专题08二次函数及其应用（5年汇编）（浙江专用）（答案版）_2026秋初中教辅合集_2027学科网&_2027新好题汇编_2027新好题汇编2022-2026年中考数学真题分类汇编（浙江专用）

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专题08 二次函数及其应用
5 年真题1 年模拟
考点01
二次函数图象与性质
1．D
2．A
3．C
4．C
5．D
6．B
7．D
8．A
9．B
10．D
11．D
【分析】分两种情况讨论，并且利用二次函数的性质即可解答．
12．
【详解】（1）解：把（0，-3），（-6，-3）代入y＝െݔʹ ൅ܾݔ൅ܿ，得∶ܿ
ൌെ͵
െ͵͸ െ͸ܾ൅ܿ
ൌെ͵ ，解得：ܾ
ൌെ͸ܿ
ൌെ͵ ；
（2）解：由（1）得：该函数解析式为y＝െݔʹ െ͸ݔെ͵＝െሺݔ൅͵ሻʹ ൅͸，
∴抛物线的顶点坐标为（-3，6），
∵-1＜0
∴抛物线开口向下，
又∵-4≤x≤0，
∴当x＝-3 时，y 有最大值为6．
（3）解：由（2）得：抛物线的对称轴为直线x=-3，
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∴当x＞-3 时，y 随x 的增大而减小；当x≤-3 时，y 随x 的增大而增大，
①当-3＜m≤0 时，
当x＝0 时，y 有最小值为-3，
当x＝m 时，y 有最大值为െ݉
ʹ െ͸݉
െ͵，
∴െ݉
ʹ െ͸݉
െ͵+（-3）＝2，
∴m＝-2 或m＝-4（舍去）．
②当m≤-3 时，
当x＝-3 时，y 有最大值为6，
∵y 的最大值与最小值之和为2，
∴y 最小值为-4，
∴െሺ݉
൅͵ሻʹ ൅͸=-4，
∴m＝െ͵ െ
ͳͲ或m＝െ͵ ൅
ͳͲ（舍去）．
综上所述，m＝-2 或െ͵ െ
ͳͲ．
考点02
二次函数解析式、图象变换与综合
1．
【详解】（1）解：把ͳ解Ͳ 代入ݕൌݔʹ െܽ
ݔ൅ͷ，得：ͳ െܽ
൅ͷ ൌͲ，解得：ܽ
ൌ͸；
（2）由（1）知：ݕൌݔʹ െ͸ݔ൅ͷ，
∴对称轴为直线ݔൌെ
െ͸
ʹൈͳ ൌ͵，
∵点ܣͲ解䁠在ݕ轴上，过点ܣͲ解䁠与x 轴平行的直线交抛物线于ܤ解ܥ两点，
∴ܤ解ܥ关于对称轴对称，ܤ解ܥ的纵坐标均为䁠，
又∵点B 为线段ܣܥ的中点，
∴ݔܥൌʹݔܤ，∴
ݔܤ൅ݔܥ
ʹ
ൌ
͵
ʹ ݔܤൌ͵，
∴ݔܤൌʹ，∴ݔൌʹ 代入ݕൌݔʹ െ͸ݔ൅ͷ，得：ݕൌʹʹ െ͸ ൈʹ ൅ͷ ൌെ͵，
∴䁠ൌെ͵；
（3）∵ݕൌݔʹ െ͸ݔ൅ͷ ൌݔെ͵ ʹ െͶ，
∴抛物线的顶点坐标͵解െͶ ，
当抛物线的一段ݕൌݔʹ െܽ
ݔ൅ͷሺ݉
൑ݔ൑݊
ሻ夹在两条均与x 轴平行的直线݈ͳ解݈ʹ之间时，݉
解݊
为直线与抛物线的交点，
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∴要使݊
െ݉
最大，则，݉
解݊
为一条直线与抛物线的交点，ݔൌ݉
和ݔൌ݊
关于对称轴对称，
又∵直线݈ͳ解݈ʹ之间的距离为16，为定值，
∴当一条直线恰好经过抛物线的顶点͵解െͶ ，即：ݕൌെͶ 时，݊െ݉
最大，此时另一条直线的解析式
为ݕൌͳ͸ െͶ ൌͳʹ，如图：
∴当ݔʹ െ͸ݔ൅ͷ ൌͳʹ 时，解得：ݔͳ ൌ香解ݔʹ ൌെͳ，
即：݊
ൌ香解݉
ൌെͳ，
∴݊
െ݉
的最大值为：香െെͳ ൌͺ．
2．
【详解】（1）解：设二次函数的解析式为ݕൌሺݔ൅
ͳ
ʹ ሻʹ ൅݇，把ܣሺെʹ解ͷሻ代入得ሺെʹ ൅
ͳ
ʹ ሻʹ ൅݇
ൌͷ，
解得݇
ൌ
ͳͳ
Ͷ ，
∴ݕൌሺݔ൅
ͳ
ʹ ሻʹ ൅
ͳͳ
Ͷ ൌݔʹ ൅ݔ൅͵；
（2）解：点B 平移后的点的坐标为ሺͳ െ݉
解䁩ሻ，
则䁩ൌሺͳ െ݉
ሻʹ ൅ሺͳ െ݉
ሻ൅͵，解得݉
ൌͶ 或݉
ൌെͳ（舍），
∴m 的值为Ͷ；
（3）解：当݊
൏െ
ͳ
ʹ时，
∴最大值与最小值的差为ͷ െሾሺ݊൅
ͳ
ʹ ሻʹ ൅
ͳͳ
Ͷ ሿൌ
䁩
Ͷ，解得：݊
ͳ ൌ݊
ʹ ൌെ
ͳ
ʹ不符合题意，舍去；
当െ
ͳ
ʹ ൑݊
൑ͳ 时，
∴最大值与最小值的差为ͷ െ
ͳͳ
Ͷ ൌ
䁩
Ͷ，符合题意；
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当݊
㠠ͳ 时，
最大值与最小值的差为ሺ݊൅
ͳ
ʹ ሻʹ ൅
ͳͳ
Ͷ െ
ͳͳ
Ͷ ൌ
䁩
Ͷ，解得݊
ͳ ൌͳ 或݊
ʹ ൌെʹ，不符合题意；
综上所述，n 的取值范围为െ
ͳ
ʹ ൑݊
൑ͳ．
3．
【详解】（1）解：∵二次函数ݕൌݔʹ ൅ܾݔ൅ܿ
图象经过点ܣሺͳ解െʹሻ和ܤሺͲ解െͷሻ．
∴ܿ
ൌെͷ
ͳ ൅ܾ
൅ܿ
ൌെʹ ，解得：ܾ
ൌʹܿ
ൌെͷ ，
∴抛物线为ݕൌݔʹ ൅ʹݔെͷ ൌݔ൅ͳ ʹ െ͸，
∴顶点坐标为：െͳ解െ͸ ；
（2）当ݕൌെʹ 时，ݔ൅ͳ ʹ െ͸ ൌെʹ，
∴ݔ൅ͳ ʹ ൌͶ
解得：ݔͳ ൌͳ，ݔʹ ൌെ͵，
如图，当ݕ൑െʹ 时，
∴െ͵ ൑ݔ൑ͳ．
4．
【详解】（1）解：当݉
ൌെͳ 时，图像过点ͳ解Ͳ 和െ͵解Ͳ ，
∴
Ͳ ൌܽ
൅ܾ
൅͵
Ͳ ൌ䁩ܽ
െ͵ܾ൅͵ ，解得ܽ
ൌെͳܾ
ൌെʹ ，
∴ݕൌെݔʹ െʹݔ൅͵，
∴ܽ
ൌെͳ解ܾൌെʹ．
（2）解：∵函数图像过点െ݉
解Ͳ 和͵݉
解Ͳ ，
∴函数图像的对称轴为直线ݔൌ݉
．
∵图像过点݊
解͵ 解Ͳ解͵ ，
∴根据图像的对称性得݊
ൌʹ݉
．
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∵െʹ ൏݉
൏െͳ，
∴െͶ ൏݊
൏െʹ．
（3）∵图像过点െ݉
解Ͳ 和͵݉
解Ͳ ，
∴根据图像的对称性得െܾʹܽൌ݉
．
∴ܾ
ൌെʹܽ݉
，顶点坐标为݉
解ܽ݉
ʹ ൅ܾ݉
൅͵ ．
将点െ݉
解Ͳ 和͵݉
解Ͳ 分别代人表达式可得
Ͳ ൌܽ݉
ʹ െܾ݉
൅͵①
Ͳ ൌ䁩ܽ݉
ʹ ൅͵ܾ݉
൅͵②
①ൈ͵ ൅②得ͳʹܽ݉
ʹ ൅ͳʹ ൌͲ，
∴ܽ݉
ʹ ൌെͳ．
∴ܽ݉
ʹ ൅ܾ݉
൅͵ ൌܽ݉
ʹ െʹܽ݉
ʹ ൅͵ ൌെܽ݉
ʹ ൅͵ ൌͶ．
∴
ͳʹܽെܾʹ
Ͷܽ
ൌͶ．
∴ͳʹܽെܾ
ʹ ൌͳ͸ܽ．
∴ܾʹ ൅Ͷܽ
ൌͲ．
5．
【详解】（1）∵二次函数ݕൌݔʹ െͶݔ൅ܿ
的图象与y 轴的交点坐标为Ͳ解ͷ ，
∴ܿൌͷ，
∴ݕൌݔʹ െͶݔ൅ͷ ൌݔെʹ ʹ ൅ͳ，
∴顶点M 的坐标是ʹ解ͳ ．
（2）①∵A 在x 轴上，B 的坐标为ͳ解ͷ ，
∴点A 的坐标是ͳ解Ͳ ．
当䁠ൌʹ 时，ܦԢ，ܣԢ的坐标分别是ʹ解Ͳ ，͵解Ͳ ．
当ݔൌ͵ 时，ݕൌ͵ െʹ ʹ ൅ͳ ൌʹ，即点Q 的纵坐标是2，
当ݔൌʹ 时，ݕൌʹ െʹ ʹ ൅ͳ ൌͳ，即点P 的纵坐标是1．
∵ܲܩ٣ ܣԢܤԢ，
∴点G 的纵坐标是1，
∴ܳܩൌʹ െͳ ൌͳ．
②存在．理由如下：
∵ᇞܲ
ܩܳ
的面积为1，ܲܩൌͳ，
∴ܳܩൌʹ．
根据题意，得P，Q 的坐标分别是䁠解䁠ʹ െͶ䁠൅ͷ ，䁠൅ͳ解䁠ʹ െʹ䁠൅ʹ ．
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如图1，当点G 在点Q 的上方时，ܳܩൌ䁠ʹ െͶ䁠൅ͷ െ䁠ʹ െʹ䁠൅ʹ ൌ͵ െʹ䁠ൌʹ，
此时䁠ൌ
ͳ
ʹ（在Ͳ ൏䁠൏͵ 的范围内），
如图2，当点G 在点Q 的下方时，ܳܩൌ䁠ʹ െʹ䁠൅ʹ െ䁠ʹ െͶ䁠൅ͷ ൌʹ䁠െ͵ ൌʹ，
此时䁠ൌ
ͷ
ʹ（在Ͳ ൏䁠൏͵ 的范围内）．
∴䁠ൌ
ͳ
ʹ或
ͷ
ʹ．
6．
【详解】（1）解：①∵ܱܥൌʹ，
∴顶点ܲ
的横坐标为1．
∴当ݔൌͳ 时，ݕൌ
ͷ
ʹ ݔ൅
ͷ ൌ
͵ ͷ
ʹ ，
∴点ܲ
的坐标是ͳ解
͵ ͷ
ʹ
．
设抛物线的函数表达式为ݕൌܽ
ሺݔെͳሻʹ ൅
͵ ͷ
ʹ ，把Ͳ解Ͳ 代入，
得Ͳ ൌܽ
൅
͵ ͷ
ʹ ，
解得ܽ
ൌെ
͵ ͷ
ʹ ．
∴该抛物线的函数表达式为ݕൌെ
͵ ͷ
ʹ ሺݔെͳሻʹ ൅
͵ ͷ
ʹ ，
即ݕൌെ
͵ ͷ
ʹ ݔʹ ൅͵ ͷݔ．
②如图1，过点ܧ作ܧܪ٣ܱ
ܥ于点ܪ．
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设直线ܤܥ为ݕൌ݇
ݔ൅
ͷ，把ܥʹ解Ͳ 代入，得Ͳ ൌʹ݇൅
ͷ，
解得݇
ൌെ
ͷ
ʹ ，
∴直线ܤܥ为ݕൌെ
ͷ
ʹ ݔ൅
ͷ．
同理，直线ܱܲ
为ݕൌ
͵ ͷ
ʹ ݔ．
由
ݕൌെ
ͷ
ʹ ݔ൅
ͷ解
ݕൌ
͵ ͷ
ʹ ݔǤ
解得
ݔൌ
ͳ
ʹ 解
ݕൌ
͵ ͷ
Ͷ Ǥ
∴ܧ
ͳ
ʹ 解
͵ ͷ
Ͷ
．
∴ܱܪൌ
ͳ
ʹ 解ܪܥൌʹ െ
ͳ
ʹ ൌ
͵
ʹ．
∵ܧܪצ ܤܱ，
∴
ܤܧ
ܧܥൌܱ
ܪ
ܪܥൌ
ͳ
͵．
（2）设点ܲ
的坐标为䁠解
ͷ
ʹ 䁠൅
ͷ ，则点ܦ的坐标为ʹ䁠െʹ解Ͳ ．
①如图ʹ െͳ，当䁠㠠ʹ 时，存在סܥܲܧൌסܤܣܱ．
记סܥܲܧൌסܤܣܱ
ൌߙ解סܣܲܥൌߚ，则סܣܲܦൌߙ൅ߚ．
∵סܲܥܦ为ᇞܲ
ܣܥ的外角，
∴סܲܥܦൌߙ൅ߚ．
∵ܲܥൌܲ
ܦ．
∴סܲܦܥൌסܲܥܦൌߙ൅ߚ．
∴סܣܲܦൌסܣܦܲ．
∴ܣܲ
ൌܣܦൌʹ䁠．
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过点ܲ
作ܲ
ܨ٣ ݔ轴于点ܨ，则ܣܨൌ䁠൅ʹ．
在Rt ᇞܣܲܨ中，cosסܤܣܱ
ൌ
ܣܨ
ܣܲൌ
ʹ
͵，
∴
䁠൅ʹ
ʹ䁠ൌ
ʹ
͵，解得䁠ൌ͸．
∴点ܲ
的横坐标为6．
②如图2-2，当Ͳ ൏䁠൑ʹ 时，存在סܥܲܧൌסܤܣܱ．
记סܥܲܧൌסܤܣܦൌߙ解סܣܲܦൌߚ．
∵סܲܦܥ为ᇞܲ
ܣܦ的外角，
∴סܲܦܥൌߙ൅ߚ．
∴סܲܥܦൌסܲܦܥൌߙ൅ߚ
∴סܣܲܥൌסܣܥܲ．
∴ܣܲ
ൌܣܥൌͶ．
过点ܲ
作ܲ
ܨ٣ ݔ轴于点ܨ，则ܣܨൌ䁠൅ʹ．
在Rt ᇞܣܲܨ中，cosסܤܣܱ
ൌ
ܣܨ
ܣܲൌ
ʹ
͵，
∴
䁠൅ʹ
Ͷ ൌ
ʹ
͵，解得䁠ൌ
ʹ
͵．
∴点ܲ
的横坐标为
ʹ
͵．
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③如图2-3，当െʹ ൏䁠൑Ͳ 时，存在סܥܲܧൌסܤܣܱ．记סܤܣܱ
ൌߙ．
∵ܲܥൌܲ
ܦ，
∴סܲܦܥൌסܲܥܦൌ
ͳ
ʹ סܥܲܧൌ
ͳ
ʹ ߙ．
∴סܣܲܦൌסܤܣܱ
െסܲܦܥൌߙെ
ͳ
ʹ ൌ
ͳ
ʹ ߙ．
∴סܣܲܦൌסܲܦܣ．
∴ܣܦൌܣܲ
ൌെʹ䁠．
过点ܲ
作ܲ
ܨ٣ ݔ轴于点ܨ，则ܣܨൌ䁠൅ʹ．
在Rt ᇞܣܲܨ中，
ܣܨ
ܣܲൌcosסܤܣܱ
ൌ
ʹ
͵，
∴
䁠൅ʹ
െʹ䁠ൌ
ʹ
͵，解得䁠ൌെ
͸
香．
∴点ܲ
的横坐标为െ
͸
香．
④如图2-4，当䁠൑െʹ 时，存在סܥܲܧൌסܤܣܱ．记סܤܣܱ
ൌߙ．
∵ܲܥൌܲ
ܦ，
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∴סܲܥܦൌסܲܦܥൌ
ͳ
ʹ סܥܲܧൌ
ͳ
ʹ ߙ．
∴סܣܲܥൌסܤܣܱ
െסܲܥܦൌߙെ
ͳ
ʹ ߙൌ
ͳ
ʹ ߙ．
∴ܲܣൌܥܣൌͶ．
过点ܲ
作ܲ
ܨ٣ ݔ轴于点ܨ，则ܣܨൌെ䁠െʹ．
在Rt ᇞܣܲܨ中，
ܣܨ
ܣܲൌcosסܲܣܨൌ
ʹ
͵，
∴
െʹെ䁠
Ͷ
ൌ
ʹ
͵，解得䁠ൌെ
ͳͶ
͵ ．
∴点ܲ
的横坐标为െ
ͳͶ
͵ ．
综上，点ܲ
的横坐标为͸解
ʹ
͵ 解െ
͸
香解െ
ͳͶ
͵ ．
7．
【详解】（1）由题意，二次函数ݕͳ ൌʹݔʹ ൅ܾݔ൅ܿ（b，c 是常数）经过(1，0)，(2，0)，
∴ʹ ൅ܾ
൅ܿ
ൌͲ
ͺ ൅ʹܾ൅ܿ
ൌͲ ，
解得b ൌെ͸ܿ
ൌͶ ，
∴抛物线的解析式ݕͳ ൌʹݔʹ െ͸ݔ൅Ͷ ൌʹ ݔെͳ
ݔെʹ ．
∴图像的对称轴是直线ݔൌെܾʹܽൌെ
െ͸
ʹൈʹ ൌ
͵
ʹ．
（2）由题意，得ݕͳ ൌʹݔʹ െͶ݄ݔ൅ʹ݄
ʹ െʹ，
∵ݕͳ ൌʹݔʹ ൅ܾݔ൅ܿ，
∴b=-4h，c=ʹ݄ʹ െʹ
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∴ܾ൅ܿ
ൌʹ݄
ʹ െͶ݄െʹ ൌʹ݄
െͳ ʹ െͶ，
∴当݄
ൌͳ 时，ܾ൅ܿ
的最小值是െͶ．
（3）由题意，得ݕൌݕͳ െݕʹ ൌʹ ݔെ݉
ݔെ݉
െʹ െݔെ݉
ൌݔെ݉
ʹ ݔെ݉
െͷ
因为函数y 的图像经过点ݔͲ解Ͳ ，
所以ݔͲ െ݉
ʹ ݔͲ െ݉
െͷ ൌͲ，
所以ݔͲ െ݉
ൌͲ，或ݔͲ െ݉
ൌ
ͷ
ʹ．
8．
【详解】（1）解：把ܣሺͳ解Ͳሻ代入ݕൌܽ
ሺݔ൅ͳሻʹ െͶ 得：ܽ
ሺͳ ൅ͳሻʹ െͶ ൌͲ，
解得ܽ
ൌͳ，
׵ ݕൌሺݔ൅ͳሻʹ െͶ ൌݔʹ ൅ʹݔെ͵；
答：抛物线ܮͳ的函数表达式为ݕൌݔʹ ൅ʹݔെ͵；
（2）解：抛物线ܮͳǣݕൌሺݔ൅ͳሻʹ െͶ 的顶点为ሺെͳ解െͶሻ，
将抛物线ܮͳ向上平移݉
ሺ݉
㠠Ͳሻ个单位得到抛物线ܮʹ，则抛物线ܮʹ的顶点为ሺെͳ解െͶ ൅݉
ሻ，
而ሺെͳ解െͶ ൅݉
ሻ关于原点的对称点为ሺͳ解Ͷ െ݉
ሻ，
把ሺͳ解Ͷ െ݉
ሻ代入ݕൌݔʹ ൅ʹݔെ͵ 得：
ͳʹ ൅ʹ ൈͳ െ͵ ൌͶ െ݉
，
解得݉
ൌͶ，
答：݉
的值为4；
（3）解：把抛物线ܮͳ向右平移݊
ሺ݊
㠠Ͳሻ个单位得到抛物线ܮ͵，抛物线ܮ͵解析式为ݕൌሺݔെ݊
൅ͳሻʹ െͶ，
׶点ܤሺͳ解ݕͳሻ，ܥሺ͵解ݕʹሻ都在抛物线ܮ͵上，
׵ ݕͳ ൌሺͳ െ݊
൅ͳሻʹ െͶ ൌሺʹ െ݊
ሻʹ െͶ，
ݕʹ ൌሺ͵ െ݊
൅ͳሻʹ െͶ ൌሺͶ െ݊
ሻʹ െͶ，
׶y1＞y2，
׵ ሺʹ െ݊
ሻʹ െͶ 㠠ሺͶ െ݊
ሻʹ െͶ，
整理变形得：ሺʹ െ݊
ሻʹ െሺͶ െ݊
ሻʹ 㠠Ͳ，
ሺʹ െ݊
൅Ͷ െ݊
ሻሺʹ െ݊
െͶ ൅݊
ሻ㠠Ͳ
െʹ ൈሺ͸ െʹ݊ሻ㠠Ͳ，
͸ െʹ݊
൏Ͳ
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解得݊
㠠͵，
׵݊
的取值范围是݊
㠠͵．
9．
【详解】（1）解：①将点ሺ͵解ͳሻ代入ݕൌܽ
ሺݔെʹሻʹ െͳሺܽ
㠠Ͳሻ中，
∴ͳ ൌܽ
ሺ͵ െʹሻʹ െͳ，解得ܽ
ൌʹ，
∴二次函数的表达式为：ݕൌʹሺݔെʹሻʹ െͳ ൌʹݔʹ െͺݔ൅香；
②当ݕͳ ൌݕʹ时，此时ܯܰ
为平行x 轴的直线，
将ܯݔͳ解ݕͳ 代入二次函数中得到：ݕͳ ൌʹݔͳʹ െͺݔͳ ൅香，
将ܰ
ݔʹ解ݕʹ 代入二次函数中得到：ݕʹ ൌʹݔʹʹ െͺݔʹ ൅香，
∵ݕͳ ൌݕʹ，
∴ʹݔͳʹ െͺݔͳ ൅香=ʹݔʹʹ െͺݔʹ ൅香，
整理得到：ሺݔͳ ൅ݔʹሻሺݔͳ െݔʹሻെͶሺݔͳ െݔʹሻൌͲ，
又∵ݔʹ െݔͳ ൌ͵，代入上式得到：ݔʹ ൅ݔͳ ൌͶ，解出ݔͳ ൌ
ͳ
ʹ 解ݔʹ ൌ
香
ʹ，
∴ݕʹ ൌݕͳ ൌʹ ൈሺ
ͳ
ʹ ሻʹ െͺ ൈ
ͳ
ʹ ൅香ൌ
香
ʹ，即直线ܯܰ
为：ݕൌ
香
ʹ，
又׶二次函数的顶点坐标为(2，-1)，
∴顶点(2,-1)到ܯܰ
的距离为
香
ʹ ൅ͳ ൌ
䁩
ʹ；
（2）解：若M，N 在对称轴的异侧，ݕͳ ൒ݕʹ，
∴x1+3>2，
∴x1>-1，
∵ݔʹ െݔͳ ൌ͵
∴ݔͳ ൑
ͳ
ʹ，
∴-1<ݔͳ ൑
ͳ
ʹ，
∵函数的最大值为y1=a（x1-2）2-1，最小值为-1，
∴y-（-1）=1，
∴a=
ͳ
ݔͳെʹ ʹ，
∴
䁩
Ͷ ൑ݔͳ െʹ ʹ ൏䁩，
∴
ͳ
䁩൏ܽ
൑
Ͷ
䁩；
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若M、N 在对称轴的异侧，ݕͳ ൑ݕʹ，x1<2，
∵ݔͳ 㠠
ͳ
ʹ，
∴
ͳ
ʹ ൏ݔͳ ൏ʹ，
∵函数的最大值为y=a（x2-2）2-1，最小值为-1，
∴y-（-1）=1，
∴a=
ͳ
ݔͳ൅ͳ ʹ，
∴
䁩
Ͷ ൏ݔͳ ൅ͳ ʹ ൏䁩，
∴
ͳ
䁩൏ܽ
൏
Ͷ
䁩，
综上所述，a 的取值范围为
ͳ
䁩൏ܽ
൑
Ͷ
䁩．
考点03
二次函数建模及实际应用
1．
【详解】(1)
（2）解：观察点的分布：数据先降后升，且ሺͷͲ解ͳʹǤ͵ͷሻ和ሺ䁩Ͳ解ͳʹǤ͵ͷሻ、ሺ͸Ͳ解ͳͳǤ香ͷሻ和ሺͺͲ解ͳͳǤ香ͷሻ均关于ݔൌ
香Ͳ 对称，符合二次函数的抛物线特征，因此最符合的是二次函数，
设函数表达式为（对称轴为ݔൌ香Ͳ，顶点为ሺ香Ͳ解ͳͳǤͷͷሻ）：ݕൌܽ
ሺݔെ香Ͳሻʹ ൅ͳͳǤͷͷ，
将点ሺ͸Ͳ解ͳͳǤ香ͷሻ代入得：ͳͳǤ香ͷ ൌܽ
ሺ͸Ͳ െ香Ͳሻʹ ൅ͳͳǤͷͷ，
解得ܽ
ൌͲǤͲͲʹ，
验证其余点均满足该式，
∴函数表达式为：ݕൌͲǤͲͲʹሺݔെ香Ͳሻʹ ൅ͳͳǤͷͷ（展开也可写为ݕൌͲǤͲͲʹݔʹ െͲǤʹͺݔ൅ʹͳǤ͵ͷ）；
（3）解：根据题意：实际能耗为ͳǤʹݕ，
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代入续航里程公式：实际续航里程ݏൌ
͸ͲǤͶͺ
ͳǤʹݕൈͳͲͲ ൌ
ͷͲͶͲ
ݕ，
∴ݏ随ݕ的增大而减小，
∴当ݕ最大时，ݏ取最小值，
∵二次函数ݕൌͲǤͲͲʹሺݔെ香Ͳሻʹ ൅ͳͳǤͷͷ 开口向上，对称轴为ݔൌ香Ͳ，
∴在͸Ͳ ൑ݔ൑香Ͳ 范围内，ݕ随ݔ增大而减小，在香Ͳ ൑ݔ൑ͺͷ 范围内，ݕ随ݔ增大而增大；
当ݔൌ͸Ͳ 时，ݕൌͳͳǤ香ͷ，当ݔൌͺͷ 时，ݕൌͲǤͲͲʹ ൈሺͺͷ െ香Ͳሻʹ ൅ͳͳǤͷͷ ൌͳʹ，
∴在͸Ͳ ൑ݔ൑ͺͷ 范围内ݕ的最大值为12，
∴ݏ最小ൌ
ͷͲͶͲ
ͳʹ ൌͶʹͲkm，
故实际续航里程的最小值为420 千米．
2．D
3．
【详解】（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为ʹ解͵ ，
设抛物线解析式为ݕൌܽ
ݔെʹ ʹ ൅͵，
把点ܣͺ解Ͳ 代入，得͵͸ܽ൅͵ ൌͲ，
解得ܽ
ൌെ
ͳ
ͳʹ，
∴抛物线的函数表达式为ݕൌെ
ͳ
ͳʹ ݔെʹ ʹ ൅͵，
当ݔൌͲ 时，ݕൌ
ͺ
͵ 㠠ʹǤͶͶ，
∴球不能射进球门；
（2）设小明带球向正后方移动݉
米，则移动后的抛物线为ݕൌെ
ͳ
ͳʹ ݔെʹ െ݉
ʹ ൅͵，
把点Ͳ解ʹǤʹͷ 代入得ʹǤʹͷ ൌെ
ͳ
ͳʹ െʹ െ݉
ʹ ൅͵，
解得݉
ͳ ൌെͷ（舍去），݉
ʹ ൌͳ，
∴当时他应该带球向正后方移动1 米射门．
4．
【详解】任务一：建立如图所示的直角坐标系，
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由题意得：抛物线的顶点坐标为ͳ解ͳǤͺ ，
设抛物线的解析式为ݕൌܽ
ݔെͳ ʹ ൅ͳǤͺ，过点Ͳ解ͳǤ͸ ，
∴ܽ൅ͳǤͺ ൌͳǤ͸，
解得ܽ
ൌെͲǤʹ，
∴ݕൌെͲǤʹ ݔെͳ ʹ ൅ͳǤͺ，
当ݕൌͲ 时，െͲǤʹ ݔെͳ ʹ ൅ͳǤͺ ൌͲ，
得ݔͳ ൌͶ解ݔൌെʹ（舍去），
∴素材1 中的投掷距离ܱ
ܤ为4m；
（2）建立直角坐标系，如图，
设素材2 中抛物线的解析式为ݕൌܽ
ݔʹ ൅ܾݔ൅ܿ，
由题意得，过点Ͳ解ͳǤ͸ 解ͳ解ʹǤͶͷ 解ͺ解Ͳ ，
∴ܿ
ൌͳǤ͸ܽ
൅ܾ
൅ܿ
ൌʹǤͶͷ
͸Ͷܽ൅ͺܾ൅ܿ
ൌͲ
，
解得ܽ
ൌെͲǤͳͷܾ
ൌͳܿ
ൌͳǤ͸
，
∴ݕൌെͲǤͳͷݔʹ ൅ݔ൅ͳǤ͸
∴顶点纵坐标为
Ͷܽܿ
െܾʹ
Ͷܽ
ൌ
ͶൈെͲǤͳͷ ൈͳǤ͸െͳʹ
ͶൈെͲǤͳͷ
ൌ
Ͷ䁩
ͳͷ，
Ͷ䁩
ͳͷ െͳǤͺ ൌ
ʹʹ
ͳͷ（m），
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∴素材2 和素材1 中球的最大高度的变化量为
ʹʹ
ͳͷ m；
任务三：应该尽量提高掷出点的高度、尽量提高掷出点的速度、选择适当的掷出仰角．
5．
【详解】（1）把ܣሺʹͲ解ͷͲሻ代入ݏൌ݇
䁠ʹ 得ͷͲ ൌͶͲͲ݇，
解得݇
ൌ
ͳ
ͺ，
׵启航阶段总路程ݏ关于时间䁠的函数表达式为ݏൌ
ͳ
ͺ 䁠ʹሺͲ ൏䁠൑ʹͲሻ；
（2）①设ݏൌͷ䁠൅ܾ，把ሺʹͲ解ͷͲሻ代入，得ͷͲ ൌͷ ൈʹͲ ൅ܾ，
解得ܾ
ൌെͷͲ，
׵ ݏൌͷ䁠െͷͲ．
当䁠ൌ䁩Ͳ 时，ݏൌͶͷͲ െͷͲ ൌͶͲͲ．
׵当䁠ൌ䁩Ͳ 时，龙舟划行的总路程为ͶͲͲm．
②ͷͲͲ െͳʹͷ ൌ͵香ͷ，
把ݏൌ͵香ͷ 代入ݏൌͷ䁠െͷͲ，
得䁠ൌͺͷ．
׶ ͺͷ ൏ͺͷǤʹͲ，
׵该龙舟队能达标．
（3）加速期：由（1）可知݇
ൌ
ͳ
ͺ，
把ሺ䁩Ͳ解ͶͲͲሻ代入ݏൌ
ͳ
ͺ ሺ䁠െ香Ͳሻʹ ൅݄，
得݄
ൌ͵ͷͲ．
׵函数表达式为ݏൌ
ͳ
ͺ ሺ䁠െ香Ͳሻʹ ൅͵ͷͲ，
把䁠ൌ䁩ͳ 代入ݏൌ
ͳ
ͺ ሺ䁠െ香Ͳሻʹ ൅͵ͷͲ，
解得ݏൌͶͲͷǤͳʹͷ．
׵ ሺͷͲͲ െͶͲͷǤͳʹͷሻൊͷǤʹͷ ൎͳͺǤͲ香，
׵ 䁩Ͳ ൅ͳ ൅ͳͺǤͲ香ൌͳͲ䁩ǤͲ香．
答：该龙舟队完成训练所需时间为ͳͲ䁩ǤͲ香s．
6．
【详解】（1）解：设y 关于x 的函数表达式为ݕൌ݇
ݔ൅്ܾ݇
Ͳ ．
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将ݔൌͷͲ，ݕൌͳͲͲ 和ݔൌͶͲ，ݕൌʹͲͲ 分别代入，得：
ͷͲ݇൅ܾ
ൌͳͲͲ
ͶͲ݇൅ܾ
ൌʹͲͲ ，
解得：݇
ൌെͳͲܾ
ൌ͸ͲͲ ，
∴y 关于x 的函数表达式是：ݕൌെͳͲݔ൅͸ͲͲ；
（2）解：ܹ
ൌݔെ͵Ͳ
െͳͲݔ൅͸ͲͲ ൌെͳͲݔʹ ൅䁩ͲͲݔെͳͺͲͲͲ，
∵െͳͲ ൏Ͳ，
∴当ݔൌെ
䁩ͲͲ
െʹͲ ൌͶͷ 时，在͵Ͳ ൑ݔ൏͸Ͳ 的范围内，
W 取到最大值，最大值是2250．
答：销售价格为每千克45 元时，日销售利润最大，最大日销售利润是2250 元．
7．
【详解】（1）解：∵每平方米种植的株数每增加1 株，单株产量减少0.5 千克，
∴ݕൌͶ െͲǤͷሺݔെʹሻൌെͲǤͷݔ൅ͷ（ʹ ൑ݔ൑ͺ，且x 为整数）；
（2）解：设每平方米小番茄产量为W 千克，
ݓൌݔሺെͲǤͷݔ൅ͷሻൌെͲǤͷݔʹ ൅ͷݔൌെͲǤͷሺݔെͷሻʹ ൅ͳʹǤͷ．
∴当ݔൌͷ 时，w 有最大值12.5 千克．
答：每平方米种植5 株时，能获得最大的产量，最大产量为12.5 千克．
8．
【详解】（1）把ݔൌ͵解
ݕൌ香Ǥʹ ，ݔൌͶ解
ݕൌͷǤͺ 代入ݕ需求ൌܽ
ݔʹ ൅ܿ
可得
䁩ܽ൅ܿ
ൌ香Ǥʹ解①
ͳ͸ܽ൅ܿ
ൌͷǤͺǤ②
②-①，得香ܽ
ൌെͳǤͶ，
解得ܽ
ൌെ
ͳ
ͷ，
把ܽ
ൌെ
ͳ
ͷ代入①，得ܿ
ൌ䁩，
∴ܽ
ൌെ
ͳ
ͷ 解ܿൌ䁩．
（2）在4 月份出售这种蔬菜每千克获利最大，理由：
设这种蔬菜每千克获利w 元，根据题意，
有ݓൌݔ售价െݔ成本ൌ
ͳ
ʹ 䁠൅ʹ െ
ͳ
Ͷ 䁠ʹ െ
͵
ʹ 䁠൅͵ ，
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化简，得ݓൌെ
ͳ
Ͷ 䁠ʹ ൅ʹ䁠െͳ ൌെ
ͳ
Ͷ ሺ䁠െͶሻʹ ൅͵，
∵െ
ͳ
Ͷ ൏Ͳ解䁠ൌͶ 在ͳ ൑䁠൑香的范围内，
∴当䁠ൌͶ 时，w 有最大值．
答：在4 月份出售这种蔬菜每千克获利最大．
（3）由ݕ供给ൌݕ需求，得ݔെͳ ൌെ
ͳ
ͷ ݔʹ ൅䁩，
化简，得ݔʹ ൅ͷݔെͷͲ ൌͲ，解得ݔͳ ൌͷ解ݔʹ ൌെͳͲ（舍去），
∴售价为5 元/千克．
此时，ݕ供给ൌݕ需求ൌݔെͳ ൌͶ（吨）ൌͶͲͲͲ（千克），
把ݔൌͷ 代入ݔ售价ൌ
ͳ
ʹ 䁠൅ʹ，得䁠ൌ͸，
把䁠ൌ͸ 代入ݓൌെ
ͳ
Ͷ 䁠ʹ ൅ʹ䁠െͳ，得ݓൌെ
ͳ
Ͷ ൈ͵͸ ൅ʹ ൈ͸ െͳ ൌʹ，
∴总利润ൌݓڄ ݕൌʹ ൈͶͲͲͲ ൌͺͲͲͲ（元）．
答：该蔬菜供给量与需求量相等时的售价为5 元/千克，按此价格出售获得的总利润为8000 元．
9．
【详解】任务一：
以拱顶为原点，建立如图1 所示的直角
坐标系，则顶点为ሺͲ解Ͳሻ，且经过点ሺͳͲ解െͷሻ．
设该抛物线函数表达式为ݕൌܽ
ݔʹሺ്ܽ
Ͳሻ，
则െͷ ൌͳͲͲܽ，
∴ܽ
ൌെ
ͳ
ʹͲ，
∴该抛物线的函数表达式是ݕൌെ
ͳ
ʹͲ ݔʹ．
任务二：∵水位再上涨ͳǤͺm 达到最高，灯笼底部距离水面至少ͳm，灯笼长ͲǤͶm，
∴悬挂点的纵坐标ݕ൒െͷ ൅ͳǤͺ ൅ͳ ൅ͲǤͶ ൌെͳǤͺ，
∴悬挂点的纵坐标的最小值是െͳǤͺ．
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当ݕൌെͳǤͺ 时，െͳǤͺ ൌെ
ͳ
ʹͲ ݔʹ，解得ݔͳ ൌ͸ 或ݔʹ ൌെ͸，
∴悬挂点的横坐标的取值范围是െ͸ ൑ݔ൑͸．
任务三：有两种设计方案
方案一：如图2（坐标系的横轴，图3 同），从顶点处开始悬挂灯笼．
∵െ͸ ൑ݔ൑͸，相邻两灯笼悬挂点的水平间距均为ͳǤ͸m，
∴若顶点一侧挂4 盏灯笼，则ͳǤ͸ ൈͶ 㠠͸，
若顶点一侧挂3 盏灯笼，则ͳǤ͸ ൈ͵ ൏͸，
∴顶点一侧最多可挂3 盏灯笼．
∵挂满灯笼后成轴对称分布，
∴共可挂7 盏灯笼．
∴最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是െͶǤͺ．
方案二：如图3，从对称轴两侧开始悬挂灯笼，正中间两盏与对称轴的距离均为ͲǤͺm，
∵若顶点一侧挂5 盏灯笼，则ͲǤͺ ൅ͳǤ͸ ൈሺͷ െͳሻ㠠͸，
若顶点一侧挂4 盏灯笼，则ͲǤͺ ൅ͳǤ͸ ൈሺͶ െͳሻ൏͸，
∴顶点一侧最多可挂4 盏灯笼．
∵挂满灯笼后成轴对称分布，
∴共可挂8 盏灯笼．
∴最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是െͷǤ͸．
10．
【详解】（1）解：由图2 可知：ܥሺͺ，ͳ͸ሻ，ܧሺͶͲ，Ͳሻ，
设CE：ݕൌ݇
ݔ൅ܾ
ሺ്݇
Ͳሻ，
将ܥሺͺ，ͳ͸ሻ，ܧሺͶͲ，Ͳሻ代入ݕൌ݇
ݔ൅ܾ
ሺ്݇
Ͳሻ，
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得：ሼͳ͸ ൌͺ݇൅ܾ
Ͳ ൌͶͲ݇൅ܾ，解得ሼ݇
ൌെ
ͳ
ʹܾ
ൌʹͲ
，
∴线段CE 的函数表达式为ݕൌെ
ͳ
ʹ ݔ൅ʹͲ（8≤x≤40）．
（2）当ܽ
ൌ
ͳ
䁩时，ݕൌെ
ͳ
䁩ݔʹ ൅ʹݔ൅ʹͲ，由题意得െ
ͳ
䁩ݔʹ ൅ʹݔ൅ʹͲ ൌെ
ͳ
ʹ ݔ൅ʹͲ，
解得ݔͳ ൌͲ（舍去），ݔʹ ൌʹʹǤͷǤ
∴ܲ
的横坐标为22.5．
∵22.5＜32，
∴成绩未达标．
（3）①猜想a 与ݒʹ成反比例函数关系．
∴设ܽ
ൌ݉ݒʹ ሺ്݉
Ͳሻ，
将（100，0.250）代入得ͲǤʹͷ ൌ݉ͳͲͲ ，解得݉
ൌʹͷ，
∴ܽ
ൌ
ʹͷ
ݒʹ．
将（150，0.167）代入ܽ
ൌ
ʹͷ
ݒʹ验证：
ʹͷ
ͳͷͲ ൎͲǤͳ͸香，
∴ܽ
ൌ
ʹͷ
ݒʹ能相当精确地反映a 与ݒʹ的关系，即为所求的函数表达式．
②由K 在线段ݕൌെ
ͳ
ʹ ݔ൅ʹͲ 上，得K（32，4），代入得ݕൌെܽݔʹ ൅ʹݔ൅ʹͲ，得ܽ
ൌ
ͷ
͸Ͷ
由ܽ
ൌ
ʹͷ
ݒʹ得ݒʹ＝͵ʹͲ，
又∵ݒ＞Ͳ，
∴ݒൌͺ ͷ ൎͳͺ，
∴当ݒൎͳͺm/s 时，运动员的成绩恰能达标．
11．
【详解】（1）（1）①如图1，由题意得ܣሺʹ解ʹሻ是上边缘抛物线的顶点，
设ݕൌܽ
ሺݔെʹሻʹ ൅ʹ．
又∵抛物线经过点ሺͲ解ͳǤͷሻ，
∴ͳǤͷ ൌͶܽ൅ʹ，
∴ܽ
ൌെ
ͳ
ͺ．
∴上边缘抛物线的函数解析式为ݕൌെ
ͳ
ͺ ሺݔെʹሻʹ ൅ʹ．
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当ݕൌͲ 时，െ
ͳ
ͺ ሺݔെʹሻʹ ൅ʹ ൌͲ，
∴ݔͳ ൌ͸，ݔʹ ൌെʹ（舍去）．
∴喷出水的最大射程ܱ
ܥ为͸m．
图1
②∵对称轴为直线ݔൌʹ，
∴点ሺͲ解ͳǤͷሻ的对称点的坐标为ሺͶ解ͳǤͷሻ．
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移Ͷm 得到的，
即点ܤ是由点ܥ向左平移Ͷm 得到，则点ܤ的坐标为ሺʹ解Ͳሻ．
③如图2，先看上边缘抛物线，
∵ܧܨൌͲǤͷ，
∴点ܨ的纵坐标为0.5．
抛物线恰好经过点ܨ时，
െ
ͳ
ͺ ሺݔെʹሻʹ ൅ʹ ൌͲǤͷ．
解得ݔൌʹ േʹ ͵，
∵ݔ㠠Ͳ，
∴ݔൌʹ ൅ʹ ͵．
当ݔ൒ʹ 时，ݕ随着ݔ的增大而减小，
∴当ʹ ൑ݔ൑͸ 时，要使ݕ൒ͲǤͷ，
则ݔ൑ʹ ൅ʹ ͵．
∵当Ͳ ൑ݔ൏ʹ 时，ݕ随ݔ的增大而增大，且ݔൌͲ 时，ݕൌͳǤͷ，
∴当Ͳ ൑ݔ൑͸ 时，要使ݕ൒ͲǤͷ，则Ͳ ൑ݔ൑ʹ ൅ʹ ͵．
∵ܦܧൌ͵，灌溉车喷出的水要浇灌到整个绿化带，
∴݀
的最大值为ሺʹ ൅ʹ ͵ሻെ͵ ൌʹ ͵ െͳ．
再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是ܱ
ܤ൑݀
，
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∴݀
的最小值为2．
综上所述，݀
的取值范围是ʹ ൑݀
൑ʹ ͵ െͳ．
（2）݄
的最小值为
͸ͷ
͵ʹ．
由题意得ܣሺʹ解݄൅ͲǤͷሻ是上边缘抛物线的顶点，
∴设上边缘抛物线解析式为ݕൌܽ
ሺݔെʹሻʹ ൅݄
൅ͲǤͷ．
∵上边缘抛物线过出水口（0，h）
∴ݕൌͶܽ൅݄
൅ͲǤͷ ൌ݄
解得ܽ
ൌെ
ͳ
ͺ
∴上边缘抛物线解析式为ݕൌെ
ͳ
ͺ ሺݔെʹሻʹ ൅݄
൅ͲǤͷ
∵对称轴为直线ݔൌʹ，
∴点ሺͲ解݄ሻ的对称点的坐标为ሺͶ解݄ሻ．
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移Ͷm 得到的，
∴下边缘抛物线解析式为ݕൌെ
ͳ
ͺ ሺݔ൅ʹሻʹ ൅݄
൅ͲǤͷ．
当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点ܦ，ܨ恰好分别在两条抛物线上，
∵DE=3
∴设点ܦ݉
解Ͳ ，ܧ݉
൅͵解Ͳ ，ܨ݉
൅͵解െ
ͳ
ͺ ሺ݉
൅͵ െʹሻʹ ൅݄
൅ͲǤͷ ，
∵D 在下边缘抛物线上，
∴െ
ͳ
ͺ ሺ݉
൅ʹሻʹ ൅݄
൅ͲǤͷ ൌͲ
∵EF=1
∴െ
ͳ
ͺ ሺ݉
൅͵ െʹሻʹ ൅݄
൅ͲǤͷ ൌͳ
∴െ
ͳ
ͺ ሺ݉
൅͵ െʹሻʹ ൅݄
൅ͲǤͷ െ
െ
ͳ
ͺ ሺ݉
൅ʹሻʹ ൅݄
൅ͲǤͷ ൌͳ，
解得݉
ൌʹǤͷ，
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代入െ
ͳ
ͺ ሺ݉
൅ʹሻʹ ൅݄
൅ͲǤͷ ൌͲ，得݄
ൌ
͸ͷ
͵ʹ．
所以݄
的最小值为
͸ͷ
͵ʹ．
1．B
2．D
3．B
4．D
5．D
6．C
7．D
8．
͵香
ʹ
9．C
10．
【详解】（1）解:对于ݕൌܽ
ݔʹ െʹܽݔ൅ܽ
െͶ，令ݔൌͲ，则ݕൌܽ
െͶ
∴点ܣͲ解ܽെͶ ，
∵ݕൌܽ
ݔʹ െʹܽݔ൅ܽ
െͶ ൌܽ
ݔെͳ ʹ െͶ，
∴顶点ܲ
ͳ解െͶ
设直线ܲ
ܣ的函数表达式ݕൌ݇
ݔ൅ܽ
െͶ，
∴െͶ ൌ݇
൅ܽ
െͶ，
∴݇
ൌെܽ，
∴直线ܲ
ܣ的函数表达式为ݕൌെܽ
ݔ൅ܽ
െͶ；
（2）解：①∵ܲ
ͳ解െͶ ，
∴将点P 向上平移4 个单位，向右平移2 个单位后，对应点的坐标为͵解Ͳ ，
∵平移后的͵解Ͳ 还是在该函数图象上，
∴ܽሺ͵ െͳሻʹ െͶ ൌͲ，
解得ܽ
ൌͳ；
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②∵ܽ
ൌͳ，
∴ݕൌሺݔെͳሻʹ െͶ，
当݉
൏ͳ 时，ݕ最大െݕ最小ൌሺ݉
െʹ െͳሻʹ െሺ݉
െͳሻʹ ൌʹ݉
，解得݉
ൌ
Ͷ
͵（舍）；
当ͳ ൑݉
൑ʹ 时，ݕ最大െݕ最小ൌሺ݉
െʹ െͳሻʹ െͶ െሺെͶሻൌʹ݉
，
解得݉
ͳ ൌͶ ൅
香（舍），݉
ʹ ൌͶ െ
香；
当ʹ ൏݉
൑͵ 时，ݕ最大െݕ最小ൌሺ݉
െͳሻʹ െͶ െሺെͶሻൌʹ݉
，
解得݉
ͳ ൌʹ ൅
͵（舍），݉
ʹ ൌʹ െ
͵（舍）；
当݉
㠠͵ 时，ݕ最大െݕ最小ൌሺ݉
െͳሻʹ െሺ݉
െ͵ሻʹ ൌʹ݉
，解得݉
ൌͶ；
∴m 的值为Ͷ െ
香和4．
11．
【详解】（1）解：因为一次函数ݕൌʹݔ൅ͳ 的函数值y 随自变量x 的增大而增大，
所以当ݔൌ͵ 时，ܯൌʹ ൈ͵ ൅ͳ ൌ香；当ݔൌͲ 时，݉
ൌʹ ൈͲ ൅ͳ ൌͳ．
（2）甲同学说法错误；乙同学说法错误．
对“甲同学说法”的判断理由如下：
ݕൌݔʹ െʹݔെ͵ ൌሺݔെͳሻʹ െͶ，
∵抛物线开口向上，ݔൌͳ 在Ͳ ൑ݔ൑͵ 的范围内，
∴当ݔൌͳ 时，函数最小值为݉
ൌെͶ，
当ݔൌͲ 时，ݕൌݔʹ െʹݔെ͵ ൌെ͵，
当ݔൌ͵ 时，ݕൌ͵ʹ െʹ ൈ͵ െ͵ ൌͲ
∴在Ͳ ൑ݔ൑͵ 的范围内函数最大值ܯൌͲ；
对“乙同学说法”的判断理由如下：
二次函数ݕൌݔʹ െʹݔെ͵ ൌሺݔെͳሻʹ െͶ，对称轴为ݔൌͳ，
①Ͳ ൏䁠൑ͳ 时，则在Ͳ ൑ݔ൑䁠的范围内，ݕ随ݔ的增大而减小，
ݔൌͲ 时，二次函数ݕൌݔʹ െʹݔെ͵ 有最大值ܯൌെ͵，ݔൌ䁠时，最小值݉
ൌ䁠ʹ െʹ䁠െ͵，
∵ܯെ݉
ൌͶ，
∴െ͵ െ䁠ʹ െʹ䁠െ͵ ൌͶ，即䁠ʹ െʹ䁠൅Ͷ ൌͲ，
∵Δ ൌെʹ ʹ െͶ ൈͳ ൈͶ ൌെͳʹ ൏Ͳ，
∴一元二次方程െ͵ െ䁠ʹ െʹ䁠െ͵ ൌͶ 没有实数根，
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∴不符合题意；
②ͳ ൏䁠൑ʹ 时，
ݔൌͲ 时，二次函数ݕൌݔʹ െʹݔെ͵ 有最大值ܯൌെ͵，当ݔൌͳ 时，ݕ有最小值݉
ൌെͶ，
׵ ܯെ݉
ൌെ͵ െെͶ ൌͳ，不符合题意；
③䁠㠠ʹ 时，
当ݔൌ䁠时，ݕ有最大值ܯൌ䁠ʹ െʹ䁠െ͵，当ݔൌͳ 时，最小值݉
ൌെͶ，
׵ ܯെ݉
ൌ䁠ʹ െʹ䁠െ͵ ൅Ͷ，
若ܯെ݉
ൌͶ，则䁠ʹ െʹ䁠െ͵ ൌͲ，
解得䁠
ͳ ൌെͳ解䁠
ʹ ൌ͵，
只有当䁠ൌ͵ 时符合题意；
综上，“在Ͳ ൑ݔ൑䁠的范围内，若ܯെ݉
ൌͶ，则ܯൌͲ，݉
ൌെͶ”这种说法是错误的，
即甲同学说法错误，乙同学说法错误．
12．
【详解】（1）解：由表格可知，点ͲǤͺ解ʹǤ香和点͸Ǥͺ解ʹǤ香的纵坐标相等，
∴抛物线的对称轴为直线ݔൌ
ͲǤͺ൅͸Ǥͺ
ʹ
ൌ͵Ǥͺ，
结合表格可知，顶点坐标为͵Ǥͺ解͵Ǥ͸ ，
∴݉
ൌ͵Ǥͺ，݇
ൌ͵Ǥ͸，ݕൌܽ
ݔെ͵Ǥͺ ʹ ൅͵Ǥ͸，
将点ͲǤͺ解ʹǤ香代入ݕൌܽ
ݔെ͵Ǥͺ ʹ ൅͵Ǥ͸，得，
ʹǤ香ൌ䁩ܽ൅͵Ǥ͸，
解得ܽ
ൌെ
ͳ
ͳͲ，
∴抛物线的函数表达式为ݕൌെ
ͳ
ͳͲ ݔെ͵Ǥͺ ʹ ൅͵Ǥ͸；
（2）解：由（1）可知，顶点坐标为͵Ǥͺ解͵Ǥ͸ ，顶点即最高点，
将ݕൌͲ 代入ݕൌെ
ͳ
ͳͲ ݔെ͵Ǥͺ ʹ ൅͵Ǥ͸，得，
െ
ͳ
ͳͲ ݔെ͵Ǥͺ ʹ ൅͵Ǥ͸ ൌͲ，
解得ݔͳ ൌ䁩Ǥͺ，ݔʹ ൌെʹǤʹ（负值，舍去），
∴小明该次投掷实心球的距离为9.8 米；
（3）解：根据题意，改进后，ݕൌെ
ͳ
ͳʹ ݔെ͵Ǥ香ʹ ൅͵Ǥͷ，
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将ݕൌͲ 代入ݕൌെ
ͳ
ͳʹ ݔെ͵Ǥ香ʹ ൅͵Ǥͷ，得，
െ
ͳ
ͳʹ ݔെ͵Ǥ香ʹ ൅͵Ǥͷ ൌͲ，
解得ݔͳ ൌ͵Ǥ香൅
Ͷʹ，ݔʹ ൌ͵Ǥ香െ
Ͷʹ（负值，舍去）．
∵͸Ǥ͵ʹ ൌ͵䁩Ǥ͸䁩，
又∵Ͷʹ 㠠͵䁩Ǥ͸䁩，
∴Ͷʹ 㠠͸Ǥ͵，
∴͵Ǥ香൅
Ͷʹ 㠠ͳͲ．
答：改进后投掷实心球的距离能超过10 米．
13
【详解】（1）解：任务1：
∵安排x 名工人加工宋制汉服，y 名工人加工唐制汉服，
则加工明制汉服的有͸Ͳ െݔെݕ人，
∴͸Ͳ െݔെݕൈͳ ൌ͵ݕ，整理得：ݕൌെ
ͳ
Ͷ ݔ൅ͳͷ（或Ͷݕ൅ݔൌ͸Ͳ）．
（2）解：任务2：
根据题意得：ܹ
ൌ͵ݕൈ͵Ͳ ൅͸Ͳ െݔെݕൈ䁩Ͳ ൅ʹݔͳʹͲ െ͵ ʹݔെͳͷ ，
整理得：ܹ
ൌെͳʹݔʹ ൅ʹͶͲݔ൅ͷͶͲͲ ͸Ͳ ൒ݔ൒香Ǥͷ ．
（3）解：任务3：
由任务2 得，ܹ
＝െͳʹݔʹ ൅ʹͶͲݔ൅ͷͶͲͲ，
∵ܽ
ൌെͳʹ，
∴开口向下，
∵对称轴为直线ݔൌͳͲ，
∴当ݔ൏ͳͲ 时，W 随x 的增大而增大，
当ݔ൒ͳͲ 时，W 随x 的增大而减小．
∵ݔ൒香Ǥͷ 且x，y 均取正整数，
∴当ݔൌͺ 或12 时，利润最大．
∴方案1：安排8 名工人加工宋制汉服，13 名工人加工唐制汉服，39 名工人加工明制汉服，
方案2：安排12 名工人加工宋制汉服，12 名工人加工唐制汉服，36 名工人加工明制汉服．