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专题08 一元二次方程的解法—直接开方法、配方法的十三类
综合题型
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、直接开方法中的程序问题
题型二、直接开方法中的参数取值范围问题
题型三、直接开方法中的等腰三角形
题型四、直接开方法中的新定义运算
题型五、配方变形
题型六、配方法比较大小
题型七、完全平方式
题型八、配方法中的阴影部分
题型九、换元法的应用
题型十、与反比例函数的结合应用
题型十一、解一元二次方程—直接开方法
题型十二、解一元二次方程—配方法
题型十三、配方法的应用
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移
类
别
具体内
容
知识点概括
易错点提示
直
接
开
方
法
适用形
式
形如x²=p（p≥0）或(x+n)²=p（p≥0）的一元二次方程
忽略p<0 的情况，直接
开平方导致出现无实根
的错误结论
理论依
据
平方根的定义：若x²=a，则x 是a 的平方根，即x=±√a
（a≥0）
漏写负根，只保留正根
导致方程解不完整
解题步
1. 将方程整理为左边是完全平方式、右边是非负常
整理方程时符号错误，
目 录
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骤
数的形式；2. 两边直接开平方得到两个一元一次方
程；3. 解一元一次方程得到原方程的根
开平方后漏写正负号
特殊情
况结论
当p=0 时，方程有两个相等的实数根x₁=x₂=0；当p<0
时，方程无实数根
误将p<0 时的情况判定
为“方程无解”，未明确是
“无实数根”，概念混淆
配
方
法
核心原
理
通过配方将一元二次方程转化为(x+n)²=p 的形式，再
用直接开方法求解，本质是降次
不理解配方的本质，盲
目配方导致步骤错误
一般解
题步骤
1. 化二次项系数为1：方程两边同时除以二次项系
数；2. 移项：把常数项移到方程右边；3. 配方：方
程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成
完全平方式；4. 开方求解
第一步忘记将二次项系
数化为1，直接加一次项
系数一半的平方，导致
配方错误
配方公
式
𝑥² + 𝑏𝑥= (𝑥+
𝑏
2)² −(
𝑏
2)²，配方时需要加上(
𝑏
2)²
配方时只在左边加一次
项系数一半的平方，右
边忘记加，破坏方程的
等价性
二次项
系数不
为1 的
处理
先提取二次项系数，将二次项和一次项放在括号内，
再对括号内配方
提取系数后，添加的常
数项忘记乘系数移到等
号右侧，导致常数项计
算错误
配方法
的应用
证明代数式恒正/恒负；求代数式的最值；解决与完
全平方式相关的参数问题
求最值时混淆最大、最
小值，配方后判断符号
错误
共
通
易
错
点
符号运
算
开平方、移项、配方过程中的符号处理
一次项系数为负数时，
计算一半的平方后符号
出错，配方结果错误
根的完
整性
一元二次方程在有实根的情况下必有两个根（相等
或不等）
得到两个相同根时只写
一个，丢失重根，不符
合一元二次方程根的要
求
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题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、直接开方法中的程序问题
典例1 如图是一个简单的数值运算程序，则输入的x 的值为（ ）
A．2 或−2
B．3 或−3
C．3 或−1
D．−3 或1
【答案】C
【分析】本题考查了解一元二次方程．解题的关键在于列出一元二次方程．
根据运算程序可知(
)
2
1
2
8
x −
=
，计算求解即可．
【详解】解：由题意可知(
)
2
1
2
8
x −
=
∴
1
2
x−=
解得
1
3
x = ，
2
1
x = −．
故选C．
变式1-1 某数值转换器的程序如图所示，当输出的值为4 时，则输入的x 值是（ ）
A．
2
B．2 或
2
−
C．2 或
2
D．2
【答案】A
【分析】本题考查了程序设计，解一元二次方程，根据题意分两种情况，当2
4
x =
时，当
2
2
4
x +
=
时，然
后分别求解判断即可．
【详解】解：∵当输出的值为4 时，
∴当2
4
x =
时，
2
x =
，不符合题意；
当
2
2
4
x +
=
时，解得
2
2
x =
．
∴当输出的值为4 时，则输入的x 值是
2
．
故选：A．
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变式1-2 如图是一个简单的数值运算程序，若输出的值为27
−
，则输入的x 的值为________．
【答案】4 或2
−
【分析】根据运算程序可得
2
(
1)
( 3)
27
x −
−
= −
，然后利用直接开平方法解方程即可．
本题主要考查了利用直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法解方程的步骤是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得
2
(
1)
( 3)
27
x −
−
= −
，
两边都除以3
−，得
2
(
1)
9
x −
=
，
所以
1
3
x−= ，
解得
1
4
x =
，
2
2
x = −．
故答案为：4 或2
−．
变式1-3 小瑞同学设计了一种运算程序：输入正整数m ，则输出另一个正整数n ．具体程序如下：①若m 为
偶数，则输出
2
m
n =
；②若m 为奇数，则输出
1
n
m
=
+ ．对正整数m 进行一次输入和输出称为对m 的一次变
换，对第一次输出的n 再次输入和输出则称为对m 的二次变换，依此类推．例如，输入正整数
6
m =
，根据
6 是偶数，对6 进行一次变换输出的数为6
3
2 =
；将3 再次输入，根据3 是奇数，对6 进行二次变换后输出
的数为3 1
4
+ =
．
（1）若输入正奇数m 进行二次变换后输出的数为15，则满足条件的m 的值为______，
（2）已知输入正整数k ，若对k 进行两次变换，这两次变换分别输出的两个数之积为18，则正整数k 的值
为______．
【答案】 29 5 或12
【分析】本题考查了解一元二次方程等知识，注意：两个奇数之和为偶数，奇数和偶数之和为奇数．
（1）依据题干计算方法计算即可；
（2）分正整数k 为奇数或者偶数来讨论，第一次变换的结果再分奇数或者偶数两种情况讨论，计算即可作
答．
【详解】解：（1）正奇数m 进行第一次变换为：
1
m+ ，
1
m+
是偶数，
第二次变换为：
1
2
+
m
，
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1
15
2
m
，即
29
m =
；
（2）当正整数k 为奇数时，
则第一次变换为：
1
k + ，
1
k
是偶数，
第二次变换为：
1
2
k + ，
两次变换分别输出的两个数之积为18，
(
)
1
1
18
2
k
k
+
+
=
，即
5
k =
（负数舍去）；
当正整数k 为偶数时，则第一次变换为：2
k ，
若：2
k 为偶数，则第二次变换为：
1
2
2
4
k
k
，
两次变换分别输出的两个数之积为18，
18
2
4
k
k
，即
12
k =
（负数舍去）；
若：2
k 为奇数，则第二次变换为：
1
2
+
k，
两次变换分别输出的两个数之积为18，
1
18
2
2
k
k
+
=
，
变形得：
2
2
1
73
k
k
，
解得：
1
73
k
，
即不存在正整数k ，舍去；
综上：k 为5 或12．
类型二、直接开方法中的参数取值范围问题
典例2 如果关于x 的方程(
)
2
9
3
x
m
−
=
+ 可以用直接开平方法求解，那么m 的取值范围是（ ）
A．
0
m
B．
0
m
C．
3
m
−
D．
3
m −
【答案】D
【分析】根据直接开平方法解一元二次方程的要求，等式右边必须为非负数，据此列不等式求解即可得到m
的取值范围．
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【详解】解：∵任意实数的平方为非负数
∴(
)
2
9
0
x −
∵方程(
)
2
9
3
x
m
−
=
+ 可以用直接开平方法求解
∴等式右边需满足非负，即
3
0
m+
解得
3
m −．
变式2-1 若关于x 的方程(
)
2
4
3
x
m
−
=
+ 有实数根，则m 的取值范围是（ ）
A．
0
m
B．
3
m
−
C．
3
m
D．
3
m −
【答案】D
【分析】本题考查的是一元二次方程的解法——直接开平方法，熟记偶次方的非负性是解题的关键．
方程左边为平方项，始终非负，因此右边也必须非负，方程才有实数根．
【详解】解：∵ (
)
2
4
0
x −
，
∴
3
0
m+
，
解得
3
m −．
故选：D．
变式2-2 若关于x 的一元二次方程(
)
2
5
2
x
m
+
=
−
有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是______．
【答案】
2
m
【分析】该题考查了解一元二次方程，根据方程有两个不相等的实数根，得
2
0
m−
，解答即可．
【详解】解：∵关于x 的一元二次方程(
)
2
5
2
x
m
+
=
−
有两个不相等的实数根，
∴
2
0
m−
，
∴
2
m
．
故答案为：
2
m
．
变式2-3 若方程(
)
2
2
1
x
m
+
=
−有解，则m 的取值范围是_______．
【答案】
1
m
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【分析】本题考查了解一元二次方程，根据完全平方数是非负数得到关于m 的不等式，解不等式即可求解，
掌握完全平方数是非负数是解题的关键．
【详解】解：∵方程(
)
2
2
1
x
m
+
=
−有解，
∴
1
0
m−
，
∴
1
m ，
故答案为：
1
m ．
题型三、直接开方法中的等腰三角形
典例3 已知一元二次方程
2
(
3)
1
x −
= 的两个解恰好分别是等腰三角形ABC 的底边长和腰长，则ABC
的周
长为（ ）
A．10
B．10 或8
C．9
D．8
【答案】A
【分析】先利用直接开平方法求解方程，再分两种情况解答即可．
【详解】解：解方程
2
(
3)
1
x −
= ，得
1
2
4,
2
x
x
=
=
．
当腰长为4，底边长为2 时，其周长为4
4
2
10
+ +
=
；
当腰长为2，底边长为4 时，因为2
2
4
+
=
，所以此时不能构成三角形．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法、等腰三角形的定义和三角形的三边关系等知识，正确理解题意、
熟练掌握上述知识是解题的关键．
变式3-1 已知等腰三角形ABC 的底边长为4，腰长恰好是关于x 的一元二次方程(
)
2
2
6
16
x −
=
的一个根，则
ABC
的周长为（ ）
A．6
B．10
C．14
D．6 或14
【答案】C
【分析】通过解一元二次方程(
)
2
2
6
16
x −
=
求得等腰三角形的两个腰长，然后求该等腰三角形的周长．
本题综合考查了一元二次方程-开平方法、三角形的三边关系、等腰三角形的性质．解答该题时，采用了“分
类讨论”的数学思想．
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【详解】解：由一元二次方程(
)
2
2
6
16
x −
=
，得2
6
4
x −
= ，
解得
5
x = ，或
1
x = ；
∴等腰三角形的两腰长是5 或1；
①当等腰三角形的腰长是1 时，1 1
2
4
+ =
，构不成三角形，所以不合题意，舍去；
②当等腰三角形的腰长是5 时，5
5
4
+
，5
4
5
+
，所以能构成三角形，
所以该等腰三角形的周长5 5
4
14
+ +
=
；
故选：C．
变式3-2 已知一元二次方程(
)
2
3
1
x −
= ．
（1）若方程的两个根恰好是等腰三角形ABC 的底边长和腰长，则ABC
的周长为_________．
（2）若方程的两个根恰好是Rt DEF
的两边长，则Rt DEF
的面积为_________．
【答案】 10 4 或2 3
【分析】（1）先利用直接开平方法求解方程求出
1
2
4
2
x
x
=
=
，
，再分两种情况讨论是否构成等腰三角形,然
后求出周长即可．
（2）分两种情况并结合勾股定理计算解答即可.
【详解】（1）解：
(
)
2
3
1
x −
=
，
3
1
x
−= ．
解得
1
2
4
2
x
x
=
=
，
．
①当底边长和腰长分别为4 和2 时，因2 2
4
+
=
，不满足两边之和大于第三边,此时不能构成三角形；
②当底边长和腰长分别是2 和4 时，符合题意，
ABC
的周长为2
4
4
10
+ +
=
．
（2）解：由（1）知，方程的两个根为
1
2
4
2
x
x
=
=
，
．
①若2，4 是Rt
DEF
△
的两条直角边的长，则
1
2 4
4
2
Rt DEF
S
=
=
，
②若2，4 分别是Rt
DEF
△
的一条直角边长和斜边长，
则另一条直角边长为
2
2
4
2
2 3
−
=
，
1
2 2 3
2 3
2
Rt DEF
S
=
=
．
综上，Rt
DEF
△
的面积为4 或2 3 ．
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变式3-3 如图，在矩形ABCD中，
10cm
AB =
，
4cm
BC =
，M，N 两点分别从A，B 两点以2cm/s和1cm/s 的
速度在矩形ABCD边上沿逆时针方向运动，其中有一点运动到点D 停止，当运动时间为________秒时，
MBN
△
为等腰三角形．
【答案】10
3 或(
)
12
4 2
−
或9
2
【分析】根据等腰三角形的定义，分四种情况：①当点M 在AB 上，点N 在BC 上时；②点M 在BC 上，
点N 在CD上时；③点M、N 都在C、D 上时；④当点M 在AB 上，N 在CD上时，分别画出图形，利用勾
股定理和等腰三角形的性质、结合矩形的性质和解方程求解即可．
【详解】解：根据
MBN
△
为等腰三角形，分以下四种情况：
①如图1，当点M 在AB 上，点N 在BC 上时，0
4
t
，
10
2
BM
t
=
−
，BN
t
= ，
由BM
BN
=
得10
2t
t
−
= ，解得
10
3
t =
；
②如图2，点M 在BC 上，点N 在CD上时，5
7
t
，
2
10
BM
t
=
−
，
(
)
4
2
10
14
2
CM
t
t
=
−
−
=
−
，
4
CN
t
= −
，
在Rt
MCN
△
中，
(
)
(
)
2
2
2
14
2
4
MN
t
t
=
−
+
−
由BM
MN
=
得(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
10
14
2
4
t
t
t
−
=
−
+
−
，整理得：
2
24
112
0
t
t
−
+
=
，
解得1
12
4 2
t =
−
，2
12
4 2
t =
+
(舍去)；
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③如图③，点M、N 都在C、D 上时，
若点M 在点N 的右边时，则7
14
t
，
2
14
CM
t
=
−
，
4
CN
t
= −
，
∴
(
)
(
)
4
2
14
10
MN
t
t
t
=
−
−
−
=
−，此时
(
)
2
2
2
2
2
4
2
14
BM
BC
CM
t
=
+
=
+
−
，
由MN
BM
=
得(
)
(
)
2
2
2
10
4
2
14
t
t
−
=
+
−
，整理得
2
3
36
112
0
t
t
−
+
=
，
∵
(
)
2
36
4
3 112
48
0
= −
−
= −
，∴该方程无解；
若点M 在点N 的左边时，则7
12
t
，
2
14
CM
t
=
−
，
4
CN
t
= −
，
∴
(
)
(
)
2
14
4
10
MN
t
t
t
=
−
−
−
= −
，此时
(
)
2
2
2
2
2
4
4
BN
BC
CN
t
=
+
=
+
−
，
由MN
BM
=
得(
)
(
)
2
2
2
10
4
4
t
t
−
=
+
−
，
解得
17
3
t =
，不符合题意，舍去；
④如图④，当点M 在AB 上，N 在CD上时，4
5
t
，
10
2
BM
t
=
−
，
4
CN
t
= −
，
过N 作NT
BM
⊥
于T，则四边形BCNT 是矩形，
由MN
BN
=
得
1
2
CN
BT
BM
=
=
，则
(
)
1
4
10
2
2
t
t
−
=
−
，
解得
9
2
t =
，
综上，满足条件的t 值为10
3 或(
)
12
4 2
−
或9
2 ．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理、解一元一次方程和解一元二次方
程等知识，理解等腰三角形的性质，利用数形结合思想和分类讨论思想求解是解答的关键．
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题型四、直接开方法中的新定义运算
典例4 对于实数,a b ，定义运算“※”如下：
2
a
b
a
ab
=
−
※
，例如，5※
2
3
5
5 3
10
=
−=
．若(
)1
2
6
x
x
+
= −
※
，
则x 的值为（ ）
A．7
B．7
−
C．
5
D．
7
【答案】D
【分析】此题主要考查了新定义，一元二次方程的解法，正确应用新定义是解题关键．
直接利用新定义，列出方程求解即可．
【详解】解：
(
1)
2
6
x
x
+
= −
※
，
2
(
1)
(
1) 2
6
x
x
x
+
−
+
= −，
∴
2
2
2
1 (2
2 )
6
x
x
x
x
+
+ −
+
= −，
∴
2
2
2
1 2
2
6
x
x
x
x
+
+ −
−
= −
整理得
2
7
x =
，
解得
7
x =
．
故选：D．
变式4-1 定义新运算：
(
)
(
)
2
0
0
a
b a
a
b
a
b a
−
= −+
，例如：
2
2
4
( 2)
4
0
−
= −
−
=
，2
3
2
3
1
= −+ = ．若
3
1
4
x= −
，
则x 的值为（ ）
A．
1
2
B．1
2 或7
4
C．
1
2
−
D．
1
2
−
或7
4
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是明确新运算的定义．
根据新定义运算法则列出方程求解即可．
【详解】解：∵
(
)
(
)
2
,
0
,
0
a
b a
a
b
a
b a
−
= −+
而
3
1
4
x= −
，
∴①当
0
x
时，则有
2
3
1
4
x −= −
，
解得，
1
2
x = −
；
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②当
0
x
时，
3
1
4
x
−+ = −
，
解得，
7
4
x =
，
综上所述，x 的值是
1
2
−
或7
4 ．
故选：D．
变式4-2 在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为
2
2
*
=
−
a b
a
b ，根据这个规则，方程(
)
1 *5
0
x +
=
的解为
____________．
【答案】
1
2
4,
6
x
x
=
= −
【分析】根据新定义的运算规则，将原方程转化为一元二次方程，再利用直接开平方法求解即可．
【详解】解：∵
2
2
*
=
−
a b
a
b ，(
)
1 *5
0
x +
=
，
∴(
)
2
2
1
0
5
x
−
+
=
，
∴(
)
2
1
25
x +
=
，
∴
1
5
x+ = ，
解得
1
2
4,
6
x
x
=
= −．
变式4-3 定义一种新运算，规定：
2
2
a
b
a
a
b
=
−
+
，例如
2
2
3
2
2 2
3
3
=
−+
=
，若
1
9
x =
，则x 的值
是_______．
【答案】4 或2
−
【分析】理解新运算规则，根据规则列出关于x 的一元二次方程，再解方程即可得到结果．
【详解】解：∵
2
2
a
b
a
a
b
=
−
+
，
∴
2
1
2
1
x
x
x
=
−
+
又
1
9
x =
，
∴
2
2
1
9
x
x
−
+ =
，
∴
2
(
1)
9
x −
=
开平方得
1
3
x−= ，
解得
4
x = 或
2
x = −。
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所以，x 的值是4 或2
−．
题型五、配方变形
典例5 方程
2
6
7
0
x
x
+
−
=
经过配方可变形为（ ）
A．
2
(
3)
16
x +
=
B．
2
(
3)
16
x −
=
C．
2
(
6)
16
x +
=
D．
2
(
6)
16
x −
=
【答案】A
【分析】先将常数项移到方程右侧，再在方程两边加上一次项系数一半的平方，即可完成配方．
【详解】解：∵
2
6
7
0
x
x
+
−
=
，
移项得
2
6
7
x
x
+
=
，
方程两边同时加9，得
2
6
9
7
9
x
x
+
+
=
+
，
整理得
2
(
3)
16
x +
=
．
变式5-1 若一元二次方程
2
6
0
x
x
n
−
+
=
配方得到
2
(
)
2
x
m
−
=
，则m ，n 的值分别为（ ）
A．
3
m =
，
7
n =
B．
3
m =
，
11
n =
C．
3
m
−
=
，
10
n =
D．
2
m =
，
11
n =
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程的配方法，将原方程配方后，与已知配方结果对比系数即可得到m 和n 的值．
【详解】对原方程
2
6
0
x
x
n
−
+
=
移项得：
2
6
x
x
n
−
= −，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方
2
3
9
=
得：
2
6
9
9
x
x
n
−
+
=
−
，
整理得：
2
(
3)
9
x
n
−
=
−，
∵配方得到
2
(
)
2
x
m
−
=
，
∴对比等式两边可得
3
m =
，9
2
n
−
=
，
解得
7
n =
，
即
3
m =
，
7
n =
．
变式5-2 用配方法解方程
2
4
3
0
x
x
−
−
=
时，若将方程变形为(
)
2
2
x
m
−
=
，则m = _____ ．
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【答案】7
【分析】利用完全平方公式配方即可求解．
【详解】解：
2
4
3
0
x
x
−
−
=
，
2
4
4
3
4
x
x
−
+
=
+
，
(
)
2
2
7
x −
=
，
∴
7
m =
．
变式5-3 把方程
2
4
1
0
x
x
−
+ = 化成(
)
2
2
x
m
−
=
的形式，则m 的值是________．
【答案】3
【详解】解：
2
4
1
0
x
x
−
+ =
2
4
1
x
x
−
= −，
2
2
2
4
4
4
1
2
2
x
x
−
−
−
+
= −+
，
2
4
4
1
4
x
x
−
+
= −+ ，
(
)
2
2
3
x −
=
，
∴
3
m =
．
题型六、配方法比较大小
典例6 已知
2
2
2
4
P
x
x
Q
x
=
−
=
−
，
，则比较P，Q 的大小关系为（ ）
A．P
Q
＜
B．P
Q
＞
C．P
Q
D．P
Q
【答案】C
【分析】根据配方法的即可求出答案．
【详解】
解：
(
)
(
)
2
2
2
4
P
Q
x
x
x
−
=
−
−
−
2
4
4
x
x
=
−
+
(
)
2
2
0
x
=
−
P
Q
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故选：C．
【点睛】本题考查配方法的应用，解题的关键是熟练运用配方法，本题属于基础题型．
变式6-1 已知
2
2
P
x
x
=
−
，
2
5
Q
x
=
−
（x 为任意实数），则关于P，Q 的大小关系判断正确的是（ ）
A．P
Q
B．P
Q
=
C．P
Q
D．无法确定
【答案】A
【分析】本题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键．将P
Q
−
变形为(
)
2
2
1
x −
+ ，再结
合非负性判断即可．
【详解】解：
(
)
(
)
2
2
2
2
2
5
4
5
2
1
0
P
Q
x
x
x
x
x
x
−
=
−
−
−
=
−
+
=
−
+
，
P
Q
，
故选：A．
变式6-2 若m 为实数，
2
1
P
m
m
= −
−
+ ，
2
5
4
Q
m
m
=
−
+
，则比较P，Q 的大小可得：______．
【答案】P
Q
【分析】本题考查整式的加减、完全平方公式，利用作差法和配方法求解即可．
【详解】解：Q
P
−
(
) (
)
2
2
5
4
1
m
m
m
m
=
−
+
−−
−
+
2
2
5
4
1
m
m
m
m
=
−
+
+
+
−
2
2
4
3
m
m
=
−
+
(
)
2
2
1
1
m
=
−
+ ，
∵(
)
2
1
0
m −
，
∴(
)
2
2
1
1
0
m−
+
，
∴
0
Q
P
−
，
∴P
Q
，
故答案为：P
Q
．
变式6-3 已知
2
A
x
m
=
+
，
2
4
B
x
m
=
+
+
，则比较代数式A 与B 的值：A________B．（请用“”、“”、“ = ”
表示）
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【答案】
【分析】利用作差法比较两个代数式的大小，对作差结果进行配方整理，根据完全平方的非负性判断差的
符号，即可得到A 与B 的大小关系．
【详解】解：B
A
−
2
4
2
x
m
x
m
=
+
+
−
−
2
2
4
x
x
=
−
+
(
)
2
1
3
x
=
−
+
(
)
2
1
0
x −
，
(
)
2
1
3
0
x
−
+
，即
0
B
A
−
，
A
B
．
题型七、完全平方式
典例7 用配方法解方程
2
6
1
x
x
+
= 时，要使等号左边变成一个完全平方式，等号两边应同时加上（ ）
A．12
B．9
C．6
D．3
【答案】B
【分析】本题考查配方法解一元二次方程的操作，解题关键是掌握配方法构造完全平方式的规则，当二次
项系数为1 时，方程两边需同时加上一次项系数一半的平方．
【详解】解：∵ 原方程为
2
6
1
x
x
+
= ，
∴ 根据配方法的规则，要使左边成为完全平方式，需在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，即
2
2
6
3
9
2
=
=
，
∴ 等号两边应同时加上9．
变式7-1 将一元二次方程
2
2 2
1
0
+
+ =
x
x
的左边配方成完全平方式之后，右边的常数应该是（ ）
A．2
B．1
C．2
D．3
【答案】B
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是关键；
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通过配方法将一元二次方程转化为完全平方形式，确定右边的常数．
【详解】解：原方程为
2
2 2
1
0
x
x
+
+ =
配方，得
2
2 2
2
1 2.
x
x
+
+
= −+
即(
)
2
2
1.
x +
=
∴右边的常数为1，
故选：B．
变式7-2 将
2
4
2
0
x
x
+
+
=
左边配成完全平方式后，得方程______.
【答案】(
)
2
2
2
x +
=
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程；首先移项变形成
2
4
2
x
x
+
= −的形式，然后方程两边同时加上
一次项系数的一半的平方即可变形成左边是完全平方式，右边是常数的形式．
【详解】解：∵
2
4
2
0
x
x
+
+
=
，
∴
2
4
2
x
x
+
= −，
∴
2
4
4
2
4
x
x
+
+
= −+
，
∴(
)
2
2
2
x +
=
．
故答案为：(
)
2
2
2
x +
=
．
变式7-3 已知关于x 的二次三项式
2
8
x
mx
m
+
+
+ 是一个完全平方式，则m = ________．
【答案】4
−或8
【分析】此题考查了完全平方式，解一元二次方程，熟练掌握完全平方公式的结构特点是解本题的关键．
利用完全平方公式的结构特征得到关于m 的一元二次方程，解方程即可得到结果．
【详解】解：∵关于x 的二次三项式
2
8
x
mx
m
+
+
+ 是一个完全平方式，
即
2
2
2
2
1
8
2
8
2
4
m
x
mx
m
x
xm
m
m
+
+
+
=
+
+
+
+ −
，
∴
2
1
8
4 m
m
=
+ ，
即
2
4
32
0
m
m
−
−
=
，
解得：
4
m = −或8．
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故答案为：4
−或8．
题型八、配方法中的阴影部分
典例8 《代数学》中记载，形如
2
10
39
x
x
+
=
的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为
2
x 的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为5
2 x 的矩形，得到大正方形的面积为39
25
64
+
=
，
则该方程的正数解为8 5
3
−= ．”小聪按此方法解关于x 的方程
2
6
0
x
x
m
+
+
=
时，构造出如图2 所示的图形，
已知阴影部分的面积为36，则该方程的正数解为（ ）
A．6
B．3 5
3
−
C．3 5
2
−
D．
3
3 5
2
−
【答案】B
【分析】根据已知的数学模型，同理可得空白小正方形的边长为3
2 ，先计算出大正方形的面积=阴影部分的
面积+4 个小正方形的面积，可得大正方形的边长，从而得结论．
【详解】x2+6x+m=0，
x2+6x=-m，
∵阴影部分的面积为36，
∴x2+6x=36，
4x=6，
x= 3
2 ，
同理：先构造一个面积为x2 的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为3
2 x 的矩形，得到大正
方形的面积为36+（3
2 ）2×4=36+9=45，则该方程的正数解为45
3
3 5
3
−=
−．
故选：B．
【点睛】此题考查了解一元二次方程的几何解法，用到的知识点是长方形、正方形的面积公式，解题关键
是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程．
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变式8-1《代数学》中记载，形如
2
8
33
x
x
+
=
的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积
为
2
x 的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为2x 的矩形，得到大正方形的面积为
33 16
49
+
=
，则该方程的正数解为7
4
3
−
= ．”小聪按此方法解关于x 的方程
2
10
0
x
x
m
+
+
=
时，构造出如图
2 所示的图形，已知阴影部分的面积为50，则该方程的正数解为（ ）．
A．6
B．
3
5 3
2
−
C．5 3
2
−
D．5 3
5
−
【答案】D
【分析】仿照题目中的做法可得空白部分小正方形的边长为5
2 ，先计算出大正方形的面积=阴影部分的面积
+4 个小正方形的面积，从而可得大正方形的边长，再用其减去两个空白正方形的边长即可．
【详解】解：如图2，先构造一个面积为
2
x 的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为5
2 x 的
矩形，得到大正方形的面积为
2
5
50
4
50
25
75
2
+
=
+
=
，
∴该方程的正数解为
5
75
2
5 3
5
2
−
=
−．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的几何解法，读懂题意并数形结合是解题的关键．
变式8-2 将4 张长为a，宽为b（a
b
）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为(
)
a
b
+
的正方形，图
中空白部分的面积为m，阴影部分的面积为n．若
3
m
n
=
，则a、b 满足关系式为__________．
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【答案】
5
a
b
=
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，完全平方公式和单项式与多项式乘法在几何图形中的应用，根
据题意用a、b 分别表示出m、n，再根据
3
m
n
=
建立关于a、b 的方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：由题意得，
(
)
(
)
2
1
1
2
2
2
2
m
b a
b
ab
a
b
=
+
+
+
−
2
2
2
2
ab
b
ab
a
ab
b
=
+
+
+
−
+
2
2
2
a
b
=
+
，
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
n
a
b
m
a
b
a
b
ab
b
=
+
−
=
+
−
+
=
−
，
∵
3
m
n
=
，
∴
(
)
2
2
2
2
3 2
a
b
ab
b
+
=
−
，
整理，得
2
2
6
5
0
ab
a
b
−
+
=
，
∴(
)(
)
5
0
a
b
a
b
−
−
=
，
∴a
b
=
或
5
a
b
=
，
∵a
b
，
∴
5
a
b
=
，
故答案为：
5
a
b
=
．
变式8-3 如图①所示是一个长为2m 、宽为2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按
图②的方式拼成一个正方形．
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（1）图②中的阴影部分的正方形的边长等于______．（用m 、n 表示）请用两种不同的方法表示图②中阴
影部分的面积．
方法①______；方法②______．
观察图②，请写出(
)
2
m
n
+
、(
)
2
m
n
−
、mn 这三个代数式之间的等量关系：______．
（2）若
6
a
b
+
=
，
5
ab = ，则求a
b
−
的值．
【类比探究】利用面积关系，研究方程
提出问题：怎样图解一元二次方程
2
2
35
0
x
x
+
−
=
（
0
x
）？
几何建模：
1．将原方程变形为：(
)
2
35
x x +
=
．
2．如图，画四个长为
2
x+
，宽为x 的长方形．
3．分析：图中的大正方形面积可以有两种不同的表达方式，(
)
2
2
x
x
+
+
或四个长
2
x+
，宽x 的长方形面积
之和，加上中间边长为2 的小正方形面积．
即(
)
(
)
2
2
2
4
2
2
x
x
x x
+
+
=
+
+
(
)
2
35
x x +
=
(
)
2
2
2
4 35
2
x
x
+
+
=
+
(
)
2
2
2
144
x
+
=
0
x
5
x
=
（3）求关于x 的一元一次方程(
)
x x
b
c
+
=
（
0
x
，
0
b
，
0
c
）的解．要求参照上述研究方法，画出示
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意图，并写出几何建模步骤．（用0.5mm 黑色签字笔画图，并注明相关线段的长）
【答案】（1）m
n
−
；方法①(
)
2
4
m
n
mn
+
−
；方法②(
)
2
m
n
−
；(
)
(
)
2
2
4
m
n
mn
m
n
+
−
=
−
；（2）4
；（3）
2
4
2
b
c
b
x
+
−
=
【分析】（1）根据图形即可求得阴影部分正方形的边长，方法①：根据大正方形减去4 个长方形的面积求
阴影部分面积，方法②：根据阴影部分的正方形的边长直接求面积，根据方法①和方法②中的面积相等
即可求得它们之间的关系；
（2）根据（1）的结论代入计算即可；
（3）要求参照探究的研究方法，画出示意图，并写出几何建模步骤．
【详解】（1）根据图形即可求得阴影部分正方形的边长为m
n
−
；
方法①，根据大正方形减去4 个长方形的面积求阴影部分面积为(
)
2
4
m
n
mn
+
−
，
方法②，根据阴影部分的正方形的边长直接求面积为(
)
2
m
n
−
根据方法①和方法②中的面积相等，则(
)
(
)
2
2
4
m
n
mn
m
n
+
−
=
−
（2）(
)
(
)
2
2
4
a
b
a
b
ab
−
=
+
−
，
6,
5
a
b
ab
+
=
=
(
)
2
36
20
16
a
b
−
=
−
=
4
a
b
−
=
（3）几何建模：①原方程为(
)
x x
b
c
+
=
，（
0
x
，
0
b
，
0
c
）
②如图，画四个长为x
b
+
，宽为x 的长方形，
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③分析：图中的大正方形面积可以有两种不同的表达方式，(
)
2
x
x
b
+
+
或四个长x
b
+
，宽x 的长方形面积
之和，加上中间边长为
2
b 的小正方形面积．
即(
)
(
)
2
2
4
x
x
b
x x
b
b
+
+
=
+
+
(
)
x x
b
c
+
=
(
)
2
2
4
x
x
b
c
b
+
+
= +
(
)
2
2
2
4
x
b
b
c
+
=
+
0
x
2
4
2
b
c
b
x
+
−
=
【点睛】本题考查了完全平方公式与图形面积问题，完全平方公式的变形，求一个数的算术平方根，理解
题意，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
题型九、换元法的应用
典例9 已知实数a，b 满足(
)(
)
2
2
2
2
2
2
3
10
a
b
a
b
+
+
−
=
，则
2
2
2
a
b
+
的值为（ ）
A．5 或2
−
B．5
−或2
C．5
D．2
【答案】C
【分析】采用换元法简化原方程，结合平方数的非负性舍去不符合题意的根即可得到结果．
【详解】解：设
2
2
2
0
x
a
b
=
+
，
原方程可化为(
)
3
10
x x −
=
，
整理得
2
3
10
0
x
x
−
−
=
，
因式分解得(
)(
)
5
2
0
x
x
−
+
=
，
解得
1
5
x = ，
2
2
x = −（舍去），
∴
5
x = ，
∴
2
2
2
5
a
b
+
=
．
变式9-1 若(
)(
)
1
1
4
0
a
b
a
b
+
−
+
+
−
=
，则a
b
+
的值为（ ）
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A．2
B．2
C．5
D．
5
【答案】D
【分析】将a
b
+
看作一个整体，设为x，利用平方差公式展开(
1)(
1)
x
x
−
+
得
2
1
x −，合并常数项整理得
2
5
x = ，
直接开平方求出即可．
【详解】解：设a
b
x
+
=
，
则原方程为(
)(
)
1
1
4
0
x
x
−
+
−
=
，
2
1 4
0
x −−
=
2
5
0
x −
=
2
5
x =
5
x =
．
变式9-2 若(
)(
)
2
2
2
2
2
15
a
b
a
b
+
+
+
=
，则
2
2
a
b
+
= _____．
【答案】3
【分析】本题考查了一元二次方程的求解，通过换元法，设
2
2
x
a
b
=
+
，将原方程转化为一元二次方程求解，
再根据非负性确定值．
【详解】解：设
2
2
x
a
b
=
+
，则原方程化为(
)
2
15
x x +
=
，即
2
2
15
0
x
x
+
−
=
，
因式分解得(
)(
)
5
3
0
x
x
+
-
=
，
解得：
5
x = −或
3
x = ．
由于
2
2
0
a
b
+
，
故
2
2
3
a
b
+
=
，
故答案为：3．
变式9-3 解方程(
)
(
)
2
1
5
1
4
0
x
x
−
−
−
+
=
时，我们可以将
1
x−看成一个整体，设
1
x
y
−=
，则原方程可化为
2
5
4
0
y
y
−
+
=
，解得
1
1
y = ，
2
4
y =
．当
1
y = ，即
1 1
x −= ，解得
2
x =
；当
4
y =
，即
1
4
x −=
，解得
5
x =
．所
以原方程的解
1
2
x =
，
2
5
x =
．
(1)请你利用这种方法解方程：(
)
(
)
2
2
1
4 2
1
3
0
x
x
−
−
−
+
=
；
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(2)已知ABC
三条边的长度分别为a ，b ，c ，若满足(
)
(
)
2
2
2
2
2
3
4
0
a
b
a
b
+
−
+
−
=
，且
2
c =
，请判断ABC
的形状，并说明理由．
【答案】(1)
1
1
x = ，
2
2
x =
(2) ABC
是直角三角形；理由如下：
a
b
c
、、是ABC
的三边，
2
2
0,
0
a
b
，
2
2
0
a
b
+
，
设
2
2
a
b
y
+
=
(
)
0
y
，
则原方程可化为
2
3
4
0
y
y
−
−
=
，
解得：
1
4
y =
，
2
1
y = −（舍去），
得
2
2
4
a
b
+
=
．
又
2
c =
，
2
4
c
=
．
2
2
2
a
b
c
+
=
．
ABC
是直角三角形．
【分析】（1）根据题中方法，设2
1
x
y
−=
，将原方程可化为
2
4
3
0
y
y
−
+
=
，解方程求出
1
1
y = ，
2
3
y = ；分
别代入求出x 的值即可；
（2）根据题中方法，设
2
2
a
b
y
+
=
，求出y ，结合
2
c =
，根据勾股定理的逆定理即可求解．
【详解】（1）解：设2
1
x
y
−=
，
则原方程可变为：
2
4
3
0
y
y
−
+
=
，
解得：
1
1
y = ，
2
3
y = ，
当
1
1
y = 即2
1 1
x −= 时，解得：
1
x = ；
当
2
3
y = 即2
1
3
x−=
时，解得：
2
x =
；
∴原方程的解为：
1
1
x = ，
2
2
x =
；
（2）略
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题型十、与反比例函数的结合应用
典例10 如图，在平面直角坐标系中，点A，B 在第一象限，点C 在x 轴正半轴上，且AC 与OB 互相垂直
平分，D为垂足，连接OA，AB ，BC ．反比例函数
(
)
0
k
y
x
x
=
的图象经过点D ，与OA相交于E ．若点B
的坐标为(
)
8,4 ，则点E 的坐标是( )
A．
4
2,
2
3
B．1
3
3,
3
4
4
C．1
3
5,
5
4
4
D．
4
6,
6
3
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，菱形的性质与判定，勾股定理，解一元二次方程；
根据题意得出四边形ABCO是菱形，求得
(
)
4,2
D
，则反比例函数
8
y
x
=
，进而根据菱形的性质得出
(
)
5,0
C
，
(
)
3 4
A
，，求得直线OA的解析式为
4
3
y
x
=
，联立反比例函数，即可求解．
【详解】解：∵AC 与OB 互相垂直平分
∴四边形ABCO是菱形，
∴OC
OB
=
，AB
OC
∥
∵点B 的坐标为(
)
8,4 ，
∴
(
)
4,2
D
∵反比例函数
(
)
0
k
y
x
x
=
的图象经过点D ，
∴
4 2
8
k = = ，则
8
y
x
=
设
(
)
,0
C c
，
∴
(
)
2
2
2
8
4
c
c
=
−
+
解得：
5
c =
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∴
(
)
5,0
C
，即
5
OC =
∴
5
AB
OC
=
= ，
∵点B 的坐标为(
)
8,4 ，AB
OC
∥
∴
(
)
3 4
A
，
设直线OA的解析式为
1
y
k x
=
，则
1
4
3k
=
解得：
1
4
3
k =
∴
4
3
y
x
=
联立
4
3
8
y
x
y
x
=
=
解得：
6
4 6
3
x
y
=
=
（负值舍去）
∴
4
6,
6
3
E
故选：D．
变式10-1 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，反比例函数
(
)
2
0
y
x
x
=
与正比例函数
(
)
0
y
kx k
=
的图象交于点A．将正比例函数
(
)
0
y
kx k
=
的图象向上平移3
2 个单位后得到的图象与y 轴交于点B，与反
比例函数
(
)
2
0
y
x
x
=
的图象交于点C．过点C 作x 轴的垂线，与x 轴交于点D．线段CD与OA交于点E，
点E 为OA中点，则k 的值为（ ）
A．1
3
B．1
C．1
2
D．2
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【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．联立求得点A的坐标为
2
2
,k
k
k
，由点E 为OA
中点，求得点E 的坐标为1
2
2
,
2
2
k
k
k
，由平移的性质求得点C 的坐标为1
2
2
3
,
2
2
2
k
k
k
+
，再利用待定
系数法求解即可．
【详解】解：联立
2
y
x
y
kx
=
=
得
2
kx
x
=
，解得
2
x
k
=
（舍去负值），
∴
2
x
k
=
，则
2
y
k
k
=
，
∴点A的坐标为
2
2
,k
k
k
，
∵点E 为OA中点，
∴点E 的坐标为1
2
2
,
2
2
k
k
k
，
由题意得OE
BC
∥
，CE
OB
∥
，
∴
3
2
CE
OB
=
=
，
∴点C 的坐标为1
2
2
3
,
2
2
2
k
k
k
+
，
∵点C 在反比例函数
(
)
2
0
y
x
x
=
的图象上，
∴1
2
2
3
2
2
2
2
k
k
k
+
=
，
解得
1
2
k =
，
故选：C．
变式10-2 如图，在平面直角坐标系中，(
)
(
)
12,4 ,
8,0
B
C
，四边形OABC是平行四边形，过点A 作反比例函
数
(
)
0
k
y
x
x
=
，图象交BC 于点D，连结OD ，则OCD
的面积是 ____________________ ．
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【答案】
16 2 16
−
/ 16 16 2
−
+
【分析】根据平行四边形的性质求出点A的坐标，利用待定系数法求出反比例函数和直线BC 的解析式，联
立解析式求出点D的坐标，最后利用三角形面积公式求解．
【详解】解：
(8,0)
C
，
8
OC
=
，
四边形OABC是平行四边形，
//
,
8
AB OC AB
OC
=
= ，
(12,4)
B
，
点A的纵坐标为4，横坐标为12 8
4
−=
，
(4,4)
A
，
反比例函数
k
y
x
=
经过点A，
4 4
16
k
= =
，
反比例函数的解析式为
16
y
x
=
，
设直线BC 的解析式为y
ax
b
=
+
，
将
(12,4),
(8,0)
B
C
代入得{
12𝑎+ 𝑏= 4
8𝑎+ 𝑏= 0 ，
解得{
𝑎= 1
𝑏= −8，
直线BC 的解析式为
8
y
x−
=
，
联立
16
8
y
x
y
x
=
=
−
，
整理得
2
8
16
0
x
x−
−
=
，解得
4
4 2
x =
，
0
x
，
4
4 2
x
=
+
，
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当
4
4 2
x =
+
时，
4
4 2
8
4 2
4
y =
+
−
=
−，
(
)
4
4 2,4 2
4
D
+
−
，
(
)
1
1 8
4 2
4
16 2
16
2
2
OCD
D
S
OC
y
=
=
−
=
−
．
变式10-3 如图，一次函数y
x
b
−
=
+ 与反比例函数
(
)
0
k
y
x
x
=
的图象交于点
(
)
,3
A m
和(
)
3,1
B
．
(1)求一次函数的解析式和m 值；
(2)当
0
x
时，请根据图象，直接写出关于x 的不等式k
x
b
x −+ 的解集；
(3)点P是线段AB 上一点，过点P作PD
x
⊥
轴于点D，交反比例函数
(
)
0
k
y
x
x
=
的图象于点Q，连接
,
OP OQ ，
若POQ
的面积为1
2 ，求点P 的坐标．
【答案】(1)
4
y
x
−
=
+
；
1
m =
(2)1
3
x
(3)点P 的坐标为(
)
2,2
【分析】（1）将
(
)
3,1
B
代入y
x
b
−
=
+ 得b，即得一次函数的解析式为
4
y
x
= −+
，将(
)
,3
A m
代入一次函数解
析式得m；
（2）求出
(
)
1,3
A
，由图可得，根据直线在双曲线上方的部分的自变量的取值范围，即可求解；
（3）先求出反比例函数的解析式为
3
y
x
=
，设点P 的坐标为(
)
,
4
a
a
−+
，得到点Q 的坐标为
3
,a a
，
,
4
OD
a PD
a
=
= −+
，
3
DQ
a
=
，再根据三角形的面积公式，得到
1
1
2
2
OPQ
S
OD PQ
=
=
△
，求出
2
a =
，得到
4
2
a
−+
=
，即可解答．
【详解】（1）解：一次函数y
x
b
−
=
+ 图象过点
(
)
3,1
B
，
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1
3 b
= −+
，
解得
4
b =
，
一次函数解析式是
4
y
x
−
=
+
(
)
,3
A m
在一次函数的图象上，
4
3
m
−
+
=
，
1
m
= ，
（2）解：由（1）得点
(
)
1,3
A
，
由图象可得，一次函数与反比例函数的交点分别为点
(
)
1,3
A
和(
)
3,1
B
，
当k
x
b
x −+ 时的解集为1
3
x
；
（3）解：将
(
)
1,3
A
代入
(
)
0
k
y
x
x
=
，得
3
k = ，
∴反比例函数的解析式为
3
y
x
=
，
设点P 的坐标为(
)
,
4
a
a
−+
，
∵PD
x
⊥
轴交反比例函数的解析式为
3
y
x
=
于点Q，
∴点Q 的坐标为
3
,a a
，
,
4
OD
a PD
a
=
= −+
，
∴
3
DQ
a
=
，
∴
3
4
PQ
PD
DQ
a
a
=
−
= −+
−
，
∴
1
1
2
2
OPQ
S
OD PQ
=
=
△
，
即1
3
1
4
2
2
a
a
a
−+
−
=
，
2
4
4
0
a
a
−
+
=
，
解得
2
a =
，
∴
4
2
a
−+
=
，
∴点P 的坐标为(
)
2,2 ．
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题型十一、解一元二次方程—直接开方法
典例11 利用直接开平方法解下列方程：
(1)
2
6
x =
；
(2)
2
900
0
x −
=
．
【答案】(1)
1
6
x =
，
2
6
x = −
(2)
1
30
x =
，
2
30
x = −
【详解】（1）解：
2
6
x =
，
直接开平方，得
6
x =
，
1
6
x
=
，
2
6
x = −
；
（2）解：
2
900
0
x −
=
移项，得
2
900
x =
，
直接开平方，得
30
x =
，
1
30
x
=
，
2
30
x = −
．
变式11-1 解方程：(
)
2
1
1
8
x +
−=
．
【答案】
1
2
x =
，
2
4
x = −
【详解】解：(
)
2
1
1
8
x +
−=
，
(
)
2
1
9
x +
=
，
1
3
x+ = ，
解得
1
2
x =
，
2
4
x = −．
变式11-2 解下列方程：
(1)(
)
2
1
49
x -
=
(2)(
)
2
2
3
16
y −
=
【答案】(1)
1
8
x = ，
2
6
x = −；
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(2)
1
7
2
y =
，
2
1
2
y = −
．
【详解】（1）解：(
)
2
1
49
x −
=
，
∴
1
7
x−=
或
1
7
x−= −，
∴
1
8
x = ，
2
6
x = −；
（2）解：(
)
2
2
3
16
y −
=
，
∴2
3
4
y −
=
或2
3
4
y −
= −，
∴2
7
y =
或2
1
y = −，
∴
1
7
2
y =
，
2
1
2
y = −
．
变式11-3 求下列各式中的x 的值：
(1)
64
4
2 =
x
；
(2) (
)
2
2
2
18
x +
=
【答案】(1)
1
2
4
4
x
x
=
= −
，
(2)
1
2
1
5
x
x
=
= −
，
【分析】（1）先将原式化简为
2
16
x =
，再等号两边开平方，即可求解；
（2）先将原式化简为(
)
2
2
9
x +
=
，再等号两边开平方，即可求解．
【详解】（1）解：
64
4
2 =
x
，
化简得
2
16
x =
，
解得
1
2
4
4
x
x
=
= −
，
．
（2）解：(
)
2
2
2
18
x +
=
，
化简得(
)
2
2
9
x +
=
，
开方得
2
3
x+
= ，
解得
1
2
1
5
x
x
=
= −
，
．
题型十二、解一元二次方程—配方法
典例12 解方程：
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(1)
2
2
1
0
x
x
−
−=
（用配方法）
(2)(
)(
)
5
1
12
x
x
+
+
=
（用配方法）
【答案】(1)
1
1
2
x = +
，
2
1
2
x = −
(2)
1
7
x = −，
2
1
x =
【分析】（1）将常数项移到等号右侧，再给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平
方式，再开方求解即可；
（2）先展开左侧并整理成一元二次方程的一般形式，后续按照配方法的步骤，移常数项、配方、开方求解
即可．
【详解】（1）解：原方程化为
2
2
1
x
x
−
= ，
2
2
1
2
x
x
−
+ =
，
2
(
1)
2
x −
= ，即
1
2
x −=
，
1
1
2
x = +
，
2
1
2
x = −
；
（2）解：原方程化为
2
6
5
12
x
x
+
+
=
，
2
6
7
x
x
+
=
，
2
6
9
16
x
x
+
+
=
，
2
(
3)
16
x +
=
，即
3
4
x + = ，
1
7
x = −，
2
1
x = ；
变式12-1 解方程：
(1)(
)
2
2
3
64
0
x −
−
=
；
(2)
2
2
4
5
0
x
x
−
−
=
（用配方法解方程）．
【答案】(1)
1
2
5.5,
2.5
x
x
=
= −
(2)
1
2
2
14
2
14
,
2
2
x
x
+
−
=
=
【详解】（1）解：(
)
2
2
3
64
0
x −
−
=
，
(
)
2
2
3
64
x −
=
2
3
8
x−= ，
2
3
8
x −
= 或2
3
8
x −= −，
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2
5.5,
2.5
x
x
=
= −
；
（2）解：
2
2
4
5
0
x
x
−
−
=
，
2
5
2
2
x
x
−
=
，
2
5
2
1
1
2
x
x
−
+ =
+ ，
(
)
2
7
1
2
x −
=
，
14
1
2
x −=
，
1
2
2
14
2
14
,
2
2
x
x
+
-
\
=
=
．
变式12-2 解方程：
(1)
2
64
0
x −
=
；
(2)
2
4
3
0
x
x
−
+
= ．
【答案】(1)
1
8
x = ，
2
8
x = −
(2)
1
3
x = ，
2
1
x =
【分析】（1）利用直接开平方法解答；
（2）利用配方法解答；
【详解】（1）解：
2
64
0
x −
=
，
移项，得
2
64
x =
，
解得：
1
8
x = ，
2
8
x = −．
（2）解：
2
4
3
0
x
x
−
+
= ，
移项，得
2
4
3
x
x
−
= −，
方程两边同时加上4，得
2
4
4
3
4
x
x
−
+
= −+
，即
2
(
2)
1
x −
= ，
则
2
1
x−
= ，或
2
1
x −
= −，
解得
1
3
x = ，
2
1
x = ．
变式12-3 用配方法解下列方程
(1)
2
15
8
x
x
+
=
(2)
2
3
1
2 3
x
x
+ =
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【答案】(1)
1
5
x = ，
2
3
x =
(2)
1
2
3
3
x
x
=
=
【分析】本题考查用配方法解一元二次方程．先将方程整理为标准形式，第二题先将二次项系数化为1，再
通过配方将方程化为完全平方等于常数的形式，最后用直接开平方法求解即可．
【详解】（1）解：
2
15
8
x
x
+
=
移项得
2
8
15
x
x
−
= −
配方，方程两边同时加16 得
2
8
16
15 16
x
x
−
+
= −
+
整理得
2
(
4)
1
x −
=
开方得
4
1
x −
=
解得
1
5
x = ，
2
3
x =
．
（2）解：
2
3
1
2 3
x
x
+ =
移项得
2
3
2 3
1
x
x
−
= −
二次项系数化为1 得
2
2 3
1
3
3
x
x
−
= −
配方，方程两边同时加
2
3
3
得
2
2
2
2 3
3
1
3
3
3
3
3
x
x
−
+
= −
+
整理得
2
3
0
3
x
−
=
解得
1
2
3
3
x
x
=
=
．
题型十三、配方法的应用
典例13 【阅读材料】配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分
解因式，还能解决一些求代数式的最大值、最小值的问题．
例如：分解因式
(
)
(
)
(
)(
)
(
)(
)
2
2
2
2
2
3
2
1
4
1
2
1
2
1 2
3
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
+
−
=
+
+
−
=
+
−
=
+ +
+ −
=
+
−
．又如，求代数
式
2
2
4
6
x
x
+
−
的最小值，我们可以通过配方得到：
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
4
6
2
2
3
2
2
1
4
2
1
8
x
x
x
x
x
x
x
+
−
=
+
−
=
+
+
−
=
+
−
．因为(
)
2
1
0
x +
，所以(
)
2
2
1
0
x +
，则
(
)
2
2
1
8
8
x +
−
−，当
1
x = −时，
2
2
4
6
x
x
+
−
有最小值，最小值是8
−．
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根据阅读材料用配方法解决下列问题：
(1)分解因式：
2
8
7
x
x
−
+
；
(2)当x 为何值时，多项式
2
2
4
5
x
x
−
−
+
有最大值？并求出这个最大值．
(3)若多项式
2
4
x +
与一个单项式的和能通过配方法因式分解，请直接写出满足条件的所有单项式．
【答案】(1)(
)(
)
7
1
x
x
−
−
(2)当
1
x = −时，最大值为7．
(3)4x 、4x
−
、
4
1
16 x ．
【分析】（1）仿照材料，利用配方法计算即可得出结果；
（2）将所求式子变形为
(
)
2
2
1
7
x
−
+
+ ，结合(
)
2
1
0
x +
得出
(
)
2
2
1
0
x
−
+
，从而即可得出结果；
（3）利用配方法，分情况讨论即可得出结果．
【详解】（1）解：
2
8
7
x
x
−
+
(
)
2
8
16
9
x
x
=
−
+
−
(
)
2
4
9
x
=
−
−
(
)(
)
4
3
4
3
x
x
=
−
−
−
+
(
)(
)
7
1
x
x
=
−
−
；
（2）解：
2
2
4
5
x
x
−
−
+
(
)
2
2
2
1
7
x
x
= −
+
+
+
(
)
2
2
1
7
x
= −
+
+
，
(
)
2
1
0
x +
，
(
)
2
2
1
0
x
−
+
，
当
1
x = −时，
(
)
2
2
1
0
x
−
+
=
，
2
2
4
5
x
x
−
−
+
取得最大值为7．
（3）解：当
(
)
2
2
4
4
2
x
x
x
+
+
=
+
，需要加单项式4x ；
当
(
)
2
2
4
4
2
x
x
x
−
+
=
−
，需要加单项式4x
−
；
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当
2
2
4
2
1
1
4
2
16
4
x
x
x
+
+
=
+
，需要加单项式
4
1
16 x ．
所以满足条件的单项式为：4x 、4x
−
、
4
1
16 x ．
变式13-1 配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方
式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问
题．先阅读理解下面的例题，再按要求解答问题．
例：求代数式
2
4
6
y
y
+
+
的最小值．
解：
(
)
2
2
2
4
6
4
4
2
2
2
y
y
y
y
y
+
+
=
+
+
+
=
+
+
．
因为(
)
2
2
0
y +
，所以(
)
2
2
2
2
y +
+
，所以
2
4
6
y
y
+
+
的最小值是2 ．
(1)代数式
2
4
3
x
x
−
+ 的最小值为 ．
(2)关于x 的二次多项式
2
2
4
2
6
x
ax
a
a
−
+
+
−（a 为常数）有最小值为9
−，求常数a 的值．
(3)已知实数x ，y 满足
2
7
3
0
2
x
x
y
−
+
+
−=
，求
2
x
y
−
的最大值．
【答案】(1) 1
−
(2)常数a 的值为1
−或3
2
(3)最大值为2
【分析】（1）把所求式子变形为(
)
2
2
1
x −
−，再仿照例题求解即可；
（2）把多项式变形为(
)
2
2
2
2
6
x
a
a
a
−
−
+
−
，根据多项式的最小值为9
−得到方程
2
2
6
9
a
a
−
+
−
= −，解方程
即可得到答案；
（3）根据题意可推出
(
)
2
2
2
2
2
x
y
x
−
= −
−
+
，再仿照例题求解即可．
【详解】（1）解：
(
)
2
2
2
4
3
4
4
4
3
2
1
x
x
x
x
x
−
+
=
−
+
−
+
=
−
−，
(
)
2
2
0
x −
，
(
)
2
2
1
1
x
−
−−，
2
4
3
x
x
−
+ 的最小值是1
−．
（2）解：
2
2
4
2
6
x
ax
a
a
−
+
+
−
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2
2
2
4
4
2
6
x
ax
a
a
a
=
−
+
−
+
−
(
)
2
2
2
2
6
x
a
a
a
=
−
−
+
−
，
(
)
2
2
0
x
a
−
，
(
)
2
2
2
2
2
6
2
6
x
a
a
a
a
a
−
−
+
−
−
+
−，
关于x 的二次多项式
2
2
4
2
6
x
ax
a
a
−
+
+
−的最小值为
2
2
6
a
a
−
+
−，
关于x 的二次多项式
2
2
4
2
6
x
ax
a
a
−
+
+
−（a 为常数）有最小值为9
−，
2
2
6
9
a
a
−
+
−
= −，
2
2
3
0
a
a
−
−
=
，即(
)(
)
1
2
3
0
a
a
+
−
=
，
解得
1
1
a = −，
2
3
2
a =
，
常数a 的值为1
−或3
2 ；
（3）解：
2
7
3
0
2
x
x
y
−
+
+
−=
，
2
7
3
2
y
x
x
=
−
+ ，
2
7
2
2
3
2
x
y
x
x
x
−
=
−
−
+
2
2
7
6
x
x
x
=
−
+
−
2
2
8
6
x
x
= −
+
−
(
)
2
2
2
2
x
= −
−
+
，
(
)
2
2
0
x −
，
(
)
2
2
2
0
x
−
−
，
(
)
2
2
2
2
2
x
−
−
+
，
当
2
x =
时，
2
x
y
−
有最大值，最大值为2 ．
变式13-2 配方法是数学中重要的一种思想方法，这种方法是根据完全平方公式的特征进行代数式的变形，
并结合非负数的意义来解决一些问题．我们规定：一个整数能表示成
2
2
a
b
+
（a ，b 是整数）的形式，则称
这个数为“和谐数”．例如，10是“和谐数”，理由：因为
2
2
10
3
1
=
+
，所以10是“和谐数”．
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【解决问题】
(1)判断40 是否为“和谐数”________．（填“是”或“否”）
【探究问题】
(2)若
2
8
25
a
a
−
+
可配方成(
)
2
2
a
m
n
−
+
（m ，n 为常数），则mn 的值________．
(3)已知
2
2
4
5
6
M
a
ab
b
b
k
=
+
+
−
+
（a ，b 是整数，k 是常数），要使M 为“和谐数”，试求出符合条件的一个
k 值，并说明理由．
【拓展应用】
(4)已知实数x ，y 满足
2
5
10
y
x
x
=
−
+
，当x 为多少时，y
x
−能取得最小值，并求出最小值．
【答案】(1)是
(2) 12
(3)符合条件的一个k 值为9，理由如下：
对M 配方：
2
2
4
5
6
M
a
ab
b
b
k
=
+
+
−
+
2
2
2
(
4
4
)
6
a
ab
b
b
b
k
=
+
+
+
−
+
2
2
(
2 )
6
a
b
b
b
k
=
+
+
−
+
，
当
9
k =
时，
2
2
6
9
(
3)
b
b
b
−
+
=
−
，
∴
2
2
(
2 )
(
3)
M
a
b
b
=
+
+
−
，
∵a ，b 是整数，
∴
2
a
b
+
和
3
b −都是整数，
∴M 是两个整数的平方和，即M 为“和谐数”；
(4)当
3
x = 时，y
x
−的最小值为1
【分析】（1）根据“和谐数”的定义，判断40 能否写成两个整数的平方和即可；
（2）利用配方法对代数式变形，对比得到m ，n 的值，即可计算mn ；
（3）对M 进行配方，将其整理为两个平方和的形式，即可得到符合条件的k 值；
（4）先写出y
x
−的表达式，再利用配方法结合非负数的性质，即可求出最小值．
【详解】（1）解：∵
2
2
40
6
2
=
+
，且6，2 都是整数，
∴40 是“和谐数”；
（2）解：
2
2
2
2
8
25
(
8
16)
9
(
4)
3
a
a
a
a
a
−
+
=
−
+
+
=
−
+
，
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2
2
(
4)
3
a −
+
对比
2
2
(
)
a
m
n
−
+
得
4
m =
，
3
n = ，
∴
4 ( 3)
12
mn =
=
；
（3）解： 略
（4）解：
(
)
2
2
2
5
10
6
10
3
1
y
x
x
x
x
x
x
x
−
=
−
+
−
=
−
+
=
−
+ ，
∵对于任意实数x，都有(
)
2
3
0
x −
，
∴当(
)
2
3
0
x −
=
，即
3
x = 时，y
x
−取得最小值，最小值为1．
变式13-3 配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等
变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的
意义来解决问题．定义：若一个整数能表示成
2
2
a
b
+
(a，b 为整数)的形式，则称这个数为“完美数”．例如，
13 是“完美数”，理由：因为
2
2
13
2
3
=
+
， 所以 13 是“完美数”．
解决问题：
(1)已知41是“完美数”，请将它写成
2
2
a
b
+
(a，b 为整数)的形式；
(2)若
2
6
1
x
x
−
−可配方成 (
)
2
x
m
n
−
+
(m，n 为常数)， 求 mn 的值；
(3)已知
2
2
4
4
12
S
x
y
x
y
k
=
+
+
−
+
(x，y 是整数，k 是常数)，要使S 为“完美数”，试求出k 值．
【答案】(1)
2
2
41
4
5
=
+
(2)
30
mn = −
(3)
13
k =
【分析】（1）根据完美数的定义变形成
2
2
41
4
5
=
+
，即可得到答案；
（2）将
2
6
1
x
x
−
−根据完全平方公式进行配方即可；
（3）将式子化简成
2
2
2
2
4
4
12
(
2)
(2
3)
13
S
x
y
x
y
k
x
y
k
=
+
+
−
+
=
+
+
−
+
−
，根据“完美数”的定义得到
13
0
k −
=
，
即可得到答案．
【详解】（1）解：
41
4
37
9
32
16
25
36
5
=
+
= +
=
+
=
+
，
其中只有16
25
+
是两个平方数的和，
2
2
41
4
5
=
+
；
（2）解：
2
6
1
x
x
−
−
2
6
9
9 1
x
x
=
−
−
+
−
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(
3)
10
x
=
−
−
，
3,
10
m
n
=
= −
，
30
mn
= −
；
（3）解：
2
2
2
2
2
2
4
4
12
4
4
(4
12
9)
4
9
(
2)
(2
3)
13
S
x
y
x
y
k
x
x
y
y
k
x
y
k
=
+
+
−
+
=
+
+ +
−
+
+
−−
=
+
+
−
+
−
，
要使S 对任意整数x, y 都为“完美数”，则
13
0
k −
=
，
解得
13
k =
．
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
1．已知关于x 的一元二次方程
(
)
2
0
m x
h
k
−
−
=
（m，h，k 均为常数且
0
m
）的解是
1
2
x =
，
2
5
x =
，则关
于x 的一元二次方程
(
)
2
1
m x
h
k
+
+
=
的解是（ ）
A．
1
2
2
5
x
x
= −
= −
，
B．
1
2
4
1
x
x
−
−
=
=
，
C．
1
2
1
4
x
x
=
=
，
D．
1
2
3
6
x
x
= −
= −
，
【答案】D
【分析】本题利用一元二次方程根的性质求出h ，再将h 代入新方程即可求解．
【详解】解：由题意，关于x 的一元二次方程
(
)
2
0
m x
h
k
−
−
=
有解，
解方程得
k
x
h
m
=
，
∵一元二次方程
2
(
)
m x
h
k
−
=
（
0
m
）的解是
1
2
x =
，
2
5
x =
，
∴2
k
h
m
=
−
，5
k
h
m
=
+
，
∴
2
5
3.5
2
h
+
=
=
，
将
2
x =
，
3.5
h =
代入原方程得
2
(2 3.5)
2.25
k
m =
−
=
，
对于方程
2
(
1)
m x
h
k
+
+
=
，
整理得：
2
(
1)
2.25
k
x
h
m
+
+
=
=
，
代入
3 5
h = . 得
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4.5
1.5
x+
=
，
解得
1
3
x = −，
2
6
x = −．
2．王老师设计了接力游戏：每人只能看到前一人的方程，并继续进行变形，将结果传递给下一人，最终求
出方程的解，过程如图所示．
上述求解过程中，错误的是（ ）
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
【答案】B
【分析】根据配方法解一元二次方程逐一对甲、乙、丙、丁四步的变形过程进行检查，找出计算错误的步
骤．
【详解】解：王老师：
2
2
8
4
0
x
x−
+
=
，
甲：两边同除以2，移项得
2
4
2
x
x
+
=
，正确，
乙：配方，两边加4，得
2
4
4
2
4
x
x
+
+
=
+
，即(
)
2
2
6
x +
=
，但乙写成了(
)
2
2
2
x +
=
，错误，
丙：开平方，得
2
2
x +
=
，正确，
丁：
2
2
x = −
，则
1
2
2
2,
2
2
x
x
= −+
= −−
，正确，
∴错误的是乙．
3．一元二次方程
2
2
3
1
0
x
x
+
+ =
用配方法解方程，配方结果是（ ）
A．
2
3
1
2
0
4
8
x
−
−
=
B．
2
3
1
2
0
4
8
x
+
+
=
C．
2
3
1
0
4
8
x
−
−
=
D．
2
0
6
3
4
1
1
x
+
−
=
【答案】D
【详解】解：
2
2
3
1
0
x
x
+
+ =
2
2
3
1
x
x
+
= −
2
3
1
2
2
x
x
+
= −
2
2
2
3
3
1
3
2
4
2
4
x
x
+
+
= −
+
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2
3
1
4
16
x
+
=
2
0
6
3
4
1
1
x
+
−
=
方程
2
2
3
1
0
x
x
+
+ =
配方后得到
2
0
6
3
4
1
1
x
+
−
=
．
4．定义：关于x 的一元二次方程
(
)
2
1
0
a
x
h
k
−
+
=
与
(
)
2
2
0
a
x
h
k
−
+
=
称为“同形二次方程”（
1
2
0
a a
）．现
有关于x 的方程(
)
2
3
2
5
0
x +
−
=
与方程(
)
(
)
2
2
1
4
3
0
a
x
b
x
+
+
+
+
=
是“同形二次方程”．则代数式
2
2
2026
ax
bx
−
+
−
的最大值是（ ）
A．2022
−
B．2024
−
C．2026
−
D．2028
−
【答案】A
【分析】先由“同形二次方程”对(
)
(
)
2
2
1
4
3
0
a
x
b
x
+
+
+
+
=
变形，从而确定
2
2
4
8
4
4
2
1
2
1
b
x
x
x
x
a
a
+
+
+
=
+
+
+
+
，
得出关于a
b
、的等式求解出a
b
、的值，代入代数式，通过配方，结合平方非负性判断即可得到答案．
【详解】解：关于x 的方程(
)
2
3
2
5
0
x +
−
=
与方程(
)
(
)
2
2
1
4
3
0
a
x
b
x
+
+
+
+
=
是“同形二次方程”，
则将方程(
)
(
)
2
2
1
4
3
0
a
x
b
x
+
+
+
+
=
变形为(
)
(
)
2
2
1
4
8
5
0
a
x
b
x
+
+
+
+
−
=
，
由“同形二次方程”定义可知(
)
(
)
(
)(
)
2
2
2
1
4
8
2
1
2
a
x
b
x
a
x
+
+
+
+
=
+
+
，
“同形二次方程”定义中
1
2
0
a a
，
2
1
0
a
+
，
则(
)
(
)
(
)(
)
2
2
2
1
4
8
2
1
2
a
x
b
x
a
x
+
+
+
+
=
+
+
两边同时除以2
1
a+ 得
2
2
4
8
4
4
2
1
2
1
b
x
x
x
x
a
a
+
+
+
=
+
+
+
+
，
4
8
4
,
4
2
1
2
1
b
a
a
+
=
=
+
+
①
②，
由②得
1
2
a =
，
将
1
2
a =
代入①得
4
b =
，
∴代数式
(
)
2
2
2
2
2026
4
2026
2
2022
2022
ax
bx
x
x
x
−
+
−
= −
+
−
= −
−
−
−
．
5．在欧几里得的《几何原本》中，形如
2
2
x
ax
b
+
=
（
0
a
，
0
b
）的方程的图解法是：如图1，以2
a 和b
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为两直角边作Rt
ABC
△
，再在斜边上截取
2
a
BD =
，则AD的长就是所求方程的正根．若关于x 的一元二次
方程
2
2
36
x
kx
+
=
，按照图1 的图解法构造图2，在Rt
ABC
△
中，
90
ACB
=
，连接CD，若
1
2
BCD
ACD
S
S
=
△
△
，
则k 的值是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．3 2
2
【答案】D
【分析】根据方程系数确定直角三角形两直角边的长度，利用等高三角形面积比等于底边比，求出斜边与
参数的关系，最后利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：由题意可知，
2
2
k
BD
BC
k
=
=
=
，
2
36
AC =
，
6
AC
=
．
1
2
BCD
ACD
S
S
=
△
△
，且BCD
与ACD
等高，
1
2
BD
AD =
，
2
AD
k
=
，
2
3
AB
BD
AD
k
k
k
=
+
=
+
=
．
90
ACB
=
，
在Rt
ABC
△
中，
2
2
2
AB
AC
BC
=
+
，
2
2
2
(3 )
6
k
k
=
+
，即
2
8
36
k =
，
解得，
1
3 2
2
k =
，
2
3 2
2
k = −
（不符合题意，舍去），
k 的值是3 2
2
．
6．若
2
2
3
1
x
x
y
−
+
= ，当x =________时，x
y
+
的最大值是________．
【答案】 1 3
【分析】先根据已知等式用含x 的代数式表示y ，再代入x
y
+
得到关于x 的代数式，利用完全平方公式及
偶次幂的非负性进行求解即可．
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【详解】解：由
2
2
3
1
x
x
y
−
+
= 可得：
2
2
3
1
y
x
x
= −
+
+ ，
将y 代入x
y
+
得
(
)
2
2
2
2
3
1
2
4
1
2
1
3
x
y
x
x
x
x
x
x
+
= −
+
+ +
= −
+
+ = −
−
+ ，
(
)
2
2
1
0
x
−
−
，
(
)
2
2
1
3
3
x
−
−
+ ，
∴当
1
x = 时，x
y
+
取得最大值，最大值为3．
7．设方程
2
2
6
0
x
x
+
−
=
的正根介于整数m 与
1
m+ 之间，则m = ____．
【答案】1
【分析】本题考查的是一元二次方程的求解与无理数的估算，掌握配方法解一元二次方程和利用夹逼法估
算无理数的大小是解题的关键．先通过配方法求出方程
2
2
6
0
x
x
+
−
=
的正根为7
1
−，再根据4
7
9
得到
2
7
3
，进而推出1
7
1
2
−
，确定正根介于整数1与2 之间，从而求出 m 的值．
【详解】解：
2
2
6
0
x
x
+
−
=
，
移项得：
2
2
6
x
x
+
=
，
配方得：
2
2
1
6
1
x
x
+
+ =
+ ，
即(
)
2
1
7
x +
=
，
直接开平方得：
1
7
x + =
，
解得
1
7
1
x =
−，
2
7
1
x = −
−，
4
7
9
，
2
7
3
，
1
7
1
2
−
，
则
1
m = ，
故答案为：1．
8．小鹿利用欧几里得的一元二次方程图解法，解方程
(
)
2
2
8
9
0
x
ax
a
a
+
=
的过程如下：将方程配方得
(
)
(
)
(
)
2
2
2
4
3
4
x
a
a
a
+
=
+
，以3a 和4a 为两直角边作ABC
（如图），再在斜边AB 及其延长线上截取
BD
BE
BC
=
=
，发现方程的解
1x
AD
=
，
2x
AE
= −
，若
2
x
AD
=
=
，则
2x 的值为______．
小学
初中
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【答案】18
−
【分析】首先根据勾股定理求出
2
2
5
AB
AC
BC
a
=
+
=
，然后得到
2
x
AD
=
=
，然后根据
2x
AE
= −
求解即
可．
【详解】解：∵
90
ACB
=
，
3
AC
a
=
，
4
BC
a
=
，
∴
2
2
5
AB
AC
BC
a
=
+
=
，
∵
4
BD
BC
a
=
=
，
∴
5
4
AD
AB
BD
a
a
a
=
−
=
−
=
，
∵
2
x
AD
=
=
，
∴
2
a =
，
∴
5
4
9
9 2
18
AE
AB
BE
a
a
a
=
+
=
+
=
= =
，
∴
2
18
x
AE
= −
= −
．
9．新定义：关于x 的一元二次方程
(
)
2
1
0
a
x
h
k
−
+
=
与
(
)
2
2
0
a
x
h
k
−
+
=
称为“同族二次方程”．如
(
)
2
2
3
2
0
x −
+
=
与(
)
2
3
3
2
0
x −
+
=
是“同族二次方程”．现有关于x 的一元二次方程(
)
2
2
1
1
0
x −
+ =
与
(
)
(
)
2
2
4
8
0
a
x
b
x
+
+
−
+
=
是“同族二次方程”，那么代数式a
b
−
的值是________________．
【答案】15
【分析】根据“同族二次方程”的定义得到(
)
(
)
(
)(
)
2
2
2
4
8
2
1
1
a
x
b
x
a
x
+
+
−
+
=
+
−
+ ，进而可得方程组
(
)
2
2
4
2 1
8
a
b
a
−
+
=
−
+
+ =
，解方程组即可得到答案．
【详解】解：
(
)
2
2
1
1
0
x −
+ =
与(
)
(
)
2
2
4
8
0
a
x
b
x
+
+
−
+
=
是“同族二次方程”，
(
)
(
)
(
)(
)
2
2
2
4
8
2
1
1
a
x
b
x
a
x
+
+
−
+
=
+
−
+ ，
∴(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
4
8
2
2
2
2
1
a
x
b
x
a
x
a
x
a
+
+
−
+
=
+
−
+
+
+
+ ，
(
)
2
2
4
2 1
8
a
b
a
−
+
=
−
+
+ =
，
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解得
5
10
a
b
=
= −
，
(
)
5
10
5 10
15
a
b
\
-
= -
-
= +
=
．
10．若
2
2
2
4
3
2
4
6
W
x
xy
y
y
x
=
−
+
−
+
+ （x、y 为实数），则W 的最小值为________．
【答案】3
【分析】本题考查配方法的应用，通过配方法将原式化为完全平方和的形式，利用非负数的性质求最小值
即可．
【详解】解：
2
2
2
4
3
2
4
6
W
x
xy
y
y
x
=
−
+
−
+
+
(
)
2
2
2
2
4
2
2
4
4
4
6
x
xy
y
y
y
y
x
y
=
−
+
+
−
+
+
−
+
(
) (
) (
)
2
2
2
2
2
2
1
4
4
5
x
xy
y
y
y
x
y
=
−
+
+
+
+
+
−
+
(
)
(
)
(
)
2
2
2
1
4
2
3
x
y
y
x
y
=
−
+
+
+
−
+
+
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
1
1
3
x
y
x
y
y
=
−
+
−
+
+
+
+
(
)
(
)
2
2
2
1
1
3
x
y
y
=
−
+
+
+
+ ，
∵(
)
2
1
0
x
y
−
+
，(
)
2
0
1
y +
≥，
∴
3
W ，当
2
x = −，
1
y
−
=
时取等号，
故W 的最小值为3；
故答案为：3．
11．解方程：
2
8
1
0
x
x
−
+ =
【答案】
1
2
4
15
4
15
x
x
=
−
=
+
，
【详解】解：∵
2
8
1
0
x
x
−
+ =
，
∴
2
8
1
x
x
−
= −，
∴
2
2
2
8
8
8
1
2
2
x
x
−
−
−
+
= −+
，即
2
8
16
15
x
x
−
+
=
，
∴(
)
2
4
15
x −
=
，
∴
4
15
x −
=
，
解得
1
2
4
15
4
15
x
x
=
−
=
+
，
．
12．在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单．
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例如，在计算(
)(
)
3
3
x
y
x
y
−
−
−
+
时就可以将x
y
−
看成一个整体，式子转化为：(
)
2
2
2
2
3
2
9
x
y
x
xy
y
−
−
=
−
+
−．
请借助整体思想完成：
(1)计算(
)(
)
3
3
x
y
x
y
+
−
−
+
．
(2)(
)(
)
2
2
2
2
2
2
77
x
y
x
y
+
+
+
−
=
，求
2
2
x
y
+
的值．
【答案】(1)
2
2
6
9
x
y
y
−
+
−
(2)
2
2
9
x
y
+
=
【分析】（1）将原式变形为
(
3)
(
3)
x
y
x
y
+
−
−
−
，再将(
3)
y −
看成一个整体，利用平方差公式和完全平方
公式计算即可；
（2）把(
)
2
2
x
y
+
看成一个整体，利用平方差公式计算，最后解方程即可．
【详解】（1）解：(
)(
)
3
3
x
y
x
y
+
−
−
+
(
3)
(
3)
x
y
x
y
=
+
−
−
−
(
)
2
2
3
x
y
=
−
−
(
)
2
2
6
9
x
y
y
=
−
−
+
2
2
6
9
x
y
y
=
−
+
−．
（2）解：(
)(
)
2
2
2
2
2
2
77
x
y
x
y
+
+
+
−
=
，
(
)
2
2
2
2
2
77
x
y
+
−
=
，
(
)
2
2
2
81
x
y
+
=
．
令
2
2
t
x
y
=
+
，
2
81
t =
，
9
t
= ．
又
2
2
0
x
y
+
，即
0
t
，
9
t
=
，
2
2
9
x
y
+
= ．
13．【阅读理解】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性增加问题的条件，
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这种解题方法叫作配方法．配方法不仅在代数式求值、解方程、求最值问题等有着广泛的应用，也在几何、
经济等领域常用来分析最值，求解未知量．
应用一
应用二
用配方法分解因式：
2
6
8
a
a
+
+ ．
解：
2
6
8
a
a
+
+
2
6
9 1
a
a
=
+
+
−
2
(
3)
1
a
=
+
−
(
)(
)
3 1
3 1
a
a
=
+ −
+ +
(
)(
)
2
4
a
a
=
+
+
．
用配方法求代数式
2
2
12
22
x
x
+
+
的最小值．
解：
2
2
12
22
x
x
+
+
(
)
2
2
6
9
2
x
x
=
+
+ +
2
2(
3)
4
x
=
+
+
2
(
3)
0
x +
2
2(
3)
4
4
x
+
+
2
2
12
22
x
x
+
+
的最小值为4
请根据上述阅读材料，解决下列问题：
(1)因式分解：
2
4
12
a
a
−
−
= ________；
(2)若
2
2
8
M
x
x
=
−
，运用配方法可求出M 的最小值为________；
(3)如图，在ABC
中，
90
BAC
=
，
8
AB =
，
6
AC =
，点D 为AB 边上一点（不与点A、点B 重合），连接CD，
以CD为边在CD上方构造正方形CDFE，连接BF ．则BDF
面积的最大值为________．
【答案】(1)(
)(
)
2
6
a
a
+
−
(2) 8
−
(3)8
【分析】（1）把原式变形为(
)
2
4
4
4 12
a
a
−
+
−
−
，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可；
（2）仿照例题利用配方法求解即可；
（3）过点F 作FH
AD
⊥
于点H，证明
HFD
ADC
△
≌△
，得到FH
AD
=
；设BD
x
=
，则
8
FH
AD
x
=
= −
，
则
(
)
2
1
4
8
2
BDF
S
x
= −
−
+
，据此可得答案．
【详解】（1）解：
2
4
12
a
a
−
−
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(
)
2
4
4
4 12
a
a
=
−
+
−
−
(
)
2
2
16
a
=
−
−
(
)(
)
2
4
2
4
a
a
=
−
+
−
−
(
)(
)
2
6
a
a
=
+
−
；
（2）解：
2
2
8
M
x
x
=
−
(
)
2
2
4
x
x
=
−
(
)
2
2
4
4
4
x
x
=
−
+
−
(
)
2
2
4
4
8
x
x
=
−
+
−
(
)
2
2
2
8
x
=
−
−，
∵(
)
2
2
0
x −
，
∴(
)
2
2
2
0
x−
，
∴(
)
2
2
2
8
8
x −
−−，
∴M 的最小值为8
−；
（3）解：如图所示，过点F 作FH
AD
⊥
于点H，
∴
90
FHD
DAC
=
=
∠
∠
，
∴
90
HDF
HFD
+
=
∠
∠
；
∵四边形CDFE是正方形，
∴
,
90
DF
CD
FDC
=
=
，
∴
90
HDF
ADC
+
=
∠
∠
，
∴
HFD
ADC
=
∠
∠
，
∴
(
)
AAS
HFD
ADC
≌
，
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∴FH
AD
=
；
设BD
x
=
，则
8
FH
AD
x
=
= −
，
∴
(
)
1
1
8
2
2
BDF
S
BD FH
x
x
=
=
−
(
)
2
1
8
2 x
x
= −
−
(
)
2
1
8
16 16
2 x
x
= −
−
+
−
(
)
2
1
8
16
8
2 x
x
= −
−
+
+
(
)
2
1
4
8
2 x
= −
−
+
∵(
)
2
4
0
x −
，
∴
(
)
2
1
4
0
2 x
−
−
，
∴
(
)
2
1
4
8
8
2 x
−
−
+ ，
∴
BDF
S
的最大值为8．
14．我国古代数学家赵爽（公元3~4 世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程的几何解
法，用“拼”的方法完成了配方，例如：
2
2
24
0
x
x
+
−
=
，可以变形为(
)
2
24
x x +
=
，用四个长为
2
x+
、宽为
x、面积为24 的矩形，拼成如图所示的大正方形，利用大正方形的面积等于四个矩形的面积加中间小正方
形的面积可以得到(
)
2
2
2
4 24
2
x
x
+
+
=
+
．
【模仿实践】（1）用“拼”的方法解方程
2
5
14
0
x
x
+
−
=
，先变形为________，每个小长方形的长为________，
宽为________，小正方形的面积为________；
【深入探究】（2）用“拼”的方法解方程
2
2
5
3
x
x
+
=
，写出解题过程．
【答案】（1）(
)
5
14
x x +
=
；
5
x + ；x ；25；
（2）解：先变形为
(
)
2
2
5
6
x
x +
=
，如图，
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每个小长方形的长为2
5
x + ，宽为2x ，
利用图形的面积关系得配方后的方程为(
)
2
2
2
2
5
4 6
5
x
x
+
+
=
+
，即(
)
2
4
5
49
x +
=
，
∴4
5
7
x + = ；
解为
1
2
1
3,
2
x
x
= −
=
．
【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，解一元二次方程，图形面积的计算方法，理解图示面积，材
料提示的计算方法，解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）仿照用“拼”的方法，根据面积关系列方程求解即可；
（2）先变形为
(
)
2
2
5
6
x
x +
=
，再用“拼”的方法，根据面积关系列方程求解即可．
【详解】（1）解：仿照方法2 配方解
2
5
14
0
x
x
+
−
=
，先变形为(
)
5
14
x x +
=
，如图2，
每个小长方形的长为
5
x + ，宽为x ，小正方形的面积为
25
25
=
，
利用图形的面积关系得配方后的方程为(
)
2
2
5
4 14
5
x
x
+
+
=
+
，即(
)
2
2
5
81
x +
=
，
解为
1
2
2,
7
x
x
=
= −，
故答案为：(
)
5
14
x x +
=
，
5
x + ，x ，25 ；
（2）略
15．配方法是数学中重要的一种思想方法，它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或
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几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．
我们定义：一个整数能表示成
2
2
a
b
+
（,a b 都是整数）的形式，则称这个数为“和美数”例如，5是一个“和美
数”，理由是：因为
2
2
5
2
1
=
+
，所以5是“和美数”．
(1)在29,54,117 三个数中，是“和美数”的有_______；
(2)已知
2
2
9
4
12
S
x
y
x
y
k
=
+
+
−
+ （,x y是整数，k 是常数），要使S为“和美数”，试写出符合条件的一个k 值，
并说明理由；
(3)已知实数,x y满足
2
7
5
0
3
x
x
y
−
+
+
−=
，求
3
x
y
−
的最大值．
【答案】(1)
29 和117
(2)
当
8
k = 时，S为“和美数”，理由如下：
2
2
9
4
12
S
x
y
x
y
k
=
+
+
−
+
(
) (
)
2
2
4
4
9
12
4
8
x
x
y
y
k
=
+
+
+
−
+
+
−
(
)
(
)
2
2
2
3
2
8
x
y
k
=
+
+
−
+
−，
∵
8
0
k −=
∴
8
k = ；
(3)
最大值为
29
3
−
【分析】（1）根据定义，尝试将目标数拆分为两个整数的平方和，能拆分则为和美数，反之则不是；
（2 ）根据S为和美数，利用完全平方公式配方，确定出的值即可；
（3）由已知等式表示出
3
x
y
−
，再代入，然后运用配方后再利用非负数的性质求出最大值即可．
【详解】（1）解：
2
2
29
25
4
5
2
=
+
=
+
，符合定义，是和美数；
54尝试整数平方和，
2
7
49,54
49
5
=
−
=
(非平方数)；
2
6
36,54
36
18
=
−
=
(非平方数)；
25
25,54
25
29
=
−
=
(非
平方数)，故不是和美数；
2
2
117
81
36
9
6
=
+
=
+
，符合定义，是和美数；
故答案为：29 和117 ；
（2）解：略；
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（3）解：∵
2
7
5
0
3
x
x
y
−
+
+
−=
，
∴
2
7
5
3
y
x
x
−= −
+
−， 即
2
3
3
8
15
x
y
x
x
−
= −
+
−
，
∴
2
3
3
8
15
x
y
x
x
−
= −
+
−
2
8
16
16
3
15
3
9
9
x
x
= −
−
+
−
−
2
4
16
3
15
3
3
x
= −
−
+
−
2
4
29
3
3
3
x
= −
−
−
．
当
4
3
x =
时，
3
x
y
−
最大，最大值为
29
3
−
．
【点睛】本题主要考查了配方法的应用、二次函数求最值等知识点，熟练掌握完全平方公式是解本题的关
键．
