文档文本内容
1 / 12
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
专题04 判别式、根与系数的关系及含参数问题
常考题型·精准突破
题型1 根据判别式判断一元二次方程根的情况（重）
题型2 根据一元二次方程根的情况求参数（高频）
题型3 利用根与系数的关系求代数式的值（高频）
题型4 判别式和根与系数的关系的综合问题（难）
题型5 判别式和根与系数的关系的新定义型问题（难）
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
◆题型1 根据判别式判断一元二次方程根的情况
1．A
2．C
3．A
◆题型2 根据一元二次方程根的情况求参数
4．1
5．
2
a
6．
1
4
k −
且
0
k
◆题型3 利用根与系数的关系求代数式的值
7．20
−
8． 19 14
9．
【答案】(1) 7
2
(2) 41
4
(3) 7
2
2 / 12
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【详解】（1）解：∵
1
2
,
x x 是方程
2
2
7
2
0
x
x
−
+
=
的两根，
∴
1
2
1 2
7
2
,
1
2
2
x
x
x x
+
=
=
= ，
∴
1
2
1
2
1
2
7
1
1
7
2
1
2
x
x
x
x
x x
+
+
=
=
=
．
（2）解：
2
1
1
2
x
x
x
x
+
2
2
1
2
1
2
x
x
x x
+
=
(
)
2
1
2
1
2
1
2
2
x
x
x x
x x
+
−
=
2
7
2 1
49
41
2
2
1
4
4
−
=
=
−
=
．
（3）解：∵
1 2
1
2
7
1
0,
0
2
x x
x
x
=
+
=
，
1
2
0,
0
x
x
，
∴
2
2
1
1
2
x
x
x
x
+
2
2
1
1
1
1
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
=
+
+
2
1
1
2
2
x
x
x
x
=
+
+
41
49
2
4
4
=
+
=
，
2
1
1
2
49
7
4
2
x
x
x
x
+
=
=
．
◆题型4 判别式和根与系数的关系的综合问题
10．
【答案】(1)
9
m
(2)
8
m =
【详解】（1）解：已知一元二次方程为
2
6
0
x
x
m
−
+
= ,方程有两个不相等的实数根，
∴
2
Δ
( 6)
4 1
36
4
0
m
m
= −
−
=
−
，
解得
9
m
；
3 / 12
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
（2）解：对于一元二次方程
2
6
0
x
x
m
−
+
= ，
由根与系数的关系可得
1
2
6
x
x
+
=
，
1
2
x x
m
=
，
∵
1
2
2
x
x
=
，
∴
2
2
2
6
x
x
+
=
，
解得
2
2
x =
，
∴
1
2 2
4
x =
=
，
∴
4 2
8
m = = ．
11．
【答案】(1)
5
4
k
(2)
1
k = −
【详解】（1）解：关于x 的一元二次方程
(
)
2
2
2
1
1
0
x
k
x
k
+
−
+
−=
有两个实数根，
Δ
0
，
即
(
)
2
2
(2
1)
4 1
1
0
k
k
=
−
−
−
，
展开整理得4
5
0
k
−
+
，
解得
5
4
k
；
（2）解：由一元二次方程根与系数的关系可得
1
2
(2
1)
1 2
x
x
k
k
+
= −
−
= −
，
2
1
2
1
x x
k
=
−，
1
2
1
2
3
x
x
x x
+
= −
，
代入得
2
1 2
3 (
1)
k
k
−
= −
−
，
整理得
2
2
3
0
k
k
−
−
=
，
解得
1
2
3,
1
k
k
=
= −，
5
4
k
，
5
3
4
，
3
k
=
不符合题意，舍去，
1
k
= −．
12．
【答案】(1)证明：
(
)
2
Δ
3
4
k
k
=
+
−
2
6
9
4
k
k
k
=
+
+
−
2
2
9
k
k
=
+
+
(
)
2
1
8
k
=
+
+ ，
∵(
)
2
1
0
k +
，
∴
(
)
2
Δ
1
8
0
k
=
+
+
，
4 / 12
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∴方程总有两个不相等的实数根．
(2)
4
k = −
（2）解：
(
)
2
3
0
x
k
x
k
+
+
+
=
，
由根与系数的关系可得，
1
2
3
3
1
k
x
x
k
+
+
= −
= −
−
，
1 2
x x
k
=
，
∵
1
2
1 2
3
13
x
x
x x
+
−
=
，
∴
3
3
13
k
k
−
−
−
=
，
解得
4
k = −．
◆题型5 判别式和根与系数的关系的新定义型问题
13．
【详解】（1）解：①解方程
2
2
0
x
x
+
=
得
1
0
x =
，
2
2
x = −．
(
)
0
2
2
−−
=
，符合“美丽方程”定义，
①是“美丽方程”；
②解方程
2
4
4
0
x
x
−
+
=
得
1
2
2
x
x
=
=
．
2
2
0
2
−
=
，不符合定义，
②不是“美丽方程”；
③解方程
2
4
3
0
x
x
+
+
=
得
1
1
x = −，
2
3
x = −．
(
) (
)
1
3
2
−
−−
=
，符合定义，
③是“美丽方程”．
综上可知，是“美丽方程”的是①③．
（2）解：解方程(
)(
)
2
0
x
x
n
+
+
=
得
1
2
x = −，
2x
n
= −．
该方程是“美丽方程”，
(
) (
)
2
2
n
−
−−
=
，即
2
2
n −
=
，
∴
2
2
n−
=
或
2
2
n−
= −，
解得
4
n =
或
0
n =
．
(3)
3
c
a
=
，理由：
设方程
2
4
0
ax
ax
c
+
+
=
（
0
a
）的两个根为
1x ，
2x ，
方程为“美丽方程”，
1
2
2
x
x
−
=
，
两边平方得(
)
2
1
2
4
x
x
−
=
．
由一元二次方程根与系数的关系得：
1
2
4
4
a
x
x
a
+
= −
= −，
1 2
c
x x
a
=
．
5 / 12
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
(
)
(
)
2
2
1
2
1
2
1
2
4
x
x
x
x
x x
−
=
+
−
，
(
)
2
4
4
4
c
a
−
−
=
，
整理得
4
16
4
c
a
−
=
，
化简得
3
c
a
=
，即a ，c 满足的数量关系为
3
c
a
=
．
14．
【详解】（1）解：
(
)
(
)
2
2
2
2
Δ
2
1
4
1
4
8
4
4
4
8
8
k
k
k
k
k
k
= −
−
−
−
=
−
+ −
+
= −
+
．
原方程有两个不相等的实数根，
8
8
0
k
−
+
，解得
1
k ，
由根与系数的关系，
1
2
2(
)1
x
x
k
+
=
−
，
2
1
2
1
x x
k
=
−，
1
2
1
2
x
x
x x
+
=
，
2
1
|
)
2
1
(
|
k
k
−
=
−，化简得
2
2
1
0
k
k
−
+ =
，或
2
2
3
0
k
k
+
−
=
，
1
k
= 或
3
k = −，
又
1
k
，
3
k
= −；
(2)①证明：
，是方程的根，
∴
2
1
=
+ ，
2
1
=
+ ，
∴
2
2
1
1
2
2
2
1
(1
)
(1
)
n
n
n
n
n
n
n
n
S
S
−
−
−
−
−
−
−
−
+
=
+
+
+
=
+
+
+
，
因为
2
1
=
+ ，
2
1
=
+ ，
所以原式
2
2
2
2
n
n
n
n
n
S
−
−
=
+
=
+
=
②，是方程
2
1
0
x
x
−
−=
的两根，
1
+
= ，
1
= −，
2
2
2
2
(
2
1 2
)
3
S
=
+
=
+
−
= +
=
；
由①知：
7
6
5
S
S
S
=
+
5
4
4
3
S
S
S
S
=
+
+
+
4
3
4
3
2
S
S
S
S
=
+
+
+
4
3
3
2
S
S
=
+
(
)
3
2
3
3
2
S
S
S
=
+
+
3
2
5
3
S
S
=
+
(
)
2
1
2
5
3
S
S
S
=
+
+
1
2
5
8
S
S
=
+
6 / 12
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
(
)
(
)
2
2
5
8
=
+
+
+
29
=
．
15．
【答案】(1)①
(2)
1
2
a =
(3)
2
13
3
0
x
x
−
+ =
【详解】（1）解：①
2
0
x
x
−
=
解得：
1
1
x = 或
2
0
x =
，
1
2
1 0
1
x
x
−
=
−
= ，
①是“差根方程”；
②
2
4
5
0
x
x−
−
=
解得：
1
5
x = ，
2
1
x = −，
(
)
1
2
5
1
6
1
x
x
−
=
−−
=
，
②不是“差根方程”；
（2）解：方程
2
2
0
x
ax
+
=
因式分解得：(
)
2
0
x x
a
+
=
，
解得：
1
0
x =
，
2
2
x
a
= −
，
方程
2
2
0
x
ax
+
=
是“差根方程”，
(
)
0
2
1
a
−−
= ，
2
1
a
= ，
2
1
=
a
或2
1
a = −，
解得：
1
2
a =
或
1
2
a
−
=
；
（3）解： 设
1
AB
x
=
、
2
AC
x
=
，
ABC
是直角三角形，斜边BC 的长为7 ，
2
2
2
AB
AC
BC
+
=
，
2
2
1
2
7
x
x
+
=
，
1x
、
2x 是“差根方程”的两个实数根，
1
2
1
x
x
−
= ，
(
)
2
1
2
1
x
x
−
= ，
2
2
1
2
1
2
2
1
x
x
x x
+
−
= ，
7 / 12
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
1 2
7
2
1
x x
−
= ，
1
2
3
x x
=
，
(
)
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
7
2 3
13
x
x
x
x
x x
+
=
+
+
=
+ =
，
1x
、
2x 是三角形的边长，均为正数，
1
2
13
x
x
+
=
，
方程二次项系数为1，
所求差根方程为
2
13
3
0
x
x
−
+ =
．
综合攻坚·知能拔高
一、单选题
1．C
2．A
3．A
二、填空题
4．9
5．
1
a 且
0
a
6．2028
三、解答题
7．
【答案】(1)
1
a
−
且
0
a
(2)
8
9
a = −
【详解】（1）解：∵关于x 的一元二次方程
2
2
1
0
ax
x
−
−=
有两个不相等的实数根，
∴
(
)
(
)
2
2
4
1
4
4
0
a
a
= −
−
−
=
+
且
0
a
，
1
a
−且
0
a
．
（2）解：设方程的两个不相等的实数根为
1x ，
2x ，
∵方程的一个根是另一个根的两倍，
∴不妨设
1
2
2
x
x
=
，
1
2
2
2
x
x
a
a
−
+
= −
=
，
∴
2
2
2
2x
x
a
+
=
，
8 / 12
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
2
2
3
x
a
=
，
∴
1
2
4
2
3
x
x
a
=
=
，
1
2
1
x x
a
= −
，
2
8
1
9a
a
= −
，
解得
8
9
a = −
，
经检验，
8
9
a = −
是该分式方程的解．
8．
【答案】(1)证明：方程为一元二次方程，故
3
0
a −
即
3
a
，
判别式
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
Δ
2
4
3
1
4
4
4
12
8
16
4
0
a
a
a
a
a
a
a
a
−
−
−
=
−
=
−
+
−
+
=
−
+
=
，
方程总有两个实数根．
（2）解：由求根公式得
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
(
4)
2
4
2
3
2
3
a
a
a
a
x
a
a
−
−
−
−
=
=
−
−
计算得
(
)
(
)
1
2
3
1
2
3
a
x
a
−
=
=
−
，
2
1
3
x
a
=
−，
两根均为整数，
1
3
a
−为整数，
3
1
a
−= ，
解得
4
a =
或
2
a =
．
9．
【答案】(1)
2
m
且
1
m
(2)①10
9 ；②
5
3
−
【详解】（1）解：(
)
2
1
2
1
0
m
x
x
−
−
+ =
是关于x 的一元二次方程，
1
0
m−
，则
1
m ，
关于x 的一元二次方程(
)
2
1
2
1
0
m
x
x
−
−
+ =
有两个实数根，
(
)
(
)
2
Δ
2
4
1
0
m
= −
−
−
，解得
2
m
，
综上所述，m 的取值范围是
2
m
且
1
m ；
（2）解：当
2
m = −时，
2
3
2
1
0
x
x
−
−
+ =
，整理得
2
3
2
1
0
x
x
+
−=
，
a ，b 是一元二次方程
2
3
2
1
0
x
x
+
−=
的两个实数根，
9 / 12
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
2
2
1
,
,3
2
1
0
3
3
a
b
ab
a
a
+
= −
= −
+
−=
，
①
(
)
2
2
2
2
2
1
4
2
4
6
10
2
2
3
3
9
3
9
9
9
a
b
a
b
ab
+
=
+
−
= −
−−
=
+
=
+
=
；
②
(
) (
)
2
2
2
5
3
3
2
1
3
3
a
a
b
a
a
a
b
−
−
+
= −
+
+
+
= −+ −
= −
．
10．
【答案】(1)
29
8
k
(2)
5
2
k =
【详解】（1）解：∵方程
2
5
2
1
0
x
x
k
−
+
−=
有两个实数根，
∴
(
)
(
)
2
Δ
5
4 2
1
0
k
= −
−
−
，
∴25 8
4
0
k
−
+
，
∴
29
8
k
；
（2）解：∵
1
2
x
x
、
是关于x 的方程
2
5
2
1
0
x
x
k
−
+
−=
的两个实数根，
∴
1
2
5
x
x
+
= ，
1
2
2
1
x x
k
=
−，
∵
2
2
1
2
17
x
x
+
=
，
∴
(
)
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
17
x
x
x
x
x x
+
=
+
−
=
，
∴
(
)
2
5
2 2
1
17
k
−
−
=
，
∴2
1
4
k −=
，
即
5
2
k =
．
11．
【答案】(1)见解析
(2)
10
m
−
=
【详解】（1）证明：判别式为
(
)
(
)
2
2
2
2
Δ
3
4
6
9
4
2
9
1
8
0
m
m
m
m
m
m
m
m
=
+
−
=
+
+ −
=
+
+
=
+
+
，
则无论m 取何值时，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由韦达定理得
1
2
3
x
x
m
+
= −
−，
1
2
x x
m
=
，
由于
1
2
1
2
17
x
x
x x
+
−
=
，
则
3
17
m
m
−
−−
=
，
解得
10
m
−
=
，
因此m 的值为10
−
．
10 / 12
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
12．
【答案】（1）解：在方程
(
)
2
2
1
2
0
x
m
x
m
+
+
+
−
=
中，
1
a = ，
2
c
m
=
−，
∴方程①的“换位方程”为(
)
(
)
2
2
2
1
1
0
m
x
m
x
−
+
+
+ =
．
(2)当
2
m
时，对于方程①及其“换位方程”均有
(
)
(
)
2
2
2
1
4
2
4
9
0
m
m
m
=
+
−
−
=
+
，
∴方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根．
（3）解：∵方程①与其“换位方程”有且仅有一个公共根
0x ，
∴
(
)
2
0
0
2
1
2
0
x
m
x
m
+
+
+
−
=
，(
)
(
)
2
0
0
2
2
1
1
0
m
x
m
x
−
+
+
+ =
，
(
)
2
0
3
3
0
m
x
m
−
+ −
=
，
∴(
)(
)
2
0
3
1
0
m
x
−
−
=
，
当
3
m =
时，方程①与其“换位方程”相同，不符合题意，
∴
2
0
1
0
x
−=
解得：
0
1
x
−
=
或
0
1
x = ，
当
0
1
x
−
=
时，代入方程①得，
(
)
2
( 1)
2
1
2
0
m
m
−
−
+
+
−
=
，
解得：
2
m = −；
当
0
1
x = 时，代入方程①得，
(
)
21
2
1
2
0
m
m
+
+
+
−
=
，
解得：
0
m =
．
13．
【答案】(1) 5
2 ，
1
2
−
(2)
0
k =
或
2
k =
【详解】（1）解：∵
2,
5,
1
a
b
c
=
= −
= −，
∴
1
2
1 2
5
1
,
2
2
x
x
x x
+
=
= −
，
故答案为：5
1
,
2
2
−
；
（2）解：∵方程的两个实数根为
1x ，
2x ，
∴
2
1
2
1 2
1
2
1,
2
2
x
x
k
x x
k
+
=
+
=
−，
∵
1
2
1
2
2
5
x
x
x x
+
=
+ ，
∴
2
1
2
1
2
2
5
2
k
k
+ =
−
+
，
即：
2
2
0
k
k
−
=
，
11 / 12
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
(
)
2
0
k k −
=
，
解得：
0
k =
或
2
k =
，
∵
(
)
2
2
2
1
2
1
4
2
2
4
9
0
2
k
k
k
k
= −
+
−
−
=
+
+
，
∴所求k 值均符合题意．
14．
【答案】（1）是
（2）8
−
（3）证明过程见详解
（4）
3,
3
b
c
=
=
或
10
5
,
2
2
b
c
=
=
【详解】解：（1）∵3 6
18, 18
3 2
12
=
=
，3 12
36, 36
6
=
=
，6 12
72
72
6 2
3
=
=
，
，
∴3、6、12 是“组合平方数”；
故答案为：是；
（2）如果2
−、n、4 是“组合平方数”，
∴当
2
4
n
−
=
时，
解得，
8
n = −；
当
2 4
8
−
=
−时，被开方数小于0，不符合题意，舍去；
当
4
2
n = −时，由算术平方根是大于等于0 的数得到不符合题意，舍去；
故答案为：8
−；
（3）证明：已知关于x 的一元二次方程
2
0
ax
bx
c
+
+
=
（
0
a
）有实数根，
∵设
(
p p 为有理数，且
0
p
）为该方程的两根之和，1
p
−
为该方程的两根之积，方程的两个根分别用
1
2
,
x x 表
示，
∴
1
2
1
2
1
,
?
b
c
x
x
p x x
a
a
p
+
= −
=
=
= −
，
∴b
p
a = −
，则
1
a
b
p
= −
，
∴a
c
b
a
=
，
∴
2
bc
a
=
，
∵
2
0,
0
a
a
，
∴
0
bc
，
∴bc
a
=
，
∴a
b
c
、、是“组合平方数”；
12 / 12
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
（4）当
1
a = 时，
(
)
1
a
b
c b c
、、
是“组合平方数”，即
(
)
1
?
1
b
c b c
、、
是“组合平方数”，
∴当1?b
c
=
时，
0
b
，
2
b
c
=
，
0
c
，
∴
2
2
15
b
b
+
=
，
整理得，
2
2
15
0
b
b
+
−
=
，则(
)(
)
5
3
0
b
b
+
−
=
，
解得，
1
5
b = −（不符合题意，舍去），
3
b =
，
∴
2
3
c
=
，
∴
3
c =
（负值舍去），即
3
c =
，
∴1 3
3
、、是“组合平方数”；
当1?c
b
=
时，
2
0,
c
c
b
=
，
0
b
，
∴
2
2
15
c
c
+
=
，
整理得，
2
2
15
0
c
c
+ −
=
，则(
)(
)
3
2
5
0
c
c
+
−
=
，
解得，
1
3
c = −（不符合题意，舍去），
2
5
2
c =
，
∴
2
5
2
b
=
，
∴
10
2
b =
（负值舍去），即
10
2
b =
，
∴
10 5
1
2
2
、
、是“组合平方数”；
∵· 1
bc ，
∴
·
1
bc = 不符合题意；
综上所述，
3,
3
b
c
=
=
或
10
5
,
2
2
b
c
=
=
．
