文档内容
第四讲 方程(组)及其应用
命题点6 一元二次方程及其解法
类型一 解一元二次方程
31. (2022甘肃省卷)用配方法解方程x2－2x＝2时，配方后正确的是( )
A. (x＋1)2＝3 B. (x＋1)2＝6
C. (x－1)2＝3 D. (x－1)2＝6
32. (2022云南)方程2x2＋1＝3x的解为________．
33. (新趋势)·条件开放性问题 (2022贵阳)在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法，他们分别
是配方法、公式法和因式分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程．
①x2＋2x－1＝0；②x2－3x＝0；③x2－4x＝4；④x2－4＝0.
类型二 一元二次方程解的应用
34. (2022益阳)若x＝－1是方程x2＋x＋m＝0的一个根，则此方程的另一个根是( )
A. －1 B. 0 C. 1 D. 2
35. (2022 连云港)若关于 x 的一元二次方程 mx2＋nx－1＝0(m≠0)的一个解是 x＝1，则 m＋n 的值是
__________．
命题点7 一元二次方程根的判别式
36. (2022河南)一元二次方程x2＋x－1＝0的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 只有一个实数根
37. (2022攀枝花)若关于x的方程x2－x－m＝0有实数根，则实数m的取值范围是( )
A. m＜ B. m≤ C. m≥－ D. m＞－
38. (2022江西)关于x的方程x2＋2x＋k＝0有两个相等的实数根，则k的值为________．
39. (新趋势)·条件开放性问题 (2022扬州)请填写一个常数，使得关于x的方程x2－2x＋________＝0有两个
不相等的实数根．
命题点8 一元二次方程根与系数的关系[2022版课标调整为要求内容]
1 中考原创好题用40. (2022成都)若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程x2－6x＋4＝0的两个实数根，则这个
直角三角形斜边的长是________.
41. (2022南充)已知关于x的一元二次方程x2＋3x＋k－2＝0有实数根．
(1)求实数k的取值范围；
(2)设方程的两个实数根分别为x，x，若(x＋1)(x＋1)＝－1，求k的值．
1 2 1 2
命题点9 一元二次方程的实际应用
类型一 变化率问题
42. (2022新疆)临近春节的三个月，某干果店迎来了销售旺季，第一个月的销售额为8万元，第三个月的销售
额为11.52万元，设这两个月销售额的月平均增长率为x，则根据题意，可列方程为( )
A. 8(1＋2x)＝11.52 B. 2×8(1＋x)＝11.52
C. 8(1＋x)2＝11.52 D. 8(1＋x2)＝11.52
43. (2022宜昌)某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模
不断扩大. 该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨．
(1)求4月份再生纸的产量；
(2)若4月份每吨再生纸的利润为 1000元，5月份再生纸产量比上月增加 m%.5月份每吨再生纸的利润比上
月增加%，则5月份再生纸项目月利润达到66万元. 求 m的值；
(3)若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比
上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了25%.求6月份每吨再生纸的利润是多少元？
类型二 图形面积问题
44. (2022青海省卷)如图，小明同学用一张长11 cm，宽7 cm的矩形纸板制作一个底面积为21 cm2的无盖长
方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可(损耗不计).设剪去的正方
2 中考原创好题用形边长为x cm，则可列出关于x的方程为________．
INCLUDEPICTURE "D:\\1课件\\0. 2023\\2023版中考真题分类卷Word\\分类数李含13AB.tif" \*
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第44题图
类型三 每每问题
45. (2021菏泽)列方程(组)解应用题
端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：
小王：该水果的进价是每千克22元；
小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克．
根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这
种水果的销售价为每千克多少元？
第九讲 二次函数的图象与性质
命题点1 二次函数的基本性质
类型一 开口方向、对称轴及顶点的确定(含解析式转化)
1. (2022新疆)已知抛物线y＝(x－2)2＋1，下列结论错误的是( )
A. 抛物线开口向上
B. 抛物线的对称轴为直线x＝2
C. 抛物线的顶点坐标为(2，1)
D. 当x<2时，y随x的增大而增大
2. (2019甘肃省卷)将二次函数y＝x2－4x＋5化成y＝a(x－h)2＋k的形式为________．
类型二 与增减性、最值有关的问题
3. (2022宁波)点A(m－1，y)，B(m，y)都在二次函数y＝(x－1)2＋n的图象上．若y2 B. m>
3 中考原创好题用C. m<1 D. 3时，y，y，y 三者之间的大小关系是( )
2 3 1 2 3
A. y＜y＜y B. y＜y＜y
1 2 3 2 1 3
C. y＜y＜y D. y＜y＜y
3 1 2 2 3 1
5. (2022贺州)已知二次函数y＝2x2－4x－1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6. (2022温州)已知点A(a，2)，B(b，2)，C(c，7)都在抛物线y＝(x－1)2－2上，点A在点B左侧，下列选项正确的
是( )
A. 若c<0，则a0，则a0，则a0 D. m≤－1
9. (2021益阳)已知y是x的二次函数，下表给出了y与x的几对对应值：
x … －2 －1 0 1 2 3 4 …
y … 11 a 3 2 3 6 11 …
由此判断，表中a＝________．
10. (2022盐城)若点P(m，n)在二次函数y＝x2＋2x＋2的图象上，且点P到y轴的距离小于2，则n的取值范围
是________．
类型四 与坐标轴交点有关的问题
11. (2022大庆)已知函数y＝mx2＋3mx＋m－1的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数m的值为________．
12. (2022福建)已知抛物线y＝x2＋2x－n与x轴交于A，B两点，抛物线y＝x2－2x－n与x轴交于C，D两点，
其中n＞0.若AD＝2BC，则n的值为________．
4 中考原创好题用命题点2 与二次函数图象有关的判断
13. (2022株洲)已知二次函数y＝ax2＋bx－c(a≠0)，其中b＞0，c＞0，则该函数的图象可能为( )
14. (2022黔东南州)若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋b与反比例函数y＝
－在同一坐标系内的大致图象为( )
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15. (2021包头)已知二次函数y＝ax2－bx＋c(a≠0)的图象经过第一象限的点(1，－b)，则一次函数y＝bx－ac的
图象不经过( )
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
命题点3 二次函数图象与系数a，b，c的关系[2022版课标新增知道二次函数系数与图象形
状和对称轴的关系]
16. (2022滨州)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴相交于点A(－2，0)，B(6，0)，与y轴相交于点C，小红同学
得出了以下结论：①b2－4ac＞0；②4a＋b＝0；③当y＞0时，－2＜x＜6；④a＋b＋c＜0.其中正确的个数为(
)
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5 中考原创好题用第16题图
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
17. (2022毕节)在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，有下列5个结论：
①abc>0；②2a－b＝0；③9a＋3b＋c>0；④b2>4ac；⑤a＋c4 B. a>0
C. 02.
(1)当该函数的图象经过原点O(0，0)，求此时函数图象的顶点A的坐标；
(2)求证：二次函数y＝x2＋(m－2)x＋m－4的顶点在第三象限；
(3)如图，在(1)的条件下，若平移该二次函数的图象，使其顶点在直线y＝－x－2上运动，平移后所得函数的
图象与y轴的负半轴的交点为B，求△AOB面积的最大值．
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第31题图
9 中考原创好题用32. (2021遵义)如图，抛物线y＝a(x－2)2＋3(a为常数且a≠0)与y轴交于点A(0，).
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若直线y＝kx＋(k≠0)与抛物线有两个交点，交点的横坐标分别为x，x，当x＋x＝10时，求k的值；
1 2
(3)当－4＜x≤m时，y有最大值，求m的值．
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第32题图
命题点7 二次函数图象的变化
类型一 平移
33. (2021铜仁)已知抛物线y＝a(x－h)2＋k与x轴有两个交点A(－1，0)，B(3，0)，抛物线y＝a(x－h－m)2＋k与
x轴的一个交点是(4，0)，则m的值是( )
A. 5 B. －1 C. 5或1 D. －5或－1
34. (2022湖州)将抛物线y＝x2向上平移3个单位，所得抛物线的解析式是( )
A. y＝x2＋3 B. y＝x2－3
C. y＝(x＋3)2 D. y＝(x－3)2
35. (2021上海)将函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象向下平移两个单位，以下错误的是( )
A. 开口方向不变 B. 对称轴不变
C. y随x的变化情况不变 D. 与y轴的交点不变
36. (2021山西)抛物线的函数表达式为y＝3(x－2)2＋1, 若将x轴向上平移2个单位长度，将y轴向左平移3
1 0 中考原创好题用个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为( )
A. y＝3(x＋1)2＋3 B. y＝3(x－5)2＋3
C. y＝3(x－5)2－1 D. y＝3(x＋1)2－1
37. (2022泸州)抛物线y＝－x2＋x＋1经平移后，不可能得到的抛物线是( )
A. y＝－x2＋x B. y＝－x2－4
C. y＝－x2＋2021x－2022 D. y＝－x2＋x＋1
38. (2021苏州)已知抛物线y＝x2＋kx－k2的对称轴在y轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向
上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点．则k的值是( )
A. －5或2 B. －5 C. 2 D. －2
39. (2021黔东南州)如图，抛物线L：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴只有一个公共点A(1，0)，与y轴交于点B(0，
1
2)，虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移2个单位长度得抛物线L，则图中两个阴影部分的面积和为( )
2
INCLUDEPICTURE "D:\\1课件\\0. 2023\\2023版中考真题分类卷Word\\分类数李含122.tif" \*
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第39题图
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
40. (2022无锡)把二次函数y＝x2＋4x＋m的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，如果平
移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么m应满足条件：________．
41. (新考法)·结合胶片的平移考查二次函数的性质 (2022河北)如图，点P(a，3)在抛物线C：y＝4－(6－x)2上，
且在C的对称轴右侧．
(1)写出C的对称轴和y的最大值，并求a的值；
(2)坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为P′，C′.平移该胶片，使C′所在
抛物线对应的函数恰为y＝－x2＋6x－9，求点P′移动的最短路程．
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1 1 中考原创好题用MERGEFORMATINET
第41题图
类型二 轴对称(折叠)
42. (2020陕西)在同一平面直角坐标系中，若抛物线y＝mx2＋2x－n与y＝－6x2－2x＋m－n关于x轴对称，则
m，n的值为( )
A. m＝－6，n＝－3 B. m＝－6，n＝3
C. m＝6，n＝－3 D. m＝6，n＝3
43. (2022玉林)小嘉说：将二次函数y＝x2的图象平移或翻折后经过点(2，0)有4种方法：
①向右平移2个单位长度；
②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度；
③向下平移4个单位长度；
④沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度．
你认为小嘉说的方法中正确的个数有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
44. (2021广元)将二次函数y＝－x2＋2x＋3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图
所示．当直线y＝x＋b与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为( )
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1 2 中考原创好题用MERGEFORMATINET
第44题图
A. －或－3 B. －或－3
C. 或－3 D. 或－3
类型三 中心对称或旋转
45. (2021眉山)在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2－4x＋5与y轴交于点C，则该抛物线关于点C成中心对称
的抛物线的表达式为( )
A. y＝－x2－4x＋5
B. y＝x2＋4x＋5
C. y＝－x2＋4x－5
D. y＝－x2－4x－5
46. (2022黔东南州)在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2＋2x－1先绕原点旋转180°，再向下平移5个单位，
所得到的抛物线的顶点坐标是________．
第十讲 二次函数的实际应用
类型一 利润(费用)最值问题
1. (2022铁岭葫芦岛)某蔬菜批发商以每千克18元的价格购进一批山野菜，市场监督部门规定其售价每千克
不高于28元．经市场调查发现，山野菜的日销售量y(千克)与每千克售价x(元)之间满足一次函数关系，部分
数据如下表：
每千克售价x(元) … 20 22 24 …
日销售量y(千克) … 66 60 54 …
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)当每千克山野菜的售价定为多少元时，批发商每日销售这批山野菜所获得的利润最大？最大利润为多少
元？
1 3 中考原创好题用2. (2022贺州)2022年在中国举办的冬奥会和残奥会令世界瞩目，冬奥会和残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融
家喻户晓，成为热销产品．某商家以每套34元的价格购进一批冰墩墩和雪容融套件．若该产品每套的售价是
48元时，每天可售出200套；若每套售价提高2元，则每天少卖4套．
(1)设冰墩墩和雪容融套件每套售价定为x元时，求该商品销售量y与x之间的函数关系式；
(2)求每套售价定为多少元时，每天销售套件所获利润W最大，最大利润是多少元？
3. (2022荆州)某企业投入60万元(只计入第一年成本)生产某种产品，按网上订单生产并销售(生产量等于销
售量).经测算，该产品网上每年的销售量y(万件)与售价x(元/件)之间满足函数关系式y＝24－x，第一年除60
万元外其他成本为8元/件．
(1)求该产品第一年的利润w(万元)与售价x之间的函数关系式；
(2)该产品第一年利润为4万元，第二年将它全部作为技改资金再次投入(只计入第二年成本)后，其他成本下
降2元/件．①求该产品第一年的售价；②若第二年售价不高于第一年，销售量不超过13万件，则第二年利润
最少是多少万元？
4. (2022黄冈)为增强民众生活幸福感，市政府大力推进老旧小区改造工程．和谐小区新建一小型活动广场，
计划在360 m2的绿化带上种植甲乙两种花卉．市场调查发现：甲种花卉种植费用y(元/m2)与种植面积x(m2)之
间的函数关系如图所示，乙种花卉种植费用为15元/m2.
(1)当x≤100时，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
(2)当甲种花卉种植面积不少于30 m2，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍时．
1 4 中考原创好题用①如何分配甲乙两种花卉的种植面积才能使种植的总费用w(元)最少？最少是多少元？
②受投入资金的限制，种植总费用不超过6000元，请直接写出甲种花卉种植面积x的取值范围．
INCLUDEPICTURE "D:\\1课件\\0. 2023\\2023版中考真题分类卷Word\\分类数李含125.tif" \*
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第4题图
5. (2022金华)“八婺”菜场指导菜农生产和销售某种蔬菜，提供如下信息：
①统计售价与需求量的数据，通过描点(图①)，发现该蔬菜需求量y (吨)关于售价x(元/千克)的函数图象可
需求
以看成抛物线，其表达式为y ＝ax2＋c，部分对应值如下表：
需求
售价x(元/千克) … 2.5 3 3.5 4 …
需求量y (吨) … 7.75 7.2 6.55 5.8 …
需求
②该蔬菜供给量y (吨)关于售价x(元/千克)的函数表达式为y ＝x－1，函数图象见图①.
供给 供给
③1～7月份该蔬菜售价x
售价
(元/千克)、成本x
成本
(元/千克)关于月份t的函数表达式分别为x
售价
＝t＋2，x
成本
＝
t2－t＋3，函数图象见图②.
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1 5 中考原创好题用MERGEFORMATINET
第5题图
请解答下列问题：
(1)求a，c的值；
(2)根据图②，哪个月出售这种蔬菜每千克获利最大？并说明理由；
(3)求该蔬菜供给量与需求量相等时的售价，以及按此价格出售获得的总利润．
类型二 抛物线型问题
6. (2022甘肃省卷)如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛
物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系：h＝－5t2＋
20t，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间t＝________s.
INCLUDEPICTURE "D:\\1课件\\0. 2023\\2023版中考真题分类卷Word\\分类数李含127.tif" \*
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第6题图
1 6 中考原创好题用7. (2022连云港)如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线y＝－0.2x2＋x＋2.25运行，然后准确落入篮筐内，已
知篮筐的中心离地面的高度为3.05 m，则他距篮筐中心的水平距离OH是________m.
INCLUDEPICTURE "D:\\1课件\\0. 2023\\2023版中考真题分类卷Word\\分类数李含200.tif" \*
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第7题图
8. (新趋势)·真实问题情境 (2022南充)如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，
喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷
头高2.5 m时，水柱落点距O点2.5 m；喷头高4 m时，水柱落点距O点3 m．那么喷头高________m时，水柱
落点距O点4 m.
INCLUDEPICTURE "D:\\1课件\\0. 2023\\2023版中考真题分类卷Word\\分类数李含128.tif" \*
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第8题图
9. (2022陕西)现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段OE表示水平的路面，以O为坐标原点，
以OE所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：OE＝10
m，该抛物线的顶点P到OE的距离为9 m.
(1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式；
INCLUDEPICTURE "D:\\1课件\\0. 2023\\2023版中考真题分类卷Word\\分类数李含129.tif" \*
1 7 中考原创好题用MERGEFORMATINET
第9题图
(2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点A、B
到OE的距离均为6 m，求点A、B的坐标．
INCLUDEPICTURE "D:\\1 课 件 \\0. 2023\\2023 版 中 考 真 题 分 类 卷 Word\\ 链 接 标 .TIF" \*
MERGEFORMATINET 源自北师九下P61第21题
10. (2022河南)小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面
0.7 m，水柱在距喷水头P水平距离5 m处达到最高，最高点距地面3.2 m；建立如图所示的平面直角坐标系，
并设抛物线的表达式为y＝a(x－h)2＋k，其中x(m)是水柱距喷水头的水平距离，y(m)是水柱距地面的高度．
(1)求抛物线的表达式；
(2)爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3 m．身高1.6 m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接
触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．
INCLUDEPICTURE "D:\\1课件\\0. 2023\\2023版中考真题分类卷Word\\分类数李含130.tif" \*
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第10题图
1 8 中考原创好题用11. (新趋势)·真实问题情境 (2022北京)单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大
跳台．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着
陆的过程中，运动员的竖直高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)近似满足函数关系y＝a(x－h)2＋k(a<0).
INCLUDEPICTURE "D:\\1课件\\0. 2023\\2023版中考真题分类卷Word\\分类数李含131.tif" \*
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第11题图
某运动员进行了两次训练．
(1)第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
水平距离x/m 0 2 5 8 11 14
竖直高度y/m 20.00 21.40 22.75 23.20 22.75 21.40
根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系y＝a(x－h)2＋k(a<0)；
(2)第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝－0.04(x－9)2＋23.24.记该运动
员第一次训练的着陆点的水平距离为d ，第二次训练的着陆点的水平距离为d ，则d________d(填”>”
1 2 1 2
“＝”或“<”).
12. (新趋势)·真实问题情境 (2022江西)跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳
后飞行的路线是抛物线的一部分(如图中实线部分所示)，落地点在着陆坡(如图中虚线部分所示)上，着陆坡
上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高.2022年北京冬奥会跳台滑
雪标准台的起跳台的高度OA为66 m，基准点K到起跳台的水平距离为75 m，高度为h m(h为定值).设运动
1 9 中考原创好题用员从起跳点A起跳后的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系为y＝ax2＋bx＋c(a≠0).
(1)c的值为________；
(2)①若运动员落地点恰好到达K点，且此时a＝－，b＝，求基准点K的高度h；
②若a＝－时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为________；
(3)若运动员飞行的水平距离为25 m时，恰好达到最大高度76 m，试判断他的落地点能否超过K点，并说明
理由．
INCLUDEPICTURE "D:\\1课件\\0. 2023\\2023版中考真题分类卷Word\\分类数李含132.tif" \*
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第12题图
类型三 几何图形(面积)问题
13. (2022课标样题改编) (2022自贡)九年级2班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，
准备围成一边靠墙(墙足够长)的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰三角形(底边
靠墙)、半圆形这三种方案，最佳方案是( )
INCLUDEPICTURE "D:\\1课件\\0. 2023\\2023版中考真题分类卷Word\\分类数李含133.tif" \*
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A. 方案1 B. 方案2
C. 方案3 D. 方案1或方案2
14. (2022无锡)某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙(墙的长度为
10 m)，另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1∶2的矩形，已知栅栏的总长度为24 m，设较
2 0 中考原创好题用小矩形的宽为x m(如图).
(1)若矩形养殖场的总面积为36 m2，求此时x的值；
(2)当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
INCLUDEPICTURE "D:\\1课件\\0. 2023\\2023版中考真题分类卷Word\\分类数李含134.tif" \*
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第14题图
15. (2022湘潭)为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙
(墙长12 m)和21 m长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案(除围墙
外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙)，请根据设计方案回答下列问题：
(1)方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度AE＝1 m的水池，且需保证总种植面积
为32 m2，试分别确定CG、DG的长；
(2)方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问BC应设计为多长？此时最大面积为多少？
第15题图
参考答案
第四讲 方程(组)及其应用
31. C 32. x＝，x＝1
1 2
33. 解：任选两个方程求解即可．
①x2＋2x－1＝0，
x2＋2x＝1，
2 1 中考原创好题用(x＋1)2＝2，
∴x＋1＝±，
∴x＝－1±，
∴x＝－1＋，x＝－1－.
1 2
②x2－3x＝0，
x(x－3)＝0，
∴x＝0，x＝3.
1 2
③x2－4x＝4，
(x－2)2＝8，
∴x－2＝±2，
∴x＝2±2，
∴x＝2＋2，x＝2－2.
1 2
④x2－4＝0，
x2＝4，
∴x＝2，x＝－2.
1 2
34. B 【解析】将x＝－1代入x2＋x＋m＝0中，得0＋m＝0，解得m＝0，∴该一元二次方程为x2＋x＝0，解该
方程得x＝－1，x＝0，∴该方程的另一个根为0.
1 2
35. 1 【解析】∵x＝1是一元二次方程mx2＋nx－1＝0的一个解，∴m＋n－1＝0，即m＋n＝1.
36. A 【解析】Δ＝1－4×1×(－1)＝5＞0，∴方程有两个不相等的实数根．
37. C 【解析】根据题意得，Δ＝(－1)2－4×1×(－m)＝1＋4m≥0，解得m≥－.
38. 1
39. －1(答案不唯一) 【解析】设这个常数为m，∵关于x的方程有两个不相等的实数根，∴(－2)2－4m>0，解
得m<1，∴m可为－1.
40. 2 【解析】设一元二次方程x2－6x＋4＝0的两个实数根分别为x，x，∴直角三角形斜边的长是，∵x＋x
1 2
＝(x＋x)2－2xx＝62－2×4＝28，∴＝＝2.
1 2 1 2
41. 解：(1)∵一元二次方程x2＋3x＋k－2＝0有实数根，
∴b2－4ac＝32－4(k－2)＝－4k＋17≥0，
∴k≤；
(2)由题意可得x＋x＝－3，xx＝k－2，
1 2 1 2
∴(x＋1)(x＋1)＝xx＋(x＋x)＋1＝k－2＋(－3)＋1＝k－4.
1 2 1 2 1 2
∵(x＋1)(x＋1)＝－1，
1 2
2 2 中考原创好题用∴k－4＝－1，
∴k＝3.
42. C 【解析】∵第一个月销售额为8万元，月平均增长率为x，∴第二个月销售额为8(1＋x)万元，第三个月
销售额为8(1＋x)(1＋x)万元，即8(1＋x)2＝11.52.
43. 解：(1)设3月份再生纸产量为x吨，则4月份的再生纸产量为(2x－100)吨．
由题意得x＋(2x－100)＝800，
解得x＝300，
∴2x－100＝500.
答：4月份再生纸的产量为500吨；
(2)由题意得500(1＋m%)×1000(1＋%)＝660000，
整理得m2＋300m－6400＝0，
解得m＝20，m＝－320(不合题意，舍去)，
1 2
∴m的值为20；
(3)设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为y，5月份再生纸的产量为a吨，
1200(1＋y)2·a(1＋y)＝(1＋25%)×1200(1＋y)·a，
∴1200(1＋y)2＝1500.
答：6月份每吨再生纸的利润是1500元．
44. (1－2x)(7－2x)＝21
45. 解：设每千克降低x元，超市每天可获得销售利润3640元，
由题意得(38－x－22)(160＋×120)＝3640，
整理得x2－12x＋27＝0，
∴x＝3或x＝9.
∵要尽可能让顾客得到实惠，
∴x＝9，
∴售价为38－9＝29元/千克．
答：水果的销售价为每千克29元时，超市每天可获得销售利润3640元．
第九讲 二次函数的图象与性质
1. D 【解析】由题意可知，a＝1＞0，∴抛物线开口向上，顶点坐标为(2，1)，对称轴为直线x＝2，当x＜2时，y
随x的增大而减小．
2. y＝(x－2)2＋1 【解析】y＝x2－4x＋5＝x2－4x＋4＋1＝(x－2)2＋1.
3. B 【解析】∵二次函数的解析式为y＝(x－1)2＋n，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∵a＝1，∴抛物线开口
2 3 中考原创好题用向上，∴抛物线上的点距对称轴距离越近其函数值越小，当A，B在对称轴异侧时，1－(m－1)＜m－1，解得m
＞；当A，B在对称轴同侧时，则m－1＞1，解得m＞2，综上所述，m＞.
【一题多解】∵A(m－1，y)，B(m，y)都在二次函数y＝(x－1)2＋n的图象上，∴y＝(m－1－1)2＋n＝(m－2)2＋
1 2 1
n，y＝(m－1)2＋n，∵y＜y，∴(m－2)2＋n＜(m－1)2＋n，∴(m－2)2－(m－1)2＜0，即－2m＋3＜0，∴m＞.
2 1 2
4. B 【解析】∵y＝x2－2x－3，∴二次函数图象开口向上，对称轴为直线x＝－＝－＝1，∴距离对称轴越近的
点的纵坐标越小，∵－1＜x＜0，1＜x＜2，x＞3，∴|x－1|＜|x－1|＜|x－1|，∴y＜y＜y.
1 2 3 2 1 3 2 1 3
5. D 【解析】y＝2x2－4x－1的对称轴为直线x＝1，若0≤a≤1，则当x＝0时，y取得最大值，此时y＝－1，不
符合题意，故a＞1，将y＝15代入，解得x＝－2(不符合题意，舍去)，x＝4.故a＝4.
1 2
6. D 【解析】∵点A，B，C都在抛物线y＝(x－1)2－2上，点A在点B左侧，∴抛物线开口向上，对称轴为直线
x＝1，∴若c＜0，则c＜a＜b，若c＞0，则a＜b＜c.
7. A 【解析】∵M，N两点在抛物线上，∴y＝mx－2m2x＋n，y＝mx－2m2x＋n，∵y0，m(x＋x)＞2m2，①当m>0时，m(x＋x)>2m2，x＋x>2m，∵x＋x>4，∴
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
对于x＋x>4都有x＋x>2m，∴4≥2m，解得m≤2，∴02m2，x＋x<2m<0与
1 2 1 2 1 2 1 2
x＋x>4矛盾，∴这种情况不成立，综上所述，00 ，即b＜0，∵二次函数y＝ax2－bx＋c(a≠0)的图象经过第一
象限的点(1，－b)，∴－b＝a－b＋c，∴c＝－a，∴一次函数y＝bx－ac＝bx＋a2，∵b＜0，a2＞0，∴一次函数y
＝bx－ac的图象不经过第三象限．
16. B 【解析】由图象可得，该抛物线与x轴有两个交点，则b2－4ac>0，故①正确；∵抛物线y＝ax2＋bx＋c
与x轴相交于点A(－2，0)，B(6，0)，∴抛物线的对称轴为直线x＝－＝＝2，整理可得4a＋b＝0，故②正确；由
图象可得，当y＞0时，x＜－2或x＞6，故③错误；由图象可得，当x＝1时，图象在x轴下方，∴y＝a＋b＋c＜
0，故④正确，∴正确的结论有①②④，共3个．
17. B 【解析】∵图象开口向下，∴a＜0，∵对称轴为直线x＝－＝1，∴b＝－2a＞0，∵图象与y轴的交点在y
轴正半轴，∴c＞0，∴abc＜0，∴①错误；∵－＝1，∴2a＝－b，∴2a＋b＝0，∴②错误；由图象可知抛物线与x
轴的另一个交点在(2，0)，(3，0)之间，∴当x＝3时，y＜0，∴9a＋3b＋c＜0，∴③错误；∵二次函数的图象与x
轴有两个交点，∴b2－4ac＞0，∴b2＞4ac，∴④正确；当x＝－1时，y＜0，∴a－b＋c＜0，∴a＋c＜b，∴⑤正确，
∴正确的结论为④⑤，共2个．
18. C 【解析】∵抛物线的对称轴为直线x＝，∴x＝－＝，∴b＝－3a，∴3a＋b＝3a＋(－3a)＝0，故结论①正
确；∵点(，y)，(3，y)是抛物线上两点，且|－|＝1，|3－|＝，>1，由函数图象可知抛物线开口向上，∴a>0，∴距
1 2
离对称轴越远，y值越大，∴y0；A、B、D组成的二次函数图象开口向上，
a>0；B、C、D组成的二次函数图象开口向下，a<0；A、D、C组成的二次函数图象开口向下，a<0；即只需比较
A、B、D组成的二次函数和A、B、C组成的二次函数a的值即可．设A、B、C组成的二次函数解析式为y＝ax2
1 1
＋bx＋c，把A(0，2)代入解析式得，c＝2，把B(1，0)，C(3，1)代入解析式得，，解得a＝；设A、B、D组成的二
1 1 1 1
次函数解析式为y＝ax2＋bx＋c，把A(0，2)代入解析式得c＝2，把B(1，0)，D(2，3)代入解析式得，解得a
2 2 2 2 2 2
＝，∴＜，即a的值最大为.
21. 3 【解析】由二次函数y＝－(x＋2)2＋h可知，抛物线的对称轴为直线x＝－2，∴A(－4，3)关于对称轴的
对称点为(0，3).∵B(0，k)在二次函数y＝－(x＋2)2＋h的图象上，∴点B就是点A的对称点，∴k＝3.
22. y＝－x2＋2x＋3 【解析】由题意可知c＝3，∴设表中y与x的函数关系式为y＝ax2＋bx＋3，将表中(1，4)，
(－1，0)代入函数关系式，得，解得，∴函数表达式为y＝－x2＋2x＋3.当x＝3时，y＝－x2＋2x＋3＝0，∴(3，0)
也符合所求得的函数关系式．
23. D 【解析】∵抛物线y＝x2＋mx的对称轴为直线x＝2，∴－＝2，解得m＝－4，∴所求方程为x2－4x－5＝
0，即(x－2)2＝9，解得x＝－1，x＝5.
1 2
24. C 【解析】∵直线y＝kx＋2过一、二、三象限，∴k＞0，要求直线y＝kx＋2与抛物线y＝x2－2x＋3的交点
个数，只需令x2－2x＋3＝kx＋2，化简得x2－(2＋k)x＋1＝0，∵Δ＝(2＋k)2－4＝4＋4k＋k2－4＝4k＋k2＞0，∴
方程有两个不相等的实数根，∴直线y＝kx＋2与抛物线y＝x2－2x＋3有两个交点．
25. D 【解析】原二次函数可化为y＝3x2－12ax＋12a2＋a，∵对称轴在y轴的右侧；∴－>0，即a＞0，又∵二
次函数y＝(x－a)2＋(x－2a)2＋(x－3a)2－2a2＋a的图象与直线y＝4有两个不同的交点，∴方程3x2－12ax＋
12a2＋a＝4有两个不同的根，∴Δ＝(－12a)2－4×3×(12a2＋a－4)>0，即－12a＋48＞0，∴a＜4，综上所述0
＜a＜4.
26. C 【解析】∵抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(1，0)，∴a＋b＋c＝0，∴b＝－(a＋c)，∴－＝，∵02a，∴>1，即－>1，∴－b>2a，∴2a＋b<0，故结论①正确；由①可知抛物线的对称轴在直线x＝1右侧，如解
图，当x>1且在对称轴右侧时，y随x的增大而增大，故结论②错误；由a＋b＋c＝0，得b＋c＝－a，代入ax2＋
bx＋(b＋c)＝0中，得ax2＋bx－a＝0，∴Δ＝b2－4a·(－a)＝b2＋4a2＞0，故结论③正确．∴正确的结论有2个．
第26题解图
27. A 【解析】根据题意四个命题中只有一个命题是假命题，当命题①②成立时，对称轴为直线x＝2，且函数
2 6 中考原创好题用图象与x轴的交点位于y轴右侧，则命题③④均不成立；当命题③④均成立时，∵对称轴为直线x＝1，∴a＝
－2，∵函数图象与x轴的交点位于y轴两侧，∴xx＜0，则b＜0，当命题①成立时，b＝1，不符合结论，当命
1 2
题②成立时，b＝－3，符合结论，∴此时只有命题①为假命题．
28. D 【解析】∵点A，B的坐标分别为(－3，－2)和(1，－2)，∴线段AB与y轴的交点为(0，－2)，又∵抛物线
的顶点在线段AB上运动，抛物线与y轴的交点坐标为(0，c)，∴c≥－2(顶点在y轴上时取“＝”)，故①正确；
∵抛物线的顶点在线段AB上运动，∴若对称轴0＜x≤1，当x＞0时，不能保证y随x的增大而增大，故②错
误；若点D横坐标的最小值为－5，则此时的对称轴为直线x＝－3，点C横坐标为2×(－3)－(－5)＝－1，根
据抛物线的对称性，点C横坐标的最大值为－1＋4＝3，故③正确；令y＝0，则ax2＋bx＋c＝0，CD2＝(－)2－4·
＝，根据顶点公式得＝－2，∴CD2＝，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD＝1－(－3)＝4，∴＝42，解得
a＝，故④正确．综上所述，正确的是①③④.
29. 解：(1)由题意知－＝1，∴a＝1；
(2)y＞y；理由如下：
1 2
∵－1＜x＜0，∴1＜y＜4，
1 1
又∵1＜x＜2，∴0＜y＜1，故y＞y；
2 2 1 2
(3)由x2－2x＋1＝m，得(x－1)2＝m，故x＝1－，x＝1＋.
1 2
∴线段AB的长为x－x＝(1＋)－(1－)＝2.
2 1
由3(x－1)2＝m，得(x－1)2＝，故x＝1－，x＝1＋.
3 4
∴线段CD的长度为x－x＝(1＋)－(1－)＝.
4 3
故线段AB与线段CD的长度之比为＝.
30. 解：(1)①把(3，1)代入y＝a(x－2)2－1中，解得a＝2，
∴二次函数的表达式为y＝2(x－2)2－1；
②由①可知y＝2(x－2)2－1，
∴对称轴为直线x＝2，顶点坐标为(2，－1).
∵x－x＝3，y＝y，
2 1 1 2
∴MN∥x轴，
∴x－2＝，解得x＝，
2 2
∴y＝，
2
∴顶点到MN的距离为＋1＝；
(2)如解图①，点M，N在对称轴异侧，且y≥y，
1 2
∴x＋3＞2，∴x＞－1，
1 1
由(1)②知x≤，
1
2 7 中考原创好题用∴－1＜x≤.
1
最大值为y＝a(x－2)2－1，最小值为－1，
1
∵y－(－1)＝1，
∴a(x－2)2－1－(－1)＝1，解得a＝，
1
∴≤(x－2)2＜9，
1
∴＜a≤；
如解图②，点M，N在对称轴异侧，且y＜y，
1 2
∴x＜2，
1
由(1)②得x＞，
1
∴＜x＜2.
1
最大值为y＝a(x－2)2－1，最小值为－1，
2
∵y－(－1)＝1，
∴a(x－2)2－1－(－1)＝1，解得a＝，
2
∴＜(x＋1)2＜9，
1
∴＜a＜；
综上所述，a的取值范围为＜a≤.
第30题解图
31. (1)解：将点O(0，0)代入y＝x2＋(m－2)x＋m－4，解得m＝4，由m＞2，则m＝4符合题意．
∴y＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，
∴A(－1，－1)；
(2)证明：由二次函数顶点坐标公式得(，).
∵m＞2，∴m－2＞0，
∴2－m＜0，∴＜0.
∵＝－(m－4)2－1≤－1＜0，
∴二次函数y＝x2＋(m－2)x＋m－4的顶点在第三象限；
(3)解：设平移后图象对应的二次函数表达式为y＝x2＋bx＋c，其顶点坐标为(－，).
当x＝0时，B(0，c)，将(－，)代入y＝－x－2，得c＝.
2 8 中考原创好题用∵B(0，c)在y轴的负半轴上，
∴c＜0，∴OB＝－c＝－.
如解图，过点A作AH⊥OB，垂足为H，
∵A(－1，－1)，∴AH＝1.
在△AOB中，S ＝OB·AH＝×(－)×1＝－b2－b＋1＝－(b＋1)2＋.
△AOB
∴当b＝－1时，此时c＜0，△AOB的面积有最大值，最大值为.
第31题解图
32. 解：(1)∵抛物线y＝a(x－2)2＋3与y轴交于点A(0，)，
∴4a＋3＝，
∴a＝－，
∴抛物线的解析式为y＝－(x－2)2＋3；
(2)∵直线y＝kx＋与抛物线有两个交点，
∴kx＋＝－(x－2)2＋3，
整理得x2＋(3k－4)x－3＝0，
∴Δ＝(3k－4)2＋12＞0，
∵x＋x＝4－3k，x·x＝－3，
1 2 1 2
∴x＋x＝(4－3k)2＋6＝10，
∴k＝或k＝2，
∴k的值为2或；
(3)∵抛物线的对称轴为直线x＝2，
∴若m＜2，当x＝m时，y有最大值，
＝－(m－2)2＋3，
解得m＝±，
∴m＝－，
若m≥2，当x＝2时，y有最大值，
∴＝3，
∴m＝，
2 9 中考原创好题用综上所述，m的值为－或.
33. C 【解析】∵抛物线y＝a(x－h－m)2＋k的图象可由抛物线y＝a(x－h)2＋k向右平移m个单位得到，又
∵y＝a(x－h－m)2＋k与x轴的一个交点为(4，0)∴分2种情况，①点(4，0)由点A(－1，0)向右平移5个单位而
得到，此时m＝5；②点(4，0)由点B(3，0)向右平移1个单位而得到，此时m＝1，∴m＝5或m＝1.
34. A 【解析】抛物线y＝x2的顶点坐标为(0，0)，向上平移3个单位后，顶点坐标为(0，3)，所以抛物线的解析
式变为y＝x2＋3.
35. D 【解析】将二次函数图象向下平移，不改变开口方向，不改变对称轴，不改变增减性，故选项A，B，C正
确；抛物线与y轴交点坐标为(0，c)，将二次函数图象向下平移，交点坐标改变，故选项D错误．
36. C 【解析】将x轴向上平移2个单位长度，将y轴向左平移3个单位长度，即将抛物线y＝3(x－2)2＋1先
向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，∴平移后的抛物线的表达式为y＝3(x－5)2－1.
37. D 【解析】抛物线的平移不改变开口大小，即二次项系数大小不变，故D选项符合题意．
38. B 【解析】将抛物线y＝x2＋kx－k2向右平移3个单位，得y＝(x－3)2＋k(x－3)－k2；再向上平移1个单位，
得y＝(x－3)2＋k(x－3)－k2＋1，∵得到的抛物线正好经过坐标原点，∴0＝(0－3)2＋k(0－3)－k2＋1，即k2＋3k
－10＝0，解得k＝－5或k＝2，∵抛物线y＝x2＋kx－k2的对称轴在y轴右侧，∴－＞0，∴k＜0，∴k＝－5.
39. B 【解析】设平移后的抛物线的顶点为点C，如解图，连接AB，OC，由对称性质知，阴影部分的面积等于
曲线AB，曲线OC，线段OB，线段AC构成的封闭图形的面积，由割补法知，曲线AB，曲线OC，线段OB，线段
AC构成的封闭图形的面积等于平行四边形ABOC的面积，∴S ＝S ＝AC·OA＝2×1＝2.
阴影 ▱ABOC
第39题解图
40. m＞3 【解析】∵y＝x2＋4x＋m＝(x＋2)2＋m－4，∴平移后的解析式为y＝(x＋2－3)2＋m－4＋1＝(x－1)2
＋m－3，∵a＝1＞0，∴抛物线开口向上，∵平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，∴抛物线与y
轴交于正半轴，与x轴没有交点，即顶点坐标(1，m－3)在x轴的上方，∴m－3＞0，解得m＞3.
41. 解：(1)∵y＝4－(6－x)2＝－(x－6)2＋4，
∴抛物线C的对称轴为直线x＝6，
当x＝6时，y的最大值为4，
把点P(a，3)代入y＝－(x－6)2＋4可得，
3＝－(a－6)2＋4，解得a＝5或a＝7，
∵点P在C的对称轴右侧，∴a＝7；
3 0 中考原创好题用(2)由(1)可知点P的坐标为(7，3)，C的顶点坐标为(6，4)，
∵y＝－x2＋6x－9＝－(x－3)2，
∴C′的顶点坐标为(3，0)，
∴由C平移到C′平移方式为向左平移3个单位、向下平移4个单位，
∴平移后P′的坐标为(4，－1)，
∴点P′移动的最短路程为＝5.
42. D 【解析】∵抛物线y＝mx2＋2x－n与y＝－6x2－2x＋m－n关于x轴对称，∴y＝－mx2－2x＋n与y＝－
6x2－2x＋m－n相同，∴m＝6，n＝3.
43. D 【解析】①将y＝x2向右平移2个单位后得到y＝(x－2)2，图象经过点(2，0)；②将y＝x2向右平移1个单
位，再向下平移1个单位后得到y＝(x－1)2－1，图象经过点(2，0)；③将y＝x2向下平移4个单位后得到y＝x2
－4，图象经过点(2，0)；④将y＝x2沿x轴翻折，再向上平移4个单位后得到y＝－x2＋4，图象经过点(2，0).∴
小嘉说的方法中正确的有4个．
44. A 【解析】由y＝－x2＋2x＋3知，当y＝0时，即－x2＋2x＋3＝0，解得x＝－1，x＝3，∴A(－1，0)，B(3，
1 2
0)，由题意知，当－1≤x≤3的函数图象由y＝－x2＋2x＋3的图象关于x轴对称得到，∴当－1≤x≤3时对应
的解析式为y＝x2－2x－3，如解图，作函数y＝x的图象并平移至过点B时，恰与新函数图象有三个交点，此
时有0＝3＋b，∴b＝－3，平移函数y＝x的图象至过点C(C为切点)时，恰与新函数图象有三个交点，联立，整
理得x2－3x－3－b＝0，∴Δ＝(－3)2－4×1×(－3－b)＝21＋4b＝0，∴b＝－，综上所述b＝－3或－.
第44题解图
45. A 【解析】令x＝0，解得y＝5，∴C(0，5)，∵y＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1，∴顶点坐标为(2，1)，点(2，1)关于
点C中心对称的坐标为(－2，9)，∴设中心对称后的抛物线的表达式为y＝a(x＋2)2＋9，代入点C的坐标，得
4a＋9＝5，解得a＝－1，∴中心对称后抛物线的表达式为y＝－(x＋2)2＋9＝－x2－4x＋5.
46. (1，－3)
第十讲 二次函数的实际应用
1. 解：(1)设y与x之间的函数关系式是y＝kx＋b，
当x＝20时，y＝66，当x＝22时，y＝60，
3 1 中考原创好题用∴，
解得，
∴y与x之间的函数关系式是y＝－3x＋126；
(2)设批发商日销售利润为w元，根据题意，
得w＝(x－18)(－3x＋126)
＝－3x2＋180x－2268
＝－3(x－30)2＋432，
∵a＝－3<0，
∴抛物线开口向下，
∴当x<30时，w随x的增大而增大，
∵18≤x≤28，
∴当x＝28时，w有最大值，
w最大 ＝－3×(28－30)2＋432＝420，
答：当每千克山野菜的售价定为28元时，批发商每日销售这批山野菜所获得的利润最大，最大利润为420元．
2. 解：(1)根据题意得y＝200－×4＝－2x＋296；
(2)根据题意得W＝y(x－34)＝(－2x＋296)(x－34)＝－2x2＋364x－10064＝－2(x－91)2＋6498，
∵－2＜0，对称轴为直线x＝91，
∴当x＝91时，W取得最大值，最大值为6498.
答：每套售价定为91元时，每天销售套件所获利润W最大，最大利润是6498元．
3. 解：(1)w＝y(x－8)－60＝(24－x)(x－8)－60，
整理得w＝－x2＋32x－252；
(2)①当w＝4时，－x2＋32x－252＝4，
解得x＝x＝16，
1 2
∴第一年的售价为16元；
②由题意，解得11≤x≤16，
w＝(x－8＋2)(24－x)－4＝－(x－15)2＋77.
∵15－11＞16－15，a＝－1＜0，
∴当x＝11时，w取最小值．
此时w＝－(11－15)2＋77＝61.
∴第二年利润最少是61万元．
4. 解：(1)当0＜x≤40时，y＝30；
3 2 中考原创好题用当40＜x≤100时，设函数关系式为y＝kx＋b，
∵线段过点(40，30)，(100，15)，
∴，
∴，
∴y＝－x＋40，
即y＝；
(2)∵甲种花卉种植面积不少于30 m2，
∴x≥30，
∵乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍，
∴360－x≥3x，
∴x≤90，
即30≤x≤90；
①当30≤x≤40时，
由(1)知，y＝30，
∵乙种花卉种植费用为15元/m2.
∴w＝yx＋15(360－x)＝30x＋15(360－x)＝15x＋5400，
当x＝30时，w ＝5850；
min
当40＜x≤90时，
由(1)知，y＝－x＋40，
∴w＝yx＋15(360－x)＝－(x－50)2＋6025，
∴当x＝90时，w ＝－(90－50)2＋6025＝5625，
min
∵5850＞5625，
∴种植甲种花卉90 m2，乙种花卉270 m2时，种植的总费用最少，最少为5625元；
②30≤x≤40或60≤x≤90
【解法提示】当30≤x≤40时，由①知，w＝15x＋5400，∵种植总费用不超过6000元，∴15x＋5400≤6000，
∴x≤40，即满足条件的x的取值范围为30≤x≤40；当40＜x≤90时，由①知，w＝－(x－50)2＋6025，∵种植
总费用不超过6000元，∴－(x－50)2＋6025≤6000，∴x≤40(不符合题意，舍去)或x≥60，即满足条件的x的
取值范围为60≤x≤90.综上所述，满足条件的x的范围为30≤x≤40或60≤x≤90.
5. 解：(1)把，，代入y ＝ax2＋c中，
需求
可得
②－①，得7a＝－1.4，解得a＝－，
3 3 中考原创好题用把a＝－代入①，得c＝9，
∴a＝－，c＝9；
(2)设这种蔬菜每千克获利w元，根据题意，
有w＝x
售价
－x
成本
＝t＋2－(t2－t＋3)，
化简，得w＝－t2＋2t－1＝－(t－4)2＋3，
∵－＜0，t＝4在1≤t≤7的范围内，
∴当t＝4时，w有最大值．
答：在4月份出售这种蔬菜每千克获利最大；
(3)由y ＝y ，得x－1＝－x2＋9，
供给 需求
化简，得x2＋5x－50＝0，解得x＝5，x＝－10(舍去)，
1 2
∴此时售价为5元/千克．
此时，y ＝y ＝x－1＝4(吨)＝4000(千克)，
供给 需求
把x＝5代入x ＝t＋2，得t＝6，
售价
把t＝6代入w＝－t2＋2t－1，得w＝－×36＋2×6－1＝2，
∴总利润＝w·y＝2×4000＝8000(元).
答：该蔬菜供给量与需求量相等时的售价为5元/千克，按此价格出售获得的总利润为8000元．
6. 2 【解析】∵h＝－5t2＋20t＝－5(t2－4t)＝－5(t－2)2＋20，∴t＝2时，h最大．
【一题多解】∵小球飞行高度的最高点是抛物线的顶点处，∴t＝－＝－＝2.
7. 4 【解析】∵篮筐的中心离地面的高度为3.05 m，即y＝3.05，∴－0.2x2＋x＋2.25＝3.05，解得x＝1，x＝
1 2
4，观察图象，篮筐在抛物线对称轴右侧，且对称轴为直线x＝－＝2.5，∴x取4，即OH是4 m.
8. 8 【解析】抛物线上下平移，故抛物线解析式y＝ax2＋bx＋c中a和b的值不变．设y＝ax2＋bx＋c，由题
1 1
图可知c＝2.5，抛物线经过点(2.5，0)得a＋b＋＝0，设y＝ax2＋bx＋c，由题图可知c＝4，抛物线经过点(3，
1 2 2 2
0)得9a＋3b＋4＝0，解得a＝－，b＝，设y＝－x2＋x＋c，由题图可知抛物线经过点(4，0)得c＝8.
3 3 3
9. 解：(1)由题意得，顶点P(5，9)，
设抛物线的函数表达式为y＝a(x－5)2＋9，
将(0，0)代入，得0＝a(0－5)2＋9，
解得a＝－，
∴抛物线的函数表达式为y＝－(x－5)2＋9；
(2)令y＝6，得－(x－5)2＋9＝6，
解得x＝5＋，x＝5－，
1 2
∴A(5－，6)，B(5＋，6).
3 4 中考原创好题用10. 解：(1)由题意知，点(5，3.2)是抛物线y＝a(x－h)2＋k的顶点，
∴y＝a(x－5)2＋3.2.
又∵抛物线经过点(0，0.7)，
∴0.7＝a(0－5)2＋3.2.
解得a＝－0.1.
∴抛物线的表达式为y＝－0.1(x－5)2＋3.2(或y＝－0.1x2＋x＋0.7)；
(2)当y＝1.6时，1.6＝－0.1(x－5)2＋3.2.
解得x＝1，x＝9.
1 2
当y＝0时，即－0.1(x－5)2＋3.2＝0，
解得x＝5＋4，(负值已舍去)
∵9＜5＋4，
∴3－1＝2，9－3＝6.
答：小红与爸爸的水平距离为2 m或6 m.
11. 解：(1)该运动员竖直高度的最大值为23.2 m，
由点(5，22.75)和(11，22.75)可知，该抛物线的对称轴为直线x＝＝8，
∴h＝8，k＝23.2，
将点(0，20)代入y＝a(x－8)2＋23.2中，
得64a＋23.2＝20，
解得a＝－0.05，
∴该函数满足的函数关系为y＝－0.05(x－8)2＋23.2；
(2)<.
【解法提示】∵抛物线y＝－0.05(x－8)2＋23.2与y＝－0.04(x－9)2＋23.24都经过(0，20)，且抛物线y＝－
0.04(x－9)2＋23.24的开口比抛物线y＝－0.05(x－8)2＋23.2的开口大，抛物线y＝－0.04(x－9)2＋23.24的对
称轴为直线x＝9，∴第二次着陆点的水平距离比第一次着陆点的水平距离大．
12. 解：(1)66；
【解法提示】∵OA＝66，根据题意可知点A在y轴正半轴上，∴点A的坐标为(0，66)，将点A的坐标代入y＝
ax2＋bx＋c中得c＝66.
(2)①∵a＝－，b＝，c＝66，
∴y＝－x2＋x＋66，
当x＝75时，y＝－×752＋×75＋66＝21，
∴h＝21.
3 5 中考原创好题用答：基准点K的高度h为21 m；
②b>；
【解法提示】∵a＝－，c＝66，∴y＝－x2＋bx＋66，∴对称轴为直线x＝25b，∵y＝－x2＋x＋66的对称轴为直
线x＝22.5，∵运动员落地点要超过K点，∴直线x＝25b要在直线x＝22.5的右侧，∴25b>22.5，∴b>.
(3)他的落地点能超过K点．
理由：∵运动员飞行的水平距离为25 m时，恰好达到最大高度76 m，
∴抛物线顶点坐标为(25，76)，
∴设抛物线解析式为y＝a(x－25)2＋76.
∵抛物线y＝a(x－25)2＋76经过点A(0，66)，
∴66＝a(0－25)2＋76，
解得a＝－，
∴y＝－(x－25)2＋76，
当x＝75时，y＝－×(75－25)2＋76＝36>21，
∴运动员的落地点能超过K点．
13. C 【解析】绳子的长度为8 m，方案1：设围成的矩形宽为x m，那么长为(8－2x) m．围成的面积为x(8－
2x)＝－2(x－2)2＋8，(0＜x＜4)，利用二次函数的图象性质可求得当x＝2时取得最大值为8平方米；方案2：
如解图，BD为AC边上的高，AB＝BC＝4，AC＝2a，BD＝b，则△ABC的面积为AC·BD＝×2a×b＝ab，∵a2＋
b2＝42＝16，(a－b)2≥0，∴a2＋b2－2ab≥0，得ab≤8，∴△ABC的面积最大为8平方米；方案3：半圆的半径
为r＝，∴面积为πr2＝π×()2＝≈10平方米．∴方案3围成半圆形的面积最大．
第13题解图
14. 解：(1)∵两个矩形面积的比为1∶2，且长相同，
∴较大矩形的宽为2x m，则大矩形垂直于墙面的长度为＝(8－x)m，
根据题意得(x＋2x)(8－x)＝36，
解得x＝2，x＝6，
1 2
当x＝2时，大矩形平行于墙面的长度为3x＝6；
当x＝6时，大矩形平行于墙面的长度为3x＝18＞10，
不符合题意；
3 6 中考原创好题用答：此时x的值为2 m；
(2)设养殖场的总面积为y m2，根据题意得，
y＝(x＋2x)(8－x)＝－3(x2－8x)＝－3(x－4)2＋48，
∵x＋2x≤10，
∴x≤，
∵－3＜0，
∴在对称轴x＝4的左侧，y随x的增大而增大，
∴当x＝时，y有最大值，y ＝－3×(－4)2＋48＝.
最大
答：当x＝时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为 m2.
15. 解：(1)设CG＝x m，则DG＝(12－x) m，BC＝＝3 m，
根据题意得，12×3－1×(12－x)＝32，
解得x＝8，
∴CG＝8 m，DG＝4 m；
(2)设BC＝x m，则CD＝(21－3x) m，
由题知3x＜21，21－3x≤12，
∴3≤x＜7，
设围成的两块矩形总种植面积为S，
∴总的种植面积为S＝x(21－3x)＝－3x2＋21x＝－3(x－3.5)2＋，
∴当x＝3.5时，S取最大值为，
故当BC设计为3.5 m时，此时矩形总种植面积最大为 m2.
3 7 中考原创好题用
