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专题07 四边形
5 年真题1 年模拟
考点分类
福建考情（2022-2026）
命题规律
考点01 平行四边
形
2026 福建中考
2023 福建中考
2022 福建中考
考查形式丰富，选择题、填空题、几何综合解答
题均会出现。命题常结合图形平移、圆内接四边
形、中位线模型进行情境设置。核心围绕平行四
边形性质与判定、三角形中位线定理展开，基础
小题侧重利用对边平行且相等、对角线互相平分
进行线段求值；压轴设问常融合相似、等边三角
形、圆的性质综合考查。基础题型难度偏低，综
合题综合性较强；近四年持续加大平行四边形与
圆、相似相结合的综合题型考查力度。
考点02 特殊的平
行四边形（基础）
2026 福建中考
2025 福建中考
2024 福建中考
2023 福建中考
选择题、填空题、基础证明题均有考查。命题常
结合反比例函数、三角尺情境、中点模型进行出
题。核心围绕菱形、矩形、正方形的性质与判定
展开，高频考点：菱形四边相等、对角线垂直；
矩形四个直角、对角线相等；正方形兼具矩形与
菱形全部性质；常结合等边三角形、全等三角形
综合设问。整体基础题型难度适中，侧重边长、
角度、面积计算与简单线段相等证明；近四年喜
欢融合函数、几何作图背景，注重区分三类特殊
平行四边形性质差异。
考点03 特殊的平
行四边形（进阶）
2026 福建中考
2025 福建中考
2022 福建中考
大多以几何综合大题形式考查，一般分为多小问
梯度设问。题型稳定搭配尺规作图+ 几何计算/
证明两大模块。核心围绕矩形、菱形、正方形性
质，结合图形旋转、角的二倍角模型、切线性质、
相似三角形综合考查。第一小问侧重尺规作图，
第二、三小问层层递进，融合方程思想、全等、
相似求解线段长度或角度；近四年持续强化图形
旋转变换背景，注重几何模型识别与逻辑推理，
区分度较高，属于四边形板块压轴题型。
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考点01 平行四边形
1．（2022·福建·中考真题）如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中
90
ABC
，
60
CAB
，AB＝8，
点A 对应直尺的刻度为12.将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得△ABC 移动到
A B C
△
，点A对应直尺的刻
度为0，则四边形ACC A的面积是（
）
A．96
B．96 3
C．192
D．160 3
2．（2026·福建·中考真题）如图，A，B 两点被池塘隔开，在AB 外选择一点C，连接AC 和BC ，分别取AC
和BC 的中点M，N，测得
100
MN
米，则A，B 两点间的距离是____________米．
3．（2023·福建·中考真题）如图，在
ABCD 中，O为BD 的中点，EF 过点O且分别交
,
AB CD 于点
,
E F ．若
10
AE
，则CF 的长为___________．
4．（2022·福建·中考真题）如图，在△ABC 中，D，E 分别是AB，AC 的中点．若BC＝12，则DE 的长为
______．
5．（2026·福建·中考真题）如图，四边形ABCD 内接于
O ，E 是DC 延长线上的一点，EB 的延长线交
O 于点F ，AB
BD
，
60
CBE
ABD
．
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(1)求
E
的度数；
(2)求证：四边形AFEC 是平行四边形；
(3)设CF 交BD 于点G ，且
2
3
CG
FG
，求BD
AC 的值．
考点02 特殊的平行四边形（基础）
1．（2023·福建·中考真题）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数
3
y
x
和
n
y
x
的图象的四个分
支上，则实数n 的值为（
）
A．3
B．
1
3
C．1
3
D．3
2．
（2026·福建·中考真题）某数学兴趣小组成员把一副三角板按如图所示的方式摆放，其中
90
B
DFC
，
30
BAE
，
45
CDF
，四边形ABCD 恰好为矩形，点E，F 分别在BC ，AE
上，则
AFD
等于
____________度．
3．（2025·福建·中考真题）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，EF 过点O 且与边AB
CD
，
分别相交
于点E，F．若
2,
1
OA
OD
，则
AOE
△
与DOF 的面积之和为_______．
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4．（2024·福建·中考真题）如图，正方形ABCD的面积为4，点E ，F ，G ，H 分别为边AB ，BC ，CD ，
AD 的中点，则四边形EFGH 的面积为______．
5．（2023·福建·中考真题）如图，在菱形ABCD中，
10
60
AB
B
，
，则AC 的长为___________．
6．（2024·福建·中考真题）如图，在菱形ABCD中，点E、F 分别在BC 、CD 边上，
BAF
DAE
，求
证：BE
DF
．
考点03 特殊的平行四边形（进阶）
1．（2026·福建·中考真题）如图，四边形ABCD是矩形，AB
BC
，点E 在AD 的延长线上．
(1)求作点F ，使点F 在AD 边上，且
2
AFB
EBC
；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若
4
AB
，
6
BC
，
2
DE
，求AF 的长．
2．（2025·福建·中考真题）如图，矩形ABCD中，AB
AD
．
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(1)求作正方形EFGH ，使得点E，G 分别落在边
,
AD BC 上，点F，H 落在BD 上；（要求：尺规作图，不
写作法，保留作图痕迹）
(2)若
2,
4
AB
AD
，求（1）中所作的正方形的边长．
3．（2022·福建·中考真题）已知
ABC
DEC
≌
△
△
，AB＝AC，AB＞BC．
(1)如图1，CB 平分∠ACD，求证：四边形ABDC 是菱形；
(2)如图2，将（1）中的△CDE 绕点C 逆时针旋转（旋转角小于∠BAC），BC，DE 的延长线相交于点F，
用等式表示∠ACE 与∠EFC 之间的数量关系，并证明；
(3)如图3，将（1）中的△CDE 绕点C 顺时针旋转（旋转角小于∠ABC），若
BAD
BCD
，求∠ADB 的
度数．
4．（2022·福建·中考真题）如图，BD 是矩形ABCD 的对角线．
(1)求作⊙A，使得⊙A 与BD 相切（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，设BD 与⊙A 相切于点E，CF⊥BD，垂足为F．若直线CF 与⊙A 相切于点G，求tan
ADB
的值．
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1．（2026·福建宁德·二模）如图，在平面直角坐标系中，
ABCD 对角线的交点恰好是坐标原点．若点B 的
坐标是( 3,2)
，则点D 的坐标是（
）
A．( 3, 2)
B．(3, 2)
C．(2, 3)
D．(3,2)
2．（2026·福建泉州·二模）如图，正方形ABCD中，若点E 是CD 边的中点，连接BE 交对角线AC 于点F ．已
知
3 2
AB
，则CF 的长为（
）
A．3 2
2
B．2
C．
3
D．3
3．（2026·福建莆田·模拟预测）如图，用正三角形地砖与正方形地砖在点O处进行无空隙、不重叠地铺设．若
一块边长相同的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在
AOB
处，则这块正多边形地砖的边数为（
）．
A．6
B．7
C．8
D．9
4．（2026·福建泉州·模拟预测）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
ACB
，
10
AB
，点D 为AB 中点，点G 为ABC
的重心，则CG 的长为（
）
A．5
2
B．5
3
C．10
3
D．4
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5．（2026·福建宁德·二模）如图是由一个正八边形和四个菱形组成的图形，图中
BAC
的度数是（
）
A．22.5
B．30
C．36
D．45
6．（2026·福建莆田·模拟预测）“出入相补”原理是中国古典数学理论的奠基人之一、魏晋时期伟大的数学
家刘徽创立的．如图，是刘徽用出入相补法证明勾股定理的“青朱出入图”，其中四边形ABCD、四边形BEFG 、
四边形AHIG 均为正方形．若
20
AHIG
S
正方形
，
4
ABCD
S
正方形
，则GF 的值为（
）．
A．2
B．3
C．4
D．5
7．（2026·福建厦门·三模）如图，在
ABCD 中，P 是对角线BD 上的动点（点P 不与点B ，D 重合），过
点P 作EF
BC
∥
，GH
AB ，记
AEPH ，BEPG ，
PGCF ，
HPFD 的面积分别为
1S ，
2
S ，
3
S 、
4
S ，
在点P 运动过程中，下列关系始终成立的是（
）
A．
1
2
S
S
=
B．
1
3
S
S
C．
2
3
S
S
D．
2
4
S
S
8．（2026·福建泉州·模拟预测）技术员小明要检验如图所示的零件是否为平行四边形，则下列检查方法错
误的是（
）
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A．AB
CD
∥
，AD
BC
B．AB
CD
∥
，AB
CD
C．
180
A
B
，
B
D
D．
180
A
B
，
180
A
D
9．（2026·福建厦门·三模）如图，在正方形ABCD中，E 是BC 边上的动点，连接DE ，过点E 作EF
DE
交AB 于点F ，在点E 从点B 运动到点C 的过程中，线段BF 长度的变化情况是（
）
A．逐渐变小
B．逐渐变大
C．先变小再变大
D．先变大再变小
10．（2026·福建漳州·模拟预测）将一张矩形纸片和一张等腰直角三角形纸片（
90
C
）按如图所示的位
置放置，若
35
CED
，
BGF
度数为（
）
A．10
B．15
C．20
D．12
11．
（2026·福建漳州·模拟预测）在平面直角坐标系中，将平行四边形ABCD平移得到平行四边形A B C D
．若
点
( 1, 1)
B
的对应点为
(0,1)
B
，则点
(1,2)
D
平移后的对应点D的坐标是（
）
A．(1,0)
B．(2,4)
C．(3,3)
D．(0,1)
12．
（2026·福建漳州·模拟预测）在菱形ABCD中，对角线AC 与BD 相交于点O，点E 为BC 边中点．若
6
AC
，
8
BD
，则线段OE 长度为（
）
A．2
B．3
C．5
2
D．7
2
13．（2026·福建宁德·一模）如图，三星堆出土的铜眼形器可抽象为菱形ABCD，测得边长
30cm
AB
，
40
ABC
，则铜眼形器的长BD 等于（
）
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A．30cos 20
B．60cos 40
C．60sin20
D．60cos 20
14．（2026·福建三明·二模）如图，在
ABCD 与
ABEF 中，BE ，AD 相交于点G，且C，D，E，F 四点
共线．下列结论一定成立的是（
）
A．AB
DE
B．CE
DF
C．
C
F
D．
E D G
A G B
15．（2026·福建南平·一模）在矩形ABCD中，点E 在边BC 上，
60
AEB
，将DCE 沿着DE 翻折，点
C 的对应点F 恰好落在线段AE 上，则AB
BC 的值为（
）
A．
1
2
B．
3
2
C．1
D．2 3
3
16．（2026·福建泉州·一模）如图，在正方形ABCD中，对角线AC 与BD 相交于点O，点E 在AC 上，且
BC
CE
，延长BE 交边AD 于点F ，则AF
AB
的值为（
）
A．
2
1
B．
2
1
C．
2
1
2
D．2
2
17．（2026·福建厦门·一模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC ，BD 相交于点O，过点D 作AC 的平行
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线DE ，过点C 作BD 的平行线CE ，相交于点E．下列三角形中，可以看成由
COD
△
绕点O 旋转180得到
的是（
）
A．AOD
B．AOB
C．
COB
△
D．DEC
18．（2026·福建厦门·模拟预测）勾股定理是我国古代数学发展的重要起源，数学传统文化中的精髓：开方
术、方程术等都与勾股定理密切相关，勾股定理在生活中有着极其广泛的应用．如图是某临街店铺在窗户
上方安装的遮阳棚，其侧面如图所示，遮阳棚收拢紧贴墙面自然下垂时，遮阳棚棚骨外端C 距离地面90cm
（即
90cm
CE
），将其展开至点B 距离墙面170cm 的位置时（即水平距离
170cm
BD
），
190cm
AB
，
则此时棚骨外端B 离地面的垂直高度是________．
19．（2026·福建厦门·二模）如图，在
ABCD 中，
6
AD
，
4 5
AB
，
B
是锐角，AE
BC
于点E
F
，是
AB 的中点，连接DF ，EF ，若
90
EFD
，则DF 长为______．
20．（2026·福建泉州·模拟预测）如图，在一个长为20cm 的大矩形中，放入形状、大小完全相同的5 个小
矩形，根据图中信息可得小矩形的面积为____．
21．（2026·福建漳州·模拟预测）如图，矩形ABCD的对角线AC 和BD 相交于点O，过点O 的直线EF 分
别交AB ，CD 于点E，F，
4
AB
，
3
BC ，则图中阴影部分的面积为___________．
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22．（2026·福建漳州·模拟预测）如图，在菱形ABCD中，过点A 作AE
BC
于点E，对角线BD 交AE 于
点F．若
60
AFD
，则
C
的度数为________．
23．（2026·福建三明·模拟预测）如图，正方形ABCD边长为3，动直线l 经过正方形中心O，线段A B
与
线段AB 关于直线l 对称，则点B 到直线A B
的距离最大值为_______．
24．（2026·福建厦门·三模）在同一平面内，将边长相等的一个正五边形和一个正六边形如图拼接，则
1
的
度数是_____________．
25．（2026·福建厦门·三模）如图，在四边形ABCD中，对角线AC 与BD 互相垂直平分，
3
AB
，则四边
形ABCD的周长为________．
26．（2026 年5 月福建省漳州市龙海区浮宫中学九年级练习试卷）如图，在正方形ABCD中，连接BD 、AC ，
相交于点O，E 为OA 中点，连接BE ，则tan
EBO
的值为____．
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27．（2026·福建泉州·二模）如图，在
ABCD 中，
4
AB
a
，
5
AD
a
，以点A 为圆心，AB 长为半径画弧，
交AD 于点P ，再分别以点
,
B P 为圆心，大于1
2 BP 的长为半径画弧，两弧交于点Q ，作射线AQ ，交BC 于
点H ，则
ABH
ADCH
S
S四边形
V
的值是_______．
28．（2026·福建厦门·三模）如图，在菱形ABCD中，
60
ABC
，
6
AB
，E ，F 分别是边AB ，AD 的
中点．平移线段EF ，使得E 、F 的对应点恰好分别在边BC ，CD 上，则平移的距离是________．
29．（2026·福建漳州·模拟预测）如图，正方形ABCD的边长为4，点F 在正方形内部，连接AF
BF
，
，且
ABF
DAF
，点E 是AD 边上一动点，连接EC
EF
，
，当EC
EF
长度最小值时，点F 到AB 边的距离为
_______．
30．（2026·福建漳州·模拟预测）如图，矩形纸片ABCD，
3
4
AB
BC
，
，点E 是边AB 上一点，将矩形
纸片沿CE 翻折，使点B 落在对角线AC 上，点B 的对应点为F，则线段AE 的长是_______．
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31．（2026·福建泉州·二模）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点E 是OA的中点，点F，G 是BD
上两个动点（F 在G 的下方），且满足AE
FG
，若正方形边长为2，则AG
EF
的最小值为_______．
32．（2026·福建宁德·一模）如图，在一个边长为6 的正六边形中，中间空白部分的五边形面积为10，则
阴影部分的面积和是_____．
33．（2026·福建福州·二模）如图，菱形ABCD 中，
120
BAD
．将ACD 绕点A 顺时针旋转α
0
90
后恰好与ABC 重合，则旋转角α的度数是______．
34．（2026·福建南平·二模）在物理学中，速度具有大小和方向．如图1，点O 受到两个速度
1v ，
2v 的影响，
其大小分别用线段
,
OA OB 的长度表示，其方向分别用画有箭头的有向线段
,
OA OB 表示，以线段
,
OA OB 为邻
边作平行四边形，则对角线OC 的长度和方向表示
1v 与
2v 的合速度v（即实际速度）的大小和方向，这种求
1v
与
2v 合速度v 的方法称为平行四边形法则．如图2，若小河的水流速度为1km/h
v
，方向为正东，小船在静水
中的航行速度为2km/h
v
，两个速度的方向所成的角为
0
360
，且
2
1
v
v
，小船的实际速度为
km/h
v
．根据平行四边形法则，下列结论正确的是______．（写出所有正确结论的序号）
①若，
1v 不变，
2v 变大，则小船的实际速度v 变大；
②
2
1
2
1
v
v
v
v
v
；
③若小船沿正北方向行进，则
2
2
2
1 km/h
v
v
v
．
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35．（2026·福建泉州·三模）如图，在正方形ABCD中，
10
AB
，点M 为线段BD 上一点，将
ADM
△
沿AM
所在直线翻折得到
AEM
△
（点E 在正方形ABCD内部），连接BE ，CE ，DE ，若
2
BAE
DCE
，则DE
的长为______．
36．（2026·福建泉州·模拟预测）如图，矩形ABCD和正方形AEFG 面积相等，点B 在边EF 上，点G 在CD
上，FG 交BC 于M 点，
18
EN
AB
AB
，
，若
:
16 :9
ENB
BFM
S
S
，则AD ___________．
37．（2026·福建泉州·一模）在物理学中，作用于同一点的两个力的合成符合“平行四边形法则”，即两个共
点力合成时，以表示这两个力的线段为邻边作平行四边形，则这两个邻边之间的对角线就代表合力的大小
和方向，如图1．如果两个共点力
1F 、
2
F 如图2 所示，若方格图中每个小正方形的边长都表示1N ，则合力F
的大小为________ N ．
38．（2026·福建三明·一模）如图，已知正方形ABCD 的边长为2，P 是对角线BD 上一点，PE
BC
于点E，
PF
CD
于点F，连接AP ，EF ，则EF 的最小值为______．
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39．（2026·福建莆田·模拟预测）学校开展以“劳动创造美好生活”为主题的五一劳动节系列活动，同学们积
极参与主题活动的规划、实施、组织和管理，组成调查组、采购组、规划组等多个研究小组．为了协助公
园园区工人测量人工湖湖畔,
A B 两点之间的距离，调查组设计了如图所示的示意图，先在湖边地面上确定
点O，再用卷尺分别确定
,
OA OB 的中点
,
C D ，最后用卷尺量出
10 m
CD
，则,
A B 之间的距离是_____ m ．
40．（2026·福建泉州·一模）如图，Rt ABC中，
90
ACB
，将ABC 绕点C 顺时针方向旋转得到DCE ，
连接AE 交DC 于点F ．取AC 的中点G ，连接AD ，FG ．若BD
AC
∥
，
3
FG
，
3
cos
5
ABC
，则AC 的
长为______．
41．
（2026·福建漳州·一模）在矩形ABCD中，
4
6
AB
BC
M
，
，
是AB 的中点，点P 在AD 上运动．将
APM
沿PM 翻折得到EPM ，连接CE ，则CE 的最小值为___________．
42．
（2026·福建泉州·一模）如图，正方形ABCD的边BC 在
MON
的边ON 上，点A 在边OM 上，
30
MON
，
4
AB
，点P 为射线AM 上的一点，将线段PC 绕点D 顺时针旋转90得到线段EA ，当PE 取最小值时，
则CE ___________．
43．（2026·福建厦门·二模）已知如图，在矩形ABCD中，E 为边AD 的中点．求证：BE
CE
．
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44．（2026·福建宁德·二模）如图，在正方形ABCD中，点E ，F 分别在边AD ，CD 上，AE
CF
．求证：
BE
BF
．
45．（2026·福建福州·三模）如图，在矩形ABCD中，
8
AB
，
10
BC
，E 是CD 边上的一点，点P 在BC
边上，BP
CP
，且满足
BAP
CPE
．
(1)请用无刻度的直尺和圆规在所给的图中作出符合条件的点P （保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，
2
CE
，求BP 的长．
46．（2026·福建厦门·三模）如图，ABC 是等边三角形，点D，E 分别在边
,
AC BC 上，CD
CE
，连接
BD ．将线段BD 绕点B 按逆时针方向旋转60得到线段BF ，连接
,
AF EF ．
(1)若
20
FBA
，求
AFB
的度数；
(2)求证：四边形ACEF 为平行四边形．
47．（2026·福建三明·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，
6
AB
，
8
BC ，点F 在BC 上，点E 在AD 上，
连接EF ，将矩形沿EF 折叠，点A ，B 的对应点分别为点H ，G （点G 落在CD 边上），连接BG ．
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(1)求EF
BG 的值；
(2)若
5
BF ，求AE 的长．
48．（2026·福建三明·二模）综合与实践
木工中蕴含着丰富的数学知识．如在铺设地板时，木工师傅仅通过一把直尺、一支笔和一台切割机就可以
完成对平行、垂直、计量的精准把控，从而解决各种拼接问题．
如图1，现有宽度不同的两根木条（宽木条MOBP 中
∥
MO
PB，窄木条NOAQ 中ON
AQ
∥
，
135
MOB
NOA
），当遇到转角为直角（
90
MON
）的地面时，发现拼接后点A 与点B 不能重
合．
在保证两根木条宽度不变的情况下，为了尽可能节约用料，同时又使两根木条能拼成一个直角，工人师傅
经过如下操作解决了问题，完成了拼接．
第一步：如图2 ，画出QA的延长线，交BP 于点C ，连接OC ；
第二步：如图3 ，沿着射线OB 方向，平移窄木条NOAQ ，得到N O A Q
，使点A与点B 重合，延长MO ，
交窄木条的边N O
于点D ，连接BD ；
第三步：沿着OC 、BD 切割，切口恰好可以完全重合，如图4 完成拼接．
(1)请判断图3 中OD ，BC 的数量关系，并说明理由；
(2)如图4 ，如果宽木条MOBP 的宽度为30cm ，窄木条NOCQ的宽度为18cm ，宽木条MOBP 裁剪后的锐角
是
OCP
，求tan OCP
的值；
(3)如图5 ，当若地面的转角为60，对宽度比为5:3的两根长方形木条FGKL 和FGEH 切割后拼接铺入该转
角处，求tan的值．
49．（2026·福建泉州·二模）如图所示的“赵爽弦图”，由三国时期吴国数学家赵爽创制，它是由四个全等的
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直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，利用面积关系证明直角三角形三边之间的数量关系，即在
直角三角形中，
2
2
2
c
a
b
（c 为斜边）．
(1)证明：若a 、b 、c 均为整数，则它们不可能都是奇数；
(2)如图，若
3
a
，
5
c
，直线FH 交边AB 于点M ，求AM
BM 的值．
50．（2026·福建厦门·二模）如图，矩形ABCD，AD
a
，AB
b
．
(1)用直尺和圆规作一个符合条件的平行四边形ABEF ，须满足：①点F 落在边AD 右侧；②AF
AD
；③EF
与CD 在AB 同侧；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，若平行四边形ABEF 的面积是矩形ABCD面积的一半，且DCF 为等腰三角形，求a
b
的值．
51．（2026·福建泉州·二模）如图，四边形ABCD为平行四边形．
(1)在CD 上求作一点P ，使得
1
2
PBC
BCD
S
S
；
（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)若
120
C
，
4
AB
，
8
AD
，求（1）中
PBC
△
的面积．
52．（2026·福建莆田·模拟预测）解答
(1)【问题提出】如图，在长方形ABCD中，点P 是边CD 上一点，在边BC 、AD 上分别作出点E
F
、，使
得点F
E
P
、、
是一个等腰直角三角形的三个顶点，且PE
PF
，
90
EPF
；要求：用尺规作图，保留作
图痕迹，不写作法；
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(2)【问题解决】在(1)的前提下，作P 关于EF 的对称点Q ( 本小题不用尺规作图)，补全图形，求证：四边
形EPFQ 为正方形．
53．（2026·福建厦门·模拟预测）如图1，将矩形沿虚线进行分割，分割后可以将得到的两个三角形进行拼
接，得到的新图形如图2 所示．
(1)如图3，在ABC 中，
90
C
，对ABC 进行分割，分割线DE 垂直于AC ，
①证明ADE
ACB
∽
；
②将ABC 分割成4 个全等的三角形，请在图4 中画出分割线；
(2)对如图5 所示的四边形ABCD进行分割，将其拼成一个平行四边形，请设计一种方案．
要求：
Ⅰ．在四边形ABCD中画出分割线，再标出各个分割后的图形序号（类似图1）；
Ⅱ．在方框中画出拼接后的平行四边形的示意图（类似图2）；
Ⅲ．拼接后各部分均不重叠、无缝隙、无剩余；
Ⅳ．本题将综合考虑“分割次数”给分．
54．（2026·福建厦门·模拟预测）如图，在
ABCD 中，点E 在BC 边上，点B 关于直线AE 的对称点F 落在
ABCD 内，射线AF 交射线DC 于点G ，交射线BC 于点P ，射线EF 交CD 边于点Q ．
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(1)如图1，当CE
BE
时，点P 在BC 延长线上
①求证：
EFP
ECQ
≌△
△
；
②若
3
CG
，
5
GQ
，求DQ 的长；
(2)如图2，当
2
CE
BE
时，点P 在BC 边上，若
2
3
CQ
DQ
，求CG
DG 的值．
55．（2026·福建厦门·三模）如图1，点E 是矩形ABCD 的边CD 上任意一点，点C 关于BE 的对称点是点
F，连接
,
BF EF ．
(1)如图1，当点F 在边AD 上时，求证：
ABF
DFE
∽
△
△
；
(2)如图2，AB
AD
，连接CF 并延长交BE 于点N，交AD 于点H，连接AF 并延长交边DC 于点M，交
BE 的延长线于点P．
①求证：FN
PN
；
②若
24
AP
，DH
DE
，求ME 的长．
56．（2026·福建漳州·模拟预测）某业主装修卫生间，泥水师傅进行地面地漏（地漏为正方形）铺设施工．
(1)现有四个长16cm ，宽6cm 的矩形瓷砖（正反面纹路不同），要切割成8 个周长相同的四边形铺成如图2
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的图案．
①请你利用尺规作图，帮忙泥水师傅作出瓷砖的切割线；（结合铺设需要，画出不同的切割线；如果切割
线相同，只要画出一种即可．）
②求出地漏EFGH 的面积．
(2)若地漏铺设成如图3 的图案，已知地漏和正方形MNPQ 的中心重合，MN
EF
∥
，MQ
EH
∥
，猜想MF 与
QE 的位置关系，并说明理由．
57．（2026·福建莆田·二模）阅读材料，回答问题．
欧拉（Euler ）是世界著名的数学家，他对多面体做过研究．已知由若干个平面多边形围成的几何体叫做多
面体，围成多面体的各个多边形叫做多面体的面．欧拉证明了对于任意凸多面体，其顶点数V、面数F、棱
数E 之间满足欧拉公式：
2
V
F
E
，如下表．
名称
三棱锥
三棱柱
长方体
十二面体
图形
顶点数V
4
6
8
20
面数F
4
5
6
12
棱数E
6
9
12
30
V
F
E
2
2
2
2
进一步，还可以研究与凸多面体相关的几何对象．
(1)凸多面体的每个面分别记为
in 边形，其中
1
i ，2，…，F，每个顶点分别连接
jr 条棱，其中
1
j ，2，…，
V．下列说法正确的是_____；（写出所有正确结论的序号）
①
1
2
2
F
n
n
n
E
L
；
②
1
2
2
F
n
n
n
F
L
；
③1
2
2
V
r
r
r
E
L
；
④1
2
2
V
r
r
r
V
．
定义：凸多面体的面（即多边形）的内角叫做多面体的面角，凸多面体顶点的角亏等于360与多面体在该
点的面角之和的差，凸多面体的总角亏等于多面体各顶点的角亏之和．
例如，如图，正三棱锥有四个面，每个面都是等边三角形，在顶点B 处有三个面角为
ABC
，ABD
，DBC
，
且都是60，所以正三棱锥在点B 的角亏为360
3 60
180
，故其总角亏为4 180
720
．
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(2)求三棱锥的总角亏；
(3)请判断任意凸多面体的总角亏是否为定值，若是，请求出其定值；若不是，请说明理由．
58．（2026·福建福州·二模）阅读材料，回答问题：
问题提出
探究平面组合图形的重心位置
在学习中，我们已经知道简单平面图形的重心位置，如三角形的重心位于三条中线的交点处，
平行四边形的重心位于两条对角线的交点处等．平面组合图形由简单平面图形组成，其重心
位置如何确定？
探究分析
为更好地探究，我们可以将平面图形放置于平面直角坐标系中，将平
面图形的重心位置记为点
0
0
,
G x
y
，分割得到的若干个图形的重心位
置记为点
,
i
i
i
G x y
（i 为正整数）．
如图，平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的顶点A ，C 分别在x 轴
与y 轴的正半轴上，若点B 的坐标是
,
m n ，则点G 的坐标为
,
2 2
m n
．
请将①②③④⑤⑥所缺的内容或证明过程补充完整．
第1阶段
(1)如图，若点B 的坐标是
8,4 ，沿直线
2
x
将矩形OABC 分割成两个矩形，则原矩形OABC 的重心位置点
G 的坐标是①______，分割所得的两个矩形重心位置的坐标分别是②______和③______．
第2 阶段
一般地，如图，沿直线x
a
0
a
m
将矩形OABC 分割成两个矩形，则它们重心位置的坐标分别为
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1
,
2 2
a n
G
，
2
,
2
2
m
a n
G
，记直线x
a
与x 轴交于点M ，则OM
a
OA
m
，MA
m
a
OA
m
，发现：
1
2
0
2
2
2
OM
MA
a
a
m
a m
a
m
x
x
x
OA
OA
m
m
，
1
2
0
2
2
2
OM
MA
a
n
m
a n
n
y
y
y
OA
OA
m
m
．
猜想：将矩形按某一水平（或竖直）方向分割成两个矩形（如图所示），原矩形的一边被分成长度为s和t 的
两段，分割所得的两个矩形重心位置的坐标分别为
1
1
1
,
G
x y
，
2
2
2
,
G
x
y
，则原矩形重心位置G 的坐标
0
0
,
x
y
满足：
1
2
0
sx
tx
x
s
t
，
1
2
0
sy
ty
y
s
t
．
如图所示，若将矩形沿对角线分割成两个三角形，则上述猜想不再适用，此时，可以将原猜想中的“边长的
关系”推广为“面积的关系”，从而得到：
1 1
2
2
0
1
2
S x
S x
x
S
S
，
1
1
2
2
0
1
2
S y
S y
y
S
S
．
第3 阶段
如图，若将矩形OABC 沿直线x
a
0
a
m
与直线y
b
0
b
n
分割得到三个矩形，它们的重心位置分
别为
1
2
3
G
G
G
，
，
，面积分别为
1
2
3
S
S
S
，，
，根据第2 阶段的探究结论，猜想原矩形重心位置G 的横坐标满足
1 1
2
2
3
3
0
1
2
3
S x
S x
S x
x
S
S
S
．
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(2)请通过计算说明这个猜想成立：④______；类比
0x 的表达式，写出
0y 的表达式：
0y ⑤______．
结论应用
根据探究发现，对于平面组合图形，其重心位置的横，纵坐标分别等于将其分割后的各个简单平面图形重
心位置的横，纵坐标按各自面积加权所得的平均数．
(3)如图，平面直角坐标系xOy 中，若
6,0
A
，
8,4
B
，
2,8
C
，
0,4
D
，则五边形OABCD 重心位置的坐
标是⑥______．
59．（2026·福建泉州·三模）【课本再现】
如图1，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O 又是正方形
1
1
1
A B C O 的一个顶点，而且这两个正方形的边
长都为1，四边形OEBF 为两个正方形重叠部分，正方形
1
1
1
A B C O 可绕点O 转动．
【问题发现】
(1)连接
1AO，直线
1AO分别交AB
CD
、
于点E、G，
1
C O 交BC 于点F ，连接FG ，则线段AE
CF
FG
，
，
之
间的数量关系是______．
【类比迁移】
(2)如图2，矩形ABCD的中心O 是矩形
1
1
1
A B C O 的一个顶点，
1AO与边AB 相交于点E，
1
C O 与边CB 相交于
点F，连接EF ，矩形
1
1
1
A B C O 可绕着点O 旋转，猜想AE ，CF ，EF 之间的数量关系，并进行证明；
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【拓展应用】
(3)如图3，在Rt
ACB
△
中，
90
3cm
4cm
C
AC
BC
,
,
，直角
EDF
的顶点D 在边AB 的中点处，它的
两条边DE 和DF 分别与直线AC ，BC 相交于点E，F，
EDF
可绕着点D 旋转，当
2cm
AE
时，请直接
写出CEF 的面积．
60．（2026·福建泉州·模拟预测）张老师开展“ 45角”主题学习活动，收到了同学们分享的几道优质习题，
现邀请你一同思考解答．
(1)如图1，在ABC 中，
90
C
，
45
B
，
4
AB
，D 是BC 的中点，则AD ______．
(2)如图2，正方形ABCD中，E，F 分别在边BC ，CD 上，且
45
EAF
，连接BD 分别交AE ，AF 于点
H，G，试猜想BE ，DF ，EF 的数量关系，并说明理由．
(3)如图3，在（2）基础上，点E 为正方形ABCD的BC 边上的点，点F 在射线BC 上，求BE
EF 的最大值，请
直接写出结果
