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1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题04 判别式、根与系数的关系及含参数问题 常考题型·精准突破 题型1 根据判别式判断一元二次方程根的情况（重） 题型2 根据一元二次方程根的情况求参数（高频） 题型3 利用根与系数的关系求代数式的值（高频） 题型4 判别式和根与系数的关系的综合问题（难） 题型5 判别式和根与系数的关系的新定义型问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 根据判别式判断一元二次方程根的情况 1．（25-26 八年级下·山西大同·期末）关于x 的一元二次方程 2 2 3 1 0 x x + −= 的根的情况（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 2．（25-26 八年级下·浙江绍兴·期末）关于x 的一元二次方程 2 1 0 x x k − + + = 中， 0 k ，则该方程的根的情 况是（ ） A．两实数根之和为1 B．两实数根之积为1 C．没有实数根 D．有两个不相等的实数根 3．（2026·四川内江·中考真题）对于实数a 、b ，定义运算“☆”如下： 2 a b ab ab − = ☆ ，例如： 2 3 2 3 2 3 2 6 = − = ☆ ，则方程2 3 x = ☆ 的根的情况为（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 ◆题型2 根据一元二次方程根的情况求参数 4． （25-26 八年级下·浙江台州·期末）已知关于x 的一元二次方程 2 2 1 0 kx kx − + = 有两个相等的实数根，则k = ________________． 5．（25-26 八年级下·吉林·期末）已知关于x 的一元二次方程 2 2 4 0 x x a − + = 有两个不相等的实数根，则a 的 取值范围是__________． 6． （25-26 八年级下·山东泰安·期末）若关于x 的一元二次方程 ( ) 2 2 1 0 kx k x k − + + = 有两个不相等的实数根， 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 则k 的取值范围为____________________． ◆题型3 利用根与系数的关系求代数式的值 7．（25-26 八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）设 1x ， 2x 是关于x 的一元二次方程 2 20 0 x x − − = 的两个实数根， 则 2 2 1 2 1 2 x x x x + 的值为___________． 8．（25-26 八年级下·北京·阶段检测）已知m、n 是方程 2 2 5 0 x x − − = 的两个根，代数式 3 ( 1) ( 3)( 3) m m m m m − − − + − 的值为________； 2 2 m n + 的值为________． 9．（25-26 八年级下·浙江金华·阶段检测）设 1x ， 2x 为方程 2 2 7 2 0 x x − + = 的两根，试求下列各式的值； (1) 1 2 1 1 x x + (2) 2 1 1 2 x x x x + (3) 2 1 1 2 x x x x + ◆题型4 判别式和根与系数的关系的综合问题 10．（25-26 八年级下·江苏苏州·期末）已知关于x 的一元二次方程 2 6 0 x x m − + = ． (1)若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围； (2)若方程的两根为 1x ， 2x ，且 1 2 2 x x = ，求m 的值． 11． （25-26 八年级下·北京·期末）已知关于x 的一元二次方程 ( ) 2 2 2 1 1 0 x k x k + − + −= 的两个实数根分别为 1x ， 2x ． (1)求k 的取值范围； (2)若 1x ， 2x 满足 1 2 1 2 3 x x x x + = − ，求实数k 的值． 12．（25-26 八年级下·安徽六安·期末）已知关于x 的一元二次方程 ( ) 2 3 0 x k x k + + + = ． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若 1x 、 2x 是方程的两根，且 1 2 1 2 3 13 x x x x + − = ，求k 的值． ◆题型5 判别式和根与系数的关系的新定义型问题 13．（25-26 八年级下·江苏苏州·期末）定义：如果关于x 的一元二次方程 2 0 ax bx c + + = （a ，b ，c 均为常 数， 0 a ）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，则称这样的方程为“美丽方程”． (1)下列方程中，是“美丽方程”的是__________（填序号）． ① 2 2 0 x x + = ；② 2 4 4 0 x x − + = ；③ 2 4 3 0 x x + + = ． 3 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (2)若( )( ) 2 0 x x n + + = 是“美丽方程”，求n 的值． (3)若一元二次方程 2 4 0 ax ax c + + = （a ，c 均为常数， 0 a ）为“美丽方程”，请写出a 、c 满足的数量关系， 并说明理由． 14． （25-26 九年级上·安徽芜湖·期中）若 1x ，2x 是一元二次方程 ( ) 2 0 0 ax bx c a + + = 的两根，则有 1 2 b x x a + = − ， 1 2 c x x a = ，由上式可知，一元二次方程的两根和、两根积是由方程的系数确定的，我们把这个关系称为一 元二次方程根与系数的关系． (1)已知关于x 的一元二次方程 ( ) 2 2 2 1 1 0 x k x k − − + −= 的两个不相等的实数根分别为 1x ， 2x ，且满足： 1 2 1 2 x x x x + = ，求k 的值； (2)若，是方程 2 1 0 x x − −= 的两根，记 1S = + ， 2 2 2 S = + ，…， n n n S = + ， ①当n 为不小于3的整数时，证明： 2 1 n n n S S S − − + = ； ②计算 2 S ， 7 S 的值． 15．（25-26 八年级下·广东深圳·期末）已知关于x 的一元二次方程 2 0 ax bx c + + = 有两个实数根 1x ， 2x ，若 满足 1 2 1 x x − = ，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是________；（填写序号） ① 2 0 x x − = ；② 2 4 5 0 x x− − = (2)已知关于x 的方程 2 2 0 x ax + = 是“差根方程”，求a 的值． (3)已知ABC 是直角三角形，斜边BC 的长为7 ，若ABC 的两边AB 、AC 的长是一个二次项系数为1 的 “差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（2026·内蒙古通辽·模拟预测）关于x 的一元二次方程 2 2 2 6 6 0 x x k − + + = 根的情况为（ ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 2．（25-26 八年级下·浙江杭州·期末）已知 1x ， 2x 是一元二次方程 2 5 8 0 x x − − = 的两个根，则 1 2 1 2 x x x x + − 的 值为（ ） A．13 B．13 − C．3 D．3 − 3．（2026·河南商丘·模拟预测）已知关于x 的一元二次方程 ( ) 2 2 1 1 0 4 x m x m − + + = 有两个相等的实数根，则 m 的值是（ ） 4 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．1 2 B．1 4 C． 1 2 − D．2 二、填空题 4．（25-26 九年级上·甘肃张掖·阶段检测）定义新运算，对于任意实数m、n 有m n mn m n = − − ☆ ，则方程 2 ( 1) 0 x x+ = ☆ 的根的判别式的值为__________． 5．（25-26 九年级下·北京西城·开学考试）若关于x 的一元二次方程 2 2 1 0 ax x + + = 有两个不相等的实数根， 则实数a 的取值范围是______． 6．（25-26 九年级下·山东淄博·期末）已知m ，n 是方程 2 2026 1 0 x x − + = 的两个实数根，则 ( )( ) 2 2 2025 2 2025 2 m m n n − + − + 的值为________． 三、解答题 7．（25-26 八年级下·安徽马鞍山·期末）已知关于x 的一元二次方程 2 2 1 0 ax x − −= 有两个不相等的实数根． (1)求a 的取值范围． (2)若方程的一个根是另一个根的两倍，求a 的值． 8．（25-26 八年级下·北京·阶段检测）已知关于x 的一元二次方程( ) ( ) 2 3 2 1 0 a x a x − − − + = (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程的两个根均为整数，求整数a 的值． 9． （25-26 八年级下·安徽亳州·期末）已知a ，b 是关于x 的一元二次方程( ) 2 1 2 1 0 m x x − − + = 的两个实数根． (1)求m 的取值范围； (2)当 2 m = −时， ①求 2 2 a b + 的值； ②求 2 3a a b − − + 的值． 10．（25-26 九年级上·广东江门·期中）设 1 2 x x 、 是关于x 的方程 2 5 2 1 0 x x k − + −= 的两个实数根． (1)求k 的取值范围； (2)若 2 2 1 2 17 x x + = ，求k 的值． 11．（25-26 九年级上·江西新余·阶段检测）已知关于x 的一元二次方程 ( ) 2 3 0 x m x m + + + = ． (1)求证：无论m 取何值时，原方程总有两个不相等的实数根． (2)若 1x ， 2x 是原方程的两根，且 1 2 1 2 17 x x x x + − = ．求m 的值． 12．（25-26 八年级下·湖南长沙·期末）定义：方程 2 0 ax bx c + + = （ 0 ac ）与方程 2 0 cx bx a + + = 互为“换位 方程”．如一元二次方程 2 2 3 1 0 x x − −= 的“换位方程”是 2 3 2 0 x x − − + = ．已知关于x 的一元二次方程①： ( ) 2 2 1 2 0 x m x m + + + − = ，其中 2 m ． (1)写出方程①的“换位方程”； 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (2)求证：当 2 m 时，方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根； (3)若方程①与其“换位方程”有且仅有一个公共根 0x ，求这个公共根及m 的值． 13．（25-26 九年级上·广东韶关·期末）【阅读材料】若关于x 的一元二次方程 2 0 ax bx c + + = （ 0 a ）的两根 为 1x ， 2x ，则 1 2 b x x a + = − ， 1 2 c x x a = ．这就是一元二次方程根与系数的关系．根据上述材料，结合你所学 的知识，完成下列问题： (1)【材料理解】一元二次方程 2 2 5 1 0 x x − −= 的两根为 1x ， 2x ，则 1 2 x x + = _______， 1 2 x x = _______； (2)【类比运用】已知关于x 的一元二次方程 ( ) 2 2 1 2 1 2 0 2 x k x k − + + − = ．若方程的两个实数根为 1x ， 2x ，满 足 1 2 1 2 2 5 x x x x + = + ，求k 的值． 14．（25-26 八年级上·上海普陀·期末）【阅读理解】如果三个实数中有两个数乘积的算术平方根等于第三个 数，那么我们把这三个实数称为“组合平方数”． （1）3、6、12_____“组合平方数”；（填“是”或“不是”） （2）如果2 −、n、4 是“组合平方数”，那么n =_____； 【问题探究】在学习一元二次方程时，我们知道一元二次方程 ( ) 2 0 0 ax bx c a + + = 的根的情况是由系数 a b c 、、确定的． 已知关于x 的一元二次方程 2 0 ax bx c + + = （ 0 a ）有实数根，请回答下列问题． （3）设 ( p p 为有理数，且 0 p ）为该方程的两根之和， 1 p − 为该方程的两根之积．求证：a b c 、、是“组合 平方数”； （4）当 1 a = 时， ( ) 1 a b c b c 、、 是“组合平方数”，且 2 2 2 15 b c + = ．求b 和c 的值．
