售单价；
答：该网店不能达到2600元的利润.
10．（24-25 九年级上·黑龙江双鸭山·期末）如图所示的是2025 年1 月的日历表，用虚线方框按如图所示的
方法任意圈出四个数，请解答下列问题．
(1)若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数．
(2)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为80 吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理
由．
【答案】(1)最小数为10
(2)
方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为80，理由如下：
设最小数为y ，则另外三个数分别是
1
y + ，
7
y +
，
8
y +
，
由题意得：(
8)
(
1)
(
7)
(
8)
80
y y
y
y
y
y
+
+
+
+
+
+
+
+
=
，
整理得：
2
12
64
0
y
y
+
−
= ，
解得：
1
16
y = −
（不符合题意，舍去），
2
4
y =
，
4
y =
在最后一列，
假设不成立，
即方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为80．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设最小数是x ，则最大数是(
8)
x +
，根据“最大数与最小数的乘积为180”，列出一元二次方程，解之取
其符合题意的值即可；
（2）设最小数为y ，则另外三个数分别是
1
y + ，
7
y +
，
8
y +
，根据最大数与最小数的乘积与这四个数的
和为80，列出一元二次方程，解之可得出y 的值，即可解决问题．
【详解】（1）解：设最小数为x ，则最大数为
8
x + ，
由题意得：(
8)
180
x
x
+
=
，
整理得：
2
8
180
0
x
x−
+
=
，
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解得：
1
18
x = −
（不符合题意，舍去），
2
10
x =
，
从日历表中可以看出10 是第二行第6 个数，符合要求，
答：最小数为10；
（2）略
11．
（25-26 八年级下·广西崇左·期末）如图，用长为22 米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14 米），
围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC 上用其他材料做了宽为1
米的两扇小门．
(1)设花圃的一边AB 长为x 米，请你用含x 的代数式表示另一边AD的长；
(2)若此时花圃的面积刚好为
2
45m ，求此时花圃的长与宽；
(3)能否围成面积为
2
50m 的花圃？请说明理由．
【答案】(1)(
)
24
3x
−
米
(2)花圃的长为9 米，宽为5 米
(3)解：不能围成面积为
2
50m 的花圃，理由如下：
当花圃的面积刚好为
2
50m 时，
(
)
3
24
50
x
x
−
+
=
，
化简得：
2
3
24
50
0
x
x
−
+
=
，
∴
(
)
2
Δ
24
4 3 50
24
0
= −
−
= −
，
∴该方程没有实数解，
∴不能围成面积为
2
50m 的花圃．
【分析】（1）设花圃的宽AB 长为x 米，则
22 3
2
24 3
AD
BC
x
x
=
=
−
+
=
−
米；
（2）由矩形面积
45
S =
，列出方程，解方程可得答案；
（3）由矩形面积
50
S =
，列出方程，判断方程的解的情况可得答案．
【详解】（1）解：∵宽AB
x
=
米，
∴长
22 3
2
24 3
AD
BC
x
x
=
=
−
+
=
−
（米）；
（2）解：∵花圃的面积刚好为45平方米，
∴(
)
3
24
45
x
x
−
+
=
，
化简得：
2
8
15
0
x
x
−
+
=
，
解得：
1
3
x = ，
2
5
x =
，
当
3
x = 时，长
24
3 3
15
14
AD =
−=
，不合题意，舍去；
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当
5
x = 时，长
24 3 5
9
14
AD =
−=
，符合题意；
答：花圃的长为9 米，宽为5 米．
（3）略
12．（25-26 八年级下·广西百色·期末）【背景素材】某工厂一车间对某款新能源汽车的关键零部件进行智能
化、一体化加工，生产效率大幅提升．车间技术员记录了以下两组信息：
素材
1
该车间4 月份生产该零件100 个，到6 月份产量增加至144 个，且每月增长率相同．
素材
2
该零件的生产成本为每个30 元．市场调研发现：当售价定为每个40 元时，每月可销售600 个；若
售价每上涨1 元，月销售量就会减少10 个．
【任务驱动】
(1)任务一：求该车间4 月份到6 月份生产该零件数量的月平均增长率．
(2)任务二：工厂为了提升利润，计划调整售价，并要求月销售利润达到10000 元．同时，为了让更多消费
者买得起，价格尽可能实惠．请你计算该零件的实际售价应定为每个多少元？
【答案】(1)月平均增长率为20%
(2)该零件的实际售价应定为每个50元
【分析】（1）本题为平均增长率问题，设月平均增长率为未知数，根据4 月产量和6 月产量的关系列一元
二次方程，舍去不符合实际的负根即可得到结果；
（2）本题为销售利润问题，利用“总利润= 单个利润月销售量”的关系列一元二次方程求解，结合“价格尽
可能实惠”的要求，选择较小的解即可．
【详解】（1）解：设该车间4 月份到6 月份生产该零件数量的月平均增长率为x ，
根据题意得：
2
100(1
)
144
x
+
=
，
解得
1
0.2
20%
x =
=
，
2
2.2
x = −
（增长率为负不符合实际，舍去）
答：月平均增长率为20%．
（2）解：设该零件的实际售价应定为每个x 元，则单个利润为(
30)
x −
元，售价上涨了(
40)
x −
元，
因此月销售量为
(
)
600 10
40
1000 10
x
x
−
−
=
−
个，
由月销售利润为10000元，
列方程得：(
30)(1000 10 )
10000
x
x
−
−
=
，
整理得
2
130
4000
0
x
x
−
+
=
，
因式分解得(
)(
)
50
80
0
x
x
−
−
=
，
解得
1
50
x =
，
2
80
x =
，
∵要求价格尽可能实惠，需选取较小的售价，
∴
50
x =
，
答：该零件的实际售价应定为每个50(元)．
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13．（24-25 九年级上·山东青岛·阶段检测）如图，在矩形ABCD中，
10cm
AB =
，
12cm
BC =
，点P 从点A
开始沿边AB 向终点B 以2cm / s的速度移动，与此同时，点Q 从点B 开始沿边BC 向终点C 以4cm/ s 的速
度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒，
（0
3
t
）．
(1)当t 为何值时，点B 在PQ 的垂直平分线上？
(2)当t 为何值时，PQ 的长度等于10cm？
(3)连接PC ，是否存在t 的值，使得
PQC
△
的面积等于
2
32cm ？若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请
说明理由．
【答案】(1)当
5s
3
t =
时，点B 在PQ 的垂直平分线上
(2)当
2
t =
时，PQ 的长度等于10cm
(3)存在，当
1s
t =
时，使得
PQC
△
的面积等于
2
32cm
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理及矩形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
(1)先求出
4 cm
BQ
t
=
，
(
)
10
cm
PB
AB
AP
t
=
=
=
−
，再根据线段垂直平分线的性质构造方程求解即可；
(2)先求出
4 cm
BQ
t
=
，
(
)
10
cm
PB
AB
AP
t
=
−
=
−
，再利用勾股定理建立方程(
)
(
)
2
2
2
10
4
10
t
t
−
+
=
，解方程
即可得到答案；
(3)先求出
(
)
12
4
cm
CQ
BC
BQ
t
=
−
=
−
，再根据三角形面积计算公式得到方程(
)(
)
1 10
2
12
4
32
2
t
t
−
−
=
，解方
程即可得到答案．
【详解】（1）解：∵点P 从点A 开始沿边AB 向终点B 以2cm / s的速度移动，与此同时，点Q 从点B 开始沿
边BC 向终点C 以4cm/ s 的速度移动，设运动时间为t 秒，
4 cm
2 cm
BQ
t
AP
t
=
=
∴
,
，
10cm
AB =
，
10 2
cm
PB
AB
AP
t
=
−
=
−
（
）
∴
，
∵B 在PQ 的垂直平分线上，
PB
BQ
=
，
10
2
4
t
t
−
=
∴
，
解得
5
3
t =
，
∴当
5s
3
t =
时，点B 在PQ 的垂直平分线上；
（2）∵点P 从点A 开始沿边AB 向终点B 以2cm / s的速度移动，与此同时，点Q 从点B 开始沿边BC 向终点
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C 以4cm/ s 的速度移动，设运动时间为t 秒，
4 cm
2 cm
BQ
t
AP
t
=
=
∴
,
，
10cm
AB =
，
(
)
10
2
cm
PB
AB
AP
t
=
−
=
−
，
∵四边形ABCD是矩形，
90
B
=
，
由勾股定理得
2
2
2
PQ
PB
BQ
=
+
，
(
)
(
)
2
2
2
10
2
4
10
t
t
−
+
=
，
即
2
2
100
40
4
16
100
t
t
t
−
+
+
=
2
2
0
t
t
−
=
解得1
0
t =
，2
2
t =
，
0
3
t
1
0
t =
舍去
∴当
2
t =
时，PQ 的长度等于10cm；
（3）由题意得，
(
)
12
4
cm
CQ
BC
BQ
t
=
−
=
−
，
PQC
的面积等于
2
32cm ，
1
32
2CQ PB
=
∴
，
(
)(
)
1 10
2
12
4
32
2
t
t
−
−
=
，
化简得
2
8
7
0
t
t
−
+
=
1
t
= 或
7
t =
0
3
t
7
t
=
舍去，
∴当
1s
t =
时，使得
PQC
△
的面积等于
2
32cm ．
14．（25-26 八年级下·河北石家庄·期末）问题情境：
八年级（1）班的同学，对石家庄梨膏糖食品厂出产的“梨膏糖”每日生产和销售的情况进行了信息整理，结
果如下：
信息1：这款“梨膏糖”日产量x（千克）的范围是30
120
x
．
信息2：这款“梨膏糖”每千克的生产成本
1y （元）与日产量x（千克）之间关系如下表所示．
信息3：这款“梨膏糖”每千克的售价
2y （元）与日产量x（千克）之间的关系式为：
2
1
90
3
y
x
= −
+
．
日产量x（千克）
30
60
90
120
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每千克的生产成本
1y （元）
55
50
45
40
问题解决：
(1)根据表格信息，这款“梨膏糖”每千克生产成本
1y 是x 的一次函数，求此函数关系式；
(2)求这款“梨膏糖”每千克的售价
2y 的最大值是多少元；
(3)若该厂每日生产的“梨膏糖”当天会全部售完．
①该厂计划将某日这款“梨膏糖”的销售利润定为1200 元，如果你是生产部经理，当日该产品的日产量应该
定为多少比较合理？为什么？
②该厂计划将某日这款“梨膏糖”的销售利润定为1500 元，能否实现？请通过计算说明理由．
【答案】(1)
(
)
1
1
60 30
120
6
y
x
x
= −
+
(2)
80 元
(3)
①日产量定为60 千克；②不能实现
【分析】（1）利用待定系数法，代入表格数据求解一次函数解析式；
（2）根据一次函数的增减性，结合自变量取值范围求
2y 的最大值；
（3）①先根据总利润= 每千克利润日产量，得到总利润关于x 的二次函数，再令
1200
W =
求解即可；
②令
1500
W =
，通过方程解的情况判断目标利润能否实现．
【详解】（1）解：设
1y 与x 的函数关系式为
(
)
1
0
y
kx
b k
=
+
，
从表格中选取两组数据，即
1
30,
55
x
y
=
=
；
1
60,
50
x
y
=
=
，
代入得
30
55
60
50
k
b
k
b
+
=
+
=
，解得
1
6
60
k
b
= −
=
，
则有
1
1
60
6
y
x
= −
+
，
经检验，其余点均满足该解析式，结合x 的取值范围，得函数关系式为
(
)
1
1
60 30
120
6
y
x
x
= −
+
；
（2）解：已知
(
)
2
1
90 30
120
3
y
x
x
= −
+
1
0
3
k = −
，
2y
随x 的增大而减小，
当
30
x =
时，
2y 取得最大值，最大值为
2
1 30
90
80
3
y = −
+
=
，
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学科网（北京）股份有限公司
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即这款“梨膏糖”每千克的售价
2y 的最大值是80 元；
（3）解：由题意，每日生产的梨膏糖全部售完，设总利润为W，
则
(
)
2
2
1
1
1
1
1
90
60
30
30
3
6
6
6
W
x y
y
x
x
x
x
x
x
x
=
−
=
−
+
−−
+
=
−
+
= −
+
，
①当
1200
W =
时，得方程
2
1
30
1200
6 x
x
−
+
=
，
整理得
2
180
7200
0
x
x
−
+
=
，解得
1
2
60,
120
x
x
=
=
，均满足30
120
x
，
在获得相同利润时，日产量为60 千克比120 千克投入的人力和原材料更少，成本更低，
因此选择60 千克更合理，
答：当日该产品的日产量应该定为60 千克．
②当
1500
W =
时，得方程
2
1
30
1500
6 x
x
−
+
=
，
整理得
2
180
9000
0
x
x
−
+
=
，配方得
2
(
90)
900
x −
= −
，
任何实数的平方都大于等于0，因此方程没有实数解，即不存在满足条件的日产量，因此不能实现目标利
润，
答：不能实现利润为1500 元的计划．
