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1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题07 一元二次方程的概念的十类综合题型 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、一元二次方程的定义及求参 题型二、一元二次方程的一般形式 题型三、列一元二次方程 题型四、已知一元二次方程的根求参 题型五、一元二次方程中不含某项 题型六、已知一元二次方程的解整体代入求值 题型七、赋值一元二次方程的根 题型八、降次法求值 题型九、一元二次方程的整体换根 题型十、一元二次方程的估算 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 类别 具体内容 知识 点 1. 定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的整式方程叫做一元二次方 程 2. 一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0），其中ax²是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项， b 是一次项系数；c 是常数项 3. 判定三要素：①是整式方程；②只含1 个未知数；③未知数最高次数为2，三个 条件缺一不可 4. 方程的根：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的根，也 叫做一元二次方程的解 目 录 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 易错 点 1. 忽略“整式方程”前提：将分母含未知数的分式方程（如 x 1 +x²=3）误判定为一元二次 方程 2. 忘记验证二次项系数不为0：判定形如(m-1)x²+3x-2=0 的方程时，未考虑m=1 时方 程退化为一元一次方程，直接判定为一元二次方程 3. 确定系数时遗漏符号：将一般形式如2x²-3x+1=0 的一次项系数错写为3，实际应为 -3 4. 整理方程时出错：未将方程化为一般形式就直接确定次数和系数，如将x(x+2)=4x²-3 错整理，误判最高次数 5. 根的验证误区：代入求值时只计算一边，忽略验证方程左右两边是否相等，或者将 只满足一边的未知数错认为根 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、一元二次方程的定义及求参 典例1 下列关于x 的方程中是一元二次方程的是（ ） A． 2 5 2 0 x x + − = B．3 1 0 x+ = C． 2 1 3 x x + = D． 5 6 x y − = 【答案】A 【分析】本题根据一元二次方程的定义判断各选项即可，一元二次方程需满足三个条件：只含一个未知数， 未知数最高次数为2，是整式方程． 【详解】解：一元二次方程的定义为：只含有一个未知数，且未知数最高次数为2 的整式方程． ∵ 选项A 2 5 2 0 x x + − = 满足一元二次方程的所有条件，是一元二次方程； 选项B 3 1 0 x+ = 未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合要求； 选项C 2 1 3 x x + = 分母含有未知数，不是整式方程，不符合要求； 选项D 5 6 x y − = 含有x 和y 两个未知数，是二元一次方程，不符合要求． 3 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 变式1-1 若方程( ) 1 1 1 0 m m x mx − + + + = 是关于x 的一元二次方程，则m 的值是（ ） A． 1 m = B． 1 m = − C． 3 m = D． 1 m = −或 3 m = 【答案】C 【分析】一元二次方程需满足两个条件，x 的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此列式求解即可． 【详解】解：∵方程( ) 1 1 1 0 m m x mx − + + + = 是关于x 的一元二次方程， ∴ 1 2 1 0 m m − = + ， ∴ 3 m = ． 变式1-2 已知一元二次方程的一个根是1，请写出这个一元二次方程____． 【答案】 2 0 x x − = （答案不唯一） 【分析】一元二次方程要求二次项系数不为0，将根 1 x = 代入方程满足等式，即可得到符合要求的方程． 【详解】解：设一元二次方程的一般形式为 ( ) 2 0 0 ax bx c a + + = ， ∵ 1 x = 是方程的根， ∴将 1 x = 代入方程得： 0 a b c + + = ， 任意取满足条件的, , a b c ，例如取 1 a = ， 1 b = −， 0 c = ， 得到一元二次方程 2 0 x x − = ， 验证可知 1 x = 是该方程的根，符合要求． 变式1-3 关于x 的方程( ) 2 7 3 1 0 m m x x − + + −= 是一元二次方程，则m 为__________． 【答案】3 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次为2 的整式方程是一元二次方程，据此可得 2 7 2 3 0 m m − = + ，解 之即可得到答案． 【详解】解：∵关于x 的方程( ) 2 7 3 1 0 m m x x − + + −= 是一元二次方程， 4 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ 2 7 2 3 0 m m − = + ， ∴ 3 m = ． 类型二、一元二次方程的一般形式 典例2 一元二次方程 2 2 5 x x − = 的二次项系数和一次项系数分别是（ ）． A．2 ，5 − B．2 ，1 C．2 −，1 D．2 ，0 【答案】C 【分析】先将给定一元二次方程整理为一般形式 ( ) 2 0 0 ax bx c a + + = ，其中a 为二次项系数，b 为一次项 系数，再对应找出系数即可得到答案． 【详解】原方程为 2 2 5 x x − = ， 将方程移项整理为一般形式得 2 2 5 0 x x − − = 或 2 2 5 0 x x − + + = ， 整理后可得，二次项系数和一次项系数为2, 1 −或2,1 − ． 变式2-1 一元二次方程 ( ) ( ) 2 2 1 1 1 x m x x x − + + = − 化成一般形式后二次项的系数为1，一次项的系数为1 −， 则m 的值为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再根据题意给出的一次项系数列方程求解m 即可． 【详解】解： ( ) ( ) 2 2 1 1 1 x m x x x − + + = − 展开右侧得 ( ) 2 2 2 1 1 x m x x x − + + = − 移项合并同类项得 2 1 0 x mx − + = 由题意，该方程一次项系数为1 −，可得 1 m − = − 解得 1 m = ． 变式2-2 把方程( )( ) 3 2 2 3 0 x x + − = 化为一般形式是__________． 5 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【答案】 2 6 5 6 0 x x − − = 【分析】先展开方程左边两个一次式的乘积，再合并同类项，整理为一元二次方程的一般形式 ( ) 2 0 0 ax bx c a + + = 即可． 【详解】解：( )( ) 3 2 2 3 x x + − ( ) ( ) 3 2 3 3 2 2 2 3 x x x x = + − + + − 2 6 9 4 6 x x x = − + − 2 6 5 6 x x = − − ， 原方程化为一般形式为 2 6 5 6 0 x x − − = ． 变式2-3 一元二次方程 2 2 4 5 x x − = 化为一般式 2 0 ax bx c + + = 后，a，b，c 的值分别为________． 【答案】2，4 −，5 − 【分析】将原方程整理为一元二次方程的一般形式，即可确定出a ，b ，c 的值． 【详解】解： 2 2 4 5 x x − = ， 整理得： 2 2 4 5 0 x x − − = ∴ 2 a = ， 4 b = −， 5 c = −． 题型三、列一元二次方程 典例3 某工厂因生产技术落后等因素，造成去年的利润比前年减少了10% ．该工厂今年年初开展了技术革 新，计划今年的利润比去年增长30%，设该工厂按计划完成任务后今年和去年这两年平均增长的百分数为 x ．则下列方程正确的是（ ） A．( )( ) 1 10% 1 30% 2x − + = B．( )( ) 2 1 10% 1 30% 2x − + = C．( ) ( ) 2 1 10% 30% 1 x − + = + D．( )( ) ( ) 2 1 10% 1 30% 1 x − + = + 【答案】D 【分析】设前年该工厂的利润为单位1，分别用两种方式表示今年的利润，根据相等关系列出方程即可． 【详解】设前年该工厂的利润为单位1， ∵去年利润比前年减少10% ，今年计划比去年增长30%， ∴今年计划完成后的利润为 ( )( ) ( )( ) 1 10% 1 30% 1 1 10% 1 30% − + = − + ； 6 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵两年平均增长的百分数为x ，即从前年到今年经过两年平均增长，年均增长率为x ， ∴今年的利润也可表示为 ( ) ( ) 2 2 1 1 1 x x + = + ； 由于两种方式表示的今年利润相等，因此可得方程( )( ) 2 1 10% 1 30% (1 )x − + = + ． 变式3-1 如图，某学校有一块长30m，宽10m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，两块绿 地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若两块矩形绿地的面积共 2 216m ，设人行通道的宽度为x 米，根据 题意列出方程（ ） A．( )( ) 30 3 10 2 216 x x − − = B．( )( ) 30 2 10 2 216 x x − − = C．( )( ) 30 2 10 2 432 x x − − = D．( )( ) 30 3 10 2 432 x x − − = 【答案】A 【分析】根据题意和图形可以得到相应的方程，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得， ( )( ) 30 3 10 2 216 x x − − = ． 变式3-2 某班级组织活动，每天需要两名志愿者参与活动，该班级学生积极参与，考虑到所有的不同组合， 共有45 种组队可能．如果设该班级参加活动的学生有x 人，根据题意列方程并化为一般形式：___________． 【答案】 2 90 0 x x − − = 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据从x 人中选出2 人的不同组合总数等于45 种建立等式， 再整理为一元二次方程的一般形式即可． 【详解】解：设该班级参加的学生有x 人，从x 人中选2 名志愿者的不同组合数为( 1) 2 x x − ， 根据题意列方程得：( )1 45 2 x x − = 两边同乘2 得： 2 90 x x − = 移项化为一般形式得： 2 90 0 x x − − = 7 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 变式3-3 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出10 件，每件盈利40 元，为了扩大销售，增加盈利， 商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1 元，商场平均每天可多售出1 件．若商 场平均每天盈利600 元，每件衬衫应降价多少元？若设每件衬衫应降价x 元，则可列方程为________． 【答案】( )( ) 40 10 600 x x − + = 【分析】本题根据总利润= 每件衬衫的利润每天的销售量列方程，先分别表示出降价后每件衬衫的利润与 每天的销售量，再代入等量关系即可得到方程． 【详解】解：设每件衬衫应降价x 元，根据题意，降价后每件衬衫的利润为( ) 40 x − 元，每件降价x 元后， 每天多售出x 件， 因此每天的销售量为( ) 10 x + 件， 已知商场平均每天盈利600元，结合总利润公式可得方程( )( ) 40 10 600 x x − + = ． 题型四、已知一元二次方程的根求参 典例4 已知方程 2 6 0 x kx + − = 的一个根是2，则k 的值为（ ） A．2 B．1 C．3 D．−3 【答案】B 【分析】根据方程根的定义，方程的根可使方程左右两边相等将已知根 2 x = 代入原方程，解关于k 的一元 一次方程即可得到结果． 【详解】∵ 2 x = 是方程 2 6 0 x kx + − = 的一个根， ∴ 将 2 x = 代入原方程得， 2 2 2 6 0 k + − = ， 整理得 4 2 6 0 k + − = ，即 2 2 0 k − = ， 解得 1 k = ． 变式4-1 已知 1 x = 是一元二次方程( ) 2 2 1 3 0 − + − = m x x m 的一个根，则m 的值为（ ） A．1 −或2 B．1 − C．2 D．0 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根的定义，将已知根代入方程得到关于m 的方程，求解后再结合一元二次方程 8 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 的定义排除不符合条件的值，即可得到结果. 【详解】解： 1 x = 是一元二次方程( ) 2 2 1 3 0 m x x m − + − = 的一个根， ( ) 2 2 1 1 3 1 0 m m − + − = ， 解得 2 m = 或 1 m = −， 又原方程是一元二次方程， 二次项系数 1 0 m− ，即 1 m ， 而 2 m = 和 1 m = −都满足 1 m ， 因此m 的值为1 −或2 . 变式4-2 若 1 x = 是一元二次方程 2 3 1 0 x kx + −= 的解，则k 的值为____________． 【答案】2 − 【分析】将 1 x = 代入原方程即可求解k 的值． 【详解】解： 1 x = 是一元二次方程 2 3 1 0 x kx + −= 的解 2 3 1 1 1 0 k + −= 整理得 2 0 k + = 解得 2 k = −． 变式4-3 已知方程 2 3 0 x x c + + = 的一个根是1，则c = _____． 【答案】4 − 【分析】根据一元二次方程根的定义，将已知根代入原方程，得到关于c 的一元一次方程，求解即可得到c 的值． 【详解】解: 因为1是方程 2 3 0 x x c + + = 的根， 将 1 x = 代入方程得： 21 3 1 0 c + + = ， 整理得4 0 c + = ， 移项得 4 c = −． 题型五、一元二次方程中不含某项 典例5 关于x 的一元二次方程 2 3 5 x mx x + = + 化为一般形式后不含一次项，则m 的值为（ ） 9 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．0 B． 3 ± C．3 D．3 − 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程的一般形式．先将一元二次方程化为一般形式，再由一般形式后不含 一次项，即含x 的一次项的系数为0，可得关于m 的一元一次方程，求解即可． 【详解】解：将 2 3 5 x mx x + = + 化为一般形式，得 ( ) 2 3 5 0 x m x + − − = ， ∵关于x 的一元二次方程 2 3 5 x mx x + = + 化为一般形式后不含一次项， ∴ 3 0 m− = ， 解得： 3 m = ． 故选：C． 变式5-1 若关于x 的方程2x2＋mx＝4x＋2 中不含x 的一次项，则m 等于（ ） A．0 B．4 C．－4 D．±4 【答案】B 【分析】首先要把方程化成一般形式．不含x 的一次项，即是一次项系数为0，再解答即可． 【详解】解： 2 2 4 2 x mx x + = + ， 2 2 ( 4) 2 0 x m x + − − = ， 不含x 的一次项， 则 4 0 m− = ， 解得 4 m = ． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式．本题关键是明白不含x 的一次项，即是一次项系数为0． 变式5-2 若方程 2 2 4 2 x mx x + = + 中不含x 的一次项，则m = ________． 【答案】4 【分析】本题考查一元二次方程的定义，理解一元二次方程的基本定义是解题关键． 根据一次项的定义先确定一次项，然后确定系数即可． 【详解】解：∵方程 2 2 4 2 x mx x + = + ，即 ( ) 2 4 2 0 x m x + − − = 不含x 的一次项， ∴ 4 0 m− = ， 10 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ 4 m = ， 故答案为：4． 变式5-3关于x的一元二次方程( ) 2 2 1 5 m x m x x − + = + 化为一般形式后不含一次项，则m的值为__________． 【答案】1 − 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式；将方程化为一般形式，根据不含一次项的条件，令一次项 系数为零，且二次项系数不为零，求解m ． 【详解】解：原方程( ) 2 2 1 5 m x m x x − + = + 化为一般形式：( ) 2 2 1 5 0 m x m x x − + − − = ， 即( ) ( ) 2 2 1 1 5 0 m x m x − + − − = ， 由于不含一次项，则一次项系数 2 1 0 m −= ，且二次项系数 1 0 − m ． 解 2 1 0 m −= ，得 1 m = ． 由 1 0 − m ，得 1 m ， 故 1 m=- ． 故答案为：1 −． 题型六、已知一元二次方程的解整体代入求值 典例6 若关于x 的一元二次方程 ( ) 2 3 0 0 ax bx a + + = 的一个根是 2 x = ，则2026 4 2 a b − − = （ ） A．2029 B．2023 C．2029 − D．2025 【答案】A 【分析】把 2 x = 代入一元二次方程中，得到4 2 3 a b + = −，再把4 2 3 a b + = −代入2026 4 2 a b − − ，即可． 【详解】解：将 2 x = 代入 2 3 0 ax bx + + = ，得4 2 3 0 a b + + = ， 4 2 3 a b + = −， ( ) ( ) 2026 4 2 2026 4 2 2026 3 2029 a b a b − − = − + = −− = ． 变式6-1 若a 是关于x 的方程 2 3 1 0 x x − −= 的一个根，则 2 2026 6 2 a a − + 的值是（ ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】B 11 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【分析】先根据方程根的定义得到 2 3 1 a a − = ，再将所求代数式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：∵ a 是关于x 的方程 2 3 1 0 x x − −= 的一个根， 2 3 1 0 a a − −= ，即 2 3 1 a a − = ， ( ) 2 2 2026 6 2 2026 2 3 2026 2 1 2024 a a a a − + = − − = −= ． 变式6-2 若 1 x = 是关于x 的方程 2 2 2 2 x ax a + + = 的一个根，代数式( ) 2 1 3 9 5 a a a a − + + −的值为__________． 【答案】1 − 【分析】先由方程根的定义，得到 2 2 1 a a + = ，再化简所求代数式，将 2 2 1 a a + = 整体代入计算即可得到答 案． 【详解】解： 1 x = 是关于x 的方程 2 2 2 2 x ax a + + = 的一个根， 2 1 2 2 a a + + = ，则 2 2 1 a a + = ， ( ) 2 1 3 9 5 a a a a − + + − 2 2 3 9 5 a a a a = − + + − 2 4 8 5 a a = + − ( ) 2 4 2 5 a a = + − 4 1 5 = − 1 = −． 变式6-3 若关于x 的一元二次方程 ( ) 2 1 0 0 ax bx a + + = 的一个解是 1 x = −，则2026 a b − + 的值是__________． 【答案】2027 【分析】把 1 x = −代入方程得到 1 a b − = −，再整体代入求值即可． 【详解】解：根据题意，把 1 x = −代入方程 ( ) 2 1 0 0 ax bx a + + = 得， 2 ( 1) ( 1) 1 0 a b − + − + = ， 整理得， 1 a b − = −， 2026 2026 ( ) 2026 ( 1) 2026 1 2027 a b a b − + = − − = −− = + = ． 12 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型七、赋值一元二次方程的根 典例7 关于x 的方程 ( ) 2 0 0 ax bx c a + + = 中，若, , a b c 满足4 2 0 a b c + + = 和4 2 0 a b c − + = ，则该方程的根 是（ ） A． 1 2 2, 0 x x = = B． 1 2 4, 4 x x = − = C． 1 2 2, 2 x x = = − D．无法确定 【答案】C 【分析】根据方程根的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根，将题目给出的等式与一 元二次方程的一般形式对比，即可得到对应满足方程的x 的值． 【详解】解：∵ 方程为 ( ) 2 0 0 ax bx c a + + = 当 2 x = 时，代入方程左边得 2 2 2 4 2 a b c a b c + + = + + ， 由题可知4 2 0 a b c + + = ， ∴ 2 x = 是方程的根， 当 2 x = −时，代入方程左边得 ( ) ( ) 2 2 2 4 2 a b c a b c − + − + = − + ， 由题可知4 2 0 a b c − + = ， ∴ 2 x = −是方程的根 ∴方程的根为 1 2 2, 2 x x = = −． 变式7-1 若一元二次方程 2 2 0 x bx c + + = 满足2 0 b c + + = ，则这个方程必有一个根是（ ） A． 1 x = − B． 0 x = C． 1 2 x = D． 1 x = 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的解，把 1 x = 代入方程 2 2 0 x bx c + + = 得2 0 b c + + = ，即可解答．解题的关 键是掌握方程的解的定义：使方程左右两边相等的未知数的值． 【详解】解：∵2 0 b c + + = ， 又把 1 x = 代入方程 2 2 0 x bx c + + = 中得：2 0 b c + + = ， ∴这个方程必有一个根是 1 x = ． 故选：D． 13 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 变式7-2 在一元二次方程 ( ) 2 0 0 ax bx c a + + = 的研究中小明发现4 2 0 a b c − + = ，小红发现9 3 0 a b c + + = ， 而小刚听完他们的发现后直接说出了方程的两个解，则这个方程的根为__________． 【答案】 1 2 2, 3 x x = − = 【详解】解：依题意，当 2 x = - 时，代入方程左边得： ( ) 2 ( 2) 2 4 2 a b c a b c − + − + = − + ，已知4 2 0 a b c − + = ， 即左边= 右边，所以 2 x = - 是方程 ( ) 2 0 0 ax bx c a + + = 的一个解． 当 3 x = 时，代入方程左边得： 23 3 9 3 a b c a b c + + = + + ，已知9 3 0 a b c + + = ，即左边= 右边，所以 3 x = 是 方程 ( ) 2 0 0 ax bx c a + + = 的一个解． 所以这个方程的根为 1 2 x = - ， 2 3 x = ． 变式7-3 对于一元二次方程 ( ) 2 0 0 ax bx c a + + = ，若9 3 0 a b c − + = ，则该方程的一个根是_____． 【答案】 3 x − = 【分析】本题考查一元二次方程的解，根据当 3 x − = 时，有9 3 0 a b c − + = 可得答案． 【详解】解：∵当 3 x − = 时，( ) ( ) 2 3 3 0 a b c − + − + = ，即9 3 0 a b c − + = ， ∴ 3 x − = 是该方程的一个根， 故答案为： 3 x − = 题型八、降次法求值 典例8 将关于x 的一元二次方程 2 0 x bx c + + = 变形为 2x bx c = − −，就可将 2 x 表示为关于x 的一次多项式，从 而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”．已知 2 1 0 x x − −= 可用“降次法”求 4 3 2019 x x − + 的值是 （ ） A．2019 B．2020 C．2021 D．2022 【答案】C 【分析】先求得x2=x+1，再代入x4-3x+2019 即可得出答案． 【详解】解：∵x2-x-1=0， ∴x2=x+1， ∴x4-3x+2019=（x+1）2-3x+2019 14 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 =x2+2x+1-3x+2019 =x2-x+2020 =1+2020 =2021， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，将四次先降为二次，再将二次降为一次． 变式8-1 将关于x 的一元二次方程 2 0 x px q − + = 变形为 2x px q = − ，就可以将 2 x 表示为关于x 的一次多项 式，也可以将 3x 表示为 ( ) 2 x x x px q = − = …，从而达到“降次”的目的，我们将这种方法称为“降次法”，通过 这种方法可以化简次数较高的代数式．若 2 1 0 x x− + = ，则 3 2 2 2023 x x + + 的值为（ ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【答案】B 【分析】此题考查一元二次方程，整体代入法：根据方程变形得到 2 1 x x − = ， 2 1 x x + = ，仿照已知整体代 入化简即可得到答案，正确理解整体代入法达到降次解方程的目的是解题的关键． 【详解】∵ 2 1 0 x x− + = ， ∴ 2 1 x x − = ， 2 1 x x + = ， ∴ 3 2 2 2023 x x + + ( ) 2 1 2 2023 x x x = − + + 2 2 2 2023 x x x = − + + 2 2023 x x = + + 1 2023 = + 2024 = 故选：B． 变式8-2 将关于x 的一元二次方程 2 0 x px q + + = 变形为 2x px q = − − ，就可将 2 x 表示为关于的一次多项式， 从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”，已知 2 1 0 x x − −= ，可用“降次法”求得 4 3 2018 x x − + 的 值是_______． 【答案】2020 15 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【分析】先求得x2=x+1，再代入x4-3x+2018 即可得出答案． 【详解】解：∵x2-x-1=0， ∴x2=x+1， ∴x4-3x+2018=（x+1）2-3x+2018 =x2+2x+1-3x+2018 =x2-x+2019 =x+1-x+2019 =2020， 故答案为：2020． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，将四次先降为二次，再将二次降为一次． 变式8-3 将关于x 的一元二次方程 2 0 x bx c + + = 变形为 2x bx c = − −，就可得 2 x 表示为关于x 的一次多项式， 从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”．已知 2 1 0 x x − −= ，可用“降次法”求得 4 3 2016 x x − + 的值是______ ． 【答案】2018 【分析】根据题意，将 2 1 0 x x − −= 化为 2 1 x x = + ，再逐步代入代数式 4 3 2016 x x − + 即可得出答案． 进行求值即可． 【详解】解： 2 1 0 − −= x x ， 2 1 x x = + ， 4 2 3 2016 1 3 2016 x x x x − + = + − + （ ） 2 2 1 3 2016 x x x = + + − + 2 2017 x x = − + 1 2017 = + 2018 = ， 故答案为∶2018． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，将四次先降为二次，再将二次降为一次． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型九、一元二次方程的整体换根 典例9 若关于x 的一元二次方程 2 2 2 0 ax bx + − = 的一个根是 2022 x = ，则一元二次方程 ( ) 2 2 2 1 2 a x bx b + + + = 必有一根为（ ）． A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】A 【分析】对一元二次方程( ) 2 2 2 1 2 a x bx b + + + = 变形，设 2 t x = + 得到 2 2 2 0 at bt + − = ，利用 2 2 2 0 ax bx + − = 的一个根是 2022 x = 可得 2022 t = ，从而求出x 即可． 【详解】解：对于一元二次方程( ) 2 2 2 1 2 a x bx b + + + = 即( ) ( ) 2 2 2 2 2 0 a x b x + + + − = ， 设 2 t x = + ，则可得 2 2 2 0 at bt + − = ， 而关于x 的一元二次方程 2 2 2 0 ax bx + − = 的一个根是 2022 x = ， 所以 2 2 2 0 at bt + − = 有一个根为 2022 t = ， 所以 2 2022 x + = ， 解得 2020 x = ， 所以一元二次方程( ) 2 2 2 1 2 a x bx b + + + = 必有一根为 2020 x = ． 变式9-1 已知关于x 的方程( ) 2 0 a x m b + + = 的解 1 2 2, 1 x x = − = 是（a m b ，，均为常数， 0 a ），则方程 ( ) 2 3 1 0 a x m b + + + = 的解是（ ） A． 1 2 5, 4 x x = − = B． 1 2 1, 0 x x = − = C． 1 2 2, 1 x x = − = D．无法求解 【答案】B 【分析】利用换元法，将新方程中的3 1 x + 看作整体，对应原方程的x ，根据原方程的解得到整体的取值， 再解一元一次方程即可得到新方程的解． 【详解】解：令 3 1 y x = + ，则方程( ) 2 3 1 0 a x m b + + + = 可变形为( ) 2 0 a y m b + + = ， 关于x 的方程( ) 2 0 a x m b + + = 的解为 1 2 2, 1 x x = − = ， 1 2 2, 1 y y = − = ， 即3 1 2 x+ = −或3 1 1 x + = ， 17 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 解得 1 1 x = −或 2 0 x = ， 方程( ) 2 3 1 0 a x m b + + + = 的解是 1 2 1, 0 x x = − = ． 变式9-2 已知一元二次方程 2 ( ) a x m n + = （ 0 a ）的两根分别为3 −、1，则一元二次方程 2 ( 2) 0 a x m n + − − = （ 0 a ）的两根分别为________． 【答案】 1 1 x = −， 2 3 x = / 1 3 x = ， 2 1 x = − 【分析】利用换元思路，将所求方程整理为与原方程形式相同的一元二次方程，根据原方程的根得到对应 关系式，即可求解． 【详解】解：将所求方程 ( ) 2 ( 2) 0 0 a x m n a + − − = 移项变形得 ( ) 2 2 a x m n − + = ， ∵一元二次方程 ( ) 2 ( ) 0 a x m n a + = 的两根分别为3 −，1， ∴可得 2 3 x − = −或 2 1 x− = ， 解得 1 3 2 1 x = −+ = −， 1 1 2 3 x = + = ， ∴一元二次方程 ( ) 2 ( 2) 0 0 a x m n a + − − = 的两根分别为 1 1 x = −， 2 3 x = ． 变式9-3 关于x的方程 2 ( ) 0 a x m b + − = 的解是 1 2 x = ，2 3 x = （a，m，b均为常数， 0 a ），则方程 2 ( 2) a x m b + − = 的解是______． 【答案】 1 4 x = ， 2 5 x = 【分析】本题考查一元二次方程的解，利用换元思想对比已知方程与待求方程的结构，根据已知方程的解 即可得到待求方程的解． 【详解】解：将已知方程整理得 2 ( ) a x m b + = ，其解为 1 2 2, 3 x x = = ． 将待求解方程 2 ( 2) a x m b + − = 变形为 ( ) 2 2 a x m b − + = 令 2 y x = − ，则方程变为 2 ( ) a y m b + = ，可得 1 2 2, 3 y y = = ， 即 2 2 x − = 或 2 3 x− = ， 解得 1 2 4, 5 x x = = ． 18 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型十、一元二次方程的估算 典例10 根据表格中的信息，估计一元二次方程 2 0.2 ax bx c + + = （a 、b 、c 为常数， 0 a ）的一个解x 的 范围为（ ） x 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 2 ax bx c + + 0.44 − 0.25 − 0.04 − 0.19 0.44 A．0.4 0.5 x B．0.5 0.6 x C．0.6 0.7 x D．0.7 0.8 x 【答案】D 【分析】本题主要考查了估计一元二次方程的解，解题的关键是掌握一元二次方程的解定义． 方程 2 0.2 ax bx c + + = 的解是使 2 ax bx c + + 的值为0.2 的x 值，需从表格中找到 2 ax bx c + + 在0.2 两侧的相邻x 的取值范围． 【详解】解：∵当 0.7 x = 时， 2 0.19 0.2 ax bx c + + = ， 当 0.8 x = 时， 2 0.44 0.2 ax bx c + + = ， ∴使 2 0.2 ax bx c + + = 成立的x 的范围为0.7 0.8 x ， 故选：D． 变式10-1 根据下表： x 3 − 2 − 1 − … 4 5 6 2 3 5 x x − − 13 5 1 − … 1 − 5 13 确定方程 2 3 5 0 x x − − = 的解的取值范围是（ ） A．3 2 x − −或4 5 x B．2 1 x − − 或5 6 x C．3 2 x − −或5 6 x D．2 1 x − − 或4 5 x 【答案】D 【分析】本题考查了利用表格数据判断方程解的区间，解题的关键是观察表格中 2 3 5 x x − − 的函数值符号变 化，确定方程 2 3 5 0 x x − − = 的解所在的区间． 直接读取表格中对应x 的函数值；根据函数值由正变负或由负变正的相邻区间，确定方程解的范围；结合选 项得出正确答案． 【详解】解：由表格可知当 2 x = −时， 2 3 5 5 0 x x − − = ； 19 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 当 1 x = −时， 2 3 5 1 0 x x − − = − ； ∴ 在2 1 x − − 区间内，函数值由正变负，存在一个解． 当 4 x = 时， 2 3 5 1 0 x x − − = − ； 当 5 x = 时， 2 3 5 5 0 x x − − = ； ∴ 在4 5 x 区间内，函数值由负变正，存在一个解． 因此方程 2 3 5 0 x x − − = 的解的取值范围是2 1 x − − 或4 5 x ． 故选：D． 变式10-2 小刚在探索一元二次方程 2 12 15 0 x x + − = 的近似解时做了如下表的计算．观察表中对应的数据， 可知该方程的其中一个解的整数部分是______． x 0 0.5 1 1.5 2 2 12 15 x x + − 15 − 8.75 − 2 − 5.25 13 【答案】1 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，此类题要细心观察表格中的对应数据，即可找到x 的取值 范围． 通过观察表格中函数值的变化，确定根所在区间，进而得出整数部分． 【详解】解：当 1 x = 时， 2 12 15 2 x x + − = −； 当 1.5 x = 时， 2 12 15 5.25 x x + − = ； 由于函数值在 1 x = 和 1.5 x = 之间由负变正，根据零点存在定理，方程 2 12 15 0 x x + − = 在1 到1.5之间有一个 根，因此该根的整数部分是1， 故答案为：1． 变式10-3 探索一元二次方程 2 3 5 0 x x + − = 的一个正数解的过程如下表： x 1 − 0 1 2 3 4 2 3 5 0 x x + − = 7 − 5 − 1 − 5 13 23 从表中可以看出方程 2 3 5 0 x x + − = 的一个正数解在相邻整数a 和b 之间，则整数a，b 分别是____． 20 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【答案】1、2 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的估算，可求出当 1 x = 时， 2 3 5 0 x x − + ，当 2 x = 时， 2 3 5 0 x x − + ，据此可得答案． 【详解】解：∵当 1 x = 时， 2 2 3 5 1 3 1 5 1 0 x x − = + − = − + ，当 2 x = 时， 2 2 3 5 2 2 3 5 5 0 x x − = + − = + ， ∵方程 2 3 5 0 x x + − = 的一个正数解在相邻整数a 和b 之间， ∴ 1 2 a b = = ， ， 故答案为：1、2． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．下列方程是一元二次方程的是（ ） A． 2 0 ax bx c + + = B．( ) ( ) 2 2 3 9 1 1 x x − − + = C． 2 1 x x = D． 1 1 x x + = − 【答案】B 【分析】先明确一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数最高次数为2 的整式方程是一元二次方 程，根据定义逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、 2 0 ax bx c + + = 中未说明 0 a ，当 0 a = 时方程不是一元二次方程，故该选项不符合题意； B、由( ) ( ) 2 2 3 9 1 1 x x − − + = 整理得( ) ( ) 2 2 3 18 81 2 1 1 x x x x − + − + + = ，即 2 2 56 241 0 x x − + = ，该方程满足一元 二次方程的全部条件，故该选项符合题意； C、原方程分母含有未知数，是分式方程，不是整式方程，故该选项不符合题意； D、原方程根号内含有未知数，不是整式方程，不符合一元二次方程定义，故该选项不符合题意． 2．若方程( ) 1 3 3 3 0 m m x x − − + −= 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为（ ） A．3 − B．1 − C．1 D．3 【答案】B 【详解】解：∵方程( ) 1 3 3 3 0 m m x x − − + −= 是关于x 的一元二次方程， 21 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ 1 2 m − = ，且 3 0 m− ，即 3 m ， ∴ 1 2 m−= 或 1 2 m−= −， 解得 1 m = −或 3 m = （不符题意，舍去）， ∴ 1 m = −． 3．若关于x 的一元二次方程( ) 2 2 2 3 4 0 k x x k + + + − = 的一个根为0 ，则k 的值为（ ）． A．2 − B．2 C．2 或2 − D．1 −或2 【答案】B 【分析】将已知根代入原方程，得到关于k 的方程，解方程即可，并根据已知方程是一元二次方程排除 2 k − = ， 即可得到答案． 【详解】解：将 0 x = 代入方程( ) 2 2 2 3 4 0 k x x k + + + − = ， 得 2 4 0 k − = ，解得 2 k = ， ∵已知方程是一元二次方程， ∴ 2 0 k + ，即 2 k −， ∴ 2 k = ． 4．已知实数p ，q 满足 2 3 2 0 p p + − = ， 2 2 3 1 0 q q − −= （ 1 pq ），则 2 1 pq p q + + 的值是（ ） A．1 − B．4 − C．5 − D．7 − 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的解． 设 2 t q = ，则 1 2 q t = ，进而得到( ) ( ) 2 3 2 0 t t − + − − = ，即t −是方程 2 3 2 0 x x + − = 的根，进而得到2q − 是方程 2 3 2 0 x x + − = 的根，由 2 2 3 1 0 q q − −= 得到 2 1 1 3 2 0 q q + − = ，根据 1 pq 可知p ，1 q 是方程 2 3 2 0 x x + − = 的 两个根，则1 2q q = − 或 2 p q = − ，排除1 2q q = − ，进而根据 2 p q = − 计算即可． 【详解】解：设 2 t q = ，则 1 2 q t = ， ∵ 2 2 3 1 0 q q − −= ∴ 2 1 1 2 3 1 0 2 2 t t − −= 22 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ 2 3 2 0 t t − − = ， ∴( ) ( ) 2 3 2 0 t t − + − − = ∴t −是方程 2 3 2 0 x x + − = 的根， ∵ 2 t q = ， ∴2q − 是方程 2 3 2 0 x x + − = 的根， ∵ 2 2 3 1 0 q q − −= ， ∴两边同时除以 2 q − 得 2 3 1 2 0 q q −+ + = ， 即 2 1 1 3 2 0 q q + − = ， ∵ 1 pq ， ∴ 1 p q ∵ 2 3 2 0 p p + − = ∴p ，1 q 是方程 2 3 2 0 x x + − = 的两个根， ∵2q − 是方程 2 3 2 0 x x + − = 的根， ∴1 2q q = − 或 2 p q = − ， 当1 2q q = − 时， 2 1 2 q = − ，不成立； 当 2 p q = − 时， 2 1 pq p q + + 2 2 4 1 q q q − − + = 2 2 4 1 q q q + − = − 2 2 3 3 4 1 q q q q q − + + − = − 2 2 3 1 7 q q q q − −+ = − 0 7q q + = − 7q q = − 23 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 7 = −． 故选：D． 5．如表是某同学求代数式 2 ax bx + （a，b 为常数）的值的情况．根据表格中数据，可知关于x 的方程 2 2 ax bx + = 的实数根是（ ） x … 2 − 1 − 0 1 2 … 2 ax bx + … 6 2 0 0 2 … A． 1 1 x = −， 2 2 x = B． 1 2 x = ， 2 3 x = − C． 1 0 x = ， 2 1 x = D． 1 2 x = −， 2 3 x = 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与代数式值的关系，熟练掌握“方程的根是使方程左右两边相等 的未知数的值”是解题的关键． 根据方程 2 2 ax bx + = 的含义，直接从表格中找出使代数式 2 ax bx + 的值为2 对应的x 值，即为方程的实数根． 【详解】∵当 1 x = −时， 2 2 ax bx + = ； 当 2 x = 时， 2 2 ax bx + = ， ∴方程 2 2 ax bx + = 的实数根为 1 1 x = −， 2 2 x = , 故选： A． 6．已知m 是一元二次方程 2 2 2 0 x x + − = 的一个根，则代数式 2 2 4 m m + 的值是______． 【答案】 4 【分析】根据根的定义得到m 满足的关系式，对所求代数式变形后整体代入即可求解． 【详解】解： m 是一元二次方程 2 2 2 0 x x + − = 的一个根， 2 2 2 0 m m + − = ，整理得 2 2 2 m m + = ， ( ) 2 2 2 4 2 2 2 2 4 m m m m + = + = = ． 7．已知a 是关于x 的一元二次方程 2 2012 1 0 x x − + = 的一个根，则 2 2 2012 2011 1 a a a − + + 的值为__________． 【答案】2011 【分析】根据一元二次方程根的定义得到 2 2012 1 0 a a − + = ，变形为 2 2011 1 a a a − = −， 2 1 2012 a a + = ， 24 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1 2012 a a + = ，代入式子求解即可． 【详解】解：∵a 是关于x 的一元二次方程 2 2012 1 0 x x − + = 的一个根， ∴ 2 2012 1 0 a a − + = ， 0 a ∴ 2 2011 1 a a a − = −， 2 1 2012 a a + = ， 1 2012 a a + = ， ∴ 2 2 2012 2012 1 2011 1 1 2012 1 2011 1 2012 a a a a a a a − + = −+ = + −= −= + ． 8．若实数x 满足 2 1 0 x x − −= ，则 3 2 2 2027 x x − + = ______． 【答案】2026 【分析】利用已知一元二次方程对所求多项式进行降次处理，将高次多项式转化为低次多项式后代入计算 即可得到结果． 【详解】 2 1 0 x x − −= 2 1 x x = + ， 2 1 x x − = ∴ 3 2 2 2 2 2027 ( 1) 2( 1) 2027 2 2027 2025 1 2025 2026 x x x x x x x x x − + = + − + + = −−+ = −+ = + = 9．设α 是方程 2 4 1 0 x x + −= 的一个根，则 4 3 2 8 14 8 15 + + − − 的值为__________． 【答案】16 − 【分析】本题考查一元二次方程的解、整式的化简求值，根据题意得， 2 4 1 0 + −= ，进行整体代入求值 即可． 【详解】解：∵α 是方程 2 4 1 0 x x + −= 的一个根， ∴ 2 4 1 0 + −= ， ∴ 4 3 2 8 14 8 15 + + − − ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 = 4 1 4 4 1 4 1 16 + − + + − − + − − 16 = − ， 故答案为：16 − ． 10．已知a 是方程 2 2021 1 0 x x − + = 的一个根，则 3 2 2 2021 2021 1 a a a − − = + ____． 【答案】2021 − 【分析】由方程根的定义可得 2 2021 1 0 a a − + = ，变形为 2 1 2021 a a + = ．再将 2 2021 1 0 a a − + = 等号两边同时 乘a 并变形得 3 2 2021 a a a − = −，代入 3 2 2 2021 2021 1 a a a − − + 逐步化简即可． 【详解】∵a 是方程 2 2021 1 0 x x − + = 的一个根． 25 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ 2 2021 1 0 a a − + = ，即 2 1 2021 a a + = ． 将 2 2021 1 0 a a − + = 等号两边同时乘a 得： 2 ( 2021 1) 0 a a a − + = ，即 3 2 2021 a a a − = −． ∴ 2 3 2 2 2021 2021 1 1 2021 2021 2021 1 2021 a a a a a a a a a a a + − − = −− = −− = − = − = − + ． 故答案为：-2021． 【点睛】本题考查一元二次方程解的定义以及代数式求值．熟练掌握整体代入的思想是解答本题的关键． 11．已知a 是方程 2 2026 1 0 x x − + = 的一个根，试求 2 2 1 2025 2026 a a a + − − 的值． 【答案】1 − 【详解】解：∵a 是方程 2 2026 1 0 x x − + = 的一个根， ∴ 2 2026 1 0 a a − + = ， ∴ 2 1 2026 a a + = ， 2 2025 1 a a a − = −， ∴ 2 2 1 2026 2025 1 1 1 2026 2026 a a a a a a a + − − = −− = −− = −． 12．已知a 是一元二次方程 2 1 0 x x− + = 的一个根： (1)求 2 2 2 a a + 的值 (2)求 3 2 2026 a a − + 的值． 【答案】(1)2 (2)2025 【分析】（1）根据a 是一元二次方程 2 1 0 x x− + = 的一个根，得到 2 1 a a + = ，整体代入法求值即可； （2）利用降幂和整体代入法进行计算即可. 【详解】（1）解：∵a 是一元二次方程 2 1 0 x x− + = 的一个根， ∴ 2 1 0 a a + −= ， ∴ 2 1 a a + = ， ∴ ( ) 2 2 2 2 2 2 a a a a + = + = ； （2）解：∵ 2 1 a a + = ， ∴ 2 1 a a = − ， ∴ 3 2 2 2026 ? 2 2026 a a a a a − + = − + ( ) ·1 2 2026 a a a = − − + 26 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 2 2 2026 a a a = − − + 2 2026 a a = − − + ( ) 2 2026 a a = − + + 1 2026 2025 = −+ = . 13．定义：方程 2 0 cx bx a + + = 是一元二次方程 2 0 ax bx c + + = 的倒方程，其中a，b，c 为常数（且a ， 0 c ）．根 据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程 2 4 3 1 0 x x − + + = 的“倒方程”是______； (2)若 1 x = −是一元二次方程 2 2 0 x x c − + = 的“倒方程”的解，求出c 的值； (3)若m 是一元二次方程 2 6 1 0 x x − + + = 的“倒方程”的一个实数根，则 3 2 6 2025 m m m + − + 的值为_____． 【答案】(1) 2 3 4 0 x x + − = (2) 3 c = − (3)2025 【分析】（1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程 2 2 0 x x c − + = 的倒方程为 2 2 1 0 cx x − + = ，把 1 x = −代入即可得到c 的值； （3）根据题意得到方程 2 6 1 0 x x − + + = 的倒方程为 2 6 0 x x− + = ，再结合方程根的定义得到 2 6 0 m m + − = ，得 到 3 2 6 0 m m m + − = ，然后整体代入求解即可． 【详解】（1）解：根据新定义，方程 2 4 3 1 0 x x − + + = 的倒方程是： 2 3 4 0 x x + − = ； （2）解：由题知，方程 2 2 0 x x c − + = 的倒方程为 2 2 1 0 cx x − + = ， 将 1 x = −代入此方程得， 2 1 0 c + + = ， 解得 3 c = −； （3）解：由题知，一元二次方程 2 6 1 0 x x − + + = 的倒方程是 2 6 0 x x− + = ， ∵m 是此方程的一个实数根， ∴ 2 6 0 m m + − = ， ∴ 3 2 6 0 m m m + − = ， ∴ 3 2 6 2025 0 2025 2025 m m m + − + = + = ． 14．关于x 的一元二次方程 2 0 x bx c + + = 经过适当变形，可以写成( )( ) ( ) x m x n p m n − − = 的形式．现列表 探究 2 6 7 0 x x − − = 的变形： 变形 m n p 27 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ( )( ) 1 7 0 x x + − = 1 − 7 0 ( ) 6 7 x x − = 0 6 7 ( )( ) 1 12 x x t − − = 1 t 12 ( ) 2 3 16 x − = 3 3 16 回答下列问题： (1)表格中t 的值为______； (2)观察上述探究过程，表格中m 与n 满足的等量关系为______； (3)记 2 0 x bx c + + = 的两个变形为( )( ) 1 1 2 x m x n − − = 和( )( ) 2 2 3 x m x n − − = ，求( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 2 2 m n m n + − + 的值． 【答案】(1)5 (2) 6 m n ＋＝ (3) 2 【分析】本题考查了解一元二次方程，理解题意，得出为一次项系数的相反数是解此题的关键． （1）将( )( ) 1 12 x x t − − = 展开后合并同类项即可得解； （2）将( )( ) ( ) x m x n p m n － － ＝ 展开后合并同类项即可得解； （3）将( )( ) 1 1 2 x m x n − − = 展开后合并同类项可求得 1 1 m n b + = −， 1 1 2 m n c = + ， 然后利用完全平方公式( ) 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 m n m m n n + = + + 建立方程，可解得 2 2 1 1 m n + 的值，同理可得， 2 2 2 2 m n + 的值， 最后代入求解即可． 【详解】（1）解： ( )( ) 1 12 x x t − − = ， 2 12 0 x tx x t − − + − = ， 2 ( 1) 12 0 x t x t − + + − = ， ( )( ) 1 12 x x t − − = 是由 2 6 7 0 x x − − = 变形得到的， 1 6 12 7 t t + = − = − ， 5 t = ， 28 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 故t 的值为5； （2）解： 1 7 6 −+ = ，0 6 6 + = ，1 5 6 + = ，3 3 6 + = ， 猜想 6 m n + = ，证明如下： ( )( ) ( ) x m x n p m n − − = ， 2x nx mx mn p − − + = ， 2 ( ) 0 x m n x mn p − + + − = ， ( )( ) ( ) x m x n p m n − − = 是由 2 6 7 0 x x − − = 变形得到的， 6 m n + = ， 故m 与n 满足的等量关系为 6 m n + = ； （3）解： ( )( ) 1 1 2 x m x n − − = ， 2 1 1 1 1 2 x m x n x m n − − + = ， 2 1 1 1 1 ( ) 2 0 x m n x m n − + + − = ， ( )( ) 1 1 2 x m x n − − = 是由 2 0 x bx c + + = 变形得到的， 1 1 m n b + = −， 1 1 2 m n c − = ， 1 1 2 m n c = + ， ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 ( 2) 2 4 m n m n m n b c b c + = + − = − − + = − − ， 同理可得， 2 2 m n b + = −， 2 2 3 m n c −= ， 2 2 3 m n c = + ， ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 3) 2 6 m n m n m n b c b c + = + − = − − + = − − ， ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 4 2 6 2 4 2 6 2 m n m n b c b c b c b c + − + = − − − − − = − −− + + = ． 故( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 2 2 m n m n + − + 的值为2 ． 15．定义：如果关于x 的一元二次方程 ( ) 2 0 0 ax bx c a + + = 满足 0 a b c −+ = ，那么我们称这个方程为“黄金 方程”． (1)下列方程中：① 2 1 x = ；②( )( ) 1 2 0 x x − + = ；③ 2 2 3 0 x x − − = ，是黄金方程的为 （填序号）． 29 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (2)已知关于x 的一元二次方程 2 2 0( 0 x bx c c + + = ）是“黄金方程”，求代数式 2 2 1 b c − + 的最小值． 【答案】(1)①③ (2)4 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，由一元二次方程的解求参数， ² y ax bx c = + + 的最值，解题关键 是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）根据黄金方程的意义，对3 个方程逐一验证即可； （2）先根据黄金方程的意义，得出 2 c b = −，代入 2 2 1 b c − + 后，配方求出最小值． 【详解】（1）解： 2 1 x = ， 移项，得 2 1 0 x −= ， 1 a = ， 0 b = ， 1 c − = ， 所以 ( ) 1 0 1 0 a b c − + = − + − = ， 所以 2 1 x = 是黄金方程； ( )( ) 1 2 0 x x − + = ，可化为 2 2 0 x x + − = ， 1 a = ， 1 b = ， 2 c − = ， 所以 ( ) 1 1 2 2 0 a b c − + = −+ − = − ， 所以( )( ) 1 2 0 x x − + = 不是黄金方程； 2 2 3 0 x x − − = ， 1 a = ， 2 b = −， 3 c = −， 所以 ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 0 a b c − + = −− + − = + − = ， 所以 2 2 3 0 x x − − = 是黄金方程， 综上所述，①③是黄金方程， 故答案为：①③； （2）解：∵关于x的一元二次方程 ( ) 2 0 0 ax bx c a + + = 满足 0 a b c −+ = ，那么我们称这个方程为“黄金方程”， ∴由黄金方程的定义 0 a b c −+ = ， 可知， x = − 1 是黄金方程的一个根， ∵关于x 的一元二次方程 ( ) 2 2 0 0 x bx c c + + = 是“黄金方程”， ∴ 1 x = −是方程 ( ) 2 2 0 0 x bx c c + + = 的根， 30 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ( ) 2 2 1 0 b c − −+ = ， ∴ 2 c b = −， ∴ 2 2 1 b c − + ( ) 2 2 2 1 b b = − − + 2 2 5 b b = − + ( ) 2 1 4 b = − + 当 1 b = 时， 2 2 1 b c − + 有最小值4． 此时 2 1 2 1 0 c b = − = − = − ，符合题意．
